组合数学第二章习题解答
(完整word版)组合数学课后答案
习题二证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。
证明：假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。
假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。
假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。
任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。
证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。
现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。
证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。
证明：有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。
由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。
又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。
因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。
因此只需找以上2个情况相同的点。
而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。
证明成立。
一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果证明：根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。
一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。
那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果证明：根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。
证明：在任意选取的n+2个正整数中存在两个正整数，其差或和能被2n整除。
（书上例题2.1.3）证明：对于任意一个整数，它除以2n的余数显然只有2n种情况，即：0，1，2，…，2n-2，2n-1。
组合数学卢开澄课后习题答案
组合数学卢开澄课后习题答案组合数学是一门研究离散结构和组合对象的数学学科，它广泛应用于计算机科学、统计学、密码学等领域。
卢开澄是中国著名的组合数学家，他的教材《组合数学》是该领域的经典之作。
在学习组合数学的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
下面我将为大家提供一些卢开澄课后习题的答案。
第一章：集合与命题逻辑1.1 集合及其运算习题1：设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B和A∩B的结果。
答案：A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,3}。
习题2：证明若A∩B=A∩C，且A∪B=A∪C，则B=C。
答案：首先，由A∩B=A∩C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。
然后，由A∪B=A∪C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。
综上所述，B=C。
1.2 命题逻辑习题1：将下列命题用命题变元表示：（1）如果今天下雨，那么我就带伞。
（2）要么他很聪明，要么他很勤奋。
答案：（1）命题变元P表示今天下雨，命题变元Q表示我带伞，命题可表示为P→Q。
（2）命题变元P表示他很聪明，命题变元Q表示他很勤奋，命题可表示为P∨Q。
习题2：判断下列命题是否为永真式、矛盾式或可满足式：（1）(P∨Q)→(P∧Q)（2）(P→Q)∧(Q→P)答案：（1）该命题为可满足式，因为当P为真，Q为假时，命题为真。
（2）该命题为永真式，因为无论P和Q取何值，命题都为真。
第二章：排列与组合2.1 排列习题1：从10个人中选取3个人，按照顺序排成一队，有多少种不同的结果？答案：根据排列的计算公式，共有10×9×8=720种不同的结果。
习题2：从10个人中选取3个人，不考虑顺序，有多少种不同的结果？答案：根据组合的计算公式，共有C(10,3)=120种不同的结果。
2.2 组合习题1：证明组合恒等式C(n,k)=C(n,n-k)。
答案：根据组合的计算公式可得C(n,k)=C(n,n-k)，因此组合恒等式成立。
组合数学-卢开澄-习题答案
第一章答案 第二章答案 第三章答案 第四章答案第一章答案1．(a) 45 ( {1,6},{2,7},{3,8},…,{45,50} )(b) 45⨯5+(4+3+2+1) = 235( 1→2~6, 2→3~7, 3→4~8, …,45→46~50, 46→47~50, 47→48~50, 48→49~50, 49→50 ) 2．(a) 5!8! (b) 7! P(8,5) (c) 2 P(5,3) 8! 3. (a) n!P(n+1, m) (b) n!(m+1)! (c) 2!((m+n-2)+1)! 4. 2 P(24,5) 20!5. 因首数字可分别为偶数或奇数，知结果为 2⨯5⨯P(8,2)+3⨯4⨯P(8,2).6. (n+1)!-17. 用数学归纳法易证。
