高中数学通用模型解题方法
13. 反函数存在的条件是什么?
( --- 对应函数)
求反函数的步骤掌握了吗？
1 亠 X X :：
如：求函数f(X)=
2
- 的反函数
[-X
(X ￡ O )
…
X -1 (答:f A
(X) = \ 一
I -Y -X
14. 反函数的性质有哪些？
反函数性质：
1、 反函数的定义域是原函数的值域
(可扩展为反函数中的 X 对应原函数中的y)
2、 反函数的值域是原函数的定义域(可扩展为反函数中的 y 对应原函数中的X)
3、 反函数的图像和原函数关于直线
=X 对称(难怪点(X,y)和点(y, X)关于直线
y=X 对称
① 互为反函数的图象关于直线 y=X 对称；
②
保存了原来函数的单调性、奇函数性;
③设y=f(x)的定义域为A ,值域为C , a ? A , b ? C ,贝U f(a) = b= f 」(b) = a .f 」f (a) 1 = f 」(b) = a , f f'(b)丨-f (a) = b
由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，女口
4
d
(04.上海春季高考)已知函数f (X) =∣og 3(4
2),则方程f-1
(x) =4的解
X
X= ___________ .1
对于这一类题目，其实方法特别简单，呵呵。已知反函数的y,不就是原函数的X 吗？那 代进去阿，答案是不是已经出来了呢？ (也可能是告诉你反函数的 X 值，那方法也一样，
呵呵。自己想想，不懂再问我 15 .如何用定义证明函数的单调性？
(取值、作差、判正负) 判断函数单调性的方法有三种：
(1) 定义法：
根据定义，设任意得 X 1
,X2,找出f(x ι),f(x 2
)之间的大小关系
可以变形为求
f(X
I )
-
f(X 2)
的正负号或者 f2°与1的关系
X 1 -X 2
f(X 2)
(2) 参照图象：
① 若函数f(x)的图象关于点(a , b)对称，函数f(x)在关于点(a , 0)的对称区间具 有相同的单调性；
(特例：奇函数)
(①反解X ;②互换x 、y ;③注明定义域)
X 1
) X :0
②若函数f(x)的图象关于直线X= a对称，贝U函数f(x)在关于点(a , 0)的对称区间里具有
相反的单调性。(特例：偶函数)
(3) 利用单调函数的性质：
①函数f(x)与f(x) + C(C是常数)是同向变化的
②函数f(x)与Cf(X)(C 是常数)，当c> 0时，它们是同向变化的；当C V 0时，它们是反向变化的。
③如果函数f1(x) , f2(x)同向变化，贝U函数f1(x) + f2(x)和它们同向变化；(函数相加)
④如果正值函数f1(x) , f2(x)同向变化，贝恼数f1(x)f2(x) 和它们同向变化；如
果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，贝恼数f1(x)f2(x) 和它们反向变化；(函数相
乘)
⑤函数f(x)与丄在f(x)的同号区间里反向变化。
f(X)
⑥若函数U = φ (x) , x［α , β ］与函数y = F(U) , u∈［φ ( α ) , φ
( β )］或U∈［φ ( β ), φ ( α )］同向变化，则在［α , β ］上复合函数y = F ［φ (x)］是递增的；若函数U= φ (x),x［α , β ］与函数y = F(U) ,U∈［φ ( α ) , φ ( β )］或U∈［φ ( β ), φ ( α )］反向变化，则在［α , β ］上复合函数y = F［φ (x)］是递减的。(同增异减)
⑦若函数y = f(x)是严格单调的，则其反函数X = fT(y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。
如：求y = log 1-x22x的单调区间
2
2
(设U--X 2x,由U 0则0 ：： X 2
. 2
且log I U - , U- -x-1i 亠1,如图：
2
当X (0, 1]时，U ,又IOg I Uy ,??? y -
2
当X [1, 2)时，u 2 ,又Iog 1 u 3 ,?y
2
16. 如何利用导数判断函数的单调性?
在区间a , b 内，若总有f'(x)_O 则f(x)为增函数。(在个别点上导数等于 零，不影响函数的单调性)，反之也对，若f'(x)乞O 呢？
女口：已知a 0，函数f(x) =x ' -ax 在11，、上是单调增函数，则a 的最大 值是(
)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
(令 f'(X ) = 3χ2 — a = 3 X +、1旦)X - ｛三：兰 0
则X ≤ - J a 或X 兰J a
\3 \3
由已知f(x)在［1,：：)上为增函数，则、；乞1，即a 乞3
??? a 的最大值为3)
17. 函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么？ (f(x)定义域关于原点对称)
若f(-x) =-f(x)总成立U f(x)为奇函数=函数图象关于原点对称 若f (-x) = f(x)总成立=f(x)为偶函数=函数图象关于y 轴对称
注意如下结论：
(1) 在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数； 个偶函数与
奇函数的乘积是奇函数。
(2) 若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0)=0°
,Q X +
Q
如：若f(x)= ------- 匸2
为奇函数，则实数 a =
2x +1 ---------------------------------
(V f(x)为奇函数，X R ，又 0 R,??? f(0)=0
a ? 20
a -2
即 0
0， ? a = 1)
20
+1
求f(x)在-1, 1上的解析式。
又如: f(x)为定义在(T , 1)上的奇函数，当
X (0，1)时,
f(χ) = -?^
4x +1
2 ^
(令Xr 1, 0 ,贝U —X 「0, 1 , f(—x)
X
一-
X (-1, 0) X=O X 0, 1
判断函数奇偶性的方法 、定义域法
又f(x)为奇函数,
f (
X )
八并
2x
1 4x
一个函数是奇(偶)函数,
其定义域必关于原点对称，它是函数为奇(偶) 函数的必要条件
若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数 二、奇偶函数定义法 在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算 判断其奇偶性? f(-x),然后根据函数的奇偶性的定义 这种方法可以做如下变形 f(x)+f(-x) =0 f(x)-f(-x)=O 込=1
f(-x)
fXL — f(-x)
三、复合函数奇偶性
奇函数 偶函数 偶函数 奇函数
18.你熟悉周期函数的定义吗？ (若存在实数T ( T=O ),在定义域内总有f X ? T = f(x),则f(x)为周期
函数，T 是一个周期。) 女口：若 f X ? a - -f (X ),贝U
又f(0) =0,二 f(x)
2x
一4x +1 2x Λx +1