课时跟踪检测(二十八) 直线与抛物线的位置关系及应用
课时跟踪检测（二十八） 直线与抛物线的位置关系及应用1．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于a 2＋2a ＋5(a ∈R)，则这样的直线( )A ．有且仅有1条B ．有且仅有2条C ．有1条或2条D ．不存在解析：选C |AB |＝x A ＋x B ＋p ＝a 2＋2a ＋5＝(a ＋1)2＋4≥4，而通径的长为4，所以有1条或2条．2．已知抛物线C ：x 2＝2py 的焦点为F ，过F 且倾斜角为60°的直线l 交C 于A ，B 两点，若|AB |＝16，则p ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．12解析：选A 抛物线C ：x 2＝2py 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，直线l ：y －p 2＝3x ，可得x ＝13⎝⎛⎭⎫y －p 2，代入抛物线方程，得y 2－7py ＋14p 2＝0，则y 1＋y 2＝7p ，|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝7p ＋p ＝16，解得p ＝2.3．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，则弦AB 的长为( ) A ．213 B ．215 C ．217D ．219解析：选B 设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由直线AB 斜率为－2，且过点(1,0)得直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，代入抛物线方程y 2＝8x ，整理得x 2－4x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，|AB |＝ 5·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5·16－4＝215.4．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4]解析：选C 准线为x ＝－2，Q (－2,0)，设l ：y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0. 当k ＝0时，x ＝0，即交点为(0,0)；当k ≠0时，Δ≥0，－1≤k ＜0或0＜k ≤1. 综上，k 的取值范围是[－1,1]．5．(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C交于M ，N 两点，则FM ―→·FN ―→＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选D 由题意知直线MN 的方程为y ＝23(x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.不妨设M (1,2)，N (4,4)． 又∵抛物线焦点为F (1,0)， ∴FM ―→＝(0,2)，FN ―→＝(3,4)． ∴FM ―→·FN ―→＝0×3＋2×4＝8.6．设抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，经过点P (2,1)的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则|AF |＋|BF |＝________.解析：分别过点A ，B ，P 作准线的垂线，垂足分别为M ，N ，Q ，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得|AF |＋|BF |＝|AM |＋|BN |＝2|PQ |＝8.答案：87．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是______．解析：设AB 的方程为x ＝my ＋4，代入y 2＝4x 得y 2－4my －16＝0，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－16，∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16m 2＋32，当m ＝0时，y 21＋y 22最小为32.答案：328．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为________.解析：假设抛物线方程为y 2＝2px ，则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，将x ＝p2代入y 2＝2px 可得y 2＝p 2，|AB |＝12，即2p ＝12，所以p ＝6，点P 在准线上，到AB 的距离为p ＝6，所以△ABP的面积为12×6×12＝36.答案：369．设直线y ＝2x ＋b 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，已知弦AB 的长为35，求b 的值．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，y 2＝4x ，消去y ，得4x 2＋4(b －1)x ＋b 2＝0.由Δ＞0，得b ＜12.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝1－b ，x 1x 2＝b 24.∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1－2b .∴|AB |＝1＋22|x 1－x 2|＝5·1－2b ＝35，∴1－2b ＝9，即b ＝－4.10．已知抛物线C ：y 2＝4x 焦点为F ，点D 为其准线与x 轴的交点，过点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，求△DAB 的面积S 的取值范围．解：抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，D (－1,0)，设过点F 的直线l ：x ＝ty ＋1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋1，y 2＝4x ，消去x, 整理得y 2－4ty －4＝0，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4， 所以S △DAB ＝12×|FD |×|y 2－y 1|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝16t 2＋16＝4t 2＋1≥4，故△DAB 的面积S 的取值范围为[4，＋∞)．1．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作斜率为3的直线，交抛物线于A ，B 两点，若AF ―→＝λFB ―→(λ>1)，则λ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选A 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与抛物线的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，可得3x 2－10x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝13(x 1>x 2)，因为|FA |＝x 1＋1，|FB |＝x 2＋1，所以λ＝|FA ||FB |＝x 1＋1x 2＋1＝443＝3. 2．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A ．334B ．938C ．6332D ．94解析：选D 易知抛物线中p ＝32，焦点F ⎝⎛⎭⎫34，0，直线AB 的斜率k ＝33，故直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎫x －34，代入抛物线方程y 2＝3x ，整理得x 2－212x ＋916＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝212.由抛物线的定义可得弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝212＋32＝12，结合图象可得O 到直线AB 的距离d ＝p 2·sin 30°＝38，所以△OAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝94. 3．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |＝2|FB |，则实数k 的值为( )A ．13B ．23C ．23D ．223解析：选D 由题知抛物线C ：y 2＝8x 的准线为l ：x ＝－2，直线y ＝k (x ＋2)(k >0)恒过定点P (－2,0)，如图，过A ，B 分别作AM ⊥l 于点M ，BN ⊥l 于点N ，由|FA |＝2|FB |，则|AM |＝2|BN |，点B 为AP 的中点，连接OB ，则|OB |＝12|AF |，所以|OB |＝|BF |，点B 的横坐标为1，故点B 的坐标为(1,22)，所以k ＝223.4．已知抛物线y 2＝4x 和点M (6,0)，O 为坐标原点，直线l 过点M ，且与抛物线交于A ，B 两点．(1)求OA ―→·OB ―→；(2)若△OAB 的面积等于1210，求直线l 的方程．解：(1)设直线l 的方程为x ＝my ＋6，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由x ＝my ＋6与抛物线y 2＝4x 得y 2－4my －24＝0，显然Δ>0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－24，x 1x 2＝36，可得OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝12.(2)因为S △OAB ＝12|OM |·|y 1－y 2|＝316m 2＋96＝12 m 2＋6＝1210，所以m 2＝4，m ＝±2.故直线l 的方程为x ＋2y －6＝0或x －2y －6＝0.5．已知点A ，B 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，且OA ⊥OB . (1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积； (2)求证：直线AB 过定点．解：(1)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则有k OA ＝y 1x 1，k OB ＝y 2x 2.因为OA ⊥OB ，所以k OA ·k OB ＝－1， 所以x 1x 2＋y 1y 2＝0. 因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，所以y 212p ·y 222p＋y 1y 2＝0.因为y 1≠0，y 2≠0，所以y 1y 2＝－4p 2，所以x 1x 2＝4p 2.(2)证明：因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝2p (x 1－x 2)，所以y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2，所以k AB ＝2py 1＋y 2，故直线AB 的方程为y －y 1＝2py 1＋y 2(x －x 1)， 所以y ＝2px y 1＋y 2＋y 1－2px 1y 1＋y 2，即y ＝2pxy 1＋y 2＋y 21－2px 1＋y 1y 2y 1＋y 2.因为y 21＝2px 1，y 1y 2＝－4p 2，代入整理得y ＝2pxy 1＋y 2＋－4p 2y 1＋y 2，所以y ＝2py 1＋y 2(x －2p )，即直线AB 过定点(2p,0)．6．(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP ―→＝3PB ―→，求|AB |.解：设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝⎛⎭⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32. 又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x 可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0， 则x 1＋x 2＝－12(t －1)9.从而－12(t －1)9＝52，得t ＝－78.所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP ―→＝3PB ―→可得y 1＝－3y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x 可得y 2－2y ＋2t ＝0，所以y 1＋y 2＝2， 从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3.代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13.故|AB |＝4133.。
高中数学 专题2.4.3 直线与抛物线的位置关系测试(含解析)新人教A版选修2-1(2021年整理)
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直线与抛物线的位置关系（时间：25分，满分55分）班级姓名得分一、选择题1．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点,若AB中点的横坐标为2，则k＝( ）A．2或－2 B．－1C．2 D．3[答案] C［解析] 由错误!得k2x2－4（k＋2)x＋4＝0，则错误!＝4，即k＝2.2．抛物线y＝14x2的焦点关于直线x－y－1＝0的对称点的坐标是( )A．(2，－1) B．(1,－1)C．(错误!，－错误!）D．（错误!，－错误!)［答案］A［解析] y＝错误!x2⇒x2＝4y，焦点为(0，1),其关于x－y－1＝0的对称点为（2,－1)．3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线交抛物线于A、B两点O为坐标原点，则错误!·错误!的值是( ）A．12 B．－12C．3 D．－3[答案］D4．过抛物线y2＝4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( ）A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在[答案］B[解析］由定义|AB｜＝5＋2＝7，∵｜AB｜min＝4,∴这样的直线有两条．5．已知AB是过抛物线2x2＝y的焦点的弦，若｜AB|＝4，则AB的中点的纵坐标是（）A．1 B．2C.错误!D．错误![答案］D[解析］如图所示，设AB的中点为P(x0，y0)，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为A′，Q，B′，由题意得｜AA′|＋|BB′｜＝｜AB|＝4，｜PQ｜＝错误!＝2,又|PQ|＝y0＋1，∴y0＋错误!＝2，∴y0＝错误!.86．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若错误!＋错误!＋错误!＝0，则｜错误!|＋｜错误!|＋|错误!|等于( ）A．9 B．6C．4 D．3[答案] B［解析] 设A、B、C三点坐标分别为(x1,y1)、(x2，y2）、(x3，y3)．由题意知F（1，0），因为错误!＋错误!＋错误!＝0，所以x1＋x2＋x3＝3.根据抛物线定义，有｜错误!|＋|错误!|＋｜错误!｜＝x1＋1＋x2＋1＋x3＋1＝3＋3＝6.故选B.二、填空题7．已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2 m时,量得水面宽8 m,当水面升高1米后，水面宽度是________m.［答案］4错误!8．已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，A在抛物线上,且|AF｜＝4，则|PA｜＋｜PO｜的最小值是__________________．[答案］2错误!9．已知P（4，2）是直线l被椭圆错误!＋错误!＝1截得线段的中点,则直线l的方程为________．解：线段两端点为A（x1,y1),B（x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4。
