中考数学专题复习课 专题提升十二+与圆的切线有关的证明与计算(新人教版)
中考预测答图②
∵OC＝OA，∴∠CAO＝∠OCA. ∵PC＝PE，∴∠PCE＝∠PEC. ∵∠PEC＝∠CAE＋∠ACE， ∴∠PCB＋∠ECB＝∠CAE＋∠ACE， ∵CD平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB. ∴∠PCB＝∠CAE.∴∠PCB＝∠ACO. ∵∠ACB＝90°， ∴∠OCP＝∠OCB＋∠PCB＝∠ACO＋∠OCB＝90°，∴OC⊥PC， ∴直线PC与⊙O相切．
图Z12－4
证明：连结OB，∵OB＝OC，AB＝BC，
∠A＝30°，
∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°，
∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°. ∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A)＝
教材原型答图
180°－(60°＋30°)＝90°，
∴AB⊥OB，∴AB为⊙O的切线．
【思想方法】 证明圆的切线常用两种方法“作半径，证垂
直”或者“作垂直，证半径”．
【中考变形】 1．如图Z12－5，点C是⊙O的直径AB延长线上的一点，且有
BO＝BD＝BC. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若半径OB＝2，求AD的长．
图Z12－5
解：(1)证明：连结OD， ∵BO＝BC，∴BD为△ODC的中线． 又∵DB＝BC，∴∠ODC＝90°. 又∵OD为⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； (2)∵AB为⊙O的直径，∴∠BDA＝90°， ∵BO＝BD＝2，∴AB＝2BD＝4， ∴AD＝ AB2－BD2＝2 3.
线，所以∠PCO＝90°，
在Rt△OCP中，OC＝1，∠P＝30°，
所以OP＝2OC＝2，所以PB＝OP－OB ＝2－1＝1.
教材原型答图
【思想方法】 (1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)
已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直．
【中考变形】 已知直线l与⊙O相切，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D. (1)如图Z12－2中①图，当直线l与⊙O相切于点C时，若 ∠DAC＝30°，求∠BAC的大小； (2)如图Z12－2中②图，当直线l与⊙O相交于点E，F时，若 ∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．
中考变形答图
(2)如答图②，连结BF. ∵∠AEF为Rt△ADE的一个外角，∠DAE＝18° ，
∴∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋18°＝108°. 在⊙O中，四边形ABFE是圆内接四边形， ∴∠AEF＋∠B＝180°， ∴∠B＝180°－∠AEF＝180°－108°＝72°. 由AB是⊙O的直径，得∠AFB＝90°， ∴∠BAF＝90°－∠B＝90°－72°＝18°.
∴cos∠E＝cos∠CBG＝BBGC＝2245.
【中考预测】 如图Z12－7，⊙O的直径AB为10 cm，弦BC为6 cm，D，E分别是 ∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE.
(1)求AC，AD的长； 图Z12－7
(2)试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．
∵BC是直径，∴CD⊥AB，
∵AC＝BC，∴D是AB的中点．
又∵O为CB的中点，∴OD∥AC，
∴OD⊥EF，
中考变形2答图
∴EF是⊙O的切线；
(2)连结BG.∵BC是直径，∴∠BGC＝90°
在 Rt△ACD 中，DC＝ AC2－AD2＝ 102－62＝8， ∵AB·CD＝2S△ABC＝AC0 8＝458，∵BG⊥AC，EF⊥AC， ∴BG∥EF，∴∠E＝∠CBG，
径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC.
又∵AB＝AC，∴BE＝CE； (2)∵∠BAC＝54°，AB＝AC，
中考预测答图①
∴∠ABC＝12(180°－∠BAC)＝63°.
∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF＝90°. ∴∠CBF＝∠ABF－∠ABC＝27°；
(3)如答图②，连结OD， ∵OA＝OD，∠BAC＝54°， ∴∠BAC＝∠ODA＝54°， ∴∠AOD＝180°－∠BAC－∠ODA＝72°.
∵AB＝6，∴OA＝12AB＝3. ∴A︵D＝72π18× 0 3＝6π 5 .
