吉林省长春市普通高中2017届高三下学期第二次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案
长春市普通高中2017届高三质量检测（二）数学试卷（文科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}0,1,2,|2,xA B y y x A ===∈，则A B =A. {}0,1,2B. {}1,2C. {}1,2,4D. {}1,4 2.已知复数1z i =+，则下列命题中正确的是.①z = ②1z i =- ； .③z 的虚部为i ； ④z 在复平面上对应的点位于第一象限. A. 1 B. 2 C. 3 D. 43.下列函数中，既是奇函数又在()0,+∞上单调递增的函数是 A. x x y e e -=+ B. ()ln 1y x =+ C. siny x=D.1y x x =-4.圆()2224x y -+=关于直线y x =对称的圆的方程是A. (()2214x y +-=B. ((224x y +=C. ()2224x y +-= D. ()(2214x y -+=5.堑堵，我国古代数学名词，其三视图如图所示.《九章算术》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，表一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？”意思是说：“今有堑堵，底面宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺，问它的体积是多少？”（注：一丈=十尺），答案是A. 25500立方尺B. 34300立方尺C. 46500立方尺D. 48100立方尺 6.某游戏设计了如图所示的空心圆环形标靶，图中所标注的一、二、三区域所对的圆心角依次为，则向该标靶内投点，则该点落在区域二内的概率为A.14 B. 13 C. 27 D. 387. 在ABC ∆中，D 为三角形所在平面内一点，且1132AD AB AC =+ ，则BCD ABDSS ∆∆=A.16 B. 13 C. 12 D.238.运行如图所示的程序框图，则输出结果为A. 1008B. 1009C. 2016D. 20179. 关于函数2sin 314y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列叙述有误的是 A. 其图象关于直线4x π=-对称B. 其图像可由2sin 14y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上所有点横坐标变为原来的13倍得到 C. 其图像关于点11,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D.其值域为[]1,3-10. 右图是民航部门统计的2017年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是A. 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B. 深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C. 平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D. 平均价格变化量从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门 11.双曲线C的渐近线方程为y x =，一个焦点为(0,F，点)A ，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，PAF ∆周长的最小值为 A. 8 B. 10 C.4+D. 3+12.已知定义域为R 的函数()f x 的图象经过点()1,1，且对任意实数12x x <，都有()()21212f x f x x x ->--，则不等式()log 231331x xf ⎡⎤⎡⎤-<--⎣⎦⎣⎦的解集为A. ()(),00,1-∞B. ()0,+∞C. ()()1,00,3-D.(),1-∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 21cos 152-=. 14. 已知实数,x y 满足10380,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪⎩，则2y z x =+的最大值为 .15. 将1,2,3,4…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为 .16. 已知四棱锥P ABCD -的底面为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PE BC ⊥于点E ，1,3,2EC AB BC PE ====，则四棱锥P ABCD -的外接球半径为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知数列{}n a 满足()113,31.2n n a a a n N *+==-∈ （1）若数列{}n b 满足12n n b a =-，求证：{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n a 的前项和.n S18.（本题满分12分）为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效的改良玉米品种，为农民提供技术支.现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如右图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米.（1）完成列22⨯联表，并判断是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？（2）为了改良玉米品种，现采用分层抽样的方法从抗倒伏的玉米中抽出5株，再从这5株玉米中选取2株进行杂交试验，选取的植株均为矮茎的概率是多少？19.（本题满分12分）已知三棱锥A BCD -中，ABC ∆是等腰直角三角形，且,2,AC BC BC AD ⊥=⊥平面, 1.BCD AD =（1）求证：平面ABC ⊥平面ACD ；（2）若E 为AB 的中点，求点A 到平面CED 的距离.20.（本题满分12分）已知抛物线()2:20C y px p =>与直线40x +=相切.（1）求该抛物线的方程；（2）在x 轴的正半轴上，是否存在某个确定的点M,过该点的动直线l 与抛物线C 交于A,B 两点，使得2211AMBM+为定值.如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由.21.（本题满分12分） 已知函数()()211ln ,.2f x x a x a x a R =+--∈ （1）若()f x 存在极值点1，求a 的值； （2）若()f x 存在两个不同的零点，求证：2ea >（e 为自然对数的底数，ln 20.6931=）请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分. 22.（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为()223sin 12ρθ+=，曲线2C 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）,0,.2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线； （2）设曲线2C 与曲线1C 的交点为A,B ，()1,0P ,当72PA PB +=时，求cos α的值.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）如果关于x 的不等式15x x m ++-≤的解集不是空集，求实数m 的取值范围； （2）若,a b 均为正数，求证：a bb aa b a b ≥.长春市普通高中2017届高三质量监测（二） 数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. C3. D4. D5. C6. B7. D8. A9. C 10.D 11. B12. A简答与提示：1. 【命题意图】本题考查集合中元素的计算与交集的运算.【详细分析】B 题意可知，{|0}B y y =>，{}1,2A B = . 故选B.2. 【命题意图】本题考查复数的模、共轭复数、虚部与复数与平面内点的对应关系.【详细分析】C 由已知，①②④正确，③错误.故选C. 3. 【命题意图】本题考查函数的单调性与奇偶性知识.【详细分析】D A 、B 选项为偶函数，排除，C 选项是奇函数，但在(0,)+∞上不是单调递增函数.故选D.4. 【命题意图】本题考查直线与圆的相关知识.【详细分析】D 圆22(2)4-+=x y 的圆心关于直线=y x 对称的坐标为(1，从而所求圆的方程为22(1)(4-+=x y .故选D. 5. 【命题意图】本题主要考查空间几何体的体积.【详细分析】C 由已知，堑堵的体积为12018625465002⨯⨯⨯=. 故选C. 6. 【命题意图】本题主要考查几何概型.【详细分析】B 设三个区域圆心角比值为3:4:5，故区域二所占面积比41123=.故选B. 7. 【命题意图】本题主要考查利用平面向量确定点的位置进而解决平几问题.【详细分析】D 由已知，点D 在AB 边的中位线上，且为靠近BC 边的三等分点处，从而有12ABD ABC S S ∆∆=.故选D. 8. 【命题意图】本题考查直到型循环结构程序框图运算.【详细分析】A 有已知，01234201520161008=-+-++-+= S .故选A. 9. 【命题意图】本题考查三角函数的有关性质.【详细分析】C 由已知，该函数关于点11(,1)12π对称.故选C. 10. 【命题意图】本题主要考查考试对统计图表的识别.【详细分析】D 由图可知D 错误.故选D. 11. 【命题意图】本题考查双曲线定义的相关知识.【详细分析】B 由已知双曲线方程为22143-=y x ，设双曲线的上焦点为'F ，则||||4'=+PF PF ，△PAF 的周长为||||||||4||3'++=+++PF PA AF PF PA ，当P 点在第一象限时，||||'+PF PA 的最小值为||3'=AF ，故△PAF 的周长的最小值为10.故选B.12. 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.【详细分析】A 令()()2=+F x f x x ，由任意<x y ，()()2->--f x f y x y可得()2()2f x x f y y +<+，所以()F x 在定义域内单调递增，由1)1(=f ，得(1)(1)23=+=F f ，因为2(log |31|)3|31|-<--xx f 等价于22(log |31|)2log |31|3-+-<x x f ，令2log |31|=-x t ，有()23+<f t t ，则有1<t ，即2l o g |31|1-<x，从而|31|2-<x ，解得1,<x 且0≠x . 故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.14. 7 15. 91 16.简答与提示：13. 【命题意图】本题考查同角基本关系式和二倍角公式.【详细分析】22111cos 15(2cos 151)cos30222︒-=︒-=︒=. 14. 【命题意图】本题主要考查线性规划.【详细分析】通过画可行域可以确定，使目标函数2yz x =+取最大值的最优解为(4,6)，故2yz x =+的最大值为7. 15. 【命题意图】本题考查考生有关数列归纳的相关能力.【详细分析】由三角形数组可推断出，第n 行共有21n -项，且最后一项为2n ，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91. 16. 【命题意图】本题考查四棱锥的外接球问题.【详细分析】由已知，设三角形PBC 外接圆圆心为1O ，F 为BC 边中点，进而求出1O F =，设四棱锥的外接球球心为O ，外接球半径的平方为2219()22BD O F +=，所以四棱锥外接球半径为2.三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查等比数列及数列前n 项和.【详细分析】(1) 由题可知*1113()()22N +-=-∈n n a a n ，从而有13+=n n b b ，11112=-=b a ，所以{}n b 是以1为首项，3为公比的等比数列.（6分）(2) 由(1)知13-=n n b ，从而1132-=+n n a ，有1111311332222-+-=+++++= n n n n S .（12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【详细分析】解：22⨯经计算7.287 6.635k ≈>，因此可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关. （6分）(2) 分层抽样后，高茎玉米有2株，设为,A B ，矮茎玉米有3株，设为,,a b c ，从中取出2株的取法有,,,,,,,,,AB Aa Ab Ac Ba Bb Bc ab ac bc ，共10种，其中均为矮茎的选取方式有,,ab ac bc 共3种，因此选取的植株均为矮茎的概率是310. （12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本题以三棱锥为载体，考查平面与平面垂直，求点到平面距离问题等. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【详细分析】（1）证明：因为AD ⊥平面,BCD ⊂BC 平面BCD ，所以⊥AD BC ，又因为,⊥= AC BC AC AD A ，所以⊥BC 平面,ACD ⊂BC 平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACD .（6分）（2）由已知可得=CD ，取CD 中点为F ，连结EF，由于12ED EC AB ===以ECD ∆为等腰三角形，从而EF =，ECD S ∆=由（1）知⊥BC 平面,ACD 所以E 到平面ACD 的距离为1，ACD S ∆=，令A 到平面CED 的距离为d ，有11133A ECD ECD E ACD ACD V S d V S -∆-∆=⋅⋅==⋅⋅，解得d = （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查直线与抛物线的位置关系及标准方程，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【详细分析】(1)联立方程有，2402⎧+=⎪⎨=⎪⎩x y px，有280-+=y p ，由于直线与抛物线相切，得28320,4∆=-==p p p ，所以28=y x .（4分）(2) 假设存在满足条件的点(,0)(0)>M m m ，直线:=+l x ty m ，有28=+⎧⎨=⎩x ty my x，2880--=y ty m ，设112(,),(,)A x y B x y，有12128,8+==-y y t y y m，22222111||()(1)AM x m y t y =-+=+，22222222||()(1)BM x m y t y =-+=+，222122222222222212121111114()()||||(1)(1)(1)(1)4y y t mAM BM t y t y t y y t m+++=+==++++，当4=m 时，2211||||AM BM +为定值，所以(4,0)M . （12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力.【详细分析】(1) ()1'=+--af x x a x，因为()f x 存在极值点为1，所以(1)0'=f ，即220,1-==a a ，经检验符合题意，所以1=a . （4分）(2) ()1(1)(1)(0)'=+--=+->a af x x a x x x x①当0≤a 时，()0'>f x 恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上为增函数，不符合题意； ②当0>a 时，由()0'=f x 得=x a ，当>x a 时，()0'>f x ，所以()f x 为增函数， 当0<<x a 时，()0'<f x ，所()f x 为增函减数， 所以当=x a 时，()f x 取得极小值()f a又因为()f x 存在两个不同零点，所以()0<f a ，即21(1)ln 02+--<a a a a a整理得1ln 12>-a a ，令1()ln 12h a a a =+-，11()02h a a '=+>，()h a 在定义域内单调递增，()()(l n 1)(l n 1)224224e e e e e e h h e e ⋅=+-+-=-，由l n 20.6e ≈≈知ln 204e -<，故2ea >成立.（12分） 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、把曲线的参数方程和曲线的极坐标方程联立求交点等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【详细分析】 (1) 由22(3sin )12ρθ+=得22143+=x y ，该曲线为椭圆. （5分） （2）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入22143+=x y 得22(4cos )6cos 90t t αα-+-=，由直线参数方程的几何意义，设12||||,||||==PA t PB t ，1226cos ,4cos t t αα-+=- 12294cos t t α-=-，所以122127||||||4cos 2PA PB t t α+=-==-，从而24cos 7α=，由于(0,)2πα∈，所以cos α=. （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【详细分析】 (1) 令24,1|1||5|6,1524,5-+≤-⎧⎪=++-=-<<⎨⎪-≥⎩x x y x x x x x ，可知|1||5|6++-≥x x ，故要使不等式|1||5|++-≤x x m 的解集不是空集， 有6≥m .（5分）（2）由,a b 均为正数，则要证≥a bb aa b a b ，只需证1--≥a b b aa b，整理得()1-≥a b ab ，由于当≥a b 时，0-≥a b ，可得()1-≥a bab，当<a b 时，0-<a b ，可得()1->a b ab，可知,a b均为正数时()1-≥a ba b，当且仅当=a b 时等号成立，从而≥a b b a a b a b 成立.（10分）。
