层次分析法的基本原理和步骤
子准则n
………………………………………………………………
准 则 层
方 案 层
方案1
方案2
方案3
方案t
图3-2 典型递阶层次结构
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1.2、四个注意点 一个好的递阶层次结构对解决问题极为重要，因 此在建立递阶层次结构时，应注意到：
⑴从上到下顺序地存在支配关系，用直线段表示 上一层次因素与下一层次因素之间的关系，同一 层次及不相邻元素之间不存在支配关系；
运用层次分析法建模，大体上分成四个步骤: ⑴建立递阶层次结构；⑵构造比较判别矩阵； ⑶在单准则下的排序及一致性检验； ⑷总的排序选优。
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1.1、递阶层次结构及组成 层次分析法首先把决策问题层次化。所谓层次 化根据问题的性质以及要达到的目标，把问题分解 为不同的组成因素，并按各因素之间的隶属关系和 关联程度分组，形成一个不相交的层次。 引例 大学毕业生对职业的选择。假设有四个单位 可供他们选择，他们会从专业对口、发展潜力、单 位的名气、地点、收入等多方面进行反复的考虑、 比较，从中选出自己最满意的职业。按照这种思路， 我们可以得到这样的分析图（见图3-1）。
( 2) aij 1 / a ji ; ( 3) aii 1.
... a1n ... a2 n 为比较判断矩阵 . ... ... ... 1
具有上述三个特点的n阶矩阵称为正互反矩阵。
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在引例的图3-1中, 以满意 3 1/ 3 1/ 3 1 的职业为准则(C), 支配 5 3 1/ 3 1 着5个因素: 对专业对口 A 3 1/ 5 1 2 (u1)、发展潜力(u2)、单位 3 1/ 3 1/ 2 1 名气(u3)、地点(u4)、收入 (u5)五个因素作出成对比 1/ 7 1 / 6 1/ 5 1/ 4 较，得到比较判断矩阵
3-1 层次分析法的基本 原理和步骤
3-2 模糊层次分析方法
AHP model and its application
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前言
1、背景知识 2、基本思想与建模步骤 3.1、单准则下的排序 一、递阶层次结构建立 3.2、一致性的检验 1.1、递阶层次结构及组成 1.2、四个注意点
三、单准则下的排序 及一致性检验
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⑶为什么要限制比较个数不超过9? 一般地在一个准则下被比较的对象不超过9个, 是 因为心理学家认为，进行成对比较因素太多将超出人 的判断能力。最多大致在7±2范围，如果以9个为限， 用1—9比例标度表示它们之间的差别正合适。 ⑷为什么要比较n(n-1)/2次? 最后，在把n个因素与某个因素进行比较时,有人认为 只需要进行n-1次就可以了。这种做法的弊病在于， 任何一个判断的失误都可能导致不合理的排序，对于 难以定量的系统更应该尽量避免判断失误。进行 n(n-1)/2次成对比较，可以提供更多的信息量，从不 同角度进行比较，以得到一个合理的排序。
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定义3.1.1 设n阶矩阵A=(aij)为正互反矩阵, 若对于一 切i,j,k,都有aijajk=aik, i,j,k=1,2,…,n,称A为一致矩阵.