中考预测答图②
类型之二 与切线的判定有关的计算或证明 【教材原型】
已知：如图Z12－4，A是圆⊙O外一点，AO的延长线交⊙O 于点C，点B在圆上，且AB＝BC，∠A＝30°，求证：直线 AB是⊙O的切线．(浙教版九下P38例3)
专题提升(十二) 与圆的切线有关的证明与计算
类型之一 与切线的性质有关的计算或证明 【教材原型】
如图Z12－1，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为 切点，若∠P＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为_______ ．1[浙教版九下P43作业题第1(2)题]
图Z12－1
【解析】 连结OC，因为PC为⊙O的切
【中考预测】
如图Z12－3，在△ABC中，AB＝AC，
∠BAC＝54°，以AB为直径的⊙O分别交
AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，
交AC的延长线于点F.
(1)求证：BE＝CE；
图Z12－3
(2)求∠CBF的度数； ︵
(3)若 AB＝6，求AD的长．
解：(1)如答图①，连结AE，∵AB是⊙O的直
中考变形1答图
2．[2015·安顺]如图Z12－6，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12，以BC为直径 作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E.
(1)求证：直线EF是⊙O的切线；图Z12－6
(2)求cos∠E的值．
解：(1)证明：连结OD，CD.
图Z12－2
解：(1)如答图①，连结OC. ∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l， ∴∠OCD＝90°. 由AD⊥l，得∠ADC＝90°， ∴∠OCD＋∠ADC＝180°， ∴AD∥OC， ∴∠ACO＝∠DAC. 在⊙O中，由OA＝OC，得∠BAC＝∠ACO， ∴∠BAC＝∠DAC＝30°；
①
②
解：(1)如答图①，连结BD，
中考预测答图①
∵AB是直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°. 在Rt△ABC中，
AC＝ AB2－BC2＝ 102－62＝8 cm.
∵CD平分∠ACB，
︵︵ ∴AD＝BD，∴AD＝BD. ∴Rt△ABD 为等腰直角三角形，AD＝BD＝5 2cm. ∴AC＝8 cm，AD＝5 2 cm；
2020届中考数学总复习课件：微专题十二 与圆的切线有关的计算与证明 (共21张PPT)
解：(1)如答图，连结 DN，ON. ∵⊙O 的半径为52，∴CD＝5. ∵∠ACB＝90°，CD 是斜边 AB 上的中线， ∴BD＝CD＝AD＝5，∴AB＝10， ∴BC＝ AB2－AC2＝8. ∵CD 为直径，∴∠CND＝90°，且 BD＝CD， ∴BN＝NC＝4； (2)证明：∵BN＝NC，OC＝OD，∴ON∥BD， ∵NE⊥AB，∴ON⊥NE，∴NE 为⊙O 的切线．
【中考变形】 1．[2019·盐城]如图 Z12－5，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是斜边 AB 上的中线， 以 CD 为直径的⊙O 分别交 AC，BC 于点 M，N，过点 N 作 NE⊥AB，垂足为 E. (1)若⊙O 的半径为52，AC＝6，求 BN 的长； (2)求证：NE 与⊙O 相切．
图 Z12－2
解：(1)∵AF 与⊙O 相切于点 A， ∴AF⊥OA，∴∠OAF＝90°， 又∵∠F＝30°，∴∠FOA＝60°， ∴∠ADB＝12∠FOA＝30°；
(2)∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝120°，∴∠DAC＝30°， ∴∠DBC＝∠DAC＝30°， ∵∠F＝30°，∴∠F＝∠DBC，∴AF∥BC， ∴OA⊥BC，∴BE＝CE＝12BC＝4，AB＝AC， ∴∠C＝30°，∴AC＝233EC＝833.