2017年东北三省四市高考数学二模试卷(文科)
2017年东北三省四市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z=1+2i，则z•=（）A．3﹣4i B．5+4i C．﹣3 D．52．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜2} 3．（5分）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个设计几何体体积的问题．意思是如果两个等高的几何体在同高处处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B 的体积不相等，q：A，B在同高处的截面面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）直线x﹣3y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交所得弦长为（）A． B．C．4 D．35．（5分）下列命题中错误的是（）A．如果平面α外的直线a不平行于平面α内不存在与a平行的直线B．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么直线l⊥平面γC．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βD．一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交6．（5分）已知数列{a n}满足a n+1﹣a n=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（）A．9 B．15 C．18 D．307．（5分）平面内的动点（x，y）满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，4]C．[4，+∞）D．[﹣2，2]8．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B．C．D．10．（5分）若关于x的方程2sin（2x+）=m在[0，]上有两个不等实根，则m的取值范围是（）A．（1，）B．[0，2]C．[1，2） D．[1，]11．（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的a、b、c满足（）A．c≤b≤a B．a≤b≤c C．a≤c≤b D．b≤c≤a12．（5分）对∀x∈（0，），8x≤log a x+1恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．[，1）D．[，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，其中学号为前30名的同学平均成绩为90，则后20名同学的平均成绩为．14．（5分）若函数f（x）=e x•sinx，则f'（0）=．15．（5分）等比数列{a n}中各项均为正数，S n是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=．16．（5分）F为双曲线（a＞b＞0）的左焦点，过点F且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于A，B两点，若=，则双曲线的离心率为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）已知点P （，1），Q （cosx ，sinx ），O 为坐标原点，函数f （x ）=•． （Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）若A 为△ABC 的内角，f （A ）=4，BC=3，△ABC 的面积为，求△ABC的周长．18．（12分）某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如表： 女性用户：男性用户（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不要求计算具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，再从这20名用户中满足评分不低于80分的用户中任意抽取2名用户，求2名用户评分都小于90分的概率．19．（12分） 如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，AD=AP=2，AB=2，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）证明：PD ⊥平面ABE ；（Ⅱ）求三棱锥C ﹣PBD 外接球的体积．20．（12分）已知函数f（x）=ax﹣lnx．（1）过原点O作函数f（x）图象的切线，求切点的横坐标；（2）对∀x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x﹣x2）恒成立，求实数a的取值范围．21．（12分）已知椭圆C：+y2=1（a＞1），B1，B2分别是其上、下顶点，椭圆C的左焦点F1在以B1B2为直径的圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N的横坐标的取值范围是（﹣，0），求线段AB 长的取值范围．从22、23题中任选一题作答.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]．23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．2017年东北三省四市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知复数z=1+2i，则z•=（）A．3﹣4i B．5+4i C．﹣3 D．5【解答】解：z•=（1+2i）（1﹣2i）=12+22=5．故选：D．2．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜2}【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即A={x|﹣1＜x＜3}，∵B={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B={x|﹣1＜x＜2}故选：D3．（5分）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个设计几何体体积的问题．意思是如果两个等高的几何体在同高处处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B 的体积不相等，q：A，B在同高处的截面面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由p⇒q，反之不成立．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）（2017•长春三模）直线x﹣3y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交所得弦长为（）A． B．C．4 D．3【解答】解：圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10的圆心坐标为（1，3），半径r=，圆心到直线x﹣3y+3=0的距离d==，故弦AB=2=，故选A．5．（5分）（2017•长春三模）下列命题中错误的是（）A．如果平面α外的直线a不平行于平面α内不存在与a平行的直线B．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么直线l⊥平面γC．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βD．一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交【解答】解：如果平面α外的直线a不平行于平面α，则a与α相交，则α内不存在与a平行的直线，故A正确；如图：α⊥γ，α∩γ=a，β⊥γ，β∩γ=b，α∩β=l，在γ内取一点P，过P作PA⊥a于A，作PB⊥b于B，由面面垂直的性质可得PA ⊥l，PB⊥l，则l⊥γ，故B正确；如果平面α⊥平面β，那么平面α内的直线与平面β有三种位置关系：平行、相交、异面，故C错误；一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交，故D正确．故选：C．6．（5分）已知数列{a n}满足a n+1﹣a n=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（）A．9 B．15 C．18 D．30﹣a n=2，a1=﹣5，∴数列{a n}是公差为2的等差数列．【解答】解：∵a n+1∴a n=﹣5+2（n﹣1）=2n﹣7．数列{a n}的前n项和S n==n2﹣6n．令a n=2n﹣7≥0，解得．∴n≤3时，|a n|=﹣a n．n≥4时，|a n|=a n．则|a1|+|a2|+…+|a6|=﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+a6=S6﹣2S3=62﹣6×6﹣2（32﹣6×3）=18．故选：C．7．（5分）平面内的动点（x，y）满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，4]C．[4，+∞）D．[﹣2，2]【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图可知解得A（1，2）当x=1，y=2时，目标函数z=2x+y有最大值4．故目标函数z=2x+y的值域为（﹣∞，4]故选：B．8．（5分）（2017•大连一模）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=的定义域为：x≠0，x∈R，当x＞0时，函数f′（x）=，可得函数的极值点为：x=1，当x∈（0，1）时，函数是减函数，x＞1时，函数是增函数，并且f（x）＞0，选项B、D满足题意．当x＜0时，函数f（x）=＜0，选项D不正确，选项B正确．故选：B．9．（5分）（2017•长春三模）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B．C．D．【解答】解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥，底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，所以四棱锥的体积．故选D．10．（5分）（2017•长春三模）若关于x的方程2sin（2x+）=m在[0，]上有两个不等实根，则m的取值范围是（）A．（1，）B．[0，2]C．[1，2） D．[1，]【解答】解：方程2sin（2x+）=m可化为sin（2x+）=，当x∈[0，]时，2x+∈[，]，画出函数y=f（x）=sin（2x+）在x∈[0，]上的图象如图所示；根据方程2sin（2x+）=m在[0，]上有两个不等实根，得≤＜11≤m＜2∴m的取值范围是[1，2）．故选：C．11．（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的a、b、c满足（）A．c≤b≤a B．a≤b≤c C．a≤c≤b D．b≤c≤a【解答】解：由程序框图知，程序运行的功能是比较a、b、c的大小并按大小顺序输出，程序运行后输出的是c≤b≤a．故选：A．12．（5分）对∀x∈（0，），8x≤log a x+1恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．[，1）D．[，1）【解答】解：∵a∈（0，1）∪（1，+∞），当0＜x＜时，函数y=8x﹣1的图象如下图所示：∵对任意x∈（0，），总有8x≤log a x+1恒成立，则y=log a x的图象恒在y=8x﹣1的图象的上方（如图中虚线所示）∵y=log a x的图象与y=8x﹣1的图象交于（，1）点时，a=，故虚线所示的y=log a x的图象对应的底数a应满足≤a＜1．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）（2017•长春三模）某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，其中学号为前30名的同学平均成绩为90，则后20名同学的平均成绩为95．【解答】解：设学号为31号到50号同学的平均成绩为x，则92×50=90×30+20x，解得：x=95，故答案为：95．14．（5分）（2017•长春三模）若函数f（x）=e x•sinx，则f'（0）=1．【解答】解：f（x）=e x•sinx，f′（x）=（e x）′sinx+e x．（sinx）′=e x•sinx+e x•cosx，∴f'（0）=0+1=1故答案为：115．（5分）等比数列{a n}中各项均为正数，S n是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=30．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵2S3=8a1+3a2，a4=16，∴2a1（1+q+q2）=a1（8+3q），=16，解得a1=q=2．则S4==30．故答案为：30．16．（5分）（2017•长春三模）F为双曲线（a＞b＞0）的左焦点，过点F且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于A，B两点，若=，则双曲线的离心率为．【解答】解：设F（﹣c，0），则过F作斜率为1的直线为：y=x+c，而渐近线的方程是：y=±x，由得：A（﹣，），由得，B（﹣，﹣），若=，可得A为FB的中点，可得﹣c﹣=﹣2•，化为b=3a，c==a，e==．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）已知点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，△ABC的面积为，求△ABC 的周长．【解答】解：（Ⅰ）点P（，1），Q（cosx，sinx），∴=（，1），=（﹣cosx，1﹣sinx），函数f（x）=•=（﹣cosx）+（1﹣sinx）=3﹣cosx+1﹣sinx=﹣（sinx+cosx）+4=﹣2sin（x+）+4；∴函数f（x）的最小正周期为T=2π；（Ⅱ）A为△ABC的内角，f（A）=4，∴﹣2sin（A+）+4=4，∴sin（A+）=0，∴A+=π，解得A=；又BC=a=3，∴△ABC的面积为：S=bcsinA=bcsin=，解得bc=3；由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣2bccos=b2+c2+bc=32=9，∴b2+c2=6；∴（b+c）2=b2+c2+2bc=6+6=12，∴b+c=2，∴△ABC的周长为a+b+c=3+2．18．（12分）某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如表：女性用户：男性用户（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不要求计算具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，再从这20名用户中满足评分不低于80分的用户中任意抽取2名用户，求2名用户评分都小于90分的概率．【解答】解：（Ⅰ）对于女性用户，各小组的频率分别为：0.1，0.2，0.4，0.25，0.05，其相对应的小长方形的高为0.01，0.02，0.04，0.025，0.005，对于男性用户，各小组的频率分别为：0.15，0.25，0.30，0.20，0.10，其相对应的小长方形的高为0.015，0.025，0.03，0.02，0.01，直方图如图所示：，由直方图可以看出女性用户比男性用户评分的波动大．（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取2人，则[80，90）分数段抽取4人，分别记为A，B，C，D，[90，100]分数段抽取1人，记为E，M．则基本事件空间包含的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），（A，M），（B，M），（C，M），（D，M），（E，M）共15种．2名用户评分都小于90分的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共6种．故2名用户评分都小于90分的概率P==19．（12分）（2017•长春三模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AD=AP=2，AB=2，E为棱PD的中点．（Ⅰ）证明：PD⊥平面ABE；（Ⅱ）求三棱锥C﹣PBD外接球的体积．