线性代数中的特征多项式与相似矩阵
线性代数第五章 相似矩阵
第五章 相似矩阵§1 特征值与特征向量特征值是方阵的一个重要特征量，矩阵理论的很多结果都与特征值有关，在工程技术及其理论研究方面都有很重要的应用。
定义1：设A 为n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非0列向量X ，满足：(1)AX X λ=。
则称λ是方阵A 的特征值（也称为特征根），X 是方阵A 的属于特征值λ的特征向量。
例如矩阵1000A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，取11= 0X ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20=1X ⎛⎫⎪⎝⎭，则有 11=1AX X ⋅，22=0AX X ⋅，所以1，0是A 的特征值，12,X X 是分别属于特征值1和0的特征向量。
（1）式又可以写成 ()0(2)E A X λ-=。
即特征向量是齐次线性方程组（2）的非零解，从而有||0 (3)E A λ-=。
（3）称为方阵A 的特征方程，求解方程（3）即得矩阵A 的特征值。
||E A λ-称为方阵A 的特征多项式。
对求出的特征值0λ，代入方程组（2）求解即得属于0λ的特征向量。
例1：已知方阵A 满足 2A E =，证明：A 的特征值只能为1或1-。
证明：设λ是A 的任一特征值，则有非零向量X ，使得 AX X λ=。
两边左乘以A ，有22()()A X A A AX X λλλ===。
又 2A E =，所以2(1)0X λ-=。
由于0X ≠，从而 21λ=，即 1λ=±。
例2：求矩阵110430102A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的特征值与特征向量。
解：因 2110||430(2)(1)102E A λλλλλλ+--=-=----。
所以矩阵A 的特征值2λ= 或 1λ=。
当2λ=时，310100410010100000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，1001η⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
故属于2λ=的特征向量为11(0)k k η≠。
当 1λ=时，210101420012101000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，2121η-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭。
相似矩阵的性质与判定条件
相似矩阵的性质与判定条件相似矩阵是线性代数中一个重要的概念，它在矩阵理论和应用中都有广泛的应用。
本文将介绍相似矩阵的性质以及判定条件，以便更好地理解和应用这个概念。
一、相似矩阵的定义在线性代数中，给定一个n阶矩阵A和一个可逆矩阵P，如果满足$P^{-1}AP = B$，则称矩阵B是矩阵A的相似矩阵，矩阵A和B互为相似矩阵，记作A~B。
其中，矩阵P是相似变换矩阵。
二、相似矩阵的性质1. 相似矩阵具有相同的特征值。
即矩阵A和B的特征值相同，即$det(A-\lambda I) = det(B-\lambda I)$，其中I为单位矩阵，$\lambda$为特征值。
2. 相似矩阵有相同的特征多项式。
矩阵A和B的特征多项式相同，即$|A-\lambda I| = |B-\lambda I|$。
3. 相似矩阵有相同的迹。
矩阵A和B的迹相同，即$tr(A) = tr(B)$，其中tr(A)表示矩阵A的迹。
4. 相似矩阵具有相同的秩。
矩阵A和B的秩相同，即$r(A) = r(B)$，其中r(A)表示矩阵A的秩。
5. 相似矩阵的乘积不变。
如果A和B是相似矩阵，那么对于任意的矩阵C，都有$CAC^{-1} = CBC^{-1}$。
三、相似矩阵的判定条件1. 相似矩阵具有相同的标准型。
如果两个矩阵A和B的标准型相同，那么它们互为相似矩阵。
2. 相似矩阵具有相同的秩和相同的特征多项式。
如果两个矩阵A和B具有相同的秩和相同的特征多项式，那么它们互为相似矩阵。
3. 相似矩阵具有相同的Jordan标准型。
如果两个矩阵A和B的Jordan标准型相同，那么它们互为相似矩阵。
四、相似矩阵的应用相似矩阵在矩阵表示、特征值计算、矩阵对角化等方面有着广泛的应用。
在线性代数的教学和研究中，相似矩阵的概念和性质是不可或缺的基础内容。
