[k12精品]高中数学1.4.4单位圆的对称性与诱导公式二学案北师大版必修四6

4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)学习目标 1.掌握诱导公式1.13～1.14的推导(重点).2.能应用公式1.13～1.14解决简单的求值，化简与证明问题(难点)．知识点1π2±α的诱导公式 对任意角α，有下列关系式成立：sin(π2＋α)＝cos α，cos(π2＋α)＝－sin α.(1.13)sin(π2－α)＝cos α，cos(π2－α)＝sin α.(1.14)诱导公式1.13～1.14的记忆：π2－α，π2＋α的正(余)弦函数值，等于α的余(正)弦三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”． 【预习评价】请你根据上述规律，完成下列等式．sin(32π－α)＝－cos_α，cos(32π－α)＝－sin_α.sin(32π＋α)＝－cos_α，cos(32π＋α)＝sin_α.知识点2 诱导公式的记忆方法记忆诱导公式的方法：奇变偶不变，符号看象限． (1)函数名不变，符号看象限“函数名不变，符号看象限”指的是对于角2k π＋α(k ∈Z )，－α，2π－α，π－α，π＋α的正弦函数、余弦函数值等于角α的同名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号． (2)函数名改变，符号看象限“函数名改变，符号看象限”指的是对于角k π2＋α，k π2－α(k 为奇数)的函数值等于角α的异名正弦函数、余弦函数值，前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号． 【预习评价】(1)cos(α－π2)＝________.(2)sin(α＋5π2)＝________.(3)cos(3π－α)＝________. (4)sin(2π＋α)＝________.答案 (1)sin α (2)cos α (3)－cos α (4)sin α题型一 条件求值【例1】 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3的值． 解 ∵α＋2π3＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2，∴sin(α＋2π3)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.规律方法 利用诱导公式1.13和诱导公式1.14求值时，要注意已知条件中的角和问题结论中角之间的联系，注意π6＋α与π3－α，π4－α与π4＋α等互余角关系的识别和应用．【训练1】 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值．解 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33.题型二 利用诱导公式化简和证明【例2】 求证：π－θcos θ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32π－θ－1＋π－θπ＋θπ2＋θ－3π2＋θ＝21－cos 2θ. 证明 左边＝－cos θcos θ－cos θ－＋cos θ－cos θcos θ＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝1－cos θ＋1＋cos θ＋cos θ－cos θ＝21－cos 2θ＝右边， 所以原式得证．规律方法 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．【训练2】 设sin(α＋8π7)＝a cos(α＋8π7)，求证：15π7＋α＋α－13π720π7－α－α＋22π7＝a ＋3a ＋1. 证明 ∵sin(α＋8π7)＝a cos(α＋8π7)．∴左边＝sin[π＋α＋8π7＋α＋8π7－3π]sin[4π－α＋8π7－cos[2π＋α＋8π7＝－α＋8π7－α＋8π7－α＋8π7－α＋8π7＝－a α＋8π7－α＋8π7－a α＋8π7－α＋8π7＝a ＋3a ＋1＝右边． ∴原等式得证．【例3】 已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求π－α＋π－α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－－α的值．解 由sin(α－3π)＝2cos(α－4π) 得sin(α－π)＝2cos α， 即sin α＝－2cos α. ∴π－α＋π－α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－－α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α ＝－2cos α＋5 cos α－2cos α－2cos α＝－34.【迁移1】 若例3中的条件不变改为求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋απ＋απ2＋απ－α的值，则结果如何？解 原式＝cos α－sinα－sin α－α＝－sin αcos αsin αsin α＝12. 【迁移2】 若例3中的条件不变改为求π－α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α3π2－α＋－π＋α的值．解 由例题知，sin α＝－2cos α. 原式＝sin α－cos α－sin α－cos α＝－2cos α－cos α2cos α－cos α＝－3cos αcos α＝－3. 【迁移3】 若将例3中的条件“sin(α－3π)＝2cos(α－4π)”改为“已知α＝ －31π3”．求原式的值．解 ∵α＝－31π3，∴sin α＝sin(－31π3)＝－sin(5×2π＋π3)＝－sin π3＝－32，cos α＝cos(－31π3)＝cos(5×2π＋π3)＝cos π3＝12，∵π－α＋π－α3π2－α－－α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－32＋52－1－32＝5－3－2－3＝－13＋7 3.规律方法 所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值．利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，当三角函数式中含有k π±α，k2π±α(k ∈Z )时，要注意讨论k 为奇数或偶数.课堂达标1．若sin α＝12，则cos(π2＋α)的值为( )A.12 B.32 C ．－12D ．－32解析 ∵sin α＝12，∴cos(π2＋α)＝－sin α＝－12.答案 C2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为( ) A ．－233B.233C.13D ．－13解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－13.答案 D3．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是________．(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解析 原式＝sin 2(A ＋45°)＋sin 2(45°－A ) ＝sin 2(A ＋45°)＋cos 2(A ＋45°)＝1. 答案 14．若sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12)＝________.解析 cos(α＋7π12)＝cos[π2＋(α＋π12)]＝－sin(α＋π12)＝－13.答案 －135．已知sin(π＋α)＝－13.计算：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2； (2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α. 解 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－13，∴sin α＝13.(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－sin α＝－13.