2020-2021学年福建省三明市高一上学期期末考试数学试题 Word版
准考证号_________姓名_________
（在此卷上答题无效）
福建省三明市2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题
本试卷共6页．满分150分．考试时间2021年2月2日下午14:0-16:30． 注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方写自己的姓名、准考证号．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名与考生本人准考证号、姓名是否致．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．非选择用0．5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束后，考生必须将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的．
1．设全集U =R ，集合02{|}A x x =<≤，{}
1B x x =<，则A B =（ ）
A ．()0,1
B ．[)2,+∞
C ．(]1,2
D ．(],2-∞
2．下列各式中正确的是（ ） A ．
606
π
=︒
B ．
31204
π
=︒ C ．51506
π︒=
D ．1802π︒=
3．下列各组函数中表示同一函数的是（ ）
A ．22()x x
f x x
+=，()2g x x =+
B ．2
()3f x x x =-，2
()3g t t t =-
C ．2
()f x =，()g x x =
D ．()f x =
()g x x =
4．若幂函数()f x 的图象过点()2,4，则()3f 的值为（ ） A ．5 B ．6
C ．8
D ．9
5．函数2
41
x
y x =
+的图象大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知2log 0.2a =，0.2
2b =，0.3
0.2
c =，则（ ）
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．b c a <<
7．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直y =上，则
24cos sin αα-的值是（ ）
A ．114
-
B ．
54
C ．114
-
或54 D ．
114或5
4
8．设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x -=，且当[)2,0x ∈-时，()2(2)f x x x =-+．若对任意[),x m ∈+∞，都有3
()4
f x ≤
，则m 的取值范围是（ ） A ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．若0a b >>，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．
11a b
< B ．
11
b b a a +>+ C ．11a b b a
+
>+ D ．11
a b a b
+
>+ 10．已知函数()log (1)a f x x =-(0,1)a a >≠且，下列关于()f x 的说法正确的是（ ） A ．()f x 的定义域是(),1-∞
B ．()f x 的值域是R
C ．()f x 的图象过原点
D ．当1a >时，()f x 在定义域上是增函数
11．下列四个命题中为假命题的是（ ） A ．(0,1)x ∃∈，12x
x
=
B ．命题“x ∀∈R ，2
10x x +->”的否定是“x ∃∈R ，2
10x x +-<”
C ．设:12p x <<，:21q x >，则
p 是q 的必要不充分条件
D ．设a ，b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件
12．随着市民健康意识的提升，越来越多的人走出家门健身，身边的健身步道成了市民首选的运动场所．如图，某公园内有一个以O 为圆心，半径为5，圆心角为
23
π
的扇形人工湖OAB ，OM 、ON 是分别由OA 、OB 延伸而成的两条健身步道．
为进一步完善全民健身公共服务体系，主管部门准备在公园内增建三条健身步道，其中一条与AB 相切于点F ，且与OM 、ON 分别相交于C 、D ，另两条是分别和湖岸OA 、OB 垂直的FG 、FH （垂足均不与O 重合）．在OCD ∆区域以内，扇形人工湖OAB 以外的空地铺上草坪，则（ ）
A ．FOD ∠的范围是20,
3
π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
B ．新增步道CD 的长度可以为20
C ．新增步道FG 、FH 长度之和可以为7
D ．当点F 为AB 的中点时，草坪的面积为253
π
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数()
f x =
_______．
14．设函数42,1()log ,1
x x f x x x -⎧<=⎨≥⎩则满足1
()2f x =的x 的值是_______．
15．已知3sin 6522πππαα⎛
⎫
⎛⎫+
=--<< ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______，sin 212πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭_______． 注：本小题第一空答对得2分，第二空答对得3分 16．若正实数a ，b 满足
111
122
a b +=++，则ab a b ++的最小值为_______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．设集合{
}
2
320A x x x =-+≤∣，{}
2B x a x a =≤≤+∣．
（1）求R C A ；
（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围． 18．已知3
sin 5
α=-
，且α为第四象限角 （1）求sin sin(2)2tan()cos()
παπααππα⎛⎫
++ ⎪⎝⎭---+的值； （2）求
1sin 2cos 21sin 2cos 2αα
αα
+-++的值．
19．已知函数21
()1
x f x x -=
+． （1）判断()f x 在[)0,+∞上单调递增还是单调递减，并证明你的判断； （2）若[]1,x m ∈，()f x 的最大值与最小值的差为
1
2
，求m 的值． 20．某市居民用电收费方式有以下两种，用户可自由选择其中一种
方式一：阶梯式递增电价，即把居民用户每月用电量划分为三档，电价实行分档递增，具体电价如下表：
方式二：阶梯式递增电价基础上实行峰谷分时电价，即先按阶梯式递增电价标准计算各档电量的电费，然
后高峰时段()8:0022:00-用每度加价0.03元，低谷时段（22:00至次日8:00）每度降价0.20元，得出用户的总电费．
（1）假设某居民用户月均电量为x 度，按方式一缴费，月均电价为y 元，求y 关于x 的函数解析式； （2）若该用户某月用电a 度(0420)a <<，其中高峰电量占该月总电量的2
3
，按方式二缴费，电费为143元，求该月用电量．
21．函数()cos()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+><<
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示．
（1）写出()f x 的解析式；
（2）将函数()f x 的图象向右平移
12
π
个单位后得到函数()g x 的图象，讨论关于x 的方程
()()0f x g x m -=(11)m -<≤在区间,2ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的实数解的个数．
22．已知函数()2x x e e f x --=，(2)()2()f x g x f x =，()
()()
f x F x
g x =．
（1）求()g x 、()F x 的解析式．
（2）若存在2
1
,x e e
⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦
，使得不等式()
22
(ln )3ln 0F x m F x ⎡⎤-+->⎣⎦成立，求实数m 的取值范围．
11。
2022-2023学年福建省三明市普通高中高一上学期期末质量检测数学试题(解析版)
2022-2023学年福建省三明市普通高中高一上学期期末质量检测数学试题一、单选题1．已知集合{}2Z 20A x x x =∈--≤，{}02B x x =≤≤，则A B =（ ）A ．{}1,0,1,2-B ．{}0,1,2C ．[]0,2D ．[]1,2-【答案】B【分析】集合的交集运算.【详解】{}{}2Z 201,0,1,2A x x x =∈--≤=-，{}02B x x =≤≤，则{}0,1,2A B =， 故选：B.2．设0.73a =，0.43b =，3log 0.7c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b a c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．a b c >>【答案】D【分析】根据指数函数、对数函数的单调性比较大小. 【详解】因为0.70.40333>>，所以1a b >>， 又因为33log 0.7log 10c =<=，即0c <， 所以a b c >>， 故选:D.3．函数()11e 21xf x x -=--+的零点所在区间为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【分析】利用零点存在性定理判断零点所在区间.【详解】()01110e 23001ef -=--=-<+； ()11131e 20112f -=--=-<+； ()21172e 2e 0213f -=--=->+；()312193e 2e 0314f -=--=->+； ()4131114e 2e 0415f -=--=->+， 故函数()f x 的零点所在区间为()1,2， 故选：B.4．在平面直角坐标系中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，若角α的终边经过点()(),20P m m m -≠，则3sin 2cos 2sin cos αααα+-的值为（ ）A ．45B ．5C ．5±D ．45±【答案】A【分析】利用终边经过的点来定义三角函数，然后弦化切求值. 【详解】因为角α的终边经过点()(),20P m m m -≠， 设(),20x m y m m =-=≠， 所以2tan 2y m x mα===--， 所以()()3sin 2cos 3223sin 2cos 3tan 24cos 2sin cos 2sin cos 2tan 12215cos αααααααααααα+⨯-+++====---⨯--， 故选：A.5．函数12xx y x⎛⎫ ⎪⎝⎭=图象的大致形状是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据当0x >时12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，当0x <时12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，即可求解.【详解】当0x >时12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，当0x <时12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，且此时012xy ⎛⎫=- ⎪⎝<⎭，结合选项可知只有D 符合题意， 故选:D. 6．大气压强p =压力受力面积，它的单位是“帕斯卡”（Pa ，1Pa =1N/m 2），大气压强p （Pa ）随海拔高度h （m ）的变化规律是0khp p e -=（0.000126k =m -1），0p 是海平面大气压强.已知在某高山12,A A 两处测得的大气压强分别为12,p p ，1212p p =，那么12,A A 两处的海拔高度的差约为（ ） （参考数据：ln 20.693≈） A ．550m B ．1818mC ．5500mD ．8732m【答案】C【分析】根据0khp p e -=以及指数的运算即可求解.【详解】在某高山12,A A 两处海拔高度为12,h h ，所以()1122012012kh k h h kh p e p e p p e ----===， 所以()121ln ln 22k h h --==-， 所以120.69355000.000126h h -≈=（m ）.故选：C7．若函数()()()2log ,0,0x x f x g x x ⎧-<⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则()()2f g =（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】C【分析】由()f x 为奇函数求得()g x ，即可由分段函数求值.【详解】函数()()()2log ,0,0x x f x g x x ⎧-<⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，设0x >，则0x -<，∴2log f x g x f xx ，∴()21g =-，()()()210f g f =-=. 故选：C.8．已知函数π()sin()(0,02f x x ωϕωϕ=+><<）．若π()8f x -为奇函数，π()8f x +为偶函数，且()f x =在π(0,) 6至多有2个实根，则ω的最大值为（ ）A ．10B ．14C ．15D ．18【答案】A【解析】先根据函数的奇偶性得到函数的对称轴和对称中心，求出π4ϕ=后，再利用换元法，求出()f x =在π(0,) 6至多有2个实根时，ω的取值范围，从而得到ω的最大值.【详解】由题意，得π(0)8-，为()f x 的图象的对称中心，直线π8x =为()f x 的图象的一条对称轴， 所以1122ππ8,ππ+π82k k k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=⎪⎩Ζ（），两式相加得12ππ42k k ϕ+=+，又因为π02ϕ<<，所以π4ϕ=，代入2ππ+π82k ωϕ+=，得82()k k ω=+∈Ζ，因为π(0,) 6x ∈时，ππππ(,) 4464t x ωω=+∈+，即由已知可得sin t =πππ(,) 464t ω∈+至多有2个实根，即ππ11π644ω+≤，由此可得015ω<≤， 又因为82()k k ω=+∈Ζ，所以1k =时ω的最大值为10， 故选：A ．【点睛】本题考查三角函数的图象和性质的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要注意三角函数的周期性特点，同时要注意换元法的灵活运用.二、多选题9．已知1a b >>，0c <，则下列四个不等式中，一定成立的是（ ） A ．c ca b< B ．ac bc <C ．()()a b c b a c ->-D ．a b c >-【答案】BC【分析】根据不等式基本性质逐个判断即可.【详解】对A ，1a b >>，则11a b <，则c c a b>，A 错； 对B ，1a b >>，则ac bc <，B 对；对C ，1a b >>，则a b -<-，则ac bc ->-，则ab ac ab bc ->-，则()()a b c b a c ->-，C 对； 对D ，1a b >>，则a c b c ->-，又0c <，则a c a ->，故a 与b c -的大小关系不确定，D 错. 故选：BC.10．下列说法正确的是（ ）A ．命题“1a ∃≥，210a -≥”的否定是“1a ∀≥，210a -<”B ．“ln ln a b >”是“a b >”的充分不必要条件C ．()()()11f x x x =-+与()11g x x x =+-表示同一函数D ．函数()221f x x mx =+-在区间()1,-+∞单调递增，则实数m 的范围是()4,+∞【答案】AB【分析】利用充分必要性及函数性质逐一判断.【详解】命题“1a ∃≥，210a -≥”的否定是“1a ∀≥，210a -<”，故A 正确；ln ln a b >，则0a b >>，故“ln ln a b >”是“a b >”的充分不必要条件，故B 正确； ()f x 定义域为()()110x x -+≥，即1x ≤-或1x ≥，()g x 定义域为1010x x -≥⎧⎨+≥⎩，即1x ≥，故C 错误；由题意14m-≤-，得4m ≥，故D 错误； 故选：AB.11．函数()()()2sin 0πf x x ωϕωϕ=+><，的部分图像如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．()1π2sin 33f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．不等式()1f x ≥的解集为{}6π+π6π+3π,xk x k k ≤≤∈Z ∣ C ．若把函数()f x 的图像向左平移π2个单位长度，得到函数()h x 的图像，则函数()h x 是奇函数D ．()f x 图像上所有点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，则函数()g x 在2π5π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 【答案】BCD【分析】结合图像计算得()1π2sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再结合三角函数性质辨析即可.【详解】由图可知17π3π2π422T =-=，故16π,3T ω=∴=，()1π2π2sin 2π+2,2π,Z 36f k k ϕϕ⎛⎫=⨯=∴=-+∈ ⎪⎝⎭,()π1ππ,=,2sin 636f x x ϕϕ⎛⎫<∴-∴=- ⎪⎝⎭，故A 错误；令()1ππ1π5π2sin 1,2π2π366366f x x k x k ⎛⎫=->∴+<-<+ ⎪⎝⎭, 得{}6π+π6π+3π,xk x k k ≤≤∈Z ∣，故B 错误； ()f x 的图像向左平移π2个单位长度，得()12sin 3h x x =为奇函数，故C 正确；由题意()π2sin 6g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2π5π,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ3π,622x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，则()g x 单调递减，故D 正确； 故选：BCD.12．下列关于函数()21cos 1exf x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的结论正确的有（ ） A ．图象关于原点对称 B ．在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．值域为()1,1-【答案】ACD【分析】对选项A ，根据奇函数定义即可判断A 正确，对选项B ，根据()00f =，π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再结合单调性即可判断B 错误，()211e xg x =-+，π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()cos h x x =-，π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，；利用复合函数的单调性即可判断()y g x =与()y h x =在π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时均单调递增，从而判断C 正确，对选项D ，根据21111e x-<-<+，1cos 1x -≤≤，即可判断D 正确. 【详解】对选项A ，函数()f x 定义域为R ，()()()2221cos 1cos 1cos 1e e 1e 1x x x x e f x x x x f x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称，故A 正确； 对选项B ，因为()00f =，π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上不可能单调递增，故B 错误；令()211e x g x =-+，π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()cos h x x =-，π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0g x >，()0h x >，结合复合函数单调性知，()y g x =与()y h x =在π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时均单调递增，所以()()y g x h x =⋅在π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时单调递增，故()f x 在π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时单调递减，故C 正确；对选项D ，因为1e 1x +>，所以1011e x<<+，所以21111e x -<-<+， 又1cos 1x -≤≤，所以211cos 11exx ⎛⎫-<-< ⎪+⎝⎭， 即()f x 的值域为()1,1-，故D 正确． 故选：ACD三、填空题13．1249log 24⎛⎫+= ⎪⎝⎭______． 【答案】2【分析】根据对数与指数的运算法则计算即可【详解】解：211122224222911log 2log 2log 22423332222⨯⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故答案为：214．函数y ＝log a （x−1）+1（a>0且a≠1）的图象恒过定点________． 【答案】（2，1）【详解】当x−1=1，即x=2时，不论a 为何值，只要a>0且a≠1，都有y=1. 【解析】图象恒过定点15．已知π33πcos π352αα⎛⎫⎛⎫+=<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos α=________.【分析】根据题意先求出πsin 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后通过拼凑角的方式得ππcos cos 33αα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再结合差角公式即可求解.【详解】3ππ3π,,cos 235αα⎛⎫⎛⎫∈+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π3α∴+在第四象限，πsin 03α⎛⎫+< ⎪⎝⎭，即π435sin α⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，所以ππππππcos cos cos cos sin sin 333333αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，314525⎛⎫=⨯+-=⎪⎝⎭16．