1.4生活中的优化问题(2)教学设计

人教A版普通高中课程标准实验教科书

《数学》选修2-2

1.4生活中的优化问题（2）

——一节函数应用与数学建模课的教学设计

兰州六十三中郑江霞

1．对函数应用教与学的基本认识

1．1函数应用在教材中的定位与分析

函数应用在高中阶段进行的数学应用教学中，显然具有非常重要的地位．首先，函数是应用相当广泛的一个基本数学模型，它与现实世界、其他学科都有着非常密切的联系，在研究、解决问题的过程中发挥着非常重要的作用．特别是函数思想渗透的普遍联系的思维、认识观念对人们观察认识世界更是起到了非常重要的作用．

其次，从高中数学知识体系的安排来讲，函数的思想方法是贯穿于整个高中数学课程始终的，自然决定了函数应用在整个高中数学应用中的重要地位．在教材必修1第三章以“函数的应用”为学习内容，在选修2-2中第一章课题是“导数及其应用”，尤其是第四节以“生活中的优化问题”为学习内容，充分体现了函数应用在整个高中数学应用中的重要地位．

此外，函数应用的学习过程有利于激发学生的学习兴趣，认识函数与现实生活的联系，了解函数在现实生活中的价值．

最后，在高一阶段，函数应用是学生进入高中后，要学习的第一部分数学应用．在高二阶段，导数是高中数学的传统内容之一，是进一步学习数学和其他自然科学的基础，是研究现代科学技术必不可少的工具，尤其是“新课标”与以前的“大纲”相比，强调了对概念本质的认识（导数是刻画事物变化率的数学模型），提高了对应用性的要求，降低了对计算的要求，突出了导数作为一种重要的数学思想、方法的工具性．无论是从学生学习数学应用，还是从数学应用教学来讲，函数应用教学活动和学习活动展开的如何，将对整个高中数学应用的教学及学生的学习产生直接的影响．

1.2对函数应用的教学分析

（1）对加强函数应用教学的认识

对于中学生而言，数学知识和解决问题的能力所受局限性还很大，因此，在高中阶段，与要求解决实际问题的能力相比，使学生认识数学与实际的联系，体验数学在实际问题解决中的作用，培养学生数学应用的意识更为迫切和更具实际意义．这是因为学生一旦拥有了应用数学的意识，不论其学文还是学理，他所掌握的数学就有了升学以外的实际价值，甚至会促进其应工作需要求助哪些人或学

习哪些数学知识，解决工作面临的实际问题，这恰恰很好地体现了为学生终生发展奠定基础的核心目标．

（2）对数学建模课型的认识

数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程．它是数学学习的一种新的方式，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识．导数在解决实际问题中有着广泛的应用．导数是描述事物变化率的数学模型，任何与变化率有关的问题一般都可以用导数加以解决．教学中应注意选取一些生活中与变化率有关的问题，设计教学活动，引导学生运用导数思想、方法和相关知识加以解决，从而培养学生的应用意识和数学建模能力．

(3)对数学研究性学习的选题的认识

“生活中的优化问题”是具有实践意义的课题，研究过程中能找到很多适于进行研究性学习的材料，是能够培养学生综合能力和创新精神的选题．因此，我们一定要组织好这一部分的教学．学生通过作业实践，体会函数模型的建立过程，真实感受数学的应用价值．教师可指导学生分组完成，并认真小结，展示、表扬优秀的作业，并借以充实自己的教学案例．通过课题作业的教学，能进一步巩固所学知识，让学生学会从生活中发现问题，培养学生运用已学函数知识解决实际问题的能力，以及用数学语言表达研究过程和研究结果的能力．

1.3函数应用的学情分析

通过高一对基本初等函数的学习，学生对函数刻画现实问题已经有了一定的了解，但是对应用函数模型研究分析现实问题的价值认识还很不够，也缺少运用函数模型的意识．高二学习了导数这一描述事物变化率的数学模型后，学生具备了更有效的处理函数问题的工具，应在实践中加强认识．

1.4函数应用的教学目标

（1）知识与技能

①能够找出实际问题中的函数关系式，体会应用函数模型解决实际问题；

②收集一些社会生活中普遍使用的函数模型的实例，了解函数模型的广泛应用；

③能够利用导数工具解决函数应用问题，体会导数方法的优越性．

（2）过程与方法

①感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数模型在数学和其他学科中的重要性；

②在函数的应用中培养学生的观察能力、抽象概括能力及分析问题和解决问题的能力；

③在小组合作学习过程中，培养协作意识，交流沟通能力，语言表达能力等．

（3）情感、态度与价值观

①体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些实际问题的实用价值；

②在用数学解决问题的实践中，体验数学建模的过程，了解数学建模的意义，促进学生发展数学应用意识；

③以函数应用的价值激励学生学习数学的兴趣，在集中尝试用数学解决实际问题中，增强解决问题的自信心；

④以数学的眼光观察生活、社会与自然的过程中，使学生更加热爱生活，使生活更加有情趣．

（4）活动与探究

①体验小组合作学习方式，经历“选题——分组——分配任务——收集资料——确定方案——交流评比”等各环节，体会数学建模的思想方法；

②在方程与函数的联系中，体验数学中的转化思想、分类思想和数形结合思想的意义和价值；

③通过函数应用的学习，促使学生认识到函数模型是非常有价值的数学模型，增强数学应用的意识，深化学生对函数概念及性质的理解，提高运用函数解决实际问题的能力．

2．教学过程设计

2.1 引入

从前面的学习中，我们已经了解到现实中存在着很多的变化的量，其中有些变量之间存在着函数的关系，许多问题一旦认定是函数关系，就可以通过研究函数性质来把握问题，使问题得到解决．因此，函数模型是应用最为广泛的数学模型之一．