由比较判断矩阵A知，在对n个因素比较中，我们只 要作n(n-1)/2次成对比较即可。但要求这n(n-1)/2次 断矩阵A一定满足一致性。比较全部一致，太苛刻 在实际工作中，我们并不要求比较判断矩阵A一定 要满足一致性. 2.2、比较判断矩阵的四个说明 关于比较判断矩阵，有以下四个问题需要我们进一 步说明：
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两两比较法具体方法是：当以上一层次某个因素C作 为比较准则时，可用一个比较标度aij来表达下一层次 中第i个因素与第j个因素的相对重要性（或偏好优劣） 的认识。aij的取值一般取正整数1—9（称为标度）及 其倒数。由aij构成的矩阵称为比较判断矩阵A=(aij)。 关于aij取值的规则见表3-1。
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⑴为什么要用两两比较？ 涉及到社会、经济、人文等因素的决策问题的主 要困难在于，这些因素通常不易定量地测量。人们往 往凭自己的经验和知识进行判断。当因素较多时给出 的结果是不全面和不准确的。如果只是定性结果，又 常常不被人们接受。如果采用把所有的因素放在一起 两两比较，得到一种相对的标度，既能适应各种属性 测度，又能充分利用专家经验和判断，提高准确度。 ⑵为什么要用1—9比例标度？ 其二，在比较判断矩阵建立上，教授采用了1—9比 例标度，这是因为人们在估计成对事物的差别时， 用五种判断级别就能很好地表示，即相等、较强、 强、很强、极强表示差别程度。如果再细分，可在 相邻两级中再插入一级，正好9级，用9个数字来表 达就够用了。
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AHP的应用范围十分广泛，涉及面主要有以下 几个方面： ⑴经济与计划; ⑶政治问题及冲突; ⑸预测; ⑺教育发展; ⑼医疗卫生; ⑵能源政策与资源分配; ⑷人力资源管理; ⑹项目评价; ⑻环境工程; ⑽企业管理与生产经营决策;
⑿军事指挥，武器评价. ⑾会计; 以上种种只是给出一些总体范围，在每个范畴内， 又有许多不同的应用。
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由美国运筹学家T.L.saaty教授在70年代中期提出 的层次分析法（Analytic Hierarchy Process）简称 AHP ，是指将决策问题的有关元素分解成目标、准 则、方案等层次，在此基础上进行定性分析和定量 分析的一种决策方法. 这一方法的特点，是在对复杂 决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深 入分析之后，构建一个层次结构模型，然后利用较 少的定量信息，把决策的思维过程数学化，从而为 求解多准则或无结构特性的复杂决策问题提供一种 简便的决策方法。
在图3-1中上一层次的元素对相邻的下一层次的全 部或部分元素起支配作用，从而形成一个自上而 下的逐层支配关系。具有这种性质的结构称为递 阶层次结构。典型的递阶层次结构见下面图3-2。
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层次分析法先将层次分为若干层次。最高一层称 为目标层，这一层中只有一个元素，就是该问题要达 到目标或理想的结果；中间层为准则层，层中的元素 为实现目标所采用的措施、政策、准则等。准则层中 可以不止一层，可以根据问题规模的大小和复杂程度， 分为准则层、子准则层；最低一层为方案层，这一层 包括了实现目标可供选择的方案。
7 6 5 4 1
仔细分析比较判断矩阵A可以发现，既然u1与u2之比为 1:(1/3), u1与u3之比为1:3, 那么u2与u3之比应该为1:9, 而不是1:5，这样才能说明问题是合理的。也就是中的 所有的的元素aij必须具有传递性，即aij满足等式： aijajk=aik，i,j,k=1,2,…,n。
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层次分析法的发展过程可追溯到上个世纪的70年代初 期，1971年，美国匹兹堡大学数学教授在为美国国防 部研究“应急计划”中，充分注意到了当前社会的特 点及很多决策科学方法的弱点。他开始寻求一种能综 合进行定量与定性的决策方法，这种方法不仅能够保 证模型的系统性、合理性，又能让决策人员充分运用 其有价值的经验与判断能力。Saaty教授在1972年发表 用其有价值的经验与判断能力。Saaty教授在1972年发 表了“用于排序和计划的特征根分配模型”。之后， Saaty教授又发表了一系列关于AHP应用方面的文章。 1977年获得了美国管理研究院的最佳应用研究成果奖。 同年，Saaty教授在第一届国际数学建模会议上发表了 “无结构决策问题的建模——层次分析理论”,从 此,AHP方法开始受到人们的关注，得到深入的研究和 应用。
