三对角线矩阵法
三对角矩阵正定的充要条件
三对角矩阵正定的充要条件三对角矩阵在数值计算中具有重要的应用，其中正定的三对角矩阵更是被广泛应用于数值线性代数中的直接解法和迭代解法。
因此，正定三对角矩阵的充要条件是每一个数值计算学生都必须掌握的知识点之一。
本文将为大家分步骤阐述三对角矩阵正定的充要条件。
首先，我们先来介绍一下三对角矩阵。
三对角矩阵是指只有主对角线以及其相邻的两条对角线上元素不为零的矩阵。
形式化地，一个$n\times n$的矩阵$A$称为三对角矩阵，当且仅当$A_{i,j}=0$，除非$i=j$，$j=i\pm1$。
事实上，大量的实际应用中的矩阵都可以表示为三对角矩阵。
接下来，我们来探讨三对角矩阵正定的充要条件。
一个矩阵$A$正定的定义是：对于任意非零向量$x\in\mathbb{R}^n$，都有$x^TAx>0$。
因此，我们只需证明：若三对角矩阵$A$正定，则$A$的对角线元素和副对角线元素都大于零，即$A_{i,i}>0$和$A_{i,i+1}>0$。
接下来，我们分两步进行证明：第一步，假设$A$正定，则$A$的对角线元素都大于零：从$A$的正定定义入手，代入$x=e_i$，其中$e_i$为第$i$个分量为1，其他分量为0的向量。
则有$e_i^TAe_i=A_{i,i}>0$，而$A_{i,i}$即为$A$的对角线元素。
因此，可得到$A$的对角线元素都大于零。
第二步，假设$A$正定，则$A$的副对角线元素都大于零：从$A$的正定定义入手，代入$x=e_i+e_{i+1}$，其中$e_i$为第$i$个分量为1，其他分量为0的向量。
因为$A$是三对角矩阵，所以只有$A_{i,i-1}, A_{i,i}, A_{i,i+1}$不为零，而我们需要考虑的是$A_{i,i+1}$是否大于零。
由于$x^TAx>0$，所以$(e_i+e_{i+1})^TA(e_i+e_{i+1})>0$，即$A_{i,i}+2A_{i,i+1}+A_{i+1,i+1}>0$，而$A_{i,i}>0$，故$A_{i,i+1}>0$。
求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量
求实对称三对角矩阵的特征值和特征向量要求求解一个实对称三对角矩阵的特征值和特征向量。
在介绍如何求解之前，首先我们来了解一下实对称三对角矩阵的定义。
实对称三对角矩阵是指矩阵的非零元素主对角线上的元素为a，副对角线上的元素为b，而其他元素均为0。
可以表示为如下形式：[a1b100...0][b1a2b20...0][0b2a3b3...0][00b3a4...0][..................][ 0 0 0 ... bn-1 an ]下面我们将介绍如何求解实对称三对角矩阵的特征值和特征向量。
求解实对称三对角矩阵的特征值和特征向量有多种方法，其中一种常用的方法是通过迭代法，特别是Householder迭代法。
下面我们将介绍这种方法的主要步骤。
1. 首先，将实对称三对角矩阵转化为对称上Hessenberg矩阵。
对称上Hessenberg矩阵是一个具有类似三对角矩阵结构的对称矩阵。
2. 在转化得到的对称上Hessenberg矩阵上应用QR迭代，不断迭代直到矩阵的对角线元素基本上收敛于特征值。
3. 在每次QR迭代中，我们通过施密特正交化方法（Gram-Schmidt orthogonalization）来构建Q矩阵，然后计算出新的矩阵R，并将其与Q相乘，得到下一次迭代的矩阵。
4.在QR迭代的最后一步，我们得到了一个上三角矩阵，其对角线上的元素即为所求的特征值。
5. 然后，我们可以通过反复应用幂迭代法（power iteration method）来求解对应于这些特征值的特征向量。