已知函数(),01x f x x ⎧-≤⎪=<≤，若()12f a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则=a ________.【答案】14##0.25【分析】对实数a 的取值进行分类讨论，根据()12f a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可得出关于a 的等式，即可得解.【详解】当102a -≤时，即当12a ≤时，由于函数()f x 在(],0-∞上单调递减，则()12f a f a ⎛⎫≠- ⎪⎝⎭； 当1012a a -≤<≤时，即当102a <≤时，由()12f a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可得12a ⎫--⎪⎭2121120a a -+=，解得14a =或23（舍）；当1012a a <-<≤时，即当112a <≤时，函数()f x 在(]0,1上单调递减，则()12f a f a ⎛⎫≠- ⎪⎝⎭.综上所述，14a =. 故答案为：14.四、解答题17．已知集合()(){}11|216,|102x A x B x x m x m +⎧⎫=≤≤=--+<⎨⎬⎩⎭；（1）求集合A ；（2）若A B B ⋂=，求实数m 的取值范围． 【答案】(1) {}23A x x =-≤≤(2) 13m -≤≤.【分析】（1）根据指数函数的单调性可化简集合A ；（2）根据一元二次不等式的解法化简B ，A B B ⋂=等价于B A ⊆，根据包含关系列不等式即可得出实数m 的取值范围. 【详解】(1)114112162222x x ++≤≤∴≤≤,11423x x ∴-≤+≤∴-≤≤ {}23A x x ∴=-≤≤(2)A B B B A ⋂=∴⊆又{}121133m B x m x m m m -≥-⎧=-<<∴∴-≤≤⎨≤⎩【点睛】集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提； （2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决； （3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图． 18．已知()()sin π2cos 2παα-=-. (1)若α为锐角，求πcos 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)求πtan 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】； (2)17-.【分析】（1）化简已知可得sin 2cos αα=，根据正余弦平方和为1以及α为锐角可求出cos α，sin α=（2）由tan 2α=，根据二倍角的正切公式可求出4tan 23α=-，进而根据两角和的正切公式即可求出结果.【详解】（1）解：由已知得sin 2cos αα=， 又22sin cos 1αα+=，且α为锐角，解得cos α=，sin α=， 所以，πππcos cos cos sin sin 666ααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭12==（2）解：由（1）得tan 2α=， 所以22tan tan21tan ααα=-2224123⨯==--， 所以πtan 21tan 241tan 2ααα+⎛⎫+=⎪-⎝⎭41134713-+==-+. 19．某革命老区县因地制宜的将该县打造成“生态水果特色小县”.该县某水果树的单株产量ϕ（单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()230,03443,362x x x x x ϕ⎧+≤≤⎪=⎨-<≤⎪-⎩，且单株施用肥料及其它成本总投入为10x 元.已知这种水果的市场售价为10元/千克.在国务院关于新时代支持革命老区振兴发展的意见，支持发展特色农业产业的保障下，该县水果销路畅通.记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）.(1)求函数()f x 的解析式；(2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)21010300,03()4043010,362x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--<≤⎪-⎩ (2)4千克，370元【分析】(1)根据利润等于总收入减去成本，即可写出函数关系式； (2)分段求出函数的最大值，比较大小，即可确定最大利润.【详解】（1）当03x ≤≤时，()22()1030101010300f x x x x x =⨯+-=-+，当36x <≤时，1440()100243243010f x x x x x ⎭--⎛⎫=⨯-=-- ⎪-⎝， 所以21010300,03()4043010,362x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨--<≤⎪-⎩. （2）当03x ≤≤时，()21010300f x x x =-+，()f x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，则当3x =时，()f x 取到最大值为360. 当36x <≤时，()4044301041010222f x x x x x ⎛⎫=--=-+- ⎪--⎝⎭.因为20x ->，所以()410370f x ≤-=， 当且仅当422x x =--，即4x =时，()f x 取到最大值为370， 因为370360>，所以当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润是370元.20．已知函数()2sin cos f x x x x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，x ∈R . (1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若()2f x m -≥在π43,π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)单调增区间为5ππππ12,12k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z (2)5,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦ 【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解不等式πππ2π22π232k x k -≤+≤+，k ∈Z ，可得出函数()f x 的单调递增区间；（2）由ππ,43x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦得ππ2π36,x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，求出函数()f x 在ππ,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域，利用参变量分离法可求得实数m 的取值范围.【详解】（1）解：()221πsin cos sin 22sin 223f x x x x x x x x ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭. 由πππ2π22π232k x k -≤+≤+，k ∈Z ，解得5ππππ1212k x k -≤≤+，k ∈Z ， 所以函数()f x 的单调增区间为5ππππ12,12k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . （2）解：由ππ,43x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦得ππ2π36,x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，所以π1sin 21,32x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即()11,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 因为()2f x m -≥在ππ,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以()min 2m f x ≤-⎡⎤⎣⎦. 又因为()min 522f x -=-⎡⎤⎣⎦，则52m ≤-，所以m 的取值范围为5,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦. 21．已知函数()()23log 812x f x x =+-. (1)判断()f x 的奇偶性，并加以证明；(2)判断函数()f x 的单调性（无需证明）；若x ∀∈R ，都有()()214f ax f x -<+，求实数a 的取值范围.【答案】(1)偶函数，证明见解析(2)()f x 在(),0∞-是减函数，在()0,∞+是增函数；(-【分析】(1)利用偶函数定义判断即可；(2)先判断函数的单调性结合奇偶性，可得214ax x -<+在R 上恒成立，转化为一元二次不等式恒成立.【详解】（1）()f x 是偶函数.证明：()()23log 812x f x x =+-，定义域为R 关于原点对称， 因为()()23log 812x f x x -⎛⎫-=+-- ⎪⎝⎭ 2813log 82x x x +=+ ()()22233log 81log 8log 81322x x x x x x =+-+=+-+ ()()23log 812x x f x =+-=， 所以()f x 是偶函数.（2）()()333322222223221log 81log 2log log 222x x x x x x f x -⎛⎫+=+-==+ ⎪⎝⎭， 设32x t =， 以下证明()22t t g t -=+在()0,∞+单调递增， ()1212,0,,t t t t ∀∈+∞<，()1212121212111()()2222(1)2222t t t t t t t t g t g t -=+--=--， 因为()1212,0,,t t t t ∀∈+∞<，所以1222t t <，12221t t >，所以()1212122(1)022t t t t --<，所以12()()g t g t <， 所以()22t t g t -=+在()0,∞+单调递增， 则332222x x y -=+在()0,∞+单调递增，所以()f x 在()0,∞+单调递增，又因为()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0∞-是单调递减，所以x ∀∈R ，都有()()214f ax f x -<+，等价于214ax x -<+在R 上恒成立， 即214ax x -<+在R 上恒成立，即()22414x ax x -+<-<+在R 上恒成立. 所以223050x ax x ax ⎧++>⎨-+>⎩在R 上恒成立， 所以2122Δ120Δ200a a ⎧=-<⎨=-<⎩，解得a -<<所以a的取值范围是(-.22．“函数()x ϕ的图象关于点(),m n 对称”的充要条件是“对于函数()x ϕ定义域内的任意x ，都有()()22x m x n ϕϕ+-=.”已知函数()f x 的图象关于点()2,2对称，且当[]0,2x ∈时，()2242f x x ax a =-+-.(1)求()()04f f +的值；(2)设函数()1152x g x x -=-， （i ）证明函数()g x 的图象关于点()2,5-对称；（ii ）若对任意[]1,04x ∈，总存在227,313x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)4(2)（i ）证明见解析；（ii ）122,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由()()22x m x n ϕϕ+-=结合条件即可判断.（2）原命题等价于()1f x 的值域包含于()2g x 的值域，分析可得()f x 的图象过对称中心()2,2，对a 分类讨论，结合()f x 的单调性及对称性列式即可求解.【详解】（1）因为函数()f x 的图象关于点()2,2对称，所以()()44f x f x +-=，所以()()044f f +=.（2）（i ）证明：因为()1152x g x x -=-，()()2,2,x ∈-∞+∞， 所以()()()1154594422x x g x x x----==---， 所以()()115592*********x x x g x g x x x x ---+-=+==----. 即对任意()()2,,2x ∈-∞+∞，都有()()410g x g x +-=-成立.所以函数()g x 的图象关于点()2,5-对称.（ii ）由()1151522x g x x x -==-+--，易知()g x 在27,313⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()g x 在273,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域为[]4,8-.设函数()y f x =，[]0,4x ∈的值域为A .若对任意[]10,4x ∈，总存在227,313x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =成立，则[]4,8A ⊆-. 因为[]0,2x ∈时，()2242f x x ax a =-+-，所以()22f =，即函数()f x 的图象过对称中心()2,2. ①当0a ≤时，函数()f x 在[]0,2上单调递增.因为函数()f x 的图象关于点()2,2对称，所以()f x 在[]2,4上单调递增，所以函数()f x 在[]0,4上单调递增.易知()042f a =-，又()()044f f +=，所以()464f a =-，则[]42,64A a a =--.又因为[]4,8A ⊆-，所以4246484264a a a a -≥-⎧⎪-≤⎨⎪-<-⎩. 解得102a -≤≤. ②当02a <<时，函数()f x 在[]0,a 上单调递减，在[],2a 上单调递增.由函数()f x 的图像关于点()2,2对称，知()f x 在[]2,4a -上单调递增，在[]4,4a -上单调递减. 所以函数()f x 在[]0,a 上单调递减，在[],4a a -上单调递增，在[]4,4a -上单调递减.因为()()0422,6f a =-∈-，()()2422,2f a a a =-+-∈-，由函数()f x 的图象关于点()2,2对称得()()0404f f +-=，()()44f a f a +-=，所以()()42,6f a -∈，()()42,6f ∈-，所以，当02a <<时[]4,8A ⊆-恒成立.③当2a ≥时，函数()f x 在[]0,2上单调递减.由函数()f x 的图象关于点()2,2对称，知()f x 在[]2,4上单调递减. 所以函数()f x 在[]0,4上单调递减.易知()042f a =-，又()()044f f +=，所以()464f a =-，则[]64,42A a a =--.由[]4,8A ⊆-，得6444286442a a a a -≥-⎧⎪-≤⎨⎪-<-⎩. 解得522a ≤≤. 综上所述，实数a 的取值范围为122,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.。
福建省福州市福清市高中联合体2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题(含解析)
福清市高中联合体2020—12021学年第一学期高一年期末考试数学试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}1,0,1,2,3A =-，{}31B x x =-<，则A B =（ ）A. {}3B. {}1,0,1-C.1,0,1,2D. {}1,0,1,2,3-2. 命题“0x ∀≥，sin x x ≤”的否定是（ ） A. 0x ∀≥，sin x x > B. 00x ∃<，00sin x x > C. 00x ∃≥，00sin x x >D. 00x ∃≥，00sin x x ≤3. 函数()f x x =是（ ） A. 奇函数，且在R 上单调递减 B. 奇函数，且在R 上单调递增 C. 偶函数，且在R 上单调递减D. 偶函数，且在R 上单调递增4. 若角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,-，则sin 2α=（ ）A. B. 12-C.12D.25. 函数()38ln f x x x =-+的零点所在区间应是（ ）A. ()1,2B. ()2,3C. ()3,4D. ()4,56. 要得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（ ） A. 向左平移12π个单位长度B. 向右平移12π个单位长度C. 向左平移24π个单位长度D. 向右平移24π个单位长度7. 已知51log 4a =，1514b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. b a c >>D. c b a >>8. 月均温全称月平均气温，气象学术语，指一月所有日气温的平均气温．某城市一年中12个月的月均温y （单位：C ）与月份x （单位：月）的关系可近似地用函数()sin 36y A x a π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦（1,2,3,,12x =）来表示，已知6月份的月均温为29C ，12月份的月均温为17C ，则10月份的月均温为（ ） A. 20CB. 20.5CC. 21CD. 21.5C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9. 下列函数中，最小值是2的有（ ）A. 1y xx=+B. y =C. 223y x x =++D. e e x x y -=+10. 命题“x R ∀∈，210x ax -+≥”为真命题的一个必要不充分条件可以是（ ） A. 22a -≤≤B. 2a ≥-C. 2a ≤D. 22a -<<11. 关于函数()sin cos f x x x =+有下述四个结论，其中正确的是：（ ） A. ()f x 的图象关于原点对称 B. ()f x 在区间,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C. ()f x 在[],ππ-有2个零点D. ()f x 的最大值为212. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=，若()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，且对任意的[]12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，则下列结论正确的是（ ） A. ()f x 是偶函数B. ()f x 在()2018,2020上单调递增C. 4是函数()f x 的周期D. ()f x 在()2018,2020上单调递减第Ⅱ卷注意事项： 用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13. 已知函数()1,12,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩则()()0f f =________．14. 已知22tan 31tan αα=--，且α为锐角，则α=________．15. 如图，Rt ABC 的三个顶点A ，B ，C 恰好分别落在函数()21xy x =>，y x =，12log y x =的图象上，且B ，C 两点关于x 轴对称，则点A 的横坐标为________．16. 已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，函数()cos ,01,,1,x x f x x x π≤<⎧=⎨-≥⎩则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 求下列各式的值： （1）(0312932224-⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭；（2）55251log 3log log 25log 215++⨯. 18. 已知全集U =R ，集合{}20A x x a =+>，()(){}140B x x x =+-≤. （1）当2a =时，求()UA B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围．19. 在①1k =-，②1k =这两个条件中任选一个，补充在下面问题中． 已知函数()kf x kx x=-，且_______， （1）求()f x 的定义域，并判断()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 的单调性，并用定义给予证明．20. 已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2sin cos 222αα-= （1）求cos α的值； （2）若()4sin 5αβ-=，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos β的值． 21. 某儿童活动中心，为儿童修建一个面积为100平方米的矩形游泳池，为保障儿童生命安全，在其四周都留有宽2米的路面，问所选场地的长和宽各为多少时，才能使占用场地的面积S 最小，并求出该最小值？ 22. 已知函数()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭．（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数()f x 在[]0,6上的图象； （2）求()f x 图象的对称轴与单调递增区间； （3）当[]0,x m ∈时，()12f x ≤≤，求实数m 取值范围．福清市高中联合体2020—12021学年第一学期高一年期末考试数学试卷（解析版）（完卷时间：120分钟；满分：150分）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}1,0,1,2,3A =-，{}31B x x =-<，则A B =（ ）A. {}3B. {}1,0,1-C.1,0,1,2D. {}1,0,1,2,3-【答案】A 【解析】 【分析】先求得集合B ，再根据交集定义直接得结果.【详解】因为{}()312B x x =-<=+∞，，又{}1,0,1,2,3A =-，所以{}3A B ⋂=， 故选：A.2. 命题“0x ∀≥，sin x x ≤”的否定是（ ） A. 0x ∀≥，sin x x > B. 00x ∃<，00sin x x > C. 00x ∃≥，00sin x x > D. 00x ∃≥，00sin x x ≤【答案】C 【解析】 【分析】由全称命题的否定变换形式即可得出结果. 【详解】命题“0x ∀≥，sin x x ≤” 的否定是00x ∃≥，00sin x x >.故选：C3. 函数()f x x =是（ ） A. 奇函数，且在R 上单调递减 B. 