【中考预测】 [2018·郴州]如图 Z12－7，已知 BC 是⊙O 的直径，点 D 是 BC 延长线上一点，AB＝AD， AE 是⊙O 的弦，∠AEC＝30°. (1)求证：直线 AD 是⊙O 的切线； (2)若 AE⊥BC，垂足为 M，⊙O 的半径为 4，求 AE 的长．
图 Z12－7
解：(1)证明：如答图，连结 AO， ∵∠AEC＝30°，∴∠ABC＝30°， ∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABC＝30°， 根据三角形的内角和定理得∠BAD＝120°， ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABC＝30°， ∴∠OAD＝∠BAD－∠OAB＝90°， ∴OA⊥AD， ∵点 A 在⊙O 上，∴直线 AD 是⊙O 的切线；
中考复习证明圆的切线的两种方法
中考复习证明圆的切线的两种方法证明圆的切线有两种方法，其中一种是通过切线与半径的关系来证明，另一种是通过圆的切线与半径的垂直关系来证明。
首先，我们来看第一种方法。
1.通过切线与半径的关系证明：设圆的圆心为O，半径为r，切线与圆的切点为A。
由圆的性质可知，半径与切线在切点处垂直，因此OA⊥TA。
又因为同一条直线上的两个垂直角相等，所以∠OTA=90°。
设切线与半径的交点为B，连接OB。
由于切线只有一个触点，所以TA=TB=r，且AB为直径。
在△OAB中，∠OAB=90°，所以角OAB也是直角，即AB垂直于OA。
综上所述，切线与半径在切点处垂直，即切线是与半径垂直的直线。
接下来，我们来看第二种方法。
2.通过圆的切线与半径的垂直关系证明：设圆的圆心为O，半径为r，切线与圆的切点为A。
由圆的性质可知，切线与半径在切点处垂直，即OA⊥AT。
在△OAT中，角AOT是圆心角，它对应的弧AT是它所对的弧，所以∠AOT=1/2arc(AT)。
而角AOT是直角，所以∠AOT=90°。
所以1/2arc(AT)=90°，即arc(AT)=180°，即AT是整个圆的弧。
同理可知切线与半径相交于切点处的弧也是整个圆的弧。
所以切点处的弧为整个圆的弧，即切线与半径相交于切点处的弧都是整个圆的弧。
综上所述，切线与半径在切点处相交的弧都是整个圆的弧，即切线与半径在切点处垂直。
综合两种方法的证明，我们可以得出圆的切线与半径在切点处垂直，并且切线与半径相交于切点处的弧都是整个圆的弧。
这就是证明圆的切线的两种方法的过程。
注：以上只是两种常用的证明方法，实际上还有其他一些方法来证明圆的切线的性质。
2020年九年级数学中考复习专题课件和切线有关的证明和计算共24张
考点 3 与圆有关的尺规作图
1. 过直线外一点作与直线相切的圆，即作该点到直线的垂线段 2. 作三角形的外接圆，即分别作三角形两条边的垂直平分线
命题点 1 与切线有关的证明与计算 (必考)
1. 如图，过⊙O上一点A作⊙O的切线，交直径BC的延长线于点D，连接AB，若 ∠B＝25°，则∠D的度数为( B ) A. 25° B. 40° C. 45° D. 50°
第4题解图
5. 如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝60°，BD是⊙O的直径，点P是BD延长 线上一点，且PA是⊙O的切线． (1)求证：AP＝AB； (2)若PD＝ 5 ，求⊙O的直径．
第5题图
(1)证明：如解图，连接OA. ∵∠ACB＝60°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝120°.(1分) ∴∠AOP＝60°.(2分) ∴∠ABP＝∠OAB＝30°.(3分) ∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥PA. ∴∠OAP＝90°.(4分) ∴∠OPA＝90°－∠AOP＝30°. ∴∠OPA＝∠ABP. ∴AP＝AB；(5分)
第6题图
解：(1)DE ⊥CF . 理由：如解图，连接OC， ∵CF 与⊙O相切于点C，∴CF ⊥OC，∴∠OCF ＝90°， ∵OA＝OD，OC＝OC，AC＝CD，∴△AOC≌△DOC， ∴∠A＝∠1.(3分) ∵∠A＝∠2，∴∠1＝∠2， ∵OC＝OD，∴∠3＝∠1， ∴∠3＝∠2，∴OC∥DE. ∵∠OCF ＝90°，∴∠DEF ＝∠OCF ＝90°， ∴DE ⊥CF ；(5分)
第3题图
解：如解图，连接AC. ∵四边形ABCD是⊙O的内接矩形， ∴∠ABC＝90°.(1分) ∴AC是⊙O的直径．(2分) 在Rt △ABC中， 根据勾股定理得AC＝ AB2＋BC2＝ 42＋32 ＝5.(3分) ∵CF 与⊙O相切于点C， ∴AC⊥CF ，即∠ACF＝90°.(4分) ∵∠CDE＝30°，∴∠CAE＝∠CDE＝30°.(5分) ∵在Rt △ACF中，tan ∠CAF＝ CF ， ∴CF ＝CA·tan30 °＝ 3＝5 3.(C6分A )
中考数学总复习考点知识讲解课件13---与切线有关的证明与计算
解：如解图，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所
在的
直线分别交于点S，O′.