【解答】证明：（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，2），D（0，2，0），A（0，0，0），B（2，0，0），E（0，1，1），=（0，2，﹣2），=（2，0，0），=（0，1，1），=0，=0，∴PD⊥AB，PD⊥AE，∵AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABE．解：（Ⅱ）∵AD，AP，AB两垂直，底面ABCD为矩形，∴三棱锥C﹣PBD外接球即以AB，AD，AP为棱的长方体的外接球，∴三棱锥C﹣PBD外接球的半径R==3，∴三棱锥C﹣PBD外接球的体积V===36π．20．（12分）（2017•大连一模）已知函数f（x）=ax﹣lnx．（1）过原点O作函数f（x）图象的切线，求切点的横坐标；（2）对∀x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x﹣x2）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）设切点为M（x0，f（x0）），直线的切线方程为y﹣f（x0）=k（x ﹣x0），∵f′（x）=a﹣，∴k=f′（x0）=a﹣，即直线的切线方程为y﹣ax0+lnx0=（a﹣）（x﹣x0），又切线过原点O，所以﹣ax0+lnx0=﹣ax0+1，由lnx0=1，解得x0=e，所以切点的横坐标为e．（2）∵不等式ax﹣lnx≥a（2x﹣x2）恒成立，∴等价于a（x2﹣x）≥lnx对∀x∈[1，+∞）恒成立．设y1=a（x2﹣x），y2=lnx，由于x∈[1，+∞），且当a≤0时y1≤y2，故a＞0．记g（x）=ax2﹣ax﹣lnx，则当0＜a＜1时，g（3）=6a﹣ln3≥0不恒成立，同理x取其他值不恒成立．当x=1时，g（x）≥0恒成立；当x＞1时，则a≥恒成立，等价于问题转化为求h（x）=当x＞1时的最大值．又当x＞1时，lnx＜x﹣1＜x（x﹣1），即h（x）=＜1（x＞1），综上所述：a≥1．21．（12分）已知椭圆C：+y2=1（a＞1），B1，B2分别是其上、下顶点，椭圆C的左焦点F1在以B1B2为直径的圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N的横坐标的取值范围是（﹣，0），求线段AB 长的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+y2=1（a＞1），B1，B2分别是其上、下焦点，椭圆C的左焦点F1在以B1B2为直径的圆上．∴b=c=1，∴a=，∴椭圆方程为=1．（Ⅱ）设直线l：y=k（x+1），联立直线与椭圆方程：，得：（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，解得y1+y2=k（x1+x2+2）=，∴AB中点Q（﹣，），QN直线方程为：=﹣（x+）=﹣，∴N（﹣，0），由已知得﹣，∴0＜2k2＜1，∴|AB|===，∵，∴|AB|∈（，2）．从22、23题中任选一题作答.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）（2017•长春三模）已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程：．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程：x+2y﹣3=0．（2），直角坐标为（2，2），，∴M到l的距离≤，从而最大值为．[选修4-5：不等式选讲]．23．（2017•长春三模）已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，∴f（x）≥a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为a+，∴a+=1，2a+b=2；法二：∵﹣a＜，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=，显然f（x）在（﹣∞，]上单调递减，f（x）在[，+∞）上单调递增，∴f（x）的最小值为f（）=a+，∴a+=1，2a+b=2．（2）方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，=+=（+）（2a+b ）•=（1+4++），当a=b=时，取得最小值，∴≥t，即实数t的最大值为；方法二：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，t≤=+恒成立，+=+≥=，∴≥t，即实数t的最大值为；方法三：∵a+2b≥tab恒成立，∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立，∴2ta2﹣（3+2t）a+4≥0恒成立，∴（3+2t）2﹣326≤0，∴≤t≤，实数t的最大值为．参与本试卷答题和审题的老师有：沂蒙松；whgcn；刘老师；lcb001；sxs123；qiss；742048；豫汝王世崇；zwx097；双曲线；zlzhan；cst（排名不分先后）胡雯2017年4月17日。
2017年东北三省四市高考数学二模试卷(文科) 有答案
2017年东北三省四市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知复数z=1+2i，则z•=（）A．3﹣4i B．5+4i C．﹣3 D．52．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜2}3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个设计几何体体积的问题．意思是如果两个等高的几何体在同高处处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在同高处的截面面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．直线x﹣3y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交所得弦长为（）A．B．C．4D．35．下列命题中错误的是（）A．如果平面α外的直线a不平行于平面α内不存在与a平行的直线B．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么直线l⊥平面γC．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βD．一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交6．已知数列{a n}满足a n﹣a n=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（）+1A．9 B．15 C．18 D．307．平面内的动点（x，y）满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，4]C．[4，+∞）D．[﹣2，2]8．函数f（x）=的图象大致为（）A． B．C．D．9．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B．C．D．10．若关于x的方程2sin（2x+）=m在[0，]上有两个不等实根，则m的取值范围是（）A．（1，）B．[0，2]C．[1，2）D．[1，]11．运行如图所示的程序框图，则输出的a、b、c满足（）A．c≤b≤a B．a≤b≤c C．a≤c≤b D．b≤c≤a12．对∀x∈（0，），8x≤log a x+1恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，] C．[，1）D．[，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，其中学号为前30名的同学平均成绩为90，则后20名同学的平均成绩为．14．若函数f（x）=e x•sinx，则f'（0）=．15．等比数列{a n}中各项均为正数，S n是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=．16．F为双曲线（a＞b＞0）的左焦点，过点F且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于A，B两点，若=，则双曲线的离心率为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．已知点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，△ABC的面积为，求△ABC的周长．18．某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如表： 女性用户：值，给出结论即可）；（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，再从这20名用户中满足评分不低于80分的用户中任意抽取2名用户，求2名用户评分都小于90分的概率． 19． 如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，AD=AP=2，AB=2，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）证明：PD ⊥平面ABE ；（Ⅱ）求三棱锥C ﹣PBD 外接球的体积．20．已知函数f （x ）=ax ﹣lnx ．（1）过原点O 作函数f （x ）图象的切线，求切点的横坐标；（2）对∀x ∈[1，+∞），不等式f （x ）≥a （2x ﹣x 2）恒成立，求实数a 的取值范围． 21．已知椭圆C ：+y 2=1（a ＞1），B 1，B 2分别是其上、下顶点，椭圆C 的左焦点F 1在以B 1B 2为直径的圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N的横坐标的取值范围是（﹣，0），求线段AB长的取值范围．从22、23题中任选一题作答.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]．23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．2017年东北三省四市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知复数z=1+2i，则z•=（）A．3﹣4i B．5+4i C．﹣3 D．5【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：z•=（1+2i）（1﹣2i）=12+22=5．故选：D．2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜2}B．{x|﹣2＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜2}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即A={x|﹣1＜x＜3}，∵B={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B={x|﹣1＜x＜2}故选：D3．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个设计几何体体积的问题．意思是如果两个等高的几何体在同高处处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在同高处的截面面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由p⇒q，反之不成立．即可得出．【解答】解：由p⇒q，反之不成立．∴p是q的充分不必要条件．4．直线x﹣3y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10相交所得弦长为（）A．B．C．4D．3【考点】直线与圆相交的性质．【分析】根据已知中圆的标准方程和直线的一般方程，代入圆的弦长公式，可得答案．【解答】解：圆（x﹣1）2+（y﹣3）2=10的圆心坐标为（1，3），半径r=，圆心到直线x﹣3y+3=0的距离d==，故弦AB=2=，故选A．5．下列命题中错误的是（）A．如果平面α外的直线a不平行于平面α内不存在与a平行的直线B．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么直线l⊥平面γC．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βD．一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由空间中直线与平面的位置关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：如果平面α外的直线a不平行于平面α，则a与α相交，则α内不存在与a平行的直线，故A正确；如图：α⊥γ，α∩γ=a，β⊥γ，β∩γ=b，α∩β=l，在γ内取一点P，过P作PA⊥a于A，作PB⊥b于B，由面面垂直的性质可得PA⊥l，PB⊥l，则l⊥γ，故B正确；如果平面α⊥平面β，那么平面α内的直线与平面β有三种位置关系：平行、相交、异面，故C 错误；一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交，故D正确．6．已知数列{a n}满足a n﹣a n=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（）+1A．9 B．15 C．18 D．30【考点】数列的求和．【分析】利用等差数列的通项公式可得a n．及其数列{a n}的前n项和S n．令a n≥0，解得n，分类讨论即可得出．﹣a n=2，a1=﹣5，∴数列{a n}是公差为2的等差数列．【解答】解：∵a n+1∴a n=﹣5+2（n﹣1）=2n﹣7．数列{a n}的前n项和S n==n2﹣6n．令a n=2n﹣7≥0，解得．∴n≤3时，|a n|=﹣a n．n≥4时，|a n|=a n．则|a1|+|a2|+…+|a6|=﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+a6=S6﹣2S3=62﹣6×6﹣2（32﹣6×3）=18．故选：C．7．平面内的动点（x，y）满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，4]C．[4，+∞）D．[﹣2，2]【考点】简单线性规划．【分析】画出满足约束条件的平面区域，求出可行域各角点的坐标，然后利用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，即可得到目标函数的取值范围．【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：由图可知解得A（1，2）当x=1，y=2时，目标函数z=2x+y有最大值4．故目标函数z=2x+y的值域为（﹣∞，4]故选：B．8．函数f（x）=的图象大致为（）A． B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象．【分析】利用函数的导数判断函数的单调性以及函数的值域，判断函数的图象即可．【解答】解：函数f（x）=的定义域为：x≠0，x∈R，当x＞0时，函数f′（x）=，可得函数的极值点为：x=1，当x∈（0，1）时，函数是减函数，x＞1时，函数是增函数，并且f（x）＞0，选项B、D满足题意．当x＜0时，函数f（x）=＜0，选项D不正确，选项B正确．故选：B．9．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图复原的几何体是正四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥，底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，所以四棱锥的体积．故选D．10．若关于x的方程2sin（2x+）=m在[0，]上有两个不等实根，则m的取值范围是（）A．（1，）B．[0，2]C．[1，2）D．[1，]【考点】正弦函数的图象．【分析】把方程2sin（2x+）=m化为sin（2x+）=，画出函数f（x）=sin（2x+）在x∈[0，]上的图象，结合图象求出方程有两个不等实根时m的取值范围．【解答】解：方程2sin（2x+）=m可化为sin（2x+）=，当x∈[0，]时，2x+∈[，]，画出函数y=f（x）=sin（2x+）在x∈[0，]上的图象如图所示；根据方程2sin（2x+）=m在[0，]上有两个不等实根，得≤＜11≤m＜2∴m的取值范围是[1，2）．故选：C．11．运行如图所示的程序框图，则输出的a、b、c满足（）A．c≤b≤a B．a≤b≤c C．a≤c≤b D．b≤c≤a【考点】程序框图．【分析】分析程序运行的功能是比较a、b、c的大小并按大小顺序输出，写出运行结果即可．【解答】解：由程序框图知，程序运行的功能是比较a、b、c的大小并按大小顺序输出，程序运行后输出的是c≤b≤a．故选：A．12．对∀x∈（0，），8x≤log a x+1恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，] C．[，1）D．[，1）【考点】函数恒成立问题．【分析】对任意的x∈（0，），总有8x≤log a x+1恒成立，则在0＜x＜时，y=log a x的图象恒在y=8x﹣1的图象的上方，在同一坐标系中，分别画出指数和对数函数的图象，由此能求出实数a的取值范围【解答】解：∵a∈（0，1）∪（1，+∞），当0＜x＜时，函数y=8x﹣1的图象如下图所示：∵对任意x∈（0，），总有8x≤log a x+1恒成立，则y=log a x的图象恒在y=8x﹣1的图象的上方（如图中虚线所示）∵y=log a x的图象与y=8x﹣1的图象交于（，1）点时，a=，故虚线所示的y=log a x的图象对应的底数a应满足≤a＜1．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，其中学号为前30名的同学平均成绩为90，则后20名同学的平均成绩为95．