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[初三数学]2012年二次函数中考大题总结1附答案详解

一(解答题(共30小题)

21((2012?遵义)如图，已知抛物线y=ax+bx+c(a?0)的图象经过原点O，交x轴

于点A，其顶点B的坐标为(3，,)(

(1)求抛物线的函数解析式及点A的坐标;

(2)在抛物线上求点P，使S=2S; ?POA?AOB

(3)在抛物线上是否存在点Q，使?AQO与?AOB相似,如果存在，请求出Q点的坐标;如果不存在，请说明理由(

2((2012?资阳)抛物线的顶点在直线y=x+3上，过点F(,2，2)的直线交该抛物

线于点M、N两点(点M在点N的左边)，MA?x轴于点A，NB?x轴于点B(

(1)先通过配方求抛物线的顶点坐标(坐标可用含m的代数式表示)，再求m的

值;

(2)设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB;

(3)若射线NM交x轴于点P，且PA?PB=，求点M的坐标(

23((2012?珠海)如图，二次函数y=(x,2)+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点(已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A(1，0)及点B(

(1)求二次函数与一次函数的解析式;

2(2)根据图象，写出满足kx+b?(x,2)+m的x的取值范围(

24((2012?株洲)如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线

y=,x+bx+c过A、B两点( (1)求这个抛物线的解析式;

(2)作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N(求当t取何值时，MN有最大值,最大值是多少,

(3)在(2)的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标(

5((2012?重庆)企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理(某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污

水，两种处理方式同时进行(1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y(吨)与月份x(1?x?6，且1

x取整数)之间满足的函数关系如下表:

月份x(月) 1 2 3 4 5 6

12000 6000 4000 3000 2400 2000 输送的污水量y(吨) 1

(1)请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y，y12与x之间的函数关系式;

(2)请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W(元)最多，并求出这个最多费用; (3)今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加

(a,30)%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助(若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值(

(参考数据:?15.2，?20.5，?28.4)

26((2012?肇庆)已知二次函数y=mx+nx+p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A(x，0)、B(x，0)，x,0,121x，与y轴交于点C，O为坐标原点，

tan?CAO,tan?CBO=1( 2

(1)求证:n+4m=0;

(2)求m、n的值;

(3)当p,0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，求二次函数的最大值(

27((2012?张家界)如图，抛物线y=,x+x+2与x轴交于C、A两点，与y轴交于点B，OB=4(点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点(

(1)分别求出点A、点B的坐标;

(2)求直线AB的解析式;

(3)若反比例函数y=的图象过点D，求k值;

(4)两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB、AO方向向B、O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设?POQ的面积为S，移动时间为t，问:S是否存在最大值,若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值;若不存在，请说明理由(

8((2012?湛江)如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上(O为原点，点A的坐标为(6，0)，点B的坐标为(0，8)(动点M从点

O出发(沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB 向终点B以每秒个单位的速度运动(当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒(t,0)(

(1)当t=3秒时(直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式; (2)在此运动的过程中，?MNA的面积是否存在最大值,若存在，请求出最大值;若不存在，请说明理由; (3)当t为何值时，?MNA是一个等腰三角形,

29((2012?云南)如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x轴于点P，交y 轴于点A(抛物线y=x+bx+c的图象过点E(,1，0)，并与直线相交于A、B两点(

(1)求抛物线的解析式(关系式);

(2)过点A作AC?AB交x轴于点C，求点C的坐标;

(3)除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得?MAB是直角三角形,若存在，请求出点M的坐标;若不存在，请说明理由(

10((2012?岳阳)我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm(锅口直径与锅盖直径视为相同)，建立直接坐标系如图?所示，如果把锅纵断面的抛物线的记为C，把锅盖纵断面的抛物线记为C( 12

(1)求C和C的解析式; 12

(2)如图?，过点B作直线BE:y=x,1交C于点E(,2，,)，连接OE、BC，在x轴上求一点P，使以点1

P、B、C为顶点的?PBC与?BOE相似，求出P点的坐标;

(3)如果(2)中的直线BE保持不变，抛物线C或C上是否存在一点Q，使得?EBQ 的面积最大,若存在，求12

出Q的坐标和?EBQ面积的最大值;若不存在，请说明理由(

211((2012?益阳)已知:如图，抛物线y=a(x,1)+c与x轴交于点A(，0)和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P'(1，3)处(

(1)求原抛物线的解析式;

(2)学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感:过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远;而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽(CD)的比非常接近黄金分割比

(约等于0.618)(请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少,(参考数据:，，结果可保留根号)

12((2012?义乌市)如图1，已知直线y=kx与抛物线y=交于点A(3，6)( (1)求直线y=kx的解析式和线段OA的长度;

(2)点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M(点M、O 不重合)，交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N(试探究:线段QM与线段QN的长度之比是否为定值,如果是，求出这个定值;如果不是，说明理由;

(3)如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上(与点O、A 不重合)，点D(m，0)是x轴正半轴上的动点，且满足?BAE=?BED=?AOD(继续探究:m 在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个,