则∠KSO＝∠KTB＝90°，SK＝ST＋TK＝3 ，
作在KRGt△⊥OOSKO中′于，点G，∵OK＝5 ，
2
∴OS＝
＝2，
2
在Rt△OSO′中，SO′＝OS·tan 60°＝2 ，
KO′＝
3
在Rt△KGO′中，∠O′＝30°， ∴KG＝
中考数学总复习考点知识讲解课件 与切线有关的证明与计算
知识点一 切线的性质与判定
❶切线的性质：圆的切线 _垂__直__于__过切点的半径．
❷切线的判定 (1)定义：和圆只有 _一__个__公共点的直线是圆的切线．
(2)数量关系：圆心到直线的距离等于 _半__径__的直线是圆的切线． (3)定理：经过半径的外端并且 _垂__直__于这条半径的直线是圆的切线．
∴在Rt△OGK中，sin α＝
百变例题 (2017·河北节选)如图，点O是线段AB的中点，点C是OB上一 点，将线段OC绕点O逆时针旋转270°得到优弧CD.过点A，B作优弧CD的切 线，切点分别为P，Q.求证：AP＝BQ.
【分析】要证AP＝BQ，观察图形知需证△AOP≌△BOQ，由已知O是AB的 中 点可得到OA＝OB，再由圆半径相等得到OP＝OQ，而AP，BQ均是⊙O的 切 线，得到∠APO＝∠BQO＝90°，即可得证．
【自主解答】证明：连接OQ，如解图，∵AP，BQ均与优弧CD相切， ∴∠APO＝∠BQO＝90°， ∵O是AB的中点，∴AO＝BO，∵OP＝OQ， ∴Rt△AOP≌Rt△BOQ(HL)，∴AP＝BQ.
百变一：判断直线与圆的位置关系 1．(2018·河北改编)如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为圆 心，OA为半径作优弧AB，使得点B在点O的右下方，且tan∠AOB＝ .在优 弧AB上取点P，过点P作直线l∥OB交数轴于点Q，点Q在数轴上对应4的数为x. 求x的最小值，并指出此时直线l与弧AB所在圆的位置关系． 3
中考数学专题复习---圆的切线有关的证明与计算
与圆的切线有关的证明与计算
切线的性质
垂直 于经过切点的半径． 定理：圆的切线________ 技巧：圆心与切点的连线是常用的辅助线．
垂直 于这条半径的直线是圆 定理： 经过半径的外端并且________ 的切线． 证圆的切线技巧： (1)如果直线与圆有交点，连接圆心与交点的半径，证明直 线与该半径垂直，即“有交点，作半径，证垂直”．
对应训练
4. 如图，∠C=90o，BD平分∠ABC，DE⊥BD ， 设⊙O是△BDE的外接圆。 求证：AC是⊙O的切线。
对应训练 5．如图，点C是⊙O的直径AB延长线上的一点， 且有BO＝BD＝BC. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若半径OB＝2，求AD的长．
解：(1)证明：连结OD，
(2)如果直线与圆没有明确的交点， 则过圆心作该直线的垂 线段，证明垂线段等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”．
切线的判定
有交点，连半径，证垂直
例1
对应训练 1.如图所示，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切 于点C. （1）求证：直线PB与⊙O相切 （2）PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3， PC=4.求弦CE的长．
∵CD平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ECB.