总结：相似矩阵是线性代数中的一个重要概念，矩阵A和B互为相似矩阵意味着它们具有相同的特征值、特征多项式、迹和秩。
线性代数中的特征多项式与相似矩阵
线性代数中的特征多项式与相似矩阵线性代数是数学的一个重要分支，涉及到向量、矩阵等概念和运算。
在线性代数中，特征多项式和相似矩阵是两个重要的概念，它们在研究矩阵的性质和变换中起着重要的作用。
本文将详细介绍特征多项式和相似矩阵的概念、性质以及它们之间的关系。
一、特征多项式特征多项式是与矩阵有关的一个重要概念，它可以帮助我们研究矩阵的本征值和本征向量。
对于一个n阶方阵A，其特征多项式定义为：p(λ) = det(A - λI)其中，p(λ)是特征多项式，det表示行列式，A是待求特征多项式的矩阵，λ是待求的变量，I是单位矩阵。
特征多项式的根即为矩阵的特征值，可以通过求解特征多项式的根来求得矩阵的本征值。
特征多项式与矩阵的本征向量之间存在着密切的关系，通过特征多项式，我们可以求得矩阵的本征向量。
二、相似矩阵相似矩阵是指具有相同特征多项式的矩阵，它们之间存在着一定的关系。
设矩阵A和B是n阶方阵，若存在一个可逆矩阵P，使得B = P^(-1)AP则称矩阵B是矩阵A的相似矩阵，A和B互为相似矩阵。
相似矩阵具有相同的特征多项式，它们的本征值也相同。
相似矩阵之间的转换可以帮助我们研究矩阵的性质。
通过相似矩阵的转换，我们可以将矩阵化为一种更简单的形式，从而更容易研究和计算。
三、特征多项式与相似矩阵的关系特征多项式与相似矩阵之间存在着密切的关系。
对于一个n阶矩阵A，其特征多项式为p(λ) = det(A - λI)，对于一个相似矩阵B，其特征多项式为p(λ) = det(B - λI)。
由于相似矩阵具有相同的特征多项式，所以它们的特征值也相同。
矩阵的特征值是矩阵性质的一个重要指标，通过特征值我们可以了解到矩阵的特性和变换情况。
此外，相似矩阵之间的转换可以帮助我们求解线性方程组。
假设有一个线性方程组Ax = b，其中A是一个n阶矩阵，x和b是向量。
如果A和B是相似矩阵，那么线性方程组也可以写成Bx' = b，其中x' =P^(-1)x。
线性代数第六章 矩阵的相似变换
第六章 矩阵的相似变换本章主要讨论方阵的特征值和特征向量、方阵的相似变换和对角化等问题.第一节 方阵的特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1 设A 是n 阶方阵，如果存在数λ和n 维非零向量X 使关系式λ=AX X （6.1）成立，则称数λ为方阵A 的特征值；非零列向量X 称为A 对应于特征值λ的特征向量.将式（6.1）改写成()λ−=A E X 0， （6.2） 将（6.2）看成关于X 的齐次线性方程组，它有非零解当且仅当其系数行列式满足 0λ−=A E ， （6.3）即1112121222120λλλ−−=−n nn n nn a a a a a a a a a ， （6.4）这是以λ为未知数的一元n 次方程，称为A 的特征方程，其左端λ−A E 是λ的n 次多项式，记作()λf ，称为A 的特征多项式，特征方程的根就是A 的特征值.根据代数基本定理，在复数范围内，n 阶方阵A 有n 个特征值（重根按重数计算），记作12,,,λλλ n .求出特征值λi 后，将λi 代入齐次线性方程组（6.2）中，求解方程组()λ−=i A E X 0 （6.5） 的所有非零解向量，就是属于λi 的特征向量。
对不同的特征值逐个计算，可求得属于各特征值的全部特征向量.若非零向量X 是方阵A 的特征向量，则由（6.1）式可知，对任意实数0k ≠，有()()k k λ=A X X ，（6.6） 这表明k X 也是方阵A 的特征向量，因此属于同一特征值的特征向量有无穷多个；反之，不同特征值对应的特征向量必不相同，即一个特征向量只能属于一个特征值（证明留给读者作为练习）.由齐次线性方程组解的性质容易证得如下定理.定理1 设λ是方阵A 的特征值，12,,,s p p p 是属于λ的特征向量，则12,,,s p p p 的任意非零线性组合仍是属于λ的特征向量.例1 求141130002−−=A 的特征值和特征向量. 解 A 的特征多项式2141()130(2)(1)002λλλλλλλ−−−=−=−=−−−f A E ,所以A 的特征值为12λ=，231λλ==. 对于12λ=，解齐次方程组(2)−=A E X 0.由3411012110011000000−−−=→−A E ，得基础解系 1111−=p ，所以111(0)≠k k p 是对应于12λ=的全部特征向量.对于231λλ==，解齐次方程组()−=A E X 0.