13((2012?宜昌)如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1分别与两坐标轴交于B，A两点，C为该直线上的一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动，作等边?CDE，点D和点E都在x轴上，

2以点C为顶点的抛物线y=a(x,m)+n经过点E(?M与x轴、直线AB都相切，其半径为3(1,)a( (1)求点A的坐标和?ABO的度数;

(2)当点C与点A重合时，求a的值;

(3)点C移动多少秒时，等边?CDE的边CE第一次与?M相切,

214((2012?宜宾)如图，抛物线y=x,2x+c的顶点A在直线l:y=x,5上(

(1)求抛物线顶点A的坐标;

(2)设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D(C点在D点的左侧)，试判断?ABD的形状; (3)在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形,若存在，求点P的坐标;若不存在，请说明理由(

215((2012?扬州)已知抛物线y=ax+bx+c经过A(,1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴(

(1)求抛物线的函数关系式;

(2)设点P是直线l上的一个动点，当?PAC的周长最小时，求点P的坐标;

(3)在直线l上是否存在点M，使?MAC为等腰三角形,若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在，请说明理由(

16((2012?盐城)知识迁移

当a,0且x,0时，因为，所以x,+?0，从而x+?(当x=)是取等号)(

记函数y=x+(a,0，x,0)(由上述结论可知:当x=时，该函数有最小值为2( 直接应用

已知函数y=x(x,0)与函数y=(x,0)，则当x= _________ 时，y+y取得最小值为 _________ ( 1212

变形应用

2 已知函数y=x+1(x,,1)与函数y=(x+1)+4(x,,1)，求的最小值，并指出取得该最小值时相应的x12

的值(

实际应用

已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分，一是固定费用，共360元;二

是燃油费，每千米1.6元;三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为

0.001(设该汽车一次运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低,最低是多少元,

17((2012?盐城)在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=的图象经过点

A(2，0)和点B(1，,)，直线l经过抛物线的顶点且与t轴垂直，垂足为Q(

(1)求该二次函数的表达式;

(2)设抛物线上有一动点P从点B处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y随时

间(tt?0)的变化规律为y=,+2t(现11以线段OP为直径作?C(

?当点P在起始位置点B处时，试判断直线l与?C的位置关系，并说明理由;在点P运动的过程中，直线l与?C是否始终保持这种位置关系,请说明你的理由( ?若在点P开始运动的同时，直线l也向上平行移动，且垂足P的纵坐标y随

时间t的变化规律为y=,1+3t，则222当t在什么范围内变化时，直线l与?C相交,此时，若直线l被?C所截得的弦长为a，试求a的最大值(

18((2012?烟台)如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1，0)，C(3，0)，D(3，4)(以

2A为顶点的抛物线y=ax+bx+c过点C(动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动(同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动(点P，Q的运动速度均为每秒1

个单位(运动时间为t秒(过点P作PE?AB交AC于点E( (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式;

(2)过点E作EF?AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，?ACG的面积最大,最大值为多少, (3)在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内(包括边界)存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形,请直接写出t的值(

219((2012?孝感)如图，抛物线y=ax+bx+c(a，b，c是常数，a?0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，三个交点的坐标分别为A(,1，0)，B(3，0)，C(0，3)(

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;

(2)若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM?x轴于点M，求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标;

(3)若P为抛物线在第一象限上的一个动点，过点P作PQ?AC交x轴于点Q(当点P的坐标为 _________ 时，四边形PQAC是平行四边形;当点P的坐标为

_________ 时，四边形PQAC是等腰梯形(直接写出结果，不写求解过程)(

20((2012?襄阳)如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在

2OA边上的点E处(分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax+bx+c经过O，D，C三点(

(1)求AD的长及抛物线的解析式;

(2)一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C 时，两点同时停止运动(设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与?ADE相似,

(3)点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形,若存在，请直接写出点M与点N的坐标(不写求解过程);若不存在，请说明理由(

21((2012?湘潭)如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C

点，已知B点坐标为(4，0)(

(1)求抛物线的解析式;

(2)试探究?ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标;

(3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求?MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标(

22((2012?咸宁)如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为(0，4)，动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点(将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90?，得到线段AB(过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D(运动时间为t秒( (1)当点B与点D重合时，求t的值;

(2)设?BCD的面积为S，当t为何值时，S=,

2(3)连接MB，当MB?OA时，如果抛物线y=ax,10ax的顶点在?ABM内部(不包括边)，求a的取值范围(

23((2012?武汉)如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系(

(1)求抛物线的解析式;

(2)已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h(单位:米)随时间t(单位:时)的变化满足函数

2关系h=,(t,19)+8(0?t?40)，且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明:在这一时段内，需多少小时禁止船只通行,

224((2012?武汉)如图1，点A为抛物线C:y=x,2的顶点，点B的坐标为(1，0)直线AB交抛物线C于另11一点C

(1)求点C的坐标;

