高二数学期末试卷理科及答案

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人教版高二数学下册期末考试理科数学试卷(附答案)

( ) 即 a 2x −1 = 2x −1对一切实数 x 都成立．
∴ a = 1，∴ a = b = 1 ．……5 分
f ( x) 是 R 上的减函数。……6 分
⑵ 不等式 f (t2 − 2t) + f (2t2 − k ) 0等价于 f (t2 − 2t) f (k − 2t2 ) ．
又 f ( x) 是 R 上的减函数，∴ t2 − 2t k − 2t2 ． ……8 分
内碳 14 含量的测量,估计该古墓群应该形成于公元前 850 年左右的西周时期,已
知碳 14 的“半衰期”为 5730 年(即含量大约经过 5730 年衰减为原来的一半)，
由此可知，所测生物体内碳 14 的含量应最接近于（）
A．25﹪
B．50﹪
C．70﹪
D．75﹪
11. 对大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的 “ 分裂 ” ：
地运往 C 地, 现在 AB 上的距点 B 为 x 的点 M 处修一公路至点 C.已知铁路运费为每公里 2 元,公路运费为每公里 4 元. （1）将总运费 y 表示为 x 的函数. （2）如何选点 M 才使总运费最小？
-5-
-6-
11B-SX-0000001 20. （本小题满分 12 分）
已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 a1 = 1, Sn = n2an (n N+ )
( ) ( ) ⑵ 若对任意的 t R ，不等式 f t2 − 2t + f 2t2 − k 0恒成立，求实数 k 的取
值范围．
18. （本小题满分 12 分）
为了增强环保意识，某社团从男生中随机抽取了 60 人，从女生中随机抽取了

河南省高二上学期期末考试理科数学试题(解析版)

高二数学试卷（理）本试卷共4页，共150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上． 2．考试结束，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若直线经过点和，则直线l 的倾斜角为（） l (0,A.B.C.D.2π33π4π3π4【答案】D 【解析】【分析】由斜率公式求出直线的斜率，利用倾斜角与斜率的关系求解. l【详解】设直线的斜率为，且倾斜角为，则，l k α1k ==则，而，故， tan 1α=[)0,πα∈π4α=故选：D.2. ，则6是这个数列的（） A. 第6项 B. 第12项C. 第18项D. 第36项【答案】C 【解析】【分析】利用数列的通项公式求解.的通项公式为，n a =令解得，6n a ==18n =故选:C.3. 若双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，且焦点在x 轴上，则双曲线的标准方2y x =±程为（）A. 或B.C.2214y x -=221164y x -=221164y x -=D.2214y x -=2214x y -=【答案】C 【解析】【分析】根据双曲线的性质求解.【详解】由题可得解得，224ba b ⎧=⎪⎨⎪=⎩12a b =⎧⎨=⎩所以双曲线的标准方程为.2214y x -=故选:C. 4.如图，线段AB ，BD 在平面内，，，且αBD AB ⊥AC α⊥，则C ，D 两点间的距离为（）4312AB BD AC ===，，A19 B. 17 C. 15 D. 13【答案】D 【解析】【分析】根据线面垂直的性质定理结合勾股定理求解.【详解】连接，因为，所以,AD BD AB⊥5AD ==又因为，,所以， AC α⊥AD α⊂AC AD ⊥所以,13CD ==故选:D.5. “”是“曲线表示椭圆”的（）01t <<2211x y t t+=-A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据曲线表示椭圆，可求得t 的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.【详解】因为曲线为椭圆，2211x y t t+=-所以，解得且，101t t t t>⎧⎪->⎨⎪≠-⎩01t <<12t ≠所以“”是“且”的必要而不充分条件. 01t <<01t <<12t ≠故选：B6. 设，向量，且，则,,x y z ∈R (,1,1),(1,,),(2,4,2)a x b y z c ===- ,a c b c ⊥∥（）||a b c ++=A.B.C. 3D. 9【答案】A 【解析】【分析】由向量的关系列方程求解的值，结合向量的模的公式计算得出结果.,,x y z 【详解】向量，且，(,1,1),(1,,),(2,4,2)a x b y z c ===- ,a c b c ⊥∥∴，解得， 24201242a c x y z⋅=-+=⎧⎪⎨==⎪-⎩1,2,1x y z ==-=∴ (1,1,1),(1,2,1),(2,4,2)a b c ==-=-∴，(4,5,4)a b c ++=-∴.||a b c ++==故选：A ．7. 如果实数x ，y 满足，则的取值范围是（） 22(1)(1)2x y -+-=11y x -+A.B.C.D.[1,1]-(1,1)-,1(),)1(-∞-⋃+∞(,1][1,)∞∞--⋃+【答案】A 【解析】【分析】表示上的点与点连线的斜率,画出图形11y x -+22(1)(1)2x y -+-=(),P x y ()1,1A -即可求解.【详解】表示圆心为的圆，22(1)(1)2x y -+-=()1,1C 表示上的点与点连线的斜率. 