量子力学(第十章)
华中科技大学《量子力学》10讲-球方势阱
Rl
(r)
r (l1)的解要舍去
r
0时,
Rl
(r)
rl 21
三、三维各向同性谐振子(4)
3、径向波函数在 r 时的渐近行为
对三维各向同性谐振子，V (r) 2r2 / 2,
采用自然单位，径向方程为
Rl(r) 2r 1Rl(r) [2E r 2 l(l 1)r 2 ]Rl (r) 0 为求解Rl (r)，设Rl (r) f (r)u(r), 将关于Rl (r)的 方程转换为u(r)的方程，而f (r)则从考察r 0和
11
二、无限深球方势阱(6)
Rnrl (r) Cnrl jl (kr) Cnrl jl (x), x kr
从jl
(
x)
0，得到nr
个
根xnr
，从而得
l
到
E
Enrl
2
2a 2
x2 nr
l
,
nr
0,1,2, ,
球Bessel函数
jl
(
x)
(1)l
xl
(
1 x
d )l dx
sin x x
sin x
l(l 1) r 2 ]Rl
(r)
0
或
l(r)
[
2
2
(E
V
(r))
l
(l r2
1)
]
l
(r)
0
其中，l (r) rRl (r) 径向波函数 取决于V (r)
5
二、无限深球方势阱(1)
对无限深球方势阱
0, r a V (r) , r a ,
能量本征方程为
[
2
2r
2 r 2
量子力学讲义第8、9、10章教案
第三篇对称性与不变性对称性的重要意义：伽利略变换下的不变性→牛顿力学的基石之一。
洛仑兹变换下的不变性→相对论的基石之一。
对称性←→守恒律（量）21 世纪的重大问题之一：理论越来越对称，实验越来越多地发现不对称~“矛盾”？！（参见李政道《物理学的挑战》）本篇主要内容： 1、转动对称性问题 ~自旋与角动量；2、粒子交换对称性问题 ~全同粒子问题；3、时空交换对称性问题 ~对称性与守恒律问题。
第八章自旋与角动量8.1 电子自旋1925 年实验提出→ 1928 年相对论波动力学自动从理论上引入量子力学。
自旋 ~ 描述微观粒子特征的基本物理量。
一、关于自旋的实验事实（原子物理已讨论）①纳黄线的精细结构；②复杂（反常）塞曼效应；③斯特恩-盖拉赫实验。
→为了解释实验现象，引入新的自由度（在内禀空间中）。
二、乌伦贝克 -哥德斯密特假设1、每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上（取作z 轴）的投影只能取两个值S z2。
2、每个电子的自旋磁矩M S与自旋角动量S的关系为M S eS, M S zeS z e M B。
2自旋磁矩与自旋角动量的比值称电子自旋的回转磁比率：MS z e g S e, g S2 ~ 朗德因子。
S z2与轨道角动量的回转比率比较：ML ze eL z2gL2, g L 1 ~ 朗德因子，知 g S 2g L 。
注意：轨道角动量有经典对应 ~ Lr p L r p ，自旋角动量没有经典对应。
如果设想为经典自转→违背相对论。
自旋是内禀自由度（对经典讲，是全新的概念）8.2 自旋算符与自旋波函数问题：自旋算符如何定义？自旋如何描述？ 基本思路 ~ 由对易关系定义算符。
（无经典对应）已知“轨道”：J Ji J[ J x , J y ] i J z , [ J y , J z ] i J x , [ J z , J x ] i J y 。
一、自旋算符的对易关系及自旋算符的本征值 定义：S S i S[S x , S y ] i S z , [ S y , S z ] i S x , [ S z , S x ] i S y[ S 2 , S x ] [S 2 , S y ] [ S 2 , S z ] 0实验表明： S x2, S y , S zS x 2 S y 2 S z 22S 23 2 。
第10章电磁场的量子化
i [q, p] i [(a a), (a a)] i[a, a ] 2
即有：
[ a, a ] 1
将 q 和 N n 的表达式(10.1.22a)和(10.1.21)代入光场的表达式(10.1.2)，有：
(10.1.23)
Ex ( z, t )
式中：
(10.1.47)
q
M
(10.1.48)
则本征函数 n ( ) q n 。 光子数态 n 的一个重要而有趣的性质是光场的平均值为零