8. 两数的公共部分为240530, 故全部公因数均形如2m 5n ,个数为41⨯31. 9. 设有素数因子分解 n=p 1n 11p 2 n 22…p k n k k , 则n 2的除数个数为( 2n 1+1) (2n 2+1) …(2n k +1).10．1）用数学归纳法可证n 能表示成题中表达式的形式；2）如果某n 可以表示成题中表达式的形式，则等式两端除以2取余数，可以确定a 1；再对等式两端的商除以3取余数，又可得a 2；对等式两端的商除以4取余数，又可得a 3；…；这说明表达式是唯一的。
11．易用C(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。
组合意义：右：从n 个不同元素中任取r+1个出来，再从这r+1个中取一个的全体组合的个数；左：上述组合中，先从n 个不同元素中任取1个出来，每一个相同的组合要生复 C(n-1,r) 次。
12．考虑,)1(,)1(1010-=-=+=+=∑∑n nk k k n nnk kk nx n x kC x x C 求导数后有令x=1, 即知.210-==∑n nk k n n kC13. 设此n 个不同的数由小到大排列后为a 1, a 2, …, a n 。
组合数学第2章答案
组合数学第2章答案2.1 求序列{0，1，8，27，…3n …}的母函数。
解：()()++++++=++++++=nn n x n x x x x G x a x a x a x a a x G 3323322102780()46414321313=+-+--==-----n n n n n n n a a a a a n a n a左右同乘再连加：464:0464:0464:0464:4321543211123455012344=+-+-=+-+-=+-+-=+-+-----------n n n n n n n n n n n n a a a a a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x母函数：()()42162036-+-=x x x x G2.2 已知序列()()3433{,,……()33,,n +……}，求母函数。
解：1(1)nx -的第k 项为：11()k n n +-- ，对于本题，n=4， ∴母函数为：41(1)x -2.3 已知母函数G （X ）=25431783x x x--+,求序列{ n a }解：G （X ）=)61)(91(783x x x +-+=)61()91(x Bx A ++-从而有： ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=-=+4778963B A B A B A G （X ）=)61(4)91(7x x +-+-G （X ）=7)999x (13322 ++++x x -4))6((-6)(-6)x (13322 +-+++x xn a =7*n )6(*49n -- 2.4．已知母函数239156xx x ---，求对应的序列{}n a 。
解：母函数为239()156x G x x x -=--39(17)(18)xx x -=+- A BG(x)17x 18xA(18x)B(17x)39x=++--++=-令 A B 38A +7B =9+=⎧⎨--⎩解得：A=2 B=1所以 ii i 0i 021G(x)2*(7x)(8x)17x 18x ∞∞===+=-++-∑∑n n n a 2*(7)8=-+2.5 设n n F G 2=，其中F n 是第n 个Fibonacci 数。
组合数学(第四版)课后习题答案
第2章 鸽巢原理2.4 练习题1、关于本节中的应用4，证明对于每一个=k 1，2，…，21存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完k 局棋（情形=k 21是在应用4中处理的情况）。
能否判断：存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完22局棋？证明：设i a 表示在前i 天下棋的总数若正好有i a =k ,则命题得证。
若不然,如下：∵共有11周，每天至少一盘棋，每周下棋不能超过12盘∴有 771≤≤i ，且13217721≤<<<≤a a a {}21,,2,1 ∈∀k 有kk a k a k a k +≤+<<+<+≤+13217721 观察以下154个整数：ka k a k a a a a +++77217721,,,,,,, 每一个数是1到k +132之间的整数，其中153132≤+k 由鸽巢原理，这154个数中至少存在两个相等的数∵7721,,,a a a 都不相等，k a k a k a +++7721,,, 都不相等∴j i ,∃，使i a =ka j +即这位国际象棋大师在第1+j ，2+j ，…，i 天总共下了k 盘棋。
综上所述，对于每一个=k 1，2，…，21存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完k 局棋。
□当k =22时，132+k =154，那么以下154个整数22,,22,22,,,,77217721+++a a a a a a在1到154之间。
ⅰ）若这154个数都不相同则它们能取到1到154的所有整数，必然有一个数是22∵2222>+i a ，771≤≤i ∴等于22的数必然是某个i a ，771≤≤i则在前i 天，这位国际象棋大师总共下了22盘棋。
ⅱ）若这154个数中存在相同的两个数∵7721,,,a a a 都不相等，k a k a k a +++7721,,, 都不相等∴j i ,∃，使i a =ka j +即这位国际象棋大师在第1+j ，2+j ，…，i 天总共下了k 盘棋。
应用组合数学第二章答案
7! 2!(7−2)!