第7节 第2课时 直线与抛物线的位置关系--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第2课时直线与抛物线的位置关系课标解读考向预测1.会判断直线与抛物线的位置关系.2.会求直线与抛物线相交所得的弦长.3.能解决与抛物线的切线相关的简单几何问题.从近几年高考来看，直线与圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点，高考试题中加大了思维能力的考查，以及二级结论的考查，减少了对复杂运算的考查．预计2025年高考对直线与抛物线综合问题考查的难度会增加，平时应注意二级结论的应用.必备知识——强基础1．直线与抛物线的位置关系(1)直线与抛物线的三种位置关系(2)设直线l ：y ＝kx ＋m ，抛物线：y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x 的方程k 2x 2＋(2km －2p )x ＋m 2＝0.①若k ≠0，当Δ>0时，直线与抛物线04相交，有05两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线06相切，有07一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线08相离，09无交点．②若k ＝0，直线与抛物线10只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．因此，直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的11必要不充分条件．2．弦长问题设直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2·（y1＋y2）2－4y1y2(k为直线的斜率，k≠0)．3．抛物线的焦点弦问题若MN为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦(过焦点的弦)，则焦点弦长为|MN|＝12x1＋x2＋p(x1，x2分别为M，N的横坐标)．设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准方程形式下的弦长公式如下表．标准方程弦长公式y2＝2px(p>0)|AB|＝x1＋x2＋py2＝－2px(p>0)|AB|＝p－(x1＋x2)x2＝2py(p>0)|AB|＝y1＋y2＋px2＝－2py(p>0)|AB|＝p－(y1＋y2)4.抛物线的切线(1)过抛物线y2＝2px(p>0)上的点P(x1，y1)的切线方程是y1y＝p(x＋x1)．(2)抛物线y2＝2px(p>0)的斜率为k的切线方程是y＝kx＋p2k(k≠0)．抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝p1－cosα，|BF|＝p1＋cosα，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)；(3)1 |FA|＋1|FB|＝2p；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦，长度为2p；(8)过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点．设直线l1的倾斜角为α，则|AB |＝2psin 2α，|DE |＝2psin ＝2p cos 2α.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线l 的距离为2，则过点A (－1，0)恰有2条直线与抛物线C 有且只有一个公共点．()(2)已知过抛物线C ：y 2＝x 的焦点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，若直线l 垂直于x 轴，则|AB |＝1.()(3)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 的倾斜角为60°且经过点F .若l 与C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1x 2＝2.()答案(1)×(2)√(3)×2．小题热身(1)(人教A 选择性必修第一册3.3例4改编)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝()A ．83B ．163C ．5D ．33答案B解析由题意得，抛物线的焦点为F (1，0)，直线AB 的方程为y ＝3(x －1)．＝3（x －1），2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝103，所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝163.(2)(人教A 选择性必修第一册习题3.3T12改编)过定点P (0，1)且与抛物线y 2＝8x 有且仅有一个公共点的直线有________条．答案3解析当斜率不存在时，直线方程为x ＝0，只有一个公共点，符合题意；当斜率存在时，设直线方程为y ＝kx ＋1，＝kx ＋1，2＝8x ，得k 2x 2＋(2k －8)x ＋1＝0，当k ＝0时，直线方程为y＝1，只有一个公共点，符合题意；当k ≠0时，令Δ＝(2k －8)2－4k 2＝0，解得k ＝2，即直线与抛物线有一个公共点，符合题意．所以满足题意的直线有3条．(3)过点P (4，－3)作抛物线y ＝14x 2的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为________________．答案2x －y ＋3＝0解析设切点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又y ′＝12x ，则切线PA 的方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，即y ＝12x 1x －y 1，同理，切线PB 的方程为y ＝12x 2x －y 2，由P (4，－3)是PA ，PB 的交点可知，－3＝2x 1－y 1，－3＝2x 2－y 2，由两点确定一条直线，可得过A ，B 的直线方程为－3＝2x －y ，即2x －y ＋3＝0.(4)(2024·山东济南模拟)已知A ，B 为抛物线C ：x 2＝4y 上的两点，M (－1，2)，若AM →＝MB →，则直线AB 的方程为________________．答案x ＋2y －3＝0解析由题意知点M (－1，2)在抛物线内，且M (－1，2)是线段AB 的中点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，21＝4y 1，22＝4y 2，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝4(y 1－y 2)，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝－12，则直线AB 的方程为y －2＝－12(x ＋1)，即x ＋2y －3＝0.＋2y －3＝0，2＝4y ，消去y ，得x 2＋2x －6＝0，Δ＝22－4×(－6)＞0，故斜率为－12符合题意．因此直线AB 的方程为x ＋2y－3＝0.考点探究——提素养考点一抛物线的切线例1(1)过抛物线x 2＝4y 上一点(4，4)的抛物线的切线方程为()A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x ＋2y ＋4＝0答案A解析解法一：设切线方程为y －4＝k (x －4)．－4＝k （x －4），2＝4y⇒x 2＝4(kx －4k ＋4)⇒x 2－4kx ＋16(k －1)＝0，由Δ＝(－4k )2－4×16(k －1)＝0，得k 2－4k ＋4＝0.∴k ＝2.故切线方程为y －4＝2(x －4)，即2x －y －4＝0.解法二：由x 2＝4y ，得y ＝x 24，∴y ′＝x 2.∴y ′|x ＝4＝42＝2.∴切线方程为y －4＝2(x －4)，即2x －y－4＝0.(2)(2023·四川成都适应性考试)已知A ，B 为抛物线y ＝x 2上两点，以A ，B 为切点的抛物线的两条切线交于点P ，过点A ，B 的直线斜率为k AB ，若点P 的横坐标为13，则k AB ＝________．答案23解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，以A ，B 为切点的抛物线的切线斜率分别为k A ，k B ，由y ＝x 2，得y ′＝2x ，故k A ＝2x 1，k B ＝2x 2，所以切线PA 的方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即x 21－2x 1x ＋y ＝0.同理可得，切线PB 的方程为x 22－2x 2x ＋y ＝0.设点P 的坐标为(x 0，y 0)，所以x 21－2x 1x 0＋y 0＝0，x 22－2x 2x 0＋y 0＝0，所以x 1，x 2为方程x 2－2x 0x ＋y 0＝0的两根，故x 1＋x 2＝2x 0，x 1x 2＝y 0，则k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2＝2x 0＝23.【通性通法】求抛物线切线方程的方法方法一首先设出切线方程，然后与抛物线方程联立，利用判别式求解方法二首先求导得出切线的斜率，然后由点斜式得出切线方程方法三过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)的切线方程为y 0y ＝p (x ＋x 0)【巩固迁移】1．(多选)(2023·辽宁名校联考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的准线l 的方程为y ＝－1，过C 的焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，以A ，B 为切点分别作C 的两条切线，且两切线交于点M ，则下列结论正确的是()A ．C 的方程为x 2＝2yB ．∠AMB ＝90°C ．M 恒在l 上D ．|MF |2＝|AF |·|BF |答案BCD解析由题得－p2＝－1，所以p ＝2，因此C 的方程为x 2＝4y ，A 错误；由题意可知AB 的斜率存在，F (0，1)，设AB 的方程为y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，＝kx ＋1，2＝4y ，得x 2－4kx－4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.由y ＝14x 2得y ′＝12x ，所以AM 的斜率为k AM ＝12x 1，所以AM 的方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，即y －14x 21＝12x 1(x －x 1)①，同理BM 的斜率为k BM ＝12x 2，所以BM 的方程为y －14x 22＝12x 2(x －x 2)②，所以k AM ·k BM ＝14x 1x 2＝－1，即AM ⊥BM ，所以∠AMB＝90°，B 正确；由①②得(x 2－x 1)y ＝14x 1x 2(x 2－x 1)，因为x 1≠x 2，所以y ＝－1，将y ＝－1代入①②得x ＝x 2＋x 12＝2k ，所以点M 的坐标为(2k ，－1)，又C 的准线l 的方程为y ＝－1，所以M 恒在l 上，C 正确；当AB 的斜率k 不为零时，则k MF ＝－1－12k ＝－1k ，所以k AB ·k MF ＝－1，所以AB ⊥MF ，当AB 的斜率k ＝0时，点M 的坐标为(0，－1)，显然AB ⊥MF ，在Rt △ABM 中，由△AMF ∽△MBF 得|MF ||AF |＝|BF ||MF |，所以|MF |2＝|AF |·|BF |，D 正确．故选BCD.考点二焦点弦问题例2(1)(2024·河北邯郸模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |＝()A ．4B ．92C ．5D ．6答案B解析解法一：易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝k (x －1)．＝k （x －1），2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设点A ，B 的横坐标分别为x A ，x B ，则x A x B ＝1①，因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)，即x A ＝2x B ＋1②，由①②解得x A ＝2，x B ＝12，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92.解法二：由对称性，不妨设点A 在x 轴的上方，如图，设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ，则|AB |＝3m ，由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式，得|AB |＝2p sin 2θ＝92.解法三：因为|AF |＝2|BF |，所以1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ＝1，解得|BF |＝32，|AF |＝3，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92.(2)(多选)(2023·湖北鄂州市教学研究室期末)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，准线l 与y 轴的交点为D ，过点F 的直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，点O 为坐标原点．下列结论正确的是()A ．存在点A ，B ，使∠AOB ≤π2B ．|AB |的最小值为4C ．DF 平分∠ADBD ．若点M (2，3)是弦AB 的中点，则直线m 的方程为x －y ＋1＝0答案BCD解析抛物线C 的焦点F 的坐标为(0，1)，由题意分析可知，直线m 的斜率一定存在．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线m 的方程为y ＝kx ＋1，与抛物线C ：x 2＝4y 联立，得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 214·x 224＝－4＋1＝－3<0，所以∠AOB 为钝角，故A 错误；|AB |＝y 1＋y 2＋2＝kx 1＋1＋kx 2＋1＋2＝k (x 1＋x 2)＋4＝4k 2＋4≥4(当且仅当k ＝0时，等号成立)，故B 正确；因为点D (0，－1)，k DA ＋k DB ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2x 1＋kx 2＋2x 2＝2kx 1x 2＋2（x 1＋x 2）x 1x 2＝2k ×（－4）＋2×4kx 1x 2＝0，即直线DA 和直线DB 的倾斜角互补，所以DF 平分∠ADB ，故C 21＝4y 1，22＝4y 2，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝4(y 1－y 2)，因为点M (2，3)是弦AB 的中点，所以x 1＋x 2＝4，所以直线m 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1，所以直线m 的方程为x －y ＋1＝0，故D 正确．故选BCD.【通性通法】解决焦点弦问题的策略(1)利用抛物线的定义把过焦点的弦分成两个焦半径，然后转化为到准线的距离，再求解．(2)利用与抛物线焦点弦有关的二级结论求解．【巩固迁移】2．(2024·山东聊城质检)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F作斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，若弦AB的中点到抛物线准线的距离为3，则抛物线的方程为()A．y2＝125x B．y2＝245xC．y2＝12x D．y2＝6x 答案B解析因为直线l的方程为y＝即y＝2x－p，2＝2px，＝2x－p，消去y，得4x2－6px＋p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3p2，又因为弦AB的中点到抛物线准线的距离为3，所以|AB|＝6，而|AB|＝x1＋x2＋p，所以x1＋x2＝6－p，故3p2＝6－p，解得p＝125，所以抛物线的方程为y2＝245x.故选B.3．(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－3(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则()A．p＝2B．|MN|＝83C．以MN为直径的圆与l相切D．△OMN为等腰三角形答案AC解析对于A，直线y＝－3(x－1)过点(1，0)，所以抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，所以p2＝1，即p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x，A正确；对于B，不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1＞x2，＝－3（x－1），2＝4x，消去y并化简，得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝13，所以|MN|＝x1＋x2＋p＝3＋13＋2＝163，B错误；对于C，设MN的中点为A，M，N，A到直线l的距离分别为d1，d2，d，因为d＝12(d1＋d2)＝12(|MF|＋|NF|)＝12|MN|，即A到直线l的距离等于|MN|的一半，所以以MN为直径的圆与直线l相切，C正确；对于D，由上述分析可知y1＝－3×(3－1)＝－23，y2＝－3×＝233，所以|OM|＝32＋（－23）2＝21，|ON |＝133，所以△OMN 不是等腰三角形，D 错误．故选AC.考点三直线与抛物线的综合问题例3(2023·重庆统考模拟预测)如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，F 为其焦点，点A (2，y 0)在C 上，△OAF 的面积为4.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点P (m ，0)(m >0)作斜率为－1的直线l 1交抛物线C 于点M ，N ，直线MF 交抛物线C 于点Q ，以Q 为切点作抛物线C 的切线l 2，且l 2∥l 1，求△MNQ 的面积．