湖南省六校高三数学联考试题理(含解析)

湖南省2016届高三六校联考试题数学（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|650,|3,A x x x B x y x A B =-+≤==-=（ ）A ．[)1,+∞B ．[]1,3C ．(]3,5D ．[]3,52.命题“若,x y 都是偶数，则x y +也是偶数”的逆否命题是（ ） A ．若x y +不是偶数，则x 与y 都不是偶数 B ．若x y +是偶数，则x 与y 不都是偶数 C ．若x y +是偶数，则x 与y 都不是偶数 D ．若x y +不是偶数，则x 与y 不都是偶数3.若执行右边的程序框图，输出S 的值为6，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．32?k <B ．65?k <C ．64?k <D ．31?k < 4.下列函数中在3(,)44ππ上为减函数的是（ ） A ．22cos 1y x =- B ．tan y x =- C ．cos(2)2y x π=-D ．sin 2cos 2y x x =+5.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[]1,450的人做问卷A ，编号落入区间[]451,750的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为（ ） A ．15 B ．7 C ．9 D ．106.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为：A ．3πB ．103π C ．6π D ．83π7.若231(2)(1)x x x++-的展开式中的常数项为a ，则20(31)a x dx -⎰的值为（ ）A ．6B ．20C ．8D ．249.已知数列{}n a 的通项公式5n a n =-，其前n 项和为n S ，将数列{}n a 的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前3项，记{}n b 的前n 项和为n T ，若存在*m N ∈，使对任意*n N ∈，总有n n S T λ<+恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．2λ≥B ．3λ>C ．3λ≥D ．2λ>10.已知两个不相等的非零向量,a b ，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排成一列而成．记1122334455min ,S x y x y x y x y x y S =++++表示S 所有可能取值中的最小值，则下列正确的是（ ）A ．22min 22S a a b b =++B ．22min 23S a b =+C ．若a b ⊥，则min S 与a 无关D ．S 有5个不同的值 11.设22,,a x xy y b p xy c x y =-+==+，若对任意的正实数,x y ，都存在以,,a b c 为三边长的三角形，则实数p 的取值范围是（ ） A ．(1,3) B ．(]1,2 C ．17(,)22D ．以上均不正确12.已知,A B 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点，不同两点,P Q 在椭圆C上，且关于x 轴对称，设直线,AP BQ 的斜率分别为,m n ，则当21ln ln 2b a m n a b mn++++取最小值时，椭圆C 的离心率为（ ）A ．3 B ．3 C ．12D ．2 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上． 13.已知复数21iz i=-，则z =________．14.在ABC ∆中，2,BC AC ABC ==∆的面积为4，则AB 的长为_________． 15.已知圆2224250x y x y a +-++-=与圆222(210)2210160x y b x by b b +---+-+=相交于1122(,),(,)A x y B x y 两点，且满足22221122x y x y +=+，则b =________．16.给出下列命题：（1）设()f x 与()g x 是定义在R 上的两个函数，若1212()()()()f x f x g x g x +≥+恒成立，且()f x 为奇函数，则()g x 也是奇函数；（2）若12,x x R ∀∈，都有1212()()()()f x f x g x g x ->-成立，且函数()f x 在R 上递增，则()()f x g x +在R 上也递增；（3）已知0,1a a >≠，函数,1(),1x a x f x a x x ⎧≤=⎨->⎩，若函数()f x 在[]0,2上的最大值比最小值多52，则实数a 的取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭； （4）存在不同的实数k ，使得关于x 的方程222(1)10x x k ---+=的根的个数为2个、4个、5个、8个．则所有正确命题的序号为________．三、解答题 ：本大题共8小题，其中有3道选做题选做一道，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，常数0λ>，且11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设10,100a λ>=，当n 为何值时，数列1lg n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和最大？ 18.