n | Ex | n n | E0 (a a ) sin kz | n E0 n | (a a ) sin kz | n 0
10.1
光场的量子化
在研究光与物质相作用，有些现象，如激光现象必需用全量子理论才能解释。因此首先要将光场量子 化。
10.1.1
单模光场的量子化
在真空中，MKS 单位制下的麦克斯韦方程为：
244
D t B E t H
B 0 E 0
(10.1.1a) (10.1.1b) (10.1.1c) (10.1.1d) (10.1.1e) (10.1.1f)
(10.1.11)
q
H p H q
(10.1.12a)
p
(10.1.12b)
由(10.1.7)、(10.1.10)和(10.1.12)，可知，哈密顿量为：
1 H ( p 2 q 2 ) 2
作如下变换：
(10.1.13)
q M q'
p 1 p' M
(10.1.14a) (10.1.14b)
n | aa | n n | (aa 1) | n n 1
量子跃迁
Cnk (t) e−iEn t/ |ψn ⟩
Cnk (t) = ⟨ψn |ψ (t)⟩
我们增加k 的指标是为了表明扰动之前是处在|ψk ⟩这个本征态上，出现跃迁是从Ek 这个能级上跃迁出来 的。 按照统计诠释，t时刻测量力学量F ，得到Fn 的几率应该为 Pnk (t) = |Cnk (t)| = |⟨ψn |ψ (t)⟩|
) ′ ′ eiωmk t ∂Hmk (t′ ) ′ + dt |m⟩ e−iEm t/ = δmk − ωmk ωmk ∂t′ −∞ m ) ( ′ ∑ e−iEm t/ ∫ t ∂H ′ (t′ ) ∑ ′ Hmk ′ ′ mk |m⟩ e−iEk t/ − eiωmk t dt′ |m⟩ = |k ⟩ + ′ Ek − Em Ek − Em −∞ ∂t m m ∑ ( t) ∫
t > t0 t < t0
ˆ 0 ，在某个时刻开始加上一个扰 也就是说，在无外界相互作用的时候，体系Hamiltonian 为不含时的H ˆ ′ (t)。 动H ˆ 0 本征态|ψk ⟩上， t < t0 时是定态问题，系统处于H ˆ 0 |ψn ⟩ = En |ψn ⟩ H |ψk (t)⟩ = e−iEk t/ |ψk ⟩ (t < t0 )
t iωmk t′ ′ Hmk ′ ′
∫
(1) Cmk
(t)
当t < 0，H 有加上微扰，量子态随时间的演化只是一个非定 态的不含时问题，各成分保持不变。从另一个角度也可以理解为跃迁出去多少，从所有别的态跃迁回来 也是多少。 当0 < t < T ， Cmk (t) = −
(1) ′ eiωmk t Hmk ( t) + ωmk
∫
第十章 共价键和分子间作用力
第十章共价键和分子间作用力本章教学要求掌握现代价键理论、杂化轨道理论熟悉共价键的本质、特征和类型，分子间作用力了解价层电子对互斥理论、分子轨道理论(chemical bond)。
化学键分为离子键(ionic bond)、共价键(covalent bond)和金属键(metallic bond)。
本章依据量子力学阐述共价键的现代理论，同时要介绍物质分子与分子之间比较弱的相互作用力，即分子间作用力(intermolecular force)，它包括范德华力(van der Waals force)和氢键(hydrogen bond)。
第一节现代价键理论1916年美国化学家路易斯(G.N. Lewis)*提出经典的共价键电子理论。
该理论认为两个或多个原子可以相互“共用”一对或多对电子，以便达到稀有气体原子最外层2或8电子层结构（路易斯结构），而生成稳定的分子。
例如：H·+ ·H →H∶H 或H－H分子中通过共用电子对连接的化学键称为共价键，也可用短横线表示。
该理论初步揭示了共价键与离子键的区别，能解释共价键的饱和性。
但不能解释一些分子的中心原子最外层电子数虽然少于或多于8仍能稳定存在的事实，如：也无法说明为什么共用互相排斥的两个带负电荷的电子能使原子成为稳定分子的本质原因。
直到量子力学建立以后，共价键的理论才开始发展。
一、氢分子的形成和共价键的本质* G.N. Lewis加州大学伯克利分校教授，Lewis提出共价键的电子理论对发展化学价理论奠定了基础；他还创造性地提出了酸碱电子理论。
他的研究生中先后有5人获得诺贝尔奖。