幂迭代法是一种求解线性代数特征向量的数值方法。
通过上述方法，我们可以求解实对称三对角矩阵的特征值和特征向量。
这种方法具有较高的数值稳定性和计算效率，因此在实际求解中被广泛采用。
需要注意的是，在特征值和特征向量的计算过程中，可能会出现一些特殊情况。
比如矩阵中的主对角线元素不是严格递增或递减的时候，对于这种情况，我们需要进行一些额外的处理。
三对角矩阵lu分解
三对角矩阵lu分解三对角矩阵，是一种特殊的矩阵，也称为三对角矩阵。
其特点是在主对角线的上下两条对角线上，每个非零元素仅在其对角线的相邻两条对角线上有一个元素。
因此，它的非零元素只有3个对角线上的元素。
在实际计算中，三对角矩阵常常是常见的。
为了方便的解决三对角矩阵的求解问题，可以使用LU分解方法。
LU 分解是一种数学问题处理技术，其旨在将矩阵分解成“下三角矩阵”和“上三角矩阵”的乘积形式，从而简化了复杂性。
下面将介绍三对角矩阵LU分解的具体过程。
1.确定矩阵形式：三对角矩阵中，对角线上的元素为主对角线元素，上下两条对角线上的元素为辅对角线元素。
为了利用LU分解方法，需要将三对角矩阵转化成下三角矩阵和上三角矩阵相乘的形式，因此需要确定要分解的三对角矩阵的形式。
2.分解下三角矩阵：首先，通过高斯消去法，将三对角矩阵转化为下三角矩阵的形式。
下三角矩阵是指在转换后，位于主对角线下方的所有元素都是零。
在这个过程中，需要逐列消去所有非零辅对角线元素。
此时，矩阵的主对角线上的所有元素将会被替换为与它处于同一列的辅对角线下方的元素之和。
这个过程需要重复执行，直到将矩阵转化成一个下三角矩阵。
3.分解上三角矩阵：接着，通过较简单的方法将下三角矩阵分解成上三角矩阵的形式。
上三角矩阵是指在转化后，位于主对角线上方的所有元素都是零。
在这个过程中，需要将矩阵的每一行上下翻转，然后再执行与第二步类似的高斯消去操作。
这个过程同样需要重复执行，直到将矩阵转化成一个上三角矩阵。
4.求解分解后的矩阵：在完成上述步骤之后，可以通过将分解后的下三角矩阵和上三角矩阵相乘，进而获得原始的三对角矩阵。
这个步骤只需要进行矩阵乘法运算即可。
通过上述步骤，可以利用LU分解方法求解三对角矩阵。
它比直接求逆矩阵的方法更加高效，也更适合在计算机上使用，因为它不需要进行倒置操作。
不过，在LU分解过程中，需要小心处理矩阵缩放问题和行转置等操作，以避免误差的出现。
三对角矩阵压缩存储
三对角矩阵压缩存储三对角矩阵是一种特殊类型的矩阵，在存储和计算上具有一定的优势。
本文将从三对角矩阵的定义、特性、压缩存储方法以及相应的计算算法等方面进行介绍。
一、三对角矩阵的定义三对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，只有上下相邻对角线上的元素不为零，其余元素都为零的矩阵。
例如，一个n阶的三对角矩阵可以表示为：\[ A = \begin{bmatrix}b_1 & c_1 & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 \\a_2 & b_2 & c_2 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\0 & a_3 & b_3 & c_3 & 0 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\0 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & a_{n-1} & b_{n-1} \\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & a_n \\\end{bmatrix} \]其中，b1, b2, ..., bn为主对角线上的元素；a2, a3, ..., an为下对角线上的元素；c1, c2, ..., cn-1为上对角线上的元素。