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2.1、两两比较法 在建立递阶层次结构后，上下层元素间的隶属关系 就被确定了。假设以上一层次元素C为准则，所支 配的下一层次的关系为u1,u2,…,un，我们的目的是要 按它们对于准则C相对重要性赋予u1,u2,…,un相应的 权重。对于有些问题可以直接给出权重，如学生的 考试成绩、某工程的投资额……。但在大多数社会 经济活动中,尤其是较复杂的问题中，元素的权重无 法直接获得，这就需要通过适当的方法导出它们的 权重。AHP所用导出权重的方法就是两两比较方法。
四、层次总排序
二、构造比较判断矩阵 五、判断矩阵的调整 2.1、两两比较法 六、群组决策
2.2、比较判断矩阵 的四个说明
4.1、层次总排序的步骤 4.2、总排序一致性检验
6.1、比较判断矩阵综合法 6.2、权重向量综合排序法
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1、背景知识 人们在各项日常活动中，常常会面对一些决策问 题。比如，大学毕业生对职业的选择，他们会从专业 对口、发展潜力、单位的名气、地点、收入等各方面 加以考虑，比较，判断，然后进行决策。假如有m个 单位可供选择，你会选择哪一个？ 随着人们面对的决策问题越来越复杂，例如，科 研成果的评价、综合国力（地区综合实力）比较、各 工业部门对国民经济贡献的比较、企业评估、人才选 拔等问题。项目决策者与决策的模型及方法之间的交 互作用变得越来越强烈和越来越重要。许多问题由于 结构复杂且缺乏必要的数据，很难用数学模型来解决。
⑵整个结构不受层次限制； ⑶最高层只有一个元素，每个元素所支配元素一 般不超过9个。元素过多可进一步分层； ⑷对某些具有子层次结构可引入虚元素，使之成 为典型递阶层次结构。
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递阶层次结构是最简单的层次结构形式。在实际问题 中我们常常会遇到更复杂的层次结构。如层次内部因 素之间存在相互影响类型的内部依存层次结构（例如 以行驶性能为目标对各种型号汽车作评价时，准则层 有刹车、转向、加速、运行等，这些准则之间就是相 关的。）；下层反过来对上层有支配作用，形成循环， 从而无法区分上下层类型的反馈层次结构（例如可以 用教学、科研等多项指标评价几位教师，也可以反过 来对于每一个教师比较他的教学、科研等哪一方面表 现最为突出，从而在指标层和对象层之间形成循环）。 在这里我们只讨论递阶层次结构，其余的模型读者可 参阅其他文献。
层次分析法
(一)层次分析法1、层次分析法的概念“层次分析法的基本原理是将复杂系统中的各种因素，依据相互关联及隶属关系划分为一个递阶层次结构；依赖专家经验及直觉评判同一层次内因素的相对重要性，并用一致性准则检验评判的准确性；然后在递阶层次结构内进行合成;以得到决策因素相对于目标的重要性的总排序。
”12、层次分析法的主要步骤（1）构建层次分析的结构模型首先将复杂的问题进行条理化和层次化改造,构造出一个层次分析的结构模型，在该模型中,复杂问题被分解为目标层、准则层和方案层三类不同层次.其中目标层中只有一个元素，一般是分析问题的预定目标，其余每一层因素受上一层次因素支配。
准则层包括了实现目标的中间环节，它包括下一层次的子准则，即方案层，方案层为系统层次分析的最直接表现形式。
层次分析法的结构模型在上图所示模型中，A层次为目标层元素，B 层次为准则层元素,一般也称为一级指1张宏华、《AHP在公路BOT项目风险评价中的应用》、科技资讯、2009年标，C层次为方案层元素，也可称为二级指标。
（2）专家评分建立层次分析法判断矩阵为了建立指标权重评判标准和构造判断矩阵,Saaty提出相对重要性比例标度，即1~9 层次比例标度,相对重要性比例标度的含义如表2—3所示。
假设有n个元素C1、C2，。
,C n给定一个准则,利用上表所给的相对重要性比例标度方,对元素C i和C j做两两比较判断，获得相对重要度的值a ij，构成矩阵。
专家根据评判准则对各个因素的权重两两比较并进行了打分之后，经过整理，可以得到因素权重的判断矩阵A：矩阵 A 中的各元素a ij 表示行指标A i 对列指标A j 相对重要性的比例标度,则判断矩阵A 中指标两两比较的特点有a ij ＞0，a ij ＝1，a ij ＝1/a ji （i ，j=1，2，。