解(1)由题意，可知抛物线C 的焦点将A (2，y 0)代入抛物线C 的方程，得y 20＝4p ，且p >0，则|y 0|＝2p ，因为△OAF 的面积为12×p 2×2p ＝p p 2＝4，解得p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)由(1)可得抛物线C 的方程为y 2＝8x ，焦点F (2，0)，设直线l 1：x ＝－y ＋m (m >0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 3，y 3)，＝－y ＋m ，2＝8x ，消去x ，得y 2＋8y －8m ＝0，则Δ＝64＋32m >0，可得y 1＋y 2＝－8，y 1y 2＝－8m ，因为点M (x 1，y 1)在抛物线上，则y 21＝8x 1，即x 1＝y 218，所以直线MF 的方程为x ＝x 1－2y 1y ＋2＝y 218－2y 1y ＋2＝y 21－168y 1y ＋2，＝y 21－168y 1y ＋2，2＝8x ，消去x ，得y 2＋16－y 21y 1y －16＝0，可得y 1y 3＝－16，即y 3＝－16y 1，则x 3＝y 21－168y 1×2＝32y 21，即因为l 2∥l 1，可设l 2：x ＝－y ＋n ，代入得32y 21＝16y 1＋n ，即n ＝32y 21－16y 1，所以l 2：x ＝－y ＋32y 21－16y 1，＝－y ＋32y 21－16y 1，2＝8x ，消去x ，得y 2＋8y ＋0，因为l 2为抛物线C 的切线，则Δ＝64－0，整理得y 21－8y 1＋16＝0，解得y 1＝4，又因为y 1＋y 2＝－8，y 1y 2＝－8m ，y 1y 3＝－16，可得y 2＝－12，m ＝6，y 3＝－4，即Q (2，－4)，l 1：x ＝－y ＋6，可得|MN |＝2×|4－(－12)|＝162，点Q (2，－4)到直线l 1：x ＋y －6＝0的距离d ＝|2－4－6|2＝42，所以S △MNQ ＝12|MN |·d ＝12×162×42＝64.【通性通法】解决直线与抛物线综合问题的策略(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线y 2＝2px 的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则一般用弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．【巩固迁移】4．(2023·甘肃张掖高台县第一中学统考期末)已知点A (x 0，－2)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上，且A 到C 的焦点F 的距离与到x 轴的距离之差为12.(1)求抛物线C 的方程；(2)当p <2时，M ，N 是C 上不同于点A 的两个动点，且直线AM ，AN 的斜率之积为－2，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点E ，使得|DE |为定值．解(1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为准线方程为x ＝－p2，又点A (x 0，－2)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上，即(－2)2＝2px 0，∴x 0＝2p ，即－依题意，可得2p ＋p 2－2＝12，解得p ＝1或p ＝4，∴y 2＝2x 或y 2＝8x .(2)证明：∵p <2，∴y 2＝2x ，A (2，－2)．设MN ：x ＝my ＋n ，2＝2x ，＝my ＋n ，消去x ，整理得y 2－2my －2n ＝0，Δ＝4m 2＋8n >0，(ⅰ)且y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2n ，∴k AM ·k AN ＝2y 1－2·2y 2－2＝－2，∴(y 1－2)(y 2－2)＝－2，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋6＝0，∴n ＋2m ＝3，适合(ⅰ)，将n ＝3－2m 代入x ＝my ＋n ，得x －3＝m (y －2)，－3＝0，－2＝0，＝3，＝2，∴直线MN 恒过定点Q (3，2)．又AD ⊥MN ，∴点D 在以AQ 为直径的圆上，∵A ，Q |AQ |＝（2－3）2＋（－2－2）2＝17，∴以AQ ＋y 2＝174，∴存在点使得|DE |＝172，为定值．课时作业一、单项选择题1．已知直线l 与抛物线x 2＝2py (p >0)只有一个公共点，则直线l 与抛物线的位置关系是()A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切答案D解析直线l 与抛物线的对称轴平行或直线l 与抛物线相切时只有一个公共点，所以D 正确．故选D.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若点C (x 1，0)与点D (x 2，0)关于直线x ＝32对称，则|AB |＝()A ．3B ．4C ．5D ．6答案C解析抛物线y 2＝4x ，∴p ＝2，过焦点F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋p 2＝x 2＋1，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2，又点C (x 1，0)与点D (x 2，0)关于直线x ＝32对称，则x 1＋x 2＝32×2＝3，∴|AB |＝3＋2＝5.3．(2023·四川资阳统考三模)已知抛物线C ：y 2＝8x ，过点P (2，－1)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若|AP |＝|BP |，则直线l 的斜率是()A ．－4B ．4C ．－14D ．14答案A解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，21＝8x 1，22＝8x 2，作差得y 21－y 22＝8(x 1－x 2)．因为|AP |＝|BP |，所以P 是线段AB 的中点，所以y 1＋y 2＝－2，则直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2＝－4.故选A.4.(2024·江西九江二模)青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，是中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为1cm ，瓷碗的轴截面可以近似看成是抛物线，碗里不慎掉落一根质地均匀、粗细相同且长度为22cm 的筷子，筷子的两端紧贴瓷碗内壁．若筷子的中点离桌面的最小距离为7cm ，则该抛物线的通径长为()A ．16B ．18C ．20D ．22答案C解析如图，建立平面直角坐标系，设抛物线为x 2＝2py (p >0)，焦点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵|AB |＝22，|AB |≤|AF |＋|BF |，∴y 1＋y 2＋p ≥22，设线段AB 的中点为M ，则2y M ＋p ≥22，由题意知，y M 的最小值为6，即12＋p ＝22，得p ＝10，∴该抛物线的通径长为2p ＝20.故选C.5．(2023·辽宁名校联考)过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，点A 处的切线与x ，y 轴分别交于点M ，N .若△MON (O 为坐标原点)的面积为12，则|AF |＝()A ．2B ．3C ．4D ．5答案A解析由题意可知，直线l 的斜率存在，且过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点F ，与其交于A ，B 两点，设，14a又y ＝14x 2，所以y ′＝x 2，所以点A 处的切线方程为y －14a 2＝a2(x －a )．令x ＝0，可得y ＝－14a 2，即，－14a令y ＝0，可得x ＝a 2，即因为△MON 的面积为12，所以12×|－14a 2|×|a2|＝12，解得a 2＝4，所以|AF |＝14a 2＋1＝2.故选A.6．(2023·河北石家庄模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，若AB 中点的纵坐标为2，且|AB |＝8，则p ＝()A ．1B ．2C ．3D ．4答案B解析设直线AB ：y ＝k ≠0.2＝2px ，＝得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p 24＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝k 2p ＋2p k2＝p ＋2p k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－p )＝2pk .由题可知，x 1＋x 2＋p ＝8，y 1＋y 22＝2，＋pk2＝4，2，＝1，＝2.故选B.7．(2023·湖北武汉模拟)已知抛物线x 2＝2py (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为()A ．y ＝－3B ．y ＝－32C ．x ＝－3D ．x ＝－32答案B解析根据题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 21＝2py 1①，x 22＝2py 2②，由①－②，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝2p (y 1－y 2)，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22p ，因为直线AB 的斜率为1，线段AB 中点的横坐标为3，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22p ＝3p ＝1，即p ＝3，所以抛物线的方程为x 2＝6y ，准线方程为y ＝－32.故选B.8．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为()A ．16B ．14C ．12D ．10答案A解析抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，则直线l 2的斜率为－1k ，故l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k (x －1)．2＝4x ，＝k （x －1），消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k 2.同理可得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝8＋4k 2＋4k 2≥8＋216＝16，当且仅当1k 2＝k 2，即k ＝±1时取等号．故|AB |＋|DE |的最小值为16.二、多项选择题9．(2023·广州模拟)已知点O 为坐标原点，直线y ＝x －1与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，则()A ．|AB |＝8B ．OA ⊥OBC ．△AOB 的面积为22D ．线段AB 的中点到直线x ＝0的距离为2答案AC解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为抛物线C ：y 2＝4x ，则p ＝2，焦点为(1，0)，则直线y ＝x －1过焦点．＝x －1，2＝4x ，消去y ，得x 2－6x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，y 1y 2＝(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝－4，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8，故A 正确；因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1－4＝－3≠0，所以OA 与OB 不垂直，故B 错误；原点到直线y ＝x －1的距离为d ＝12，所以△AOB 的面积为S ＝12|AB |·d ＝12×8×12＝22，故C 正确；因为线段AB 的中点到直线x ＝0的距离为x 1＋x 22＝62＝3，故D 错误．故选AC.10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为4，直线l 过点F 且与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若M (m ，2)是线段AB 的中点，则下列结论正确的是()A ．p ＝4B ．抛物线的方程为y 2＝16xC ．直线l 的方程为y ＝2x －4D ．|AB |＝10答案ACD解析由焦点F 到准线的距离为4，并根据抛物线的定义可知p ＝4，故A 正确；抛物线的方程为y 2＝8x ，故B 错误；因为焦点F (2，0)，y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，若M (m ，2)是线段AB 的中点，则y 1＋y 2＝4，所以y 21－y 22＝8x 1－8x 2，即y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2＝84＝2，所以直线l 的方程为y ＝2x －4，故C 2＝8x ，＝2x －4，得x 2－6x ＋4＝0，所以x 1＋x 2＝6，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋4＝10，故D 正确．故选ACD.三、填空题11．(2023·天津高考)过原点O 的一条直线与圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝3相切，交曲线y 2＝2px (p >0)于点P ，若|OP |＝8，则p 的值为________．答案6解析由题意得直线OP 的斜率存在．设直线OP 的方程为y ＝kx ，因为该直线与圆C 相切，所以|－2k |1＋k2＝3，解得k 2＝3.将直线方程y ＝kx 与曲线方程y 2＝2px (p >0)联立，得k 2x 2－2px＝0，因为k 2＝3，所以3x 2－2px ＝0，解得x ＝0或x ＝2p 3，设P (x 1，y 1)，则x 1＝2p3，又O (0，0)，所以|OP |＝1＋k 2|x 1－0|＝2×2p3＝8，解得p ＝6.12．(2024·陕西咸阳二模)过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若l的倾斜角为45°，则线段AB 的中点到x 轴的距离是________．答案3解析由题意，抛物线方程为x 2＝4y ，则F (0，1)，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1，将直线方程代入抛物线方程，整理，得x 2－4x －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，故线段AB的中点的横坐标为x 1＋x 22＝2，代入直线l 的方程，得y ＝3，∴线段AB 的中点到x 轴的距离是3.13．(2024·贵州遵义统考)已知抛物线x 2＝2y 上两点A ，B 关于点M (2，t )对称，则直线AB 的斜率为________．答案2解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程x 2＝2y ，21＝2y 1，22＝2y 2，则x 21－x 22＝2(y 1－y 2)①，因为A ，B 两点关于点M (2，t )对称，则x 1≠x 2，x 1＋x 2＝4，所以由①得y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22＝2，即直线AB 的斜率为2.14．(2023·山东鄄城三模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过A (－1，0)作抛物线C 的切线，切点为B ，|BF |＝3，则抛物线C 上的动点P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离与到y 轴的距离之和的最小值为________．答案32－2解析根据抛物线的对称性，不妨设B (x 0，y 0)(y 0>0)，由抛物线定义知，|BF |＝x 0＋p2＝3，∴x 0＝3－p2>0，∴p <6，∴y 0＝6p －p 2，当y >0时，y ＝2px ，∴y ′＝2p 2x ，∴2p23－p2＝6p －p 23－p 2＋1，解得p ＝0(舍去)或p ＝4或p ＝203(舍去)，则抛物线C 的方程为y 2＝8x ，焦点F (2，0)，准线方程为x ＝－2，焦点F (2，0)到直线l ：x －y ＋4＝0的距离d ＝|2－0＋4|12＋（－1）2＝32，抛物线C上的动点P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离与到y 轴的距离之和的最小值为32－2.四、解答题15．已知F 为抛物线T ：x 2＝4y 的焦点，直线l ：y ＝kx ＋2与T 交于A ，B 两点．(1)若k ＝1，求|FA |＋|FB |的值；(2)点C (－3，－2)，若∠CFA ＝∠CFB ，求直线l 的方程．解由已知得F (0，1)，设12＝kx ＋2，2＝4y ，得x 2－4kx －8＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，①x 1x 2＝－8.