函数的零点
函数零点的概念
函数零点的概念
函数零点是一种非常重要的概念，用于解释复杂的数学函数。
它是一种特殊的解，它可以帮助我们理解函数的特性，并预测函数可能出现的曲线。
函数零点可以被函数本身、函数零点所在的性质以及函数对应的几何意义来解释。
一般来说，函数零点是函数的一个特殊点。
它是一个函数的特殊点，这个特殊点的函数值为0.0，我们把这个特殊点叫做函数零点。
通常当函数满足一些特定的几何性质时，函数零点就会出现。
函数零点有很多种，其中最常用的是定义在实数域上的函数零点。
实数域上的函数零点可以用数学方法求解，也可以用解析函数解析求得。
实数域上的函数零点也可以用图像法求得，但是这种方案只能用来探索函数零点的性质，不能求得函数零点的精确值。
此外，实数域上的函数零点还可以通过求导和极值的方法求得，求导可以得到函数的斜率，从而可以确定函数的零点；而极值可以求得函数的极大值和极小值，由于函数的值在极值的点的左右附近都在变动，因此也可以用来推测函数零点的位置。
而除了实数域上的函数零点，还有复数域上的函数零点等一些特殊的函数零点。
函数零点对于函数的研究和分析有着重要的意义，它可以让我们更好地分析函数，并预测函数可能出现的曲线。
函数零点也是很多科学研究中用到的重要概念，因此，了解函数零点的概念十分有必要。
总的来说，函数零点是一种非常重要的概念，可以帮助我们理解函数的性质，并预测函数可能出现的曲线。
它可以帮助我们更好地分
析函数，并且在科学研究中也非常有用，因此，了解函数零点的概念十分重要。
函数零点的判定定理
函数零点的判定定理
【知识点的知识】
1、函数零点存在性定理：
一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．
特别提醒：
（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．
（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．
（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．
2、函数零点个数的判断方法：
（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：
①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；
②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．
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函数的零点复习
知识点二、二分法求方程的近似解
1、二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)· f(b)＜0 的函数 y＝f(x)，通过 不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得 到零点近似值的方法叫做二分法． 2、给定精确度 ε，用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下： ①确定区间[a，b]，验证 f(a)· f(b)＜0，给定精确度 ε； ②求区间(a，b)的中点 c； ③计算 f(c)； (ⅰ)若 f(c)＝0，则 c 就是函数的零点； (ⅱ)若 f(a)· f(c)＜0，则令 b＝c(此时零点 x0∈(a，c))； (ⅲ)若 f(c)· f(b)＜0，则令 a＝c(此时零点 x0∈(c，b))． ④判断是否达到精确度 ε.即：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复步骤 ②③④.
9．某产品的总成本 y(万元)与产量 x(台)之间的函数关系是 y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜ 240，x∈N*)，若每台产品的售价为 25 万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成 本)的最低产量是 A．100 台 B．120 台 C．150 台 D．180 台 ( )
10．某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10
)
7．若方程 a x x a 0 有两个解，则实数 a 的取值范围是 A． (1, ) B． (0,1) C． (0, )
8．如下图△ABC 为等腰直角三角形，直线 l 与 AB 相交且 l⊥AB，直线 l 截这个三角形所 得的位于直线右方的图形面积为 y，点 A 到直线 l 的距离为 x，则 y=f（x）的图象大致 为 ( )
D．(3,4)
有关二次函数的零点问题
高中数学讲义：零点存在的判定与证明
零点存在的判定与证明一、基础知识：1、函数的零点：一般的，对于函数()y f x =，我们把方程()0f x =的实数根0x 叫作函数()y f x =的零点。
2、零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ×<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内必有零点，即()0,x a b $Î，使得()00f x =注：零点存在性定理使用的前提是()f x 在区间[],a b 连续，如果()f x 是分段的，那么零点不一定存在3、函数单调性对零点个数的影响：如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。
因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调4、几个“不一定”与“一定”（假设()f x 在区间(),a b 连续）（1）若()()0f a f b ×<，则()f x “一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。
要分析()f x 的性质与图像，如果()f x 单调，则“一定”只有一个零点（2）若()()0f a f b ×>，则()f x “不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。
如果()f x 单调，那么“一定”没有零点（3）如果()f x 在区间(),a b 中存在零点，则()()f a f b ×的符号是“不确定”的，受函数性质与图像影响。