=
7! 2!5!
and C (7, 5) =
7! 5!(7−5)!
=
7! 5!2! ;
8 7(b). C (6, 4) =
6! 4!(6−4)!
Answers to Selected Exercises =
6! 4!2!
and C (6, 2) =
6! 2!(6−2)!
=
6! 2!4! ;
n+1 2
× 3 × 10−9 . × 3 × 10−11 .
8(a). n × 3 × 10−11 . 8(b).
n+1 2
Section 2.5 . 1(a). 3 · 2; 1(b). 5 · 4 · 3; 1(c). 8 · 7 · 6 · 5 · 4; 1(d). 0; 2(a). 63 ; 2(b). 6 · 5 · 4; 2(c). 1 · 6 · 6; 2(d). 1 · 5 · 4; 3(a). 84 ; 3(b). 8 · 7 · 6 · 5; 3(c). 1 · 8 · 8 · 8;
8. 1 7 21 35 35 21 7 1; 9. C (5, 3) =
5! 3!2!
= 10, C (4, 2) =
4! 2!2!
= 6, C (4, 3) =
4! 3!1!
= 4, and 10 = 6 + 4; = 6, and 21 = 15 + 6;
10. C (7, 5) =
7! 5!2!
4
Answers to Selected Exercises
Applied Combinatorics
by Fred S. Roberts and Barry Tesman
组合数学习题解答
10! 种方式。 10
9! ,故两人不坐在一起的方式数为：9！-2*8！ 。 9
1.14. 求 1 到 10000 中，有多少正数，它的数字之和等于 5？又有多少数字之和小于 5 的整 数？ 解：(1)在 1 到 9999 中考虑，不是 4 位数的整数前面补足 0， 例如 235 写成 0235,则问题就变为求： x1+x2+x3+x4=5 的非负整数解的个数，故有 F（4，5）
1/2
2.5. 在图中，每个方格着红色或蓝色，证明至少存在两列有相同的着色。
解：每列着色的方式只可能有 2 2 4 种，现有 5 列，由鸽笼原理知，至少有二列着色方式 相同。 �����������������������������������������������
组合数学第二章课后习题答案
2.1题（陈兴）求序列{ 0，1，8，27，3n }的母函数。
解：由序列可得到32333()23n G x x x x n x =+++++因为23111n x x x x x =++++++- 2311()'12341n x x x nx x-=++++++-设 2311()()'23(1)1n np x x x x x n x nx x-==++++-+-2222221[()]'123(1)n n p x x x x n x n x --=+++++-+设 2223212()[()]'23(1)n nq x x p x x x x n x n x -==++++-+3323231[()]'123(1)n n q x x x n x n x --=++++-+ 3233313[()]'23(1)n n x q x x x x n x n x -=+++-+ 由以上推理可知[()]'x q x =,[7*94*(6)],n n +-所以可通过求得[()]'x q x 得到序列的母函数：32()4G x x x x =++2321()()[34(3)]6n H x F x dx x x n x +==++++⎰2.2题（陈兴）已知序列343,,,,333n ⎧+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎫⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎩，求母函数 解： 3*2*14*3*2(3)*(2)*(1)()3*2*13*2*13*2*1nn n n G x x +++=+++=1[3.2.1 4.3.2(3)(2)(1)]6n x n n n x ++++++211()()[3.2 4.3(3)(2)]6n F x G x dx x x n n x +==+++++⎰ 2321()()[34(3)]6n H x F x dx x x n x +==++++⎰3431()()[]6n I x H x dx x X x ++==++⎰因为23111n x x x x+=+++++-所以211()(1)61I x x x x=----所以31()[]'''61x G x x=-就是所求序列的母函数。
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1+ x G(x) = (1− x)4
2.13已知
an = ∑k ,
3 k=1
n+1
1+4x+ x2 ∞ =∑ n+1 3 xn ( ) 4 (1−x) n=0
求序列{an}的母函数
G(x) =1+(1+23)x+(1+23 +33)x2 +...+(1+23 +...+(n+1)3)xn +... G(x) =(1+ x+ x2 +...) +23 x(1+ x+ x2 +...) +...(n+1)3 xn(1+ x+ x2 +...) +...
