高中数学椭圆几何性质练习题

2．1.2 椭圆的简单几何性质

第1课时 椭圆的简单几何性质

双基达标 （限时20分钟）

1．已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( )． A ．(±13，0) B ．(0，±10) C ．(0，±13)

D ．(0，±69)

解析 由题意知，椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)． 答案 D

2．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( )．

A.32

B.34

C.22

D.23

解析 将椭圆方程x 2

＋4y 2

＝1化为标准方程x 2

＋y 214

＝1，则a 2＝1，b 2＝1

4，c

＝a 2－b 2＝32，故离心率e ＝c a ＝3

2. 答案 A

3．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是6

3，则椭圆C 的方程为( )． A.x 23＋y 2

＝1 B ．x 2＋y

23＝1

C.x 23＋y 2

2＝1

D.x 22＋y 2

3＝1

解析 因为c a ＝6

3，且c ＝2，所以a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2

＝1.

答案 A

4．已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________．

解析设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，焦距为2c，则b＝1，a2＋b2＝(5)2，即a2＝4.

所以椭圆的标准方程是x2

4＋y

2＝1或

y2

4＋x

2＝1.

答案x2

4＋y

2＝1或

y2

4＋x

2＝1

5．已知椭圆

x2

k＋8

＋

y2

9＝1的离心率为

1

2，则k的值为________．

解析当k＋8>9时，e2＝c2

a2＝

k＋8－9

k＋8

＝

1

4，k＝4；

当k＋8<9时，e2＝c2

a2＝

9－k－8

9＝

1

4，k＝－

5

4.

答案4或－5 4

6．求椭圆x2

4＋y

2＝1的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．

解已知方程为x2

4＋

y2

1＝1，所以，a＝2，b＝1，c＝4－1＝3，因此，椭圆

的长轴的长和短轴的长分别为2a＝4，2b＝2，离心率e＝c

a＝

3

2，两个焦点

分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，椭圆的四个顶点是A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－1)，B2(0，1)．

综合提高（限时25分钟）

7．已知椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m＝()．

A.1

4 B.

1

2C．2 D．4

解析将椭圆方程化为标准方程为x2＋y2

1

m

＝1，

∵焦点在y轴上，∴1

m>1，∴0

1

m，b＝1.∵a＝2b，∴m

＝14. 答案 A

8．过椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )． A.52 B.33 C.12 D.13

解析 记|F 1F 2|＝2c ，则由题设条件，知|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c

3，则椭圆的离心

率e ＝2c

2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|

＝2c 2c 3＋4c 3

＝3

3，故选B.

答案 B

9．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为3

2，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________． 解析 依题意，设椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)， ∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12. ∴2a ＝12，即a ＝6.∵椭圆的离心率为3

2， ∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴36－b 26＝

3

2， ∴b 2

＝9.∴椭圆G 的方程为x 236＋y 2

9＝1.

答案 x 236＋y 2

9＝1

10．已知中心在原点，对称轴为坐标轴，长半轴长与短半轴长的和为92，离心率为3

5的椭圆的标准方程为________．

解析 由题意知?????a ＋b ＝92，c a ＝35，a 2＝b 2＋c 2，

解得??

?a ＝5

2，b ＝4 2.

但焦点位置不确定．

答案x2

50＋

y2

32＝1或

x2

32＋

y2

50＝1

11．已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，且过点A(2，－6)．求椭圆的标准方程．解法一依题意a＝2b.

(1)当椭圆焦点在x轴上时，设椭圆方程为

x2

4b2＋

y2

b2＝1.

代入点A(2，－6)坐标，得

4

4b2＋

36

b2＝1，解得b

2＝37，

∴a2＝4b2＝4337＝148，

∴椭圆的标准方程为

x2

148＋

y2

37＝1.

(2)当焦点在y轴上时，设椭圆方程为

y2

4b2＋

x2

b2＝1.

代入点A(2，－6)坐标得36

4b2＋

4

b2＝1，

∴b2＝13，∴a2＝52.

∴椭圆的标准方程为y2

52＋

x2

13＝1.综上所述，

所求椭圆的标准方程为

x2

148＋

y2

37＝1或

y2

52＋

x2

13＝1.

法二设椭圆方程为x2

m＋

y2

n＝1(m>0，n>0，m≠n)，

由已知椭圆过点A(2，－6)，所以有4

m＋

36

n＝1.①

由题设知a＝2b，∴m＝2n，②或n＝2m，③

由①②可解得n＝37，∴m＝148. 由①③可解得m＝13，∴n＝52.

所以所求椭圆的标准方程为

x2

148＋

y2

37＝1或

x2

13＋

y2

52＝1.

12．(创新拓展)已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1，0)，一个顶点为H(2，0)．

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)对于x 轴上的点P (t ，0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围．

解 (1)由题意可得，c ＝1，a ＝2，∴b ＝ 3. ∴所求椭圆E 的标准方程为x 24＋y 2

3＝1. (2)设M (x 0，y 0)(x 0≠±2)，则x 204＋y 20

3＝1. ①

MP →＝(t －x 0，－y 0)，MH →＝(2－x 0，－y 0)， 由MP ⊥MH 可得MP

→2MH →＝0， 即(t －x 0)(2－x 0)＋y 2

0＝0.

②

由①②消去y 0，整理得t (2－x 0)＝－14x 20＋2x 0－3. ∵x 0≠2，∴t ＝14x 0－3

2.∵－2