高等代数(北大版)第7章习题参考答案
第七章线性变换
1．判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1）在线性空间V中，A,其中V是一固定的向量；
2）在线性空间V中，A其中V是一固定的向量；
3）在P 322 中，A(,,)(,,)
x1xxxxxx；
231233
4）在P 3中，A(,,)(2,,)
x1xxxxxxx
2312231
；
5）在P[x]中，A f(x)f(x1)；
6）在P[x]中，A()(),
fxfx其中
0 x P是一固定的数；0
7）把复数域上看作复数域上的线性空间，A
。
nn
中，A X=BXC其中B,CP 8）在P
解1)当0时,是;当0时,不是。nn
是两个固定的矩阵.
2)当0时,是;当0时,不是。
3)不是.例如当(1,0,0),k2时,k A()(2,0,0),A(k)(4,0,0), A(k)k A()。
4)是.因取(x1,x2,x3),(y1,y2,y3),有
A()=A(x1y1,x2y2,x3y3)
=(2x12y1x2y2,x2y2x3y3,x1y1)
=(2x1x2,x2x3,x1)(2y1y2,y2y3,y1)
=A+A，
A(k)A(kx1,kx2,kx3)
(2kx
1 k x
2
,k x
2
k x,
3
k x)
1
(2kx
1 k x
2
,k x
2
k x,
3
k x)
1
=k A()，
3
故A是P
上的线性变换。
5)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x],并令
u(x)f(x)g(x)则
A(f(x)g(x))=A u(x)=u(x1)=f(x1)g(x1)=A f(x)+A(g(x))，
再令v(x)kf(x)则A(kf(x))A(v(x))v(x1)kf(x1)k A(f(x))，故A为P[x]上的线性变换。
6)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x]则.
A(f(x)g(x))=f(x0)g(x0)A(f(x))A(g(x))，
A(kf(x))kf(x0)k A(f(x))。
7)不是，例如取a=1,k=I，则A(ka)=-i,k(A a)=i,A(ka)k A(a)。
8)是，因任取二矩阵X,Y
nn
P，则A(XY)B(XY)CBXCBYC A X+A Y，
A(kX)=B(kX)k(BXC)k A X，故A是
nn
P上的线性变换。
2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换, 以B表示绕oy轴向ox方向旋转90度的变换,以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的
变换，证明：A4=B4=C4=E,ABBA,A2B2=B2A2，并检验(AB)2=A2B2是否成立。
解任取一向量a=(x,y,z)，则有
1)因为
A a=(x,-z,y),A2a=(x,-y,-z)，A3a=(x,z,-y),A4a=(x,y,z)，
B a=(z,y,-x),B 2
a=(-x,y,-
z)，B
3
a=(-z,y,x),B
4
a=(x,y,z)
，
C a=(-y,x,z),C 2
a=(-x,-
y,z)，C
3
a=(y,-x,z),C
4
a=(x,y,z)
，
所以A4=B4=C4=E。
2)因为AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y)，BA(a)=B(x,-z,y)=(y,-z,-x)，
所以ABBA。
3)因为A2B2(a)=A2(-x,y,-z)=(-x,-y,z)，B2A2(a)=B2(x,-y,-z)=(-x,-
y,z)，
2222
所以A。
B=BA
222
3)因为(AB)(a)=(AB)(AB(a))_=AB(z,x,y)=(y,z,x)，AB(a)=(-x,-y,z)，所以(AB) 2A2B2。
3.在P[x]中，A
'
f(x)f(x),B f(x)xf(x)，证明:AB-BA=E。
证任取f(x)P[x]，则有
(AB-BA)f(x)=AB f(x)-BA f(x)=A(xf(x))-B(
'
f(x))=
;
f(x)xf(x)-
'
xf(x)=f(x)
所以AB-BA=E。
4.设A,B是线性变换，如果AB-BA=E，证明：A k B-BA k=k A k1(k>1)。
证采用数学归纳法。当k=2时
A2B-BA2=(A2B-ABA)+(ABA-BA2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2a，结论成立。
归纳假设km时结论成立，即A m B-BA m=m A m1。
则当km1时，有
m1m1m1mmm1mmmm
AB-BA=(AB-ABA)+(ABA-BA)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=A
E+m A m1A=(m1)A m。
即
km1
时结论成立
.故对一切k1
结论成立。
5.证明：可逆变换是双射。
1
证设A 是可逆变换，它的逆变换为A
。
若ab ，则必有A a A b ，不然设Aa=A b ，两边左乘A 1
，有a=b ，这与条件矛盾。 其次，对任一向量b ，必有a 使A a=b ，事实上,令A
1
b=a 即可。因此,A 是一个双射。
6.设1,2,,n 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换。证明：A 是可逆变换当且
仅当A 1,A 2,,A n 线性无关。
证因A (1,2,,n )=(A 1,A 2,,A n )=(1,2,,n )A ，
故A 可逆的充要条件是矩阵A 可逆，而矩阵A 可逆的充要条件是A 1,A 2,,A n 线性无
关，故A 可逆的充要条件是A 1,A 2,,A n 线性无关.。
7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:
1)第1题4)中变换A 在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵；
2)[o;1,2]是平面上一直角坐标系,A 是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂
直投影,B 是平面上的向量对2的垂直投影，求A,B,AB 在基1,2下的矩阵； 3)在空间P [x]n 中，设变换A 为f(x)f(x 1)f(x)，
试求A 在基 i =
1 x(x1)(xi1)(I=1,2,,n-1)下的矩阵A ；
i!