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos 2α＝1－sin 2α＝1－19＝89. ∵sin α＝13，∴α为第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝223. ②当α为第二象限角时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－223. 课堂小结1．诱导公式的选择方法：先将－α化为正角，再用2k π＋α(k ∈Z )把角化为[0,2π)内的角，再用π±α，π2＋α，2π－α化为锐角的三角函数，还可继续用π2－α化为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4内的角的三角函数．由此看，利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，这也正是：诱导公式真是好，负化正后大化小．2．解决给式求值问题的常见思路有：若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止．无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标，根据需要变形.基础过关1．若sin(3π＋α)＝－12，则cos(7π2－α)等于( )A ．－12B.12C.32D ．－32解析 ∵sin(3π＋α)＝－sin α，∴sin α＝12，∴cos(7π2－α)＝cos(3π2－α)＝－cos(π2－α)＝－sin α＝－12.答案 A2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值等于( ) A ．－13B.13 C ．－223D.223解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13. 答案 A3．若sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( )A ．－2m3B.2m3 C ．－3m 2D.3m 2解析 ∵sin(π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－sin α＝－m ， ∴sin α＝m2.故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＋2sin(2π－α)＝－sin α－2sin α ＝－3sin α＝－32m .答案 C4．已知sin α＝12，则cos(π2＋α)的值为________．解析 cos(π2＋α)＝－sin α＝－12.答案 －125．化简：θ－5π－π2－θπ－θθ－3π2－θ－π＝________.解析 原式＝θ－ππ2＋θ－θθ＋π2－θ＋π＝－sin θ－sin θθcos θsin θ＝sin θ.答案 sin θ6．已知角α终边经过点P (－4,3)，求π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α的值．解 ∵角α终边经过点P (－4,3)， ∴sin α＝35，cos α＝－45，∴π2＋α－π－α11π2－α9π2＋α＝－sin αsin α－sin αcos α ＝－34.7．求证：θ－32πθ＋π2－11－2cos2θ＋32π＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ.(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立) 证明 ∵左边＝－32π－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝－2sin[π＋π2－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝π2－θ－sin θ－11－2sin 2θ＝－2sin θcos θ－1sin 2θ＋cos 2θ－2sin 2θ＝θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝右边． ∴原式成立．能力提升8．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B.23 C ．－13D ．－23解析 sin(α－15°)＋cos(105°－α)＝sin[(75°＋α)－90°]＋cos[180°－(75°＋α)] ＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α) ＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α) ＝－2cos(75°＋α)＝－23.答案 D9．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 179°＋cos 180°＝________. 解析 cos 179°＝cos(180°－1°)＝－cos 1° cos 178°＝cos(180°－2°)＝－cos 2° ……cos 91°＝cos(180°－89°)＝－cos 89°∴原式＝(cos 1°＋cos 179°)＋(cos 2°＋cos 178°)＋…＋(cos 89°＋cos 91°)＋ (cos 90°＋cos 180°)＝cos 90°＋cos 180°＝0＋(－1)＝－1. 答案 －110．已知α为第二象限角，化简1＋π－αα－πα－3π2－1－sin 23π2＋α＝________.(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解析 原式＝1＋2sin α－cos αcos α－3π2＋α＝|sin α－cos α|cos α－|sin α|.∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴原式＝sin α－cos αcos α－sin α＝－1.答案 －111．若k ∈{4,5,6,7} ，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－α＝－sin α，cos ⎝⎛⎭⎪⎫k π2－α＝cos α，则k ＝________.解析 利用验证法，当k ＝4时，sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α符合条件；当k ＝5,6,7时，不符合条件．故k ＝4. 答案 4 12．化简求值：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)sin(2n π－2π3)·cos(n π＋4π3)(n ∈Z )．解 (1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5＝cos π5＋cos 2π5＋cos(π－2π5)＋cos(π－π5)＝cos π5＋cos 2π5－ cos 2π5－cos π5＝0.(2)①当n 为奇数时，原式＝sin(－2π3)·(－cos 4π3)＝sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝－sin π3·cos π3＝－32×12＝－34；②当n 为偶数时， 原式＝－sin 2π3·cos 4π3＝－sin(π－π3)·cos(π＋π3)＝sin π3·cos π3＝34. 13．(选做题)是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式k12精品K12精品文档学习用 ⎩⎪⎨⎪⎧ sin 3π－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos －α＝－2cos π＋β同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．(注：对任意角α有sin 2α＋cos 2α＝1成立)解 由条件，得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22， 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，代入①可知符合． 当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)， 所以β＝π6，代入①可知不符合． 综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。