实数和虚数能否比较大小
实数和虚数能否比较大小?
答：不能。因为当一个虚数a+bi的虚部等于零时，这个虚数就是实数；也就是说实数是虚数的特殊情况，且虚数没有大小，因此二者不能比较大小。
比较实数大小的八种方法
比较实数大小的八种方法 生活中，我们经常会遇到下面的问题：比较一个企业不同季度的产值，国家去年与前年的国民生产总值等实际问题的大小，转化成数学问题，就是比较两个或多个实数的大小，比较实数大小的方法比较多，也比较灵活，现采撷几种常用的方法供大家参考。 一、法则法 比较实数大小的法则是：正数都大于零，零大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小。 例1 比较与的大小。 析解：由于，且，所以。 说明：利用法则比较实数的大小是最基本的方法，对于两个负数的大小比较，可将它转化成正数进行比较。 二、平方法 用平方法比较实数大小的依据是：对任意正实数a、b有：。 例2 比较与的大小。 析解：由于，而，所以。 说明：本题也可以把外面的因数移到根号内，通过比较被开方数大小来比较原数的大小，目的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。 三、数形结合方法 用数形结合法比较实数大小的理论依据是：在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 例3 若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示，试比较a、－a、b、－b、c、－c的大小。 析解：如图2，利用相反数及对称性，先在数轴上把数a、－a、b、－b、c、－c表示的点 画出来，容易得到结论： 四、估算法
用估算法比较实数的大小的基本思路是：对任意两个正实数a、b，先估算出a、b两数的取值范围，再进行比较。 例4 比较与的大小。 析解：由于，故，所以 五、倒数法 用倒数法比较实数的大小的依据是：对任意正实数a、b有： 例5 比较与的大小 析解：因为， 又因为， 所以 所以 说明：对于两个形如（，且k是常数）的实数，常采用倒数法来比较它们的大小。 六、作差法 用作差法比较实数的大小的依据是：对任意实数a、b有： 例6 比较与的大小。 析解：设，
实数大小比较的常用方法
实数大小比较的常用方法【初二数学】 添加时间：2012年11月23日浏览：53次 顿悟教育数学培优训练营来自：顿悟教育网 实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型，不少同学感到困难。“实数”是初中数学的重要内容之一，也是学好其他知识的基础。为帮助同学们掌握好这部分知识，本讲介绍几种比较实数大小的常用方法。 一【差值比较法】差值比较法的基本思路是设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据当a－b﹥0时，得到a﹥b。当a－b﹤0时，得到a﹤b。当a－b＝0，得到a=b。 例1：（1）比较与的大小。（2）比较1－与1－的大小。 解∵－＝＜0 ，∴＜。 解∵（1－）－（1－）=＞0 ，∴1－＞1－。 二【商值比较法】商值比较法的基本思路是设a，b为任意两个正实数，先求出a与b得商。当＜1时，a＜b；当＞1时，a＞b；当=1时，a=b。来比较a与b的大小。 例2：比较与的大小。 解：∵÷=＜1 ∴＜ 三【倒数法】倒数法的基本思路是设a，b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据当＞时，a＜b。来比较a与b的大小。
例3：比较－与－的大小。 解∵=+，=+ 又∵+＜+ ∴－＞－ 四【平方法】平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a＞0，b＞0时，可由＞得到a＞b来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。 例5：比较与的大小 解：，=8+2。 又∵8+2＜8+2∴＜。 五【估算法】 估算法的基本是思路是设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。 例4：比较与的大小 解：∵3＜＜4 ∴－3＜1 ∴＜ 六【移动因式法】（穿墙术） 移动因式法的基本是思路是，当a＞0，b＞0，若要比较形如a的大小，可先把根号外的因数a与c平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。
实数大小比较
实数练习题 二、解答题 13、已知2a ﹣1的平方根是±3，3a+2b+4的立方根是3，求a+b 的平方根． 14、已知：x ﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x 2+y 2 的算术平方根． 15、求下列各式中的x ： （1）4x 2﹣25=0； （2）（x ﹣1）3=64． 16、求下列各式中x 的值： ①（x ﹣2）2=25； ②﹣8（1﹣x ）3=27． 17、求下列式子中x 的值． （1）x 2﹣25=0； （2）64（x+1）3=27． 一、运用方根定义法 例1、 比较5-m 和34m -的大小 二、添加根号法