(2)如图1，平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D，交抛物线C于点E，平行于y轴的直线x=a交直线AB1

于F，交抛物线C于G，若FG:DE=4:3，求a的值; 1

(3)如图2，将抛物线C向下平移m(m,0)个单位得到抛物线C，且抛物线C的顶点为点P，交x轴于点M，122

交射线BC于点N(NQ?x轴于点Q，当NP平分?MNQ时，求m的值(

25((2012?无锡)如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒(A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点)(已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x(cm)(

(1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V;

(2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)面积S最大，试问x应取何值,

226((2012?温州)如图，经过原点的抛物线y=,x+2mx(m,0)与x轴的另一个交点为A(过点P(1，m)作直线PM?x轴于点M，交抛物线于点B(记点B关于抛物线对称轴的对称点为C(B、C不重合)(连接CB，CP( (1)当m=3时，求点A的坐标及BC的长;

(2)当m,1时，连接CA，问m为何值时CA?CP,

(3)过点P作PE?PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上,若存在，求出所有满足要求的m的值，并定出相对应的点E坐标;若不存在，请说明理由(

27((2012?潍坊)许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中非常现实的问题(某款燃气灶旋转位置从0度到90度(如图)，燃气关闭时，燃气灶旋转的位置为0度，旋转角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋转角度为90度(为测试燃气灶旋转在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水(当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，故选择旋钮角度x度的范围是18?x?90)，记录相关数据得到下表: 旋钮角度(度) 20 50 70 80 90

所用燃气量(升) 73 67 83 97 115

(2)当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少,最少是多少,

(3)某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气10立方米，求该家庭以前每月的平均燃气量(

28((2012?潍坊)如图，已知抛物线与坐标轴分别交于(,2，0)，B(2，0)，

C(0，,1)三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点(分别过点C、D(0，,2)作平行于x轴的直线l、l( 12(1)求抛物线对应二次函数的解析式;

(2)求证以ON为直径的圆与直线l相切; 1

(3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线l的距离之和等于线2

段MN的长(

229((2012?铜仁地区)如图已知:直线y=,x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax+bx+c经过A、B、C(1，0)三点(

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点D的坐标为(,1，0)，在直线y=,x+3上有一点P，使?ABO与?ADP相似，求出点P的坐标; (3)在(2)的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使?ADE的面积等于四边形APCE的面积,如果存在，请求出点E的坐标;如果不存在，请说明理由(

230((2012?天门)如图，抛物线y=ax+bx+2交x轴于A(,1，0)，B(4，0)两点，交y轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D，点P是抛物线上一动点(

(1)求抛物线解析式及点D坐标;

(2)点E在x轴上，若以A，E，D，P为顶点的四边形是平行四边形，求此时点P的坐标; (3)过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，若将?CPQ沿CP翻折，点Q的对应点为Q′(是否存在点P，使Q′恰好落在x轴上,若存在，求出此时点P的坐标;若不存在，说明理由(

答案与评分标准

一(解答题(共30小题)

21((2012?遵义)如图，已知抛物线y=ax+bx+c(a?0)的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为(3，,)(

(1)求抛物线的函数解析式及点A的坐标;

(2)在抛物线上求点P，使S=2S; ?POA?AOB

(3)在抛物线上是否存在点Q，使?AQO与?AOB相似,如果存在，请求出Q点的坐标;如果不存在，请说明理由(

考点: 二次函数综合题。

专题: 综合题。

分析: (1)根据函数经过原点，可得c=0，然后根据函数的对称轴，及函数图象经过点(3，,)可得出函数

解析式，根据二次函数的对称性可直接得出点A的坐标(

(2)根据题意可得点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2，代入函数解析式

可得出点P的横坐标;

(3)先求出?BOA的度数，然后可确定?QOA=的度数，继而利用解直角三角形的知识求出x，得出Q11

的坐标，利用二次函数图象函数的对称性可得出Q的坐标( 22解答: 解:(1)由函数图象经过原点得，函数解析式为y=ax+bx(a?0)，

又?函数的顶点坐标为(3，,)，

?，

解得:，

2故函数解析式为:y=x,x，

由二次函数图象的对称性可得点A的坐标为(6，0);

(2)?S=2S， ?POA?AOB

?点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2，

2代入函数解析式得:2=x,x，

解得:x=3+3，x=3,3， 12

即满足条件的点P有两个，其坐标为:P(3+3，2)，P(3,3，2)( 12 (3)存在(

过点B作BP?OA，则tan?BAP==，

故可得?BOA=30?，

2设Q坐标为(x，x,x)，过点Q作QF?x轴， 111

??OAB??OQA， 1

??QOA=30?， 1

2故可得OF=QF，即x=(x,x)， 1

解得:x=9或x=0(舍去)，

经检验得此时OA=AQ，?OQ1A是等腰三角形，且和?OBA相似( 1

即可得Q坐标为(9，3)， 1

根据函数的对称性可得Q坐标为(,3，3)( 2