2.25 分母展开求出an的递推关系，再求出bn的递推关系 将分母展开(1-x)(1+x-x2)=1-2x2+x3 因此an满足递推关系：an-2an-2+an-3=0,a0=4,a1=-3 an-an-1+an-1-an-2-an-2+an-3 = bn+bn-1-bn-2=0 b0=4,b1=-7,母函数为：
b +(b +b )x 0 1 0 4−3x = 1+ x − x2 1+ x − x2
G x) = (
2.26 逐项展开，两边合并。
2.27 求下列递推关系的一般解
(a)an-4an-1=5n
a −4 n−1 −5 n−1 +2 a −2 = 0 a a 0 n n a −9 n−1 +2 a −2 = 0 a 0 n n 特 方 的 为和 征 程 解 4 5 一 解 : r 4n +r 5n 般 为 1 2
2 n=0
∞
证明（1-3x+3x2-x3)G是一个多项式，并求母函数G
G=[x+2x2 +...+(n+1)xn+1 +...]'
x ( − x)2 +2x( − x) 1− x2 1 1 1+ x =[ ]' = = = ( − x)2 1 ( − x)4 1 ( − x)4 ( −x)3 1 1
2.7 G=1+2x2+3x4+4x6+...+(n+1)x2n+... 解：令t=x2代入上式 G=1+2t+3t2+4t3+...+(n+1)tn+... =1/(1-x)2 =1/(1-x2)2
2.11 an = (n +1) ,G= ∑anxn =1+4x +...+(n+1)2 xn +...
(k +n+1 k +n+1 )! C(k +1+n, k +1 = ) = C(k +n, k) n!(k +1 )! k +1 n =(1+ )C(k +n, k) k +1 x −k− 1 其 函 为1− x) 母 数 ( + [(1− x)−k−1]' = ( − x)−k−2 1 k +1
1 n [5 −(− )n ] 2 7 1
a
1 × × 2 [2 5n +5 (− )n ] 7 0 1 [2 5n +5 (− )n ] × × 2 7 0
a =a n
1 n [5 −(− )n ] 2 7 1
a
2.30
a = a2n−1a3n−2, a0 =1 a = 2 , 1 n
两 求 数 边 对 l a = 2l a −1 +3l a −2 n n n n n n 令 n =l a b n n b −2 n−1 −3 n−2 = 0 特 根 : r =3 r2 = − , b b , 征 为 1 , 1 n b +b n b −3 0 1 0 1 b b =l a = n n 3 − (− )n 1 n 4 4 n n 1 1 × 1 [3 −(− )n ] 1 [3 +3 (− )n ] = l a + l a n 0 n 1 4 4 =l a n
2.27 求下列递推关系的一般解
(e)an-4an-1=2×5n-3×4n
a −4 n−1 = 2×5n a n 的 解 h n, 代 替 关 特 为5 入 推 系 5 5 0 h n −4h n−1 = 2×5n, h =1 0 一 解 : r 4n +1 ×5n 般 为 1 a −4a −1 = − ×4n 3 n n 的 解 h 4n, 代 替 关 特 为n 入 推 系 h 4n −4h n−1 4n−1 = − ×4n, h = − n ( ) 3 3 一 解 : r 4n −3 4n 般 为 1 n
因此，m=k+1时成立
2.17 已知：
G(x) =1+2x+3x2 +...+(n+1)xn +...