3 三、取近似值法 例3、 比较3.23和15+的大小 四、放缩法 例4、 比较26+和257-的大小 五、作差法 例5、 比较21 5-和21 的大小 六、比较倒数法 例6、设32,23,52a b c =-=-=-，则,,a b c 的大小关系是: （ ） (A)a b c >> (B)a c b >> (C)c b a >> (D)b c a >> 七、平方法 例7、比较517-和715-的大小 1、比较m -3和35-m 的大小．
3 3、比较4.17和110+的大小． 4、比较25+和259-的大小． 5、比较5－3与3+3大小． 6、比较67-和32-的大小． 7、比较73+与25+ 的大小． 答案：1、m -3>35-m ．2、314<19．3、4.17>110+．4、25+<259-． 5、5－3<3+3．6、67-<32-．7、73+>25+ ．
中职数学：比较实数的大小教案
优质课教案 喻敏 课题：§2.1.1 比较实数的大小 课型：新授课 教学目标： 知识目标：1.了解作差法比较实数的大小； 2.会用作差法比较分数的大小； 3.能用作差法比较代数式的大小。 能力目标：1.通过观看视频获取数据信息，提高学生收集信息的能力； 2.通过讨论问题，培养学生团结协作的能力。 情感目标：学生分组讨论到得出结果这个过程，使学生感受集体的力量，进而培养她们热爱自己的班集体。 教学重点：用作差法比较实数的大小 教学难点：用作差法比较代数式的大小 教法：举例法、提问法、讲授法 学法：分组讨论法、归纳法、练习法 课时数：1课时 教学过程： 一、观看视频、引入新课 1.请同学们听经典儿歌《数鸭子》，通过这首歌，让你们体会一下儿童的乐趣。而我们本 节课的内容也和数有关，那就是-----比较实数的大小。 2.请同学们观看视频：（刘翔打破世界纪录的视频）然后回答下面的问题：
3. 问题1：同学们根据视频可以得到哪些信息？ 根据视频可以得到如下信息：刘翔跑得最快、刘翔跑的时间为12秒88、世界纪录为12秒91、刘翔比美国选手快0.03秒、…… 4.问题2：你怎么知道刘翔跑得最快？ 方法1：刘翔最先到达终点 方法2：在12.88秒内刘翔跑的距离最多 方法3：刘翔跑的速度最快 5.问题3：怎么比较12.88和12.91这两个数的大小？ 方法1：比较它们的差与零的大小 方法2：比较它们的商与1的打小 二、比较两个实数大小的方法 方法1：作差法 b a b a b a b a b a b a ?>-000 方法2：作商法（注意：a,b 不能为0） b a b a b a b a b a b a ?>111 三、运用新知 的大小。与：比较例85 32 1.1
实数系到复数系的发展史
实数系到复数系的发展史 数的概念是从实践中产生和发展起来的．早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了自然数；随着生产和科学的发展，数的概念也得到了发展：为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了满足记数需要和表示具有相反意义的量，人们引进了负数；为了解决开方开不尽的矛盾，人们引进了无理数；在解方程时，为了使负数开平方有意义，人们就 引进了虚数，使实数域扩大到复数域． 十六世纪中叶，意大利数学家卡尔丹在解一元二次方程和一元三次方程时，分别得到类似下面的结果：由于负数在实数系内没有平方根，于是他首先产生了将负数开平方的思想，基于自己的设想，卡尔丹研究了类似于的新数，并进行了计算．后来又有一位意大利数学家帮加利探究了这类新数的运算法则．但最初，人们对复数的概念和性质的了解不甚清楚，对于卡尔丹将40表示成的乘积认为只不过是一种纯形式的表示而已，莫名其妙；再者用这类新数的运算法则计算又会得到一些矛盾，因而长期以来，人们把复数看作是不能接受的“虚数”．直到十七世纪和十八世纪，随着微积分的发明与发展，以及这个时期复数有了几何的解释，“虚数”才被揭去缥缈的面纱，渐露端倪．1637年，法国数学家笛卡尔正式开始使用“实数”、“虚数”这两个名词；同一时期，德国数学家莱布尼茨、瑞士数学家欧拉和法国数学家棣莫弗等研究了虚数与对数函数、三角函数之间的关系，除了解方程外，还把它用于微积分等方面进行应用研究，得到很多有价值的结果．1777年，欧拉系统地建立了复数理论，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们用到水力学和地图制图学上；欧拉首先用符号“i”作为虚数的单位，并定义1797年，挪威数学家维赛尔在平面内引进数轴，以实轴与虚轴所确定的平面向量表示虚数，不同的向量对应不同的点，他还用几何术语定义了虚数与向量的运算，揭示了虚数及其运算所具有的几何意义． 十八世纪末十九世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理“任何一元n次方程在复数集内有且仅有n个根”时，就应用并论述了卡尔丹所设想的新数，并首次引进了“复数”这个名词，把复数与平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖于平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础．