..。
..n ）。
如果a ij ＜1，表示A j 比A i 重要； 如果a ij ＞1，表示A i 比A j 重要; 如果a ij ＝1，表示A j 与A i 同样重要.根据判断矩阵A 在选择上的一致性要求，理想情况下，a ik*a jk =a ij （代表相对重要性所具有的传递性原理，满足该性质的矩阵A 称为一致矩阵)，虽然在构造判断矩阵A 时并不要求判断具有一致性,但判断偏离一致性过大也是不允许的。
层次分析法
决策论层次分析法一、层次分析法概述1. 层次分析法的产生背景定量分析方法对于社会科学的发展产生了巨大的促进作用，因此越来越受到重视，特别是最优化模型，曾一度在决策问题中得到非常广泛应用。
但在应用过程中，也出现了一些问题，主要体现在以下几个方面。
第一，社会问题的复杂性决定了难以构造合适的模型。
即使构造出数学模型，有时也难以准确说明问题或者难以执行。
第二，决策问题带有相当多的主观性，而这很难体现在最优化模型中第三，庞大的模型成本太大，难以理解由于存在上述问题，人们重新思考数量方法在社会科学中的作用，特别是对于决策问题，如何既考虑数学分析的精确性，又考虑人类决策思维过程及思维规律，即定性与定量相结合，正是在这种背景下，产生了层次分析法。
2. 层次分析法的发展层次分析法（The Analytic Hierarchy Pricess，以下简称AHP）是由美国运筹学家、匹兹堡大学萨第（T.L.Saaty）教授于本世纪70年代提出的，他首先于1971年在为美国国防部研究“应急计划”时运用了AHP，又于1977年在国际数学建模会议上发表了“无结构决策问题的建模—层次分析法”一文，此后AHP在决策问题的许多领域得到应用，同时AHP的理论也得到不断深入和发展。
目前每年都有不少AHP的相关论文发表，以AHP为基本方法的决策分析系统—“专家选择系统”软件也已早推向市场，并日益成熟。
AHP于1982年传入我国。
在当年召开的中美能源、资源、环境会议上萨第教授的学生高兰尼柴（H.Gholamnezhad）向中国学者介绍了这一新的决策方法。
随后，许树柏等发表了发表了国内第一篇介绍AHP的文章“层次分析法—决策的一种实用方法”（1982年）。
此后，AHP在我国得到迅速发展，1987年9月我国召开了第一届AHP学术讨论会，1988年在我国召开了第一届国际AHP学术会议，目前AHP在应用和理论方面得到不断发展与完善。
3. 层次分析法基本原理层次分析法的基本原理是排序的原理，即最终将各方法（或措施）排出优劣次序，作为决策的依据。
层次分析法
bn1
bn2 ……
bnn
bij是对于Ak而言，Bi对Bj的相对重要性的数值表示。
Bij通常取1、3、5、7、9及其他们的倒数，其含义为：
尺度
１ ３ ５ ７ ９
含义
第i个因素与第j个因素的影响相同 第i个因素比第j个因素的影响稍强 第i个因素比第j个因素的影响强 第i个因素比第j个因素的影响明强 第i个因素比第j个因素的影响绝对地强
层次分析法
一 问题的提出
例1 购物 买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、
外形等方面的因素选择某一支钢笔。 下馆子，则要依据馆子的饭菜质量、区位条件、档
次、饭菜价格、服务质量等方面因素来选择。
例2 旅游 假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的
北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景 色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。
课题D2
课题可行性B3
难
研财
易
究政
程
周支
度
期持
c3
c4
c5
课题D3
层次分解时注意事项：
如果所选的要素不合理，其含义混淆不清，或 要素间的关系不正确，都会降低AHP法的结果质量， 甚至导致AHP法决策失败。 为保证递阶层次结构的合理性，需注意以下问题： 1、要对问题的影响因素有充分的理解，必要的时 候可以咨询相关的专家； 2、分解简化问题时把握主要因素，不漏不多 3、注意相比较元素之间的强度关系，相差太悬殊 的要素不能在同一层次比较。 4、以上均为完全层次
层次总排序的一致性检验
(1)
(2)
(3)
在(1)式中，CI为层次总排序的一致性指标，CIj为与aj对应 的Ｂ层次中判断矩阵的一致性指标；在(2)式中，RI为层次总排 序的随机一致性指标，RIj为与aj对应的Ｂ层次中判断矩阵的随 机一致性指标；在(3)式中，CR为层次总排序的随机一致性比例。
《层次分析法教程》课件
了解什么是层次分析法及其应用场景。
层次分析法的基本原理和步骤