4)六个函数1=e
ax cosbx,ax sinbx ， 2=e ax cosbx,ax sinbx ，
3=xe ax cosbx, ax
cosbx, 4=xe ax sinbx ， 1= 1 2 2 xe a x cosbx, 1=
1 2 e a x x 2
sinbx ，的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空 间，求微分变换D 在基i (i=1,2,,6)下的矩阵；
101
3
中线性变换A 在基1=(-1,1,1),2=(1,0,-1),3=(0,1,1)下的矩阵是110
5)已知P ，
121
求A 在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵； 6)在P 3
中，A 定义如下：
A(5,0,3)
1
A(0,1,6)
，
2
A(5,1,9)
3
其中
(1,0,2)
1
(0,1,1)
，
2
(3,1,0)3
求在基1=(1,0,0),2=(0,1,0),3=(0,0,1)下的矩阵；
7)同上，求A在1,2,3下的矩阵。
解1)A1=(2,0,1)=21+3，A2=(-1,1,0)=-1+2，A3=(0,1,0)=2，
210
011故在基1,2，3下的矩阵为
。
100
2）取1=（1，0），2=（0，1），则A1=
11 1
2
1+
1
2 2
，A2=
1
2
1+
1
2 2
，
故A在基
1，2下的矩阵为A=2
1
2
1
。
22
又因为B1=0，B2=2，所以B在基1，2下的矩阵为B=
0 0
1
，另外，（AB）2=A
（B
2）=A2= 1
2 1
+
1
2 2
，
1
2
1
所以AB在基
1，2下的矩阵为AB=。
2
3）因为
x(x1)x(x1)[x(n2)] 1,1x,2,,n1，
0n
2!(1)!
所以A110
0，
A1(x1)x0，
A n1
(x 1) x (n
[x(n3)]x(x 1)! 1)[x(n (n 1)!
2)]
= x (x1)[ (n x (n 1)!
3)]
{(x1)[x(n2)]}
=n2，
01
01
所以A 在基 0,1,,n1下的矩阵为A =
。 1 0
4）因为D 1=a 1-b 2,
D 2=b 1-a 2,6， D 3=1+a 3-b 4, D 4=2+b 3+a 4, D 5=3+a 5-b 6, D 6=4+b 5+a 6，
ab1000 ba0100
00ab10
所以D 在给定基下的矩阵为D =0 00ba01
。
0000ab 0000ba 110
5）因为(1,2,3)=(1,2，3)
101
，所以 111
111
(1,2，3)=(1,2,3)=(1,2,3)X ，
011 101
故A 在基 1,2，3下的矩阵为
110101111112
B =X=
1
AX=101110011220
101110011220
。 111121101302
103
6）因为(1,2,3)=(1,2，3)
011
，
210
103
所以A(
1,2,3)=A(1,2，3) 011
,
210
505
但已知A(011
1,2,3)=(1,2，3)，
369
505103
故A(1,2，3)=(1,2，3) 011011
1
369210
133
=(1,2，3)
5
3
1
6
5
1
9
7
2
7
2
7
6
7
1
7
1
7
1
777
52020
=(1,2，3) 7
4
7
27
7
5
7
18
7
2
7
24
。777
103
7）因为(1,2，3)=(1,2,3)
011
1，
210
103505
所以A(1,2,3)=(1,2,3)
1 011011
210369
235
=(1,2,3)
101
。
110
8．在P 22
中定义线性变换A
1(X)=
a
c
b