这样历经300年的努力，数系从实数系到复数系的扩张才基本完成，复数才被人们广泛承认和使用． 复数在数学中起着重要的作用，除了上述的代数基本定理外，还有“实系数的一元n次方程虚根成对出现”定理等，特别是以复数为变量的“复变函数论”，是数学中一个重要分支．十九世纪，复变函数论经过法国数学家柯西、德国数学家黎曼和维尔斯特拉斯的巨大努力，已经形成了非常系统的理论，并且深刻地渗入到代数学、解析数论、微分方程，概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支．同时，它在电学、热力学、 弹性理论和天体力学等方面都得到了实际应用． 虚数不虚 在学习开方时，总是要再三强调，被开方数一定要是非负数，被开方数为负数时，开方没有意义，众所周知，人们对事物的认识总是螺旋式上升的。现在，我们知道对负数进行开方可以用来表示一个虚数。 在很久以前，大多数学家都认为负数没有平方根。到1545年，意大利数学家卡尔丹在所著《重要的艺术》的第37章中列出并解出把10分成两部分，使其乘积为40的问题，方程是ｘ（10－ｘ）＝40，他求得根为，然后说，"不管会受到多大的良心责备"，把相乘，得乘积为25－（－15）或即40，卡尔丹在解三次方程时，又一次运用了负数的平方根。卡尔丹肯定了负数的平方根的用处，但当时，人们对它的认识也仅止于此。 "实数"、"虚数"这两个词是由法国数学家笛卡尔在1637年率先提出来的。而用ｉ＝表示虚数的单位是18世纪著名数学家欧拉的功绩。后来的人在这两个成果的基础上，把实数和虚数结合起来，记成ａ＋ｂ
2 实数的运算与大小比较中考试题
【2 实数的运算与大小比较中考试题】 一．选择题 1.（2009年，2分）3(1)-等于（ ） A ．－1 B ．1 C ．－3 D ．3 2.（2010年，2分）计算3×(-2)的结果是（ ） A ．5 B ．-5 C ．6 D ．-6 3. 计算23-的结果是（ ） A. －9 B. 9 C.－6 4.（10巴中）下列各式正确的是（ ） A ．33--= B ．326-=- C ．(3)3--= D ．0(π2)0-= 5．下列计算中，正确的是 （ ） （A ） 33=-- （B ）725)(a a = （C ）02.02.02 2=-b a b a （D ）4)4(2-=- 6． “！”是一种数学运算符号，且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6， 4.＝4×3×2×1，…，则100! 98! 的值为（ ） A. 50 49 B. 99! C. 9900 D. 2！ 7.（2011广州市）四个数－5，－，１ ２ ，３中为无理数（ ） A. －5 B. －0.1 C. １ ２ D. ３ 8. （2011山东）在实数π、1 3 、sin30°，无理数的个数为( ) .2 C 9. （2011湖北）下列说法正确的是（ ） A.0)2 (π是无理数 B. 3 3 是有理数 C.4是无理数 D.38-是有理数 10．(20011江苏)在下列实数中,无理数是( ) B.0 C. D.1 3 11. （2011贵州）如图，矩形OABC 的边OA 长为2 ，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )
中考数学一轮复习教学案 实数的运算与大小比较(含答案)
实数的运算与大小比较 ◆【课前热身】 1.计算：=-0 )5(（ ）． A ．1 B ．0 C ．-1 D ．-5 2. 3 (3)-等于（ ） A ．-9 B ．9 C ．-27 D ．27 3.下列各式正确的是（ ） A ．33--= B ．3 2 6-=- C ．(3)3--= D ．0 (π2)0-= 4.若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6， 4！＝4×3×2×1，…，则100! 98! 的值为（ ） A. 50 49 B. 99! C. 9900 D. 2！ 【参考答案】1.A 2.C 3.C 4.C ◆【考点聚焦】 知识点：有理数的运算种类、各种运算法则、运算律、运算顺序、科学计数法、近似数与有效数字、计算器功能鍵及应用. 大纲要求： 1.了解有理数的加、减、乘、除的意义，理解乘方、幂的有关概念、掌握有理数运算法则、运算委和运算顺序，能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方和简单的混合运算. 2.了解有理数的运算率和运算法则在实数运算中同样适用，复习巩固有理数的运算法则，灵活运用运算律简化运算能正确进行实数的加、减、乘、除、乘方运算. 3.了解近似数和准确数的概念，会根据指定的正确度或有效数字的个数，用四舍五入法求有理数的近似值（在解决某些实际问题时也能用进一法和去尾法取近似值），会按所要求的精确度运用近似的有限小数代替无理数进行实数的近似运算. 4.了解电子计算器使用基本过程。会用电子计算器进行四则运算. 考查重点： 1.考查实数的运算； 2.计算器的使用.