【考点】众数、中位数、平均数．【分析】设学号为31号到50号同学的平均成绩为x，得到关于x的方程，解出即可．【解答】解：设学号为31号到50号同学的平均成绩为x，则92×50=90×30+20x，解得：x=95，故答案为：95．14．若函数f（x）=e x•sinx，则f'（0）=1．【考点】导数的运算．【分析】先求f（x）的导数，再求导数值．【解答】解：f（x）=e x•sinx，f′（x）=（e x）′sinx+e x．（sinx）′=e x•sinx+e x•cosx，∴f'（0）=0+1=1故答案为：115．等比数列{a n}中各项均为正数，S n是其前n项和，且满足2S3=8a1+3a2，a4=16，则S4=30．【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵2S3=8a1+3a2，a4=16，∴2a1（1+q+q2）=a1（8+3q），=16，解得a1=q=2．则S4==30．故答案为：30．16．F为双曲线（a＞b＞0）的左焦点，过点F且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于A，B两点，若=，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出过焦点的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把A，B表示出来，再由条件可得A为FB的中点，运用中点坐标公式，可得a，b，c的关系，然后求双曲线的离心率．【解答】解：设F（﹣c，0），则过F作斜率为1的直线为：y=x+c，而渐近线的方程是：y=±x，由得：A（﹣，），由得，B（﹣，﹣），若=，可得A为FB的中点，可得﹣c﹣=﹣2•，化为b=3a，c==a，e==．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．已知点P（，1），Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数f（x）=•．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）根据平面向量的坐标表示与数量积运算求出f（x），即可得出f（x）的最小正周期；（Ⅱ）根据f（A）=4求出A的值，再根据△ABC的面积和余弦定理求出b+c的值，即可求出周长．【解答】解：（Ⅰ）点P（，1），Q（cosx，sinx），∴=（，1），=（﹣cosx，1﹣sinx），函数f（x）=•=（﹣cosx）+（1﹣sinx）=3﹣cosx+1﹣sinx=﹣（sinx+cosx）+4=﹣2sin（x+）+4；∴函数f（x）的最小正周期为T=2π；（Ⅱ）A为△ABC的内角，f（A）=4，∴﹣2sin（A+）+4=4，∴sin（A+）=0，∴A+=π，解得A=；又BC=a=3，∴△ABC的面积为：S=bcsinA=bcsin=，解得bc=3；由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣2bccos=b2+c2+bc=32=9，∴b2+c2=6；∴（b+c）2=b2+c2+2bc=6+6=12，∴b+c=2，∴△ABC的周长为a+b+c=3+2．18．某手机厂商推出一款6吋大屏手机，现对500名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如表：女性用户：值，给出结论即可）；（Ⅱ）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，再从这20名用户中满足评分不低于80分的用户中任意抽取2名用户，求2名用户评分都小于90分的概率．【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）求出各组的频率，划痕处频率分布直方图，再比较即可，（Ⅱ）先求出评分是80分以上的人数，再分别求得评分落在区间[80，90）、[90，100]上的人数，即可求得2名用户评分都小于90分的概率．【解答】解：（Ⅰ）对于女性用户，各小组的频率分别为：0.1，0.2，0.4，0.25，0.05，其相对应的小长方形的高为0.01，0.02，0.04，0.025，0.005，对于男性用户，各小组的频率分别为：0.15，0.25，0.30，0.20，0.10，其相对应的小长方形的高为0.015，0.025，0.03，0.02，0.01，直方图如图所示：，由直方图可以看出女性用户比男性用户评分的波动大．（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取2人，则[80，90）分数段抽取4人，分别记为A，B，C，D，[90，100]分数段抽取1人，记为E，M．则基本事件空间包含的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E），（A，M），（B，M），（C，M），（D，M），（E，M）共15种．2名用户评分都小于90分的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共6种．故2名用户评分都小于90分的概率P==19．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，AD=AP=2，AB=2，E为棱PD的中点．（Ⅰ）证明：PD⊥平面ABE；（Ⅱ）求三棱锥C﹣PBD外接球的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PD⊥平面ABE．（Ⅱ）三棱锥C﹣PBD外接球即以AB，AD，AP为棱的长方体的外接球，由此能求出三棱锥C ﹣PBD外接球的体积．【解答】证明：（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，P（0，0，2），D（0，2，0），A（0，0，0），B（2，0，0），E（0，1，1），=（0，2，﹣2），=（2，0，0），=（0，1，1），=0，=0，∴PD⊥AB，PD⊥AE，∵AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABE．解：（Ⅱ）∵AD，AP，AB两垂直，底面ABCD为矩形，∴三棱锥C﹣PBD外接球即以AB，AD，AP为棱的长方体的外接球，∴三棱锥C﹣PBD外接球的半径R==3，∴三棱锥C﹣PBD外接球的体积V===36π．20．已知函数f（x）=ax﹣lnx．（1）过原点O作函数f（x）图象的切线，求切点的横坐标；（2）对∀x∈[1，+∞），不等式f（x）≥a（2x﹣x2）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）通过设切点坐标，进而可写出切线方程，代入原点计算即得结论；（2）通过转化可知a（x2﹣x）≥lnx对∀x∈[1，+∞）恒成立，分别设y1=a（x2﹣x），y2=lnx，利用x∈[1，+∞）可知a＞0．再记g（x）=ax2﹣ax﹣lnx，通过举反例可知当0＜a＜1时不满足题意．进而转化为函数的最值问题，利用当x＞1时lnx＜x﹣1恒成立放缩即得结论．【解答】解：（1）设切点为M（x0，f（x0）），直线的切线方程为y﹣f（x0）=k（x﹣x0），∵f′（x）=a﹣，∴k=f′（x0）=a﹣，即直线的切线方程为y﹣ax0+lnx0=（a﹣）（x﹣x0），又切线过原点O，所以﹣ax0+lnx0=﹣ax0+1，由lnx0=1，解得x0=e，所以切点的横坐标为e．（2）∵不等式ax﹣lnx≥a（2x﹣x2）恒成立，∴等价于a（x2﹣x）≥lnx对∀x∈[1，+∞）恒成立．设y1=a（x2﹣x），y2=lnx，由于x∈[1，+∞），且当a≤0时y1≤y2，故a＞0．记g（x）=ax2﹣ax﹣lnx，则当0＜a＜1时，g（3）=6a﹣ln3≥0不恒成立，同理x取其他值不恒成立．当x=1时，g（x）≥0恒成立；当x＞1时，则a≥恒成立，等价于问题转化为求h（x）=当x＞1时的最大值．又当x＞1时，lnx＜x﹣1＜x（x﹣1），即h（x）=＜1（x＞1），综上所述：a≥1．21．已知椭圆C： +y2=1（a＞1），B1，B2分别是其上、下顶点，椭圆C的左焦点F1在以B1B2为直径的圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N的横坐标的取值范围是（﹣，0），求线段AB长的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆中B1，B2分别是其上、下顶点，椭圆C的左焦点F1在以B1B2为直径的圆上．得到b=c=1，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线l：y=k（x+1），联立，得：（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、弦长公式，能求出线段AB长的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +y2=1（a＞1），B1，B2分别是其上、下焦点，椭圆C的左焦点F1在以B1B2为直径的圆上．∴b=c=1，∴a=，∴椭圆方程为=1．（Ⅱ）设直线l：y=k（x+1），联立直线与椭圆方程：，得：（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，解得y1+y2=k（x1+x2+2）=，∴AB中点Q（﹣，），QN直线方程为：=﹣（x+）=﹣，∴N（﹣，0），由已知得﹣，∴0＜2k2＜1，∴|AB|===，∵，∴|AB|∈（，2）．从22、23题中任选一题作答.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程．（2），直角坐标为（2，2），，利用点到直线的距离公式及其三角函数的单调性可得最大值．【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程：．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程：x+2y﹣3=0．（2），直角坐标为（2，2），，∴M到l的距离≤，从而最大值为．[选修4-5：不等式选讲]．23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x=时取等号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可；（2）法一，二：问题转化为≥t恒成立，根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出t的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，∴f （x ）≥a +，当x=时取等号，即f （x ）的最小值为a +，∴a +=1，2a +b=2；法二：∵﹣a ＜，∴f （x ）=|x +a |+|2x ﹣b |=，显然f （x ）在（﹣∞，]上单调递减，f （x ）在[，+∞）上单调递增，∴f （x ）的最小值为f （）=a +，∴a +=1，2a +b=2．（2）方法一：∵a +2b ≥tab 恒成立，∴≥t 恒成立，=+=（+）（2a +b ）•=（1+4++），当a=b=时，取得最小值，∴≥t ，即实数t 的最大值为；方法二：∵a +2b ≥tab 恒成立，∴≥t 恒成立，t ≤=+恒成立，+=+≥=，∴≥t ，即实数t 的最大值为；方法三：∵a +2b ≥tab 恒成立，∴a +2（2﹣a ）≥ta （2﹣a ）恒成立，∴2ta 2﹣（3+2t ）a +4≥0恒成立，∴（3+2t ）2﹣326≤0，∴≤t ≤，实数t 的最大值为．。
2017届吉林省吉林市高三下学期第二次模拟考试文科数学试题及答案 精品
吉林市普通中学2016—2017学年度高中毕业班下学期期中教学质量检测数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内；2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚；3．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑； 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2,4A =，{}2,3,4B =，则()U C A B = A. {}2,4 B. ∅ C. {}1,2,3,4 D. {}1,3 2．已知i 为虚数单位，则复数1i1i+=-A ．i -B ．iC ．1i +D ．1i - 3．若R y ,x ∈，则1≤y ,x 是122≤+y x 成立的A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．下列函数中，在定义域内既是奇函数又为增函数的是 A.1()2x y =B.sin y x =C.3y x =D.12log y x =5．已知1||=a ，2||=b ，向量a 与b 的夹角为60，则=+||b aA B C ．1 D ．2621x -=，则双曲线离心率为A B ．3 C ．2D 7．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12-，则切点的横坐标为A ．3B ．2C ．1D ．128．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且336,0S a ==，则公差d 等于 A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2 9．某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的S 的值是A ．－3B ．－12C ． 13D ． 210．若函数()()()()2,12log 1aa a x x f x x x ⎧--<⎪=⎨⎪≥⎩在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范 围是A ．()1,2B ．4(1,]3 C ．4[,2)3D ．()0,111．若不等式1a -≥2x y +，对满足225x y +=的一切实数,x y 恒成立，则实数a 的取值范围是A ．44a -≤≤B ．46a -≤≤C ．6a ≥或4a ≤-D ．6a ≥或6a ≤-12．已知函数()tan()(0,||)2f x A x πωϕωϕ=+><，的部分图像如图，则()24f π=A ． 1B ． 0Cy1D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。
(全优试卷)吉林省长春市普通高中高三下学期第二次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案
长春市普通高中2017届高三质量检测（二）数学试卷（文科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}0,1,2,|2,x A B y y x A ===∈，则AB =A. {}0,1,2B. {}1,2C. {}1,2,4D. {}1,4 2.已知复数1z i =+，则下列命题中正确的是.①z = ②1z i =- ； .③z 的虚部为i ； ④z 在复平面上对应的点位于第一象限. A. 1 B. 2 C. 3 D. 43.下列函数中，既是奇函数又在()0,+∞上单调递增的函数是A. x xy e e -=+ B. ()ln 1y x =+ C. sin y x =D.1y x x=- 4.圆()2224x y -+=关于直线3y x =对称的圆的方程是A. (()2214x y -+-=B. ((224x y -+=C. ()2224x y +-= D. ()(2214x y -+=5.堑堵，我国古代数学名词，其三视图如图所示.《九章算术》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，表一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？”意思是说：“今有堑堵，底面宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺，问它的体积是多少？”（注：一丈=十尺），答案是A. 25500立方尺B. 34300立方尺C. 46500立方尺D. 48100立方尺 6.某游戏设计了如图所示的空心圆环形标靶，图中所标注的一、二、三区域所对的圆心角依次为，则向该标靶内投点，则该点落在区域二内的概率为A.14 B. 13 C. 27 D. 387. 在ABC ∆中，D 为三角形所在平面内一点，且1132AD AB AC =+，则BCD ABD S S ∆∆=A.16 B. 13 C. 12 D.238.运行如图所示的程序框图，则输出结果为A. 1008B. 1009C. 2016D. 20179. 关于函数2sin 314y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列叙述有误的是 A. 其图象关于直线4x π=-对称B. 其图像可由2sin 14y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上所有点横坐标变为原来的13倍得到 C. 其图像关于点11,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D.其值域为[]1,3-10. 右图是民航部门统计的2017年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是A. 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B. 深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C. 平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D. 