d
X,A2(X)=X
a
c
b
d
,A2(X)=
a c
b d X
a c
b d
,求A 1,A 2,A 3在基E 11,E 12,E 21,E 22下的矩阵。 解因A 1E 11=a E 11+c E 12,A 1E 12=a E 12+c E 22, A 1E 21=b E 11+d E 21,A 1E 22=b E 21+d E 22,
a0b0
故A
1在基E 11,E 12,E 21,E 22下的矩阵为A 1=
0 c a 0 0 d b 0 。
0c0d
又因A 2E 11=a E 11+b E 12,A 2E 12=c E 11+d E 12, A 2E 21=a E 21+b E 22,A 2E 22=c E 21+d E 22,
ac00
故A
2在基E 11,E 12,E 21,E 22下的矩阵为A 2=
b 0 d 0 0 a 0
c 。
00bd
又因A 3
E 11=a 11+ab E 12+ac E 21+bc E 22，2
E 2
E
2
A 3E 12=ac E 11+ad E 12+c E 21+cd E 22，
2
A 3E 21=ab E 11+b E 12+ad E 21+bd E 22，
A 3E 22=bc E 11+bd E 12+cd E 21+d 2
E 22，
a 2
a cabbc 故A 3在基E 11,E 12,E 21,E 22下的矩阵为
2
abadbbd A 。
3
2
accadcd
2
bccdbdd
8.设三维线性空间V 上的线性变换A 在基1,2,3下的矩阵为
a 11 a 12 a 1
3
A= a 21 a 22
a 23 ，
a 31 a 32 a 3
3 1)求A 在基3,2,1下的矩阵； 2)求A 在基1,k 2,3下的矩阵，其中且；
3)求A在基12,2,3下的矩阵。解1)因A3=a333+a232a131，
A2=a323a222a121，
A1=a313a212a111，
a 33 a
32
a
3
1
故A在基3,2,1下的矩阵为B aaa。
3232221
a 13 a
12
a
1
1
a 2)因A1=a111+(2)
21k a，313
A(k2)=ka121+a22(k2)+ka323，
A3=a131+ a23
k
(k2)+a333，
a
11
k a
12
a
1
3
故A在
1,k,下的矩阵为
23
aa
2123 Ba。
222
kk
akaa
313233
3)因A(12)=(a11a12)(13)+(a21a22a11a12)2+(a31a32)3，A2=a12(12)+(a22a12)2+a323，
A3=a13(12)+(a23a13)2+a333，
a 11 a
12
a
12
a
1
3
故A基1,,下的矩阵为
223 B aaaaaaaa。
32122111222122313
a
31
a
32
a
32
a
3
3 k1k
9.设A是线性空间V上的线性变换，如果A0,但A=0，求证：
,A,,A k(k>0)线性无关。
1
证设有线性关系10
k
ll k A，
Al12
用A k作用于上式,得
1
l A 1 k1 n
=0(因A0 对一切nk均成立)，
又因为A k0,所以0
1
l,于是有
1
2k1
lAlAl k A0，
23
再用A k2作用之,得l A
2 k1=0.再由,可得l=0.同理,继续作用下去
,便可得
2
l1ll k0,
2
即证,A,,A k1(k>0)线性无关。
10.在n维线性空间中，设有线性变换A与向量使得A n10，求证A在某组下的矩阵
10
是1
。
10
证由上题知,,A,A 2
,,A n线性无关，故,A,A2,,A n1为线性空间
1
2n1
V的一组基。又因为A01A0A+0A
，
2n1，
A(A)=0+0A+1A+0A
???????????