◆【备考兵法】 实数的运算要掌握好与实数有关的概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关；在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误.如5÷5 1 ×5. 实数大小的比较 （1）正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数，?绝对值大的较大；两个负数，绝对值大的反而小． （2）利用数轴：在数轴上表示的两个实数，右边的数总是大于左边的数． （3）设a 、b 是任意的实数，a －b>0?a>b ；a －b=0?a=b ；a －b<0?a1?a>b ；a b =1?a=b ；a b <1?a实数(实数的概念运算及大小比较)
实数(实数的概念、运算、及大小比较) 一.教学内容： 第一单元实数(实数的概念、运算、及大小比较) 二.教学目标： 1. 使学生复习巩固有理数、实数的有关概念. (1)了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念，了解数的绝对值的几何意义。 (2)会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小 (3)画数轴，了解实数与数轴上的点对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数轴比较大小。 2. 通过复习，使学生能熟练进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，绝对值、非负数的有关应用等。 (1)了解有理数的加、减、乘、除的意义，理解乘方、幕的有关概念、掌握有理数运 算法则、运算律和运算顺序，能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方和简单的混合运算。 (2)了解有理数的运算律和运算法则在实数运算中同样适用，复习巩固有理数的运算 法则，灵活运用运算律简化运算，能正确进行实数的加、减、乘、除、乘方运算。 (3)了解近似数和准确数的概念，会根据指定的精确度或有效数字的个数，用四舍五 入法求有理数的近似值(在解决某些实际问题时也能用进一法和去尾法取近似值) ，会按所要求的精确度运用近似的有限小数代替无理数进行实数的近似运算。 (4)了解计算器使用的基本过程。 三.教学重点和难点： 1. 有理数、无理数、实数、非负数概念； 2. 相反数、倒数、数的绝对值概念； 3. 在已知中，以非负数a2、|a、(a>0)之和为零作为条件，解决有关问题。 4. 使学生能熟练进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，绝对值、非负数 的有关应用等。 四.课堂教学： (一)知识要点：知识点1 :实数分类 有理数实数'正整数整 数零 负整数 正分数 戾分数 无理数方法(1) 正无理数负无理数
2017-2018版高中数学 第三章 数系的扩充与复数 3.1.1 实数系 3.1.2 复数的概念学
3．1.1 实数系 3．1.2 复数的概念 明目标、知重点 1.了解引入虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件． 1．复数的有关概念 (1)复数 ①定义：设a ，b 都是实数，形如a ＋b i 的数叫做复数，i 叫做虚数单位．a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部． ②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )． (2)复数集 ①定义：全体复数所构成的集合叫做复数集． ②表示：通常用大写字母C 表示． 2．复数的分类及包含关系 (1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R ) ? ?? 实数b ＝虚数b ????? 纯虚数a ＝非纯虚数a (2)集合表示： 3．复数相等的充要条件 设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d . [情境导学] 为解决方程x 2 ＝2，数系从有理数扩充到实数．数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数
范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，x 2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x 2＝－1在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题． 探究点一 复数的概念 思考1 为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？ 答 设想引入新数i ，使i 是方程x 2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x 2＋1＝0有解，同时得到一些新数． 思考2 如何理解虚数单位i? 答 (1)i 2＝－1. (2)i 与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律． (3)由于i 2＜0与实数集中a 2≥0(a ∈R )矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中，不再成立． (4)若i 2＝－1，那么i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i. 思考3 什么叫复数？怎样表示一个复数？什么叫虚数？什么叫纯虚数？ 答 形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i ，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 、b 分别叫做复数z 的实部与虚部． 对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当b ≠0时叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数． 例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数、虚数还是纯虚数． ①2＋3i ；②－3＋12 i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0. 解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12 ，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数． 反思与感悟 复数a ＋b i 中，实数a 和b 分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部． 跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由． (1)实部为－2的虚数； (2)虚部为－2的虚数； (3)虚部为－2的纯虚数； (4)实部为－2的纯虚数． 解 (1)存在且有无数个，如－2＋i 等；(2)存在且不唯一，如1－2i 等；(3)存在且唯一，即－2i ；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.