如果()f x 单调，则()()f a f b ×一定小于05、零点与单调性配合可确定函数的符号：()f x 是一个在(),a b 单增连续函数，0x x =是()f x 的零点，且()0,x a b Î，则()0,x a x Î时，()0f x <；()0,x x b Î时，()0f x >6、判断函数单调性的方法：（1）可直接判断的几个结论：① 若()(),f x g x 为增（减）函数，则()()f x g x +也为增（减）函数② 若()f x 为增函数，则()f x -为减函数；同样，若()f x 为减函数，则()f x -为增函数③ 若()(),f x g x 为增函数，且()(),0f x g x >，则()()f x g x ×为增函数（2）复合函数单调性：判断()()y f g x =的单调性可分别判断()t g x =与()y f t =的单调性（注意要利用x 的范围求出t 的范围），若()t g x =，()y f t =均为增函数或均为减函数，则()()y f g x =单调递增；若()t g x =，()y f t =一增一减，则()()y f g x =单调递减（此规律可简记为“同增异减”）（3）利用导数进行判断——求出单调区间从而也可作出图像7、证明零点存在的步骤：（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数()f x （3）分析函数()f x 的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间（4）利用零点存在性定理证明零点存在例1：函数()23x f x e x =+-的零点所在的一个区间是（ ）A.1,02æö-ç÷èø B.10,2æöç÷èø C.1,12æöç÷èø D.31,2æöç÷èø思路：函数()f x 为增函数，所以只需代入每个选项区间的端点，判断函数值是否异号即可解：1211234022f e -æöæö-=+×--=-<ç÷ç÷èøèø，()020f =-<11232022f æö=+×-=-<ç÷èø()12310f e e =+-=->()1102f f æö\×<ç÷èø01,12x æö\Îç÷èø，使得()00f x =答案：C例2：函数()()ln 1f x x x =-+的零点所在的大致区间是（ ）A.31,2æöç÷èø B.3,22æöç÷èøC.()2,eD.(),e +¥思路：先能判断出()f x 为增函数，然后利用零点存在性判定定理，只需验证选项中区间端点函数值的符号即可。
函数的零点
函数与方程1．函数的零点 (1)定义：对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点． (2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x 轴交点间的关系：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．2.二分法对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．回顾训练1．下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是( )2．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0,2 B ．0，12C ．0，－12D ．2，－123．根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( )A.(－1,0) C ．(1,2)D ．(2,3)4．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的近似解，验证f (2)·f (4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0∈________(填区间)．5．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是________．确定函数零点所在的区间[例1]设f (x )＝e x ＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(2,3)针对训练1．设函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)判断函数零点个数[例2] (2012·北京高考)函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x 的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3针对训练2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1[判断函数零点个数的常用方法(1)解方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．函数零点的应用[例3] 已知函数f (x )＝e x －x ＋a 有零点，则a 的取值范围是________．针对训练3、 如图所示为f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象，则x 21＋x 22的值是( )A.23 B.43 C.83D.169巩固训练1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．02．设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f ⎝⎛⎭⎫－12·f ⎝⎛⎭⎫12<0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根3．已知函数f (x )的图象是连续不断的，x 、f (x )的对应关系如下表：A ．区间[1,2]和[2,3]B ．区间[2,3]和[3,4]C ．区间[2,3]、[3,4]和[4,5]D ．区间[3,4]、[4,5]和[5,6]4．函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)解析：选C 由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解之得0<a <3.5．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0可得其中一个零点x0∈______，第二次应计算________．6．若函数f(x)＝a x－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．7．已知函数f(x)＝x2＋(1－k)x－k的一个零点在(2,3)内，则实数k的取值范围是________．8．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．。
函数的零点
新概念：
一般地，如果函数y=f(x)在实数a处的值等于零，即 f(a)=0,则a叫做这个函数的零点. 注：1.零点是图像与x轴交点的横坐标a，不是号零点两种.
