理想气体的热力过程及气体压缩
合集下载
第四章 理想气体的热力过程及气体压缩
b）各级耗功相等，利于曲轴平衡,总耗功 wC mwC,i
c）各级散热相同，而且每级的中间冷却器向外放 出的热量也相等 d）对提高整机容积效率v有利
三、压气机的效率
【
定温压缩效率
c.T
ws.T ws
-
例 4
5
绝热压缩效率
c.s
ws.s ws.s
压缩前气体的状态相同，压
T
2
】
2' p1
缩后气体的压力相同
趋势
u,h↑(T↑) w↑(v↑) wt↑(p↓) q↑(s↑)
p
h>0 u>0
q>0
w>0
T
h>0
w>0
n0
u>0
n0
wt>0
n 1 wt>0
nk
n
n 1
q>0
n
v
nk s
p-v,T-s图练习（1）
压缩、升温、放热的过程，终态在哪个区域？
p
T
n0
n0
n
n 1 nk
v
n
n 1
nk s
p-v,T-s图练习（2）
p2
c.s
h1 h2 h1 h2
c.s
T1 T2 T1 T2
1
s
小
结
多变过程在p-v图、T-s图上的表示及其综合分析 （会计算状态参数变化，焓、熵、内能的变化， 以及过程中各种功量和热量）
压气机(理论轴功、余隙容积、容积效率、 级间压力）
表4-1
第四章作业 第4-9、4-10、4-15题
2
1
WC p1V1 pdV p2V2
1
WC=Wt=Ws=
c）各级散热相同，而且每级的中间冷却器向外放 出的热量也相等 d）对提高整机容积效率v有利
三、压气机的效率
【
定温压缩效率
c.T
ws.T ws
-
例 4
5
绝热压缩效率
c.s
ws.s ws.s
压缩前气体的状态相同，压
T
2
】
2' p1
缩后气体的压力相同
趋势
u,h↑(T↑) w↑(v↑) wt↑(p↓) q↑(s↑)
p
h>0 u>0
q>0
w>0
T
h>0
w>0
n0
u>0
n0
wt>0
n 1 wt>0
nk
n
n 1
q>0
n
v
nk s
p-v,T-s图练习（1）
压缩、升温、放热的过程，终态在哪个区域？
p
T
n0
n0
n
n 1 nk
v
n
n 1
nk s
p-v,T-s图练习（2）
p2
c.s
h1 h2 h1 h2
c.s
T1 T2 T1 T2
1
s
小
结
多变过程在p-v图、T-s图上的表示及其综合分析 （会计算状态参数变化，焓、熵、内能的变化， 以及过程中各种功量和热量）
压气机(理论轴功、余隙容积、容积效率、 级间压力）
表4-1
第四章作业 第4-9、4-10、4-15题
2
1
WC p1V1 pdV p2V2
1
WC=Wt=Ws=
理想气体的热力学过程
6
dV d p 0 V p
式中
Cp CV
, 在温度变化不很大时，可以看作常量。
将上式积分，得
ln V + ln p = 恒量
pV γ 恒量 或 这个关系称为泊松 (S.D.Poisson)公式。
根据泊松公式和理想气体物态方程, 可以分别得到
TV γ 1 恒量
T γ pγ 1 恒量
Qp = H 气 H水
= (2676.3103 419.06103 ) Jkg1
= 2257.2103 Jkg1
16
17
经绝热过程压缩气体做的功：
CV 20.44J mol K
1
1
m 4 A CV T2 T1 4.70 10 J M
在等压过程中，系统从外界获得的热量，一部分用 以增大内能，一部分用以对外作功。 三、等温过程 (isothermal process) 等温过程 特征: 过程方程: 系统的温度保持恒定的过程。 T=0
p1V1 p2V2
p p1
T=恒量
恒温热源
1(p1,V1,T)
过程曲线:
内能增量：
等温线为等轴双曲线。
=1.40，可得：
p2 T2 T1 p 1
1 /
1 300 50
0.286
98.0K
19
例6 一定质量的理想气体先后经历 P 两个绝热过程即1态到2态，3态到4
态(如图所示)且T1=T3、T2=T4，在 1态与3态，2态与4态之间可分别连 接 两 条 等 温 线 。 求 证 ：
考虑到 T1=T3，T2=T4，