中考典型例题精析 实数的运算及大小比较
中考典型例题精析二 考点一 实数的大小比较 例 1 (2015·潍坊)在|－2|, 20 ，2－1，2这四个数中，最大的数是( ) A ．|－2| B ．20 C ．2－1 D. 2 考点二 实数非负性的应用 例 2 (2015·绵阳)若a ＋b ＋5＋||2a －b ＋1＝0，则(b －a)2 015＝ ( ) A ．－1 B ．1 C ．52 015 D ．－5 2 015 考点三 实数的混合运算 例 3 (2015·安顺)计算：? ?? ??－12－2 －(3.14－π)0＋|1－2|－2sin 45°. 基础巩固训练： 1．在13，0，－1，2这四个实数中，最大的数是( ) A. 13 B ．0 C ．－1 D. 2 2．计算：3－2×(－1)＝( ) A ．5 B ．1 C ．－1 D ．6 3．下面计算错误的是( ) A ．(－2 015)0 ＝1 B.3 －9＝－3 C. ? ?? ??12－1 ＝2 D ．(32)2＝81 4．若(a －2)2＋||b ＋3＝0，则(a ＋b)2 016的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．2 016 D ．－2 016 5．若a ＝20 ，b ＝(－3)2 ，c ＝3 －9，d ＝? ?? ??12－1 ，则a ，b ，c ，d 按由小到大的顺序排 列正确的是( )A ．c ＜a ＜d ＜b B ．b ＜d ＜a ＜c C ．a ＜c ＜d ＜b D ．b ＜c ＜a ＜d 6．计算： 3－4 －? ?? ??12－2 ＝ . 7．实数m ，n 在数轴上的位置如图所示，则 |n －m|＝ . 8．计算：3 －27－(－3)÷ ? ?? ?? －13×3＝ . 9．计算：(1)(1－2)0 ＋(－1) 2 016 －3tan 30°＋? ?? ??13－2 ； (2) (－1) 2 016 ＋(1－π)0 ×3 －27－? ?? ??17－1 ＋|－2|. 考点训练 一、选择题 1．(2015·山西)计算－3＋(－1)的结果是( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4 2．杨梅开始采摘了！每筐杨梅以5千克为基准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图．则这4筐杨梅的总质量是( ) A ．19.7千克 B ．19.9千克 C ．20.1千克 D ．20.3千克 3．在实数－1,0，1 2，－3，2 0160中，最小的数是( ) A ．－3 B ．－1 C. 1 2 D ．0 4．(2015·衡阳)计算()－10＋||－2的结果是( ) A ．－ 3 B ．1 C ．－1 D ．3 5．(2015·北海)计算2－1＋12的结果是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．212 6．下列计算错误的是( ) A ．4÷(－2)＝－2 B ．4－5＝－1 C ．(－2)－2＝4 D ．2 0140＝1 7．(2015·常州)已知a ＝22，b ＝33，c ＝55，则下列大小关系正确的是( ) A ．a ＞b ＞c B ．c ＞b ＞a C ．b ＞a ＞c D ．a ＞c ＞b 8．(2015·六盘水)下列运算结果正确的是( )A ．－87×(－83)＝7 221 B ．－2.68－7.42＝－10 C ．3.77－7.11＝－4.66 D.－101102＜－102103 9．计算9－2 0160 ×? ?? ??12－1 的结果为( )A ．4 B ．1 C. 12 D ．0
人教版数学七年级下册-实数比较大小的方法
实数比较大小的方法 一、平方法 当a ＞0，b ＞0时，a ＞b b a . 例1：比较515 与713 的大小. 分析：从表面上看，好象无从下手，但仔细观察发现，它们的被开方数之间存在关系15+5=13+7，因此可用“平方法”. 解: 752205152 ）（,912207132 ） （. ∴515 ＜713 说明:此种方法一般适用于四个无理数两两之和(或差)之间比较大小,且其中两个被开方数的和等于另两个被开方数的和. 二、移动因式法 利用）（02 a a a ,将根号外的因数移到根号内,再比较被开方数的大小. 例2：比较53 和34 的大小. 分析:负无理数之间比较大小,先比较它们绝对值的大小,因此可将根号外的因数移到根号内,也可以用“平方法”. 解: |53 |=4553 ,|34 |=4834 . 53 ＞34 . 三、求差法 000 例3：比较34与63的大小. 分析：此题可以用“平方法”或“移动因式法”，也可以用“求差法”. ∵34-630 ∴34＜63. 四、求商法 111
例4：比较53 4与11的大小. 分析: 此题可以用“平方法”或“移动因式法”，也可以用“求商法” 解:∵534÷111 ∴534＜11. 五、分母有理化法 0,0,0)m a b 例5：比较5 13与210的大小. 分析: 此题可以用“平方法”或“移动因式法”或“求商法”，还可以用分母有理化法. 解:，102601065256555513513 10 25010105210 . ∵1010 , ∴1010 5 13＞210. 六、倒数法 例6：比较13 n n a 与n n b 2的大小. 分析：观察发现，a,b 都是两个无理数的差，被开方数的差相同，因此可取这两个数的倒数，再进行分母有理化. 2131311 n n n n a ,2 2211n n n n b . ∴ 11a b ∴a ＜ b. 七、不等式的传递性 ,m m 例7：比较23和32大小. 解：∵4,4 ∴23＞32. 八、根指数不同的无理数大小的比较，可先化为同次根式，再比较被开方数的大小
比较实数大小的八种方法