3.如果函数y=f(x)在一个区间[a,b]上的图像不间
断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即
C.有且只有一个
D.可能有无数个
3.已知函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)(x∈R),且函数f(x)有 四个不同零点x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4= 8 ;若 有5个不同零点x1,x2,x3,x4,x5,则x1+x2+x3+x4+x5= 10 .
小贴士：研究函数零点的一个重要方法是数形结合！
4.关于x的一元二次方程x2+(a2-1)x+a-2=0一根大于1， 另一根小于1，求实数a的取值范围。 (-2<a<1) 5.若关于x的方程kx2-(2k+1)x-3=0在(-1,1)和(1,3)内 各有一个实根，求实数k的取值范围 （K<-4,或k>2） 小贴士：1.一元二次方程实根分布问题； 2.函数、方程、不等式是紧密联系在一起的；
f(a)f(b)<0,则这个函数在这个区间上至少有一 个零点，即至少存在一点x0∈(a,b),使f(x0)=0.
做一做： 1.若函数f(x)=3ax-2a+1在[-1,1]上存在零点，则实数a 的取值范围为 a≤-1,或a≥1/5 。 2.若函数f(x)在R上递增，则y=f(x)的零点（B ） A.至少有一个 B.至多有一个
3.转换过程要注意同解性。
6.若函数f(x)=x2+2x-a在区间[-3,3]上有两相异零点， 则实数a的取值范围为 -1<a≤3 。 思考：除了刚才实根分布方法，还可以怎么解？
22.函数的零点
其中 ( z ) 在点z0解析, 且 ( z0 ) 0.
定理1 不恒为零的解析函数的零点必是 孤立零点. 这是解析函数又一个 解析函数的特性. 对于实可微函数, 其
定理 设函数f (z)在单连通区域 D上的解 零点不一定是孤立的，例如函数 1 C是 D内分段光滑 (或可求长)的Jordan曲线, z 2 x sin , x 0 f ( x) x C的内部区域 , 则f (z)在z0处存在各阶导数, 并 x0 0, 1z ) n! x f ( (n) n 1, 2, 在零点x=0处可微，但是 f ( z0 ) d z n n 1 2πi C ( z n z z 0) C lim xn 0. 也是f (z)的零点，且 ( n 1,2,3, ), n
该邻域内可展开成 Taylor 方法奠定了基础 . 级数. 由已知条件知, 该
可展开为幂级数
注 这个定理为把函数展开成Taylor级数的间接
f ( z ) cn ( z z0 ) n ,
cn
0
内解析 , z0 为D内的一点, R为 z0 到 n! (D是全平面时, R=+), 则 f ( z ) 在
3
2 f (1) 3 z 3 0, 所以可见 解 (1) 由于 z 1
z 1 是 f ( z ) 的1级零点 . 只有一个零点?
(2) 显然，zk 2k ( k 0, 1, 2, ) 是 f (z) 的零点. 由于
f (2k ) 0,
f (2k ) sin z
D内的点，且在 z z0 R 内可展成幂级数
( z z0 ) n , f ( z ) cn
第15节 函数的零点
典例分析：
例 4：已知函数 f（x）的图象是连续不断的，有如下的 x，f（x）的对应表：
则函数 f（x）存在零点的区间有（ ）
A．区间[2，3]和[3，4]
B．区间[3，4]、[4，5]和[5，6]
C．区间[2，3]、[3，4]和[4，5] D．区间[1，2]、[2，3]和[3，4]
解：由已知条件可得：f（1）=﹣8＜0，f（2）=2＞0，f（3）=﹣3＜0，f（4）=5
高中数学 必修一
第二章 函数 第15节 函数的零点
第二章 函数
第十五节 函数的零点
必备新知
1．函数的零点
如果函数 y＝f(x)在实数 α 处的值等于零，即 f(α)＝0，则 α 叫做这个函数的零点．在坐标系
中表示图象与 x 轴的公共点是(α，0)．
典例分析：
例 1：求下列函数的零点： (1)f(x)＝－x2－2x＋3； (2)f(x)＝x4－1.