由 241120120001001000−−−=→A E ，得基础解系 2210−=p ，所以222(0)≠k k p 是对应于231λλ==的全部特征向量. 例2 求204121103−−=A 的特征值和特征向量.解 A 的特征多项式2204()121(1)(2)13λλλλλλλ−−−=−=−=−+−−f A E ,所以A 的特征值为11λ=−，232λλ==. 对于11λ=−，解齐次方程组()+=A E X 0.由104104131011104000−−+=→−A E ，得基础解系 1411−=p ，所以111(0)≠k k p 是对应于11λ=−的全部特征向量.对于232λλ==，解齐次方程组(2)−=A E X 0.由 4041012101000101000−−−=→A E ，得基础解系 2010=p ，3101− = p ,所以2233+k k p p （2k ，3k 不同时为0）是对应于232λλ==的全部特征向量.二、特征值和特征向量的性质定理2* 设12,,,λλλ n 是n 阶方阵()=ij a A 的n 个特征值，则有（1）11n n i ii i i a λ==∑∑； （2）1ni i λ==∏A .其中1niii a=∑是A 的主对角元之和，称为方阵A 的迹，记作tr()A .证明 见附录六例3 设7414744y x −= −−A 的特征值为123λλ==，312λ=，求,x y 的值. 解 由定理2可得123123tr()7718331212108x x y λλλλλλ=++=++=+− A A 解之得4,1x y ==−.定理3 设λ是方阵A 的特征值，p 是A 的属于λ的任一特征向量，则有： （1）k R ∀∈，k λ是k A 的特征值，p 是k A 的属于k λ的特征向量；（2）对任意非负整数k ，k λ是k A 的特征值，p 是k A 的属于k λ的特征向量； （3）若()ϕA 是A 的m （m 为任意非负整数）次多项式，即01()m m a a a ϕ=+++A E A A ，则()ϕλ是()ϕA 的特征值，p 是()ϕA 的属于()ϕλ的特征向量；（4）若A 可逆，则0λ≠，且1λ是1−A 的特征值，p 是1−A 的属于1λ的特征向量；（5）若A 可逆，则λA是*A 的特征值，p 是*A 的属于λA的特征向量；（6）λ也是T A 的特征值.证明 （1）由λ=Ap p ，有k k λ=Ap p 成立。
矩阵相似成立条件
矩阵相似成立条件矩阵相似是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵理论和应用中有着广泛的应用。
相似矩阵的概念源自于矩阵变换的相似性，两个矩阵如果相似，则它们表示着相同的线性变换，只是在不同的坐标系下进行表示。
本文将围绕着矩阵相似的定义、性质和成立条件展开详细的阐述。
一、矩阵相似的定义矩阵A和B是n阶的方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=B成立，那么矩阵A和B就称为相似矩阵。
可以直观地解释为，如果存在一个可逆矩阵P，对矩阵A进行线性变换后得到的结果与矩阵B相同，那么这两个矩阵就是相似矩阵。
相似矩阵的概念使得我们可以在不同的坐标系下进行对同一线性变换的表示，从而对矩阵的特征值、特征向量等性质进行更深入的研究。
二、矩阵相似的性质1. 相似关系是一个等价关系相似矩阵的定义满足等价关系的三个条件，即自反性、对称性和传递性。
自反性是指矩阵A和自己相似，即存在可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=A成立。
对称性是指如果矩阵A和B相似，则矩阵B和A也相似。
传递性是指如果矩阵A和B相似，矩阵B和C相似，那么矩阵A和C也相似。
矩阵相似关系满足等价关系的性质。
2. 相似矩阵的特征值性质相同如果矩阵A和B相似，那么它们的特征多项式相同，从而有相同的特征值。
矩阵相似关系保持了矩阵特征值的性质，这一性质在矩阵的特征值分解、对角化等问题中具有重要的意义。
3. 相似矩阵的特征向量关系相似矩阵具有相同的特征向量，即如果矩阵A和B相似，它们的特征向量可以通过相同的线性变换关系得到。
这一性质在矩阵对角化和特征值问题的研究中有着重要的应用。
三、矩阵相似的成立条件1. 充分条件若n阶矩阵A与n阶矩阵B相似，即A∼B，则A与B有相同的特征值。
证明：设A与B相似，即存在非奇异矩阵P，使得P^{-1}AP=B，设x是A的一个特征向量，那么Px是B的一个特征向量。
A与B有相同的特征值。
2. 必要条件若n阶矩阵A与n阶矩阵B有相同的特征值，即A与B有相同的特征值。
线性代数—相似矩阵
求 a 的值, 并讨论 A 是否可相似对角化.
