中考数学第一轮复习导学案：圆的有关概念与性质

圆的有关概念与性质

◆课前热身

1.如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，则下列说法错误

．．的是（）

A．AD＝BD B．∠ACB＝∠AOE C．??

AE BE

D．OD＝DE

2.如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是（）

A．23cm B．32cm C．42cm D．43cm

3．如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（）

A．5 B．4 C．3 D．2

4．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（）

A．2 B．3 C．4 D．5

5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°,⊙O的半径为cm

3，则弦CD 的长为（）

A．3

cm

2

B．3cm C．23cm D．9cm

【参考答案】

1. D

2. D

3. A

4. A

5. B

◆考点聚焦

1．圆的有关概念，包括圆心、半径、弦、弧等概念，这是本节的重点之一．

2．掌握并灵活运用垂径定理及推论，圆心角、弧、弦、弦心距间的关系定理以及圆周角定理及推论，这也是本书的重点，其中在运用相关定理时正确区分各定理的题设和结论是本节难点．

3．理解并掌握圆内接四边形的相关知识，而圆和三角形、?四边形等结合的题型也是中考热点．

◆备考兵法

“垂径定理”联系着圆的半径（直径）、弦长、圆心和弦心距，通常结合“勾股定理”来寻找三者之间的等量关系，同时其中还蕴含着弓形高（半径与弦心距的差或和）与这三者之间的关系．所以，在求解圆中相关线段的长度时，常引的辅助线方法是过圆心作弦的垂线段，连结半径构造直角三角形，把垂径定理和勾股定理结合起来，有直径时，常常添加辅助线构造直径上的圆周角，由此转化为直角三角形的问题．

常考题型：圆心角、圆周角定理及推论常以选择题或填空题出现；垂径定理和勾股定理结合起来常以计算题出现.

◆考点链接

1. 圆上各点到圆心的距离都等于 .

2. 圆是对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的；圆又

是对称图形，是它的对称中心.

3.

垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直径）的 垂直于弦，并且平分 .

4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 .

5. 同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 .

6. 直径所对的圆周角是 ，90°所对的弦是 . ◆典例精析

例1（山西太原）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，若以点C 为圆心， CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于（ ）

A ．53

B ．5

C ．52

D ．6

【答案】A

【解析】本题考查圆中的有关性质，连接CD ，∵∠C＝90°，D 是AB 中点，AB ＝10，∴CD ＝

1

2

AB ＝5，∴BC＝5，根据勾股定理得AC ＝53，故选A ． 例2（黑龙江哈尔滨）如图，⊙O 的直径CD ＝10，弦AB ＝8，AB ⊥CD ，垂足为M ，则DM 的长为 ．

【答案】8

【解析】主要利用垂径定理求解.连接OA ，根据垂径定理可知AM ＝4，又OA ＝5，则根据勾股定理可得：OM ＝3。又OD ＝5，则DM ＝8.

例3（贵州贵阳）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上， 且AB=13，BC=5．

（1）求sin∠BAC 的值；

B

C

D

A

（2）如果OD⊥AC，垂足为点D ，求AD 的长；

（3）求图中阴影部分的面积．（精确到0．1） 【答案】解：（1）∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°． ∴sin∠BAC=

5

13

BC AB =． （2）在Rt△ABC 中，AC= 2222135AB BC -=- =12．

又∵OD⊥AC 于点D ，

∴AD=

1

2

AC=6． （3）∵S 半圆=12π×（2AB ）2=12π×1694=

169

8

π． S △ABC =12AC×BC=1

2

×12×5=30，

∴S 阴影=S 半圆－S △ABC =169

8

π－30≈36.3 点评 “直径所对的圆周角为90°”以及“垂径定理”可以将圆的有关知识和三角形有关知识结合起来．因此对这部分知识应加以重视． ◆迎考精练 一、选择题

1.（湖北孝感）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠B ＝60°，则∠CAO 的度数是( ) A ．15°