奇函数，且在R 上单调递增 C. 偶函数，且在R 上单调递减 D. 偶函数，且在R 上单调递增【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性定义判断奇偶性，根据函数的解析式判断单调性. 【详解】函数的定义域为R ，关于原点对称，又()(()f x x x f x -=-+=-+=-，所以()f x是奇函数，又,y x y ==R 上的增函数，所以()f x 是R 上的增函数， 故选：B4. 若角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,-，则sin 2α=（ ）A. B. 12-C.12D.【答案】D 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义，求出sin α和cos α，再由二倍角的正弦公式，即可求出结果.【详解】因为角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(1,-，所以sin 2α==-，1cos 2α==-，因此1sin 22sin cos 22ααα⎛⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.故选：D.5. 函数()38ln f x x x =-+的零点所在区间应是（ ）A. ()1,2B. ()2,3C. ()3,4D. ()4,5【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的零点存在定理求解.【详解】由函数()38ln f x x x =-+， 因为()()2ln 220,3ln310f f =-<=+>， 所以函数的零点所在区间应是()2,3 故选：B6. 要得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（ ） A. 向左平移12π个单位长度B. 向右平移12π个单位长度C. 向左平移24π个单位长度 D. 向右平移24π个单位长度【答案】D 【解析】 【分析】根据sin 2sin 23244y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，利用平移变换求解. 【详解】因为sin 2sin 23244y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以要得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需由sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点横坐标向右平移24π个单位长度，故选：D 7. 已知51log 4a =，1514b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c >>B. b c a >>C. b a c >>D. c b a >>【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性判断.【详解】因为55510log log 4log 514a >==->-=-，15110144b ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 4441log log 5log 415c ==-<-=-，所以b a c >> 故选：C8. 月均温全称月平均气温，气象学术语，指一月所有日气温的平均气温．某城市一年中12个月的月均温y （单位：C ）与月份x （单位：月）的关系可近似地用函数()sin 36y A x a π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦（1,2,3,,12x =）来表示，已知6月份的月均温为29C ，12月份的月均温为17C ，则10月份的月均温为（ ） A. 20C B. 20.5CC. 21CD. 21.5C【答案】A 【解析】 【分析】由题意得出关于A 、a 的方程组，可得出函数解析式，在函数解析式中令10x =可得结果.【详解】由题意可得sin 2923sin 172A a A a A a a A ππ⎧+=+=⎪⎪⎨⎪+=-=⎪⎩，解得623A a =⎧⎨=⎩，所以，函数解析式为()6sin 3236y x π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦， 在函数解析式中，令10x =，可得716sin236232062y π⎛⎫=+=⨯-+= ⎪⎝⎭. 因此，10月份的月均温为20C . 故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9. 下列函数中，最小值是2的有（ ）A. 1y xx=+B. y =C. 223y x x =++D. e e x x y -=+【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基本不等式逐一判断即可.【详解】对于A ，1y x x =+，当0x >时，12y x x =+≥=，当且仅当1x =时取等号；当0x <时，12y x x ⎛⎫=--+≤-=- ⎪-⎝⎭， 当且仅当1x =-时取等号，故A 不正确；对于B ，2y=≥=，当且仅当1x =时取等号. 对于C ，()2223122y x x x =++=++≥，当1x =-时，取最小值；对于D ，e e 2x x y -=+≥=，当且仅当0x =时取等号； 故选：BCD【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方10. 命题“x R ∀∈，210x ax -+≥”为真命题的一个必要不充分条件可以是（ ） A. 22a -≤≤ B. 2a ≥- C. 2a ≤ D. 22a -<<【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，命题为真可得()240a ∆=--≤，求出a 的取值范围，再根据必要不充分条件即可求解. 【详解】由命题“x R ∀∈，210x ax -+≥”为真命题，可得()240a ∆=--≤，解得22a -≤≤， 对于A ，22a -≤≤是命题为真的充要条件； 对于B ，由2a ≥-不能推出22a -≤≤，反之成立， 所以2a ≥-是命题为真的一个必要不充分条件； 对于C ，2a ≤不能推出22a -≤≤，反之成立， 所以2a ≤也是命题为真的一个必要不充分条件； 对于D ，22a -<<能推出22a -≤≤，反之不成立， 22a -<<是命题为真的一个充分不必要条件.故选：BC11. 关于函数()sin cos f x x x =+有下述四个结论，其中正确的是：（ ） A. ()f x 的图象关于原点对称 B. ()f x 在区间,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减C. ()f x在[],ππ-有2个零点 D. ()f x 的最大值为2【答案】BC 【解析】 【分析】分sin 0x ≥，sin 0x <，将函数转化(),224sin cos ,2224x k x k f x x x x k x k πππππππππ⎛⎫+≤≤+ ⎪⎝⎭=+=⎛⎫++<<+ ⎪⎝⎭，再逐项求解判断.【详解】当sin 0x ≥，即22k x k πππ≤≤+时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当sin 0x <，即222ππππ+<<+k x k 时，()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭，所以(),224sin cos ,2224x k x k f x x x x k x k πππππππππ⎛⎫+≤≤+ ⎪⎝⎭=+=⎛⎫++<<+ ⎪⎝⎭，A.因为函数定义域为R ，关于原点对称，又()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，故错误；B.当,4x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时， 53,,42422x πππππ⎛⎫⎛⎫+∈⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为sin y x =在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在区间,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，故正确； C. 令()04f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则4x k ππ+=，因为[]0,x π∈，解得34x π=，又因为()f x 是偶函数，所以函数()f x 在[],ππ-有2个零点，故正确； D. ()f x，故错误； 故选：BC【点睛】关键点点睛：将函数变形为(),224,2224x k x k f x x k x k πππππππππ⎛⎫+≤≤+ ⎪⎝⎭=⎛⎫++<<+ ⎪⎝⎭是本题求解的关键.12. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=，若()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，且对任意的[]12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，则下列结论正确的是（ ） A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 在()2018,2020上单调递增 C. 4是函数()f x 的周期 D. ()f x 在()2018,2020上单调递减【答案】ACD 【解析】 【分析】A. 由()1y f x =-的图象与()y f x =的图象关系判断；C.由()f x 满足()()4f x f x +=判断；BD.由对任意的[]12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，得到()f x 在[]0,2上递增，再结合函数的周期性判断.【详解】因为()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，所以()y f x =的图象关于直线0x =对称，所以()f x 是偶函数，故A 正确；()f x 满足()()4f x f x +=，所以4是函数()f x 的周期，故C 正确；因为对任意的[]12,0,2x x ∈，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，所以()f x 在[]0,2上递增，又()()()()20182,20200f f f f == ，所以()f x 在()2018,2020上单调递减，故D 正确B 错误； 故选：ACD第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13. 已知函数()1,12,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩则()()0f f =________．【答案】2 【解析】 【分析】根据分段函数每段的定义域求解.【详解】因为函数()1,12,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩所以()01f =， 所以()()()012ff f ==，故答案为：214. 已知22tan 1tan αα=-α为锐角，则α=________． 【答案】3π 【解析】 【分析】根据二倍角的正切公式，求出tan2α，再由α为锐角，即可求出α.【详解】因为22tan tan 21tan ααα==-α为锐角，所以02απ<<， 因此223πα=， 所以3πα=.故答案为：3π.15. 如图，Rt ABC 的三个顶点A ，B ，C 恰好分别落在函数()21xy x =>，y x =，12log y x =的图象上，且B ，C 两点关于x 轴对称，则点A 的横坐标为________．【答案】2 【解析】 【分析】设出点(),2tA t ，根据题意可知//AB x 轴，从而可得出点B ，进而可得点C ，代入对数函数的解析式即可求解.【详解】设出点(),2tA t ，ABC 是直角三角形，且B ，C 两点关于x 轴对称，∴//AB x 轴，A 和B 纵坐标相同，2t x ∴=4t x ∴=，()4,2t t B ∴，则()4,2t t C -，C 在12log y x =的图象上，则12log 42t t=-，整理可得22t t -=-，()1t >，解得2t =. 故答案为：216. 已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，函数()cos ,01,,1,x x f x x x π≤<⎧=⎨-≥⎩则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是________． 【答案】113-<<x【解析】 【分析】根据cos y x =和y x =-的单调性，又 cos 1π=-，得到()f x 在 [0,)+∞上递减，再根据()f x 是偶函数，将不等式()()12f x f x +<转化为()()12fx f x +<求解.【详解】当0x ≥时，函数()cos ,01,,1,x x f x x x π≤<⎧=⎨-≥⎩当01x ≤<时， 0x ππ≤<，因为 cos y x =在 []0,π上递减，所以 ()f x 在 [0,1)上递减，当1≥x 时，y x =-递减，又 cos 1π=-，所以()f x 在 [0,)+∞上递减， 又因为()f x 是定义在R 上的偶函数， 则不等式()()12f x f x +<可化为：()()12f x f x +<，所以12x x +>， 解得113-<<x ， 故答案为：113-<<x四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 求下列各式的值： （1）(03129324-⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭；（2）55251log 3log log 25log 215++⨯. 【答案】（1）3；（2）1. 【解析】 【分析】（1）根据指数的运算性质即可求解. （2）利用对数的运算性质即可求解. 【详解】（1）原式=33=+=（2）原式51lg 25lg 2log (3)15lg 2lg5=⨯+⨯ 152lg5lg 2log 5lg 2lg5-=+⨯ 12=-+ 1=.18. 已知全集U =R ，集合{}20A x x a =+>，()(){}140B x x x =+-≤. （1）当2a =时，求()UA B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{}|4x x ；（2）()2,+∞. 【解析】 【分析】（1）由2a =得到{}|1A x x =>-，再利用集合的补集和并集运算求解. （2）化简|2a A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，{}|14B x x=-，再由B A ⊆求解.【详解】（1）当2a =时，集合{}|1A x x =>-，{}|1UxA x -=,因为()(){}|140B x x x =+-，所以{}|14B x x=-， 所以{}()|4U A B x x=.（2）因为{}|20A x x a =+>， 所以|2a A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭， 由（1）知，{}|14B x x=-，又因为B A ⊆，所以12a-<-， 解得2a >，所以实数a 的取值范围()2,+∞.19. 在①1k =-，②1k =这两个条件中任选一个，补充在下面问题中． 已知函数()kf x kx x=-，且_______，（1）求()f x 的定义域，并判断()f x 的奇偶性； （2）判断()f x 的单调性，并用定义给予证明． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】选择①1k =-，可得1()f x x x =-，选择②1k =，可得1()f x x x=-. （1）使函数()f x 有意义，只需0x ≠；再求出()f x -与()f x 的关系即可求解. （2）根据证明函数单调性的步骤：取值、作差、变形、定号即可证明. 【详解】选择①1k =-，因为()kf x kx x =-，所以1()f x x x=-. （1）要使函数()f x 有意义，只需0x ≠， 所以函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞.因为11()()()f x x x f x x x-=--=--=--， 所以()f x 为奇函数．⑵ 函数()f x 在区间(,0)-∞和(0,)+∞均为增函数． 证明如下： 12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <， 则12121211()()()f x f x x x x x -=--- 121212()x x x x x x -=-+12121()1)x x x x =-+（ ()121212()1x x x x x x -+=，因为120x x <<，所以120x x -<，120x x >，1210x x +>， 所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <， 故函数()f x 在区间(0,)+∞为增函数； 同理可证，函数()f x 在区间(,0)-∞为增函数；所以函数()f x 在区间(,0)-∞和(0,)+∞均为增函数． 选择②1k =，因为()kf x kx x =-，所以1()f x x x=-． （1）要使函数()f x 有意义，只需0x ≠， 所以函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞.因为11()()()()f x x x f x x x-=--=--=--， 所以()f x 奇函数．⑵ 函数()f x 在区间(,0)-∞和(0,)+∞均为减函数． 证明如下：12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <， 则12121211()()()f x f x x x x x -=--- 212112()x x x x x x -=+- 21121()1x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()211212()1x x x x x x -+=，因为120x x <<，所以210x x ->，120x x >，1210x x +>， 所以12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >， 故函数()f x 在区间(0,)+∞为减函数； 同理可证，函数()f x 在区间(,0)-∞为减函数； 所以函数()f x 在区间(,0)-∞和(0,)+∞均为减函数．20. 已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin cos 222αα-=. （1）求cos α的值； （2）若()4sin 5αβ-=，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos β的值． 【答案】（1）；（2. 【解析】 【分析】（1）将已知条件两边平方，求得sin α的值，进而求得cos α的值.（2）先求得()cos αβ-的值，然后利用cos cos[()]βααβ=--，结合两角差的余弦公式，求得cos β的值.【详解】（1）将sincos222αα-=两边同时平方，得11sin 2α-=，则1sin 2α=，又2παπ∈（，），所以cos 2α==-.（2）由（1）知，1sin ,cos 2αα==， 因为2παπ∈（，），2βπ∈π（，），所以22ππαβ-<-<.又因为4sin()5αβ-=，所以3cos()5αβ-，所以cos cos[)]βααβ=--（ cos cos()sin sin()ααβααβ=-+-314525=+⨯， 【点睛】关键点点睛：对于三角函数给值求值的问题，关键在于运用已知角的和，差，二倍的运算表示待求的角，再选择相关公式得以求值．21. 某儿童活动中心，为儿童修建一个面积为100平方米的矩形游泳池，为保障儿童生命安全，在其四周都留有宽2米的路面，问所选场地的长和宽各为多少时，才能使占用场地的面积S 最小，并求出该最小值？ 【答案】长为14米，宽为14米；196平方米. 【解析】 【分析】先设泳池的长为x 米，宽为y 米，列出式子，再利用基本不等式即可求解.【详解】解：设游泳池的长为x 米，宽为y 米，则场地长为(4)x +米，宽为(4)y +米，()1000,0xy x y =>>，(4)(4)S x y =++ 4()16xy x y =+++ 100164()x y =+++ 1164()x y =++1168xy ≥+11680=+196=，当且仅当“10x y ==”时取等号．∴当10x y ==时，S 取得最小值为196平方米，此时场地长为14米，宽为14米.22. 已知函数()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭．（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数()f x 在[]0,6上的图象； （2）求()f x 图象的对称轴与单调递增区间；（3）当[]0,x m ∈时，()12f x ≤≤，求实数m 的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）对称轴方程为()31x k k Z =+∈，递增区间为[]()62,61k k k -+∈Z ；（3）[1,2]．【解析】 【分析】（1）由[]0,6x ∈，计算出36x ππ+的取值范围，通过列表、描点、连线，可作出函数()f x 在[]0,6上的图象； （2）解方程()362x k k Z ππππ+=+∈可得出函数()f x 的对称轴方程，解不等式()222362k x k k Z ππππππ-≤+≤+∈可得函数()f x 的单调递增区间；（3）利用（1）中的图象结合()12f x ≤≤可得出实数m 的取值范围. 【详解】（1）因为()2sin 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当[]0,6x ∈时，13,3666x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 列表如下：x0 1 524112636xππ+6π2ππ32π2π136πy 1 2 0 2-0 1作图如下：（2）因为()2sin36f x xππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，令()362x k k Zππππ+=+∈，解得()31x k k Z=+∈，令()222362k x k k Zππππππ-≤+≤+∈，解得()6261k x k k Z-≤≤+∈，所以()f x的对称轴方程为()31x k k Z=+∈，递增区间为[]()62,61k k k-+∈Z；（3）[]0,x m∈，,36636mxπππππ⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦，又()12f x≤≤，由（1）的图象可知，12m≤≤，m∴的取值范围是[]1,2．【点睛】方法点睛：函数()()sin0y A x Aωϕω=+>>0,的图象的两种作法是五点作图法和图象变换法：（1）五点法：用“五点法”作()()sin0y A x Aωϕω=+>>0,的简图，主要是通过变量代换，设z xωϕ=+，由z取0、2π、π、32π、2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；（2）三角函数图象进行平移变换时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的ω倍，要特别注意相位变换、周期变换的顺序，顺序不同，其变换量也不同．。