层次分析法是一种多属性决策方法，基于对不同层级和准则的比较，帮助决策者做出权衡和选择。它的基本步 骤包括：
1. 确定决策目标和问题 2. 构建层次结构模型 3. 判断准则之间的相对重要性 4. 计算指标权重 5. 进行一致性检验 6. 做出最终决策
一般层次分析法的计算流程
一般层次分析法的计算流程包括确定目标、构建层次结构、两两比较、计统地进行决策。
层次分析法的数学模型
层次分析法的数学模型基于特征向量和特征值的计算。通过求解数学模型， 可以得出各指标的权重和最终决策结果。
层次分析法中的层级结构
层次分析法中的层级结构包括目标、准则和方案三个层级。决策者需要沿着 这个层次结构进行比较和权衡，从而作出最优的决策。
构建层次结构模型的方法
构建层次结构模型的方法包括直接构造法和间接构造法。直接构造法是直接 由决策者确定各层级和准则的重要性，而间接构造法是通过专家评估、问卷 调查等方式获取权重。
判断层次之间的相对重要性的准则
判断层次之间的相对重要性可以使用两两比较法或者对比式比较法。这些准则可以帮助决策者判断哪个层次对 决策结果具有更大的影响。
计算指标权重的方法
计算指标权重的方法包括特征向量法和逐步递减法。特征向量法是通过计算特征向量来得出指标权重，而逐步 递减法是从上层向下逐步分配权重。
层次分析法经典案例
层次分析法经典案例层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP）是一种常用的多准则决策方法，被广泛应用于企业管理、工程项目评估、市场调研等领域。
本文将通过一个经典案例，介绍层次分析法的基本原理和应用过程。
一、案例背景某企业计划购买新设备，以提升生产效率和质量。
然而，在众多可选设备中，如何选择最适合企业发展的设备成为了业主面临的难题。
为了解决这一问题，业主决定应用层次分析法进行设备选择。
二、层次分析法基本原理层次分析法基于一个重要思想，即将复杂的决策问题拆解为具有层次结构的多个因素，并通过层次化的比较和综合分析，最终得出决策结果。
1. 构建层次结构首先，我们需要将决策问题划分为不同的层次，并构建层次结构。
在这个案例中，可以将设备选择问题划分为三个层次：目标层、准则层和备选方案层。
目标层代表企业的最终目标，即实现高效生产；准则层包括影响设备选择的各种准则，如设备价格、性能指标、售后服务等；备选方案层包括具体的设备选项。
2. 建立判断矩阵接下来，我们需要对不同层次的因素进行两两比较，建立判断矩阵。
通过专家主观判断，给出两个因素之间的相对重要性，采用1-9的尺度，其中1代表两者具有相同重要性，9代表一个因素相对于另一个因素极端重要。
比如，在准则层中，设备性能指标对设备价格的重要性为6。
3. 计算权重向量利用判断矩阵，我们可以计算出每个层次的权重向量。
通过对判断矩阵进行归一化处理，可获得各因素的权重。
权重向量表示了各因素对当前决策的贡献程度，可作为后续分析的依据。
例如，计算准则层中各因素的权重向量。
4. 一致性检验为了保证判断矩阵的合理性，我们需要进行一致性检验。
通过计算一致性指标和一致性比率，评估判断矩阵是否存在较大的一致性问题。
若一致性比率超过一定阈值，需要检查和修正判断矩阵。
5. 优先级排序最后，结合各层次的权重，我们可以进行优先级排序，得出对不同备选方案的排序结果。
根据排序结果，我们可以选择最合适的备选方案。
层次分析法
第三章决策论§4. 层次分析法一、层次分析法概述1. 层次分析法的产生背景定量分析方法对于社会科学的发展产生了巨大的促进作用，因此越来越受到重视，特别是最优化模型，曾一度在决策问题中得到非常广泛应用。
但在应用过程中，也出现了一些问题，主要体现在以下几个方面。
第一，社会问题的复杂性决定了难以构造合适的模型。
即使构造出数学模型，有时也难以准确说明问题或者难以执行。
第二，决策问题带有相当多的主观性，而这很难体现在最优化模型中第三，庞大的模型成本太大，难以理解由于存在上述问题，人们重新思考数量方法在社会科学中的作用，特别是对于决策问题，如何既考虑数学分析的精确性，又考虑人类决策思维过程及思维规律，即定性与定量相结合，正是在这种背景下，产生了层次分析法。
2. 层次分析法的发展层次分析法（The Analytic Hierarchy Pricess，以下简称AHP）是由美国运筹学家、匹兹堡大学萨第（T.L.Saaty）教授于本世纪70年代提出的，他首先于1971年在为美国国防部研究“应急计划”时运用了AHP，又于1977年在国际数学建模会议上发表了“无结构决策问题的建模—层次分析法”一文，此后AHP在决策问题的许多领域得到应用，同时AHP的理论也得到不断深入和发展。
目前每年都有不少AHP的相关论文发表，以AHP为基本方法的决策分析系统—“专家选择系统”软件也已早推向市场，并日益成熟。