3.已知函数
则方程 f（x）+1=0 的实根个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解：画出函数
和 y=﹣1 的图象，
方程 f（x）+1=0 即 f（x）=﹣1， 结合图象易知这两个函数的图象有 2 交点， 则方程 f（x）+1=0 的实根个数为 2． 故选 C．
4.已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，且在区间（0，+∞）上单调，f（2） ＞0＞f（1），则函数 f（x）的零点个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3
典例分析：
例 6：（1）函数 f（x）=x2﹣2x+a 在区间（1，3）内有一个零点，则实数 a 的取值
范围是（ ）
A．（﹣3，0）
B．（解：﹣∵3令，f1（）x）=Cx2．﹣（2x﹣+a1，，它3的）对称D轴．为（x﹣=1，1，1）
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例3．若方程7x2－(k+13)x+k2－k－2=0的两
实根分别在区间(0，1)，(1，2)内，则（ ）
3 （A） k 2
（B）k<3或k>4
（C）－1<k<1或3<k<4
（D）－2<k<－1或3<k<4 解：函数f(x)=7x2－(k+13)x+k2－k－2的图象 是开口向上的抛物线，两个零点分别在(0，1)， (1，2)内，所以由图象可知，函数y=f(x)满足
例4．已知m∈R，函数f(x)=m(x2－1)+x－a恒有
零点，求实数a的取值范围。 解：（1）当m=0时，f(x)=x－a=0解得x=a恒 有解，此时a∈R； （2）当m≠0时，∵ f(x)=0，即mx2+x－m－a=0 恒有解，
∴ △1=1+4m2+4am≥0恒成立，
令g(m)=4m2+4am+1，
f (c) f (d ) ___ 0( 或 )
a 0
y
b
c
d
x
若函数y f ( x)在区间[a, b]上有定 义，而且满足f a f b 0, 则函数
y y
y f x 在区间a, b 内一定存在零点吗？
0 a
y 0a
b x
0 a
b
x
b
x
零点存在性定理：
2 f (0) 0 k k 2 0 f (1) 0 ，即 k 2 2k 8 0 ， f (2) 0 k 2 3k 0 k 2或k 1 解得， 2 k 4 k 3或k 0
所以－2<k<－1或3<k<4，选D。
所以：
方程f ( x) = 0有实数根 ? ? 函数y 函数y f ( x )的图象与x轴有交点 f ( x )的有零点
二次函数零点的类型： （1）函数图象通过零点且穿过x轴， 函数的值变号，这类零点叫变号零点 （2）函数图象通过零点未穿过x轴， 函数的值变号，这类零点叫不变号零点
即兴练习
1、函数y=x2-5x+6的零点是（ D ） A（3，0）,（2，0）； C x=3 ；
只有一个吗？
至少有一个， 可以有多个。
（3）再加上什么条件就“有且仅有一个零点”呢？ 连续不断 如果函数 y f ( x)在区间a, b上的图象是 的一条曲线，并且 f(a)· f(b)<0，并且是单调函数，那么
y f (x)在区间 （a,b）内有且只有一个零点。
y
0 a
b x
(4) 若函数y= f( x ) 在区间(a, b)内有零点，一 定能得出f( a )· b )<0的结论吗？ f(
(m 2) 2 4(5 m) 0 f (2) 0 2m 2 2
m 16 0 解得 4 2(m 2) 5 m 0 m 2
2
m 4或m 4 m 5 所以 m 2
2
B D
x=2 ； 2和3．
2、若函数f x x 2 x a没有零点， 则实数a的取值范围是 A、a 1 C、a 1 B、a 1 D、a 1