比较实数大小的八种方法 生活中,我们经常会遇到下面的问题:比较一个企业不同季度的产值,国家去年与前年的国民生产总值等实际问题的大小,转化成数学问题,就就是比较两个或多个实数的大小,比较实数大小的方法比较多,也比较灵活,现采撷几种常用的方法供大家参考。 一、法则法 比较实数大小的法则就是:正数都大于零,零大于一切负数,两个负数相比较,绝对值大的反而小。 例1 比较与的大小。 析解:由于,且,所以。 说明:利用法则比较实数的大小就是最基本的方法,对于两个负数的大小比较,可将它转化成正数进行比较。 二、平方法 用平方法比较实数大小的依据就是:对任意正实数a、b有:。 例2 比较与的大小。 析解:由于,而,所以。 说明:本题也可以把外面的因数移到根号内,通过比较被开方数大小来比较原数的大小,目的就是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。 三、数形结合方法 用数形结合法比较实数大小的理论依据就是:在同一数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 例3 若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示,试比较a、－a、b、－b、c、－c的大小。 析解:如图2,利用相反数及对称性,先在数轴上把数a、－a、b、－b、c、－c表示的点画 出来,容易得到结论: 四、估算法
用估算法比较实数的大小的基本思路就是:对任意两个正实数a、b,先估算出a、b两数的取值范围,再进行比较。 例4 比较与的大小。 析解:由于,故,所以 五、倒数法 用倒数法比较实数的大小的依据就是:对任意正实数a、b有: 例5 比较与的大小 析解:因为, 又因为, 所以 所以 说明:对于两个形如(,且k就是常数)的实数,常采用倒数法来比较它们的大小。 六、作差法 用作差法比较实数的大小的依据就是:对任意实数a、b 有: 例6 比较与的大小。 析解:设,
实数大小进行比较的常用方法全
实数大小进行比较的常用方法 实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型，不少同学感到困难。“实数”是初中数学的重要内容之一，也是学好其他知识的基础。为帮助同学们掌握好这部分知识，本文介绍几种比较实数大小的常用方法，供同学们参考。 方法一.运用方根定义法 例1、 比较5-m 和34m -的大小 解：根据平方根的定义可知：m －5≥0，即m ≥5，则4-m <0，34m -<0，又因为5-m ≥0，由此可得：5-m >34m -． 小结：该法适用于被开方数中含有字母的二次根式和三次根式的大小比较． 方法二：差值比较法 差值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再根据当a-b ﹥0时，得到a ﹥b 。当a-b ﹤0时，得到a ﹤b 。当a-b ＝0，得到a=b 。 例1：（1）比较513-与5 1的大小。 （2）比较1-2与1-3的大小。 解 ∵513-－51＝523-＜0 ， ∴513-＜5 1。 解 ∵（1-2）-（1-3）=23- ＞0 ， ∴1-2＞1-3。 方法三：商值比较法 商值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先求出a 与b 得商。当 b a ＜1时，a ＜b ；当b a ＞1时，a ＞b ；当b a =1时，a= b 。来比较a 与b 的大小。 例2：比较513-与51的大小。 解：∵513-÷51=13-＜1 ∴513-＜5 1 方法四：倒数法 倒数法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先分别求出a 与b 的倒数，再根据当 a 1＞b 1时，a ＜b 。来比较a 与b 的大小。
例3：比较2004-2003与2005-2004的大小。 解∵200320041 -=2004+2003 ， 200420051 -=2005+2004 又∵2004+2003＜2005+2004 ∴2004-2003＞2005-2004 方法五：平方法 平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a ＞0，b ＞0时，可由2a ＞2b 得到a ＞b 来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。 例5：比较62+与53+的大小 解：1228)62(2+=+， 2)53(+=8+215。 又∵8+212＜8+215 ∴62+＜53+。 方法六：估算法 估算法的基本是思路是设a ，b 为任意两个正实数，先估算出a ，b 两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。 例4：比较83 13-与8 1的大小 解：∵3＜13＜4 ∴13-3＜1 ∴ 8313-＜81 方法七：移动因式法 移动因式法的基本是思路是，当a ＞0，b ＞0，若要比较形如a d b c 与的大小，可先把根号外的因数a 与c 平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。 例6：比较27与33的大小 解：∵27=722?=28，33=332?=27。 又∵28＞27， ∴27＞33。 方法八：取特值验证法 比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。 例7：当10 x 时，2x ，x ，x 1的大小顺序是______________。
1不等式的性质--比较实数大小的方法