11y x -+22(1)(1)2x y -+-=(),P x y ()1,1A -易知直线平行轴，且 AC x 2,AC =当直线为圆的切线时，，,AP C PC =AP =故，此时直线的斜率为1， 45PAC ∠=︒AP 由对称性及图形可得. []11,11y x -∈-+故选:A.8. 设抛物线，点为上一点，过点作轴于点，若点，则2:4C x y =P C P PQ x ⊥Q (4,2)A 的最小值为（）PQ PA +A.B.C. 4D. 51-1【答案】B 【解析】【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，由抛物线的定义可知，1PQ PF =-则，即可得解.11PQ PA PF PA AF +=+-≥-【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，由抛物线的定义可知2:4C x y =()0,1F 1y =-，1PQ PF =-所以，1111PQ PA PF PA AF +=+-≥-=-=-当且仅当、、三点共线（在之间）时取等号.A P F P AF故选：B9. 某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年10%年底卖出100头牛，牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，即，{}n c 11200c =则大约为（）10c （参考数据：） 8910111.1 2.144,1.1 2.358,1.1 2.594,1.1 2.853≈≈≈≈A. 1429 B. 1472C. 1519D. 1571【答案】B 【解析】【分析】可以利用“每年存栏数的增长率为”和“每年年底卖出100头”建立与10%1n c +的关系，利用待定系数法证得是等比数列，从而求得，进而求得．n c {}1000n c -n c 10c 【详解】由题意，得，并且， 11200c =1 1.1100n n c c +=-令，化成， 1()n n c r k c k +=--1n n c rc rk k +=-+所以，解得，1.1100r k rk =⎧⎨-=-⎩ 1.11000r k =⎧⎨=⎩所以，()11000 1.11000n n c c +-=-所以是以为首项，为公比的等比数列， {}1000n c -200 1.1则，11000200 1.1n n c --=⨯1200 1.11000n n c -=⨯+所以. 910200 1.110001472c =⨯+≈故选：B.10. 过定点M 的直线与过定点N 的直线交于点A （A 与20tx y ++=240x ty t -+-=M ，N 不重合），则面积的最大值为（） AMN A A. B.C. 8D. 16【答案】C 【解析】【分析】根据题意分析可得点A 在以为直径的圆上，结合圆的性质求面积的MN AMN A最大值.【详解】对于直线，即， 20tx y ++=()20tx y ++=可得直线过定点，20tx y ++=()0,2M -对于直线，即， 240x ty t -+-=()()420x t y ---=可得直线过定点，240x ty t -+-=()4,2N ∵，则直线与直线垂直，即， ()110t t ⨯+⨯-=20tx y ++=240x ty t -+-=AM AN ⊥∴点A 在以为直径的圆上，且，MNMN ==由圆的性质可知：面积的最大值为.AMN A 218224MN MN MN ⨯⨯==故选：C.11. 已知数列满足，且{}na ()*11,(02,a m m m =--=≥∈N，则数列的前18项和为（） ()*2πsin3n n n a b n =∈N {}n b A.B.C.D.3-54---【答案】D 【解析】【分析】利用数列的递推公式，结合累乘法，求得其通项公式，根据三角函数的计{}n a 算，求得数列的周期，整理数列的通项公式，利用分组求和，可得答案. 2sin3n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n b【详解】由，则， (10m --=()2211m m m aa m --=即， ()()()2223212222121213111123n n n n aa a a a a a a n n ----=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= 显然，满足公式，即， 12111a ==21n a n =当时，时，；当时，； 1n =2sin3π=2n =4sin 3π=3n =sin 20π=当时，，当时，时，； 4n =8sin3π=5n =10sin 3π=6n =sin 40π=则数列是以为周期的数列，由，则， 2sin3n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭32sin 3n n n a b π=22sin 3nn b n π=设数列的前项和为，{}n b n n S 1812318Sb b b b =++++22222212304560⎛⎛=+⨯+⨯++⨯+⨯+⎝⎝ 2221617180⎛++⨯+⨯ ⎝)22222212451617=-+-++- ()()()()()()1212454516171617=-++-+++-+⎤⎦)391533=++++ ()33362+⨯==-故选：D.12. 