∴∠PCB＝∠CAE.∴∠PCB＝∠ACO. ∵∠ACB＝90°，
∴∠OCP＝∠OCB＋∠PCB＝∠ACO＋∠OCB＝90°，
∴OC⊥PC， ∴直线PC与⊙O相切．
无交点，作垂直，证半径
例：如图 ，已知：O 为 BAC 角平分线上一点，
OD AB 于 D ，以 O 为圆心， OD 为半径作圆。
12 ∴ CF 5
9 在Rt△COF中， OF CO CF 5
圆的切线的证明与计算中考复习课件
例1、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且 与小圆相交于点A，与大圆相交于点B。小圆的切线AC与大 圆相交于点D，且CO平分∠ACB.
(3)若AB＝8 cm，BC＝10 cm，求大圆与小圆围成的圆环的面 积。(结果保留π)
解：∵∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝10， ∴AC＝6.∵BC＝AC＋AD， ∴AD＝BC－AC＝4.
∵△ODC∽△OAP, 10
即 OC
OP
OD OA
，∴OD= 5
回顾与思考
1、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上， PA⊥AB， 延长PO至点D，使CD⊥PO交PO的延长线于点D， 且∠DPC=∠DCO。
（1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若PA=6，tan∠PCA=3/4 ，求OD的长。
（1）求证：PC是⊙O的切线；
证明：过点O作OE⊥PC于点E， ∵PA⊥AB，CD⊥PO, ∠AOP=∠COD, ∴∠OPA=∠DCO,∵∠DPC=∠DCO, ∴∠OPA=∠DPC, ∵OA⊥PA,OE⊥PC,∴OE=OA, ∴PC是⊙O的切线;
9
1、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上， PA⊥AB， 延长PO至点D，使CD⊥PO交PO的延 长线于点D，且∠DPC=∠DCO。
11
二、例题讲解 例2、如图， AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，
点E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC。
(1)求证：DE与⊙O相切； (2)若BF＝2，DF＝ 10 ， 求⊙O的半径．
12
例1、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且 与小圆相交于点A，与大圆相交于点B.小圆的切线AC与大 圆相交于点D，且CO平分∠ACB.
人教版九年级数学上知识点巩固与综合运用 专题12 切线证明的常用方法
又∵ OD ⊥ AC ，∴ AC 是☉ O 的切线.
1
2
3
4
谢谢观看
Thank you for watching!
又点 D 在☉ O 上，∴ OD 为☉ O 的半径.
∴ DE 与☉ O 相切.
1
2
3
4
◆类型二
无切点，作垂直，证半径
4. 原创题
如图，在Rt△ ABC 中，已知 AB ＝4，
BC ＝3，以 AB 边上一点 O 为圆心， OB 为半径作圆.
若 OB ＝ ，求证： AC 是☉ O 的切线.
证明：如图，过点 O 作 OD ⊥ AC
径，弦 AB ⊥ CD ，垂足为点 F ，点 P 是 CD 延长线上
一点， DE ⊥ AP ，垂足为点 E ，∠ EAD ＝∠ FAD . 求
证： AE 是☉ O 的切线.
证明：如图，连接 OA .
∵ AB ⊥ CD ，
∴∠ AFD ＝90°.
∴∠ FAD ＋∠ ADF ＝90°.
1பைடு நூலகம்
2
3
4
∵ OA ＝ OD ，
∴∠ ODB ＝∠ B .
∵ AB ＝ AC ，
∴∠ C ＝∠ B .
1
2
3
4
∴∠ ODB ＝∠ C .
∴ OD ∥ AC .
∵ DE ⊥ AC ，
∴ DE ⊥ OD .
∵ OD 是☉ O 的半径，
∴ DE 是☉ O 的切线.