课 题：2.1不等式的性质--比较实数大小的方法 教学目的：1.了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用； 2.掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小． 教学重点：比较两实数大小． 教学难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号 授课类型：新授课 教学过程： 一、引入： 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系 生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢? 转化为数学问题：a 克糖水中含有b 克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为a b ，加入m 克糖 后的糖水浓度为m a m b ++，只要证m a m b ++>a b 即可?引人课题 二、讲解新课： 1．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 2．判断两个实数大小的充要条件 对于任意两个实数a 、b ，在a ＞b ，a= b ，a ＜b 三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是： 0>-?>b a b a 0=-?=b a b a 0<-?x 从而22)1(+x >124++x x 引伸：在例2中，如果没有x ≠0这个条件，那么两式的大小关系如何? 若没有 0≠x 这一条件,则20x ≥,从而 22)1(+x 大于或等于 124++x x
[初中数学]实数的运算及大小比较教案 人教版
第2课时实数的运算及大小比较 1．了解实数与数轴的关系及实数范围内相反数、绝对值的意义；(重点) 2．理解有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍适用，能进行实数的大小比较．(重点、难点) 一、情境导入 如图所示，小明家有一正方形厨房ABCD和一正方形卧室CEFG，其中正方形厨房ABCD 的面积为10平方米，正方形卧室CEFG的面积为15平方米，他想知道这两个正方形的边长之和BG的长是多少米，你能帮他计算出来吗？ 二、合作探究 探究点一：实数与数轴的关系 【类型一】求数轴上的点对应的实数 如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别是－1和3，点B关于点A的对称点 为C，求点C所表示的实数． 解析：首先结合数轴和已知条件可以求出线段AB的长度，然后利用对称的性质即可求出点C所表示的实数． 解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为－1和3，∴点B到点A的距离为1＋ 3.则点C到点A的距离也为1＋ 3.设点C表示的实数为x.则点A到点C的距离为－1－x，∴－1－x＝1＋3，∴x＝－2－ 3.∴点C所表示的实数为－2－ 3. 方法总结：本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，两点之间的距离为两数差的绝对值． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题 【类型二】利用数轴进行估算 如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别是2和5.1，则A，B两点之间表示整 数的点共有()
A．6个B．5个C．4个D．3个 解析：∵2≈1.414，∴2和5.1之间的整数有2，3，4，5，∴A，B两点之间表示整数的点共有4个．故选C. 方法总结：要确定两点间的整数点的个数，也就是需要比较两个端点与邻近整点的大小，牢记数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题 【类型三】结合数轴进行化简 实数在数轴上的对应点如图所示，化简：a2－|b－a|－（b＋c）2 . 解析：由于a2＝|a|，（b＋c）2＝|b＋c|，所以解题时应先确定a，b－a，b＋c的符号，再根据绝对值的意义化简． 解：由图可知a<0，b－a>0，b＋c<0. 所以，原式＝|a|－|b－a|－|b＋c|＝－a－(b－a)＋(b＋c)＝－a－b＋a＋b＋c＝c. 方法总结：根据实数的绝对值的意义正确去绝对值符号是解题的关键：|a|＝?? ? ??a（a＞0）， 0（a＝0）， －a（a＜0）. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题 探究点二：实数的性质 求下列各数的相反数和绝对值： (1)5；(2)2－3；(3)－1＋ 3. 解析：根据相反数、绝对值的定义求解． 解：(1)5的相反数是－5，绝对值是5； (2)2－3的相反数是－2＋3，绝对值是－2＋3； (3)－1＋3的相反数是1－3，绝对值是－1＋ 3. 方法总结：只有符号不同的两个数互为相反数，求一个数的相反数时，只需在这个数的前面加上“－”号再去括号即可．求一个数的绝对值，需要分清这个数是正数、0还是负数．正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 探究点三：实数的运算 计算下列各式的值：
初中数学实数大小进行比较的10种方法大全解析
实数比较大小常见10中方法大全讲解 实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型，不少同学感到困难。“实数”是初中数学的重要内容之一，也是学好其他知识的基础。为帮助同学们掌握好这部分知识，本文介绍几种比较实数大小的常用方法，供同学们参考。 模块一：比较大小会用到的一些基本事实和方法： 模块二：方法讲解与举例 方法一.运用方根定义法 例1、 比较5-m 和34m -的大小 解：根据平方根的定义可知：m －5≥0，即m ≥5，则4-m <0，34m -<0，又因为5-m ≥0， 由此可得：5-m >34m -．（注：实质上此题是运用了一个基本事实，即正数>负数） 小结：该法适用于被开方数中含有字母的二次根式和三次根式的大小比较，解答时要注意二次根式中的隐含条件． 方法二：差值比较法 差值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再根据当a-b ﹥0时，得到a ﹥b 。当a-b ﹤0时，得到a ﹤b 。当a-b ＝0，得到a=b 。