图氢分子是最简单的典型共价键分子。
1927年德国化学家海特勒（W. Heitler ）和伦敦（F. London ）把氢分子看成是两个核和两个电子组成的系统，用量子力学近似求解其薛定谔方程。
结果得到H 2分子形成的势能曲线，见图10-1。
当两个H 原子彼此远离时没有相互作用，它们的势能为零。
高中物理竞赛量子力学第10讲 无限深球方势阱
ˆ 的本征函数， 因此 (r, , ) Rl (r ) f ( , ) 既是 H 也是 lˆ2 和 lˆz 的共同本征函数，由此可得：
f ( , ) Ylm ( , )
(r, , ) ml (r, , ) Rl (r )Ylm ( , )
2 l (l 1) l(r ) [ 2 ( E V (r )) 2 ] l (r ) 0 r
Rl (r ) 称为径向波函数，取决于 V (r ) 的形式。
5
二、无限深球方势阱(1)
0, r a 无限深球方势阱： V (r ) , r a 2 2 lˆ 2 能量本征方程写为： [ r V (r )] E 2 2 2r r r 2r
2 (nr 1) 0 nr (r ) sin r a a
r
7
二、无限深球方势阱(3)
2、非 s 态情况（即 l 0 的情况） 势阱内 (0 r a) ： V (r ) 0 令 k 2E / 2 2 l (l 1) 径向方程写为：Rl(r ) Rl(r ) [ 2 E ]Rl (r ) 0 2 r r 称为球Bessel方程，其解：Rl (r ) jl (kr), k 2E /
2 (r ) 2 [ E V (r )] 0 (r ) 0, 0
6
二、无限深球方势阱(2)
2 s态情况 0(r ) 2 [ E V (r )] 0 (r ) 0, 在边界条件 0 (0) 0 (a) 0 下求解方程 势阱内 (0 r a) ： V (r ) 0 令 k 2E /
考虑到中心势场 V (r ) 是球对称的，采用球坐标 2 2 2 2 2 ˆ ˆ l l ˆ 2 2 2 2 p r2 2 r 2 2 r r r r r r r 2 2 lˆ 2 能量本征方程写为： [ r V (r )] E 2 2 2r r r 2r 在给定 V (r ) 后可确定本征态 和本征值 E
量子力学教程第十讲PPT学习教案
(r ,
t)
空间 反演算 符也称 为宇称 算符
反演算符 的本 征值
Iˆ
Iˆ[Iˆ
(r ,
t)]
Iˆ
(r ,
t
)
(r ,
t)
Iˆ
2
(r ,
t
)
I2 1
本征值
I 1
第6页/共9页
7
3.8 力学量随时间的变化 守恒律（续6）
1
I
1
Iˆ (r,t) (r,t) (偶宇称) Iˆ (r,t) (r,t) (奇宇称)
具 有偶宇 称或奇 宇称的 波函数 称为具 有确定 的宇称 。宇称 是运动 空间对 称性的 描述。
宇称守恒 律： 若体系的 哈密顿 算符具 有空间 反演不 变性
即
IˆHˆ (rˆ,t) Hˆ (r,t) Hˆ (rˆ,t)
则 为运 动积分 ，即宇 称守恒
Iˆ
Prove：
IˆHˆ (r)(r,t) Hˆ (r)(r,t) Hˆ (rˆ)Iˆ(r,t)
第7页/共9页
8
3.8 力学量随时间的变化 守恒律（续7）
IˆHˆ HˆIˆ
[Iˆ, Hˆ ] 0
又 不显 含t，
Iˆ
Iˆ 0
t
故
dIˆ
dt
Iˆ t
1 i
Iˆ, Hˆ
0
因此, 为 运动积 分，亦 即宇称 守恒
Iˆ
宇称守 恒表示 体系的 哈密顿 算符和 宇称算 符具有 共同本 征函数 , 因而 体系能 量本征 函数可 以有确 定的宇 称，而 且不随 时间变 化。 衰变宇 称不守 恒！
即
则有
结论:力学 量 的 平均值 不随 时间而 变化, 则称
曾谨言量子力学课后答案
2
得a2
=
nh mωπ
=
2hn mω
（3）
2
代入（2），解出
En = nhω,
n = 1, 2,3 u 2 du = u a 2 − u 2 + a 2 arcsin u + c
2
2
a
1.4 设一个平面转子的转动惯量为 I，求能量的可能取值。
∫ 提示：利用
2π 0
（1） （2）
5
取（1）之复共轭：
−
ih
∂ψ * 1 ∂t
= −
h2 ∇2 2m
+
V
ψ
* 1
ψ
2
×
（3）
−ψ
* 1
×
（2）,得
（3）