二、三对角矩阵的特性1. 三对角矩阵是一种稀疏矩阵，大部分元素都为零，只有O(n)个非零元素。
2. 三对角矩阵可以用来表示一些特定问题的线性方程组，如一维热传导方程、抛物线偏微分方程等。
matlab三对角矩阵
matlab三对角矩阵Matlab三对角矩阵是一种特殊的矩阵结构，其中除了主对角线上的元素外，只有相邻的两个次对角线上有非零元素。
这种特殊结构使得三对角矩阵具有一些特殊的性质和优势，例如在求解线性方程组、插值、数值微分等问题中可以提供高效的计算方法。
一、三对角矩阵的定义和表示三对角矩阵可以用以下形式表示：```A = [d1 u1 0 0 0l1 d2 u2 0 00 l2 d3 u3 0...0 ... ln-2 dn-1 un-10 ... 0 ln-1 dn un]```其中，d1, d2, ..., dn 是主对角线上的元素；u1, u2, ..., un-1 是次对角线上的元素；l1, l2, ..., ln-1 是次对角线下的元素。
主对角线上共有 n 个元素，次对角线上和下各有 n-1 个元素。
二、创建三对角矩阵在Matlab中，可以使用以下几种方法创建一个三对角矩阵：1. 手动赋值：通过手动指定每个元素的值来创建一个三对角矩阵。
可以使用以下代码创建一个3阶的三对角矩阵：```matlabA = [2 1 0;1 2 1;0 1 2];```2. 使用 diag 函数：通过 diag 函数可以方便地创建一个具有特定对角线元素的矩阵。
可以使用以下代码创建一个4阶的三对角矩阵，其中主对角线元素为1，次对角线元素为-1：```matlabd = ones(4,1);u = -ones(3,1);A = diag(d) + diag(u,1) + diag(u,-1);```3. 使用spdiags 函数：spdiags 函数是专门用于创建稀疏矩阵的函数。
通过指定每个对角线上的元素和它们相对于主对角线的偏移量，可以创建一个三对角矩阵。
可以使用以下代码创建一个5阶的三对角矩阵，其中主对角线元素为2，次对角线元素为-1：```matlabd = 2*ones(5,1);u = -ones(4,1);A = spdiags([u d u], [-1 0 1], 5, 5);```三、三对角矩阵的性质和应用1. 可逆性：如果一个三对角矩阵 A 的所有主对角线和次对角线上的元素都非零，则 A 是可逆的。
三对角行列式计算公式推导
三对角行列式计算公式推导要推导三对角行列式的计算公式，我们首先需要定义三对角矩阵。
一个n×n的矩阵A是三对角的，如果它的非零元素只在主对角线上以及位于主对角线上方和下方的相邻两条对角线上。
一个三对角矩阵的一般形式如下：a1b10c2a2b200c3a3b3...0 0 cn an bn其中，ai, bi 和 ci 分别表示第i个主对角线和位于主对角线上方和下方的对角线元素。
det(A) = a1 * a2 * a3 * ... * an - 1 * an - (b1 * c2 * a2 * a3 * ... * an - 1) - (b2 * c3 * a3 * a4 * ... * an - 1) - ... - (bn - 2 * cn - 1 * an - 1 * an)推导过程如下：设三对角矩阵A的行列式为det(A)。
我们可以通过对A的第一列使用行列式展开式来推导det(A)的计算公式。
根据行列式的定义，展开式如下：det(A) = a1 * M11 - b1 * M12其中，M11是去除A的第一行和第一列后的(n-1)×(n-1)的子矩阵的行列式，M12是去除A的第一行和第二列后的(n-1)×(n-1)的子矩阵的行列式。