②(1)|FA |＋|FB |＝x 214＋1＋x 224＋1＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 24＋2.当k ＝1时，由①②，得|FA |＋|FB |＝10.(2)由题意可知，FA →1，x 214－FB →2，x 224－FC →＝(－3，－3)．由∠CFA ＝∠CFB ，得cos 〈FA →，FC →〉＝cos 〈FB →，FC →〉，即FA →·FC →|FA →||FC →|＝FB →·FC →|FB →||FC →|，又|FA |＝x 214＋1，|FB |＝x 224＋1，所以由FA →·FC →|FA →||FC →|＝FB →·FC→|FB →||FC →|，得4＋2(x 1＋x 2)－x 1x 2＝0，即4＋8k ＋8＝0，解得k ＝－32，所以直线l 的方程为3x ＋2y －4＝0.16．(2024·江西南昌等四地联考)已知直线l ：x －y ＋1＝0与抛物线C ：x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求p ；(2)设抛物线C 的焦点为F ，过点F 且与l 垂直的直线与抛物线C 交于E ，G 两点，求四边形AEBG 的面积．解(1)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，－y ＋1＝0，2＝2py ，可得x 2－2px －2p ＝0，易得Δ＝4p 2＋8p >0，所以x A ＋x B ＝2p ，x A x B ＝－2p ，则|AB |＝2×（x A ＋x B ）2－4x A x B ＝22×p 2＋2p ＝8，即p 2＋2p －8＝0，因为p >0，所以p ＝2.(2)由题意可得抛物线C 的焦点为F (0，1)，直线EG 的方程为x ＋y －1＝0.＋y －1＝0，2＝4y ，化简可得x 2＋4x －4＝0，则Δ＝16＋16>0，设E (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2－(x 1＋x 2)＝6，则|EG |＝y 1＋y 2＋p ＝8，因为AB ⊥EG ，所以S 四边形AEBG ＝12|AB |·|EG |＝12×8×8＝32.17．(多选)(2023·云南昆明模拟)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，O 为坐标原点，过F 的直线与C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则()A ．∠AOB 可能为直角B ．x 1x 2为定值C ．若与抛物线C 分别相切于点A ，B 的两条切线交于点N ，则点N 在抛物线C 的准线上D ．以BF 为直径的圆与y 轴有两个交点答案BC解析设直线l AB ：x ＝ty ＋1，与y 2＝4x 联立并消去x ，得y 2－4ty －4＝0，y 1y 2＝－4，则x 1x 2＝y 21y 2216＝1，故B 正确；因为x 1x 2＝1，所以k OA ·k OB ＝y 1y 2x 1x 2≠－1，所以∠AOB ≠π2，故A 不正确；设N (x 0，y 0)，由y 2＝4x ，得y ＝±2x ，所以y ′＝±1x ，因为AN ，BN 均为切线，设k AN ＝1x 1，k BN ＝－1x 2，则AN 的方程为y －y 1＝1x 1(x －x 1)，化简，得yy 1－2x －2x 1＝0，BN 的方程为y －y 2＝－1x 2(x －x 2)，化简，得yy 2－2x －2x 2＝0，因为AN 与BN 的交点为N (x 0，y 0)，所以y 0y 1－2x 0－2x 1＝0，y 0y 2－2x 0－2x 2＝0，则直线AB 的方程为y 0y －2x 0－2x ＝0，由于直线AB 过点F (1，0)，所以x 0＝－1，又因为抛物线C 的准线方程为x ＝－1，所以点N 在抛物线C 的准线上，故C 正确；设BF 的中点，|BF |2＝1＋x 22，则以BF 为直径的圆与y 轴相切，故D 不正确．故选BC.18．(多选)(2023·河北秦皇岛模拟)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点A (1，－4)作两条相互垂直的直线，与C 的另外两个交点分别为M ，N ，则()A ．C 的准线方程是x ＝－4B ．过C 的焦点的最短弦长为8C ．直线MN 过定点(0，4)D ．当点A 到直线MN 的距离最大时，直线MN 的方程为2x ＋y －38＝0答案AD解析将A (1，－4)代入C 的方程中，得p ＝8，所以C 的方程为y 2＝16x ，所以C 的准线方程是x ＝－4，故A 正确；当过C 的焦点且与x 轴垂直时弦长最短，此时弦长为16，故B 不正确；设y y 直线MN 的方程为x ＝my ＋n ，将直线MN 的方程代入C 的方程，得y 2－16my －16n ＝0，所以y 1＋y 2＝16m ，y 1y 2＝－16n .因为AM ⊥AN ，所以AM →·AN →＝1，y 1＋1，y 2＋＝（y 21－16）（y 22－16）256＋(y 1＋4)(y 2＋4)＝0.因为y 1≠－4，y 2≠－4，所以(y 1＋4)(y 2＋4)≠0，所以（y 1－4）（y 2－4）256＋1＝0，整理得y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋272＝0，所以－16n －64m ＋272＝0，得n ＝－4m ＋17，所以直线MN 的方程为x ＝m (y －4)＋17，所以直线MN 过定点P (17，4)，故C 不正确；当MN ⊥AP 时，点A 到直线MN 的距离最大，此时直线MN 的方程为2x ＋y －38＝0，故D 正确．19．(2023·河北石家庄三模)已知M ，N 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上不同两点，O 为坐标原点，OM ⊥ON ，过O 作OH ⊥MN 于H ，且点H (2，2)．(1)求直线MN 的方程及抛物线C 的方程；(2)若直线l 与直线MN 关于原点对称，Q 为抛物线C 上一动点，求点Q 到直线l 的距离最短时，点Q 的坐标．解(1)如图，由点H (2，2)，得直线OH 的斜率为1，又OH ⊥MN ，则直线MN 的斜率为－1，故直线MN 的方程为y －2＝－(x －2)，整理，得直线MN 的方程为x ＋y ＝4.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，＋y ＝4，2＝2px ，得y 2＋2py －8p ＝0，1＋y 22p ，1y 2＝－8p ，由OM ⊥ON ，得OM →·ON →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝y 21y 224p2＋y 1y 2＝0，因为y 1y 2≠0，所以y 1y 2＝－4p 2，所以－4p 2＝－8p ，解得p ＝2，故抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设点A (x ，y )是直线l 上任一点，则点A 关于原点的对称点A ′(－x ，－y )在直线MN 上，所以－x ＋(－y )＝4，即直线l 的方程为x ＋y ＝－4.设点Q (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0，点Q 到直线l 的距离d ＝|x 0＋y 0＋4|2＝|y 204＋y 0＋4|2＝（y 0＋2）2＋1242，当y 0＝－2时，d 取得最小值322，此时Q (1，－2)．20．(2023·辽宁沈阳模拟)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线l 1，l 2，且l 1与l 2交于点M .(1)求p 的值；(2)若l 1⊥l 2，求△MAB 面积的最小值．解(1)由题意知，准线方程为y ＝－p 2，焦点到准线的距离为2，即p ＝2.(2)由(1)知，抛物线的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，所以y ′＝12x ，设12l 1：y －x 214＝x 12(x －x 1)，l 2：y －x 224＝x 22(x －x 2)，由于l 1⊥l 2，所以x 12·x 22＝－1，即x 1x 2＝－4.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线的方程联立，＝kx ＋m ，2＝4y ，消去y ，得x 2－4kx －4m＝0，Δ＝16k 2＋16m >0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ＝－4，所以m ＝1，即直线l ：y ＝kx ＋1，此时Δ＝16k 2＋16>0.＝x 12x －x 214，＝x 22x －x 224，＝2k ，＝－1，即M (2k ，－1)．点M 到直线l 的距离d ＝|k ·2k ＋1＋1|1＋k 2＝21＋k 2，|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝4(1＋k 2)，所以S ＝12×4(1＋k 2)×21＋k 2＝4(1＋k 2)32≥4，当k ＝0时，△MAB 的面积取得最小值4.。
直线与抛物线的位置关系含答案解析
直线与抛物线的位置关系专题训练一、单选题(共6 分)1“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据直线与抛物线的位置关系可得答案【详解】“直线与抛物线相切”可得“直线与抛物线只有一个公共点”“直线与抛物线只有一个公共点”时直线可能与对称轴平行此时不相切故“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件故选：A2直线y=k(x−1)+2与抛物线x2=4y的位置关系为（）A相交B相切C相离D不能确定【答案】A【分析】直线y=k(x−1)+2过定点(1,2)在抛物线x2=4y内部即可得出结论．【详解】直线y=k(x−1)+2过定点(1,2)∵12<4×2∴(1,2)在抛物线x2=4y内部∴直线y=k(x−1)+2与抛物线x2=4y相交故选：A．二、填空题(共9 分)3直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点则k=________【答案】0或1【分析】当k=0时直线为y=2与抛物线对称轴平行故只有一个交点当k≠0时将y=kx+2代入抛物线y2=8x用判别式法求解【详解】当k=0时直线为y=2与抛物线只有一个交点(12,2)当k≠0时将y=kx+2代入抛物线y2=8x得：k2x2+(4k−8)x+4=0因为直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点所以Δ=(4k−8)2−16k2=0解得k=1综上：k=0或k=1故答案为：0或1【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的应用还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力属于基础题4过抛物线x2=4y上一点(4,4)的抛物线的切线方程为________【答案】y=2x−4【分析】解法一：设切线方程为y−4=k(x−4)联立切线方程与抛物线方程由Δ=0得k=2则切线方程可求解法二：利用导数的几何意义直接可求切线斜率再由点斜式方程求得答案【详解】解法一：设切线方程为y−4=k(x−4)．由{y−4=k(x−4)x2=4y⇒x2=4(kx−4k+4)⇒x2−4kx+16(k−1)=0由Δ=(−4k)2−4×16(k−1)=0得k2−4k+4=0∴k=2故切线方程为y−4=2(x−4)即y=2x−4故答案为：y=2x−4解法二：由x2=4y得y=x24∴y′=x2∴y′|x=4=42=2∴切线方程为y−4=2(x−4)即y=2x−4故答案为：y=2x−45过点P(2,−1)作抛物线C:x2=2y的两条切线切点分别为AB则直线AB的方程为___________【答案】2x−y+1=0【分析】利用导数的几何意义求出切线方程再利用直线方程的相关知识即可求出【详解】抛物线C:x2=2y可写成：y=x22且y′=x设A(x1,y1),B(x2,y2)则两条切线的斜率分别为k1=x1,k2=x2两条切线的方程为：y−y1=x1(x−x1)y−y1=x1(x−x1)又两条切线过点P(2,−1)所以−1−y1=x1(2−x1)−1−y1=x1(2−x1)所以直线AB的方程为：−1−y=x(2−x)又x2=2y所以直线AB的方程为：2x−y+1=0故答案为：2x−y+1=0三、多选题(共3 分)6已知点O为坐标原点直线y=x−1与抛物线C:y2=4x相交于A,B两点则（）A|AB|=8B OA⊥OBC△AOB的面积为2√2D线段AB的中点到直线x=0的距离为2【答案】AC【分析】先判断直线过焦点联立方程组{y =x −1y 2=4x结合韦达定理得两根关系再根据选项一一判断即可．【详解】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)抛物线C:y 2=4x 则P =2 焦点为(1,0)则直线y =x −1过焦点； 联立方程组{y =x −1y 2=4x消去y 得x 2−6x +1=0 则x 1+x 2=6,x 1x 2=1y 1y 2=(x 1−1)(x 2−1)=x 1x 2−(x 1+x 2)+1=−4所以|AB |=x 1+x 2+P =6+2=8 故A 正确；由OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =x 1x 2+y 1y 2=1−4=−3≠0所以OA 与OB 不垂直B 错； 原点到直线y =x −1的距离为d =√2=√2所以△AOB 的面积为S =12×d ×|AB |=12×√2×8=2√2 则C 正确；因为线段AB 的中点到直线x =0的距离为x 1+x 22=62=3故D 错故选：AC 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题要注意直线是否过抛物线的焦点若过抛物线的焦点可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p 若不过焦点则必须用一般弦长公式． 四、填空题(共 3 分)7过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A,B 两点若|AF |=3则|BF |=______ 【答案】32 【详解】设∠AFx ＝θ则由抛物线的定义知x A ＋1＝2＋3cos θ＝3得cos θ＝13 又|BF|＝x B ＋1＝1－|BF|cos θ＋1＝2－13|BF|∴|BF|＝32五、单选题(共 9 分)8过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A,B 两点若AB 的中点M 的横坐标为2则线段AB 的长为（ ） A 4 B 5 C 6 D 7【答案】C 【分析】结合抛物线的弦长公式求得正确答案 【详解】设点A,B 的横坐标分别为x 1,x 2则x 1+x 2=2x M =4由过抛物线的焦点的弦长公式知：|AB |=x 1+x 2+p =4+2=6 故选：C9已知抛物线C ：x 2=2py (p >0)的焦点为F 过点F 且倾斜角为45°的直线交抛物线C 于A 、B 若|AB |=9则抛物线C 的方程为（ ） A x 2=3y B x 2=12yC x 2=92yD x 2=16y【答案】C 【分析】设出直线方程然后联立直线方程与抛物线方程借助韦达定理以及过焦点的弦长公式可求出p【详解】由已知得直线AB的方程为y=x+p2联立方程组{y=x+p2,x2=2py消去x得y2−3py+p24=0设A(x1,y1)B(x2,y2)由韦达定理知y1+y2=3p因为|AB|=9所以y1+y2+p=9所以4p=9即p=94所以所求抛物线C的方程为x2=92y故选：C10设F为抛物线C:y2=3x的焦点过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点O为坐标原点则△OAB的面积为A3√34B9√38C6332D94【答案】D 【分析】【详解】由题意可知：直线AB的方程为y=√33(x−34)代入抛物线的方程可得：4y2−12√3y−9=0设A(x1,y1)、B (x2,y2)则所求三角形的面积为12×34×√(y1+y2)2−4y1y2= 94故选D考点：本小题主要考查直线与抛物线的位置关系考查两点间距离公式等基础知识考查同学们分析问题与解决问题的能力六、填空题(共3 分)11已知直线y=(a+1)x−1与曲线y2=ax恰有一个公共点则实数a的值为________【答案】0或−1或−45【分析】根据给定条件联立方程利用方程组有解求解即得【详解】当a=0时曲线y2=ax为直线y=0显然直线y=x−1与y=0有唯一公共点(1,0)因此a=0；当a≠0时由{y=(a+1)x−1y2=ax消去y并整理得：(a+1)2x2−(3a+2)x+1=0当a=−1时x=−1,y=−1直线y=−1与曲线y2=−x有唯一公共点(−1,−1)因此a=−1；当a≠0且a≠−1时Δ=(3a+2)2−4(a+1)2=5a2+4a=0则a=−45此时直线y=15x−1与曲线y2=−45x相切有唯一公共点因此a=−45所以实数a的值为0或−1或−45故答案为：0或−1或−45七、多选题(共3 分)12已知抛物线Γ：x2=2py(p>0)过其准线上的点T(t,−1)作的两条切线切点分别为AB下列说法正确的是（）A p=2B当t=1时TA⊥TBC当t=1时直线AB的斜率为2D△TAB面积的最小值为4【答案】ABD【分析】选项A：由点T(t,−1)在准线上可求出p从而可判断；选项B：设直线y+1=k(x−1)与抛物线方程联立由韦达定理可判断；选项C：设A(x1,y1)B(x2,y2)分别求出TATB方程根据方程结构可判断；选项D：先同C求得直线AB的方程y=t2x+1再表达出△TAB的面积关于t的表达式进而求得面积的最大值即可【详解】对A易知准线方程为y=−1∴p=2C：x2=4y故选项A正确对B设直线y+1=k(x−1)代入y=x 24得x24−kx+k+1=0当直线与C相切时有Δ=0即k2−k−1=0设TATB斜率分别为k1k2易知k1k2是上述方程两根故k1k2=−1故TA⊥TB故选项B正确对C设A(x1,y1)B(x2,y2)其中y1=x124y2=x224则TA：y−x124=x12(x−x1)即y=x12x−y1代入点(1,−1)得x1−2y1+2=0同理可得x2−2y2+2=0故AB：x−2y+2=0故k AB=12故选项C不正确对D同C切线方程TA：y=x12x−y1；TB：y=x22x−y2代入点(t,−1)有−1=x12t−y1−1=x2 2t−y2故直线AB的方程为−1=x2t−y即y=t2x+1联立x2=4y有x2−2tx−4=0则x1+x2=2t,x1x2=−4故|x1−x2|=√(x1+x2)2−4x1x2=2√t2+4又(t,−1)到tx−2y+2=0的距离d =2√t 2+4=√t 2+4故S △TAB =12√1+t 24|x 1−x 2|d =12(t 2+4)32故当t =0时△TAB 的面积小值为12×432=4故D 正确；故选：ABD八、填空题(共 3 分)13在平面直角坐标系xOy 中直线y =kx +4交抛物线C ：x 2=4y 于AB 两点交y 轴于点Q 过点AB 分别作抛物线C 的两条切线相交于点M 则以下结论：①∠AOB = 90°；②若直线MQ 的斜率为k 0有kk 0=−8；③点M 的纵坐标为−4；④∠AMB =90°．