（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDE 中，DB ⊥平面ABC ，//AE DB ，且ABC ∆为等边三角形，1,2AE BD ==，CD 与平面ABCDE 所成角的正弦值为64． （1）若F 是线段CD 的中点，证明：EF ⊥平面DBC ； （2）求二面角D EC B --的平面角的余弦值．19.（本小题满分12分）某学校有120名教师，且年龄都在20岁到60岁之间，各年龄段人数按[)[)[)[)20,3030,4040,5050,60、、、分组，其频率分布直方图如图所示，学校要求每名教师都要参加A B 、两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如下表示，假设两项培训是相互独立的，结业考试成绩也互不影响．（1）若用分层抽样法从全校教师中抽取一个容量为40的样本，求从年龄段[)20,30抽取的人数；（2）求全校教师的平均年龄；（3）随机从年龄段[)20,30和[)30,40内各抽取1人，设这两人中A B 、两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望． 20.（本小题满分12分）已知抛物线方程为22(0)x py p =>，其焦点为F ，点O 为坐标原点，过焦点F 作斜率为(0)k k ≠的直线与抛物线交于,A B 两点，过,A B 两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M ． （1）求OA OB ；（2）设直线MF 与抛物线交于,C D 两点，且四边形ACBD 的面积为2323p ，求直线AB 的斜率k ．21.（本小题满分12分）已知函数()(ln 2)xf x e x k -=-（k 为常数， 2.71828e =是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直．（1）求()f x 的单调区间； （2）设1(ln 1)()xx x g x e-+=，对任意0x >，证明：2(1)()x x x g x e e -+<+． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分） 如图，AB 是O 的直径，弦BD CA 、的延长线相交于点E ，EF 垂直于BA 的延长线于点F ．（1）求证：DEA DFA ∠=∠；（2）若030EBA ∠=，3,2EF EA AC ==，求AF 的长．23.（本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程是2cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是312x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）． （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）设点(,0)P m ，若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且1PA PB =，求实数m 的值． 24.（本小题满分10分） 函数()125f x x x =+++-．（1）求函数()f x 的定义域A ；（2）设{}|12B x x =-<<，当实数()R a b B C A ∈、时，证明：124a b ab+<+．参考答案1.D【解析】本题主要考查集合的运算.故选D.【备注】高考常考题,需熟练掌握.2.D【解析】本题主要考查四种命题.根据逆否命题的定义, 命题“若都是偶数,则也是偶数”的逆否命题是” 若不是偶数,则与不都是偶数”,故选D.【备注】注意“都是”的否定是“不都是”.3.C【解析】本题主要考查程序框图.第一次循环结束,S=k=3;第二次循环结束,S=k=4;第三次循环结束,S=k=5;第四次循环结束,S=k=6;第五次循环结束,S=k=7;依次类推:最后一次循环结束,S=k=64.故选C.4.C【解析】本题主要考查三角函数的性质.,x时2x函数y=sin x在上单调递减,所以函数上单调递减.故选C.【备注】先将函数变形为y=A sin(的形式再求性质.5.C【解析】本题考查统计知识中的随机抽样问题以及等差数列知识,意在考查考生的运算求解能力从960人中用系统抽样方法抽取32人,则每30人抽取一人,因为第一组抽到的号码为9,则第二组抽到的号码为39,第n组抽到的号码为a n=9+30(n-1)=30n-21,由451≤30n-21≤750,得≤n≤,所以n=16,17,…,25,共有25-16+1=10人,选C.6.A【解析】本题主要考查简单几何体的三视图.根据三视图可知该几何体是底面半径为1,高为4的圆柱上半截斜切去一半.所以该几何体的体积为44.故选A.【备注】高考常考题需掌握.7.A【解析】本题主要考查二项式定理.由已知a=2+x+=2,所以故选A.【备注】高考常考题,需重视.8.D【解析】本题主要考查线性规划问题.根据已知作图如下:曲线y=与直线x+y-3=0的交点为(1,2),当直线x=2m与直线l重合或位于其左侧时满足已知条件,所以2m,即m.故选D.【备注】高考常考题,需熟练掌握.9.D【解析】本题主要考查等差等比数列与不等式的综合.由已知等比数列的前3项为4,2,1,所以显然是递增数列,且4因为有恒成立,则10<8+故选D.【备注】数列与不等式的综合问题经常会用到数列的单调性.10.C【解析】本题主要考查向量运算的相关知识.的值有三种:若,则显然最小值为,与无关.故选C. 【备注】可以用分类计数原理求的值.11.A【解析】本题主要考查均值不等式的应用.,因为为三角形的三边长,所以a+c>b,c-a<b,即3,所以1<p<3.故选A.【备注】应用均值不等式时要注意等号成立条件.12.D【解析】本题主要考查导数的应用.