T2 V1 1 2 T1 V2
工程热力学必须掌握的内容
Liso T0 Siso
第七章 水蒸气
一、汽化和液化
汽化：由液态到气态的过程 蒸发：在液体表面进行的汽化过程 沸腾：在液体表面及内部进行的强烈汽化过程。
(气体和液体均处在饱和状态下)
液化：由气相到液相的过程
二、饱和状态
饱和压力和饱和温度是一一对应的，两者 间存在单值关系。
从未饱和液状态达到饱和状态既可以保持压力不变 而提高温度，使p=ps(t) ；保持温度不变而使压力下 降，使t=ts(p)。
则该热机是可逆热机； 则该热机是不可逆热机； 则该热机是制造不出来的。
四、克劳修斯积分不等式
T
q
0
一切可逆循环的克劳修斯积分等于零，一切 不可逆循环的克劳修斯积分小于零，任何循 环的克劳修斯积分都不会大于零。 可以利用来判断一个循环是否能进行，是可
逆循环，还是不可逆循环。
五、闭口系统熵方程
s ds
1
2
c p ln
T2 p R ln 2 T1 p1
p2 v2 cV ln c p ln p1 v1
δq ds T R
必须可逆
第四章 理想气体 的热力过程及气体压缩
一、多变过程
1. 过程方程：
pvn const
n 称为多变指数
n 、0、1、 分别为定容、定压、定温、绝热过程
2、什么样的气体可以处理为理想气体？
任何实际气体在高温低压时，均具有理想气体 性质。
3、理想气体状态方程
pv RT pV mRT pVm R 0T pV nR0T
1 kg 理想气体 m kg 理想气体 1 mol 理想气体 n mol 理想气体
R为气体常数（单位J/kg· K），与气体所处的状态无 关，随气体的种类不同而异。 R0为通用气体常数（单位J/mol· K），与气体种类无 关、 与状态无关 、 与过程无关。
工程热力学(第五版)第4章练习题
第4章 理想气体热力过程及气体压缩4．1 本章基本要求熟练掌握定容、定压、定温、绝热、多变过程中状态参数p 、v 、T 、∆u 、∆h 、∆s 的计算，过程量Q 、W 的计算，以及上述过程在p -v 、T -s 图上的表示。
4．2 本章重点结合热力学第一定律，计算四个基本热力过程、多变过程中的状态参数和过程参数及在p -v 、T -s 图上表示。
本章的学习应以多做练习题为主，并一定注意要在求出结果后，在p -v 、T -s 图上进行检验。
4．3 例 题例1．2kg 空气分别经过定温膨胀和绝热膨胀的可逆过程，如图4.1，从初态1p =9.807bar,1t =300C ο膨胀到终态容积为初态容积的5倍，试计算不同过程中空气的终态参数，对外所做的功和交换的热量以及过程中内能、焓、熵的变化量。
图4.1解：将空气取作闭口系对可逆定温过程1-2，由过程中的参数关系，得bar v v p p 961.151807.92112=⨯==按理想气体状态方程，得111p RT v ==0.1677kg m /3 125v v ==0.8385kg m /312T T ==573K 2t =300C ο气体对外作的膨胀功及交换的热量为1211lnV V V p Q W T T ===529.4kJ 过程中内能、焓、熵的变化量为12U ∆=0 12H ∆=0 12S ∆=1T Q T=0.9239kJ /K 或12S ∆=mRln12V V =0.9238kJ /K 对可逆绝热过程1-2′, 由可逆绝热过程参数间关系可得kv v p p )(211'2= 其中22'v v ==0.8385kg m /3 故 4.12)51(807.9'=p =1.03barRv p T '''222==301K '2t =28C ο气体对外所做的功及交换的热量为)(11)(11'212211T T mR k V p V p k W s --=--==390.3kJ 0'=s Q过程中内能、焓、熵的变化量为kJ T T mc U v 1.390)(1212''-=-=∆或kJ W U 3.390212'-=-=∆kJ T T mc H p 2.546)(1212''-=-=∆ '12S ∆=0例2. 1kg 空气多变过程中吸取41.87kJ 的热量时，将使其容积增大10倍，压力降低8倍，求：过程中空气的内能变化量，空气对外所做的膨胀功及技术功。