福建省漳州市2020-2021学年学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
福建省漳州市2020-2021学年学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）本试卷共5页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{|4}A x x =>，{|2}B x x ，则A B =（ ）A. (2,)+∞B. (4,)+∞C. (2,4)D. (,4)-∞【答案】B 【解析】 【分析】由交集的定义求解即可. 【详解】{|{|2}4}{|4}x A B x x x x x =>>=>故选：B【点睛】本题主要考查了集合间的交集运算，属于基础题. 2.sin(600)-︒的值是（ ）A.12B. 12-C.2D. 【答案】C 【解析】 【分析】原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】解：()()()sin 600sin 720120sin120sin 18060sin60-︒=-︒+︒=︒=︒-︒=︒= 故选C ．【点睛】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键． 3.下列各函数的值域与函数y x =的值域相同的是（ ） A. 2yxB. 2xy =C. sin y x =D.2log y x =【答案】D 【解析】 【分析】分别求出下列函数的值域，即可判断. 【详解】函数y x =的值域为R20y x =≥，20x y =>则A ，B 错误；函数sin y x =的值域为[]1,1-，则C 错误； 函数2log y x =的值域为R ，则D 正确； 故选：D【点睛】本题主要考查了求具体函数的值域，属于基础题.4.已知函数42,0,()log ,0,x x f x x x ⎧=⎨>⎩则((1))f f -=（ ）A. 2-B. 12-C.12D. 2【答案】B 【解析】 【分析】分别计算(1)f -，12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭即可得出答案.【详解】121(1)2f --==，241211log log 12222f -⎛⎫===- ⎪⎝⎭所以1((1))2f f -=- 故选：B【点睛】本题主要考查了已知自变量求分段函数的函数值，属于基础题. 5.函数log ||()(1)||a x x f x a x =>图象的大致形状是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】判断函数函数()f x 为奇函数，排除BD 选项，取特殊值排除C ，即可得出答案. 【详解】log ||log ||()()||||a a x x x x f x f x x x ---==-=--所以函数()f x 为奇函数，故排除BD.log ||()10||a a a f a a ==>，排除C故选：A【点睛】本题主要考查了函数图像的识别，属于基础题.6.已知0.22log 0.2,2,sin 2a b c ===，则（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D.b c a <<【答案】B【解析】 【分析】分别求出a ，b ，c 的大概范围，比较即可.【详解】因为22log 0.2log 10<=，0sin 21<<，0.20221>= 所以a c b <<. 故选：B【点睛】本题主要考查了指数，对数，三角函数的大小关系，找到他们大概的范围再比较是解决本题的关键，属于简单题.7.已知以原点O 为圆心的单位圆上有一质点P ，它从初始位置01(,22P 开始，按逆时针方向以角速度1/rad s 做圆周运动.则点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系为 A. sin(),03y t t π=+≥ B. sin(),06y t t π=+≥ C. cos(),03y t t π=+≥D. cos(),06y t t π=+≥【答案】A 【解析】当时间为t 时，点P 所在角的终边对应的角等于3t π+, 所以点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系为sin(),03y t t π=+≥.8.已知函数()f x 为定义在(0,)+∞的增函数，且满足()()()1f x f y f xy +=+.若关于x 的不等式(1sin )(1)(cos )(1sin )f x f f a x f x --<+-+恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. 1a >- B. 14a >-C. 1a >D. 2a >【答案】D 【解析】 【分析】将题设不等式转化为2(cos )(cos )f x f a x <+，根据函数()f x 的单调性解不等式得出2cos cos x a x <+，通过换元法，构造函数2()g x t t =-，[]1,1t ∈-求出最大值，即可得到实数a 的取值范围.【详解】(1sin )(1)(cos )(1sin )f x f f a x f x --<+-+(1sin )(1sin )(cos )(1)f x f x f a x f ∴-++<++因为()()()2(1sin )(1sin )1sin 1sin 1(cos)1f x f x fx x f x -++=-++=+，(cos )(1)(cos )1f a x f f a x ++=++所以2(cos )(cos )f x f a x <+在(0,)x ∈+∞恒成立故2cos cos x a x <+在(0,)x ∈+∞恒成立，即2cos cos x x a -<在(0,)x ∈+∞恒成立 令[]cos ,1,1x t t =∈-，则22()cos cos g x x x t t =-=-所以函数2()g x t t =-在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，(1)2(1)0g g -=>= 所以2a > 故选：D【点睛】利用函数的单调性解抽象不等式以及不等式的恒成立问题，属于中档题.二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9.设11,,1,32α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域是R ，且为奇函数的α值可以是（ ）A. 1-B.12C. 1D. 3【答案】CD 【解析】 【分析】求出对应α值函数y x α=的定义域，利用奇偶性的定义判断即可.【详解】当α的值为11,2-时，函数y x α=的定义域分别为()(),00,-∞+∞，[)0,+∞当1α=时，函数y x =的定义域为R ，令()f x x =，()()f x x f x -=-=-，则函数y x =为R 上的奇函数当3α=时，函数3y x =的定义域为R ，令3()f x x =，3()()f x x f x -=-=-，则函数3y x=为R 上的奇函数故选：CD【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性，属于基础题. 10.要得到sin 25y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数sin y x =的图象上所有的点（ ） A. 向右平行移动5π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍B. 向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍C. 横坐标缩短到原来的12倍，再把所得各点向右平行移动5π个单位长度D. 横坐标缩短到原来的12倍，再把所得各点向右平行移动10π个单位长度【答案】AD 【解析】 【分析】由正弦函数的伸缩变换以及平移变换一一判断选项即可. 【详解】将函数sin y x =的图象上所有的点向右平行移动5π个单位长度，得到函数n 5si y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到sin 25y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故A 正确；将函数sin y x =的图象上所有的点向右平行移动10π个单位长度，得到函数sin 10y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到sin 210y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故B 错误；将函数sin y x =的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12倍，得到sin 2y x =的图象，再把所得各点向右平行移动5π个单位长度，得到25sin 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，故C 错误； 将函数sin y x =的图象上所有的点横坐标缩短到原来的12倍，得到sin 2y x =的图象，再把所得各点向右平行移动10π个单位长度，得到sin 25y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了正弦函数的伸缩变换以及平移变换，属于基础题.11.对于函数()sin(cos )f x x =，下列结论正确的是（ ） A. ()f x 为偶函数B. ()f x 的一个周期为2πC. ()f x 的值域为[sin1,sin1]-D. ()f x 在[]0,π单调递增【答案】ABC 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义以及周期的定义判断A ，B 选项；利用换元法以及正弦函数的单调性判断C 选项；利用复合函数的单调性判断方法判断D 选项. 【详解】函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称()()()()sin cos sin cos ()f x x x f x -=-==，则函数()f x 偶函数，故A 正确；()()()sin co 22s sin cos ()f x x x f x ππ+=+==⎡⎤⎣⎦，则函数()f x 的一个周期为2π，故B正确；令[]cos ,1,1t x t =∈-，则()sin f x t =，由于函数sin y t=[]1,1-上单调递增，则()sin 1()sin1sin1()sin1f x f x -≤≤⇒-≤≤，故C 正确；当[]0,x π∈时，函数cos t x =为减函数，由于[]cos 0,1t x =∈，则函数sin y t =在0,1上为增函数，所以函数()f x 在[]0,π单调递减，故D 错误； 故选：ABC【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性，周期性，求函数值域，复合函数的单调性，属于中档题.12.已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，()lg f x x =.记()sin ()cos g x x f x x =+⋅，下列结论正确的是（ ） A. ()g x 为奇函数B. 若()g x 的一个零点为0x ，且00x <，则()00lg tan 0x x --=C. ()g x 在区间,2ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的零点个数为3个 D. 若()g x 大于1的零点从小到大依次为12,,x x ，则1223x x ππ<+<【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义判断A 选项；将()0g x =等价变形为tan ()x f x =-，结合()f x 的奇偶性判断B 选项，再将零点问题转化为两个函数的交点问题，结合函数()g x 的奇偶性判断C 选项，结合图象，得出12,x x 的范围，由不等式的性质得出12x x +的范围. 【详解】由题意可知()g x 的定义域为R ，关于原点对称因为()()()sin ()cos sin ()cos ()g x x f x x x f x x g x -=-+-⋅-=--⋅=-，所以函数()g x 为奇函数，故A 正确； 假设cos 0x =，即,2x k k Z ππ=+∈时，sin ()co cos s sin 02x k x f x k πππ⎛⎫++⋅==≠ ⎪⎝⎭所以当,2x k k Z ππ=+∈时，()0g x ≠当,2x k k Z ππ≠+∈时，sin ()cos 0tan ()x f x x x f x +⋅=⇔=-当00x <，00x ->，则()000()()lg f x f x x =--=--由于()g x 的一个零点为0x ， 则()()00000tan ()lg t lg an 0x x f x x x =-=⇒--=-，故B 正确；当0x >时，令12tan ,lg y x y x ==-，则()g x 大于0的零点为12tan ,lg y x y x ==-的交点，由图可知，函数()g x 在区间()0,π的零点有2个，由于函数()g x 为奇函数，则函数()g x 在区间,02π⎛⎫-⎪⎝⎭的零点有1个，并且(0)sin 0(0)cos00g f =+⋅= 所以函数在区间,2ππ⎛⎫-⎪⎝⎭的零点个数为4个，故C 错误；由图可知，()g x 大于1的零点123,222x x ππππ<<<< 所以1223x x ππ<+< 故选：ABD【点睛】本题主要考查了判断函数的奇偶性以及判断函数的零点个数，属于较难题. 三、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分.13.函数()1xf x a =+（0a >且1a ≠）的图象恒过点__________【答案】()0,2 【解析】分析：根据指数函数xy a =过()0,1可得结果.详解：由指数函数的性质可得xy a =过()0,1，所以1xy a =+过()0,2，故答案为()0,2.点睛：本题主要考查指数函数的简单性质，属于简单题. 14.已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______； 【答案】6π 【解析】 【分析】由扇形面积公式求出扇形半径，根据扇形弧长公式即可求解.【详解】设扇形的半径为r 由扇形的面积公式得：216212r ππ=⨯，解得2r该扇形的弧长为2126ππ⨯=故答案为：6π 【点睛】本题主要考查了扇形面积公式以及弧长公式，属于基础题. 15.函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为______；【答案】[2] 【解析】 【分析】由x 的范围，确定23x π-的范围，利用换元法以及正弦函数的单调性，即可得出答案.【详解】0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，22,333x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦令22,333t x πππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，函数()2sin g t t =在,32ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在2,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减2si ()(n 33)g ππ--==2si 2()2n 2g ππ==， 222sin (3)3g ππ==所以函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[2]故答案为：[2]【点睛】本题主要考查了正弦型函数的值域，属于中档题. 16.已知函数1()f x x=，()2sin g x x =，则函数()f x 图象的对称中心为_____，函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象所有交点的横坐标与纵坐标之和为____. 【答案】 (1). (0,0) (2). 0 【解析】 【分析】判断函数()f x ，()g x 为奇函数，即可得出函数()f x ，()g x 图象的对称中心都为原点； 根据对称性即可得出所有交点的横坐标与纵坐标之和. 【详解】1()()f x f x x-=-=-，则函数()f x 为奇函数，即函数()f x 图象的对称中心为(0,0) ()()2sin 2sin ()g x x x g x -=-=-=-，则函数()g x 为奇函数，即函数()g x 的对称中心为(0,0)所以函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象所有交点都关于原点对称 即所有交点的横坐标之和为0，纵坐标之和也为0则函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象所有交点的横坐标与纵坐标之和为0 故答案为：(0,0)；0【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用以及对称性的应用，属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知α为锐角，且3cos 5α=. （1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求cos sin(2)2παπα⎛⎫-+-⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）-7（2）4425【解析】 【分析】（1）利用平方关系以及商数关系得出tan α，再利用两角和的正切公式求解即可； （2）利用诱导公式以及二倍角的正弦公式求解即可. 【详解】解：（1）因为α为锐角，且3cos 5α=. 所以24sin 1cos 5αα， 所以sin 4tan cos 3ααα==， 所以41tan tan34tan 7441tan tan 1143παπαπα++⎛⎫+===- ⎪⎝⎭--⨯. （2）因为cos sin 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭， sin(2)sin 2παα-=，所以cos sin(2)sin sin 22παπααα⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭sin 2sin cos ααα=+4432555=+⨯⨯ 4425= 【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式，诱导公式，二倍角的正弦公式，属于中档题. 18.已知集合{}|2216xA x =<<，{|sin 0,(0,2)}B x x x π=>∈. （1）求AB ；（2）集合{|1}C x x a =<<()a ∈R ，若AC C =，求a 的取值范围.【答案】（1）{|04}A B x x ⋃=<<（2）4a 【解析】 【分析】（1）利用指数函数以及正弦函数的性质化简集合,A B ，再求并集即可；（2）由题设条件得出C A ⊆，分别讨论集合C =∅和C ≠∅的情况，即可得出答案.【详解】解：（1）依题意{|14}A x x =<<，{|0}B x x π=<<，所以{|04}A B x x ⋃=<<. （2）因为AC C =，所以C A ⊆.①当C =∅时，1a ，满足题意；②当C ≠∅时，1a >，因为C A ⊆，得4a ≤，所以14a <； 综上，4a .【点睛】本题主要考查了集合的并集运算以及根据集合间的包含关系求参数范围，属于中档题.19.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =⋅+. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调区间.【答案】（1）最小正周期为π.（2）单调递增区间为3,()88k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，()f x 的单调递减区间为37,()88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .【解析】 【分析】利用倍角公式以及辅助角公式化简函数()f x ，根据周期公式得出第一问；根据正弦函数的单调增区间和减区间求()f x 的单调区间，即可得出第二问. 【详解】解：因为2()2sin 2sin cos f x x x x =+⋅22sin sin 2x x =+1cos2sin2x x =-+ sin2cos21x x =-+214x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（1）所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==.（2）由222,242k x k k πππππ-+-+∈Z ，得3222,44k x k k ππππ-++∈Z ， 即3,88k xk k ππππ-++∈Z ， 所以()f x 的单调递增区间为3,()88k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，同理可得，()f x 的单调递减区间为37,()88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的最小正周期以及单调区间，属于中档题. 20.已知2()1x af x x bx +=++是定义在[1,1]-上的奇函数. （1）求a 与b 的值；（2）判断()f x 的单调性，并用单调性定义加以证明； （3）若[0,2)απ∈时，试比较(sin )f α与(cos )f α的大小.【答案】（1）0a =. 0b =.（2）()f x 在[1,1]-单调递增.见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质得出(0)0f =，(1)(1)f f -=-，求解方程，即可得出a 与b 的值； （2）利用函数单调性的定义证明即可；（3）分别讨论α的取值使得sin cos αα=，sin cos αα<，sin cos αα>，结合函数()f x 的单调性，即可得出(sin )f α与(cos )f α的大小.【详解】解：（1）因为()f x 是定义在[1,1]-上的奇函数，所以(0)0f =，得0a =.又由(1)(1)f f -=-，得到1122b b -=--+，解得0b =. （2）由（1）可知2()1xf x x =+，()f x 在[1,1]-上为增函数.