AHP于1982年传入我国。
在当年召开的中美能源、资源、环境会议上萨第教授的学生高兰尼柴（H.Gholamnezhad）向中国学者介绍了这一新的决策方法。
随后，许树柏等发表了发表了国内第一篇介绍AHP的文章“层次分析法—决策的一种实用方法”（1982年）。
此后，AHP在我国得到迅速发展，1987年9月我国召开了第一届AHP学术讨论会，1988年在我国召开了第一届国际AHP学术会议，目前AHP在应用和理论方面得到不断发展与完善。
层次分析法的基本原理和步骤
层次分析法的基本原理和步骤层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP）是一种定量分析方法，用于多准则决策问题的分析和决策。
它的基本原理是将复杂的决策问题层次化，通过对准则和方案的比较与评价，得出优先级权重，进而得到最佳方案。
1.确定决策目标：确定决策问题的目标，明确要达到的结果。
2.构建层次结构：将决策问题分解成一个层次结构，包括目标层、准则层和方案层。
目标层表示最终要达到的目标，准则层表示影响目标实现的准则因素，方案层表示可供选择的决策方案。
3.构建判断矩阵：在准则层和方案层中，两两比较各个准则或方案之间的重要性或优劣程度。
根据专家判断或个人主观意见，使用尺度（1-9）对两两比较进行评分，构建判断矩阵。
4.计算准则权重：根据判断矩阵的评分，使用特征值法或最大特征向量法计算准则权重。
首先对判断矩阵的列向量进行归一化处理，然后计算归一化后的特征向量，最后将特征向量的元素相加，并按比例得到准则的权重。
5.一致性检验：通过计算一致性指标和一致性比率来检验判断矩阵的一致性。
一致性指标表示判断矩阵与一致性判断矩阵之间的差异程度，一致性比率表示判断矩阵的一致性程度。
如果一致性指标小于一定阈值，且一致性比率接近1，则认为判断矩阵具有满足一致性的权重。
6.计算方案权重：将计算得到的准则权重与判断矩阵相乘，计算每个方案的权重。
权重值越大，表示方案的优先级越高。
7.一致性检验：对方案权重进行一致性检验，与准则权重的一致性检验类似。
8.敏感性分析：通过增加或减少一些因素的权重，分析结果的稳定性和可靠性。
敏感性分析可以帮助决策者了解权重对决策结果的影响程度。
9.最终决策：根据方案的权重和准则的权重，对各个方案的优先级进行排序，选择权重最高的方案作为最终决策。
层次分析法的基本原理是将决策问题逐层分解，通过两两比较和权重计算，理性地确定各个因素的优先级和权重。
通过分析和评价不同方案，辅助决策者做出最佳选择。
层次分析法
层次分析法层次分析法是一种应用广泛的决策分析方法，它通过构建层次结构和比较矩阵，来对不同因素进行排序和权重分配，帮助决策者做出合理的决策。
本文将介绍层次分析法的基本原理、应用领域以及一些实际案例。
一、层次分析法的基本原理层次分析法由美国运筹学家托马斯·L·塞蒂提出，它是一种定性和定量相结合的分析方法，能够综合考虑多个因素的重要性和相互关系。
它的基本原理如下：1. 层次结构：将决策问题分解成多个层次，从上至下逐级细化。
顶层是目标层，中间层是准则层，最底层是方案层。
2. 比较矩阵：在每个层次内，通过构建比较矩阵来判断各因素之间的重要性。
比较矩阵是一个n×n的正互反矩阵，其中n是该层次因素的个数。
通过对各因素进行两两比较，得出相对重要性的判断。
3. 加权优先向量：通过对比较矩阵进行特征向量的计算，可以得到各个因素的权重。
特征向量是对比较矩阵的主特征值对应的特征向量，也称为特征向量法。
4. 一致性检验：通过一致性指标和一致性比率的计算，判断构建的比较矩阵是否合理。
一致性指标表示了矩阵的内部一致性程度，一致性比率则是对一致性指标进行归一化，判断是否满足一致性。
5. 综合评价：通过计算得出的权重，进行乘积运算和累加运算，得到方案的综合评价值。
综合评价值越高，方案越优。
二、层次分析法的应用领域层次分析法在许多领域都有广泛的应用，包括经济学、管理学、环境科学、社会科学等。
下面是一些常见的应用领域：1. 投资决策：在投资决策中，可以将不同的投资方案作为方案层，通过比较各个方案的风险性、收益性等因素，来确定投资方向。
2. 供应链管理：在供应链管理中，可以将供应商的价格、质量、交货周期等因素作为准则层，通过比较不同供应商的重要性，来选择合适的供应商。
3. 项目评估：在项目评估中，可以将项目的成本、时限、风险等因素作为准则层，通过比较各个因素的重要性，来评估项目的可行性和优先级。
4. 人才选拔：在人才选拔中，可以将候选人的学历、工作经验、专业技能等因素作为准则层，通过比较各个因素的重要性，来确定最佳人选。
层次分析法基本原理、实施步骤、应用实例