1
2
3
4
2. （2023·凉山州中考节选）如图， CD 是☉ O 的直
AB 为☉ O 的直径，延长 AC 到点 G ，使得 CG ＝ CB ，
与圆的切线有关的计算与证明
专题复习 : 与圆有关的证明与计算一、例题讲解例题 1：如图，AB 是⊙ O 的直径，过点 B 作⊙ O 的切线 BM ，弦 CD ∥ BM ，交 AB 于点 F ，且 DA=DC ，连接 AC ，AD ，延长 AD 交 BM 地点 E 。
M(1) 求证：△ ACD 是等边三角形；DE(2) 连接 OE ，若 DE=2，求 OE 的长。
AOBFC练习：如图，⊙ O 为△ ABC 的外接圆， BC 为⊙ O 的直径， AE 为⊙ O 的切线，过点 B 作BD ⊥ AE 于 D 。
（1）求证：∠ DBA=∠ ABC ；（2）如果 BD=1，tan ∠ BAD= 1，求⊙ O 的半径。
AD2EBOC例题 2：如图 ，以线段 AB 为直径作⊙ O ， CD 与⊙ O 相切于点 E ，交 AB 的延长线于点 D , 连接 BE , 过点 O OC BE 交切线 DE 于点 C , 连接 AC 。
作 ∥(1)求证： AC 是⊙ O 的切线 ；（）若BD=OB= 4 , 求弦 AE 的长。
2练习：如图， AB 是⊙ O 的直径，半径 OD 垂直弦 AC 于点 E ．F 是 BA 延长线上一点，CDBBFD 。
（1）判断 DF 与⊙ O 的位置关系，并证明；（2）若 AB=10， AC=8，求 DF 的长。
CD EFA OB1二、课堂练习1．如图，⊙ O是△ ABC 的外接圆， AB= AC ，BD是⊙ O的直径， PA∥BC，与 DB的延长线交于点 P，连接 AD。
（1）求证： PA是⊙ O的切线；（ 2）若 AB= 5，BC=4 ，求 AD的长。
2．如图，已知 BC是⊙ O的直径，AC切⊙ O于点 C，AB交⊙ O于点 D，E 为 AC的中点，连结 DE。
(1)若 AD＝DB， OC＝5，求切线 AC的长；(2)求证： ED是⊙ O的切线。
ADEBOC3．如图，△ ABC中， AB=AC，点 D 为 BC上一点，且 AD=DC，过 A，B，D 三点作⊙O，AE是⊙ O的直径，连结 DE．（ 1）求证： AC是⊙ O的切线；（2）若 sin C 4 ，，求⊙O 的直径．5AC=6AOEB DC 4．如图，△ ABC内接于⊙ O，OC⊥AB于点 E，点 D在 OC的延长线上，且∠ B=∠D=30°.（1）求证： AD是⊙ O的切线；（2）若AB6 3 ,求⊙O的半径．AOE CBD25．如图，已知 BC是⊙ O的直径，AC切⊙ O于点 C，AB交⊙ O于点 D，E 为 AC的中点，连结 DE。
中考数学复习与圆的切线有关的证明与计算课件
∴∠OAD＝∠ODA.
∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，
∴∠ODA＋∠OFD＝90°，
∴∠OAD＋∠OFD＝90°.
∵∠OFD＝∠AFC，
∴∠OAD＋∠AFC＝90°.
∵AC＝FC，∴∠FAC＝∠AFC，
预测答图
∴∠OAD＋∠FAC＝90°，即OA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线．
(2)∵BF＝8，DF＝ 40，⊙O 的半径为 r，
∴OF＝BF－OB＝8－r. ∵在直角三角形 OFD 中，OD2＋OF2＝DF2，
∴r2＋(8－r)2＝( 40)2，
解得 r＝6 或 r＝2(不合题意，舍去)， ∴⊙O 的半径 r＝6.