已知是双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，以12,F F 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>1FO 为直径的圆与双曲线C 的一个交点为A ，以为直径的圆与双曲线C的一个交点为B ，12F F 若，A ，B恰好共线，则双曲线C 的离心率为（） 1F A.B.C. D. 3【答案】B 【解析】【分析】设，在中，根据余弦定理可得，根12F BF α∠=12BF F △21221cos b BF BF α=-据三角形面积公式可得，设,,则122tan2BF F b S α=△1AF AB m ==22BF n =，从而可得，，代入，结合()()122222222122tan 45222BF F m n a b S m n m n m a ⎧-=⎪⎪==⨯⨯⎨︒⎪⎪+=+⎩A 2n a =3m a =22mn b =及离心率公式即可求解.222b c a =-【详解】设，因为在双曲线上，故.12F BF α∠=B 122BF BF a -=由余弦定理可得2221212122cos F F BF BF BF BF α=+-，()()2121221cos BF BF BF BF α=-+-所以. ()()()2221222221cos 1cos c a b BF BF αα-==--所以 122221222sincos1sin 22sin 21cos tan112sin 22BF F b b bS BF BF ααααααα====-⎛⎫-- ⎪⎝⎭△由题意可得与为直角三角形，所以. 1AOF △12BF F △1290F BF ∠=︒因为是的中点，所以是的中点. O 12F F A 1BF 设,,则.1AF AB m ==22BF n =22AF m a =+所以. ()()122222222122tan 45222BF F m n ab S m n m n m a ⎧-=⎪⎪==⨯⨯⎨︒⎪⎪+=+⎩A 2222444m n a mn b n a am -=⎧⎪⇒=⎨⎪=+⎩故()()22444n m n m n m =-+-⇒22222n m mn n m mn =-++-. ⇒2230m mn -=⇒32m n =所以,解得，. 32n n a -=2n a =3m a =所以,可得，故. 222232a ab c a ⨯⨯==-2213c a =ce a==故选：B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 直线与直线之间的距离为_____________． 1:220l x y ++=2:2410l x y +-=【解析】【分析】确定两直线是平行直线，故可根据平行线间的距离公式求得答案. 【详解】直线可化为， 2:2410l x y +-=21202l x y +-=：则直线与直线平行1:220l x y ++=2:2410l x y +-=故直线与直线之间的距离为， 1:220l x y ++=2:2410l x y +-=d ==. 14. 设、分别在正方体的棱、上，且，E F 1111ABCD A B C D -AB CD 13BE EA =，则直线与所成角的余弦值为_____________． 13DF FC =1B E 1D F 【答案】1517【解析】【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与所成D 1B E 1D F 角的余弦值．【详解】、分别在正方体的棱、上，且，E F 1111ABCD A B C D -AB CD 13BE EA =， 13DF FC =如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，D设，则，，，，4AB =()14,4,4B ()4,3,0E ()10,0,4D ()0,1,0F，，()10,1,4B E =-- ()10,1,4D F =-设直线与所成角为， 1B E 1D F θ则直线与所成角的余弦值1B E 1D F ．11111115cos cos ,17B E D F B E D F B E D Fθ⋅====⋅ 故答案为：． 151715. 已知，是椭圆：（）的左，右焦点，A 是椭圆的左1F 2F C 22221x y a b+=0a b >>C 顶点，点在过A 的直线上，为等腰三角形，，则P 12PF F △12120F F P ∠=︒椭圆的离心率为______. C 【答案】##0.5 12【解析】【分析】结合图像，得到，再在中，求得，，22PF c =2Rt PF QA PQ =2F Q c =从而得到，代入直线可得到，由此可求得椭圆的离心率. ()2P c AP 2a c =C 【详解】由题意知，直线的方程为：()()()12,0,,0,,0A a F c F c --AP ()y x a =+，由为等腰三角形，，得，12PF F △12120F F P ∠=︒2122PF F F c ==过作垂直于轴，如图，则在中，， P PQ x 2Rt PF Q A 218012060PF Q∠=︒-︒=︒故，， 22sin 2PQ PF PF c Q =∠==2221cos 22F Q PF P c Q F c =∠=⨯=所以，即，()P c c+()2P c 代入直线，即， ):AP y x a =+()2a c =+2a c =所以所求的椭圆离心率为. 12c e a ==故答案为：.12.16. 首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n 项和为，现有下列4个命题： {}n a n S ①也是等差数列；23,,,n n n S S S ②数列也是等差数列； n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭③若，则时，最大；15160,0S S ><8n =n S ④若的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，则此数列{}n a 的项数是19．