1 2 3 2 ( 2) 0
解 E A 1 4 3 1
4
3
1 a 5 1 a 5
1 1 0
( 2) 1 4 3 ( 2)(2 8 18 3a) ,
1 a 5
20
E A ( 2)(2 8 18 3a)
P1AP B , 则称A与B 相似,记为 A ~ B .
矩阵的“相似”关系具有以下特性：
(1)反身性：对任何方阵 A，总有 A ~ A (令 P E 即可)；
(2)对称性：若 A ~ B ，则有 B ~ A ；
证 P 1 AP B A PBP1 ( P 1 )1 BP 1 . (3)传递性：若 A ~ B ,且 B ~ C ,则有 A ~ C .
Pn P 1
1 2
11
11
3 0
01100
1 1
11
1 2
1 1
11
3100 0
10 11
11
1 2
3100 3100
1 1
3100 3100
11
.
25
EN D
26
1 P 1 AP
1
.
0 1 3
2 16
例4
4 判断矩阵 A 2
2 0
1 1
能否对角化，若能，
1
1
0
求可逆阵P，使 P1 AP 为对角阵.
c1 c2
4 2 1 解 E A 2 1 ( 2)2 ,
1 1
2 2 1 2 2 1
对
1
2
，2E
A
2
2
1 0 0 1 ,
推论2 相似矩阵的迹相等；
《线性代数》教学课件—矩阵的相似、对角化
若A PB P 1 , 则
k
1
A PB P 1 PB P
PB P 1 PB P 1 P B k P 1 .
A的多项式
( A) a0 An a1 An1 an1 A an E
a 0 P B n P 1 a 1 P B n 1 P 1
判断下列实矩阵能否对角化？
1 2 2
(1) A 2 2 4
2
4
2
解
2 1 2
( 2) A 5 3 3
1 0 2
1
(1)由 E A
2
2
2
2
2 4
4
2
2 7
为对角阵，称矩阵A可对角化或相似于对角阵。
定理（重要结论）n阶方阵A与对角阵相似（即A能对角化)
的充要条件是A 有n个线性无关的特征向量。
1
假设存在可逆阵
P
,
使
P
AP 为对角阵,
定理证明：
把 P 用其列向量表示为 P p1 , p2 ,, pn .
由 P 1 AP , 得AP P ,
1
2
即 A p1 , p2 ,, pn p1 , p2 ,, pn
1 p1 , 2 p2 ,, n pn .