A（A n）=0+0A+0A2+0A n1，
1
故A在这组基下的矩阵为
10
1
。
10
12．设V是数域P上的维线性空间，证明：与V的全体线性变换可以交换的线性变换是数
乘变换。
证因为在某组确定的基下，线性变换与n级方阵的对应是双射
，而与一切n级方阵可交换
的方阵必为数量矩阵kE，从而与一切线性变换可交换的线性变换必为数乘变换K。13.A是数域P上n维线性空间V的一个线性变换，证明：如果A在任意一组基下的矩阵都相同，那么是数乘变换。
证设
A在基1,2,,n下的矩阵为A=(a ij)，只要证明A为数量矩阵即可。设X为任一非退化方阵，且
(1,2,n)=(1,2,,n)X，
则1，从而有AX=XA，这1,2,,n也是V的一组基，且A在这组基下的矩阵是XAX
说明A与一切非退化矩阵可交换。
若取
1
2
X1，
n
则由A X=X
1A知a ij=0(ij)，即得
1
a
11
A= a
22 ，
a
nn
再取
0100
0010
X=
2
0001
1000
由A X=X
2A，可得
2
a11a22a。
nn
故A为数量矩阵，从而A为数乘变换。
11.设1,2,3,4是四维线性空间V的一组基，已知线性变换A在这组基下的矩阵为
1021
1 1 2
2
1
5
3
5
，
2212
1)求A在基11224,23234,334,424下的矩阵；
2)求A的核与值域；
3)在A的核中选一组基,把它扩充为V的一组基,并求A在这组基下的矩阵；
4)在A的值域中选一组基,把它扩充为V的一组基,并求A在这组基下的矩阵。解1)由题设,知
1000
(1,2,3,4)=(1,2,3,4)
2 0
3 1
0 1 0 0
，
1112
故A 在基 1,,,下的矩阵为
234
1
100010211000
1=
B=XAX
2 0
3 1
0 1 0 0
1 1
2 2
1 5
3 5
2 0
3 1 0 1 0 0
111222121112
2 2
3
4 3 10 2 10 = 3 8
3 16 3 40 3 40 。 3 0
3 1
3 7
3 8
11
2)先求A (0).设A
(0)，它在1,2,3,4下的坐标为(1,2,3,4)，且A
在 1,,,4下的坐标为(0,0,0,0,)，则
23 1021 x 1
1 1
2 2
1 5
3 5
x 2 x 3 = 0 0
。
2212
x 4
0 因rank(A)=2，故由
x 1 x 1 2x 3 2x 2
x 3 x 4 0 3x 4 0
，
可求得基础解系为X
3 1=(2,,1,0),X 2=(1,2,0,1)。
2 若令1=(1,2,3,4)X 1，2=(1,2,3,4)X 2， 则 1,2即为A
1 (0)的一组基，所以
A 1
(0)=
L (,)。 12
再求A 的值域A V 。因为
A 1=12324， A 2=222324，
A3=212534，
A43=1325324，
rank(A)=2，故A1,A2,A3,A4的秩也为2，且A1,A2线性无关，故A1,A2 可组成A V的基，从而A V=L(A1,A2)。
1
4)由2)知1,2是A(0)的一组基，且知1,2,1,2是V的一组基，又
(1,2,a1,a2)=(1,2,3,4) 1
1
2
3
2
1
1
2
，0001
故A在基,
12,1,2下的矩阵为
B=
1
1
2
3
2
1
1
2
1
1
1
1
2
2
2
1
5
1
3
5
1
1
2
3
2
1
1
2
2212
00010001
5
9
2
1
2
1
2
=
。
2200
4)由2)知A1=12324,A2=222324
易知A
1,A2,3,4是V的一组基，且
1000
(A1,A2,3,4)=(1,2,3,4)
1
1
2
2
1
，1201
故A在基A
1,A2,3,4下的矩阵为
1
100010211000
C= 1
1
2
2
1
1
1
2
2
1
5
3
5
1
1
2
2
1
0 120122121201
5 9 2 0 2
1
2
3
2
1
2
=
。
0000
3
12.给定P
的两组基
(1,0,1)(1,2,1)11
(2,1,0)(2,2,1)
，
22
(1,1,1)(2,1,1)33
定义线性变换A:
A i=i(i=1,2,3)，
1)写出由基1,2,3到基1,2,3的过度矩阵；
2)写出在基1,2,3下的矩阵；
3)写出在基1,2,3下的矩阵。
3
解1)由(1,2,3)=(1,2,3)X，引入P的一组基e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1)，则
121
(1,2,3)=(e1,e2,e3)011=(e1,e2,e3)A，
101
所以
122
(1,2,3)=(e1,e2,e3)221=(e1,e2,e3)B=(e1,e2,e3)A 1B，
111
故由基
1,,到基1,2,3的过度矩阵为
23
1 12112
2 101111
2
1
1
3
2
3
2
1
2
3
2
3
2
5
2
1
X=AB==
011221
。
2)因
A(1,2,3)=(1,2,3)=(1,2,3)
2
1
1
3
2
3
2
1
2
3
2
3
2
5
2
，
故A在基1,2,3下的矩阵为
2 1 1 3
2
3
2
1
2
3
2
3
2
5
2
A=
。
4)因A(1,2,3)=A(1,2,3)X=(1,2,3)X，
故A在基1,2,3下的矩阵仍为X.。13.证明
1 i 1
2
与i
2 相似，其中(i
1,i2,,i n)是1,2,,n的一
n i n
个排列。
证设有线性变换A，使
1
2
A(1,2,,n)=(1,2,,n)=(1,2,,n)D1，
n
i
1
则A(,,
i,
1i
2 i)=(,,
i,
n2
1i
i)
n
i
2 =(,,
i,
1i
2
i)D2，
n
i
n
于是D 1与D2为同一线性变换A在两组不同基下的矩阵,故
1 i 1
2
与i
2 相似。
n i n 14.如果A可逆,证明AB与BA相似。
高等代数北大版习题参考答案
第九章 欧氏空间 1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，
(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β==
高等代数(北大版第三版)习题答案III
高等代数（北大*第三版）答案 目录 第一章多项式 第二章行列式 第三章线性方程组 第四章矩阵 第五章二次型 第六章线性空间 第七章线性变换 第八章 —矩阵 第九章欧氏空间 第十章双线性函数与辛空间 注： 答案分三部分，该为第三部分，其他请搜索，谢谢！
第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑= 'A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此 ∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。
高等代数北大版习题参考答案