对全空间积分：
( ) ( ) − ih
∂ ∂t
ψ *ψ 12
=
−
h2 2m
ψ
2
∇
2ψ
* 1
−ψ 1*∇ 2ψ
2
∫ ∫ [ ] − ih d dt
d
3 rψ
* 1
(rv,
因而平面转子的能量
Em = pϕ2 / 2I = m2h 2 / 2I ， m =1, 2,3,L
第二章 波函数与 Schrödinger 方程
2.1
设质量为
m
的粒子在势场V
v (r )
中运动。
∫ （a）证明粒子的能量平均值为 E = d 3r ⋅ w ，
w = h 2 ∇ψ *ψ +ψ *Vψ 2m
d
3rψ
*
−
h2 2m
∇
2
ψ
(动能平均值)
=
《原子物理与量子力学》第十,十一章部分习题解答
HUST
APPLIED PHYSICS
1
Lx的久期方程为
的本征值方程， Lx 的本征值方程，如下
HUST
APPLIED PHYSICS
2
HUST
APPLIED PHYSICS
3
STLz→Lx
对角化过程就是L 表象向L 对角化过程就是Lx 由Lz表象向Lx表象的变换过程 Lz表象中 z 对应本征值 表象中L
7
（1） ） 的本征态中分析L （1）在Lz的本征态中分析Lx的取值情况 Lx在Lx表象中的本征态为： 表象中的本征态为： 由表象变换公式L 由表象变换公式 z 的本征态 表象下为： 在Lx表象下为：
HUST
APPLIED PHYSICS
8
由以上展开式系数可得L 由以上展开式系数可得 x的取值及取值几率
11
5.3非简并定态微扰公式的运用（P172） 非简并定态微扰公式的运用（S
12
第十、 第十、十一章 表象和微扰
P130 4.5 的共同表象中求L 的本征值和本征函数， 在 L2， Lz的共同表象中求Lx， Ly的本征值和本征函数， 并将L 对角化且： 并将Lx，Ly对角化且： 的本征态中分析L 的取值情况； （1）在Lz的本征态中分析Lx的取值情况； 的本征态中分析L 的取值情况； （2）在Lx的本征态中分析Lz的取值情况； （3）在Lx表象中表示Lz及其本征态。 表象中表示L 及其本征态。 在L2，Lz的共同表象中
HUST
APPLIED PHYSICS
5
同理 L y 的久期方程为
Lz表象中对应本征值
的本征态为： h,0,−h 的本征态为：
HUST
APPLIED PHYSICS
6
大学物理知识总结习题答案(第十章)量子物理基础
第十章 量子物理基础本章提要1． 光的量子性· 物体由于自身具有一定温度而以电磁波的形式向周围发射能量的现象称热辐射。
· 在任何温度下都能全部吸收照射到它表面上的各种波长的光（电磁波），则这种物体称为绝对黑体，简称黑体。
· 单位时间内物体单位表面积发出的包括所有波长在内的电磁波的辐射功率，称为辐射出射度。
2． 维恩位移定律· 在不同的热力学温度T 下，单色辐射本领的实验曲线存在一个峰值波长λm ，维恩从热力学理论导出T 和λm 满足如下关系λm T b =其中b 是维恩常量。
3． 斯忒藩—玻尔兹曼定律· 斯忒藩—玻尔兹曼定律表明黑体的辐射出射度M 与温T 的关系4T M σ=其中s 为斯忒藩—玻尔兹曼常量。
对于一般的物体4T M εσ=e 称发射率。
4． 黑体辐射· 黑体辐射不是连续地辐射能量，而是一份份地辐射能量，并且每一份能量与电磁波的频率ν成正比，这种能量分立的现象被称为能量的量子化，每一份最小能量E hv =被称为一个量子。
黑体辐射的能量为E nhv =，其中n ＝1，2，3，…，等正整数，h 为普朗克常数。
· 普朗克黑体辐射公式简称普朗克公式25/λ2πhc 1()λ1hc kT M T e l =-· 光是以光速运动的粒子流，这些粒子称为光量子，简称光子。
· 一个光子具有的能量为νh E =。
5． 粒子的波动性· 德布罗意认为实物粒子也具有波粒二象性，它的能量E 、动量p 跟和它相联系的波的频率ν、波长λ满足以下关系2E mc h ν==λh p m u == 这两个公式称为德布罗意公式或德布罗意假设。
与实物粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波。
· x x p D D ?h 或者E t D D ?h 这一关系叫做不确定关系。
其中为位置不确定量、动量不确定量、能量不确定量、时间不确定量。