例2：（1）比较513-与5 1的大小。 （2）比较1-2与1-3的大小。 解 ∵513-－51＝523-＜0 ， ∴513-＜5 1。 解 ∵（1-2）-（1-3）=23- ＞0 ， ∴1-2＞1-3。 方法三：商值比较法 商值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先求出a 与b 得商。当 b a ＜1时，a ＜b ；当b a ＞1时，a ＞b ；当b a =1时，a= b 。来比较a 与b 的大小。 例3：比较 513-与51的大小。 解：∵513-÷51=13-＜1 ∴513-＜5 1 方法四：倒数法 倒数法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先分别求出a 与b 的倒数，再根据当a 1＞b 1时，a ＜b 。来比较a 与b 的大小。 例4：比较2004-2003与2005-2004的大小。 解∵200320041 -=2004+2003 ， 200420051 -=2005+2004 又∵2004+2003＜2005+2004 ∴2004-2003＞2005-2004 方法五：中间值法： 基本思路是：要比较的两个数都接近于一个中间数，其中一个数大于中间数，另一个数小于中间数，就可以比较出两个数的大小 例5： 比较 456998和7481084的大小 解：456998＜12 ， 7481084＞12 所以：456998＜7481084
(完整版)2.1.1比较实数大小的方法教案
§2.1.1比较实数大小的方法 【教学目标】 知识目标： 1、教学目的： （1）.了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用； （2）.掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小． 2、教学重点：比较两实数大小． 3、教学难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号 4、授课类型：新授课 能力目标： 通过不等关系的学习与探究，培养数学思维能力. 情感目标： （1）经历比较实数大小及证明不等关系的过程，关注逻辑判断与推理； （2）感受生活中的不等关系模型，体会数学知识的应用. 【教学设计】 （1）以实例引入知识内容，提升学生的求知欲； （2）抓住解不等式的知识载体，复习与新知识学习相结合； （3）加强知识的巩固与练习，培养学生的思维能力． 【教学备品】 1
教学课件． 【课时安排】 1课时．(45分钟) 【教学过程】 2
【教学板书】 2.1.1比较实数大小的方法 3
1、数轴对应点位置比较法： 实数和数轴上的点一一对应； 数轴上的任意两点中，右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大。 2、作差比较法： 对于两个任意的实数a和b，有： ->?>； a b a b a b a b -=?=； -
实数综合应用(估值与比较大小)(人教版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题 问题1：______________________叫做无理数．无理数的和、差、积、商______是无理数．问题2：_______________________统称为实数． 问题3：数a的相反数是______．一个正实数的绝对值是______；一个负实数的绝对值是_______；0的绝对值是______． 问题4：比较大小的方法有哪几种？ 实数综合应用（估值与比较大小）（人教版）一、单选题(共11道，每道9分) 1.下列各数中：3.1415926，，0.2，，，，，其中无理数有( )个. A.0 B.1 C.2 D.3 答案：C 解题思路：3.1415926和0.2是有限小数，是分数，，，因此它们 都是有理数；为无理数，为无理数．故选C． 试题难度：三颗星知识点：无理数的概念 2.下列说法正确的是( ) A.平方根等于它本身的数是0，1 B.算术平方根等于它本身的数是0，1 C.倒数等于它本身的数是只有1 D.平方等于它本身的只有0 答案：B 解题思路：1的平方根是±1，不是它本身，所以A不正确；倒数等于它本身的除了1，还有-1，所以C不正确；，平方等于它本身的除了0，还有1，所以D不正确．故选B． 试题难度：三颗星知识点：实数的概念辨析 3.下列式子中，正确的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：∵，∴．故选B． 试题难度：三颗星知识点：实数比较大小 4.估计68的立方根的大小在( ) A.2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间 答案：C
解题思路：因为，，而，所以所以 因此68的立方根在4和5之间．故选C． 试题难度：三颗星知识点：估值 5.的值( ) A.在1和2之间 B.在2和3之间 C.在3和4之间 D.在4和5之间 答案：A 解题思路：因为，所以在1和2之间．故选A． 试题难度：三颗星知识点：无理数的估值 6.二次根式的大小关系是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：∵，∴.故选C. 试题难度：三颗星知识点：实数比较大小 7.比较大小：_____；_____2.35．( ) A.， B.， C.， D.， 答案：B 解题思路：和比较（估值法）：，；故； 和2.35比较（乘方法）：，；故；故选B． 试题难度：三颗星知识点：无理数比较大小 8.设的整数部分为，小数部分为，则的值为( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：因为，所以，可知，， ．故选A．