其中所有真命题的序号是_____________．【答案】②③④【解析】【分析】对①，由等差中项性质判断；对②，求出数列的通项公式即可判断； n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭对③，由结合解析式化简得，由定义即可判断； 15160,0S S ><890,0a a ><n S 对④，设项数为，根据求和公式列方程组解得参数，即可判断.*21,k k +ÎN 【详解】设数列的公差为d ，，首项为，则，{}n a 0d ≠10a >()11n a a n d +-=， ()12121222n S n a n d n d d n a ⎡⎤+-⎛⎫⎣⎦==+- ⎪⎝⎭对①，23222111942322222222n n n S d d d d d d S n S a n n a n n a n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-++--+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣+⎝⎭⎦，∴不是等差数列，①错； 20dn =≠23,,,n n n S S S 对②，，则数列为首项，公差为的等差数列，②对； ()112n S d a n n =+-⋅n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1a 2d 对③，∵，，∴，10a >15160,0S S ><0d <，()151881015750S d a a a =+=>⇒>， 9169115161602022S d a d d a a ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎭<⇒<⎪⎭⎝<⎝∴由定义可知，时，最大，③对；n S 8n =n S 对④，由题意可设的项数为，{}n a *21,k k +ÎN 则所有奇数项组成的数列为首项，公差，项数为的等差数列，故所有奇数项的1a 2d 1k +和为，[]()()()1122112902a k d k a kd k +⋅+=++=所有偶数项组成的数列为首项，公差，项数为的等差数列，故所有偶数项的和1a d +2d k 为.()()()112122612a d k d ka kd k ⎡⎤++-⋅⎣⎦=+=两式相除得，∴数列的项数是19，④对. 12909261k k k +=Þ=故答案为：②③④.三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知是数列的前项和，且，，设． n S {}n a n 24S =416S =n n S b n =（1）若是等比数列，求；{}n b 10b （2）若是等差数列，求的前项和，{}n a {}n b n n T 【答案】（1）1032b =（2） (1)2n n n T +=【解析】【分析】（1）由等比数列的通项公式的求法求解即可；（2）由等差数列的通项公式的求法，结合公式法求数列的前项和即可．n 【小问1详解】解：已知是数列的前项和，且，，， n S {}n a n 24S =416S =n n S b n=则， 4242b b =⎧⎨=⎩又是等比数列，设公比为,则，即； {}n b q 2422b q b ==841022232b b q ==⨯=【小问2详解】解：已知是等差数列，设公差为,{}n a d 又，，则， 24S =416S =11244616a d a d +=⎧⎨+=⎩则，即， 112a d =⎧⎨=⎩21n a n =-则， 2(121)2n n n S n +-==则， n n S b n n==则， (1)123...2n n n T n +=++++=即的前项和． {}n b n (1)2n n n T +=18. 在平面直角坐标系中，已知圆M 的圆心在直线上，且圆M 与直线Oxy 2y x =-相切于点．10x y +-=(2,1)P -（1）求圆M 的方程；（2）过的直线l 被圆M，求直线l 的方程．(0,2)-【答案】（1）()()22122x y -+=+（2）或2y x =-2y x =--【解析】【分析】（1）根据已知得出点与直线垂直的直线方程，根据圆切线的性质P 10x y +-=得出该直线过圆心，与已知过圆心方程联立即可得出圆心坐标，根据圆心到切线的距离得出圆的半径，即可得出圆的方程；（2）根据弦长得出点到直线l 的距离，分类讨论直线l 的斜率，设出方程，利用点到直M 线的距离列式，即可得出答案.【小问1详解】过点与直线垂直的直线方程为：，即 (2,1)P -10x y +-=12y x +=-3y x =-则直线过圆心， 3y x =-解得，即圆心为， 32y x y x =-⎧⎨=-⎩12x y =⎧⎨=-⎩()1,2M -则半径为r 则圆M 的方程为：；()()22122x y -+=+【小问2详解】过的直线l 被圆M ，(0,2)-则点到直线l的距离 M d ==若直线l 的斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线l 的距离为1，不符合题意； 0x =若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：，2y kx =-则，解得，d ==1k =±则直线l 的方程为：或.2y x =-2y x =--19. 如图，和所在平面垂直，且．ABC ADBC △AB BC BD CBA DBC θ==∠=∠=，（1）求证：；AD BC ⊥（2）若，求平面和平面的夹角的余弦值． 2π3θ=ABD ABC【答案】（1）见解析；（2. 