判断矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素的 相对重要性的比较。判断矩阵的元素aij用Santy的1—9标 度方法给出。
心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个，即每层 不要超过9个因素。
判断矩阵元素aij的标度方法
标度 1 3 5 7 9
2，4，6，8 倒数
含义 表示两个因素相比，具有同样重要性 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要 表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要
• 这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。
Z
定义一致性指标: CI n
n 1
CI=0，有完全的一致性
CI接近于0，有满意的一致性
CI 越大，不一致越严重
为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI。方法为
随机构造500个成对比较矩阵 A1, A2 , , A500
则可得一致性指标 CI1,CI2 , ,CI500
RI
CI1
定理：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n
定理：n 阶正互反阵A的最大特征根 n, 当且仅当 =n
时A为一致阵
由于λ 连续的依赖于aij ，则λ 比n 大的越多，A 的不 一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为 被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不 一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用 λ-n 数值的大小来衡量 A 的不一致程度。
但允许范围是 多大？如何界 定？
Aw w
3. 层次单排序及其一致性检验
对应于判断矩阵最大特征根λmax的特征向量，经 归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为W。
层次分析法]
许树柏.层次分析法原理.天津：天津大学出版社，1988第八章 层次分析法层次分析法（Analytic Hierarchy Process ，简称AHP ）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。
它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。
§1 层次分析法的基本原理与步骤人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。
层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。
运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行：（i ）建立递阶层次结构模型；（ii ）构造出各层次中的所有判断矩阵；（iii ）层次单排序及一致性检验；（iv ）层次总排序及一致性检验。
下面分别说明这四个步骤的实现过程。
1.1 递阶层次结构的建立与特点应用AHP 分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。
在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。
这些元素又按其属性及关系形成若干层次。
上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。
这些层次可以分为三类：（i ）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。
（ii ）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。
（iii ）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。
每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。
这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。
下面结合一个实例来说明递阶层次结构的建立。