《热力学》理想气体的热力过程
p2 p1
v1 v2
n
T2 T1
v1 v2
n1
T2 T1
p2 p1
(n1) / n
n lnp2 lnp1 lnv2 ln v1
(2)利用已知或可求的与n有关的能量求解
2020年10月20日
第四章 理想气体的热力过程
28
例4-3（p80） 有一台空气压缩机，压缩前空气的温度为27 ℃、 压力为0.1 MPa，气缸的容积为5 000 cm3；压缩后空气的温度升 高到213 ℃。压缩过程消耗的功为1.166 kJ。试求压缩过程的多变 指数n。
15
（2）图表法 由
ds
cp0
dT T
Rg
dp p
对可逆绝热过程可得
ln
p2 p1
1 Rg
T2
T1
c
p
0
dT T
A:利用热力性质表中的标准状态熵
ln
p2 p1
1 Rg
T1
T0
c
p
0
dT T
c T2
T0
p0
dT T
1 Rg
s0 T2
s0 T1
T2 工质的热力性质表中还提供了u与h的数值。
2020年10月20日
第四章 理想气体的热力过程
19
例4-2 (p76) 一台燃气轮机装置，从大气吸入温度为17 ℃、压 力为0.1 MPa的空气，然后在压气机中进行绝热压缩，使空气 的压力提高到0.9MPa。试求压气机消耗的轴功：(1)按定值比 热容计算；(2)按空气热力性质表计算。
思路：
定值比热容
2020年10月20日
第四章 理想气体的热力过程
14
变比热容分析
工程热力学第四章理想气体热力过程
详细描述
03
CHAPTER
等容过程
等容过程是指气体在变化的整个过程中，其容积保持不变的过程。
定义
特点
适用场景
气体在等容过程中，气体温度和压力会发生变化，但容积保持不变。
等容过程常用于高压、高温或低温等极端条件下的气体处理。
03
02
01
等容过程定义
在等容过程中，气体吸收的热量等于气体所做的功和气体温度升高所吸收的热量之和。
多变过程的具体形式取决于气体所经历的压力和温度的变化规律。
多变过程定义热力学第一定律 Nhomakorabea热力学第二定律
理想气体状态方程
热效率
多变过程的热力学计算
01
02
03
04
能量守恒定律，用于计算多变过程中气体吸收或释放的热量。
熵增原理，用于分析多变过程中气体熵的变化。
描述气体压力、体积和温度之间的关系，可用于多变过程的计算。
衡量多变过程能量转换效率的指标，通过比较输入和输出的热量来计算。
提高热效率的方法
优化多变过程参数，如压力和温度的变化规律，以减少不可逆损失和提高能量转换效率。
热效率与熵增的关系
根据熵增原理，不可逆过程会导致熵的增加，从而降低热效率。因此，减少不可逆损失是提高多变过程热效率的关键。
热效率计算公式
$eta = frac{Q_{out}}{Q_{in}}$，其中$Q_{out}$为输出热量，$Q_{in}$为输入热量。
计算公式
通过优化气体的初态和终态，以及选择合适的加热和冷却方式，可以提高等容过程的热效率。同时，也可以通过改进设备结构和操作方式来提高热效率。
提高热效率的方法
等容过程的热效率
04
CHAPTER
03
CHAPTER
等容过程
等容过程是指气体在变化的整个过程中，其容积保持不变的过程。
定义
特点
适用场景
气体在等容过程中，气体温度和压力会发生变化，但容积保持不变。
等容过程常用于高压、高温或低温等极端条件下的气体处理。
03
02
01
等容过程定义
在等容过程中，气体吸收的热量等于气体所做的功和气体温度升高所吸收的热量之和。
多变过程的具体形式取决于气体所经历的压力和温度的变化规律。
多变过程定义热力学第一定律 Nhomakorabea热力学第二定律
理想气体状态方程
热效率
多变过程的热力学计算
01
02
03
04
能量守恒定律，用于计算多变过程中气体吸收或释放的热量。
熵增原理，用于分析多变过程中气体熵的变化。
描述气体压力、体积和温度之间的关系，可用于多变过程的计算。