【解析】【分析】（1）取的中点，可得，根据可得，AD E BE AD ⊥ABC DBC △≌△CE AD ⊥由线面垂直的判定定理及性质定理可证明；（2）作于点,以点为原点，所在直线分别为轴建立空AO BC ⊥O O ,,OD OC OA ,,x y z 间坐标系，求出两个平面的法向量即可求解.【小问1详解】取的中点，连接，AD E ,BE CE因为，所以.AB BD =BE AD ⊥因为为公共边，,,AB BD CBA DBC BC =∠=∠所以，所以,所以.ABC DBC △≌△CA CD =CE AD ⊥因为平面，所以平面，,,BE CE E BE CE =⊂ BCE AD ⊥BCE 因为平面,所以.BC ⊂BCE AD BC ⊥【小问2详解】当,可设, 2π3θ=1AB =作于点,连接，易证两两垂直，AO BC ⊥O DO ,,AO OC OD 以点为原点，所在直线分别为轴建立空间坐标系，O ,,OD OC OA ,,x y z则, ()130,0,0,,0,,0,0,,0,22O D B C A ⎫⎛⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎭⎝设平面的法向量为，ABD (),,n x y z = ,10,,,2AB AD ⎛== ⎝ 所以，1020n AB y z n AD x z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩ 令,可得. 1z =1,x y ==()n =r易知平面，所以平面的法向量为，OD ⊥ABC ABC ()1,0,0m =设平面和平面的夹角为，ABD ABC α则cos ,m n m n m n ⋅===⋅ 故平面和平面. ABD ABC 20. 已知直线与抛物线交于A ，B 两点．l 2:2(0)C x py p =>（1）若，直线的斜率为1，且过抛物线C 的焦点，求线段AB 的长；2p =l （2）若交AB 于，求p 的值．OA OB OD AB ⊥⊥，(2,2)D -【答案】（1）8；（2）. 47【解析】【分析】（1）焦点为，直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，根据()0,1F l 1y x =+弦长公式即可求解；（2）设直线的方程为，根据题意可得，且在直线l y kx m =+1OD AB k k ⋅=-(2,2)D -l 上，从而可得直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理可得l 4y x =+，代入即可求解.12122,8x x p x x p +==-0OA OB ⋅=【小问1详解】若，则抛物线，焦点为，2p =2:4C x y =()0,1F 故直线的方程为.l 1y x =+设， ()()1122,,,A x y B x y 联立，消去，可得，241x y y x ⎧=⎨=+⎩y 2440x x --=，故. ()()24414320∆=--⨯⨯-=>12124,4x xx x +==-故.8AB ===【小问2详解】设直线的方程为，，l y kx m =+()()1122,,,A x y B x y 因为交AB 于，所以，且，OD AB ⊥(2,2)D -1OD AB k k ⋅=-1OD k =-所以，直线的方程为.1AB k =l y x m =+又在直线上，所以,解得.(2,2)D -l 22m =-+4m =所以直线的方程为.l 4y x =+由，消去，可得， 224x py y x ⎧=⎨=+⎩y 2280x px p --=则.12122,8x x p x x p +==-因为，OA OB ⊥所以， ()()12121212121244280OA OB x x y y x x x x x x x x ⋅=+=++++=+++= 即，解得. ()28280p p ⨯-++=47p =21. 已知等比数列的前n 项和为，且． {}n a n S ()*122n n a S n +=+∈N （1）求数列的通项公式；{}n a （2）若，求数列的前n 项和． 21n nn b a -={}n b n T 【答案】（1）；123n n a -=⋅（2）. 131223n n n T -+=-⨯【解析】【分析】（1）根据与的关系可得公比，由可求，再根n a n S 211122223a S a a =+=+=1a 据等比数列的通项公式即可求解；（2），由错位相减法即可求解. 1212123n n n n n b a ---==⋅【小问1详解】因为，()*122n n a S n +=+∈N 所以当时，，2n ≥122n n a S -=+两式相减得，即.12n n n a a a +=-13n n a a +=故等比数列的公比为3.{}n a 故，解得.211122223a S a a =+=+=12a =所以. 123n n a -=⋅【小问2详解】， 1212123n n n n n b a ---==⋅故①， 120121113232123333n n n n n n T b b b ----⎛⎫=+++=++++ ⎪⎝⎭②， 12111132321323333n n n n n T ---⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭①-②，得 0121211222213233333n n n n T --⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 121111121233323n n n --⎛⎫=++++- ⎪⋅⎝⎭ 111133121122313n nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥-⎣⎦=+-⋅- 111121222323n nn --=+--⋅⋅， 112112323n n n --=--⋅⋅113nn +=-所以. 131223n n n T -+=-⨯22. 