平均价格变化量从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门 11.双曲线C的渐近线方程为3y x =±，一个焦点为(0,F ，点)A ，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，PAF ∆周长的最小值为 A. 8 B. 10 C.4+D. 3+12.已知定义域为R 的函数()f x 的图象经过点()1,1，且对任意实数12x x <，都有()()21212f x f x x x ->--，则不等式()log 231331x xf ⎡⎤⎡⎤-<--⎣⎦⎣⎦的解集为A. ()(),00,1-∞B. ()0,+∞C. ()()1,00,3-D.(),1-∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 21cos 152-= . 14. 已知实数,x y 满足10380,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪⎩，则2y z x =+的最大值为 .15. 将1,2,3,4…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为 .16. 已知四棱锥P ABCD -的底面为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PE BC ⊥于点E ，1,3,2EC AB BC PE ====，则四棱锥P ABCD -的外接球半径为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知数列{}n a 满足()113,31.2n n a a a n N *+==-∈ （1）若数列{}n b 满足12n n b a =-，求证：{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n a 的前项和.n S18.（本题满分12分）为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效的改良玉米品种，为农民提供技术支.现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如右图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米.（1）完成列22⨯联表，并判断是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？（2）为了改良玉米品种，现采用分层抽样的方法从抗倒伏的玉米中抽出5株，再从这5株玉米中选取2株进行杂交试验，选取的植株均为矮茎的概率是多少？19.（本题满分12分）已知三棱锥A BCD -中，ABC ∆是等腰直角三角形，且,2,AC BC BC AD ⊥=⊥平面, 1.BCD AD =（1）求证：平面ABC ⊥平面ACD ；（2）若E 为AB 的中点，求点A 到平面CED 的距离.20.（本题满分12分）已知抛物线()2:20C y px p =>与直线40x +=相切.（1）求该抛物线的方程；（2）在x 轴的正半轴上，是否存在某个确定的点M,过该点的动直线l 与抛物线C 交于A,B 两点，使得2211AMBM+为定值.如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由.21.（本题满分12分） 已知函数()()211ln ,.2f x x a x a x a R =+--∈ （1）若()f x 存在极值点1，求a 的值； （2）若()f x 存在两个不同的零点，求证：2ea >（e 为自然对数的底数，ln 20.6931=）请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分. 22.（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为()223sin 12ρθ+=，曲线2C 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）,0,.2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线； （2）设曲线2C 与曲线1C 的交点为A,B ，()1,0P ,当72PA PB +=时，求cos α的值.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）如果关于x 的不等式15x x m ++-≤的解集不是空集，求实数m 的取值范围；（2）若,a b 均为正数，求证：a b b aa b a b ≥.长春市普通高中2017届高三质量监测（二） 数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. C3. D4. D5. C6. B7. D8. A9. C 10.D 11. B12. A简答与提示：1. 【命题意图】本题考查集合中元素的计算与交集的运算.【试题解析】B 题意可知，{|0}B y y =>，{}1,2AB =. 故选B.2. 【命题意图】本题考查复数的模、共轭复数、虚部与复数与平面内点的对应关系.【试题解析】C 由已知，①②④正确，③错误.故选C. 3. 【命题意图】本题考查函数的单调性与奇偶性知识.【试题解析】D A 、B 选项为偶函数，排除，C 选项是奇函数，但在(0,)+∞上不是单调递增函数.故选D.4. 【命题意图】本题考查直线与圆的相关知识.【试题解析】D 圆22(2)4-+=x y 的圆心关于直线=y x 对称的坐标为，从而所求圆的方程为22(1)(4-+=x y .故选D. 5. 【命题意图】本题主要考查空间几何体的体积.【试题解析】C 由已知，堑堵的体积为12018625465002⨯⨯⨯=. 故选C. 6. 【命题意图】本题主要考查几何概型.【试题解析】B 设三个区域圆心角比值为3:4:5，故区域二所占面积比41123=.故选B.7. 【命题意图】本题主要考查利用平面向量确定点的位置进而解决平几问题.【试题解析】D 由已知，点D 在AB 边的中位线上，且为靠近BC 边的三等分点处，从而有12ABD ABC S S ∆∆=.故选D. 8. 【命题意图】本题考查直到型循环结构程序框图运算.【试题解析】A 有已知，01234201520161008=-+-++-+=S .故选A. 9. 【命题意图】本题考查三角函数的有关性质.【试题解析】C 由已知，该函数关于点11(,1)12π对称.故选C. 10. 【命题意图】本题主要考查考试对统计图表的识别.【试题解析】D 由图可知D 错误.故选D. 11. 【命题意图】本题考查双曲线定义的相关知识.【试题解析】B 由已知双曲线方程为22143-=y x ，设双曲线的上焦点为'F ，则||||4'=+PF PF ，△PAF 的周长为||||||||4||3'++=+++PF PA AF PF PA ，当P 点在第一象限时，||||'+PF PA 的最小值为||3'=AF ，故△PAF 的周长的最小值为10.故选B.12. 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.【试题解析】A 令()()2=+F x f x x ，由任意<x y ，()()2->--f x f y x y可得()2()2f x x f y y +<+，所以()F x 在定义域内单调递增，由1)1(=f ，得(1)(1)23=+=F f ，因为2(log |31|)3|31|-<--x x f 等价于22(log |31|)2log |31|3-+-<x x f ，令2log |31|=-x t ，有()23+<f t t ，则有1<t ，即2log |31|1-<x ，从而|31|2-<x ，解得1,<x 且0≠x . 故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.414. 7 15. 91 16.2简答与提示：13. 【命题意图】本题考查同角基本关系式和二倍角公式.【试题解析】22111cos 15(2cos 151)cos302224︒-=︒-=︒=. 14. 【命题意图】本题主要考查线性规划.【试题解析】通过画可行域可以确定，使目标函数2yz x =+取最大值的最优解为(4,6)，故2yz x =+的最大值为7. 15. 【命题意图】本题考查考生有关数列归纳的相关能力.【试题解析】由三角形数组可推断出，第n 行共有21n -项，且最后一项为2n ，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91. 16. 【命题意图】本题考查四棱锥的外接球问题.【试题解析】由已知，设三角形PBC 外接圆圆心为1O ，F 为BC 边中点，进而求出12O F =，设四棱锥的外接球球心为O ，外接球半径的平方为2219()22BD O F +=，所以.三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查等比数列及数列前n 项和.【试题解析】(1) 由题可知*1113()()22N +-=-∈n n a a n ，从而有13+=n n b b ，11112=-=b a ，所以{}n b 是以1为首项，3为公比的等比数列.（6分）(2) 由(1)知13-=n n b ，从而1132-=+n n a ，有1111311332222-+-=+++++=n n n n S .（12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：(1) 根据统计数据做出列联表如下：经计算7.287 6.635k ≈>玉米矮茎有关. （6分）(2) 分层抽样后，高茎玉米有2株，设为,A B ，矮茎玉米有3株，设为,,a b c ，从中取出2株的取法有,,,,,,,,,AB Aa Ab Ac Ba Bb Bc ab ac bc ，共10种，其中均为矮茎的选取方式有,,ab ac bc 共3种，因此选取的植株均为矮茎的概率是310. （12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本题以三棱锥为载体，考查平面与平面垂直，求点到平面距离问题等. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】（1）证明：因为AD ⊥平面,BCD ⊂BC 平面BCD ，所以⊥AD BC ，又因为,⊥=AC BC ACAD A ，所以⊥BC 平面,ACD ⊂BC 平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACD .（6分）（2）由已知可得=CD ，取CD 中点为F ，连结EF，由于12ED EC AB ===所以ECD ∆为等腰三角形，从而EF =ECDS ∆=由（1）知⊥BC 平面,ACD 所以E 到平面ACD 的距离为1，ACD S ∆=，令A 到平面CED 的距离为d ，有11133A ECD ECD E ACD ACD V S d V S -∆-∆=⋅⋅==⋅⋅，解得5d =. （12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查直线与抛物线的位置关系及标准方程，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】(1) 联立方程有，2402⎧+=⎪⎨=⎪⎩x y px，有280-+=y p ，由于直线与抛物线相切，得28320,4∆=-==p p p ，所以28=y x .（4分）(2) 假设存在满足条件的点(,0)(0)>M m m ，直线:=+l x ty m ，有28=+⎧⎨=⎩x ty my x，2880--=y ty m ，设112(,),(,)A x y B x y ，有12128,8+==-y y t y y m ，22222111||()(1)AM x m y t y =-+=+，22222222||()(1)BM x m y t y =-+=+，222122222222222212121111114()()||||(1)(1)(1)(1)4y y t mAM BM t y t y t y y t m +++=+==++++，当4=m 时，2211||||AM BM +为定值，所以(4,0)M . （12分） 21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】(1) ()1'=+--af x x a x，因为()f x 存在极值点为1，所以(1)0'=f ，即220,1-==a a ，经检验符合题意，所以1=a . （4分）(2) ()1(1)(1)(0)'=+--=+->a af x x a x x x x①当0≤a 时，()0'>f x 恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上为增函数，不符合题意； ②当0>a 时，由()0'=f x 得=x a ，当>x a 时，()0'>f x ，所以()f x 为增函数， 当0<<x a 时，()0'<f x ，所()f x 为增函减数， 所以当=x a 时，()f x 取得极小值()f a又因为()f x 存在两个不同零点，所以()0<f a ，即21(1)ln 02+--<a a a a a整理得1ln 12>-a a ，令1()ln 12h a a a =+-，11()02h a a '=+>，()h a 在定义域内单调递增，()()(ln 1)(ln 1)(ln 2)224224e e e e e eh h e e ⋅=+-+-=-，由l n 20.693e ≈≈知ln 204e -<，故2ea >成立.（12分） 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、把曲线的参数方程和曲线的极坐标方程联立求交点等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】 (1) 由22(3sin )12ρθ+=得22143+=x y ，该曲线为椭圆. （5分） （2）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入22143+=x y 得22(4cos )6cos 90t t αα-+-=，由直线参数方程的几何意义，设12||||,||||==PA t PB t ，1226cos ,4cos t t αα-+=-12294cos t t α-=-，所以122127||||||4cos 2PA PB t t α+=-===-，从而24cos 7α=，由于(0,)2πα∈，所以cos α= （10分）23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】 (1) 令24,1|1||5|6,1524,5-+≤-⎧⎪=++-=-<<⎨⎪-≥⎩x x y x x x x x ，可知|1||5|6++-≥x x ，故要使不等式|1||5|++-≤x x m 的解集不是空集， 有6≥m . （5分）（2）由,a b 均为正数，则要证≥a b b a a b a b ，只需证1--≥a b b a a b ，整理得()1-≥a b ab，由于当≥a b 时，0-≥a b ，可得()1-≥a b a b ，当<a b 时，0-<a b ，可得()1->a b ab，可知,a b均为正数时()1-≥a b ab，当且仅当=a b 时等号成立，从而≥a b b a a b a b 成立.（10分）。
【吉林省长春】2017届普通高中高三下学年期第二次模拟考试数学年(文)试题
1，∴ |
AB
| ( 3
2 2
,2
2) ．（12 分）
21．解：（1）
f
(x)
1 ln x2
x
，
f
(x)
的定义域是 (0,)
，
x (0,e) 时， f (x) 0 ， f (x) 单调递增；
x (e,) 时， f '(x) 0 ， f (x) 单调递减．
当 x e 时， f (x) 取极大值为 1 ，无极小值． e
2
2
2
∴ a b 1， 2a b 2 ； 2
3x a b, x a
法二：∵ a
b 2
，∴
f
(x)
x
a
| 2x b | x a b, a
x
b， 2
3x
a
b,
x
b 2
显然 f (x) 在 (, b] 上单调递减， f (x) 在[b , ) 上单调递增，
PM (2,2,2) ， M (2,2,2 2)
设平面
PFM
的法向量
m
(
x1
,
y1
,
z1
)
，
m
m
PF PM
0 0
，即
x 2z 0 2x 2 y
2
z
0
，
mHale Waihona Puke (2,1,1)
设平面
BFM
的法向量 n
(
x2
,
y2
,
z2
)
，
n
吉林省普通中学高三第二次调研测试数学文Word版含答案
吉林市普通中学2017—2018学年度高中毕业班第二次调研测试文科数学本试卷共22小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1.则图中阴影部分表示的集合是A．B．C．D．A B2.A ．B ．C ．D ．3.是的 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.(3,1),,3)A.B.C.D.5. 已知某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的体积等于 A ．B ．C.D ．6. 《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位 所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由 筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒。
遇店加一倍，见花喝一斗,三3正视图侧视图俯视图遇店和花，喝光壶中酒。