第七章线性变换 1．?判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是： 1）?在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2）?在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量； 3）?在P 3 中，A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=； 4）?在P 3中，A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=； 5）?在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ； 6）?在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7）?把复数域上看作复数域上的线性空间，A ξξ=。 8）?在P n n ?中，A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α,A )0,0,4()(=αk , A ≠ )(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+=A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- =A α+A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx =k A )(α， 故A 是P 3 上的线性变换。 5)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f +=A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f +A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )， A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是，例如取a=1,k=I ，则A (ka)=-i,k(A a)=i,A (ka )≠k A (a)。 8)是，因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈，则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y ，
高等代数北大版第章习题参考答案
高等代数北大版第章习 题参考答案 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
第六章 线 性空 间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==。 证任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N M ∈。又因 ,M N M ? 故M N M =。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N ?所以M N N =。 2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。 证),(L N M x ∈?则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。反之，若 )()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或在前一情形，,,N x M x ∈∈因此 .L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈，得 ),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ? 于是)()()(L M N M L N M =。 若x M N L M N L ∈∈∈（），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈，X M L ∈且，x M N ∈因而（）（M L ）。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ）故 （L ）=（）（M L ） 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1）次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2）设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法；
高等代数(北大版)第10章习题参考答案
第十章双线性函数与辛空间 1、设V是数域P上的一个三维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上的 一个线性函数，已知 f (ε1+ε3)=1,f (ε2-2ε3)=-1,f (ε1+ε2)=-3 求f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ). 解因为f是V上线性函数，所以有 f (ε1)＋ f (ε3)=1 f (ε2)-2 f (ε3)=-1 f (ε1)+f (ε2)=-3 解此方程组可得 f (ε1)＝4，f (ε2)＝－7，f (ε3)＝－3 于是 f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ).＝X 1 f (ε1)＋X2 f (ε2)＋X3 f (ε3) ＝4 X 1 －7 X 2 －3 X 3 2、设V及ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f ,使 f (ε1+ε3)＝f (ε2-2ε3)=0, f (ε1+ε2)=1 解设f为所求V上的线性函数，则由题设有 f (ε1)＋ f (ε3)=0 f (ε2)-2 f (ε3)=0 f (ε1)+f (ε2)=1 解此方程组可得 f (ε1)＝－1，f (ε2)＝2，f (ε3)＝1 于是?a∈V,当a在V的给定基ε1，ε2，ε3下的坐标表示为 a= X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 时，就有 f (a)=f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 )