证明如下：任取12,[1,1]x x ∈-且设12x x <， 所以()()1212221211x x f x f x x x -=-++()()22121212221211x x x x x x x x +--=++ ()()()()122112221211x x x x x x x x -+-=++()()()()21122212111x x x x xx --=++由于12x x <且12,[1,1]x x ∈-，所以210x x ->，且2110x x -<，又2110x +>，2210x +>，所以()()()()211222121011x x x x xx --<++，所以()()12f x f x <，从而()f x 在[1,1]-单调递增. （3）当4πα=或54πα=时，sin cos αα=，所以(sin )(cos )f f αα=；当04πα<或524παπ<<时，sin cos αα<， 又因为sin [1,1]α∈-，cos [1,1]α∈-，且()f x 在[1,1]-上为增函数，所以(sin )(cos )f f αα<当544ππα<<时，sin cos αα>，同理可得(sin )(cos )f f αα>； 综上，当4πα=或54πα=时，(sin )(cos )f f αα=；当50,,244ππαπ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭时，(sin )(cos )f f αα<；当5,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(sin )(cos )f f αα>.【点睛】本题主要考查由函数的奇偶性求参数，判断函数的单调性以及利用单调性比较函数值大小，属于中档题.21.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： .（1）设港口在x 时刻的水深为y 米，现给出两个函数模型：sin()(0,0,)y A x h A ωϕωπϕπ=++>>-<<和2(0)y ax bx c a =++≠.请你从两个模型中选择更为合适的函数模型来建立这个港口的水深与时间的函数关系式（直接选择模型，无需说明理由）；并求出7x =时，港口的水深.（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），问该船何时能进入港口，何时应离开港口？一天内货船可以在港口呆多长时间？【答案】（1）选择函数模型Asin()y x h ωϕ=++更适合. 水深为3米 （2）货船可以在1时进入港口，在5时出港；或者在13时进港，17时出港.一天内货船可以在港口呆的时间为8小时. 【解析】 【分析】（1）观察表格中水深的变化具有周期性，则选择函数模型Asin()y x h ωϕ=++更适合，由表格数据得出,,,A h ωϕ的值，将7x =代入解析式求解即可； （2）由题意 5.5y 时，船可以进港，解不等式2.5sin4.255.56x π+，得出x 的范围，由x的范围即可确定进港，出港，一天内在港口呆的时间. 【详解】解：（1）选择函数模型Asin()y x h ωϕ=++更适合因为港口在0：00时刻的水深为4.25米，结合数据和图象可知 4.25h =6.75 1.752.52A -==因为12T =，所以22126T πππω===， 所以 2.5sin 4.256y x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭， 因为0x =时， 4.25y =，代入上式得sin 0ϕ=，因为πϕπ-<<，所以0ϕ=， 所以 2.5sin4.256y x π=+.当7x =时，712.5sin4.25 2.5 4.25362y π⎛⎫=+=⨯-+= ⎪⎝⎭， 所以在7x =时，港口的水深为3米（2）因为货船需要的安全水深是4 1.5 5.5+=米， 所以 5.5y 时，船可以进港， 令2.5sin4.255.56x π+，则1sin62xπ， 因为024x <，解得15x 或1317x ，所以货船可以在1时进入港口，在5时出港；或者在13时进港，17时出港. 因为(51)(173)8-+-=，一天内货船可以在港口呆的时间为8小时. 【点睛】本题主要考查了三角函数在生活中的应用，属于中档题. 22.已知函数3(1)log (1)f x a x +=+，且(2)1f =. （1）求()f x 的解析式；（2）已知()f x 的定义域为[2,)+∞. （ⅰ）求()41xf +的定义域；（ⅱ）若方程()()412xxf f k k x +-⋅+=有唯一实根，求实数k 取值范围.【答案】（1）2()log f x x =（2）（ⅰ）[0,)+∞.（ⅱ）1k = 【解析】 【分析】（1）利用换元法以及(2)1f =，即可求解()f x 的解析式；（2）（ⅰ）解不等式412x +≥，即可得出()41xf +的定义域；（ⅱ）根据()41xf +，()2x f k k ⋅+的定义域得出1k ，结合函数()f x 的解析式将方程化为()2(1)2210x x k k -⋅+⋅-=，利用换元法得出2()(1)1,[1,)g t k t k t t =-+⋅-∈+∞，讨论k的值，结合二次函数的性质即可得出实数k 的取值范围.【详解】解：（1）令1(0)t x t =+>，则3()log f t a t =，所以3()log f x a x =， 因为3(2)log 21f a ==，所以231log 3log 2a ==， 所以3232()log log 3log log f x a x x x ==⨯= （2）（ⅰ）因为()f x 的定义域为[2,)+∞， 所以412x +≥，解得0x ， 所以()41xf +的定义域为[0,)+∞.（ⅱ）因为0,22,x x k k ⎧⎨⋅+⎩，所以221xk +在[0,)+∞恒成立， 因为221x y =+在[0,)+∞单调递减，所以221x y =+最大值为1，所以1k .又因为()()412xxf f k k x +-⋅+=，所以()()22log 41log 2xxk k x +-⋅+=， 化简得()2(1)2210xx k k -⋅+⋅-=，令2(1)xt t =，则2(1)10k t k t -⋅+⋅-=在[1,)+∞有唯一实数根， 令2()(1)1,[1,)g t k t k t t =-+⋅-∈+∞，当1k =时，令()0g t =，则1t =，所以21x =，得0x =符合题意，所以1k =； 当1k >时，2440k k ∆=+->，所以只需(1)220g k =-，解得1k ，因为1k >，所以此时无解； 综上，1k =.【点睛】本题主要考查了利用换元法求函数解析式以及根据函数的零点确定参数的范围，属于较难题.。
期末测试卷(二)-2020-2021学年高一数学必修第一册单元提优卷(人教A版(2019))(含答案)
2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷（人教A 版（2019））期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．42.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2B ．[)(]0,11,4C ．[)0,1D ．(]1,45.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．27.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<012.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,)(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．15.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫⎪⎝⎭的值是____________.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(284f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是____________.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.18.（本题满分12分）已知集合，2|2162xA x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭，求sin 2α的值．20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2axf x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.21（本题满分12分）【江苏省盐城市第一中学2020届高三下学期6月调研考试数学试题某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）．（Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?22．（本题满分12分）已知函数2()2sin cos 0)f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值.2020-2021学年高一数学第一册单元提优卷期末测试卷（二）(满分：150分，测试时间：120分钟)一、单选题1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12a-=，解得2a =-.故选B ．2.【2020·广东省高三月考（文）】命题“10,ln 1x x x∀>≥-”的否定是A ．10ln 1x x x ∃≤≥-,B ．10ln 1x x x ∃≤<-,C ．10ln 1x x x ∃>≥-,D ．10ln 1x x x∃><-,【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“0x ∀>，1ln 1x x ≥-”的否定为“0x ∃>，1ln 1x x<-”.故选D ．3.【2020·北京市八一中学高三月考】函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(],0-∞C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，103a ≤≤.故选：D ．4.【2020·福建省福州第一中学高三其他（理）】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1D ．(]1,4【答案】C【解析】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠.所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩,解得01x ≤<.故答案为C ．5.设函数要想得到函数sin21y x =+的图像，只需将函数cos2y x =的图象（）A ．向左平移4π个单位，再向上平移1个单位B ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位D ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位【答案】B【解析】cos 2sin(2)sin 2()24y x x x ππ==+=+，因此把函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位，再向上平移1个单位可得sin 21y x =+的图象，故选B6.【2020·北京高三月考】已知函数()y f x =满足(1)2()f x f x +=，且(5)3(3)4f f =+，则(4)f =A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=,且(5)3(3)4f f =+,故()()324442f f =+,解得()48f =.故选：B7.已知3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，则sin cos cos 2θθθ＝（）A ．3B ．﹣3C ．38D ．38-【答案】D 【解析】∵3sin(3)cos()0πθπθ-++-=，∴3sin cos 0θθ--=，即cos 3sin θθ=-，∴sin cos cos 2θθθ2222sin cos sin (3sin )3cos sin (3sin )sin 8θθθθθθθθ⋅-===----．故选：D ．8.【2020·南昌市八一中学】已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =-的图象可能A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数sin (0)y ax b a =+>的图象可得201,23b a πππ<<<<，213a ∴<<，故函数log ()a y xb =-是定义域内的减函数，且过定点(1,0)b +.结合所给的图像可知只有C 选项符合题意.故选：C ．9.【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0=1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天【答案】B【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.2810.386r -==，所以()0.38rt t I t e e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，所以10.382t e =，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.691.80.380.38t =≈≈天.故选：B ．10.【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【解析】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)，不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞.故选：D ．11.【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y = 为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，0y x ->Q ，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；x y -Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.12.【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,))2-∞-+∞ B ．1(,(0,2-∞-C ．(,0)-∞D ．(,0))-∞+∞ 【答案】D【解析】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =k >.综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D ．二.填空题13.【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．【答案】(0,)+∞【解析】由题意得010x x >⎧⎨+≠⎩，0x ∴>故答案为：(0,)+∞14.【2020年高考江苏】已知2sin ()4απ+=23，则sin 2α的值是____________．【答案】13【解析】22221sin ()(cos sin )(1sin 2)4222παααα+=+=+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为：1315.【2020·江苏省高三月考】已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是____________.【答案】2【解析】由2x ≥时，()28f x x =-+是减函数可知，当2a ≥，则()()2f a f a ≠+，所以02a <<，由()(+2)f a f a =得22(2)8a a a +=-++，解得1a =，则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故答案为：2.16.【2020·六盘山高级中学高三其他（理）】设函数2()2cos ()sin(2)84f x x x ππ=+++，(0,3π)∈x 则下列判断正确的是_____.①．函数的一条对称轴为6x π=②．函数在区间5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递增③．0(0,3π)x ∃∈，使0()1f x =-④．∃∈R a ，使得函数()y f x a =+在其定义域内为偶函数【答案】④【解析】函数()1cos 2sin 21244f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当(0,3π)∈x 时，当6x π=时，23x π=不能使函数取得最值，所以不是函数的对称轴，①错；当5,24x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦时，52,2x ⎡⎤∈ππ⎢⎥⎣⎦，函数先增后减，②不正确；若()1f x =-，那么cos 2x =不成立，所以③错；当3 2a =π时，()12f x a x +=函数是偶函数，④正确，三．解答题17.（本题满分10分）已知0a >，0b >.（1）求证：()2232a b b a b +≥+；（2）若2a b ab +=，求ab 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】证明：（1）∵()()222223220a b b a b a ab b a b +-+=-+=-≥，∴()2232a b b a b +≥+.（2）∵0a >，0b >，∴2ab a b =+≥2ab ≥1≥，∴1≥ab .当且仅当1a b ==时取等号，此时ab 取最小值1.18.（本题满分12分）已知集合，|2162x A x ⎧⎫⎪⎪=<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{|3221}B x a x a =-<<+.（1）当0a =时，求A B ；（2）若A B φ⋂=，求a 的取值范围.【答案】（1）1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.【解析】（1）1|42A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，0a =时，{|21}B x x =-<<，∴1|12A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭（2）∵A B φ⋂=，∴当B φ=时，3221a a -≥+，即3a ≥，符合题意；当B φ≠时，31213242a a a <⎧⎪⎨+≤--≥⎪⎩或，解得34a ≤-或23a ≤<，综上，a 的取值范围为3,[2,)4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.19.（本题满分12分）已知函数()21sin sin cos 2f x x x x =+-，x ∈R ．（1）求函数()f x 的最大值，并写出相应的x 的取值集合；（2）若()26f α=，3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin 2α的值．【答案】（1）()f x 的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）4sin 26α=.【解析】（1）因为()()211cos 2111sin sin cos sin 2sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=+-=+-=-22sin 2cos cos 2sin sin 224424x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当()2242x k k Z πππ-=+∈，即()38x k k Z ππ=+∈时，函数()y f x =取最大值2，所以函数()y f x =的最大值为22，此时x 的取值集合为3,8x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；（2）因为()26f α=，则sin 2246πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1sin 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为3,88ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以2,422πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则cos 243πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1432326+=+⋅=.20．（本题满分12分）已知函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数．(1)求常数a 的值；(2)若对任意10,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()3f x t >-成立，求t 的取值范围.【答案】(1)1a =-；(2)(),1-∞【解析】(1)因为函数()0.52log 2ax f x x -=-为奇函数，所以()()220.50.50.52224log log log 0224ax ax a x f x f x x x x-+-+-=+==----，所以222414a x x-=-，即21a =，1a =或1-，当1a =时，函数()0.50.52log log 12x f x x -==--，无意义，舍去，当1a =-时，函数()0.52log 2x f x x +=-定义域（-∞，-2）∪（2，+∞），满足题意，综上所述，1a =-。
福建省厦门市 2020-2021 学年高一上学期期末考试数学试题(含答案解析)
集合 A 是由小于 3 的自然数组成，0 A ， 1 A，只有 C 正确，
故选：C．
2．D
【分析】
利用特称命题的否定可得出结论.
【详解】
命题 p 为特称命题，该命题的否定为： x 0， x ex .
故选：D.
3．A
【分析】
利用对数函数的单调性得出 c 0 ，利用指数函数单调性可得出 a 、b 、 0 的大小关系，综合
绝密★启用前
福建省厦门市 2020-2021 学年高一上学期期末考试数学试题
注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题）
一、单选题
1．已知集合 A x N x 3 ，则（ ）
A． 0 A
B． 1 A
C．0 A
D．1 A
2．设命题 p ： x 0 ， x ex ，则 p 的否定为（ ）
主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比
答案第 3 页，共 14 页
商
9．ABD
【分析】
由诱导公式和商数关系可得．
【详解】
∵ tan 3sin ，∴ sin 3sin ，
cos 若 sin 0 ，则 cos 1或 1， 若 sin 0 ，则 cos 1 ．
p2
2 p1 p2 p1 p2
p1 p2 2 4 p1 p2 2 p1 p2
p1 p2 2 2 p1 p2
0 ，所以，
p1 2
p2
2 p1 p2 p1 p2
.
