弘毅考研_第35讲

第35讲。

曲线积分与场论向量曲线积分的学习内容分两块。

第一块是积分定义与算法（投影法）。

第二部分是“有势场”的四个等价定理。

两者之间，格林公式是桥梁。

它既使向量曲线积分算法丰富多彩，又是证明“等价四定理”的基本出发点。

考研数学在“场的奇异点”问题上远超教材，但此内容单一，关键是要熟悉“复连通域上的格林公式”及其推论。

积分的数学定义繁杂，考生只需理解向量曲线积分的物理背景，进而知道积分的由来。

物理模型与微量分析 —— “计算常力作功”，可以说是向量数量积（内积）的起源模型。

即若质点在常力F 的作用下有位移矢量L ，则常力F 作功 W = | F| cos α ٠|L| = F L ，其中，α是两矢量的夹角。

向量曲线积分的物理背景是力场中场力作功的问题。

已知平面力场 y x Q i y x P ) ,() ,(+= ，在此平面力场中，若沿路径L 指定方向移动质点，设在L 上任意一点M 处，有L 的微段，其微弧长d s ，要考查功的微量，力矢量自然取 j M Q i M P M F )()()(+= ，而位移矢量 用两要素表示，指向为切方向（单位向量），模长d s ，即= ),()()())()())((),((221220dy dx dt t y t x t y t x t y t x ds =′+′×′+′′′=−τ故，功（场力（或反抗场力）作功）的微量 =dw dy M Q dx M P )()(+=•∫∫+=⋅=LLdy y x Q dx y x P l W ) ,() ,( ) ,(dy dx =教科书定义向量曲线积分，是两个积分分别用“积分和的极限”来定义。

这是要保证每 个积分都存在。

（潜台词：有可能“不存在 + 不存在 = 存在”。

）模型与定义稍有差别。

理论上说，曲线积分的被积函数就定义在该曲线上。

因而在必要的时候，可依据曲线方程变换被积式中的P 和Q ，这时在物理意义上，就是换了一个场，再来计算。

力场换了，但沿此路径作功量不变。

1．第二型曲线积分（向量曲线积分）的基本算法 —— 投影法投影法 —— 应用积分路径的参数方程，将曲线积分化为由起点参数α到终点参数β的关于参变量的定积分。

即设有积分路径L ： ，t 由α起到β ， （α可能大于β，不能记为α≤t ≤β）⎩⎨⎧==)( )( t y y t x x 则，∫∫′+′=+Ldt t y t y t x Q t x t y t x P Qdy Pdx βα))())( ),(()())( ),(((学习向量积分，要特别注意积分的方向性。

积分限（不管α和β谁大谁小）的规定显示积分的方向性。

如果积分路径由两条或多条曲线组成，则要按照指定的统一方向，顺次把积分表示为各段路径上的积分之和，再分别用投影法化为定积分计算。

例121 设L 为园周 222=+y x 在第一象限中的部份，逆时针方向，则 曲线积分的值为_______∫−Lydx xdy 2分析 用参数方程 θθsin 2,cos 2==y x ，θ由0到2π积分πθθπ23)sin 22(2/02=+=∫d 例122 试将曲线积分表示成定积分。

其中L 是以A （1, 2）、 ∫+Ldy dx y x f )( |)| |,(|)1 ,1(−B 及C （2, 0）为顶点的三角形周边ABCA 。

解 积分按ABCA 的顺序进行。

各段分别有参数方程AB ：，y 由2到⎩⎨⎧==yy x 11−； BC ：，y 由⎩⎨⎧=+=yy y x 21−到0；CA ：⎪⎩⎪⎨⎧=−=yy y x 22，y 由0到2； （BC 及CA 段也可以选x 为参数）原积分 ∫∫∫−−−++−+=0 211) ,2(2) ,1() ,1(dy y y f dy y f dy y f ∫−+20 ) ,22(21dy y y f （潜台词：写坐标线段的参数方程，用向量法快写直线参数方程，这都是功夫。

）例123 质点P 沿着以AB 为直径的半园周，从点A （1，2）运动到点B （3，4）的过程中，受到变力F 作用。

F 的大小等于点P 到原点O 之间的距离，其方向垂直于线段OP ，且与y 轴正向的夹角小于2π，求变力 F 对质点P 所作的功A 分析 涉及物理背景的题目，首先求出力场的向量式。

易知直径 22||=AB ，由于半园周在第一象限，故变力的指向为左上。

它在水平方向投影为负，竖直方向投影为正。

（潜台词：二微情形，向量两要素思维，先定方向（符号），再算大小。

）又，两对边分别垂直的两个角相等。

力与y 轴所成角等于向径OP 与x 轴所成角。

从而易知 x i y +−=r轨道圆心C （2，3），轨道有平移后的极坐标式⎪⎩⎪⎨⎧+=+=θθsin 23cos 22y x ，θ由43π−到4πxdy ydx d A AB AB +−==⋅=∫∫∩∩)()(∫−−=++=4/ 4/3 )1(2)2sin 23cos 22(πππθθθd2．单连通区域上的格林公式计算沿闭曲线（常称为闭轨）指定方向的曲线积分，在向量场背景下，可以用格林公式转化为二重积分。