设椭圆参数方程为则可设P(,则有m=,mn=所以,令t=则g(t)=-2ln t,t>1,=,当1<t<时g(t)单调递减;当t>时g(t)单调递增.所以当t==时g(t)取得最小值,此时e=.【备注】利用椭圆的参数方程较为简单.13.【解析】本题主要考查复数的四则运算.所以【备注】高考常考题,较为简单,需要熟练掌握.14.4或【解析】本题主要考查余弦定理和三角形面积公式.S=,cos C=由余弦定理得+cos C =32或16,则AB=4或【备注】解三角形时要注意解的个数.15.【解析】本题主要考查圆的定义.把点分别带入圆的方程的方程,两式相减得,①代入圆的方程,两式相减得(2b-10)+2b(,②①②结合解得16.(1)(2)(3)【解析】对于(1),令有则0,有可知也是奇函数,所以(1)正确;对于(2),不妨设,则>有所以>0,可知在上也递增,所以(2)正确;对于(3),当0<a<1时,在上最大值为1,最小值为a-2,由1-(a-2)=得a=;当a>1时,在上最大值为a,最小值为a-2,与已知不符.所以(3)正确;17.(1)当时,若,则,当时,所以;若,则.当时,,上述两个式子相减得:,所以数列是首项为,公比为2的等比数列.综上,若,则;若,则.(2)当,且时,,令,所以,所以是首项为, 公差为的单调递减的等差数列.由得,解得即n<7.所以数列的前6项为正,从第7项开始为负.故数列的前6项的和最大.【解析】本题主要考查数列的通项公式.(1)根据n=1时求出通项;(2)求出数列的通项公式,根据通项分析单调性和项的符号即可.【备注】高考常考题,需熟练掌握.18.(1)证明:取的中点为,连接又平面AM平面ABC,,平面,是线段BC,的中点,MF=,四边形为平行四边形,所以,所以平面;(2)解:取的中点,连结,则平面即是与平面所成角,,设,则有,得,取的中点为,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立如图空间直角坐标系, 则,由(1)知:平面,又,取平面的一个法向量, 又,设平面的一个法向量,由,由此得平面的一个法向量,面积,所以二面角的平面角的余弦值为.【解析】本题主要考查线面垂直的判定和二面角的求解.(1)利用线面垂直的判定定理即可证明;(2)建立空间直角坐标系,求出两个平面的法向量,利用两个法向量的夹角即可求解.【备注】高考必考题,需熟练掌握,几何证明方法和空间向量方法都要掌握.19.(1)由频率分布直方图知,从年龄段抽取的人数为.(2)全校教师的平均年龄为(岁).(3)∵在年龄段内的教师人数为(人),从该年龄段任取1人,由表知,此人项培训结业考试成绩优秀的概率为;项培训结业考试成绩优秀的概率为,∴此人两项培训结业考试成绩都优秀的概率为,∵在年龄段内的教师人数为(人),从该年龄段任取1人,由表知,此人项培训结业考试成绩优秀的概率为项培训结业考试成绩优秀的概率为,∴此人两项培训结业考试成绩都优秀的概率为.由题设知的可能取值为0,1,2.∴,,∴的概率分布为0 1 2的数学期望为.【解析】本题主要考查分层抽样和独立事件的概率及随机变量的分布列和期望.(1)根据频率分布直方图计算即可;(2)根据频率分布直方图中平均数的计算方法即可;(3)根据独立事件的概率公式计算.【备注】高考必考题,需熟练掌握.20.(1)设直线方程为,联立直线与抛物线方程,得,则,∴(2)由,知,∴直线在两点处的切线的斜率分别为,∴的方程为的方程为,解得交点,∴,知直线与相互垂直.由弦长公式知,,用代得,,四边形的面积,依题意,得的最小值为,根据的图象和性质得,或,即或.【解析】本题主要考查抛物线的性质和直线与抛物线的位置关系.(1)直线和抛物线的方程联立消去y,利用韦达定理即可;(2)利用弦长公式求出四边形面积的表达式,结合对勾函数的图象和性质即可.【备注】直线和圆锥曲线方程联立消元,设而不求的思想是高考考查重点.21.(1)因为,由已知得,∴.所以,设,则在上恒成立,即在上是减函数,由知,当时,从而,当时,从而.综上可知,的单调递增区间是,单调递减区间是(2)因为,要证成立即证成立,现证明:对任意恒成立,当时,由(1)知成立;当时,,且由(1)知,∴. 设,则,当时,,当时,,所以当时,取得最大值.所以,即时,.综上所述,对任意.①令,则恒成立,所以在上递增, 恒成立,即,即. ②当时,有;当时,由①②式,,综上所述,时,成立,故原不等式成立.【解析】本题主要考查导数的应用.(1)首先利用切线的斜率求出k的值,再根据导数构造新函数,利用新函数的导数判定的符号,即可求出单调区间;(2)根据不等式构造新的函数,利用新函数的导数证明不等式.【备注】导数是高考考查的重点,而导数中的构造新函数是难点.22.(1)连结,因为为圆的直径,所以,又,,则四点共圆,∴;(2)连结,在直角Δ和直角Δ中,,所以ΔΔ,所以,即,在直角Δ中,所以=3.设,则,所以,所以,解得,所以的长为1.【解析】本题主要考查圆中的几何证明.(1)先证明四点共圆,再利用圆中等弧对的圆周角相等即可;(2)利用两三角形的相似构造等量关系,从而求出的长.23.(1)曲线的极坐标方程是,化为,可得直角坐标方程:.直线的参数方程是为参数),消去参数可得.(2)把为参数)代入方程:,化为:,由,解得,∴.∵,∴,解得或.又满足.∴实数或.【解析】本题主要考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化及直线参数方程中参数的意义.(1)根据公式转化方程即可;(2)直线参数方程代入曲线方程,然后根据参数的意义解题.24.(1)解:,当时,-x-1-x-2-5,得;当时,得,故无解;当时,得.∴.(2)证明:,∴,要证,只需证,∵,∵,∴0∴,∴,∴成立.【解析】本题主要考查绝对值不等式.(1)利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式;(2)利用分析法证明不等式.。