因此，乙方案的平均价格较低.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的
福建省福州市第一中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题 答案和解析
福建省福州市第一中学【最新】高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎛ ⎝⎭，则sin cos αα-=（ ）A ．BC ．5D ． 2．一钟表的秒针长12cm ，经过25s ，秒针的端点所走的路线长为（ ） A ．10cmB ．14cmC ．10cm πD ．14cm π3．函数cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递减区间是（ ） A ．()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．()511,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．()27,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z 4．已知平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别为()4,6A 、()2,1B -、()4,1C -，G 为ABC ∆所在平面内的一点，且满足()13AG AB AC =+，则G 点的坐标为（ ） A ．()2,2B ．()1,2C ．()2,1D ．()2,45．sin4，4cos ，tan4的大小关系是（ ） A ．sin4tan4cos4<< B ．tan4sin4cos4<< C ．cos4sin4tan4<<D ．sin4cos4tan4<<6．将函数sin 2y x =的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数22sin y x =-的图象，那么ϕ可以取的值为（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 7．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()0f x f x π++=，且当()0,x π∈时，()sin f x x =，则233f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A ．12-B ．12C ． D二、多选题8．下列关于函数()tan 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的相关性质的命题，正确的有（ ） A ．()f x 的定义域是,82k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭B ．()f x 的最小正周期是πC ．()f x 的单调递增区间是()3,2828k k k Z ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭ D ．()f x 的对称中心是(),028k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭ 9．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（ ） A ．a 为单位向量 B ．//b BC C ．a b⊥D ．()6a b BC +⊥10．以下函数在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为单调增函数的有（ ）A ．sin cos y x x =+B ．sin cos y x x =-C ．sin cos y x x =D ．sin cos xy x=11．下列命题中，正确的有（ ）A ．向量AB 与CD 是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上 B ．若sin tan 0αα⋅>且cos tan 0αα⋅<，则角2α为第二或第四象限角 C ．函数1cos 2y x =+是周期函数，最小正周期是2π D ．ABC ∆中，若tan tan 1A B ⋅<，则ABC ∆为钝角三角形三、填空题12．已知()()sin 2cos 0παπα-++=，则1sin cos αα=________.13．已知tan 2α=，()tan αβ+=tan β=_________. 14．已知非零向量a 、b 满足2a =，24a b -=，a 在b 方向上的投影为1，则()2b a b ⋅+=_______.四、双空题15．已知O 为ABC ∆的外心，6AB =，10AC =，AO x AB y AC =+，且263x y +=；当0x =时，cos BAC ∠=______；当0x ≠时，cos BAC ∠=_______.五、解答题16．在平面直角坐标系中，已知()1,2a =-，()3,4b =.（Ⅰ）若()()3//a b a kb -+，求实数k 的值；（Ⅱ）若()a tb b -⊥，求实数t 的值.17．已知函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.（Ⅰ）用“五点法”作出该函数在一个周期内的图象简图；（Ⅱ）请描述如何由函数sin y x =的图象通过变换得到2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象. 18．某实验室一天的温度（单位：C ）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：()16cos1212f t t t ππ=-，[)0,24t ∈.（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于17C ，则在哪个时间段实验室需要降温？ 19．已知函数()()2sin 10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭，()f x 图象上两相邻对称轴之间的距离为2π；_______________； （Ⅰ）在①()f x 的一条对称轴3x π=-；②()f x 的一个对称中心5,112π⎛⎫⎪⎝⎭；③()f x 的图象经过点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭这三个条件中任选一个补充在上面空白横线中，然后确定函数的解析式；（Ⅱ）若动直线[]()0,x t t π=∈与()f x 和()cos g x x x =的图象分别交于P 、Q 两点，求线段PQ 长度的最大值及此时t 的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20．在等腰梯形ABCD 中，已知//AB DC ，4AB =，2BC =，60ABC ∠=，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上（含端点），且BE mBC =，DF nDC =且（m 、n 为常数），设AB a =，BC b =.（Ⅰ）试用a 、b 表示AE 和AF ； （Ⅱ）若1m n +=，求AE AF ⋅的最小值. 21．已知函数()()()()22f x x m x m R =-+∈.（Ⅰ）对任意的实数α，恒有()sin 10f α-≤成立，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当实数m 取最小值时，讨论函数()()2cos 15F x f x a =+-在[)0,2x π∈时的零点个数.参考答案1．A 【解析】 【分析】利用三角函数的定义得出sin α和cos α的值，由此可计算出sin cos αα-的值. 【详解】由三角函数的定义得cos α=，sin α=，因此，sin cos αα-=故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的定义，考查计算能力，属于基础题. 2．C 【分析】计算出秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数，然后利用扇形的弧长公式可计算出答案. 【详解】秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数为2552606ππ⨯=， 因此，秒针的端点所走的路线长()512106cm ππ⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查扇形弧长的计算，计算时应将扇形的圆心角化为弧度数，考查计算能力，属于基础题. 3．D 【分析】解不等式()2223k x k k Z ππππ≤-≤+∈，即可得出函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间. 【详解】解不等式()2223k x k k Z ππππ≤-≤+∈，得()263k x k k Z ππππ+≤≤+∈，因此，函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为()2,63k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z . 故选：D. 【点睛】本题考查余弦型函数单调区间的求解，考查计算能力，属于基础题. 4．A 【分析】设点G 的坐标为(),x y ，根据向量的坐标运算得出关于x 、y 的方程组，解出这两个未知数，可得出点G 的坐标. 【详解】设点G 的坐标为(),x y ，()6,5AB =--，()0,7AC =-，()4,6AG x y =--，()()()1160,572,433AG AB AC =+=-+--=--，即4264x y -=-⎧⎨-=-⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，因此，点G 的坐标为()2,2. 故选：A. 【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题. 5．D 【分析】作出4弧度角的正弦线、余弦线和正切线，利用三角函数线来得出sin4、4cos 、tan4的大小关系. 【详解】作出4弧度角的正弦线、余弦线和正切线如下图所示，则sin MP α=，cos OM α=，tan AT α=，其中虚线表示的是角54π的终边， 544π>，则0MP OM AT <<<，即sin4cos4tan4<<. 故选：D.【点睛】本题考查同角三角函数值的大小比较，一般利用三角函数线来比较，考查数形结合思想的应用，属于基础题. 6．B 【分析】写出平移变换后的函数解析式，将函数22sin y x =-的解析式利用二倍角公式降幂，化为正弦型函数，进而可得出ϕ的表达式，利用赋特殊值可得出结果. 【详解】将函数sin 2y x =的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得图象对应的函数的解析式为()sin 221y x ϕ=+-，22sin cos 21sin 212y x x x π⎛⎫=-=-=+- ⎪⎝⎭，()222k k Z πϕπ∴=+∈，解得()4k k Z πϕπ=+∈，当0k =时，4πϕ=.故选：B. 【点睛】本题考查利用三角函数图象变换求参数，解题的关键就是结合图象变换求出变换后所得函数的解析式，考查计算能力，属于中等题. 7．C 【分析】先推导出函数()y f x =的周期为2π，可得出2333f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用函数()y f x =的奇偶性结合函数的解析式可计算出结果.【详解】函数()y f x =是R 上的奇函数，且()()0f x f x π++=，()()f x f x π∴+=-，()()()2f x f x f x ππ∴+=-+=，所以，函数()y f x =的周期为2π，则23sin 33332f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和周期求函数值，解题的关键就是推导出函数的周期，考查计算能力，属于中等题. 8．AC 【分析】分别求出函数()y f x =的定义域、最小正周期、单调递增区间和对称中心坐标，即可判断出四个选项的正误. 【详解】对于A 选项，令()242x k k Z πππ+≠+∈，解得()28k x k Z ππ≠+∈， 则函数()y f x =的定义域是,82k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，A 选项正确； 对于B 选项，函数()y f x =的最小正周期为2π，B 选项错误； 对于C 选项，令()2242k x k k Z πππππ-<+<+∈，解得()32828k k x k Z ππππ-<<+∈， 则函数()y f x =的单调递增区间是()3,2828k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，C 选项正确； 对于D 选项，令()242k x k Z ππ+=∈，解得()48k x k Z ππ=-∈， 则函数()y f x =的对称中心为(),048k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，D 选项错误. 故选：AC. 【点睛】本题考查正切型函数的基本性质，考查计算能力，属于基础题. 9．ABD 【分析】求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】 对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=，则113a AB ==，A 选项正确； 对于B 选项，3AC a b AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正确；对于C 选项，21123cos 0333a b AB BC π⋅=⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误； 对于D 选项，()()()2260a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，()6a b BC +⊥，D 选项正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题. 10．BD 【分析】先利用辅助角、二倍角以及同角三角函数的商数关系化简各选项中的函数解析式，然后利用正弦函数和正切函数的单调性判断各选项中函数在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，由此可得出结论. 【详解】对于A 选项，sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，3,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以，函数sin cos y x x =+在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调；对于B 选项，sin cos 4y x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以，函数sin cos y x x =-在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； 对于C 选项，1sin cos sin 22y x x x ==，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()20,x π∈， 所以，函数sin cos y x x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调； 对于D 选项，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan cos x y x x ==，所以，函数sin cos x y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 故选：BD. 【点睛】本题考查三角函数单调性的判断，解题的关键就是将三角函数解析式化简，并利用正弦、余弦和正切函数的单调性进行判断，考查推理能力，属于中等题. 11．BCD 【分析】根据共线向量的定义判断A 选项的正误；根据题意判断出角α的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角2α的终边的位置，进而判断B 选项的正误；利用图象法求出函数1cos 2y x =+的最小正周期，可判断C 选项的正误；利用切化弦思想化简不等式tan tan 1A B ⋅<得出cos cos cos 0A B C <，进而可判断出选项D 的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，向量AB 与CD 共线，则//AB CD 或点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，A 选项错误；对于B 选项，2sin sin tan 0cos αααα⋅=>，cos tan sin 0ααα⋅=<，所以sin 0cos 0αα<⎧⎨>⎩， 则角α为第四象限角，如下图所示：则2α为第二或第四象限角，B 选项正确； 对于C 选项，作出函数1cos 2y x =+的图象如下图所示：由图象可知，函数1cos 2y x =+是周期函数，且最小正周期为2π，C 选项正确； 对于D 选项，tan tan 1A B <，()()cos cos sin sin cos cos sin sin 1tan tan 1cos cos cos cos cos cos cos cos A B C A B A B A B A B A B A B A B A Bπ+--∴-=-===cos 0cos cos CA B=->，cos cos cos 0A B C ∴<，对于任意三角形，必有两个角为锐角，则ABC ∆的三个内角余弦值必有一个为负数， 则ABC ∆为钝角三角形，D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查三角函数、三角恒等变换与向量相关命题真假的判断，考查共线向量的定义、角的终边位置、三角函数的周期以及三角形形状的判断，考查推理能力，属于中等题. 12．52【分析】利用诱导公式化简等式()()sin 2cos 0παπα-++=，可求出tan α的值，将所求分式变形为221sin cos sin cos sin cos αααααα+=，在所得分式的分子和分母中同时除以2cos α，将所求分式转化为只含tan α的代数式，代值计算即可. 【详解】()()sin 2cos 0παπα-++=，sin 2cos 0αα∴-=，tan 2α∴=，因此，22221sin cos tan 1215sin cos sin cos tan 22αααααααα+++====.故答案为：52. 【点睛】本题考查利用诱导公式和弦化切思想求值，解题的关键就是求出tan α的值，考查计算能力，属于基础题. 13．4【分析】利用两角差的正切公式可计算出()tan tan βαβα=+-⎡⎤⎣⎦的值. 【详解】由两角差的正切公式得()()()tan tan tan tan 1tan tan αβαβαβααβα+-=+-==⎡⎤⎣⎦++=. 【点睛】本题考查利用两角差的正切公式求值，解题的关键就是弄清角与角之间的关系，考查计算能力，属于基础题.14．18 【分析】利用向量数量积的几何意义得出2a b ⋅=，在等式24a b -=两边平方可求出b 的值，然后利用平面向量数量积的运算律可计算出()2b a b ⋅+的值. 【详解】2a =，a 在b 方向上的投影为1，212a b ⋅=⨯=，24a b -=，222222216244444242a b a a b b a a b b b =-=-⋅+=-⋅+=⨯-⨯+，可得22b =，因此，()22222818b a b a b b ⋅+=⋅+=+⨯=. 故答案为：18. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，涉及利用向量的模求数量积，同时也考查了向量数量积几何意义的应用，考查计算能力，属于基础题. 15．35 59【分析】（1）由0x =可得出O 为AC 的中点，可知AC 为ABC ∆外接圆的直径，利用锐角三角函数的定义可求出cos BAC ∠；（2）推导出外心的数量积性质212AO AB AB ⋅=，212AO AC AC ⋅=，由题意得出关于x 、y 和AB AC ⋅的方程组，求出AB AC ⋅的值，再利用向量夹角的余弦公式可求出cos BAC ∠的值. 【详解】当0x =时，由263x y +=可得12y =，12AO xAB y AC AC ∴=+=， 所以，AC 为ABC ∆外接圆的直径，则2ABC π∠=，此时3cos 5AB BAC AC ∠==； 如下图所示：取AB 的中点D ，连接OD ，则⊥OD AB ，所0DO AB ⋅=，()212AO AB AD DO AB AD AB AB ∴⋅=+⋅=⋅=，同理可得212AO AC AC ⋅=. 所以，()()221212263AO AB xAB y AC AB AB AO AC xAB y AC AC AC x y ⎧⋅=+⋅=⎪⎪⎪⋅=+⋅=⎨⎪+=⎪⎪⎩，整理得361810050263x y AB AC xAB AC y x y ⎧+⋅=⎪⋅+=⎨⎪+=⎩，解得356x =，2756y =，1003AB AC ⋅=，因此，5cos 9AB AC BAC AB AC ⋅∠==⋅. 故答案为：35；59. 【点睛】本题考查三角的外心的向量数量积性质的应用，解题的关键就是推导出212AO AB AB ⋅=，212AO AC AC ⋅=，并以此建立方程组求解，计算量大，属于难题.16．（Ⅰ）13-；（Ⅱ）15-.【分析】（Ⅰ）求出向量3a b -和a kb +的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于k 的方程，解出即可；（Ⅱ）由()a tb b -⊥得出()0a tb b -⋅=，利用向量数量积的坐标运算可得出关于实数t 的方程，解出即可. 【详解】 （Ⅰ）()1,2a =-，()3,4b =，()()()331,23,40,10a b ∴-=--=-，()()()1,23,431,42a kb k k k +=-+=+-，()()3//a b a kb -+，()10310k ∴-+=，解得13k =-； （Ⅱ）()()()1,23,413,24a tb t t t -=--=---，()a tb b -⊥，()()()3134242550a tb b t t t ∴-⋅=⨯-+⨯--=--=，解得15t =-. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查利用共线向量和向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.17．（Ⅰ）图象见解析；（Ⅱ）答案不唯一，见解析. 【分析】 （Ⅰ）分别令23x π+取0、2π、π、32π、2π，列表、描点、连线可作出函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在一个周期内的图象简图；（Ⅱ）根据三角函数图象的变换原则可得出函数sin y x =的图象通过变换得到2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的变换过程.