n
A p1 , p2 ,, pn Ap1 , Ap2 ,, Apn 1 p1 , 2 p2 ,
2
相似矩阵与对角化
相似矩阵与对角化矩阵是线性代数中最为重要的概念之一，相似矩阵与对角化是矩阵理论中常被提及的概念。
本文将介绍相似矩阵的定义及性质，以及对角化的概念和相关定理。
1. 相似矩阵相似矩阵是指两个矩阵具有相同特征多项式（即它们的特征值相同），这样的矩阵可以通过线性变换相互转化而得到。
具体来说，设A 和 B 是 n 阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵 P，使得 P⁻¹AP = B，则我们称矩阵 A 与 B 相似，记作 A ∼ B。
相似矩阵有以下特性：（1）相似关系是一种等价关系，即自反性、对称性和传递性都成立。
（2）相似矩阵具有相同的特征多项式和特征值。
（3）如果 A 与 B 相似，则它们的多项式函数也相似。
2. 对角化对角化是一种将矩阵转化为对角矩阵的操作。
对于 n 阶方阵 A，如果存在一个可逆矩阵 P，使得 P⁻¹AP = D，其中 D 是一个对角矩阵，则我们称 A 可对角化。
对角化有以下几个重要的定理：（1）一个矩阵可对角化的充分必要条件是它有 n 个线性无关的特征向量。
（2）如果一个矩阵 A 有 n 个不同的特征值，则 A 是可对角化的。
（3）如果 A 是可对角化的，则 A 的幂Aⁿ 也可以对角化，其中 n是正整数。
（4）如果 A 可对角化，则存在一个对角矩阵 D，使得 A 和 D 相似。
3. 相似矩阵与对角化的联系相似矩阵和对角化之间存在着密切的联系。
具体来说，如果矩阵 A 和 B 相似，则它们可以通过线性变换相互转化，即存在一个可逆矩阵P，使得 P⁻¹AP = B。
而对角化是相似矩阵的一种特殊情况，即当 P 的选择为 A 的 n 个线性无关的特征向量时，A 可以对角化为对角矩阵 D，即 P⁻¹AP = D。
对角化的好处在于简化了矩阵的计算，对于对角矩阵，其乘法和幂运算均非常简单。
此外，对角矩阵还具有很多重要的性质，如行列式等于特征值的乘积，矩阵的迹等于特征值的和，这些性质在实际应用中有着广泛的应用。
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线性代数中的特征多项式与相似矩阵线性代数是数学中的一个重要分支，它研究了向量空间以及其中的线性变换。
在线性代数中，特征多项式与相似矩阵是两个非常重要的概念。
本文将介绍特征多项式和相似矩阵的定义、性质以及它们之间的关系。
一、特征多项式的定义及性质
特征多项式是与矩阵有关的一个重要概念，它可以帮助我们研究矩阵的性质和特征。
给定一个n阶矩阵A，特征多项式定义为多项式p(λ) = |A-λI|，其中λ是一个变量，I是n阶单位矩阵。
在特征多项式中，λ称为特征值，p(λ)称为特征多项式。
特征多项式具有以下重要性质：
1. 特征多项式的次数为n，即它是一个n次多项式。
2. 特征多项式的根即为矩阵A的特征值。
3. 特征多项式可用来求解矩阵的特征向量。
二、相似矩阵的定义及性质
在线性代数中，我们可以通过矩阵的相似性进行一些矩阵运算的简化。
给定两个n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-
1AP = B，那么我们称矩阵A和B是相似的，P是相似变换矩阵。
相似矩阵具有以下重要性质：
1. 相似矩阵有相同的特征多项式。
2. 相似矩阵有相同的特征值。
3. 相似矩阵具有相似的性质，如行列式相等、秩相等等。
三、特征多项式与相似矩阵的关系
特征多项式和相似矩阵之间存在着密切的关系。
首先，对于一个矩阵A，它的特征多项式与A的相似矩阵具有相同的特征多项式。
具体来说，如果A和B是相似矩阵，那么它们的特征多项式都相同。
其次，对于一个特征多项式，我们可以通过特征多项式的根求解相似矩阵。
对于特征多项式p(λ)，如果λ是p(λ)的一个根，那么存在一个矩阵B，使得B和A是相似的，并且λ是B的特征值。
综上所述，特征多项式和相似矩阵是线性代数中非常重要的概念。
特征多项式可以帮助我们求解矩阵的特征值和特征向量，而相似矩阵可以帮助我们简化一些矩阵运算。
它们之间存在着密切的联系，通过它们我们可以更好地理解和分析矩阵的性质。
总结起来，在线性代数中，特征多项式与相似矩阵是两个相互关联的重要概念。
特征多项式可以帮助我们理解和分析矩阵的特征值和特征向量，而相似矩阵则可以简化一些矩阵运算。
通过深入研究和理解特征多项式与相似矩阵，我们可以更好地应用线性代数的知识解决实际问题。