证明：
(a)G = ( − x) 1
2 2 ∞ −4 ∞
= ∑ (n+3 3 xn C , )
n= 0 n
(b G = ∑ nx ,其 a = ∑ k +1 n+1−k) ) a 中n ( )(
n n= 0 k= 0
2.32(c)
1 n 3 1 a −a0 = 1 3 1 a2−a = 2 1 3 1 a3−a2 = 3 3 .................... an −an−1 = 1 n 3 1 1 1 a −a0 = + 2 +... + n n 3 3 3 an −an−1 = 1 1 1 − n× 1 1 1 3 +a0 =1− 1 +a0 a = + 2 +... + n +a0 = 3 3 n n 1 3 3 3 3 3
(1−3x+3x2 − x3)G= (1− x)3
1+ x =1+ x 3 (1−x)
2.12已知
an = ∑k ,
∞ = ∑(n+1)2 xn (1− x)3 n=0
求序列{an}的母函数
G(x) =1+(1+22)x+(1+22 +32)x2 +...+(1+22 +...+(n+1)2)xn +... G(x) =(1+ x+ x2 +...) +22 x(1+ x+ x2 +...) +...(n+1)2 xn(1+ x+ x2 +...) +...
[4 3 − × 4)n ] × n 3 ( 0
[4n − 3 n ] ( ) 1 [4n − 3 n ] ( ) 1
a
[4 3 − × 4)n ] × n 3 ( 0 [4 3 − × 4)n ] × n 3 ( 0
a =a n
[4n − 3 n ] ( ) 1
a
代 a =1 a = 2 入0 , 1 得 n =2 a
1 n [3 −(− )n ] 1 4 1
a
1 n [3 +3 (− )n ] × 1 4 0 1 n × 1 [3 +3 (− )n ] 4 0
a =a n
1 n [3 −(− )n ] 1 4 1
a
代 a0 =1 a = 2 入 , 1 得 n =2 a
1 n [3 −(− )n ] 1 4
2.31
a −4 n−1 = 0 a n 的 般 为 r 4n 一 解 : 1
特 为 5n, 代 得 解 k 入 k5n −4k5n−1 =5n,两 同 以 n−1 端 除 5 5 −4 =1 k =1 特 为 n k k , , 解 5
特 为 5 ,代 得 解 k n 入
n n k5 −4 5 − = 5 ,两 同 以 n− k n1 端 除 5 1 n 5 −4 =1 k = 5 特 为 n+1,因 一 解 k 4n +5 +1 k k , , 解 5 此 般 为1
第二章习题
2.3 已知序列{C(3,3),C(4,3),...,C(n+3,3),...},求母函数。
G x) =1+4x +10x2 +...+C(n+3 3 xn +... ( , ) =1+4x +10x2 +... +C(4+n−1 n)xn +... , = 1 ( − x)4 1
2.5 设Gn=F2n,证明：Gn-3Gn-1+Gn-2=0,n=2,3,4,...求Gn的母函数
按 加 理 叠 原 an −4an−1 = − ×4n 3 的 解 hn4n,代 替 关 特 为 入 推 系 hn4n −4h(n−1 4n−1 = − ×4n, h = − ) 3 3 一 解 : r4n −3 4n +10×5n 般 为 n
2.28
10 a = a3n−1a n−2 n
两 求 数 边 对 l a =3l a −1 +1 l a −2 n n n n 0n n 令 n =l a b n n b −3 n−1 −1 b −2 = 0 特 根 : r =5 r2 = − , b 0n , 征 为 1 , 2 n b −b (− ) n b −5 0 1 0 2 1 b b =l a = n n 5 − (− )n 2 n 7 7 1 1 × × 2 [5n − − )n ] ( 2 [2 5n +5 (− )n ] n 1 = l a + l a n 0 7 7 =l a n