B
什么条件下才能确 定零点的存在呢？
f ( x) x 2 2 x 3 的图象， 二次函数
可以发现
-1 ① 在区间[-2,1]上有零点______。 5 -4 计算 f (2) _______， f (1) _______, 发现 f (2) ·f (1)< _____0 （＜或＞） ． ② 在区间[2,4]上是否也具有这种
函数的零点
函数的零点
在坐标系中表示图象与x轴的公共点是 (－2，0)、(3，0)。
零点的定义：
一般地，如果函数y=f(x)在实数α处的 值等于0，即f(α)=0，则α叫做这个函 数的零点。在坐标系中表示图象与x
轴的公共点是(α，0)。
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 . y= ax2+bx+c(a≠0)的零点，以 a 0为例画图
特点呢？
观察下面函数y f (x)的图象
f (b) f (c) 0( 或 ) __
f (a) f (b) __ 0( 或 ) 有 （有 / 无）零点； (2)在区间b, c上 ____
(3)在区间c, d 上有 __ （有 / 无）零点；
有 (1)在区间[a, b]上 ___(有 / 无)零点；
即－5<m≤－4.
判别式
y=ax2+bx+c 的图象
x1
>0
y
0
y y
<0
0
x2 x 0 x1
x
0
x
ax2+bx+c=0 的根
函数的零点
两个不相等的 实数根x1 、x2
有两个相等的 实数根x1 = x2
一个零点x= b 2a
无实数根 无零点
两个零点 x1 , x2
方程f ( x ) = 0的实数根 ? ? 函数y 函数y f ( x )的图象与x轴交点的横坐标 f ( x )的零点
∵g(m)≥0恒成立， ∴ △2=16a2－16≤0，解得－1≤a≤1。 综上所述知，当m=0时，a∈R； m≠0时，－1≤a≤1。
例5．方程x2+(m－2)x+5－m=0的两根都大于
2，求实数a的取值范围。
解：令f(x)= x2+(m－2)x+5－m，要使f(x)=0 的两根都大于2，则应满足
x y
… …
－1.5
－1 －0.5 0 1.88 2
0.5
1
1.5
2
2.5
…
－4.38 0
1.13 0
－0.63 0
2.63 …
在直角坐标系内描 点连线，这个函数 的图象如图所示。
例题2：在下列哪个区间内,函数f (x)= x3＋3x－5 一定有零点（ C ） A、(－1,0） B、(0,1） C、(1,2） D、(2,3） 变式：已知函数f(x)的图象是连续不断的， 且有如下的x ,f(x)对应值表： x 1 2 3 4 5 6 7 –7 11 –5 –12 –26 f(x) 23 9 那么该函数在区间[1，6]上有（ B ）零点. A、只有3个 B、至少有3个 C、至多有3个 D、无法确定
如果函数
y f ( x)在区间a, b上的图象是 连续不断
那么 y f (x)在区间 的一条曲线，并且 f(a)· f(b)<0， （a,b）内有零点，即存在 c (a, b), 使得f (c) 0, 这个 c也就是方程 f ( x) 0的根。
（1）两个前提条件缺一不可 （2）“有零点”是指有几个零点呢？
y
0
a
bbb
bb
bb
反之不成立！
b b bb x
b
(5)定理的作用：判定零点的存在， 并找出零点所在的区间。
解方程
定理法
例1. 求函数y=x3－2x2－x+2的零点，并画出 它的图象。 解：因为x3－2x2－x+2=x2(x－2)－(x－2) =(x－2)(x+1)(x－1). 所以函数的零点为－1，1，2. 3个零点把x轴分成4个区间：(－∞，－1)、 (－1，1)、(1，2)、(2，+∞)。 在这四个区间内，取x的一些值，以及零点， 列出这个函数的对应值表：