【详解】（Ⅰ）列表如下：函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在一个周期内的图象简图如下图所示：（Ⅱ）总共有6种变换方式，如下所示： 方法一：先将函数sin y x =的图象向左平移3π个单位，将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍，再将所得图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，可得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；方法二：先将函数sin y x =的图象向左平移3π个单位，将所得图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍，可得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；方法三：先将函数sin y x =的图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍，将所得图象向左平移6π个单位，再将所得图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，可得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；方法四：先将函数sin y x =的图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍，将所得图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象向左平移6π个单位，可得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；方法五：先将函数sin y x =的图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍，再将所得图象向左平移6π个单位，可得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；方法六：先将函数sin y x =的图象上每个点的纵坐标伸长为原来的2倍，将所得图象向左平移3π个单位，再将所得图象上每个点的横坐标缩短为原来的12倍，可得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.【点睛】本题考查利用五点作图法作出正弦型函数在一个周期内的简图，同时也考查了三角函数图象变换，考查推理能力，属于基础题.18．（Ⅰ）4C ；（Ⅱ）从中午12点到晚上20点. 【分析】（Ⅰ）利用辅助角公式化简函数()y f t =的解析式为()162sin 126f t t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由此可得出实验室这一天的最大温差； （Ⅱ）由[)0,24t ∈，得出13,12666t ππππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，令()17f t >，得到1sin 1262t ππ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭，解此不等式即可得出结论. 【详解】（Ⅰ）()16cos162sin 1261212f t t t t ππππ⎛⎫+ ⎪-=-⎝=-⎭，[)0,24t ∈. 因此，实验室这一天的最大温差为4C ； （Ⅱ）当[)0,24t ∈时，13,12666t ππππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭， 令()162sin 17126f t t ππ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，得1sin 1262t ππ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭，所以71161266t ππππ<+<，解得1220t <<，因此，实验室从中午12点到晚上20点需要降温. 【点睛】本题考查三角函数模型在生活中的应用，涉及正弦不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.19．（Ⅰ）选①或②或③，()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）当0t =或t π=时，线段PQ 的长取到最大值2. 【分析】（Ⅰ）先根据题中信息求出函数()y f x =的最小正周期，进而得出2ω=. 选①，根据题意得出()232k k Z ππϕπ-+=+∈，结合ϕ的取值范围可求出ϕ的值，进而得出函数()y f x =的解析式； 选②，根据题意得出()56k k Z πϕπ+=∈，结合ϕ的取值范围可求出ϕ的值，进而得出函数()y f x =的解析式； 选③，根据题意得出51sin 32πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，结合ϕ的取值范围可求出ϕ的值，进而得出函数()y f x =的解析式；（Ⅱ）令()()()h x f x g x =-，利用三角恒等变换思想化简函数()y h x =的解析式，利用正弦型函数的基本性质求出()h t 在[]0,t π∈上的最大值和最小值，由此可求得线段PQ 长度的最大值及此时t 的值. 【详解】（Ⅰ）由于函数()y f x =图象上两相邻对称轴之间的距离为2π，则该函数的最小正周期为22T ππ=⨯=，222T ππωπ∴===，此时()()2sin 21f x x ϕ=++. 若选①，则函数()y f x =的一条对称轴3x π=-，则()232k k Z ππϕπ-+=+∈，得()76k k Z πϕπ=+∈，22ππϕ-<<，当1k =-时，6π=ϕ，此时，()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭； 若选②，则函数()y f x =的一个对称中心5,112π⎛⎫⎪⎝⎭，则()56k k Z πϕπ+=∈， 得()56k k Z πϕπ=-∈，22ππϕ-<<，当1k =时，6π=ϕ， 此时，()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；若选③，则函数()y f x =的图象过点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则552sin 1063f ππϕ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得51sin 32πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，22ππϕ-<<，7513636πππϕ∴<+<， 51136ππϕ∴+=，解得6π=ϕ，此时，()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.综上所述，()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）令()()()2sin 21cos 6h x f x g x x x x π⎛⎫=-=++- ⎪⎝⎭122cos 212cos 21022x x x x ⎛⎫=++=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭，()cos21PQ h t t ∴==+， []0,t π∈，[]20,2t π∴∈，当20t =或22t π=时，即当0t =或t π=时，线段PQ 的长取到最大值2. 【点睛】本题考查利用三角函数的基本性质求解析式，同时也考查了余弦型三角函数在区间上最值的计算，考查计算能力，属于中等题. 20．（Ⅰ）AE a mb =+，12n AF a b +=+；（Ⅱ）6. 【分析】（Ⅰ）过点D 作//DM BC ，交AB 于点M ，证明出2AM BM CD ===，从而得出2AB CD =，然后利用向量加法的三角形法则可将AE 和AF 用a 、b 表示；（Ⅱ）计算出2a 、a b ⋅和2b 的值，由1m n +=得出1n m =-，且有01m ≤≤，然后利用向量数量积的运算律将AE AF ⋅表示为以m 为自变量的二次函数，利用二次函数的基本性质可求出AE AF ⋅的最小值. 【详解】（Ⅰ）如下图所示，过点D 作//DM BC ，交AB 于点M ，由于ABCD 为等腰梯形，则2AD BC ==，且60BAD ABC ∠=∠=，//AB DC ，即//CD BM ，又//DM BC ，所以，四边形BCDM 为平行四边形，则2DM BC AD ===，所以，ADM ∆为等边三角形，且2AM =，2CD BM AB AM ∴==-=，2AB CD ∴=， AE AB BE AB mBC a mb =+=+=+，()()111122n AF AB BC CF AB BC n CD a b n a a b +=++=++-=+--=+； （Ⅱ）2216a AB ==，1cos1204242a b AB BC ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，224b BC ==， 由题意可知，01m ≤≤，由1m n +=得出1n m =-， 所以，1112222n m mAF a b a b a b +-+-=+=+=+， ()()22222222m m m m AE AF a mb a b a a b a b mb---⎛⎫∴⋅=+⋅+=+⋅+⋅+ ⎪⎝⎭()222812224m m m =-+=-+，令()()2224f m m =-+，则函数()y f m =在区间[]0,1上单调递减，所以，()()min 16f m f ==，因此，AE AF ⋅的最小值为6. 【点睛】本题考查利用基底表示向量，同时也考查了平面向量数量积最值的计算，考查运算求解能力，属于中等题.21．（Ⅰ）[)0,+∞；（Ⅱ）见解析.【分析】（Ⅰ）由[]sin 12,0α-∈-可知，区间[]2,0-是不等式()0f x ≤解集的子集，由此可得出实数m 的不等式，解出即可；（Ⅱ）由题意可知，0m =，则()224f x x x =+，令()0F x =，可得出()152cos a f x -=，令[]2cos 2,2t x =∈-，对实数a 的取值范围进行分类讨论，先讨论方程()15a f t -=的根的个数及根的范围，进而得出方程2cos t x =的根个数，由此可得出结论.【详解】（Ⅰ）1sin 1α-≤≤，2sin 10α∴-≤-≤，对任意的实数α，恒有()sin 10f α-≤成立，则区间[]2,0-是不等式()0f x ≤解集的子集，02m ∴≥，解得0m ≥， 因此，实数m 的取值范围是[)0,+∞；（Ⅱ）0m ≥，由题意可知，0m =，()()22224f x x x x x =+=+， 令()0F x =，得()152cos a f x -=，令[]2cos 2,2t x =∈-，则()15a f t -=，作出函数15y a =-和函数()y f t =在[]2,2t ∈-时的图象如下图所示：作出函数2cos t x =在[)0,2x π∈时的图象如下图所示：①当152a -<-或1516a ->时，即当1a <-或17a >时，方程()15a f t -=无实根， 此时，函数()y F x =无零点；②当152a -=-时，即当17a =时，方程()15a f t -=的根为1t =-，而方程2cos 1x =-在区间[)0,2π上有两个实根，此时，函数()y F x =有两个零点； ③当2150a -<-<时，即当1517a <<时，方程()15a f t -=有两根1t 、2t ，且()12,1t ∈--，()21,0t ∈-，方程12cos x t =在区间[)0,2π上有两个实根，方程22cos x t =在区间[)0,2π上有两个实根，此时，函数()y F x =有四个零点；④当150a -=时，即当15a =时，方程()15a f t -=有两根分别为2-、0，方程2cos 2x =-在区间[)0,2π上只有一个实根，方程2cos 0x =在区间[)0,2π上有两个实根，此时，函数()y F x =有三个零点；⑤当01516a <-<时，即当115a -<<时，方程()15a f t -=只有一个实根1t ，且()10,2t ∈，方程12cos x t =在区间[)0,2π上有两个实根，此时，函数()y F x =有两个零点； ⑥当1516a -=时，即当1a =-时，方程()15a f t -=只有一个实根2，方程2cos 2x =在区间[)0,2π上只有一个实根，此时，函数()y F x =只有一个零点. 综上所述，当1a <-或17a >时，函数()y F x =无零点；当1a =-时，函数()y F x =只有一个零点；当115a -<<或17a =时，函数()y F x =有两个零点；当15a =时，函数()y F x =有三个零点；当1517a <<时，函数()y F x =有四个零点.【点睛】本题考查利用二次不等式求参数，同时也考查了复合型二次函数的零点个数的分类讨论，解题时要将函数分解为内层函数和外层函数来分析，考查数形结合思想与分类讨论思想的应用，属于难题.。
精品解析：福建师范大学第二附属中学等五校2022-2023学年高一上学期期末联考数学试题(解析版)
2020-2021学年第一学期高一年段期末五校联考数 学 试 卷一，单项选择题1. 设全集U =R ,{}220A x x x =-<,{}10B x x =->,则如图阴影部分表示地集合为（）A. {}1x x ≥ B. {}1x x ≤C. {}01x x <≤ D. {}12x x ≤<【结果】D 【思路】【思路】解出集合A ，B ,然后利用图中阴影部分所表示地集合地含义得出结果.【详解】{}{}22002A x x x x x =-<=<< ,{}{}101B x x x x =->=<.图中阴影部分所表示地集合为{x x A ∈且}{}12x B x x ∉=≤<.故选：D.【点睛】本题考查韦恩图表示地集合地求解,同时也考查了一圆二次不等式地解法,解题地关键就是弄清楚阴影部分所表示地集合地含义,考查运算求解能力,属于基础题.2. 设p：x >,q ：22x >,则p 是q 地（ ）A. 充要款件B. 充分不必要款件C. 必要不充分款件D. 既不充分也不必要款件【结果】B 【思路】思路】解出不等式22x >,依据集合地包含关系,可得到结果.【详解】解：因为q ：22x >,【所以q ：x >或x <,因为p ：x >,所以p 是q 地充分不必要款件.故选：B【点睛】本题考查了充分不必要款件地判断,两个命题均是范围形式,解决问题常见地方式是判断出集合之间包含关系.3. 设2log 0.3,a =0.53,b =0.50.3c =,则a ,b ,c 地大小关系是A. a b c >> B. c a b>> C. c b a>> D. b c a>>【结果】D 【思路】【思路】运用对数函数，指数函数地单调性,利用中间值法进行比较即可.【详解】22log 0.3log 10,a =<=0.50331,b =>=050.00.30.0131c <=∴<<< ,因此可得b c a >>.故选：D【点睛】本题考查了对数式，指数式之间地大小比较问题,考查了对数函数，指数函数地单调性,考查了中间值比较法,属于基础题.4. 已知函数f (x )＝6x－log 2x ,则f (x )地零点所在地区间是（ ）A. (0,1) B. (2,3)C. (3,4) D. (4,＋∞)【结果】C 【思路】【思路】先判断出函数地单调性,然后得出()()3,4f f 地函数符号,从而得出结果.【详解】由6y x=在()0,∞+上单调递减,2log y x =在()0,∞+上单调递减所以函数()26log f x x x=-在()0,∞+上单调递减又()()22243132log 3log 0,4log 40322f f =-=>=-=-<依据函数f (x ) 在()0,∞+上单调递减,由零点存在定理可得函数在(3,4)之间存在零点.故选：C5. 一个扇形地弧长为6,面积为6,则这个扇形地圆心角是（ ）A. 1 B. 2C. 3D. 4【结果】C 【思路】【思路】依据扇形地弧长公式和扇形地面积公式,列出方程组,即可求解,得到结果.【详解】设扇形所在圆地半径为r ,由扇形地弧长为6,面积为6,可得26162l r S r αα==⎧⎪⎨==⎪⎩,解得3α=,即扇形地圆心角为3rad .故选C.【点睛】本题主要考查了扇形地弧长公式,以及扇形地面积公式地应用,其中解答中熟练应用扇形地弧长公式和扇形地面积公式,准确运算是解答地关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.6. 福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸,全年全日船泊进出港不受航道及潮水地限制,是迄今为止“我国少有，福建最佳”地天然良港.如图,是港区某个泊位一天中6时到18时地水深变化曲线近似满足函数3sin()y x k ωϕ=++,据此可知,这段时长水深（单位：m ）地最大值为（ ）A. 5B. 6C. 8D. 10【结果】C 【思路】【思路】从图象中地最小值入手,求出5k =,进而求出函数地最大值,即为结果.【详解】从图象可以看出,函数3sin()y x k ωϕ=++最小值为-2,即当sin()1x ωϕ+=-时,函数得到最小值,即32k -+=,解得：5k =,所以3sin()5y x ωϕ=++,当sin()1x ωϕ+=时,函数得到最大值,max 358y =+=,这段时长水深（单位：m ）地最大值为8m.7. 若函数()()222,1log 1,1xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩在(],a -∞上地最大值为4,则a 地取值范围为（ ）A. []0,17B. (],17-∞C. []1,17D. [)1,+∞【结果】C 【思路】【思路】先分别探究函数()122,1xf x x =+≤与()()22log 1,1f x x x =->地单调性,再求()f x 地最大值.【详解】因为()122xf x =+在(],1-∞上单调递增,()()22log 1f x x =-在()1,+∞上单调递增.而()14f =,()174f =,所以a 地取值范围为[]1,17.【点睛】本题主要考查分段函数地最值以及指数函数,对数函数地单调性,属于中档题.8. 用函数()M x 表示函数()f x 和()g x 中地较大者,记为：()max{(),()}M x f x g x =,若()(0)f x x =≠,2()g x x -=,则()M x 地大约图像为（ ）A. B.C. D.【结果】A 【思路】【思路】利用特殊值确定正确选项.【详解】依题意()max{(),()}M x f x g x =,()()()21222214f g M -==⇒=>,排除CD 选项.()()()()21222214f g M ---=-=⇒-=>,排除B 选项.所以A 选项正确.9. 十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号,并逐步被数学界接受,不等号地引入对不等式地发展影响深远. 已知01a b <<<,则下面不等式成立地是（ ）A. 1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. ln ln a b> C.11a b> D.11ln ln a b>【结果】ACD 【思路】【思路】利用指数函数地单调性可判断A 选项。
2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案
2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案1.集合A和B分别表示y=x+1和y=2两个函数的图像上所有的点，求A和B的交集。
答案：A={(-∞,1]}。
B={2}。
A∩B=A={(-∞,1]}2.已知函数y=(1-x)/(2x^2-3x-2)，求函数的定义域。
答案：分母2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)，所以函数的定义域为x∈(-∞,-1/2]∪(2,∞)。
3.如果直线mx+y-1=0与直线x-2y+3=0平行，求m的值。
答案：两条直线平行，说明它们的斜率相等，即m=2.4.如果直线ax+by+c=0经过第一、第二，第四象限，求a、b、c应满足的条件。
答案：第一象限中x>0.y>0，所以ax+by+c>0；第二象限中x0，所以ax+by+c0.y<0，所以ax+by+c<0.综上所述，应满足ab<0.bc<0.5.已知两条不同的直线m和n，两个不同的平面α和β，判断下列命题中正确的是哪个。
答案：选项A是正确的。
因为如果m与α垂直，n与β平行，那么m和n的夹角就是α和β的夹角，所以m和n垂直。
6.已知圆锥的表面积为6π，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面半径。
答案：设底面半径为r，侧面的母线长为l，则圆锥的侧面积为πrl。
根据题意，πrl=6π，所以l=6/r。
而侧面展开图是一个半圆，所以底面周长为2πr，即底面直径为2r，所以侧面母线长l=πr。
将上述两个式子代入公式S=πr^2+πrl中，得到r=2.7.已知两条平行线答案：两条平行线的距离等于它们的任意一点到另一条直线的距离。
我们可以先求出l2上的一点，比如(0,7/8)，然后带入l1的方程，得到距离为3/5.8.已知函数y=ax-1/(3x^2+5)，如果它的图像经过定点P，求点P的坐标。
答案：点P的坐标为(1,2)。
因为当x=1时，y=a-1/8，所以a=17/8.又因为当x=2时，y=1/13，所以17/8×2-1/13=2，解得a=17/8，所以y=17x/8-1/(3x^2+5)，当x=1时，y=2.9.已知a=3/5，b=1/3，c=4/3，求a、b、c的大小关系。
2020-2021学年福建省宁德市高一上学期期末考试数学试题 Word版