衡量多变过程能量转换效率的指标，通过比较输入和输出的热量来计算。
提高热效率的方法
优化多变过程参数，如压力和温度的变化规律，以减少不可逆损失和提高能量转换效率。
热效率与熵增的关系
根据熵增原理，不可逆过程会导致熵的增加，从而降低热效率。因此，减少不可逆损失是提高多变过程热效率的关键。
热效率计算公式
$eta = frac{Q_{out}}{Q_{in}}$，其中$Q_{out}$为输出热量，$Q_{in}$为输入热量。
计算公式
通过优化气体的初态和终态，以及选择合适的加热和冷却方式，可以提高等容过程的热效率。同时，也可以通过改进设备结构和操作方式来提高热效率。
提高热效率的方法
等容过程的热效率
04
CHAPTER
理想气体热力过程及气体压缩
压缩 4． 1 基本热力过程一、一般分析法 1．建立
过程方程依据：过程方程线 p=f(v)2．确定初终 状态参数依据：状态方程 3．p-v 图与 T-s 图分 析 4．求传递能量，依据能量方程：Q-W=U 二、 参数关系式及传递能量（见下表）4．2 多变过程 已知某多变过程任意两点参数 ，求 n 一、多变过
轴功全部转化成热能向外放出.=2． 定熵压缩轴 功的计算,按稳态稳流能量方程 ，绝热压缩消耗 的轴功全部用于增加气体的焓 ， 使气体温度升 高 ，该式也适用于不可逆过程 3． 多变压缩轴功 的计算按稳态稳流能量方程 ， 多变压缩消耗的轴 功部分用于增加气体的焓 ，部分对外放热 ，该式 同样适用于不可逆过程结论 :可见定温过程耗功 最少 ，绝热过程耗功最多 4．4 多级压缩及中间 冷却由即：压力比越大 ，其压缩终了温度越高 ， 较高的压缩气体常采用中间冷却设备 ，称多级压 气机.最佳增压比： 使多级压缩中间冷却压气机
出和吸收热量相等.4．5 活塞式压气机余隙影响 一 、余隙对排气量的影响余隙：为了安置进 、排 气阀以及避免活塞与汽缸端盖间的碰撞 ，在汽缸 端盖与活塞行程终点间留有一定的余隙 ，称为余 隙容积 ，简称余隙活塞式压气机的容积效率：活 塞式压气机的有效容积和活塞排量之比 ，结论： 余隙使一部分汽缸容积不能被有效利用 ，压力比 越大越不利 。二 、余隙对理论压缩轴功的影响式 中： 为实际吸入的气体体积 。结论：不论压气机 有无余隙 ，压缩每 kg 气体所需的理论压缩轴功 都相同 ，所以应减少余隙容积 。本章重点结合热
p1=1bar ，t1=5℃ 。若对 A 中的气体缓慢加热（电 热），使气体缓慢膨胀 ，推动活塞压缩 B 中的气 体，直至 A 中气体温度升高至 127℃ 。试求过程 中 B 气体吸取的热量 。设气体 kJ/(kmol·K)， kJ/(kmol·K) 。气缸与活塞的热容量可以忽略不 计。
过程方程依据：过程方程线 p=f(v)2．确定初终 状态参数依据：状态方程 3．p-v 图与 T-s 图分 析 4．求传递能量，依据能量方程：Q-W=U 二、 参数关系式及传递能量（见下表）4．2 多变过程 已知某多变过程任意两点参数 ，求 n 一、多变过
轴功全部转化成热能向外放出.=2． 定熵压缩轴 功的计算,按稳态稳流能量方程 ，绝热压缩消耗 的轴功全部用于增加气体的焓 ， 使气体温度升 高 ，该式也适用于不可逆过程 3． 多变压缩轴功 的计算按稳态稳流能量方程 ， 多变压缩消耗的轴 功部分用于增加气体的焓 ，部分对外放热 ，该式 同样适用于不可逆过程结论 :可见定温过程耗功 最少 ，绝热过程耗功最多 4．4 多级压缩及中间 冷却由即：压力比越大 ，其压缩终了温度越高 ， 较高的压缩气体常采用中间冷却设备 ，称多级压 气机.最佳增压比： 使多级压缩中间冷却压气机
出和吸收热量相等.4．5 活塞式压气机余隙影响 一 、余隙对排气量的影响余隙：为了安置进 、排 气阀以及避免活塞与汽缸端盖间的碰撞 ，在汽缸 端盖与活塞行程终点间留有一定的余隙 ，称为余 隙容积 ，简称余隙活塞式压气机的容积效率：活 塞式压气机的有效容积和活塞排量之比 ，结论： 余隙使一部分汽缸容积不能被有效利用 ，压力比 越大越不利 。二 、余隙对理论压缩轴功的影响式 中： 为实际吸入的气体体积 。结论：不论压气机 有无余隙 ，压缩每 kg 气体所需的理论压缩轴功 都相同 ，所以应减少余隙容积 。本章重点结合热