已知椭圆，点在椭圆C 上．2222:1(0)x y C a b a b +=>>P ⎛⎝（1）求椭圆C 的标准方程；（2）记A 是椭圆的左顶点，若直线l 过点且与椭圆C 交于M ，N 两点（M ，N⎫⎪⎪⎭与A 均不重合），设直线AM ，AN 的斜率分别是．试问是否为定值？若是，求12k k ，12k k ⋅出定值；若不是，请说明理由．【答案】（1） 2212x y +=（2）是，定值为，理由见解析 16-【解析】【分析】（1）由待定系数法列方程组求解；（2）直线l 的斜率不为0，设为，结合韦达定理表示即可化简判断. x my =+12k k ⋅【小问1详解】由题意得，，∴椭圆C的标准方程为； 2222222112121a ba c ab a bc ⎧⎪+=⎪⎪⎪⎧==⇒⎨⎨=⎩⎪-=⎪⎪⎪⎩2212x y +=【小问2详解】由题意得，直线l 的斜率不为0，设为，，x my =()()1122,,,M x y N x y ，()A 联立直线与椭圆消x 得，，则()222230m y ++-=， ()12122322y y y y m +==-+∴12k k ⋅=== ()2322m -+=()22232393222m m m -=--++. 16=-故是定值，为. 12k k ⋅16-。

高二数学(理科)下学期期末考试试题(带参考答案)

高二数学（理科）下学期期末考试试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程31x ax be ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（）A ．方程31x ax be ++=没有实根 B ．方程31x ax b e ++=至多有一个实根 C ．方程31x ax be++=至多有两个实根 D ．方程31x ax b e ++=恰好有两个实根2．设i 是虚数单位，若2i 1iz=+-，则复数z 的共轭复数是（） A ．1i + B ．2i + C ．3i - D ．3i + 3．13aedx x=⎰，则a =（） A ．212e B ．4e C ．3e D ．2e 4．已知随机变量ξ服从正态分布(),16N μ，且()()261P P <-+≤=ξξ，则=μ（） A ．4- B ．4 C ．2- D ．25．已知直线l 过点()1,1P ，且与曲线3y x =在点P 处的切线互相垂直，则直线l 的方程为（） A ．340x y ++= B ．340x y +-= C ．320x y -+= D ．320x y --= 6．用数学归纳法证明“11112321n n ++++<-L （2n ≥）”时，由n k =的假设证明1n k =+时，不等式左边需增加的项数为（） A ．12k - B ．21k - C ．2k D ．21k+7．一批产品的合格率为90%，检验员抽检时出错率为10%，则检验员抽取一件产品，检验为合格品的概率是（）A ．0.81B ．0.82C ．0.90D ．0.918．为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的22⨯列联表：附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++参照附表，得到的正确结论是（）A ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”C ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”D ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”9．如果42a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数之和为2，则展开式中x 的系数是（）A ．8B ．8-C ．16D ．16-10．已知()2cos 4f x x x =+，()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．11．已知6件不同产品中有2件是次品，现对它们依次进行测试，直至找出所有次品为止.若恰在第4次测试后，就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是（） A ．24 B ．72 C ．96 D ．36012．已知()y f x =为定义在R 上的单调递增函数，()y f x '=是其导函数，若对任意x ∈R 总有()()12017f x f x <'，则下列大小关系一定正确的是（）A ．()102017f e f ⎛⎫>⋅⎪⎝⎭ B ．()102017f e f ⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭C ．()2102017f e f ⎛⎫>⋅⎪⎝⎭D ．()2102017f e f ⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．曲线2y x =与y =所围成的封闭图形的面积为．14．设某种机械设备能够连续正常工作10000小时的概率为0.85，能够连续正常工作15000小时的概率为0.75，现有一台连续工作了10000小时的这种机械，它能够连续正常工作到15000小时的概率是． 15．