我们可以继续展开M11 和 M12 的行列式，直到展开到1×1 的子矩阵。
在展开的过程中，我们会发现只有b1 * c2 * ... *bn - 1 * an - 1 这一项才会保留下来。
通过这个过程，我们可以得到以下递推关系：det(A) = a1 * M11 - b1 * M12=a1*(a2*M21-b2*M22)-b1*(c2*M21-a2*M23)=a1*a2*M21-a1*b2*M22-b1*c2*M21+b1*a2*M23=a1*a2*M21-a1*b2*M22+a2*b1*M23-b1*c2*M21继续展开，我们得到：det(A) = a1 * a2 * M21 - a1 * b2 * (a3 * M31 - b3 * M32) + a2 * b1 * (c3 * M32 - a3 * M33) - b1 * c2 * M21-a1*b2*a3*M31+a1*b2*b3*M32-a2*b1*c3*M33这一过程可以继续下去，直到展开到最后一个(n-1)×(n-1) 子矩阵的行列式，此时我们只剩下最后一个主对角线上的元素an。
对角线法则计算三阶行列式
对角线法则计算三阶行列式行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个标量，可以用来描述矩阵的性质。
在矩阵中，行列式的计算是非常重要的，因为它涉及到矩阵的可逆性、秩、特征值等基本概念。
本文将介绍如何使用对角线法则计算三阶行列式，希望能够帮助读者更好地理解行列式的计算方法。
一、行列式的定义行列式是一个数学对象，它是一个正方形矩阵的一个标量值。
对于一个n阶矩阵A=[aij]，行列式的定义如下：其中，S是所有n个数的所有n-1阶子式的代数余子式之和。
对于三阶矩阵A=[aij]，行列式的定义如下：二、对角线法则对于三阶矩阵A=[aij]，使用对角线法则可以快速计算行列式的值。
对角线法则的具体方法如下：1. 在矩阵中，从左上角到右下角的对角线上的元素称为主对角线，从左下角到右上角的对角线上的元素称为副对角线。
2. 在矩阵中，将主对角线上的元素依次相乘，再将结果相加，得到的值称为主对角线之和。
3. 在矩阵中，将副对角线上的元素依次相乘，再将结果相加，得到的值称为副对角线之和。
4. 将主对角线之和减去副对角线之和，即可得到行列式的值。
例如，对于三阶矩阵A=[aij]，使用对角线法则计算行列式的值如下：三、示例分析为了更好地理解对角线法则计算三阶行列式的方法，我们来看一个具体的例子。
设矩阵A=[aij]如下：使用对角线法则计算行列式的值如下：因此，矩阵A的行列式的值为-12。
四、总结行列式是线性代数中的一个重要概念，它可以用来描述矩阵的性质。
对于三阶矩阵，使用对角线法则可以快速计算行列式的值。
在计算行列式的过程中，可以根据对角线法则的方法，依次计算主对角线之和和副对角线之和，然后将两个值相减即可得到行列式的值。
希望本文能够帮助读者更好地理解行列式的计算方法，提高对线性代数的理解和掌握程度。
三阶矩阵对角线法则
三阶矩阵对角线法则什么是三阶矩阵对角线法则？三阶矩阵对角线法则是一种用于计算三维向量叉积的方法。
在计算机图形学和物理学中，叉积是一个非常重要的概念，它被广泛应用于计算机图形学、物理学、工程等领域。
如何使用三阶矩阵对角线法则？使用三阶矩阵对角线法则可以分为以下几个步骤：1. 给定两个三维向量a和b，写出它们的坐标表示：a = (ax, ay, az)b = (bx, by, bz)2. 构造一个3x3的矩阵M，将向量a和b作为M的列向量：M = [ ax bx ][ ay by ][ az bz ]3. 计算M的行列式det(M)，并按照下面的公式求出叉积向量c：c = det(M) * (i,j,k)其中i,j,k分别表示x,y,z轴方向上的单位向量。