p1=1bar ，t1=5℃ 。若对 A 中的气体缓慢加热（电 热），使气体缓慢膨胀 ，推动活塞压缩 B 中的气 体，直至 A 中气体温度升高至 127℃ 。试求过程 中 B 气体吸取的热量 。设气体 kJ/(kmol·K)， kJ/(kmol·K) 。气缸与活塞的热容量可以忽略不 计。
第三章__理想气体热力性质及过程
容积成分： i
Vi V
， i
1
摩尔成分： xi
ni n
， xi
1
换算关系：
i xi
i
xi M i xi M i
xi M i M eq
xi Rg,eq Rg ,i
，
xi
i Rg,i
Rg ,e q
分压力的确定：
由
piV=ni RT PVi=ni RT
ppi V Vi i ,
2
u 1 cVdT
如果取定值比热或平均比热，又可简化为
二、焓
ucVT
也可由热Ⅰ导得 d h(cVRg)dT cpdT
同理，有
2
h 1 cpdT
hcpT
结论：理想气体的u、h 均是温度的单值函数。
三、 熵变的计算
由可逆过程
ds du pd
T
ds du
cp
Rg 1
三、 真实比热容、平均比热容和定值比热容
1. 真实比热容（精确，但计算繁琐）
cpa0a 1 Ta2T2a3 T3
c V (a 0 R g) a 1 T a 2 T 2 a 3 T 3
qp
2 1
cpdt
2
q 1 cdt
2. 平均比热容（精确、简便）
cV
ln
T2 T1
Rg
ln
2 1
s
c
p
ln
T2 T1
Rg
ln
p2 p1
s
c
p
ln
2 1
cV
ln
p2 p1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
wt
2
vdp
1
2 1
vpdv p
RgT1 ln
p2 p1
q u w h wt q w wt
17
4.3 定熵过程
1、定义
可逆 ds qrev
T
绝热
ds 0 S
说明: 不能说绝热过程就是定熵过程, 必须是可逆绝热过程才是定熵过程。
2 定熵过程方程
pvk 常数
q du pdv cV dT pdv 0
( pv)vk1
RTv p1v1 p2v2
T1
T2
k 1
const
T2 ( v1 )k1
T1 v2
pvk
pkvk T2 k1p2v2
pT1 p1v1
(Rp Tpkp21)1k1
1
k 1
kcoppn21 stk
4、等熵过程在坐标图上表示
p2 ( v1 )k p1 v2 T2 ( v1 )k1 T1 v2
？？？
15
（3）求定温过程Δu、 Δh和Δs
u 0
h 0
s
c
p
ln
T2 T1
R ln
p2 p1
R ln p2 R ln p1
p1
p2
s
cV
ln
T2 T1
R ln
v2 v1
R ln v2 v1
16
（4）求定温过程中的热量和功量
w
2
pdv
1
2 1pvdv v来自RgT1lnv2 v1
理想气体可逆绝热膨 胀时，p和T都降低。
21
5、等熵过程Δu、 Δh和Δs
若cV、c
为定值比热容，则
p
u cV T cV (T2 T1)
h cpT cp (T2 T1)
s 0
22
6、等熵过程w，wt和q
w
2
pdv
1
2 1
C vk
dv
2 1
p1v1k
dv vk
p1v1k
k
（n 1）状态参数v1 间 的v2 关系
v1
RgT1 p1
v2
RgT2 p2
p1 p2 T1 T2
p2 T2 p1 T1
（2）热力过程在坐标图上表示
8
（3）定容过程Δu、 Δh和Δs
若cV
、c
为定值比热容，则
p
u cV T cV (T2 T1)
h cpT cp (T2 T1)
s
cV
ln
T2 T1
R ln
v2 v1
cV
ln
T2 T1
9
（4）定容过程中的功量和热量
q u w u V
2、定压过程（p=常数）