若()2017201212x a a x a x -=++20172017a x ++L （x ∈R ），则12323111222a a a ++2017201712a ++L 的值为．16．如果对定义在区间D 上的函数()f x ，对区间D 内任意两个不相等的实数1x ，2x ，都有()()1122x f x x f x +()()1221x f x x f x >+，则称函数()f x 为区间D 上的“H 函数”.给出下列函数及函数对应的区间 ①()32111322f x x x x =-+，（x ∈R ）；②()3cos sin f x x x x =+-，0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π； ③()()1xf x x e -=+，(),1x ∈-∞；④()ln f x x x =，10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.以上函数为区间D 上的“H 函数”的序号是．（写出所有正确的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知复数()22431233a a z a a i a --=++-+（a ∈R ）. （Ⅰ）若z z =，求a ；（Ⅱ）a 取什么值时，z 是纯虚数. 18．已知函数()321233f x x x x b =-++（b ∈R ）. （Ⅰ）当0b =时，求()f x 在[]1,4上的值域；（Ⅱ）若函数()f x 有三个不同的零点，求b 的取值范围.19．在一次抽样调查中测得样本的6组数据，得到一个变量y 关于x 的回归方程模型，其对应的数值如下表：（Ⅰ）请用相关系数r 加以说明y 与x 之间存在线性相关关系（当0.81r >时，说明y 与x 之间具有线性相关关系）；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果，建立y 关于x的回归方程并预测当9x =时，对应的y 值为多少（ˆb精确到0.01）.附参考公式：回归方程ˆˆa =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 1221ˆni ii nii x y nx ybxnx==-=-∑∑，ˆˆ=-ay bx ，相关系数r公式为：ni ix y nx yr -=∑参考数据：6147.64i ii x y==∑，621139i i x ==∑ 4.18= 1.53=.20．近几年来，我国许多地区经常出现干旱现象，为抗旱经常要进行人工降雨.现由天气预报得知，某地在未来5天的指定时间的降雨概率是：前3天均为12，后2天均为45，5天内任何一天的该指定时间没有降雨，则在当天实行人工降雨，否则，当天不实施人工降雨. （Ⅰ）求至少有一天需要人工降雨的概率；（Ⅱ）求不需要人工降雨的天数X 的分布列和期望. 21．已知函数()21ln 2f x x ax =-，a ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()11f x a x ≤--恒成立，求整数a 的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos x y =⎧⎪⎨=⎪⎩αα（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 4⎛⎫+= ⎪⎝⎭πρθ（Ⅰ）求直角坐标系下曲线1C 与曲线2C 的方程；（Ⅱ）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最大值，并求此时点P 的坐标. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x x a =++-. （Ⅰ）当3a =时，解不等式()5f x >；（Ⅱ）若关于x 的不等式()21f x a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.高二数学（理科）试题参考答案一、选择题1-5:ADBDB 6-10:CBDCA 11、12：CA二、填空题13．13 14．151715．1- 16．①② 三、解答题17．解：（Ⅰ）230230a a a +≠⎧⎨+-=⎩解得331a a a ≠-⎧⎨=-=⎩或所以1a =（Ⅱ）22304310230a a a a a +≠⎧⎪--=⎨⎪+-≠⎩解得311413a a a a a ≠-⎧⎪⎪==-⎨⎪≠≠-⎪⎩或且所以14a =-18．解：（Ⅰ）当0b =时，()321233f x x x x =-+，()243f x x x '=-+=()()13x x --，当()1,3x ∈时，()0f x '<，故函数()f x 在()1,3上单调递减，当()3,4x ∈时，()0f x '>，故函数()f x 在()3,4上单调递增. 由()30f =，()()4143f f ==. ∴()f x 在[]1,4上的值域为40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，()243f x x x '=-+()()13x x =--，由()0f x '<得13x <<，由()0f x '>得1x <或3x >所以()f x 在()1,3上单调递减，在(),1-∞，()3,+∞上单调递增；所以()()413f x f b ==+极大值，()()3f x f b ==极小值所以当403b +>且0b <，即403b -<<时，()10,1x ∃∈，()21,3x ∈，()33,4x ∈.使得()()()1230f x f x f x ===. 由()f x 的单调性知，当且仅当4,03b ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()f x 有三个不同零点. 