其中正确的序号是______________． 【答案】①③ 【分析】设A （x 1,y 1）B （x 2,y 2）利用导数求出切线AM 、BM 的方程求出M (x 1+x 22,x 1x 24)利用“设而不求法”得到x 1+x 2=4kx 1x 2=−16即可得到M(2k,−4)可判断③正确；由OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ·OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0判断①正确；直接计算出k MQ k =−4可判断②；k MA ·k MB =−4≠0可判断④ 【详解】设A （x 1,y 1）B （x 2,y 2）则由y =x 24可得：y ′=x2所以k AM =x 12直线AM 方程为y −x 124=x 12(x −x 1)；同理直线BM 方程为y =x 22x −x 224解得M (x 1+x 22,x 1x 24)将y =kx +4代入x 2=4y =4(kx +4)⇒x 2−4kx −16=0⇒x 1+x 2=4kx 1x 2=−16∴M(2k,−4)故③正确； 因为OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ·OB⃑⃑⃑⃑⃑ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(x 1x 2)216=0故∠AOB =90°故①正确； 由k MQ =−82k=−4k ⇒k MQ k =−4故②错误；由k MA ·k MB =14x 1x 2=−4≠0可知∠AMB ≠90°④错误． 故答案为：①③ 【点睛】解析几何问题常见处理方法：(1)正确画出图形利用平面几何知识运算； (2)坐标化把几何关系转化为坐标运算． 九、单选题(共 3 分)14已知线段AB 是过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F 的一条弦过点A （A 在第一象限内）作直线AC 垂直于抛物线的准线垂足为C 直线AT 与抛物线相切于点A 交x 轴于点T 给出下列命题：（1）∠AFx =2∠TAF ； （2）|TF |=|AF |； （3）AT ⊥CF 其中正确的命题个数为 A 0 B 1 C 2 D 3【答案】D 【分析】根据抛物线的定义得到|AF |=|AC |然后判断出过A 点的抛物线的切线垂直CF 进而判断出三个命题正确 【详解】根据抛物线的定义可知|AF |=|AC |由于AC 垂直抛物线的准线所以AC//x 轴 所以∠AFx =∠CAF设A (y 022p ,y 0)则C (−p 2,y 0),F (p2,0)设D 是CF 的中点则D (0,y02)所以直线AD 的方程为y −y 02=y 0−y02y 022p−0(x −0)即y =py 0x +y 02由{y =py 0x +y 02y 2=2px消去y 并化简得p 2y 02x 2−px +y 024=0其判别式Δ=p 2−4×p 2y 02×y 024=0所以直线AD 与抛物线相切故直线AD 与直线AT 重合由于D 是CF 的中点所以AD ⊥CF 也即AT ⊥CF 命题（3）成立根据等腰三角形的性质可知∠CAF =2∠TAF 所以∠AFx =2∠TAF 命题（1）成立 由于AC//x 轴所以∠CAT =∠FTA所以∠FTA =∠TAF 所以|TF |=|AF |命题（2）成立 综上所述正确的命题个数为3个 故选：D 【点睛】本小题主要考查抛物线的定义和抛物线的切线方程属于中档题 十、多选题(共 3 分)15已知抛物线C:y 2=2px (p >0)的焦点为F 直线的斜率为√3且经过点F 直线l 与抛物线C 交于点A 、B 两点（点A 在第一象限）与抛物线的准线交于点D 若|AF |=8则以下结论正确的是 A p =4 B DF ⃑⃑⃑⃑⃑ =FA⃑⃑⃑⃑⃑ C |BD |=2|BF |D |BF |=4【答案】ABC 【分析】作出图形利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误 【详解】 如下图所示：分别过点A 、B 作抛物线C 的准线m 的垂线垂足分别为点E 、M抛物线C 的准线m 交x 轴于点P 则|PF |=p 由于直线l 的斜率为√3其倾斜角为60∘ ∵AE//x 轴∴∠EAF =60∘由抛物线的定义可知|AE |=|AF |则ΔAEF 为等边三角形 ∴∠EFP =∠AEF =60∘则∠PEF =30∘∴|AF |=|EF |=2|PF |=2p =8得p =4A 选项正确；∵|AE |=|EF |=2|PF |又PF//AE ∴F 为AD 的中点则DF ⃑⃑⃑⃑⃑ =FA⃑⃑⃑⃑⃑ B 选项正确； ∴∠DAE =60∘∴∠ADE =30∘∴|BD |=2|BM |=2|BF |（抛物线定义）C 选项正确； ∵|BD |=2|BF |∴|BF |=13|DF |=13|AF |=83D 选项错误 故选：ABC 【点睛】本题考查与抛物线相关的命题真假的判断涉及抛物线的定义考查数形结合思想的应用属于中等题 十一、双空题(共 3 分)16直线l 过抛物线C:y 2=2px (p >0)的焦点F (1,0)且与C 交于A,B 两点则p =______1|AF |+1|BF |=______．【答案】 (1) 2 (2) 1 【分析】由题意知p2=1从而p =2所以抛物线方程为y 2=4x ．联立方程利用韦达定理可得结果 【详解】由题意知p2=1从而p =2所以抛物线方程为y 2=4x ．当直线AB 斜率不存在时：x =1代入解得|AF |=|BF |=2从而1|AF |+1|BF |=1． 当直线AB 斜率存在时：设AB 的方程为y =k (x −1)联立{y =k (x −1)y 2=4x整理得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0设A (x 1,y 1)B (x 2,y 2)则{x 1+x 2=2k 2+4k 2x 1x 2=1从而1|AF |+1|BF |=1x1+1+1x 2+1=x 1+x 2+2x 1+x 2+x 1x 2+1=x 1+x 2+2x 1+x 2+2=1． （方法二）利用二级结论：1|AF |+1|BF |=2p 即可得结果． 【点睛】本题考查抛物线的几何性质直线与抛物线的位置关系考查转化能力与计算能力属于基础题 十二、解答题(共 24 分)17已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F 斜率为32的直线l 与C 的交点为AB 与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4求l 的方程； （2）若AP⃑⃑⃑⃑⃑ =3PB ⃑⃑⃑⃑⃑ 求|AB |． 【答案】（1）12x −8y −7=0；（2）4√133【分析】（1）设直线l ：y =32x +mA (x 1,y 1)B (x 2,y 2)；根据抛物线焦半径公式可得x 1+x 2=52；联立直线方程与抛物线方程利用韦达定理可构造关于m 的方程解方程求得结果；（2）设直线l ：x =23y +t ；联立直线方程与抛物线方程得到韦达定理的形式；利用AP⃑⃑⃑⃑⃑ =3PB ⃑⃑⃑⃑⃑ 可得y 1=−3y 2结合韦达定理可求得y 1y 2；根据弦长公式可求得结果【详解】（1）设直线l 方程为：y =32x +mA (x 1,y 1)B (x 2,y 2)由抛物线焦半径公式可知：|AF |+|BF |=x 1+x 2+32=4 ∴x 1+x 2=52 联立{y =32x +m y 2=3x得：9x 2+(12m −12)x +4m 2=0则Δ=(12m −12)2−144m 2>0 ∴m <12 ∴x 1+x 2=−12m−129=52解得：m =−78∴直线l 的方程为：y =32x −78即：12x −8y −7=0 （2）设P (t,0)则可设直线l 方程为：x =23y +t 联立{x =23y +t y 2=3x得：y 2−2y −3t =0则Δ=4+12t >0 ∴t >−13∴y 1+y 2=2y 1y 2=−3t∵AP⃑⃑⃑⃑⃑ =3PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ∴y 1=−3y 2 ∴y 2=−1y 1=3 ∴y 1y 2=−3 则|AB |=√1+49⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√133⋅√4+12=4√133【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题涉及到平面向量、弦长公式的应用关键是能够通过直线与抛物线方程的联立通过韦达定理构造等量关系设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F点M(2,m)(m>0)在抛物线C上且满足|MF|=3．18 求抛物线C的标准方程；19 过点G(0,a)(a>0)的两直线l1,l2的倾斜角互补直线l1与抛物线C交于AB两点直线l2与抛物线C交于P．Q两点△FAB与△FPQ的面积相等求实数a的取值范围．【答案】18 y2=4x19 (0,1)∪(1,√2)【分析】（1）根据抛物线的定义：到焦点的距离等于到准线的距离即可求解答（2）联立直线与抛物线方程得到根与系数的关系由弦长公式求长度由点到直线的距离求高进而可得三角形的面积即可求解【18题详解】依题意点M(2,m)是抛物线C上的一点点M到焦点的距离为3所以2+p2=3,p=2所以抛物线方程为y2=4x【19题详解】由题意可知直线l1,l2的斜率存在且不为0设直线l1:x=t(y−a)所以设直线l2的方程为x=−t(y−a)联立方程组{y2=4xx=t(y−a)整理得y2−4ty+4at=0可得Δ1=16t2−16at>0,y1+y2=4t,y1y2=4atS△FAB=12×4√1+t2√t2−at×|1+ta|√1+t2=2√t2−at|1+ta|将t用−t代换可得S△FPQ=2√t2+at|ta−1|Δ2=16t2+16at>0由S△FAB=S△FPQ可得2√t2−at|1+ta|=2√t2+at|ta−1|化简可得√t+at−a =|ta+1ta−1|两边平方得t2=12−a2所以2−a2>0解得0<a<√2又由Δ1>0且Δ2>0可得t<−a或t>a可知t2>a2所以12−a2>a2即(a2−1)2>0所以a≠1所以实数a的取值范围是(0,1)∪(1,√2)20已知曲线C：y=x22D为直线y=−12上的动点过D作C的两条切线切点分别为AB（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (052)为圆心的圆与直线AB 相切且切点为线段AB 的中点求四边形ADBE 的面积【答案】(1)见详解；(2) 3或4√2 【分析】（1）可设A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)D(t,−12)然后求出AB 两点处的切线方程比如AD ：y 1+12=x 1(x 1−t)又因为BD 也有类似的形式从而求出带参数直线AB 方程最后求出它所过的定点（2）由(1)得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立再通过M 为线段AB 的中点EM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 得出t 的值从而求出M 坐标和|EM |⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的值d 1,d 2分别为点D,E 到直线AB 的距离则d 1=√t 2+1, d 2=√t 2+1结合弦长公式和韦达定理代入求解即可 【详解】(1)证明：设D(t,−12),A(x 1,y 1),则y 1=12x 12． 又因为y =12x 2所以y′=x 则切线DA 的斜率为x 1 故y 1+12=x 1(x 1−t)整理得2tx 1−2y 1+1=0 设B(x 2,y 2)同理得2tx 2−2y 2+1=0A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)都满足直线方程2tx −2y +1=0于是直线2tx −2y +1=0过点A,B 而两个不同的点确定一条直线所以直线AB 方程为2tx −2y +1=0即2tx +(−2y +1)=0当2x =0,−2y +1=0时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点(0,12) （2）[方法一]【最优解：利用公共边结合韦达定理求面积】 设AB 的中点为G A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则G (x 1+x 22,y 1+y 22)EG⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 1+x 22,y 1+y 2−52)BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(x 1−x 2 ,y 1−y 2)．由EG ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =0得(x 1+x 22)(x 1−x 2)+(y 1+y 2−52)(y 1−y 2)=0将y =x 22代入上式并整理得(x 1−x 2)(x 1+x 2)(x 12+x 22−6)=0 因为x 1−x 2≠0所以x 1+x 2=0或x 12+x 22=6．由（1）知D (x 1+x 22,−12)所以DG ⊥x 轴则S 四边形ADBE =S △ABE +S △ABD = 12|EF|⋅(x 2−x 1)+ 12|GD|⋅(x 2−x 1)=(x 2− x 1)+(x 1+x 2)2+48(x 2−x 1)（设x 2>x 1）．当x 1+x 2=0时(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4即x 2−x 1=2,S 四边形ADBE =3；当x 12+x 22=6时(x 1+x 2)2=4,(x 2−x 1)2=(x 1+ x 2)2−4x 1x 2=8即x 2−x 1=2√2S 四边形ADBE =4√2． 综上四边形ADBE 的面积为3或4√2．[方法二]【利用弦长公式结合面积公式求面积】设D (t,−12)由（1）知抛物线的焦点F 的坐标为(0,12)准线方程为y =−12．由抛物线的定义 得|AB|=x 122+12+x 222+12=(x 1+x 2)2−2x 1x 22+1=4t 2+22+1=2t 2+2．线段AB 的中点为G (t,t 2+12)．当x 1+x 2=0时t =0,AB ⊥y 轴|AB|=2 S 四边形ADBE =12×2×(52+12)=3； 当x 1+x 2≠0时t ≠0由EG ⊥AB 得t 2+12−52t−0⋅t =−1即t =±1．所以|AB|=4,G (±1,32)直线AB 的方程为y =±x +12．根据对称性考虑点G (1,32),D (1,−12)和直线AB 的方程y =x +12即可．E 到直线AB 的距离为|EG|=√(0−1)2+(52−32)2= √2D 到直线AB 的距离为|1+12+12|√12+(−1)2=√2．所以S 四边形ADBE =12×4×(√2+√2)=4√2． 综上四边形ADBE 的面积为3或4√2． [方法三]【结合抛物线的光学性质求面积】图5中由抛物线的光学性质易得∠1=∠2又∠1=∠3所以∠2=∠3． 因为AF =AA 1AD =AD 所以△AFD ≌△AA 1D 所以∠AFD =∠AA 1D =90°,DF ⊥AB,DA 1=DF ．同理△BDF ≌△BDB 1⇒DB 1=DF 所以DA 1=DB 1即点D 为A 1B 1中点． 图6中已去掉坐标系和抛物线并延长BA,B 1A 1于点H ． 因为GE ⊥AB,DF ⊥AB 所以GE ∥DF ．又因为GD 分别为AB,A 1B 1的中点所以GD ∥AA 1∥EF故EFDG 为平行四边形从而GD =EF =2,AB =AA 1+BB 1=2GD =4．因为FI ∥GD 且FI =12GD 所以I 为HD 的中点从而DF =GE =√2．S 四边形ADBE =S △ADB +S △ABE = 12AB ⋅DF +12AB ⋅GE =4√2． 当直线AB 平行于准线时易得S 四边形ADBE =3． 综上四边形ADBE 的面积为3或4√2．