（1n）状0态参p数1 间 的p2关系
p1
RgT1 v1
p2
RgT2 v2
v1 v2 T1 T2
（2）热力过程在坐标图上表示
11
定容过程：
q du w cV dT pdv cV dT
由于T pv , 代入上式得： R
cV
d(
pv ) R
pdv
cV
pdv vdp pdv 0 R
即（cV R) pdv cV vdp 0
或cp pdv cV vdp 0
两边同除以cV pv
cp dv dp 0 cV v p
k cp cV
如果近似的把比热容当作定 值，则比热容比也是定值。
即Tds cV dT dT T ds cV
c p cV
定压过程： q dh wt c pdT vdp c pdT
即Tds c pdT dT T ds cp
定容线的斜率大于定压线的斜率，即定容线
比定压线陡。
12
（3）求定压过程Δu、 Δh和Δs
若cV
、c
为定值比热容，则
p
u cV T cV (T2 T1)
（3）过程Δu、 Δh和Δs （4）过程中的功量和热量
4.1 研究热力过程的目的及一般方法
1、研究热力过程的目的
➢ 实现预期的能量转化，合理安排热力过程，从 而提高动力装置的热经济性。
➢ 对确定的过程，也可计算热、功多少。
2、研究热力过程的步骤 求出过程方程p=f(v)及计算各过程初、终态参数。 计算过程中的内能、焓、熵的变化
uhf1(Tcp)dT h f (uT) 1 cV dT
2
s 1
若c
为定值比热容，则
p
q
T
s
cp
ln
T2 T1
R ln
p2 p1
若cV 为定值比热容，则
s
cV
ln
T2 T1
R ln
v2 v1
(3)可逆过程 w pdv q Tds
wt vdp
4.2 定容、定压和定温过程
1、定容过程（v=常数）
第四章 理想气体的热力过程及气体压缩
本章目录
4.1 研究热力过程的目的及一般方法 4.2 定容、定压和定温过程 4.3 定熵过程 4.4 多变过程 4.5 压气机的热力过程 4.6 活塞式压气机余隙容积的影响 4.7 多级压缩及中间冷却
对每个热力过程，都是从以下几方面来分析的： （1）过程方程、状态参数间的关系 （2）热力过程在坐标图上表示
h cpT cp (T2 T1)
s
c
p
ln
T2 T1
R ln
p2 p1
c
p
ln
T2 T1
（4）求定压过程中的热量和功量
2
qp h 1 vdp h h2 h1
3、定温过程
（1n）状1态参数T1间的T2关系
T1
p1v1 Rg
T2
p2v2 Rg
p1 v1 p2v2
（2）热力过程在坐标图上表示
确定过程中功和热转化的数量关系。
画出过程的p-v图及T-s图，帮助直观分析过程中 参数间关系及能量关系。 3、研究热力过程的方法和依据 热一律解析式，可逆过程
理想气体性质
5
(1)热一律
q du w dh wt
q
h
1 2
c2
gz
ws
(2) 理想气体
pv RT
2
cp cv R
2
k cp cv
1
1
1 v1k 1
1 v2 k 1
p1v1
1
k 1
v1 v2
k1
p1v1 k 1
1
T2 T1
k
R
1
T1
T2
RT1 k 1
1
p2 p1
k 1
k
或 w q u
0
23
wt q h
0
q0
24
4.4 多变过程
1、过程方程
pvn 常数
n—多变指数，不同的多变过程有不同的n值，每个n值代表一个多变过 程。其中当n取以下几种数值时，将代表理想气体的四个典型热力过程。
k ln v ln p 常数 ln pvk 常数 pvk 常数
三个条件: (1)理想气体 (2)可逆过程
(3) k —比热容比或绝热指数，为常数。
3、理想气体 s 的各参数之间的关系
pvk const
Tvk1 const
1
v1 v2
p2 p1
k
p2 ( v1 )k
p1 v2
pvk
(1) 当 n = 0时 ， pv0 p C
p
(2) 当 n = 1时 ， pv C,或T C
T
(3) 当 n = k时 ， pvk C
S
1
(4) 当 n = ±∞时 ， p n v p0v C