《三角形的证明》公开课课件

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7．线段的垂直平分线的性质定理及判定定理
性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离 相等 .
判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的 垂直平分线 上． [点拨] 线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相
等的所有点的集合．
8．三线共点
三角形三条边的垂直平分线相交于 一点 三角形三个顶点的距离 相等 .
2、如图，在Rt△ABC中，有 ∠ABC=90°，DE是AC的垂直 平分线，交AC于点D，交BC于点 E，∠BAE=20°，则∠C= _________．
5．如图S1－11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°， DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于点E，若BE＝4，则AC＝ ________.
图S1－11
23、（本题9分）如图，在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点 D，交AB于点E． （1）求证：△ABD是等腰三角形； （2）若∠A=40°，求∠DBC的度数； （3）若AE=6，△CBD的周长为20，求 △ABC的周长．
思考：
4、已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 AB=8,AC=BC,DE⊥AB,求△BDE的周长？
D (在一个角的内部，到角的两边距离 相等的点在这个角的平分线上.) O
1 2
A C P E B
A
C
1.角是轴对称图形，对称 轴是角平分线所在的直线.
O B 2.用尺规作角的平分线的方法 作法：１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作
弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
1 圆心．大于 ＭＮ的长为 2
半径作弧．两弧在∠AOB
（×）
A
∴
BD = CD
B
在角的平分线上的点到这 ，( 个角的两边的距离相等。 )
B
A C
D
（2）∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD ，(
在角的平分线上的点到这 ) 个角的两边的距离相等。
D C
（×）
巩固提高
1．如图1－2，点D在BC上，DE⊥AB， DF⊥AC，且DE＝DF，则线段AD是 △ABC的( B ) A．垂直平分线 B．角平分线 C．高 D．中线
(1)假设命题的结论不成立；
(2)从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、 已证定理或已知条件相矛盾的结果； (3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确． 4．等边三角形的判定 (1)有一个角等于60°的 等腰 三角形是等边三角形；
(2)三边相等的三角形叫做等边三角形；
(3)三个角相等的三角形是等边三角形；
(4)有两个角等于60°的三角形是等边三角形． 5．直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直 角边等于斜边的 一半 . 6．勾股定理及其逆定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 平方 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么 这个三角形是 直角 三角形．
比比看谁反应快
1、已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的 顶角为 ( )
A．100° B．40° C．100°或 40° D．60 2、等腰三角形的两条边长分别为5 cm和6 cm，则它的周长是____ 3、边长为6 cm的等边三角形中，其一边上高的长度为________
4、下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能 构成直角三角形的是 ( ) A．3，4，5 B．6，8， 10 C. 2，3, 4 D．5，12，13
P
1 C N
2 B
到一条线段两个端点距离相等的点，在 这条线段的垂直平分线上. ∵AB=AC(已知)
∴点A在线段BC的垂直平分 线上
（到一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上）
B
A
C
尺规作图
用尺规作线段的垂直平分线. C
已知:线段AB,如图. 求作:线段AB的垂直平分线. A 作法: 1. 分别以点 A 和 B 为圆心 , 以 大于 AB/2 长为半径作弧 , 两 弧交于点C和D. D
C
D
A
E
B
8．小明家有一块△ABC的土地，如图S1－12所示，其三边长
AB＝70米，BC＝90米，AC＝50米，现要把△ABC分成面积比
为5∶7∶9的三部分，分别种植不同的农作物，请你设计一种方
案．
图S1－12
解：如图S1－13所示，分别作∠ACB和∠ABC的平分线，相
交于点D，连接AD，则S△ADC∶S△ADB∶S△BDC＝5∶7∶9.
B
2. 作直线CD.
则直线CD就是线段AB的垂直平分线.
角平分线 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
∵OP平分∠AOB PD⊥OA,PE⊥OB, ∴PD=PE （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．）
1
D
A P
C
O
2
E
B
在一个角的内部，到角的两边距离相等 的点在这个角的平分线上.
∵PD⊥OA,PE⊥OB, PD=PE. ∴OP平分∠AOB
9．角平分线的性质定理及判定定理
，并且这一点到
性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离 相等 判定定理：在一个角的内部，且到角的两边 距离 点，在这个角的平分线上．
.
相等的
线段的垂直平分线 线段垂直平分线上的任意一点到这条线 段两个端点的距离相等. M
∵MN⊥AB, CA=CB(已知) ∴PA=PB （线段垂直平分线上的任意一点 到这条线段两个端点的距离相等）A
2、 如图，在△ABC中，∠C＝ 90°，∠BAC的平分线交BC于 点D，若CD＝4，则点D到AB的 距离是________．
3、若点P是△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E， PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，则点P是△ABC的( C ) A．三条高的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
┃知识归纳┃
1．等腰三角形的性质
性质(1)：等腰三角形的两个底角 相等 .
性质 (2) ：等腰三角形顶角的 平分线 、底边上
的 中线
、底边上的高互相重合．
2．等腰三角形的判定
(1)定义：有两条边 相等 的三角形是等腰三角形．
(2)等角对等边：有两个角 相等 的三角形是等腰三角
形．
3．用反证法证明的一般步骤
图S1－13
、（本题6分）某私营企业要修建一个加油站，如图，其 设计要求是，加油站到两村A、B的距离必须相等，且到 两条公路m、n的距离也必须相等， 那么加油站应修在什么位置，在图上标出它的位置．（写 出必要的作图依据，保留作图痕迹）
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下课了!
结束寄语
• 数学是在混沌中发现有序。 • 证明的规范性在于：条理清晰， 因果相应,言必有据.这是初学证 明者谨记和遵循的原则.
等腰三角形
三 角 形 的 证 明
直角三角形
线段的垂直平分线 角平分线
复习目标：在回顾与思考中建立本章的 知识框架图，复习有关定理的探索与证 明，证明的思路和方法，尺规作图等 本章复习的重难点： 1.等腰三角形、等边三角形的性质和判 定； 2.线段垂直平分线的做法，角平分线 的做法； 3.利用直角三角形、线段垂直平分线、 角平分线的性质灵活解题 （本节课以第2、3两点为主）
D．三条中垂线的交点
7．在平面内，到A，B，C三点距离相等的点有( D ) A．只有一个 C．有三个或三个以上 B．有两个 D．有一个或没有
4 、如图 S1 － 1 ，在△ ABC 中， DE 垂直平分 AC 交 AB 于 E ，
∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝________. 50°
２．分别以Ｍ，Ｎ为
A Ｍ Ｃ
的内部交于Ｃ．
３．作射线OC．
则射线ＯＣ即为所求． Ｂ
Ｎ
ＯLeabharlann [注意] 角的平分线是在角的内部的一条射线， 所以它的逆定理必须加上“在角的内部”这个 条件．
10．三角形三条角平分线的性质
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这 一点到三条边的距离 相等 .
（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）