[方法四]【结合弦长公式和向量的运算求面积】 由（1）得直线AB 的方程为y =tx +12 由{y =tx +12y =x 22可得x 2−2tx −1=0 于是x 1+x 2=2t,x 1x 2=−1,y 1+y 2=t(x 1+x 2)+1=2t 2+1|AB|=√1+t 2|x 1−x 2|=√1+t 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2(t 2+1)设d 1,d 2分别为点D,E 到直线AB 的距离则d 1=√t 2+1, d 2=√t 2+1因此四边形ADBE 的面积S =12|AB|(d 1+d 2)=(t 2+3)√t 2+1 设M 为线段AB 的中点则M (t,t 2+12)由于EM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 而EM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(t,t 2−2)AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 与向量(1,t)平行所以t +(t 2−2)t =0解得t =0或t =±1 当t =0时S =3；当t =±1时S =4√2 因此四边形ADBE 的面积为3或4√2 【整体点评】(2)方法一：利用公共边将一个三角形的面积分割为两个三角形的面积进行计算是一种常用且有效的方法；方法二：面积公式是计算三角形面积的最基本方法；方法三：平稳的光学性质和相似、全等三角形的应用要求几何技巧比较高计算量较少； 方法四：弦长公式结合向量体现了数学知识的综合运用设抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点为F 点D (p,0)过F 的直线交C 于MN 两点．当直线MD 垂直于x 轴时|MF |=3． 21 求C 的方程；22 设直线MD,ND 与C 的另一个交点分别为AB 记直线MN,AB 的倾斜角分别为α,β．当α−β取得最大值时求直线AB 的方程． 【答案】21 y 2=4x ； 22 AB:x =√2y +4 【分析】（1）由抛物线的定义可得|MF |=p +p2即可得解；（2）法一：设点的坐标及直线MN:x =my +1由韦达定理及斜率公式可得k MN =2k AB 再由差角的正切公式及基本不等式可得k AB =√22设直线AB:x =√2y +n 结合韦达定理可解【21题详解】抛物线的准线为x =−p2当MD 与x 轴垂直时点M 的横坐标为p 此时|MF |=p +p2=3所以p =2 所以抛物线C 的方程为y 2=4x ； 【22题详解】[方法一]：【最优解】直线方程横截式设M (y 124,y 1),N (y 224,y 2),A (y 324,y 3),B (y 424,y 4)直线MN:x =my +1 由{x =my +1y 2=4x 可得y 2−4my −4=0Δ>0,y 1y 2=−4由斜率公式可得k MN =y 1−y 2y 124−y 224=4y1+y 2k AB =y 3−y 4y 324−y 424=4y3+y 4直线MD:x =x 1−2y 1⋅y +2代入抛物线方程可得y 2−4(x 1−2)y 1⋅y −8=0Δ>0,y 1y 3=−8所以y 3=2y 2同理可得y 4=2y 1 所以k AB =4y3+y 4=42(y1+y 2)=k MN 2又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为α,β所以k AB =tanβ=k MN 2=tanα2若要使α−β最大则β∈(0,π2)设k MN =2k AB =2k >0则tan (α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=k 1+2k 2=11k+2k≤2√1k⋅2k=√24当且仅当1k =2k 即k =√22时等号成立 所以当α−β最大时k AB =√22设直线AB:x =√2y +n代入抛物线方程可得y 2−4√2y −4n =0 Δ>0,y 3y 4=−4n =4y 1y 2=−16所以n =4 所以直线AB:x =√2y +4 [方法二]：直线方程点斜式 由题可知直线MN 的斜率存在设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),A (x 3,y 3),B (x 4,y 4),直线MN:y =k (x −1) 由 {y =k(x −1)y 2=4x得：k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0x 1x 2=1,同理y 1y 2=−4 直线MD :y =y 1x1−2(x −2),代入抛物线方程可得：x 1x 3=4同理x 2x 4=4代入抛物线方程可得:y 1y 3=−8,所以y 3=2y 2同理可得y 4=2y 1 由斜率公式可得：k AB =y 4−y 3x 4−x 3=2(y 2−y 1)4(1x 2−1x 1)=y 2−y 12(x 2−x 1)=12k MN .（下同方法一）若要使α−β最大则β∈(0,π2)设k MN =2k AB =2k >0则tan (α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=k1+2k 2=11k+2k≤2√1k⋅2k=√24当且仅当1k =2k 即k =√22时等号成立 所以当α−β最大时k AB =√22设直线AB:x =√2y +n代入抛物线方程可得y 2−4√2y −4n =0Δ>0,y 3y 4=−4n =4y 1y 2=−16所以n =4所以直线AB:x =√2y +4 [方法三]：三点共线设M (y 124,y 1),N (y 224,y 2),A (y 324,y 3),B (y 424,y 4)设P (t,0),若 P 、M 、N 三点共线由PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(y 124−t,y 1)，PN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(y 224−t,y 2) 所以(y 124−t)y 2=(y 224−t)y 1化简得y 1y 2=−4t反之若y1y2=−4t,可得MN过定点(t,0)因此由M、N、F三点共线得y1y2=−4由M、D、A三点共线得y1y3=−8由N、D、B三点共线得y2y4=−8则y3y4=4y1y2=−16AB过定点（4,0）（下同方法一）若要使α−β最大则β∈(0,π2)设k MN=2k AB=2k>0则tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=k1+2k2=11k+2k≤2√1k⋅2k=√24当且仅当1k =2k即k=√22时等号成立所以当α−β最大时k AB=√22所以直线AB:x=√2y+4【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式简化了联立方程的运算通过寻找直线MN,AB的斜率关系由基本不等式即可求出直线AB的斜率再根据韦达定理求出直线方程是该题的最优解也是通性通法；法二：常规设直线方程点斜式解题过程同解法一；法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系快速找到直线AB过定点省去联立过程也不失为一种简化运算的好方法．已知椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1)焦距为2√3．23 求椭圆E的方程；24 过点P(−2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点BC直线ABAC分别与x轴交于点MN当|MN|=2时求k的值．【答案】23 x24+y2=124 k=−4【分析】（1）依题意可得{b=12c=2√3c2=a2−b2即可求出a从而求出椭圆方程；（2）首先表示出直线方程设B(x1,y1)、C(x2,y2)联立直线与椭圆方程消元列出韦达定理由直线AB、AC的方程表示出x M、x N根据|MN|=|x N−x M|得到方程解得即可；【23题详解】解：依题意可得b=12c=2√3又c2=a2−b2所以a=2所以椭圆方程为x 24+y2=1；【24题详解】解：依题意过点P(−2,1)的直线为y−1=k(x+2)设B(x1,y1)、C(x2,y2)不妨令−2≤x1<x2≤2由{y−1=k(x+2)x24+y2=1消去y整理得(1+4k2)x2+(16k2+8k)x+16k2+16k=0所以Δ=(16k2+8k)2−4(1+4k2)(16k2+16k)>0解得k<0所以x1+x2=−16k2+8k1+4k2x1⋅x2=16k2+16k1+4k2直线AB的方程为y−1=y1−1x1x令y=0解得x M=x11−y1直线AC的方程为y−1=y2−1x2x令y=0解得x N=x21−y2所以|MN|=|x N−x M|=|x21−y2−x11−y1|=|x21−[k(x2+2)+1]−x11−[k(x1+2)+1]|=|x2−k(x2+2)+x1k(x1+2)|=|(x2+2)x1−x2(x1+2) k(x2+2)(x1+2)|=2|x1−x2||k|(x2+2)(x1+2)=2所以|x1−x2|=|k|(x2+2)(x1+2)即√(x1+x2)2−4x1x2=|k|[x2x1+2(x2+x1)+4]即√(−16k2+8k1+4k2)2−4×16k2+16k1+4k2=|k|[16k2+16k1+4k2+2(−16k2+8k1+4k2)+4]即81+4k2√(2k2+k)2−(1+4k2)(k2+k)=|k|1+4k2[16k2+16k−2(16k2+8k)+4(1+4k2)]整理得8√−k=4|k|解得k=−4十三、单选题(共3 分)25设抛物线E:y 2=8x 的焦点为F 过点M(4,0)的直线与E 相交于AB 两点与E 的准线相交于点C 点B 在线段AC 上|BF|=3则△BCF 与△ACF 的面积之比S△BCF S △ACF=（ ）A 14 B 15C 16D 17【答案】C 【分析】根据抛物线焦半径公式得到B 点横坐标进而利用抛物线方程求出B 点纵坐标直线AB 的方程求出C 点坐标联立直线与抛物线求出A 点纵坐标利用S △BCF S △ACF=BC AC =y 2−yC y 1−y C求出答案【详解】如图过点B 作BD 垂直准线x =−2于点D 则由抛物线定义可知：|BF|=|BD|=3 设直线AB 为x =my +4 A (x 1,y 1)B (x 2,y 2)C (−2,y C )不妨设m >0则y 1>0,y 2<0所以x 2+2=3解得：x 2=1则y 22=8x 2=8解得：y 2=−2√2则B(1,−2√2)所以−2√2m +4=1解得：m =3√24则直线AB 为x =3√24y +4所以当x =−2时即3√24y +4=−2解得：y C =−4√2则C(−2,−4√2)联立x =my +4与y 2=8x 得：y 2−8my −32=0则y 1y 2=−32 所以y 1=8√2其中S △BCF S △ACF=BC AC =y 2−yC y 1−y C=√212√2=16故选：C十四、解答题(共 6 分)已知抛物线C:x 2=2py (p >0)的焦点为F 且F 与圆M ：x 2+(y +4)2=1上点的距离的最小值为427 若点P 在M 上P APB 是C 的两条切线AB 是切点求△PAB 面积的最大值 【答案】26 2 27 20√5 【分析】（1）结合焦点F (0,p2)与圆M 的位置关系可得F 与圆M 的最小距离为|FM |−1即可求解； （2）设切点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)得到直线l PA ,l PB 的方程联立可得P (x 1+x 22，x 1x 24)设直线l AB ：y =kx +b 与抛物线进行联立可得x 1+x 2=4k,x 1x 2=−4b 故可得到S △PAB =4(k 2+b)32由点P 在圆上可得k 2=−b 2+8b−154代入面积即可求得范围【26题详解】由圆M ：x 2+(y +4)2=1可得圆心圆M (0,−4)半径为1 易得焦点F (0,p2)在圆M 外所以点F (0,p2)到圆M 上的点的距离的最小值为|FM |−1=p2+4−1=4解得p =2 【27题详解】由(1)知抛物线的方程为x 2=4y 即y =14x 2则y ′=12x ,设切点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)则易得直线l PA :y =x 12x −x 124直线l PB :y =x 22x −x 224,由{y =x 12x −x 124y =x 22x −x 224可得P (x 1+x 22，x 1x 24) 设直线l AB ：y =kx +b 联立抛物线方程消去y 并整理可得x 2−4kx −4b =0 ∴Δ=16k 2+16b >0即k 2+b >0且x 1+x 2=4k,x 1x 2=−4b∵|AB |=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√16k 2+16b 点P 到直线AB 的距离d =2√k 2+1∴S △PAB=12|AB |d =4(k 2+b)32①又点P(2k,−b)在圆M:x 2+(y +4)2=1上 故k 2=−b 2+8b−154代入①得S △PAB =4(−b 2+12b−154)32=4[−(b−6)2+214]32而y P =−b ∈[−5,−3]即b ∈[3,5] 因为y =−(b−6)2+214在区间[3,5]内单调递增且y =4x 32在定义域内单调递增所以S △PAB =4[−(b−6)2+214]32在区间[3,5]上单调递增∴当b =5时(S △PAB )max =20√5 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程设交点坐标为(x 1,y 1),(x 2,y 2)；（2）联立直线与圆锥曲线的方程得到关于x （或y ）的一元二次方程必要时计算Δ； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2（或y 1+y 2、y 1y 2）的形式； （5）代入韦达定理求解 十五、单选题(共 3 分)28过抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l 交抛物线于AB 两点且|AF |>|BF |则|AF||BF|的值为（ ）A3 B2C 32D 43【答案】A 【分析】方法1根据抛物线焦点弦的性质直接计算作答方法2根据给定条件求出直线l 的方程再与抛物线方程联立结合抛物线定义求解作答 【详解】方法1：根据抛物线焦点弦的性质可知|AF|=p1−cos60∘=3方法2：抛物线y 2=2px (p >0)的焦点F(p 2,0)准线方程：x =−p2 直线l 方程为：y =√3(x −p2)由{y =√3(x −p2)y 2=2px消去y 得：3x 2−5px +34p 2=0设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)因|AF |>|BF |即有x 1>x 2解得x 1=3p 2,x 2=p6所以|AF||BF|=x 1+p 2x 2+p 2=3p 2+p 2p 6+p 2=3故选：A十六、多选题(共 3 分)29已知O 为坐标原点抛物线E 的方程为y =14x 2E 的焦点为F 直线l 与E 交于AB 两点且AB 的中点到x 轴的距离为2则下列结论正确的是（ ） A E 的准线方程为y =−116 B |AB |的最大值为6C 若AF⃑⃑⃑⃑⃑ =2FB ⃑⃑⃑⃑⃑ 则直线AB 的方程为y =±√24x +1 D 若OA ⊥OB 则△AOB 面积的最小值为16 【答案】BCD 【分析】直接求出准线方程即可判断A 选项；由|AF |+|BF |=2|MN |=6以及抛物线的定义结合|AF |+|BF |≥|AB |即可判断B 选项；设出直线AB 的方程为y =kx +1联立抛物线由AF ⃑⃑⃑⃑⃑ =2FB ⃑⃑⃑⃑⃑ 解出A 点坐标即可判断C 选项；由OA ⊥OB 求得直线AB 恒过点(0,4)结合x 1x 2=−16即可求出面积最小值即可判断D 选项 【详解】由题意知E 的标准方程为x 2=4y 故E 的准线方程为y =−1 A 错误； 设AB 的中点为M 分别过点ABM 作准线的垂线垂足分别为CDN 因为M 到x 轴的距离为2所以|MN |=2+1=3由抛物线的定义知|AC |=|AF ||BD |=|BF |所以2|MN |=|AC |+|BD |=|AF |+|BF |=6 因为|AF |+|BF |≥|AB |所以|AB |≤6所以B 正确； 由AF⃑⃑⃑⃑⃑ =2FB ⃑⃑⃑⃑⃑ 得直线AB 过点F (0,1)直线AB 的斜率存在 设直线AB 的方程为y =kx +1联立方程得{y =kx +1,x 2=4y, 化简得x 2−4kx −4=0则x A x B =−4由于AF⃑⃑⃑⃑⃑ =2FB ⃑⃑⃑⃑⃑ 所以(−x A ,1−y A )=2(x B ,y B −1)得x A =−2x B 得x A =±2√2所以y A =14x A 2=2所以k =±√24直线AB 的方程为y =±√24x +1故C 正确；设A (x 1,y 1)B (x 2,y 2)由OA ⊥OB 得x 1x 2+y 1y 2=0又{y 1=x 124，y 2=x 224，所以x 1x 2+116(x 1x 2)2=0由题意知x 1x 2≠0所以x 1x 2=−16 又k AB =y 2−y1x 2−x 1=x 224−x 124x2−x 1=x 1+x 24故直线AB 的方程为y −y 1=x 1+x 24(x −x 1)由于y 1=x 124所以y =x 1+x 24x −x 1x 24=x 1+x 24x +4则直线AB 恒过点(0,4)所以S △OAB =12×4|x 1−x 2|=2√(x 1+x 2)2+64≥16 所以△AOB 面积的是小值为16故D 正确十七、填空题(共 9 分)30设抛物线x 2=2py(p >0)M 为直线y =−2p 上任意一点过M 引抛物线的切线切点分别为AB记ABM 的横坐标分别为x A ,x B ,x M 则下列关系：①x A +x B =2x M ；②x A x B =x M 2；③1x A+1x B=2xM其中正确的是________(填序号)． 