福建省宁德市2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题(考试时间：120分钟试卷总分：150分)注意事项：1．答题前，考生务必将自己的校名、姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置上．2．全部答案在答题卡上完成，答在本卷上无效．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂．1. 命题2:,30p x R x∀∈+>，则p⌝为（）.A.2,30x R x∀∈+≤ B. 2,30x R x∃∈+>C.2,30x R x∀∈+< D. 2,30x R x∃∈+≤2. 函数()2lnf x x x=-的定义域是（）.A．(0,)+∞B．(0,2)C．(0,2]D．(,2)-∞3. 要得到函数()sin2f x x=的图象，可将函数()sing x x=的图像（）..A．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变B．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变C．横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变4. 已知0.622,0.6a b ==，0.6log 2c =则（ ）.A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>5. 已知不等式210mx mx ++>恒成立，则m 的取值范围为（ ）.A ．(0,4)B ．[0,4）C ．[0,4]D ．(,0](4,)-∞⋃+∞6. 设,x y R +∈,1,x y +=求14x y +的最小值为（ ）.A ．2B ．4C ．8D ．97．已知定义域为R的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且(2)0f =，则满足0)(xf x ≥的x的取值范围是（ ）.A ．,2][2,()-∞-+∞ B ．[2,2]- C ．[2,0)(0,2]-⋃ D ．[2,0][2,)-⋃+∞8．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是两底角为72的等腰三角形（另一种是两底角为36的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，512BC AC=. 根据这些信息，可得sin54︒=（ ）.A ．154B ．358+ C ．458+ D ．1254-二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．如果,,,a b c R a b ∈>，那么下列不等式正确的是（ ）.A ．33a b > B ．11a b > C ．22a b > D ．22ac bc > 10. 已知函数()f x x α=图像经过点(9,3)，则下列结论正确的有（ ）. A. ()f x 为偶函数 B. ()f x 为增函数C. 若1x >，则()1f x >D. 若120x x >>，则()()121222f x f x x xf ++⎛⎫>⎪⎝⎭11．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34(,)55P --，将角α的终边逆时针旋转090得到角β，则下列结论正确的是（ ）.A ．4tan 3α=B ．3cos 5β=-C ．()sin 1αβ-=-D．sin 4πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 12．已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不断，若存在常数()R λλ∈，使得()()0f x f x λλ++=对任意的实数x 恒成立，则称()f x 是回旋函数.给出下列四个命题中，正确的命题是（ ）.A ．函数()f x a =(其中a 为常数)为回旋函数的充要条件是1λ=-.B ．若函数()(1)xf x a a =>为回旋函数，则1λ>. C ．函数()cos πf x x=不是回旋函数.D ．若()f x 是2λ=的回旋函数，则()f x 在[0,2020]上至少有1010个零点.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13．计算21lg 25lg 4log 83++的值为 .14．已知半径为3的扇形面积为32π，则这个扇形的圆心角为 .15．函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如右图所示， 则ω= ；单调递减区间为 .16．已知1x 满足33x x e +=，2x 满足233x x e --=, 则12x x +=.（第15题图） 四、解答题：本题共6小题，共70分。
2019-2020学年人教A版福建省三明市高一第一学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷一、选择题1．函数f（x）＝ln（x﹣1）的定义域是（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（0，+∞）D．[0，+∞）2．用二分法求解方程e x+3x﹣8＝0近似解的过程中，设f（x）＝e x+3x﹣8，经计算得部分函数值近似值如表：x 1 1.25 1.5 2 2.25 f（x）﹣2.28 ﹣0.76 0.98 5.39 8.24 据此可以判断方程的根所在区间是（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．（2，2.25）3．若向量＝（2，4）与向量＝（x，6）垂直，则实数x＝（）A．12 B．﹣12 C．3 D．﹣34．已知幂函数f（x）＝x2m﹣1的图象经过点（2，8），则实数m的值是（）A．﹣1 B．C．2 D．35．已知函数f（x）＝，则f（1）＝（）A．0 B．1 C．2 D．36．在平面直角坐标系中，已知⊙O是以原点O为圆心，半径长为2的圆．设角x（rad）的顶点与原点重合，始边与横轴的非负半轴重合，终边与⊙O的交点为B，则点B的纵坐标y关于x的函数解析式为（）A．y＝tan x B．y＝sin x C．y＝2cos x D．y＝2sin x7．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，O是该平面上任意一点，设，则x﹣y＝（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．48．设函数f（x）＝3x，g（x）＝ax2﹣4x+2，若对任意x1≥0，总存在x2∈R，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的最大值是（）A．﹣4 B．2 C．4 D．16二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9．下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（）A．f（x）＝x与B．f（t）＝|t﹣1|与g（x）＝|x﹣1|C．f（x）＝x与D．与g（x）＝x﹣110．已知函数，则下列关于f（x）的判断正确的是（）A．在区间上单调递增B．最小正周期是πC．图象关于直线成轴对称D．图象关于点成中心对称11．设，是两个非零向量，则下列描述正确的有（）A．若|+|＝||﹣||，则存在实数λ使得＝λB．若⊥，则|+|＝|﹣|C．若|+|＝||+||，则在方向上的投影为||D．若存在实数λ使得＝λ，则|+|＝||﹣||12．已知函数f（x）＝方程|f（x）﹣1|＝2﹣m（m∈R），则下列判断正确的是（）A．函数f（x）的图象关于直线对称B．函数f（x）在区间（3，+∞）上单调递增C．当m∈（1，2）时，方程有2个不同的实数根D．当m∈（﹣1，0）时，方程有3个不同的实数根三、填空题13．已知f（x+1）＝x2+2x+3，则f（1）＝．14．计算＝．15．已知函数，则f（x）图象的一条对称轴方程是；当时，f（x）的值域为．16．使不等式log2x＜x2＜2x成立的x的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤2a+3}，B＝{x|1≤log2x≤2}．（1）当a＝0时，求A∩B；（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）＝log2（ax+2）．（1）若实数a满足32a﹣3a＝6，求f（2）的值；（2）若f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，求实数a的取值范围．19．在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝﹣2x上．（1）求tanα的值；（2）求的值．20．在△OBC中，点A是BC的中点，点D在线段OB上，且OD＝2DB，设＝，＝．（1）若||＝2，||＝3，且与的夹角为，求（2+）•（﹣）；（2）若向量与共线，求实数k的值．21．已知函数f（x）＝2x﹣2﹣x．（1）当x∈[﹣3，3]时，求f（x）的值域；（2）若对于任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．22．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为，若先把函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；（2）设函数φ（x）＝ag（x）﹣2cos2x+1（a∈R），试判断φ（x）在（0，2π）内的零点个数．参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．函数f（x）＝ln（x﹣1）的定义域是（）A．（1，+∞）B．[1，+∞）C．（0，+∞）D．[0，+∞）【分析】函数f（x）＝ln（x﹣1）的定义域为{x|x﹣1＞0}，由此能求出结果．解：函数f（x）＝ln（x﹣1）的定义域为：{x|x﹣1＞0}，解得{x|x＞1}，故选：A．2．用二分法求解方程e x+3x﹣8＝0近似解的过程中，设f（x）＝e x+3x﹣8，经计算得部分函数值近似值如表：x 1 1.25 1.5 2 2.25 f（x）﹣2.28 ﹣0.76 0.98 5.39 8.24 据此可以判断方程的根所在区间是（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5）C．（1.5，2）D．（2，2.25）【分析】由二分法及函数零点的判定定理可知．解：由表格可得，函数f（x）＝e x+3x﹣8的零点在（1.25，1.5）之间；结合选项可知，方程方程e x+3x﹣8＝0的根所在区间是（1.25，1.5）故选：B．3．若向量＝（2，4）与向量＝（x，6）垂直，则实数x＝（）A．12 B．﹣12 C．3 D．﹣3【分析】由向量与垂直便可得到，进行向量数量积的坐标运算便可得出关于x 的方程，解出x即可．解：∵；∴；即2x+24＝0；∴x＝﹣12．故选：B．4．已知幂函数f（x）＝x2m﹣1的图象经过点（2，8），则实数m的值是（）A．﹣1 B．C．2 D．3【分析】把点的坐标代入幂函数解析式，即可求出m的值．解：∵幂函数f（x）＝x2m﹣1的图象经过点（2，8），∴22m﹣1＝8，∴m＝2，故选：C．5．已知函数f（x）＝，则f（1）＝（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（1）＝f（3）＝log33，即可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝，则f（1）＝f（3）＝log33＝1；故选：B．6．在平面直角坐标系中，已知⊙O是以原点O为圆心，半径长为2的圆．设角x（rad）的顶点与原点重合，始边与横轴的非负半轴重合，终边与⊙O的交点为B，则点B的纵坐标y关于x的函数解析式为（）A．y＝tan x B．y＝sin x C．y＝2cos x D．y＝2sin x【分析】结合图象以及三角函数线的定义即可求解．解：因为⊙O是以原点O为圆心，半径长为2的圆．设角x（rad）的顶点与原点重合，始边与横轴的非负半轴重合，终边与⊙O的交点为B，则点B的纵坐标y关于x的函数解析式为y＝2sin x；故选：D．7．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，O是该平面上任意一点，设，则x﹣y＝（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【分析】由D，E分别是AB，AC的中点，由＝﹣2，求出x，y，再得到结论．解：D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，由＝﹣2所以x＝﹣2，y＝2，故x﹣y＝﹣4，故选：A．8．设函数f（x）＝3x，g（x）＝ax2﹣4x+2，若对任意x1≥0，总存在x2∈R，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的最大值是（）A．﹣4 B．2 C．4 D．16【分析】设g（x）＝ax2﹣4x+2的值域设为A，由指数函数的值域和题意可得[1，+∞）⊆A，讨论a＝0，a＞0，a＜0，求得g（x）的值域，计算可得所求a的最大值．解：函数f（x）＝3x，x≥0，可得f（x）的值域为[1，+∞），g（x）＝ax2﹣4x+2的值域设为A，若对任意x1≥0，总存在x2∈R，使得f（x1）＝g（x2），可得[1，+∞）⊆A，当a＝0时，可得A＝R，且[1，+∞）⊆A成立；当a＞0时，A＝[2﹣，+∞），由[1，+∞）⊆A，可得2﹣≤1，解得0＜a≤4；当a＜0时，A＝（﹣∞，2﹣]，则[1，+∞）⊆A不成立，综上可得0≤a≤4，即有a的最大值为4．故选：C．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9．下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（）A．f（x）＝x与B．f（t）＝|t﹣1|与g（x）＝|x﹣1|C．f（x）＝x与D．与g（x）＝x﹣1【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断是相同函数．解：对于A，函数f（x）＝x与g（x）＝＝|x|的解析式不同，表示相同函数；对于B，函数f（t）＝|t﹣1|的定义域为R，g（x）＝|x﹣1|的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于C，函数f（x）＝x的定义域为R，g（x）＝log22x＝x的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于D，函数f（x）＝＝x﹣1的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），g（x）＝x﹣1的定义域为R，定义域不同，不是相同函数．故选：BC．10．已知函数，则下列关于f（x）的判断正确的是（）A．在区间上单调递增B．最小正周期是πC．图象关于直线成轴对称D．图象关于点成中心对称【分析】根据正切函数的周期性，单调性和对称性分别进行判断即可．解：A．x∈⇒x+∈（，）；故单调递增；A正确B．函数f（x）的最小正周期是＝π，故B正确，C．正切函数没有对称轴，故C错误，D．令x+＝⇒x＝﹣，k∈Z；则f（x）图象关于点（，0）成中心对称，故D正确，故选：ABD．11．设，是两个非零向量，则下列描述正确的有（）A．若|+|＝||﹣||，则存在实数λ使得＝λB．若⊥，则|+|＝|﹣|C．若|+|＝||+||，则在方向上的投影为||D．若存在实数λ使得＝λ，则|+|＝||﹣||【分析】四个选项都出现了向量模之间的加减运算，所以考虑平方处理，整理后：A得出与共线且反向；B得出；C得出与同向；D也是与共线且反向，然后对每个选项逐一查验正误即可．解：A，对式子两边平方、变形得：，∴，而，∴，即与共线且反向，∴当λ＜0时，有＝λ，所以A正确；B，∵⊥，∴对|+|＝|﹣|两边平方、变形得：，因为，所以B正确；C，对式子两边平方、变形得：，所以即与同向，此时在方向上的投影并不一定为||，所以C错误；D，由A选项可知，只有当λ＜0时，才有|+|＝||﹣||，并不是存在λ使得＝λ，就有|+|＝||﹣||，所以D错误．故选：AB．12．已知函数f（x）＝方程|f（x）﹣1|＝2﹣m（m∈R），则下列判断正确的是（）A．函数f（x）的图象关于直线对称B．函数f（x）在区间（3，+∞）上单调递增C．当m∈（1，2）时，方程有2个不同的实数根D．当m∈（﹣1，0）时，方程有3个不同的实数根【分析】先画出函数f（x）的大致图象，即可判断A，B选项的正误，再画出函数y＝|f （x）﹣1|的大致图象，把方程|f（x）﹣1|＝2﹣m根的个数转化为函数y＝2﹣m与函数y＝|f（x）﹣1|的图象交点个即可判断．解：函数f（x）的大致图象如图所示：，显然函数f（x）的图象不关于直线x＝对称，故选项A错误，有图象可知函数f（x）在区间（3，+∞）上单调递增，故选项B正确，函数y＝|f（x）﹣1|的大致图象如图所示：，当m∈（1.2）时，0＜2﹣m＜1，此时函数y＝2﹣m与函数y＝|f（x）﹣1|的图象有2个交点，∴方程|f（x）﹣1|＝2﹣m有2个不同的实数根，故选项C正确，当m∈（﹣1，0）时，2＜2﹣m＜3，此时函数y＝2﹣m与函数y＝|f（x）﹣1|的图象有4个交点，∴方程|f（x）﹣1|＝2﹣m有4个不同的实数根，故选项D错误，故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知f（x+1）＝x2+2x+3，则f（1）＝ 3 ．【分析】根据题意，令x＝0可得：f（1）＝0+0+3＝3，即可得答案．解：根据题意，f（x+1）＝x2+2x+3，令x＝0可得：f（1）＝0+0+3＝3，即f（1）＝3；故答案为：314．计算＝．【分析】利用指数对数运算性质即可得出．解：原式＝+lg5（lg5+lg2）﹣lg5＝+lg5﹣lg5＝．故答案为：．15．已知函数，则f（x）图象的一条对称轴方程是；当时，f（x）的值域为[﹣，3] ．【分析】直接利用函数的性质的应用求出结果．解：①当x＝时，函数的值为3．②当时，所以，所以f（x）的值域为．故答案为：，16．使不等式log2x＜x2＜2x成立的x的取值范围是（0，2）∪（4，+∞）．【分析】分析y＝log2x，y＝x2，y＝2x函数图象，即可得到答案．解：不等式log2x＜x2＜2x，由于函数y＝log2x在（0，+∞）上单调递增，且经过（1，0），函数y＝x2在（0，+∞）上单调递增，且经过（1，1），函数y＝2x在（0，+∞）上单调递增，且经过（1，2），当x＞0时，函数y＝x2与y＝2x交点为（2，4），（4，16）如图，所以不等式成立的x的取值范围是（0，2）∪（4，+∞）．故答案为：（0，2）∪（4，+∞）．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤2a+3}，B＝{x|1≤log2x≤2}．（1）当a＝0时，求A∩B；（2）若A∩B＝B，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a＝0时，求出集合A，B，由此能求出A∩B．（2）由A∩B＝B，得B⊂A，由B＝{x|2≤x≤4}，又A＝{x|a﹣1≤x≤2a+3}，得，由此能求出实数a的取值范围．解：（1）当a＝0时，A＝{x|﹣1≤x≤3}，不等式1≤log2x≤2可化为log22≤log2x≤log24，则2≤x≤4，即B＝{x|2≤x≤4}，所以A∩B＝{x|2≤x≤3}．（2）因为A∩B＝B，所以B⊂A，由（1）知B＝{x|2≤x≤4}，又A＝{x|a﹣1≤x≤2a+3}，所以，解得．则实数a的取值范围是{a|}．18．已知函数f（x）＝log2（ax+2）．（1）若实数a满足32a﹣3a＝6，求f（2）的值；（2）若f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，求实数a的取值范围．【分析】（1）由已知结合二次方程可求3a的值，然后结合指数的运算可求a，进而可求；（2）结合一次函数与对数函数及复合函数的单调性可求a的范围．解：（1）因为32a﹣3a＝6，所以（3a﹣3）（3a+2）＝0，因为3a＞0，所以3a+2＞0，则3a﹣3＝0，解得a＝1，所以f（x）＝log2（x+2），因此f（2）＝2．（2）令t＝ax+2，则f（x）＝g（t）＝log2t，而g（t）＝log2t是（0，+∞）上的增函数，要使f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，则问题等价于t＝ax+2在区间（﹣∞，1）上单调递减，且t＞0在区间（﹣∞，1）上恒成立，所以，解得﹣2＜a＜0．故a的范围（﹣2，0）．19．在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝﹣2x上．（1）求tanα的值；（2）求的值．【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值．（2）由题意利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．解：（1）在直线y＝﹣2x上任取一点P（m，﹣2m）（m≠0），由已知角α的终边在直线y＝﹣2x上，所以．（2）由（1）知tanα＝﹣2，故＝﹣sinα•（﹣sinα）+1﹣2sinαcosα＝1+＝1+＝1+＝．20．在△OBC中，点A是BC的中点，点D在线段OB上，且OD＝2DB，设＝，＝．（1）若||＝2，||＝3，且与的夹角为，求（2+）•（﹣）；（2）若向量与共线，求实数k的值．【分析】（1）直接代入数量积的运算公式求解即可；（2）先分别求出向量与；再结合其共线即可求出结论．解：（1）因为|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为，所以，则．（2）由已知，，因为，，所以，，则，又因为与共线，所以存在实数λ使得，即，所以，因为a与b不共线，所以解得；所以实数k的值为．21．已知函数f（x）＝2x﹣2﹣x．（1）当x∈[﹣3，3]时，求f（x）的值域；（2）若对于任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（1）由单调性的定义判断f（x）在R上递增，计算可得f（x）的值域；（2）判断f（x）在R上为奇函数，运用参数分离和二次函数的最值求法，可得所求范围．解：设﹣∞＜x1＜x2＜+∞，则，因为x1＜x2，所以，即，又，所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数．（1）由上可知f（x）在区间[﹣3，3]上是增函数，所以f（x）在区间[﹣3，3]上最小值为，最大值为，因此f（x）的值域是；（2）因为f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）在R是上奇函数，所以不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＞0对于任意t∈R恒成立，等价于不等式f（t2﹣2t）＞f（k﹣2t2）对于任意t∈R恒成立，因为f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，所以问题等价于不等式t2﹣2t＞k﹣2t2对于任意t∈R恒成立，即3t2﹣2t＞k对于任意t∈R恒成立，设g（t）＝3t2﹣2t，则g（t）的最小值为，所以，所以k的取值范围是．22．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为，若先把函数y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；（2）设函数φ（x）＝ag（x）﹣2cos2x+1（a∈R），试判断φ（x）在（0，2π）内的零点个数．【分析】（1）根据其周期和对称中心即可求出函数f（x）的解析式；再结合图象之间的变化关系求出g（x）的解析式；（2）转化为h（t）＝﹣2t2+at+1在t∈[﹣1，1）的零点个数；结合余弦函数的图象即可求解解：（1）因为f（x）的周期为2，所以ω＝2，f（x）＝sin（2x+φ），又因为f（x）的图象的一个对称中心为，所以，因为0＜φ＜π，所以，所以，所以．（2）由（1）可知，φ（x）＝a cos x﹣2cos2x+1，设cos x＝t，因为x∈（0，2π），所以t∈[﹣1，1），则φ（x）＝at﹣2t2+1，设h（t）＝﹣2t2+at+1，t∈[﹣1，1），则h（0）＝1＞0，①当a＜﹣1或a＞1时，h（t）在（﹣1，1）内有唯一零点，这时，函数φ（x）在（0，2π）内有两个零点．②当﹣1＜a＜1时，h（t）在（﹣1，1）内有两个不等零点，这时，函数φ（x）在（0，2π）内有四个零点．③当a＝﹣1时，h（t）＝﹣2t2﹣t+1，由h（t）＝0，得或t＝﹣1，这时，函数φ（x）在（0，2π）内有三个零点．④当a＝1时，h（t）＝﹣2t2﹣t+1，由h（t）＝0，得或t＝﹣1（舍），这时，函数φ（x）在（0，2π）内有两个零点．综上可得，当a＜﹣1或a≥1时，φ（x）在（0，2π）内有两个零点；当a＝﹣1时，φ（x）在（0，2π）内有三个零点；当﹣1＜a＜1时，φ（x）在（0，2π）内有四个零点．。