单连通区域 —— 区域内的任一闭曲线，总可以向心收缩为区域的一点。

逆向对比：如果我们有必要在平面区域D 内讨论平面力场 y x Q i y x P ) ,() ,(+=，而P 或Q 仅在D 内一点M 0无定义或偏导数不连续，那就认为M 0不属于力场，我们面临的不是单连通区域而是复连通区域。

显然，D 内任何围绕M 0的闭曲线都不能向心收缩为区域D 的一点。

闭曲线正向 ——当你沿闭曲线正向行进时，闭曲线所围区域总是在你的左手一侧。

特别的，单连通区域的边界正向就是逆时针向。

格林公式 —— 如果函数P (x , y )，Q (x , y ) 及 y P ∂∂ 和 x Q∂∂ 都在单连通区域G 中连续，规定G 内的闭曲线以反时针方向为正向，则∫∫∫∂∂−∂∂=+DL dxdy yPx Q dy y x Q dx y x P () ,() ,()( 正向 例124 平面区域{}ππ≤≤≤≤=y x y x D 0,0),( 是L D 的正向边界，试证明（1）dx ye dy xedx yedy xe x LyxLy sin sin sin sin −=−∫∫−−（2）2sin sin 2π≥−−∫dx ye dy xe x Ly 分析 （1）从)0,0(),0(),()0,()0,0(→→→→ππππ用投影法逐段计算左端右端=+=+=−−∫∫∫dx e e dx e dy e x x x y )(sin 0sin 0sin 0sin ππππππ（潜台词：定积分的值与积分变元用什么字母表示无关。

）（2） 22sin sin sin sin =⋅≥+−−x x x xe e e e ， 故 原积分22π≥分析二 如果应用格林公式计算本题，则 （1）的左端 ， （1）的右端∫∫−+=Dx yd e eσ)(sin sin ∫∫+=−Dx yd e eσ)(sin sin 区域D 关于x y = 对称，而被积函数恰好有),(),(x y f y x f = 的特点。

故前一积分于区域D 左上的值等于后一积分于区域D 之右下。

而其右下则等于后一积分之左上。

（1）成立。

（潜台词：面临闭轨积分，投影法也随时准备着。

也许投影法较为简明。

）3．积分与路径无关理论（等价四定理）积分与路径无关理论，可以说是关于场的分类理论。

即讨论“什么样的力场才和重力场有相同的性质——积分（作功）与路径无关。

”对于平面力场来说，解答这个问题的基本工具是格林公式。

（潜台词：积分（作功）只与起点终点位置有关。

反抗场力所作功，转化为“势能”。

）积分与路径无关等价四定理 —— 在同样的前提条件下，可以证明下列四个命题等价。

命题（1） 曲线积分 的值与路径无关。

dy y x Q dx y x P AB ) ,() ,()(+∫∩命题（2） 沿区域G 内任何光滑闭曲线的积分为零。

命题（3） 在区域G 内，恒有x Q y P ∂∂=∂∂ 命题（4） P dx + Q dy 在区域G 内为全微分表达式。

即， 有二元函数 F （x ，y ）可微，且 dF = Pdx + Qdy ，实际上F (x , y ) =，可以沿坐标折线积分，具体求出F (x , y )∫+),( ) ,( 0y x y x Qdv Pdu 上述理论使我们可以更加灵活地计算曲线积分，甚至用曲线积分来计算面积。

即在满足格林公式的条件下有例126 计算，其中AOB 为由点沿曲线dy xe y dx e xy y y AOB)(cos )12(−−+∫)1 ,1(−A y = x 2 到点O (0, 0)，再沿直线 y = 0 到点B (2, 0) 的路径。

解 直接用投影法计算，将会在AO 段碰上计算的困难。

dx e x 20 1∫−OB 段的计算很简单。

故考虑对AO 段增添路径，构成统一方向的闭路，部份使用格林公式，列 方程 求 原积分。

（潜台词：添加路径列方程或另选轨道，首先考虑坐标折线。

） 选D （0，1），用坐标折线段OD ，DA 与AB ，组成正向闭路AODA ，这就有方程， （其中312121 0 1 )( )( 2=−=−=+∫∫∫∫∫∫−xdy xdxdy x DODA AO x y Px Q 12−=∂∂−∂∂） 易算得e dx e x ydy ODA −−=++−=∫∫∫−1sin 6)12(cos 11)( ，212)( ==∫∫dx OB 原积分 = = ∫∫∫∫+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+)( )( )( )( OB ODA ODA AO 1−e + sin 1例127 确定常数λ ，使右半平面x > 0上的向量y x x i y x xy y x λλ)()(2) ,(24224+−+=r为某二元函数u (x , y )的梯度，并求u (x , y ) 解 记λλ)( ,)(224224y x x Q y x xy P +−=+=) ,(y x 在右半平面x > 0上为某二元函数u (x , y )的梯度，即是说要Pdx + Qdy 是全微分式，其充要条件是 yPx Q ∂∂=∂∂ ， 此即 ，解之得λ= 0)1()(424=++λλy x x 1−在右半平面内任取一点，例如取（1，0）作为积分路径的起点，则得C vu dv u uvdu y x u y x ++−=∫242),()0 ,1(2),(C dv vx x du vu u yx++−+⋅=∫∫242 024102C x y arctg+−=2*4. 被积函数有奇异点的曲线积分在场论背景下计算曲线积分，被积函数有奇异点时，可以选择在不含奇点的那些区域内展开讨论和计算。