借问此壶中，原有多少酒？”，0，则开始输A.B.C. D.7.计，其结果的频率分布直方图如图所示：该班学生中能报A专业的人数为A.B.C.D.8.: ①;其中正确结论的个数是A.B.C.D.9.视力A．B．C．D．10.A. B. C. D.11.A．B． C. D．12.A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.的最大值是14. 某公司招聘员工，有甲、乙、丙三人应聘并进行面试，结果只有一人被录用，当三人 被问到谁被录用时，甲说：丙没有被录用；乙说：我被录用；丙说：甲说的是真话.事实证明，三人中只有一人说的是假话，那么被录用的人是15.=16.①②③其中正确的命题是（只填序号）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1（23,BC b =.18．（12分）（1（219．（12分） 某校冬令营有三名男同学A,B,C 和三名女同学X,Y,Z ，（1）从6人中抽取2人参加知识竞赛，求抽取的2人都是男生的概率；（2）若从这3名男生和3名女生中各任选一名，求这2人中包含A 且不包含X 的概率.20．（12分）.（1（2.ABCDNP21．（12分）（1（2.22．（12分）（1;（2）.吉林市普通中学2017—2018学年度高中毕业班第二次调研测试文科数学参考答案与评分标准一、选择题：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12A CBCD A D B D B A C二、填空题：13. 7; 14. 甲; 15. 16. ②③三、解答题17．解（1------------------2分-----------------------------------------------------------------------------5分(2----------------------7分------------------9分------------------10分18．解（1------3分------6分（2n-----------------------9分n-------11分-----------------------------12分19．（12分）解（Ⅰ）由题意知，从6人中任选两人，其一切可能的结果组成的基本事件有：. ----------------------------------------3分--5分分（Ⅱ）从这3名男生和3名女生各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：---9分-----11分---------------------------------12分20．证明：（1）在矩形ABCD------------------------------------1分⊥=∴------------------------------------3分AB PA PA AD A AB,,⊂∴⊥面面面------------------------------------------4分,AB PAB PAB PAD∆中，（2）在PAD由（1AD A=………………………………………… 5分3⨯=232------------------------------------------8分-------------------------------------------------------10分-----------------------------------------------------12分21．解：（1---------------------------------------2分----------------4分-------------------------------------------------------------5分（2----------------------------------------------7分--8分--------------------------------------------------10分------------------------------------------------------------------12分22．解（1-----------------------------------2分----------------------------------------------------------3分---------------------------------------------------------4分 （2---------------------------7分 两个方程联立可得：9+--------------------------------10分 920BDEE S y BD n == B D N S D n = BDEBDN S=所以BDE ∆9：10. --------------------------------------------12分。
东北三省四市高考数学第二次模拟考试试题文(扫描版)
东北三省四市2017届高考数学第二次模拟考试试题文(扫描版）
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吉林省长春市普通高中高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案
长春市普通高中2017届高三质量检测（二）数学试卷（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}0,1,2,|2,x A B y y x A ===∈，则AB =A. {}0,1,2B. {}1,2C. {}1,2,4D. {}1,4 2.已知复数1z i =+，则下列命题中正确的是.①z = ②1z i =- ； .③z 的虚部为i ； ④z 在复平面上对应的点位于第一象限. A. 1 B. 2 C. 3 D. 43.下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的函数是 A. B. C. D.4.圆()2224x y -+=关于直线3y x =对称的圆的方程是A. (()2214x y -+-=B. ((224x y -+=C. ()2224x y +-= D. ()(2214x y -+=5.堑堵，我国古代数学名词，其三视图如图所示.《九章算术》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，表一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？”意思是说：“今有堑堵，底面宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺，问它的体积是多少？”（注：一丈=十尺），答案是A. 25500立方尺B. 34300立方尺C. 46500立方尺D. 48100立方尺 6.在ABC ∆中，D 为三角形所在平面内一点，且1132AD AB AC =+，则BCD ABD S S ∆∆=A.16 B. 13 C. 12 D.237.运行如图所示的程序框图，则输出结果为A. 1008B. 1009C. 2016D. 2017 8.关于函数2sin 314y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，下列叙述有误的是 A. 其图象关于直线4x π=-对称B. 其图像可由2sin 14y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象上所有点横坐标变为原来的13倍得到C. 其图像关于点11,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称D.其值域为[]1,3-9.右图是民航部门统计的2017年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是A. 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B. 深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C. 平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D. 平均价格变化量从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门10.如图，扇形AOB 的圆心角为120，点P 在弦AB 上，且13AP AB =，延长OP 交弧AB 于点C ，现向扇形AOB 内投一点，则该点落在扇形AOC 内的概率为 A.14 B. 13 C. 27 D. 3811.双曲线C 的渐近线方程为3y x =±，一个焦点为(0,F ，点)A ，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，PAF ∆周长的最小值为A. 8B. 10C. 4+D. 3+12.已知定义域为R 的函数()f x 的图象经过点()1,1，且对x R ∀∈,都有()2f x '>-，则不等式()log 231331xxf ⎡⎤⎡⎤-<--⎣⎦⎣⎦的解集为A. ()(),00,1-∞ B. ()0,+∞ C. ()()1,00,3- D.(),1-∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.11ex dx x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰ . 14. 将1,2,3,4…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为 .15. 某班主任准备请2016年毕业生作报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有 （种）.（用数字作答）16.已知四棱锥P ABCD -的底面为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PE BC ⊥于点E ，1,3,2EC AB BC PE ====，则四棱锥P ABCD -的外接球半径为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）已知数列{}n a 满足()113,31.2n n a a a n N *+==-∈ （1）若数列{}n b 满足12n n b a =-，求证：{}n b 是等比数列；（2）若数列{}n c 满足312log ,n n n n c a T c c c ==+++，求证：()1.2n n n T ->18.（本题满分12分）为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效的改良玉米品种，为农民提供技术支.现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如右图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米.（1）完成22⨯列联表，并判断是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？（2）①按照分层抽样的方式，在上述样本中，从易倒伏和抗倒伏两组中抽取9株玉米，设取出的易倒伏矮茎玉米株数为X ，求X 的分布列（概率用组合数算式表示）；②若将频率视为概率，从抗倒伏的玉米试验田中再随机抽取出50株，求取出的高茎玉米株数的数学期望和方差.19.（本题满分12分）已知三棱锥A BCD -中，ABC ∆是等腰直角三角形，且,2,AC BC BC AD ⊥=⊥平面, 1.BCD AD =（1）求证：平面ABC ⊥平面ACD ；（2）若E 为AB 的中点，求二面角A CE D --的余弦值.20.（本题满分12分）已知抛物线()2:20C y px p =>与直线40x +=相切.（1）求该抛物线的方程；（2）在x 轴的正半轴上，是否存在某个确定的点M,过该点的动直线l 与抛物线C 交于A,B两点，使得2211AMBM+为定值.如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由.21.（本题满分12分） 已知函数()()211ln ,.2f x x a x a x a R =+--∈ （1）若()f x 存在极值点1，求a 的值；（2）若()f x 存在两个不同的零点12,x x ，求证：12 2.x x +>请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分. 22.（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为()223sin 12ρθ+=，曲线2C 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）,0,.2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线； （2）设曲线2C 与曲线1C 的交点为A,B ，()1,0P ,当72PA PB +=时，求cos α的值.23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）如果关于x 的不等式15x x m ++-≤的解集不是空集，求实数m 的取值范围； （2）若,a b 均为正数，求证：a b b a a b a b ≥.长春市普通高中2017届高三质量监测（二） 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. B2. C3. D4. D5.C6. B7. A8. C9. D10. A11. B12. A简答与提示：1. 【命题意图】本题考查集合中元素的计算与交集的运算.【试题解析】B 题意可知，{}1,2,4B =，{}1,2AB =. 故选B.2. 【命题意图】本题考查复数的模、共轭复数、虚部与复数与平面内点的对应关系.【试题解析】C 由已知，①②④正确，③错误.故选C. 3. 【命题意图】本题考查函数的单调性与奇偶性知识.【试题解析】D A 、B 选项为偶函数，排除，C 选项是奇函数，但在(0,)+∞上不是单调递增函数.故选D.4. 【命题意图】本题考查直线与圆的相关知识.【试题解析】D 圆22(2)4-+=x y的圆心关于直线3=y x对称的坐标为，从而所求圆的方程为22(1)(4-+=x y .故选D.5. 【命题意图】本题主要考查空间几何体的体积.【试题解析】C 由已知，堑堵的体积为12018625465002⨯⨯⨯=. 故选C. 6. 【命题意图】本题主要考查利用平面向量确定点的位置进而解决平几问题.【试题解析】B 由已知，点D 在AB 边的中位线上，且为靠近BC 边的三等分点处，从而有12ABD ABC S S ∆∆=，13ACD ABC S S ∆∆=，111(1)236BCD ABC ABC S S S ∆∆∆=--=，有13BCD ABD S S ∆∆=.故选B. 7. 【命题意图】本题考查直到型循环结构程序框图运算.【试题解析】A 有已知，01234201520161008=-+-++-+=S .故选A.8. 【命题意图】本题考查三角函数的有关性质.【试题解析】C 由已知，该函数图象关于点11(,1)12π对称.故选C. 9. 【命题意图】本题主要考查考试对统计图表的识别.【试题解析】D由图可知D 错误.故选D.10. 【命题意图】本题主要考查几何概型.【试题解析】A 设3=OA，则==AB AP=OP 有30∠=︒AOP ，所以扇形AOC 的面积为34π，扇形AOB 的面积为3π，从而所求概率为31434ππ=.故选A. 11. 【命题意图】本题考查双曲线定义的相关知识.【试题解析】B 由已知双曲线方程为22143-=y x ，设双曲线的上焦点为'F ，则||||4'=+PF PF ，△PAF 的周长为||||||||4||3'++=+++PF PA AF PF PA ，当P 点在第一象限时，||||'+PF PA 的最小值为||3'=AF ，故△PAF 的周长的最小值为10.故选B.12. 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.【试题解析】A 令()()2=+F x f x x ，有()()20''=+>F x f x ，所以()F x 在定义域内单调递增，由1)1(=f ，得(1)(1)23=+=F f，因为2(log |31|)3|31|-<--x x f 等价于22(log |31|)2log |31|3-+-<x x f ，令2log |31|=-x t ，有()23+<f t t ，则有1<t ，即2log |31|1-<x ，从而|31|2-<x ，解得1,<x 且0≠x . 故选A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 212+e 14. 9115. 1080 16. 2简答与提示：13. 【命题意图】本题考查定积分的求解.【试题解析】22211111()(ln )12222++=+=+-=⎰eex e e x dx x x . 14. 【命题意图】本题考查考生有关数列归纳的相关能力.【试题解析】由三角形数组可推断出，第n 行共有21n -项，且最后一项为2n ，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91. 15. 【命题意图】本题考查排列组合综合问题.【试题解析】若甲乙同时参加，有2226222120=C A A 种，若甲乙有一人参与，有134264960=C C A 种，从而总共的发言顺序有1080种.16. 【命题意图】本题考查四棱锥的外接球问题.【试题解析】如图，由已知，设三角形PBC 外接圆圆心为1O ，由正弦定理可求出三角形PBC外接圆半径为2，F 为BC 边中点，进而求出112=O F ，设四棱锥的外接球球心为O ，外接球半径的平方为221()42+=BD O F ，所以四棱锥外接球半径为2.三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查等比数列及利用不等式性质证明与数列前n 项和有关的不等式.【试题解析】(1) 由题可知*1113()()22N +-=-∈n n a a n ，从而有13+=n n b b ，11112=-=b a ，所以{}n b 是以1为首项，3为公比的等比数列.