B ．30°

C ．45°

D ．60°

2.（山东泰安）如图，⊙O 的半径为1，AB 是⊙O 的一条弦，且AB ＝3，则弦AB 所对圆周角的度数为（ ）

A.30°

B.60°

C.30°或150°

D.60°或120°

3.（浙江嘉兴）如图，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且AB ∥OP ．

若阴影部分的面积为 9，则弦AB 的长为（ ） A ．3

B ．4

C ．6

D ．9

4.（天津市）如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝28°，则∠C 的大小为（ ）

A ．28°

B ．56°

C ．60°

D ．62°

5.（安徽）如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD ＝22，BD ＝3，则AB 的长为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

6.(浙江温州)如图，∠AOB 是⊙0的圆心角，∠AOB ＝80°，则弧AB 所对圆周角∠ACB 的度数是( )

A ．40°

B ．45°

C ．50°

D ．80°

7.（四川遂宁）如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A ＝70o

，∠C ＝50o

， 那么sin ∠AEB 的值为( )

A. 2

1 B. 33 C.2

2 D. 23

8.（甘肃兰州）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，

拱的半径为13米，则拱高为( )

A．5米 B．8米 C．7米 D．

53米

9.（湖北十堰）如图，△ABC内接于⊙O，连结OA、OB，若∠ABO＝25°，则∠C的度数为（）

A．55° B．60°

C．65° D．70°

10.（山东青岛）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（）．

A．0.4米 B．0.5米 C．0.8米

D．1米

11.（山西太原）如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿

?

OA AB BO

--的路径运

动一周．设OP为s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是（）二、填空题

1.（河南）如图，AB为半圆O的直径，延长AB到点P，使BP＝1

2

AB，PC切半圆O于点C，

P

A

O B

s

t

O

s

O O

s

t

O

s

t A．B．C．D．

点D 是?

AC 上和点C 不重合的一点，则D ∠

的度数为 .

2.(广东梅州)如图，在⊙O 中，∠ACB ＝20°，则∠AOB ＝______度.

3.（山西省）如图所示，A 、B 、C 、D 是圆上的点，17040A ∠=∠=°，°，则C ∠= 度．

4.(湖北鄂州)在⊙O 中，已知⊙O 的直径AB 为2，弦AC 长为3，弦AD 长为2．则DC

2

＝______

5.（福建福州）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上 ，OD ∥AC ，若BD ＝1，则BC 的长为

6.（广东中山）已知O ⊙的直径8cm AB C =，为O ⊙上的一点，30BAC ∠=°，则BC ＝ _ cm ．

7.(山东济南)如图，O e 的半径5cm OA =，弦8cm AB =，点P 为弦AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离是 cm ．

A

B

C

D

1

8.（北京市）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为?BC

上一点，若∠CEA ＝28o

，则∠ABD ＝

°.

D

A

B

C E

9.(福建宁德)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠A CO

＝32°，则∠COB 的度数等于 ．

三、解答题

1.（广西柳州）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是弧BD 的中点，CE⊥AB，垂足为E ，BD 交CE 于点F ．

（1）求证：CF ＝BF ；

（2）若AD ＝2，⊙O 的半径为3，求BC 的长．

2.（广西钦州）已知：如图，⊙O 1与坐标轴交于A （1，0）、B （5，0）两点，点O 1的纵坐标为

5．求⊙O 1的半径．

B A

O

图2

x y

A B O 1O

3.（湖北宜昌）已知：如图，⊙O 的直径AD ＝2，???BC CD DE ==，∠BAE ＝

90°． (1)求△CAD 的面积；

(2)如果在这个圆形区域中，随机确定一个点P ，那么点P 落在四边形ABCD 区域的概率是多少？

4.(湖北黄冈)如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，连结BC ，AC ，过点C 作直线CD⊥AB 于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交⊙O 于点F ，连结BF ，与直线CD 交于点G ．求证：BF BG BC ?=2

.