(1)如图Z12－2中①图，当直线l与⊙O相切于点C 时，若∠DAC＝30°，求∠BAC的大小；
(2)如图Z12－2中②图，当直线l与⊙O相交于点E，F 时，若∠DAE＝18°，求∠BAF的大小．
图Z12－2
解：(1)如图(1)，连结OC.
∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l，
∴∠OCD＝90°.
在Rt△OCP中，OC＝1，∠P＝30°， 所以OP＝2OC＝2，所以PB＝OP－OB＝2－1＝1.
教材母题答图 【思想方法】 (1)已知圆的切线，可得切线垂直于过 切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得 到切线与半径垂直．
[2013·天津]已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径， AD⊥l于点D.
[2013·防城港]如图Z12－7，以△ABC的BC边上一点 O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为 BE的下半圆弧的中点，连结AD交BC于F，若AC＝FC.
(1)求证：AC是⊙O的切线； (2)若 BF＝8，DF＝ 40，求⊙O 的半径 r.
人教版九年级数学上册专题复习圆的切线证明与相关计算
BBA人教版九年级数学上册专题复习圆的切线证明与相关计算1AB 为⊙O 的直径，PA 为⊙O 的切线，BC//OP 交⊙O 于C，PO 交⊙O 于D，(1)求证：PC 为⊙O 的切线；（2）过点D 作DE⊥AB 于E,交AC 于F，PO 交AC 于H,BD 交AC 于G,DF=FG,DF=5,CG=6,求⊙O 的半径。
2如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于D，与边AC 交于E，过D 作DF⊥AC 于F.(1)求证：DF 为⊙O 的切线；(2)若DE=25，AB=25,求AE 的长．3如上右图，在Rt△ABC 中，∠B=90°，E 为AB 上一点，∠C=∠BEO，O 是BC上一点，以D 为圆心，OB 长为半径作⊙O，，AC 是⊙O，的切线．(1)求证：OE=OC；(2)若BE=4，BC=8，求OE 的长.4如图，△ABE 中，AB=AE ，以AB 为直径作⊙O ，⊙O 交BE 于D ，交AE 于F ，过D 点作CD ⊥AE 于M ，交AB 的延长线于C（1）求证：直线CM 是⊙O 的切线OM F EDCBAOECBA（2）若CD=5，DM=3，求EF的长。
5在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于点O，E为AB上一点，OE=OC，以O为圆心，OB长为半径作⊙O．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AC=10，AB=6，求BE的长．6.如图D为Rt△ABC斜边AB上一点，以CD为直径的圆分别交ΔABC三边于E,F,G三点，连接FE,FG.（1）求证∠EFG=∠B;(2)若AC=2BC=45,D为AE的中点，求CD的长。
7如图9，⊙0是 ABC的外接圆，AD是⊙0的直径，DE ⊥BC于E，AF⊥BC于F(1)求证BE=CF;(2)作OG⊥BC于G，若DE=BF=3，OG=1，求弦AC的长．FE BDOCA8．如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于D，与边AC 交于E，过D 作DF⊥AC 于F.(1)求证：DF 为⊙O 的切线；2)若DE=25，AB=25,求AE 的长．9.已知：如图8，AD 是△ABC 外接圆⊙O 的直径，AE 是△ABC 的边BC 上的高，DF⊥BC，F 为垂足．(1)求证：BF=EC;(2)若C 点是AD 的中点，且DF=3AE=3，求BC 的长．10.在边长为４的正方形ABCD中，以AD为直径的⊙O，以C为圆心，CD长为半径作⊙Ｃ，两圆交于正方形内一点E，连CE并延长交AB于F.（1）求证CF与⊙O相切；（2）求△BCF和直角梯形ADCF的周长之比11．小雅同学在学习圆的基本性质时发现了一个结论：如图，⊙O中，OM⊥弦AB于点M，ON⊥弦CD 于点N，若OM=ON，则AB=CD．（1）请帮小雅证明这个结论；（2）运用以上结论解决问题：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，O为△ABC的内心，以O为圆心，OB为半径的O D与△ABC三边分别相交于点D、E、F、G．若AD=9，CF=2，求△ABC的周长．。