4. 将叉积向量c写成坐标表示：c = (cx, cy, cz)至此，我们就得到了两个向量a和b的叉积向量c。
为什么要使用三阶矩阵对角线法则？在计算机图形学和物理学中，叉积是一个非常重要的概念。
它可以用来计算两个向量的垂直方向，从而在计算机图形学中可以用来计算法线向量，而在物理学中可以用来计算力矩和角动量等物理量。
三阶矩阵对角线法则是一种简单、易于记忆的方法，能够快速地计算出两个向量的叉积向量。
相比于其他方法，如分解成坐标表示后再进行计算，使用三阶矩阵对角线法则更加直观和方便。
此外，三阶矩阵对角线法则还具有一些其他的优点。
例如，在计算机图形学中，由于叉积运算是一个比较常见的操作，因此使用这种方法可以提高程序的效率和可读性。
总结三阶矩阵对角线法则是一种用于计算三维向量叉积的简单、易于记忆的方法。
它可以帮助我们快速地计算出两个向量的叉积向量，并在计算机图形学和物理学等领域发挥着重要作用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
精馏系统内的热量传递主要由潜热的变化引
起，由此也引起两相流率的变化，所以用热
量衡算方程，即H-方程来检验流率Vj是否正 确。
开始
规定设计变量 设定Tj、Vj初值 解三对角线矩阵方程，求xi,j
归一化xi,j
规定： 进料：Fj,zi,j,TFj,PFj 压力：pj 侧采：Uj,Wj 热负荷：Qj（除Q1和QN） 级数：N
2、Tj:（1）塔顶： 气相采出：露点温度 液相采出：泡点温度 气、液相混合：泡、露点之间的温度
（2）塔釜：釜液泡点温度 线性内插，得到中间各级温度初值。
二、归一化
由于求三对角矩阵方程时没有考虑S-eq.的约束， 必须对得到的xi,j归一化。
x
x=
i, j
i, j
C
Σx
i, j
i=1
三、泡点方程的计算 (实际就是S-eq.)：
五、迭代收敛的标准
或更简单的：
泡点（BP）法 流率加和（SR）法
END
自学：等温流率加和法、同时校正法、内-外 法。 关注：非平衡级模型。
2、Tj:（1）塔顶： 气相采出：露点温度 液相采出：泡点温度 气、液相混合：泡、露点之间的温度
（2）塔釜：釜液泡点温度 线性内插，得到中间各级温度初值。
二、流率加和法计算新的Lj，Vj
由S-eq.导出流率加和方程：
L(jk +1)
=
C
L(jk
)Σ
i =1
x
i
,
j
L(k )由物料衡算式（6-10）从Vj(k)算出：
i,j j-1 i,j-1 j+1 i,j+1 j i,j j j i,j j j i,j
E－eq.
i=1,2,…C
G
E i,j
=
yi,j -
K i,jxi,j = 0
i=1,2,…C
将相平衡关系（E-eq.）代入物料衡算方程 （M-eq.）：
Lj-1xi,j-1 +Vj+1Ki,j+1xi,j+1 +Fjzi,j -(Lj +Uj )xi,j -(Vj +Wj )Ki,j xi,j = 0
用追赶法（托马斯法）求解：
(1)先假定Tj和Vj； (2)计算相平衡常数Ki,j，得到线性化的ME方 程；
(3)高斯消去法，将（6-16）转化为二对角矩 阵方程；
解出xi,N，xi,N，……，xi,1。 (4)一般情况下，xi,j不会满足S-eq.和H-eq.， 这时需要用S-eq.和H-eq.作为收敛的校验方程， 算出新的Tj和Vj； (5)以算出的新的Tj和Vj为迭代值，返回（1）；
为消去L，从第1级到第j级作总物料衡算：
j
L j = V j+1 + ∑ (F m
-U
m
-W
)- V
m
1
m =1
将上式代入：