导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，

主要有以下几个方面：与几何有关的最值问题；与物理学有关的最值问题；与利润及其成本有关的最值问题；效率最值问题．

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系．再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

2．2问题解决

各小组以下面表格所列顺序汇报实习作业完成情况：

评委评价打分项目见附表

设计意图：让学生通过收集现实生活中普遍使用的函数模型实例，去了解函数模型的广泛应用，这可以使学生在亲自经历上述过程中，更好地认识数学，认识数学的价值．此外，这样的学习过程也符合学生的认知规律，对于激发学生的学习兴趣，发挥学生学习的主动性，提高学习效率都将是十分有益的．2．3课堂小结

指导学生从以下几方面做课堂小结：

（1）用函数研究实际问题用到了哪些函数的相关知识和方法；

（2）所学初等函数及函数性质在研究实际问题中的作用和意义；

（3）用函数研究实际问题需注意的问题；

（4）在用函数模型解决实际问题中，即用导数解决优化问题的基本流程是什么？学到了哪些有效的方法？

设计意图：对课堂学习活动进行及时的反思和总结，吸取应用函数解决问题的经验，巩固本节课的学习成果．

2．4课后作业

提示学生可就本节课涉及的问题的实际背景，做进一步研究，尝试对已提出问题进一步搜集资料，提出自己的问题，并进行研究解决；或提出新的问题，进行研究解决；也可以考虑尝试用函数研究实际问题的方法，研究感兴趣的某些实际问题．

设计意图：上完课不等于问题的解决和研究的结束，希望以这两节函数应用课打开学生的视野，引领学生自己去应用函数知识去发现提出新的问题并进行研究，为部分同学在课外进行的数学建模活动提供一些出口．

3．教后反思：

有关教师专业化发展理论指出，教师的专业能力主要由教学设计能力、教学实践能力和教学反思能力组成．教学设计是教师的基本功，是教师为达到教学目标而对课堂教学的过程与行为所进行的系统规划．而教后反思则促使教师反思对课堂把握的程度及课堂教学效果是否理想，从而对以后的教学起到更好的指导作用，因此教后反思也成为教学设计不可或缺的一部分。

附表：对学生进行研究性学习，及汇报交流学习成果的过程的评价表

总评及名次

1.4生活中的优化问题（2）

——一节函数应用与数学建模课的教学反思

兰州六十三中郑江霞

1．如何评价建模结果呢？

主要看以下几个方面：①选题：最好来自自己的观察、来自自己的体验、来自自己学习、生活实践；②建模：分析、假设合理，模型对应恰当，结果评价得当；③数学知识、方法：运用的合理、到位，不过分，不造作；④结果：有创新点，有自己的独到的见解，又有应用价值。

2.如何评价学生在数学建模中的表现呢？

一定要重过程、重参与，不要苛求数学建模过程的严密、结果的准确，评价内容应关注以下几个方面：①创新性：问题的提出和解决的方案有新意；②现实性：问题来源于学生的现实；③真实性：确实是学生本人参与制作的，数据是真实的;④合理性：建模过程中使用的数学方法得当，求解过程合乎常理；⑤有效性：建模的结果有一定的实际意义。当然以上几个方面不必追求全面，只要有一项做得比较好就应该给予肯定。

3.学生在数学建模活动中有什么收获呢？

数学建模是运用数学思想方法和知识解决实际问题的过程，已经成为不同层次数学教育重要和基本的内容，当然，在现在的中学数学教育中的地位和作用更加重要。通过这次活动，促使学生学会用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中的数学问题，进而形成勇于探索，敢于创新的科学精神。更重要的是以建模为载体，使学生获得适应未来生活和进一步发展所必需的数学事实以及基本思想方法和必要的应用技能。从学生提交的选题题目来看就很丰富，从燃料消耗、运费、成本利润、建筑（帐篷、盲道等）、视角等各个领域发现问题，解决问题，从学生的访谈中也感受到他们“学以致用”后的喜悦心情。

4．数学教学如何推动学生走向创新？

这次活动告诉我们，通过作业创新的方式就能将探索和解决问题的“场”扩展到课外。生活离不开数学，数学离不开生活，数学知识源于生活而最终服务于生活。把数学与学生的实际生活联系起来，可以让学生看到生活中处处充满数学，学生学起来也亲切。此类活动大大激发了学生学习数学、应用数学的兴趣。

5．课题设计如何找到与新课程理念的契合点？

新课标关注的数学课程目标包括数学素养、数学知识与技能、数学思考能力、解决问题的方法、情感与态度，注重学生经验、学科知识和社会发展三方面内容的整合，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。

在平时教学中，我注重激发学生学习数学的好奇心，不断追求新知，从而启发学生能够发现问题和提出问题。在进行研究性学习以及完成小论文的过程中，培养学生独立思考能力，学会分析问题和创造性地解决问题，使数学教学成为再创造、再发现的教学。教材中的实习作业和研究性课题为创新意识和实践能力的培养提供了一个机会，我们在教学中加以实施，从而培养学生具有良好的个性品质，即：正确的学习目的，学习数学的兴趣、信心和毅力，实事求是的科学态度，勇于探索创新的精神。

我们常常对学生说：数学会给你一双慧眼，只要留心观察就会发现生活中处处有数学问题。这次活动使我们体会到：学生的创造潜力是很大的。