（6分） (2) 由(1)知13-=n n b ，从而1132-=+n n a ，11331log (3)log 312--=+>=-n n n c n ，有12(1)01212-=+++>+++-=n n n n T c c c n ， 所以(1)2->n n n T . （12分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，以及统计案例的相关知识，同时考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：(1) 根据统计数据做出22⨯列联表如下：经计算7.287 6.635k ≈>，因此可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关.（4分）(2) (i) 按照分层抽样的方式抽到的易倒伏玉米共4株，则X 的可能取值为0,1,2,3,4.416420(0)C P X C ==，13416420(1)C C P X C ⋅==，22416420(2)C C P X C ⋅==， 31416420(3)C C P X C ==，44420(4)C P X C ==即X 的分布列为：(ii) 在抗倒伏的玉米样本中，高茎玉米有10株，占5，即每次取出高茎玉米的概率均为25，设取出高茎玉米的株数为ξ，则2(50,)5B ξ，即250205E np ξ==⨯=，23(1)501255D np p ξ=-=⨯⨯=.（12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本题以三棱锥为载体，考查平面与平面垂直，求二面角问题等. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】（1）证明：因为AD ⊥平面,BCD ⊂BC 平面BCD ，所以⊥AD BC ，又因为,⊥=AC BC ACAD A ，所以⊥BC 平面,ACD ⊂BC 平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACD .（6分）（2）由已知可得=CD 如图所示建立空间直角坐标系，由已知(0,0,0)C ，(0,2,0)B，A，D，1)2E .有31()22=CE ，(3,0,1)=CA ，(3,0,0)=CD ，设平面ACE 的法向量(,,)=n x y z，有00,1002⎧+=⎧⋅=⎪⎨⋅=++=⎪⎩z n CA n CE x y z ，令1=x ，得(1,0,=n ， 设平面CED 的法向量(,,)=mx y z，有00,10022⎧=⎧⋅=⎪⎨⋅=++=⎪⎩⎩m CD m CE x y z ，令1=y ，得(0,1,2)m =-，二面角--A CE D的余弦值||23cos ||||25n m n m θ⋅===⋅.（12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查直线与抛物线的位置关系及标准方程，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】(1)联立方程有，2402⎧+=⎪⎨=⎪⎩x y px，有280-+=y p ，由于直线与抛物线相切，得28320,4∆=-==p p p ，所以28=y x .（4分）(2) 假设存在满足条件的点(,0)(0)>M m m ，直线:=+l x ty m ，有28=+⎧⎨=⎩x ty my x ，2880--=y ty m ，设112(,),(,)A x y B x y ，有12128,8+==-y y t y y m ，22222111||()(1)AM x m y t y =-+=+，22222222||()(1)BM x m y t y =-+=+，222122222222222212121111114()()||||(1)(1)(1)(1)4y y t mAM BM t y t y t y y t m +++=+==++++，当4=m 时，2211||||AM BM +为定值，所以(4,0)M .（12分）x21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】(1) ()1'=+--af x x a x，因为()f x 存在极值点为1，所以(1)0'=f ，即220,1-==a a ，经检验符合题意，所以1=a .（4分）(2) ()1(1)(1)(0)'=+--=+->a af x x a x x x x①当0≤a 时，()0'>f x 恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上为增函数，不符合题意； ②当0>a 时，由()0'=f x 得=x a ， 当>x a 时，()0'>f x ，所以()f x 为增函数， 当0<<x a 时，()0'<f x ，所()f x 为减函数， 所以当=x a 时，()f x 取得极小值()f a又因为()f x 存在两个不同零点12,x x ，所以()0<f a ，即21(1)ln 02+--<a a a a a 整理得1ln 12>-a a ， 作()=y f x 关于直线=x a 的对称曲线()(2)=-g x f a x ， 令2()()()(2)()22ln-=-=--=--a xh x g x f x f a x f x a x a x222222()220(2)()a a h x a x x x a a'=-+=-+≥---+ 所以()h x 在(0,2)a 上单调递增， 不妨设12<<x a x ，则2()()0h x h a >=， 即2221()(2)()()=->=g x f a x f x f x ，又因为212(0,),(0,),-∈∈a x a x a 且()f x 在(0,)a 上为减函数， 故212-<a x x ，即122+>x x a ，又1ln 12>-a a ，易知1>a 成立， 故122+>x x .（12分）22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、把曲线的参数方程和曲线的极坐标方程联立求交点等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】 (1) 由22(3sin )12ρθ+=得22143+=x y ，该曲线为椭圆. （5分） （2）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入22143+=x y 得22(4cos )6cos 90t t αα-+-=，由直线参数方程的几何意义，设12||||,||||==PA t PB t ，1226cos ,4cos t t αα-+=- 12294cos t t α-=-，所以122127||||||4cos 2PA PB t t α+=-==-，从而24cos 7α=，由于(0,)2πα∈，所以cos 7α=. （10分） 23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法及不等式证明等内容. 本小题重点考查考生的化归与转化思想.【试题解析】 (1) 令24,1|1||5|6,1524,5-+≤-⎧⎪=++-=-<<⎨⎪-≥⎩x x y x x x x x ，可知|1||5|6++-≥x x ，故要使不等式|1||5|++-≤x x m 的解集不是空集，有6≥m . （5分）（2）由,a b 均为正数，则要证≥a b b a a b a b ，只需证1--≥a b b a a b ，整理得()1-≥a b a b ，由于当≥a b 时，0-≥a b ，可得()1-≥a b a b ，当<a b 时，0-<a b ，可得()1->a b a b ，可知,a b 均为正数时()1-≥a b a b，当且仅当=a b 时等号成立，从而≥a b b a a b a b 成立.（10分）。
2017-2018届吉林省长春市高三毕业班第二次调研测试文科数学试题及答案
2017-2018年长春市高中毕业班第二次调研测试数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题—24题为选考题，其它题为必考题。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选填涂在答题卡上）.1．设集合{}2|<=xxM，集合{}10|<<=xxN，则下列关系中正确的是A．M N=RB．()M N=R RðC ．()N M =R R ðD ．M N M = 2．设i 是虚数单位，则i2i 1--等于 A ．0 B ．4 C ．2 D ．2 3．已知向量(1,2)=a ,b (1,0)=,c (3,4)=,若λ为实数，()λ⊥b +a c ，则λ的值为 A ．311-B ．113-C ．12D ．354．已知命题p ：函数1x y a +=的图象恒过定点(01)，；命题q ：若函数()y f x =为偶函数，则函数(1)y f x =+ 的图像关于直线1=x 对称，则下列命题为真命题的是A ．p q ∨B ．p q ∧C ．p q ⌝∧D ．p q ∨⌝ 5．运行如图所示的程序框图，若输出的S 是254，则①应为A ．n ≤5?B ．n ≤6?C ．n ≤7?D ．n ≤8?6．以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样； ②若两个变量的线性相关性越强，则它们的相关系数的绝对值越接近于1；第5题图③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；④对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大．其中真命题的序号为 A ．①④ B ．②④ C ．①③ D ．②③7．抛物线2x my =上一点()0,3M x -到焦点的距离为5，则实数m 的值为A ．8-B ．4-C ．8D ．4 8．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为A．2+2B．2+2C．(2+π D． 9．设 2.8log 3.1,log ,log e a b e c ππ===，则A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．a c b <<10．已知函数2()212x f x x x =++-，则()y f x =的图象大致为AB C D第8题图11．已知直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点(A ，B 不在同一支上)，21,F F 为双曲线的两个焦点，则21,F F 在A ．以A ，B 为焦点的双曲线上 B ．以A ，B 为焦点的椭圆上C ．以A ，B 为直径两端点的圆上D ．以上说法均不正确12．设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有x x f x x f <'+)()(，则不等式0)2(2)2014()2014(>-+++f x f x 的解集为A ．(),2012-∞-B ．()20120-，C ．(),2016-∞-D ．()20160-，第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
吉林省长春市普通高中2017届高三下学期第二次模拟考试数学(文)试题
绝密★启用前2016-2017学年度???学校3月月考卷试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1．已知集合A ={0,1,2},B ={y|y =2x ,x ∈A}，则A ∩B = A. {0,1,2} B. {1,2} C. {1,2,4} D. {1,4}【来源】吉林省长春市普通高中2017届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题 【答案】B【解析】题意可知，B ={y|y >0}，A ∩B ={1,2}. 故选B.点晴:集合的表示方法常用的有列举法、描述法.研究一个集合，我们首先要看清楚它的代表元是实数、还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解函数的值域时，尤其要注意集合中其它的限制条件如集合B 中的x ∈A ，经常被忽视，另外在求交集时注意区间端点的取舍. 并通过画数轴来解交集不易出错. 2．已知复数z =1+i ，则下列命题中正确的是.①|z|=√2； ②z̅=1−i ； .③z 的虚部为i ； ④z 在复平面上对应的点位于第一象限.A. 1B. 2C. 3D. 4【来源】吉林省长春市普通高中2017届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题 【答案】C【解析】由已知，①②④正确，③错误.故选C.3．下列函数中，既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是 A. y =e x +e −x B. y =ln(|x|+1) C. y =sin |x|D. y =x −1x【来源】吉林省长春市普通高中2017届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题 【答案】D 【解析】A 、B 选项为偶函数，排除，C 选项是奇函数，但在(0,+∞)上不是单调递增函数.故选D. 4．圆(x −2)2+y 2=4关于直线y =√33x 对称的圆的方程是 A. (x −√3)2+(y −1)2=4 B. (x −√2)2+(y −√2)2=4 C. x 2+(y −2)2=4 D. (x −1)2+(y −√3)2=4【来源】吉林省长春市普通高中2017届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题 【答案】D试卷第2页，总10页…………○…………装………………线…※※请※※不※※要※※在※※…………○…………装………………线…【解析】圆(x −2)2+y 2=4的圆心关于直线y =√33x 对称的坐标为(1,√3)，从而所求圆的方程为(x −1)2+(y −√3)2=4.故选D.5．堑堵，我国古代数学名词，其三视图如图所示.《九章算术》中有如下问题：“今有堑堵，下广二丈，表一十八丈六尺，高二丈五尺，问积几何？”意思是说：“今有堑堵，底面宽为2丈，长为18丈6尺，高为2丈5尺，问它的体积是多少？”（注：一丈=十尺），答案是A. 25500立方尺B. 34300立方尺C. 46500立方尺D. 48100立方尺【来源】吉林省长春市普通高中2017届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题 【答案】C【解析】由已知，堑堵的体积为12×20×186×25=46500. 故选C.6．某游戏设计了如图所示的空心圆环形标靶，图中所标注的一、二、三区域所对的圆心角依次为，则向该标靶内投点，则该点落在区域二内的概率为 A. 14B. 13C. 27D. 38【来源】吉林省长春市普通高中2017届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题 【答案】B【解析】设三个区域圆心角比值为3:4:5，故区域二所占面积比412=13.故选B.7．在ΔABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则S ΔBCD SΔABD=A. 16 B. 13 C. 12 D. 23【来源】吉林省长春市普通高中2017届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题【答案】D 【解析】由已知，点D 在AB 边的中位线上，且为靠近BC 边的三等分点处，从而有S ΔABD =12S ΔABC.故选D. 8．运行如图所示的程序框图，则输出结果为 A. 1008 B. 1009 C. 2016 D. 2017………○…………订…_________班级：___________考号………○…………订…【来源】吉林省长春市普通高中2017届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题 【答案】A【解析】由已知，S =0−1+2−3+4+⋯−2015+2016=1008.故选A. 9．关于函数y =2sin(3x +π4)+1，下列叙述有误的是 A. 其图象关于直线x =−π4对称B. 其图像可由y =2sin(x +π4)+1图象上所有点横坐标变为原来的13倍得到C. 其图像关于点(11π12,0)对称D. 其值域为[−1,3]【来源】吉林省长春市普通高中2017届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题 【答案】C【解析】由已知，该函数关于点(11π12,1)对称.故选C.10．右图是民航部门统计的2017年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是A. 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B. 深圳和厦门的春运期间往返机票价格同去年相比有所下降C. 平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州D. 平均价格变化量从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门【来源】吉林省长春市普通高中2017届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题 【答案】D【解析】由图可知D 错误.故选D. 11．双曲线C 的渐近线方程为y =±2√33x ，一个焦点为F(0,−√7)，点A(√2,0)，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，ΔPAF 周长的最小值为A. 