【答案】① 【分析】利用导数几何意义求出切线MA,MB 的方程联立求出x A ,x B ,x M 的关系再逐一判断各个命题即得 【详解】由x 2=2py 得y =x 22p 求导得y ′=x p 则切线MA,MB 的斜率分别为xA p ,x B p而M(x M ,−2p)于是直线MA 的方程为y +2p =x A p(x −x M )直线MB 的方程为y +2p =x B p(x −x M )因此{x A22p+2p =x A p (x A −x M )x B22p+2p =x B p(x B −x M )则x A −x B p ⋅x M =x A 2−x B 22p而x A ≠x B 从而x A +x B =2x M ①正确；x M 2−x A x B =(x A +x B 2)2−x A x B =(x A −x B 2)2>0即x M 2>x A x B ②错误；当x M =0时③无意义 当x M ≠0时1x A+1x B−2x M=x A +x B x A x B−4xA +x B=(x A −x B )2xA xB (x A +x B )≠0③错误所以正确命题的序号是① 故答案为：①31已知A,B 为抛物线C:x 2=4y 上的两点M(−1,2)若AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 则直线AB 的方程为_________ 【答案】x +2y −3=0 【分析】由于AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 可得M 为中点则{x 1+x 2=−2y 1+y 2=4根据点差法即可求得直线AB 的斜率从而得方程．【详解】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)又M (−1,2) 因为AM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 所以{x 1+x 2=−2y 1+y 2=4又x 2=4y ,x 2=4y 则x 2−x 2=4y −4y 得x +x =4y 1−4y 2=−2则直线AB 的斜率为k =−12故直线AB 的方程为y −2=−12(x +1) 化简为x +2y −3=0．联立{x 2=4y x +2y −3=0 可得x 2+2x −6=0 Δ=28>0直线与抛物线有两个交点成立 故答案为：x +2y −3=0．32抛物线y 2=4x 的焦点为F 点P 在双曲线C ：x 24−y 22=1的一条渐近线上O 为坐标原点若|OF |=|PF |则△PFO 的面积为____ 【答案】√23##13√2 【分析】由双曲线的标准方程可求其渐近线方程则P 点坐标可设成只有一个参数m 的形式再由|OF |=|PF |可得m 的值则△PFO 的面积可求 【详解】抛物线y 2=4x 的焦点为F (10)双曲线C ：x 24−y 22=1的渐近线方程为x ±√2y =0不妨设P 在渐近x −√2y =0上可设P(√2m,m)m >0 由|OF |=|PF |可得 √(√2m-1)2+m 2=1解得m =2√23则△PFO 的面积为12|OF ||y P |=12×1×2√23=√23故答案为：√23。
重难点05：直线与抛物线的位置关系-2024-2025学年高二数学高分必刷常考题型专练(人教A版20
重难点05：直线与抛物线的位置关系考点01：判断直线与抛物线的位置关系1． 过点()0,4M 作直线l 与抛物线28y x =只有一个公共点，这样的直线有几条？2．当k 为何值时，直线2y kx k =+-与抛物线24y x =有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？考点02：求直线与抛物线的交点坐标3．直线2x =与抛物线()2:20C y px p =>交于D 、E 两点，若0OD OE ⋅=，其中O 为坐标原点，则C 的准考点03：求抛物线的切线方程 2y x 上两点，以的横坐标为13，则有且只有一个公共点的直线方程为考点04：直线与抛物线交点相关问题9.已知抛物线28y x =的焦点为F ，点()2,2M -，过F 的直线l 垂直于MF ，且l 交抛物线于,A B 两点，则MA MB =⋅（ ）A ．3B ．2C ．1D ．010．已知两抛物线的顶点在原点，而焦点分别为()12,0F ，()20,2F ，求经过它们的交点的直线方程.考点05：根据韦达定理求参数11．直线1y kx =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，且AB 中点的横坐标为1，则k 的值为（ ） A ．1± B ．2± C ．-1 D ．2A ．23y x =B ．24y x =C ．26y x =D ．28y x =考点06：利用焦半径公式解决直线与抛物线交点问题13．若抛物线x 2=8y 上一点P 到焦点的距离为9，则点P 的纵坐标为（ ）14．已知P 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点P 到抛物线C 的焦点的距离为7，到y 轴的距离为5，则考点07：求直线与抛物线相交弦的弦长考点08：抛物线中的三角形或四边形面积问题17．已知点A ，B 在抛物线2:2C y x =上，O 为坐标原点，OAB 为等边三角形，则OAB 的面积为（ ）18．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点()5,0P 的直线l 交C 于,A B 两点，O 为坐标原点，记ABO 与AFO 的面积分别为1S 和2S ，则123S S +的最小值为（ ）考点09：直线与抛物线相交求直线方程考点10：由弦长求参数标为（ ）A ．()1,0B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,123．已知直线l 与抛物线2:2C y x =相交于,A B 两点，若线段AB 的中点坐标为()1,4，则直线l 的方程为（ ） A ．40x y -=B ．20x y -=C ．860x y --=D ．230x y -+=考点12：与抛物线焦点弦有关的几何性质25．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还宲有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A ，B 处的切线交于占P ，称PAB 为“阿基米德三角形”，当线段AB 经过抛物线焦点F 时，PAB 具有以下特征：（1）P 点必在抛物线的准线上；（2）PAB 为直角三角形，且PA PB ⊥；（3）PF AB ⊥．已知过抛物线216x y =焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 页点，过点A ，B 处的切线交于点P ，若点P 的横坐标为2，则直线AB 的方程为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．827．已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线交于,A B 两点，过A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，MAF ∠的角平分线与抛物线的准线交于点P ，线段AB 的中点为Q ．若8,AB PQ == ．28．已知抛物线22y x =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，则4AF BF +的最小值是 .29．过抛物线22y px =的焦点的倾斜角为π2αα⎛⎫≠ ⎪⎝⎭的直线l 与抛物线交于,A B 两点，求证：22sin p AB α=． 30．如图，已知以F 为焦点的抛物线24y x =上的两点A ，B 满足3AF FB =，求弦AB 的中点到准线l 的距离.考点13：抛物线的通径问题31．抛物线28x y =的通径长为（ ）A ．8B ．4C ．18D ．1432．以x 轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是（ ）A ．28x y =或28x yB ．28y x =-C ．28y x =或28y x =-D ．28y x = 考点14：抛物线中参数范围问题33．已知P 为抛物线2:16C x y =-上一点，F 为焦点，过P 作C 的准线的垂线，垂足为H ，若PFH △的周长不小于30，则点P 的纵坐标的取值范围是（ ）A ．(],5-∞-B ．(],4-∞-C ．(],2-∞-D ．(],1-∞-34．M 为抛物线()2404y x x =≤≤上任意一点，F 是抛物线的焦点，E 是抛物线的准线与x 轴的交点，点P为线段OM 的中点，则PE PF ⋅的取值范围是 ．考点15：求抛物线上一点到直线的最值35．抛物线2y x 上的点P 到直线20x y --=距离的最小值为（ ）36．已知圆M 过点()1,0，且与直线=1x -相切，S 是圆心M 的轨迹上的动点，T 为直线40x y ++=上的动考点16：求抛物线上一点到定点的最值 37．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)C ，动点P 满足：过点P 作直线=1x -的垂线，垂足为Q ，且0OP CQ ⋅=，则。
直线与抛物线的位置关系 课件
直线与抛物线的位置关系
直 线 与 抛 物 线 公 共 点 的 个 数 可 以 有 _ _ _ _0个_ _、_ _1_个_ _或_ _2个_ _ _ ．
将直线方程与抛物线方程联立，消元后得到一元二次方程，若Δ＝0，则直 线 与 抛 物 线 _相_ _切_ _ _ ， 若 Δ > 0 ， 则 直 线 与 抛 物 线 _ _ _相_ _交_ _ ， 若 Δ < 0 ， 则 直 线 与 抛 物 线 _ _ _没_有_ _公_ _共_ _点_ _ ． 特 别 地 ， 当 直 线 与 抛 物 线 的 轴 平 行 时 ， 直 线一与 抛物线有___个公共点．
(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)设点 P 的轨迹 C 与 x 轴交于点 M，点 A，B 是轨迹 C 上异于点 M 的不同 的两点，且满足M→A·A→B＝0，求|M→B|的取值范围．
[规范解答] (1)设 P(x，y)，则 Q(－1，y)， ∵O→P·Q→F＝F→P·F→Q，F(1,0)， ∴(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)， ∴2(x＋1)＝－2(x－1)＋y2， 即 y2＝4x， ∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 y2＝4x.
已知 A、B 为抛物线 E 上不同的两点，若抛物线 E 的焦点为(1,0)， 线段 AB 恰被 M(2,1)所平分.
(1)求抛物线 E 的方程． (2)求直线 AB 的方程．
[规范解答] (1)由于抛物线的焦点为(1,0)，所以p2＝1，p＝2， 所求抛物线方程为 y2＝4x. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y21＝4x1 ①，y22＝4x2 ②， 且 x1＋x2＝4，y1＋y2＝2， 由②－①得(y1＋y2)(y2－y1)＝4(x2－x1)，所以yx22－－yx11＝2， 所以所求直线 AB 的方程为 y－1＝2(x－2)，即 2x－y－3＝0.
3.3.2第2课时 直线与抛物线的位置关系 练习册答案
第2课时 直线与抛物线的位置关系1.B [解析] 当直线的斜率不存在时,直线的方程为x=0,直线与抛物线只有一个公共点,满足题意.当直线的斜率存在时,设直线的方程为y=kx ,由{y =kx ,y 2=x ,得k 2x 2-x=0.当k=0时,直线的方程为y=0,直线与抛物线只有一个公共点,满足题意;当k ≠0时,Δ=1>0,此时直线与抛物线有两个公共点,不满足题意.故过原点且与抛物线y 2=x 只有一个公共点的直线有2条.故选B .2.A [解析] 方法一:设抛物线上一点的坐标为(x ,4x 2),其中x ∈R,则该点到直线y=4x-5的距离d=2√42+(-1)=|4(x -12)2+4|√17,所以当x=12时,d 取得最小值,此时该点的坐标为(12,1).方法二:设与直线y=4x-5平行的抛物线y=4x 2的切线的方程为y=4x+m ,由{y =4x +m ,y =4x 2得4x 2-4x-m=0.由Δ=16-4×4×(-m )=0,得m=-1.易知切点为(12,1),切点(12,1)到直线y=4x-5的距离最短.3.D [解析] 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|FA|+|FB|=x 1+x 2+6.由{y 2=12x ,2x +y -4=0,得x 2-7x+4=0,∴x 1+x 2=7,∴|FA|+|FB|=13,故选D .4.C [解析] 由点A (1,2)在抛物线C 上得p=2.设B (t 24,t)(t ≠2),由直线AB 过定点(-2,0)得k=21-(-2)=t t 24-(-2),解得t=4或t=2(舍去),则B (4,4),所以|FB|=4+p2=5.故选C .5.A [解析] 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则k 1k 2=y 1x 1·y 2x 2=y 1y 122·y 2y 222=4y1y 2=12,∴y 1y 2=8.设直线l 的方程为x=my+b ,代入抛物线方程可化为y 2-2my-2b=0,∴y 1y 2=-2b ,∴-2b=8,∴b=-4,∴直线l 恒过定点(-4,0).故选A .6.A [解析] 设抛物线y=12x 2的焦点为F ,由y=12x 2,得x 2=2y ,则F (0,12).设等边三角形的另外两个顶点分别为A (x 1,12x 12),B (x 2,12x 22),则由|FA|=|FB|,得x 12+(12x 12-12)2=x 22+(12x 22-12)2,整理得(x 12+1)2=(x 22+1)2,因此有x 12=x 22,又x 1≠x 2,所以x 1=-x 2,即点A ,B 关于y 轴对称.在等边三角形FAB 中,除AB 边外的另外两条边分别在直线y=-√3x+12和直线y=√3x+12上,由{x 2=2y ,y =±√3x +12,可得y=72±2√3,根据抛物线的定义得等边三角形FAB 的边长为|FA|=72±2√3+12=4±2√3.故选A .7.B [解析] 由焦点F (12,0),知p 2=12,即p=1,则抛物线C 的方程为y 2=2x ,由抛物线的性质可知,以AB 为直径的圆E 与准线相切,即ED 与准线垂直,由题意可知∠ADB=90°,又|AD|=√3|BD|,所以∠DAB=30°,∠DBE=60°,则|AB|=2|BD|,即|BD|=|BE|,则∠DEB=60°,故直线AB 的倾斜角为60°,则直线AB 的方程为y=√3(x -12).由{y =√3(x -12),y 2=2x ,消去y 可得3x 2-5x+34=0,则x A +x B =53,所以|AB|=x A +x B +1=83,故选B .8.AC [解析] 由{x 2=2py ,y =2x ,可得{x =0,y =0或{x =4p ,y =8p ,所以直线y=2x 与抛物线C 的交点坐标为(0,0)和(4p ,8p ),所以√(4p )2+(8p )2=4√5,解得p=1(负值舍去),故抛物线C 的方程为x 2=2y ,焦点坐标为(0,12),准线方程为y=-12.故A,C正确,B,D 错误.故选AC .9.ACD [解析] 易得l 的斜率存在,设l :y=kx+b ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{y =kx +b ,x 2=8y ,得x 2-8kx-8b=0,则{x 1+x 2=8k ,x 1x 2=-8b .由x 1+x 2=8k=2×4,得k=1.由|AB|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√2·√64+32b =4√2,得b=-32,所以l :y=x-32,弦AB 中点的纵坐标为4-32=52,|AF|+|BF|=y 1+y 2+4=x 1-32+x 2-32+4=8-3+4=9.故A,C,D 正确,B 错误,故选ACD .10.x=-12 [解析] 由{y 2=2px ,y =12x +1,得y 2-4py+4p=0.因为抛物线C :y 2=2px (p>0)与直线l :y=12x+1相切,所以Δ=16p 2-16p=0,解得p=1或p=0(舍去),所以抛物线C 的方程为y 2=2x ,其准线方程为x=-12.11.2 [解析] 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),过F 的直线l 的方程为x=my+p2,与抛物线方程联立可得y 2-2pmy-p 2=0,故y 1+y 2=2pm.|AB|=|AF|+|BF|=x 1+x 2+p=my 1+p 2+my 2+p2+p=m (y 1+y 2)+2p=2pm 2+2p ≥2p ,故当|AB|=2p 时,动直线l 有且仅有一条,即2p=4,故p=2.12.4 [解析] 因为抛物线C 的方程为y 2=8x ,所以其焦点为F (2,0),由题意可设直线l 的方程为x=my+2(m ≠0).与抛物线方程联立可得y 2-8my-16=0.设P (y 128,y 1),Q (y 228,y 2),则y 1y 2=-16.直线AP 的斜率k AP =y 1-4y 128-2=8y1+4,则直线AP 的方程为y-4=8y1+4(x-2),令y=0,可得x=-y12,即点M 的坐标为(-y 12,0),同理可得点N 的坐标为(-y 22,0),所以|OM|·|ON|=|y 1y 24|=4.13.解:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).(1)∵线段AB 的中点M 的横坐标为x 1+x 22=2,∴x 1+x 2=4,∴|AF|+|BF|=x 1+x 2+p=4+p=6,解得p=2,∴抛物线C 的标准方程为y 2=4x.