= X 1 f (ε1)＋X2 f (ε2)＋X3 f (ε3) =-X 1+2 X 2 + X 3 3、设ε1，ε2，ε3是线性空间V的一组基，f1,f2,f3是它的对偶基，令α1＝ε1－ε3，α2＝ε1＋ε2－ε3，α3＝ε2＋ε3 试证：α1，α2，α3是V的一组基，并求它的对偶基。 证：设 （α1，α2，α3）＝（ε1，ε2，ε3）A 由已知，得 A＝ 110 011 111????????-?? 因为A≠0，所以α1，α2，α3是V的一组基。设g1,g2,g3是α1，α2，α3得对偶基，则 （g1,g2,g3）＝（f1,f2,f3）（Aˊ）1- ＝（f1,f2,f3） 011 112 111 -???? - ????--?? 因此 g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3 4.设V是一个线性空间，f1,f2,…fs是V*中非零向量，试证：?α∈V，使 fi(α)≠0 (i=1,2…,s) 证：对s采用数学归纳法。 当s＝1时，f1≠0,所以?α∈V，使fi(α)≠0，即当s＝1时命题成立。 假设当s=k时命题成立，即?α∈V，使fi(α)=αi≠0 (i=1,2…,k) 下面证明s=k+1时命题成立。 若f 1 k+(α)≠0,则命题成立，若f 1 k+ (α)＝0，则由f 1 k+ ≠0知，一定?β∈V 使f 1 k+ (β)＝b,设fi(β)=di(i=1,2…,k),于是总可取数c≠0，使 ai+cdi≠0(i=1,2…,k) 令c γαβ =+，则γ∈V，且
高等代数-北京大学第三版--北京大学精品课程
一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算, 这些运算满足一定的运算法则, 则称这样的一个体系为 定义(数域) 设K 是某些复数所组成的集合。如果 K 中至少包含两个不同的复数，且 K 对复数的加、减、乘、 四则运算 是封闭的，即对K 内任 两个数a 、 b ( a 可 以等于b )， 必有 b K ， ab K ，且当b 0时，a/b K ，则称 K 为一个数域。 1.1典型的数域举例： 复数域C ；实数域R ;有理数域 Q ; Gauss 数域：Q (i) = { a b i | a, b € Q}，其中 i = ?. 1 命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。 证明 设K 为任意一个数域。由定义可知，存在一个元素 K ，且 a 0。于是 进而 最后， m, n Z 巴K 。这就证明了 n K 。证毕。 1.1.3 集合的运算, 集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为 A 与 B 的并集， 记做A B ;从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩 定义(集合的映射) 设A 、B 为集合。如果存在法则 f ，使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定 若a a'代都有f (a) 第一章代数学的经典课题 § 1若干准备知识 1.1.1代数系统的概念 个代数系统。 1.1.2数域的定义 定义(集合的交、并、差)设S 是集合，A 与B 的公共元素所组成的集合成为 A 与 B 的交集，记作A B ;把A 下的元素组成的集合成为 A 与 B 的差集，记做A B 。 的元素(记做f(a))，则称f 是A 到B 的一个映射，记为 B, f (a). 如果f(a) b B ，则b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的原像。A 的所有元素在f 下的像构成的 B 的 子集称为A 在f 下的像，记做 f (A)，即 f (A) f(a)| a A 。 f(a'),则称f 为单射。若 b B,都存在a A ，使得f(a) b ，则称f 为满射。 1.1.4 求和号与求积号 1 ?求和号与乘积号的定义.为了把加法和乘法表达得更简练，我们引进求和号和乘积号。 设给定某个数域K 上n 个数a 1,a 2, ,a n ，我们使用如下记号： 第一学期第一次课 如果f 既是单射又是满射，则称 f 为双射，或称一一对应。
高等代数北大版第6章习题参考答案
第六章 线性空间 1.设,N M ?证明：,M N M M N N ==。 证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N M ∈。又因,M N M ? 故M N M =。再证第二式，任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪 一种情形，都有,N ∈α此即。但,N M N ?所以M N N =。 2.证明)()()(L M N M L N M =，)()()(L M N M L N M =。 证 ),(L N M x ∈?则.L N x M x ∈∈且在后一情形，于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈，由此得)()()(L M N M L N M =。反之，若)()(L M N M x ∈，则.L M x N M x ∈∈或 在前一情形，,,N x M x ∈∈因此.L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形，因而,,L x M x ∈∈x N L ∈，得),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ? 于是)()()(L M N M L N M =。 若x M N L M N L ∈∈∈（），则x ，x 。 在前一情形X x M N ∈， X M L ∈且，x M N ∈因而（）（M L ）。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?在后一情形，x ,x 因而且，即X （M N ）（M L ）所以 （）（M L ）（N L ） 故 （L ）=（）（M L ）即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： 1） 次数等于n （n ≥1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2） 设A 是一个n ×n 实数矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘法； 3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算： 212121121112b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111（a ，）（（，） （）k 。（a ，）=（ka ，kb +
高等代数北大版习题参考答案
第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于 A 是正定矩阵，因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A = 。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β==