A j x i, j-1 + B j x i, j + C j x i, j+1 = D j
Hale Waihona Puke 第1级无液相采出，第N级无汽相采出: （6-16）
二、三对角线矩阵的托马斯法
调整Tj和Vj
归一化xi,j和yi,j
求新的Tj(k+1)= Tj(k)+ΔTj(k)ΔTj(k)通过托马斯 法求解一偏导数矩阵方程(6-47)
no 是否满足迭代收敛准则
yes 结束
＊SR法计算框图＊
一、迭代变量Tj、Vj初值的给出
1、Vj: 用指定回流比、馏出量、进料量、侧 线采出量，按恒摩尔流假设给出一组Vj的初 值。
配对收敛方法的特点：
将两个校验方程（S-eq.和H-eq.）与两个 迭代变量分别配对。
根据不同的配对方案形成两种不同的算法: 泡点法(BP法)和流率加和法(SR法)。
6.2.2 泡点法（BP法）
BP法适用于窄沸程混合物的分离计算，如一 般的精馏过程。
在此情况下，各平衡级上的传质过程主要依 赖于两相流体的部分汽化和部分冷凝。平衡 级温度就是泡点温度或露点温度，它们主要 取决于两相组成，所以用组分的摩尔分数加 和式，即S-方程来检验平衡级温度Tj是否正 确。
回流量：L1 气相馏出量：V1
调整Tj和Vj
泡点计算，求新的Tj，Vj
计算冷凝器和再沸器的热负荷（Q1和QN）
H-eq.计算新的Vj ：式（6-33）；计算Lj：式（6-10））
no 是否满足迭代收敛准则
yes 结束
＊BP法计算框图＊
一、迭代变量Tj、Vj初值的给出
1、Vj: 用指定回流比、馏出量、进料量、侧 线采出量，按恒摩尔流假设给出一组Vj的初 值。
用S-方程计算流率；用H-方程计算级温度。
开始 规定设计变量 设定Tj、Vj初值
规定：
进料：Fj,zi,j,TFj,PFj 压力：pj 侧采：Uj,Wj 热负荷：Qj（除Q1和QN） 级数：N
解三对角线矩阵方程，求xi,j
回流量：L1 气相馏出量：V1
S-eq.(6-39)计算Lj ；物料衡算(6-40)计算Vj）
6.2.1 方程的解离方法及求解
一、方程的解离： ME：工作方程
算组成
MESH
S 校验方程 （校核方程）
算温度、流率
H
求解：液相组成xi,j，汽相组成yi,j，温度Tj， 流率Vj或Lj。
泡点法（BP）：用S检验T，用H检验V。 流率加合法（SR）：用S检验V，用H检验T。
M－eq.
GM =L x +V y +F z -(L +U )x -(V +W )y =0
G
SY j
=
c
Σ
yi, j
- 1.0
=
0
i =1
四、Vj的计算
通过物料衡算和热量衡算得到二对角线矩阵 方程：
先求V3，再依次求出V4～VN。
五、迭代收敛的标准
或更简单的：
6.2.3 流率加和法（SR法）
SR法适用于宽沸程混合物的分离过程， 如吸收、解吸、气提和萃取等过程的计算。
在此情况下，热量平衡对级温度比对级间流 率敏感的多。
j
相应的Vj(k＋1)由对级j到级N作总物料衡算
得到：
( ) V j
=
L j-1
-L
N
+
ΣN
F
m
-U
m
-W
m
m= j
三、归一化xi,j和yi,j
对xi,j归一化: x
x
=
i, j
i, j
C
Σ
x i, j
i=1
由E-eq.，即 G E = y - K x = 0
i, j
i, j
i, j i, j
计算yi,j,
对yi,j归一化:
y i, j =
y i, j
C
Σ y i,j
i=1
四、计算级温度Tj
由于摩尔焓是温度的非线性函数，所以需用 Newton-Raphson法迭代：
~ A
j
DT
(k) j -1
+
B~
j
DT
(k) j
+
~ C
j
DT
(k) j +1
=
~ Dj
这是一个由偏导数构成的系数矩阵（Jacobian 矩阵），可用托马斯法求解。