【参考答案】 选择题 1. B 2. D 3. C 4. D 5. B 6. A 7. D 8. B 9. C 10. D 11. C

【解析】本题考查圆的有关性质、函数图象等知识，点P 从点O 向点A 运动，OP 逐渐增大，当点P 从点A 向点B 运动，OP 不变，当点P 从点B 向点O 运动，OP 逐渐减小，故能大致地刻画s 与t 之间关系的是C ． 填空题 1. 30° 2. 40 3. 30

4. 3232-+或

5. 2

6. 4

7. 3

8. 28

9.64o

解答题

1.证明：（1）连结AC，如图。

∵C是弧BD的中点

∴∠BDC＝∠DBC

又∠BDC＝∠BAC

在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB

∴ ∠BCE＝∠BAC

∠BCE＝∠DBC

∴ CF＝BF

因此，CF＝BF．

（2）证法一：作CG⊥AD于点G，

∵C是弧BD的中点

∴ ∠CAG＝∠BAC ，即AC是∠BAD的角平分线．∴ CE＝CG，AE＝AG

在Rt△BCE与Rt△DCG中，CE＝CG ， CB＝CD

∴Rt△BCE≌Rt△DCG

∴BE＝DG

∴AE＝AB-BE＝AG＝AD+DG

即 6-BE＝2+DG

∴2BE＝4，即 BE＝2

又 △BCE∽△BAC ∴ 2

12BC BE AB ==·

32±=BC （舍去负值）

∴32=BC

（2）证法二：∵AB 是⊙O 的直径，CE⊥AB ∴∠BEF＝?=∠90ADB ， 在Rt ADB △与Rt FEB △中， ∵FBE ABD ∠=∠ ∴ADB △∽FEB △，则BF

AB

EF AD =

即

BF

EF 6

2=

， ∴EF BF 3= 又∵CF BF =， ∴EF CF 3= 利用勾股定理得：

EF EF BF BE 2222=-=

又∵△EBC∽△ECA 则

CE

BE AE CE =

，即则BE AE CE ?=2

∴BE BE EF CF ?-=+)6()(2

即EF EF EF EF 22)226()3(2

?-=+

∴2

2

=EF ∴3222=+=

CE BE BC .

2.解：过点O 1作O 1C ⊥AB ，垂足为C ， 则有AC ＝BC ．

B A

O 图2

x y A B

O 1O C

由A （1，0）、B （5，0），得AB ＝4，∴AC ＝2．

在1Rt AO C △中，∵O 1的纵坐标为5， ∴O 1C ＝5．

∴⊙O 1的半径O 1A ＝22221(5)2O C AC +=+＝3． 3. 解：（1）∵AD 为⊙O 的直径，

∴∠ACD＝∠BAE＝90°．

∵ ???BC

CD DE ==，∴ ∠BAC＝∠CAD＝∠DAE ． ∴∠BAC＝∠CAD＝∠DAE ＝30°．

∵在Rt△ACD 中，AD ＝2，CD ＝2sin30°＝1， AC ＝2cos30°＝3 ．

∴S △ACD ＝12

AC×CD ＝32

．

(2) 连BD ，∵∠A BD ＝90°， ∠BAD ＝ ＝60°， ∴∠BDA ＝∠BCA ＝ 30°，∴BA ＝BC. 作BF⊥AC，垂足为F ，（5分） ∴AF＝

12

AC ＝

32

，∴BF＝AFtan30°＝

12

，

∴S △ABC ＝

12

AC×BF ＝

34

， ∴S ABCD ＝

334

．

∵S ⊙O ＝π ，∴P 点落在四边形ABCD 区域的概率＝33

4

π

＝

334π

．

（2）解法2：作CM⊥AD，垂足为M ．

∵∠BCA＝∠CAD（证明过程见解法），∴BC∥AD． ∴四边形ABCD 为等腰梯形．

∵CM＝ACsin30°＝

2

，∴S ABCD ＝

12

(BC+AD)CM

＝

4

．

∵S ⊙O ＝π， ∴P 点落在四边形ABCD

区域的概率＝4

π

4π

．

4. 证明：∵AB 是⊙O 的直径，

∴∠ACB ＝90° 又∵CD⊥AB 于点D ，

∴∠BCD ＝90°－∠ABC ＝∠A ＝∠F ∵∠BCD ＝ ＝∠F ，∠FBC ＝∠CBG ∴△FBC ∽△CBG ∴

CB

FB

BG BC =

∴BF BG BC ?=2