8B. 10C. 4+3√7D. 3+3√17【来源】吉林省长春市普通高中2017届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题 【答案】B【解析】由已知双曲线方程为y 24−x 23=1，设双曲线的上焦点为F ′，则|PF|=|PF ′|+4，△PAF 的周长为|PF|+|PA|+|AF|=|PF ′|+4+|PA|+3，当P 点在第一象限时，|PF ′|+|PA|的最小值为|AF ′|=3，故△PAF 的周长的最小值为10.故选B. 点晴：本题考查的是双曲线定义的应用.由双曲线的定义及点P 为双曲线第一象限内的点可得|PF|=|PF ′|+4，于是可表示为△PAF 的周长|PF|+|PA|+|AF|=|PF ′|+|PA|+7，在点P 的位置变化过程中，当折线变成直线，即三点共线时|PF ′|+|PA|的最小值为|AF ′|=3，于是可得三角形周长的最小值.试卷第4页，总10页12．已知定义域为R 的函数f(x)的图象经过点(1,1)，且对任意实数x 1<x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x2>−2，则不等式f(log2[3x −1])<3−log √2[3x −1]的解集为A. (−∞,0)∪(0,1)B. (0,+∞)C. (−1,0)∪(0,3)D. (−∞,1)【来源】吉林省长春市普通高中2017届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题 【答案】A【解析】令F(x)=f(x)+2x ，由任意x <y ，f(x)−f(y)x−y>−2可得f(x)+2x <f(y)+2y ，所以F(x)在定义域内单调递增，由f(1)=1，得F(1)=f(1)+2=3，因为f(log 2|3x −1|)<3−log √2|3x −1|等价于f(log 2|3x −1|)+2log 2|3x −1|<3，令t =log 2|3x −1|，有f(t)+2t <3，则有t <1，即log 2|3x −1|<1，从而|3x −1|<2，解得x <1,且x ≠0. 故选A.点晴：本题考查的是函数的单调性的应用. F(x)=f(x)+2x ，由任意x <y ，f(x)−f(y)x−y>−2可得f(x)+2x <f(y)+2y ，所以F(x)在定义域内单调递增，利用换元法令t =log 2|3x −1|，有f(t)+2t <3，得t =log 2|3x −1|<1,最终解得x <1,且x ≠0.……○……○…………装…学校:___________姓名……○……○…………装…第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．cos 215∘−12=_____________【来源】吉林省长春市普通高中2017届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题 【答案】√34【解析】cos 215°−12=12(2cos 215°−1)=12cos30°=√3414．已知实数x,y 满足{x +y ≤103x +y ≤8x ≥0,y ≥0，则z =x +y2的最大值为_____________【来源】吉林省长春市普通高中2017届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题 【答案】7【解析】通过画可行域可以确定，使目标函数z =x +y2取最大值的最优解为(4,6)，故z =x +y2的最大值为7.点晴：本题考查的是线性规划问题中的已知最值求参数的问题，线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想，需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最值会在可行域的端点或边界上取得.15．将1,2,3,4…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为______________【来源】吉林省长春市普通高中2017届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题 【答案】91【解析】由三角形数组可推断出，第n 行共有2n −1项，且最后一项为n 2，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91. 16．已知四棱锥P −ABCD 的底面为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PE ⊥BC 于点E ，EC =1,AB =√6,BC =3,PE =2，则四棱锥P −ABCD 的外接球半径为_____________ 【来源】吉林省长春市普通高中2017届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题 【答案】3√22【解析】由已知，设三角形PBC 外接圆圆心为O 1，为BC 边中点，进而求出O 1F =√32，设四棱锥的外接球球心为O ，外接球半径的平方为(BD 2)2+O 1F 2=试卷第6页，总10页............外.....................内 (9)2，所以四棱锥外接球半径为3√22. 三、解答题17．已知数列{a n }满足a 1=32,a n+1=3a n −1(n ∈N ∗). （1）若数列{b n }满足b n =a n −12，求证：{b n }是等比数列；（2）求数列{a n }的前项和S n .【来源】吉林省长春市普通高中2017届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题 【答案】(1) 见解析；(2) S n =3n +n−12.【解析】试题分析：（1）通过恒等变形，得到a n+1−12=3(a n −12)即b n+1=3b n ，结论得证;（2）由(1)可得a n =3n−1+12，分成一个等比数列，一个常数列求和即可.试题解析： (1) 由题可知a n+1−12=3(a n −12)(n ∈N ∗)，从而有b n+1=3b n ，b 1=a 1−12=1，所以{b n }是以1为首项，3为公比的等比数列.(2) 由(1)知b n =3n−1，从而a n =3n−1+12， 有S n =1+12+3+12+⋯3n−1+12=3n +n−12.点晴：本题考查的是数列中的递推关系和数列求和问题.第一问中关键是根据a n+1=3a n −1得到a n+1−12=3(a n −12)，即b n+1=3b n 证得{b n }是等比数列;第二问中的通项由(1)知b n =3n−1，从而a n =3n−1+12，a n =3n−1+12，比较明显地可以分成一个等比数列，一个常数列求和即可.18．为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效的改良玉米品种，为农民提供技术支.现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如右图（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米.（1）完成列2×2联表，并判断是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？（2）为了改良玉米品种，现采用分层抽样的方法从抗倒伏的玉米中抽出5株，再从这5株玉米中选取2株进行杂交试验，选取的植株均为矮茎的概率是多少？…○…………外………○………○…………内………○……【来源】吉林省长春市普通高中2017届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题经计算k ≈7.287>6.635，因此可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关. (2) 分层抽样后，高茎玉米有2株，设为A,B ，矮茎玉米有3株，设为a,b,c ，从中取出2株的取法有AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,ab,ac,bc ，共10种，其中均为矮茎的选取方式有ab,ac,bc 共3种，因此选取的植株均为矮茎的概率是310.【解析】试题分析：（1）根据茎叶图列出2×2列联表，计算k 值，便可得出结论. (2) 从这5株玉米中选取2株共有方法数10种，其中均为矮茎的选取方式有3种，因此选取的植株均为矮茎的概率是310.试题解析：(1) 根据统计数据做出2×2列联表如下：经计算k ≈7.287>6.635，因此可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关. (2) 分层抽样后，高茎玉米有2株，设为A,B ，矮茎玉米有3株，设为a,b,c ，从中取出2株的取法有AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,ab,ac,bc ，共10种，其中均为矮茎的选取方式有ab,ac,bc 共3种，因此选取的植株均为矮茎的概率是310.19．已知三棱锥A −BCD 中，ΔABC 是等腰直角三角形，且AC ⊥BC,BC =2,AD ⊥平面BCD,AD =1.（1）求证：平面ABC ⊥平面ACD ；试卷第8页，总10页（2）若E 为AB 的中点，求点A 到平面CED 的距离.【来源】吉林省长春市普通高中2017届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题 【答案】（1）见解析；（2）d =2√55. 【解析】试题分析：（1）通过AD ⊥BC ，AC ⊥BC 可证得BC ⊥平面ACD ，又BC ⊂平面ABC ，利用面面垂直的判定定理可得证.(2) 利用等体积法V A−ECD =13⋅S ΔECD ⋅d =V E−ACD =13⋅S ΔACD ⋅1，解得d =2√55. 试题解析（1）证明：因为AD ⊥平面BCD,BC ⊂平面BCD ，所以AD ⊥BC ，又因为AC ⊥BC,AC ∩AD =A ，所以BC ⊥平面ACD,BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACD . （2）由已知可得CD =√3，取CD 中点为F ，连结EF ，由于ED =EC =12AB =√2，所以ΔECD 为等腰三角形，从而EF =√52，S ΔECD =√154，由（1）知BC ⊥平面ACD,所以E 到平面ACD 的距离为1，S ΔACD =√32，令A 到平面CED 的距离为d ，有V A−ECD =13⋅S ΔECD ⋅d =V E−ACD =13⋅S ΔACD ⋅1，解得d =2√55. 点晴：本题考查的是空间的线面关系和空间多面体体积的求解.第一问要考查的是面面垂直，通过先证明线和面内的两条相交直线垂直证得线面垂直，再结合面面垂直的判定定理，可证得；对于第二问点到平面的距离利用等体积法，V A−ECD =13⋅S ΔECD ⋅d =V E−ACD =13⋅S ΔACD ⋅1，解得d =2√55. 20．已知抛物线C:y 2=2px(p >0)与直线x −√2y +4=0相切. （1）求该抛物线的方程； （2）在x 轴的正半轴上，是否存在某个确定的点M,过该点的动直线l 与抛物线C 交于A,B 两点，使得1|AM|2+1|BM|2为定值.如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由. 【来源】吉林省长春市普通高中2017届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题 【答案】(1) y 2=8x ；(2) M(4,0). 【解析】试题分析：（1）直线与抛物线相切，所以有Δ=8p 2−32p =0，可解得p =4，得抛物线方程.(2)联立直线与抛物线有y 1+y 2=8t,y 1y 2=−8m ，把目标式坐标化可得1|AM|2+1|BM|2=1(t 2+1)y 12+1(t 2+1)y 22=1(t 2+1)(y 12+y 22y 12y 22)=1(t 2+1)(4t 2+m 4m 2)与t 无关，可得m =4.试题解析：(1) 联立方程有，{x −√2y +4=0y 2=2px，有y 2−2√2py +8p =0，由于直线与抛物线相切，得Δ=8p 2−32p =0,p =4，所以y 2=8x .(2) 假设存在满足条件的点M(m,0)(m >0)，直线l:x =ty +m ，有{x =ty +my 2=8x ，y 2−8ty −8m =0，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，有y 1+y 2=8t,y 1y 2=−8m ，|AM|2=(x 1−m)2+y 12=(t 2+1)y 12，|BM|2=(x 2−m)2+y 22=(t 2+1)y 22，1|AM|2+1|BM|2=1(t 2+1)y 12+1(t 2+1)y 22=1(t 2+1)(y 12+y 22y 12y 22)=1(t 2+1)(4t 2+m 4m 2)，当m =4时，1|AM|2+1|BM|2为定值，所以M(4,0).21．已知函数f(x)=12x 2+(1−a)x −alnx,a ∈R.（1）若f(x)存在极值点1，求a 的值；（2）若f(x)存在两个不同的零点，求证：a >e2 （e 为自然对数的底数，ln2=0.6931） 【来源】吉林省长春市普通高中2017届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题 【答案】(1) a =1；(2)见解析. 【解析】试题分析：（1）由f(x)存在极值点为1，得f ′(1)=0，可解得a.（2）函数的零点问题，实质是对函数的单调性进行讨论，a ≤0时，f(x)在(0,+∞)上为增函数（舍）；当a >0时，当x >a 时，f(x)增，当0<x <a 时，f(x)为减，又因为f(x)存在两个不同零点，所以f(a)<0，解不等式可得.试题解析：(1) f ′(x)=x +1−a −ax ，因为f(x)存在极值点为1，所以f ′(1)=0，即2−2a =0,a =1，经检验符合题意，所以a =1. (2) f ′(x)=x +1−a −ax=(x +1)(1−ax)(x >0)①当a ≤0时，f ′(x)>0恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上为增函数，不符合题意； ②当a >0时，由f ′(x)=0得x =a ，当x >a 时，f ′(x)>0，所以f(x)为增函数， 当0<x <a 时，f ′(x)<0，所f(x)为增函减数， 所以当x =a 时，f(x)取得极小值f(a)又因为f(x)存在两个不同零点，所以f(a)<0，即12a 2+(1−a)a −alna <0整理得lna >1−12a ，令ℎ(a)=lna +12a −1，ℎ′(a)=1a +12>0，ℎ(a)在定义域内单调递增，ℎ(e2)⋅ℎ(e)=(ln e2+e4−1)(lne +e2−1)=e 2(e4−ln2)，由ln2≈0.6931,e ≈2.71828知e4−ln2<0，故a >e2成立.22．选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C 1的极坐标方程为ρ2(3+sin 2θ)=12，曲线C 2的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα（t 为参数）,α∈(0,π2).（1）求曲线C 1的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线；（2）设曲线C 2与曲线C 1的交点为A,B ，P(1,0),当|PA|+|PB|=72时，求cosα的值.【来源】吉林省长春市普通高中2017届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题 【答案】(1) 见解析；（2）cosα=2√77.【解析】试题分析：（1）根据极坐标与直角坐标间的转化公式，可得C 1的直角坐标方程. (2) 由直线参数方程的几何意义得|PA |+|PB |=|t 1−t 2|=72，可得解. 试题解析：(1) 由ρ2(3+sin 2θ)=12得x 24+y 23=1，该曲线为椭圆.（2）将{x =1+tcosαy =tsinα代入x 24+y 23=1得t 2(4−cos 2α)+6tcosα−9=0，由直线参数试卷第10页，总10页方程的几何意义，设|PA|=|t 1|,|PB|=|t 2|，t 1+t 2=−6cosα4−cos 2α,t 1t 2=−94−cos 2α，所以|PA|+|PB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=124−cos 2α=72，从而cos 2α=47，由于α∈(0,π2)，所以cosα=2√77.23．选修4-5：不等式选讲（1）如果关于x 的不等式|x +1|+|x −5|≤m 的解集不是空集，求实数m 的取值范围； （2）若a,b 均为正数，求证：a a b b ≥a b b a .【来源】吉林省长春市普通高中2017届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题 【答案】(1) m ≥6；（2）见解析. 【解析】试题分析：（1）|x +1|+|x −5|≤m 的解集不是空集即m ≥|x +1|+|x −5|的最小值，求|x +1|+|x −5|的最小值即可.(2) a a b b ≥a b b a 即(ab )a−b ≥1，利用指数函数的性质分a ≥b 和a <b 讨论即可试题解析：(1) 令y =|x +1|+|x −5|={−2x +462x −4,x ≤−1,−1<x <5,x ≥5，可知|x +1|+|x −5|≥6，故要使不等式|x +1|+|x −5|≤m 的解集不是空集，有m ≥6. （2）由a,b 均为正数，则要证a a b b ≥a b b a ，只需证a a−b b b−a ≥1，整理得(a b)a−b ≥1，由于当a ≥b 时，a −b ≥0，可得(ab )a−b ≥1，当a <b 时，a −b <0，可得(ab )a−b >1，可知a,b 均为正数时(ab )a−b ≥1，当且仅当a =b 时等号成立，从而a a b b ≥a b b a 成立.。