(2)由(1)可知抛物线的焦点为F (1,0),当直线l 的斜率不存在时,|AB|=4≠6,不合题意,故可设直线l 的方程为y=k (x-1),k ≠0,由{y =k (x -1),y 2=4x ,得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0,∴x 1+x 2=2k 2+4k 2=4,解得k=±√2,∴直线l 的方程为y=±√2(x-1). 14.解:(1)由题知,x A =2,由抛物线的定义知,|AF|=x A +p2=2+p2=3,∴p=2,∴C 的方程为y 2=4x.(2)由(1)知F (1,0),设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),由题知直线MN 的方程为y=k (x-1),与y 2=4x 联立,整理得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0,由题易知k ≠0,∴x 1+x 2=2k 2+4k 2,x 1x 2=1,∴|MN|=√1+k 2|x 1-x 2|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=√(1+k 2)[(2k 2+4k 2)2-4×1]=4(1+k 2)k 2,又∵原点O 到直线MN 的距离d=√1+k2,∴S △MON =12|MN|·d=12×4(1+k 2)k 2×√1+k2=2√1+k 2|k |=√5,解得k=±2,∴直线MN 的方程为y=2x-2或y=-2x+2.15.13√2 [解析] 抛物线y 2=8√2x 的焦点为F (2√2,0),准线方程为x=-2√2,圆(x-2√2)2+y 2=2的圆心为F (2√2,0),半径为√2.当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x=2√2,由{y 2=8√2x ,x =2√2,解得y 2=32,即y=±4√2,所以|AD|=8√2,所以|AB|=|CD|=12(|AD|-|BC|)=12×(8√2-2√2)=3√2,所以|AB|+4|CD|=3√2+4×3√2=15√2.当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y=k (x-2√2)(k ≠0),与抛物线方程联立可得k 2x 2-(8√2+4√2k 2)x+8k 2=0,k ≠0,设A (x 1,y 1),D (x 2,y 2),可得x 1+x 2=4√2+8√2k 2,x 1x 2=8,由抛物线的定义可得|AB|+4|CD|=|AF|-√2+4(|DF|-√2)=x 1+2√2-√2+4(x 2+2√2-√2)=x 1+4x 2+5√2≥2√4x 1x 2+5√2=13√2,当且仅当x 1=4√2,x 2=√2时,上式取得最小值13√2.综上可得,|AB|+4|CD|的最小值为13√2.16.解:(1)由题意,当直线AB 垂直于x 轴时,直线AB 的方程为x=p2,由{x =p2,y 2=2px ,可得{x =p2,y =±p ,则|AB|=2p ,所以2p=2,即p=1,所以抛物线E 的标准方程为y 2=2x.(2)证明:当直线AB 不与x 轴垂直时,设C (x 3,y 3),D (x 4,y 4),直线AB 的方程为x=my+12(m ≠0).由{x =my +12,y 2=2x ,消去x 得y 2-2my-1=0,Δ=4m 2+4>0,因此y 1+y 2=2m ,y 1y 2=-1.设直线AC 的方程为x=ny+1,由{x =ny +1,y 2=2x ,消去x 得y 2-2ny-2=0,则Δ'=4n 2+8>0,因此y 1+y 3=2n ,y 1y 3=-2,则y 3=-2y 1,同理可得y 4=-2y 2.所以k CD =y 3-y 4x 3-x 4=y 3-y 4y 322-y 422=2y 3+y 4=2-2y 1+-2y 2=-y 1y 2y 1+y 2=12m,因此直线CD 的方程为x=2m (y-y 3)+x 3,由对称性知,定点在x 轴上,令y=0得,x=-2my 3+x 3=-2my 3+y 322=-2m -2y 1+12(-2y 1)2=4my 1+2y 12=2(y 1+y 2)y 1+2y 12=2+2(y2y 1+1y 12)=2+2·y 1y 2+1y 12=2, 所以直线CD 过定点(2,0).当直线AB 与x 轴垂直时,不妨令A (12,1),B (12,-1),又P (1,0),所以直线AP 的方程为y=-2x+2,直线BP 的方程为y=2x-2.由{y =-2x +2,y 2=2x ,可得C (2,-2),由{y =2x -2,y 2=2x ,可得D (2,2),所以直线CD 过点(2,0). 综上,直线CD 过定点(2,0).。
高中数学 专题2.4.3 直线与抛物线的位置关系练习(含解析)新人教A版选修2-1(2021年整理)
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直线与抛物线的位置关系一、选择题1．设双曲线错误!－错误!＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切,则该双曲线的离心率等于（）A.错误!B．2C．错误!D．错误![答案] C2．抛物线y2＝9x与直线2x－3y－8＝0交于A，B两点，则线段AB中点的坐标为( )A．（错误!，－错误!）B．（错误!，错误!)C．(－错误!，－错误!) D．(－错误!，错误!)［答案] B［解析] 由2x－3y－8＝0得，x＝错误!y＋4，代入y2＝9x中得y2－错误!y－36＝0,设A(x1，y），B(x2,y2），1AB的中点为（x，y0）,则y0＝错误!＝错误!，x＝错误!＝错误!（错误!y1＋4＋错误!y2＋4）＝错误!（y1＋y2）＋4＝错误!y0＋4＝错误!,故选B. 03．已知直线y＝k(x＋2)（k〉0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点,F为C的焦点．若｜FA|＝2|FB|,则k＝（)A.错误!B．错误!C。
错误!D．错误![答案］D［解析] 设A、B两点坐标分别为(x1，y1)、(x2,y2)，由错误!消去y得,k2x2＋4x(k2－2)＋4k2＝0，∴x1＋x2＝错误!,x1x2＝4.由抛物线定义得｜AF｜＝x1＋2，｜BF|＝x2＋2，又∵|AF|＝2｜BF｜，∴x1＋2＝2x2＋4，∴x1＝2x2＋2代入x1x2＝4，得x错误!＋x2－2＝0,∴x2＝1或－2（舍去），∴x1＝4，∴错误!＝5，∴k2＝错误!,∵k>0,∴k＝错误!。
直线和抛物线的位置关系市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
所以
y12 y22
66xx21121
2得
y1 y2 x1 x2
6 y1 y2
k所以y1
y2
6 k
因为 y1 y2 1，所以k 3, 2
所以3x y 11 0即为所求。
二、抛物线旳焦点弦性质
例1.过抛物线y2=2px(p>0)旳焦点旳一条直线和
y
抛物线相交,两交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
当K ≠ 0时，该方程是一元二次方程,所以 (2k 4)2 4k 2 16(1 k )
（1）当 0，即k 1时，直线与抛物线相交
（2）当 0，即k 1时，直线与抛物线相切
（3）当 0，即k 1时，直线与抛物线相离
当 k=0 时 ， 直线方程为y=1，与抛物线交于一点
综上所述，当k<1时直线和抛物线相交且k=0时交于一点; 当k=1时，直线和抛物线相切;当k>1时直线和抛物线相离.
A
故以AB为直径旳圆与准线相切.
F
O
M1
M
X
B1
B
过抛物线y2=2px(p>0)旳焦点旳一条直线和抛物线相交,两 交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则
(6)焦点F对A、B在准线上射影旳张角为90o。
证明：如图，
1=2 3，4=5 6， 又1 3 4 5 1800，
y A1 2
A
1 4 900，即AFB 900
例2： 在抛物线 y x2 上求一点，使它到直线2x-y-
4=0旳距离最小.
解：设P(x,y)为抛物线 y x 2 上任意一点，则P到直
线2x-y-4=0旳距离
d | 2x y 4 | | 2x x2 4 | | (x 1)2 3 |
直线和抛物线的位置关系整理
直线和抛物线的位置关系1.直线与抛物线的位置关系：（1）位置关系的判定：联立直线:l y kx m =+和抛物线22(0)y px p =>消y 整理得：2222()0k x km p x m +-+=当0a ≠时0∆>⇔直线与抛物线相交，有两个不同公共交点0∆=⇔直线与抛物线相切，只有一个公共交点0∆<⇔直线与抛物线相离，没有公共交点当0a =时，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，只有一个公共交点，但不能成为相切(2)若直线与抛物线相交于1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长AB =AB = 2.焦点弦问题： 设过抛物线)0(22≠=p px y 的焦点(,0)2p F 的直线与抛物线交于),(),,(1111y x B y x A ， 直线与的斜率分别为21,k k ，直线的倾斜角为，则有 ①221p y y -=；②4221p x x =；③421-=k k ；④α221sin 2p p x x AB =++=， ⑤αcos 1-=p FA ，αcos 1+=p FB ；⑥112AF BF p+=， ⑦过,A B 两点做准线的垂线，垂足分别为,M N ,则090MFN ∠=, ⑧通径P AB 2=；⑨以弦AB 长为直径的圆总与准线相切题型一：交点个数问题例1. 抛物线C:x 4y 2=，直线L 过点P(0,1)， 若L 与C 只有一个公共点，求直线L 的方程。
变式练习：已知直线l ：1y kx =+和抛物线28y x =（1）若直线l 与抛物线有两个公共点，求k 的取值范围（2）若直线l 与抛物线只有一个公共点，求k 的取值范围（3）若直线l 与抛物线没有公共点，求k 的取值范围题型二：弦长问题例2.过抛物线x 2y 2=的焦点作倾斜角为45的直线交抛物线于A,B 两点，则线段AB 的长是多少？变式练习：已知抛物线x y 42=截直线b x y +=2所得的弦AB 的长为53，P 是其对称轴上一点，若S △PAB =39，求P 点的坐标。
高中数学 专题2.4.3 直线与抛物线的位置关系测试(含解析)新人教A版选修21
直线与抛物线的位置关系（时间：25分，满分55分）班级 姓名 得分一、选择题1．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( ) A ．2或－2 B ．－1 C ．2 D ．3[答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8xy ＝kx －2得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，则k ＋k 2＝4，即k ＝2.2．抛物线y ＝14x 2的焦点关于直线x －y －1＝0的对称点的坐标是( )A ．(2，－1)B ．(1，－1)C ．(14，－14)D ．(116，－116)[答案] A[解析] y ＝14x 2⇒x 2＝4y ，焦点为(0,1)，其关于x －y －1＝0的对称点为(2，－1)．3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点O 为坐标原点，则OA →·OB →的值是( ) A ．12 B ．－12 C ．3 D ．－3 [答案] D4．过抛物线y 2＝4x 的焦点，作一条直线与抛物线交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( ) A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条 C ．有无穷多条 D ．不存在[答案] B[解析] 由定义|AB |＝5＋2＝7，∵|AB |min ＝4，∴这样的直线有两条．5．已知AB 是过抛物线2x 2＝y 的焦点的弦，若|AB |＝4，则AB 的中点的纵坐标是( ) A ．1 B ．2 C.58 D ．158[答案] D[解析] 如图所示，设AB 的中点为P (x 0，y 0)，分别过A ，P ，B 三点作准线l 的垂线，垂足分别为A ′，Q ，B ′，由题意得|AA ′|＋|BB ′|＝|AB |＝4，|PQ |＝|AA ′|＋|BB ′|2＝2，又|PQ |＝y 0＋18，∴y 0＋18＝2，∴y 0＝158.6．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|等于( ) A ．9 B ．6 C ．4 D ．3[答案] B[解析] 设A 、B 、C 三点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、(x 3，y 3)．由题意知F (1,0)，因为FA →＋FB →＋FC →＝0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3.根据抛物线定义，有|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝3＋3＝6.故选B. 二、填空题7．已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2 m 时，量得水面宽8 m ，当水面升高1米后，水面宽度是________m. [答案] 4 28．已知点F 为抛物线y 2＝－8x 的焦点，O 为原点，点P 是抛物线准线上一动点，A 在抛物线上，且|AF |＝4，则|PA |＋|PO |的最小值是__________________．[答案] 2139．已知P (4，2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1截得线段的中点，则直线l 的方程为________．解：线段两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.∵A ，B 在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1，两式相减得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）36＝－（y 1－y 2）（y 1＋y 2）9.∵x 1≠x 2，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24（y 1＋y 2）＝－12. ∴直线l 的方程为x ＋2y －8＝0. 故填x ＋2y －8＝0.10．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1，0)的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点．若||FQ ＝23，则直线l 的斜率等于________． 解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，Δ＝（2k 2－4）2－4k 4>0，解得k ∈(－1，0)∪(0，1)，x 1＋x 2＝－2k 2－4k 2＝－2＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2k ＝4k ，设Q (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－1＋2k 2，y 0＝y 1＋y 22＝2k，即Q ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k 2，2k ，又F (1，0)，∴||FQ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋2k 2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝23，解得k ＝±22.故填±22. 三、解答题11．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上且BC ∥x 轴，证明直线AC 经过原点O .[解析] 因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F (p2，0)，所以经过点F 的直线AB 的方程设为：x ＝my ＋p2代入抛物线方程得：y 2－2pmy －p 2＝0若记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1、y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2＝－p 2因为BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p2上，所以点C 的坐标为(－p2，y 2)，故直线CO 的斜率为：k ＝y 2－p 2＝2p y 1＝y 1x 1，即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点．12．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点． (1)求证：OA ⊥OB ；(2)当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．[解析] (1)如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝－xy ＝k x＋消去x 得，ky 2＋y －k ＝0.∴S △OAB ＝12·1·y 1＋y 22－4y 1y 2＝12－1k2＋4.∵S △OAB ＝10， ∴10＝121k 2＋4，解得k ＝±16.。