19．解：（Ⅰ）由题意，计算()1234567 4.56x =⨯+++++=， ()13 2.48 2.08 1.86 1.48+1.10=26y =⨯++++，且6147.64i ii x y==∑4.18=1.53=ni ix y nx yr -=∑47.646 4.52 6.36=4.18 1.53 6.3954-⨯⨯=-⨯0.99≈-；∵0.81r >，说明y 与x 之间存在线性相关关系；（Ⅱ）1221ˆni ii ni i x y nx ybx nx==-=-∑∑247.646 4.52 6.360.361396 4.517.5-⨯⨯==-≈--⨯， ∴ˆˆ2ay bx =-=+0.36 4.5 3.62⨯= ∴y 与x 的线性回归方程是ˆ0.369 3.62y=-⨯+，将9x =代入回归方程得ˆ0.369 3.620.38y=-⨯+=. 20．解：（Ⅰ）5天全不需要人工降雨的概率是3211422525P ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故至少有1天需要人工降雨的概率是123125P -=.（Ⅱ）X 的取值是0，1，2，3，4，5()32111025200P X ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()321311125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31211411255200C ⎛⎫⨯⨯⨯=⎪⎝⎭()32321331112252P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭121455C ⨯⨯⨯+32144325200⎛⎫⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()321314325P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32132114255C C ⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⎪⎝⎭32117325200⎛⎫⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()3121414255P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭3223145672520025C ⎛⎫⎛⎫+⨯⨯==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()3214252525P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴不需要人工降雨的天数X 分布列是不需要人工降雨的天数X 的期望是()11143012200200200E X =⨯+⨯+⨯7372345 3.12002525+⨯+⨯+⨯= 21．解：（Ⅰ）()211ax f x ax x x-'=-=，函数()f x 的定义域为()0,+∞当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上单调递增当0a >时，令()0f x '=，则x =当0x <<()0f x '>，()f x 为增函数；当x >()0f x '<，()f x 为减函数.∴当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无减区间. 当0a >时，()f x的单调递增区间为⎛ ⎝，单调递减区间为⎫+∞⎪⎪⎭（Ⅱ）由()21ln 112x ax a x -≤--得()()22ln 12x x a x x ++≤+ ∵0x >∴原命题等价于()22ln 12x x a x x++≥+在()0,+∞上恒成立.令()()22ln 12x x g x x x++=+，则()()()()22212ln 2x x x g x xx -++'=+令()2ln h x x x =+，则()h x 在()0,+∞上单调递增由()110h =>，112ln 2022h ⎛⎫=-+<⎪⎝⎭∴存在唯一01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使()00h x =，002ln 0x x += ∴当00x x <<时，()0g x '>，()g x 为增函数当0x x >时，()0g x '<，()g x 为减函数 ∴0x x =时()()002max 002ln 12x x g x x x ++==+()0000112x x x x +=+ ∴01a x ≥又01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则()011,2x ∈由a ∈Z ，所以2a ≥ 故整数a 的最小值为2.22．解：（Ⅰ）由曲线1C：cos x y =⎧⎪⎨=⎪⎩αα，可得cos sin x =⎧⎪=αα，两式两边平方相加得：2213y x +=，即曲线1C 在直角坐标系下的方程为：2213y x +=. 由曲线2C：()sin sin cos 4⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭πρθθθ，即s i n c o s 80+-=ρθρθ，所以80x y +-=，即曲线2C 在直角坐标系下的方程为：80x y +-=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆1C 与直线2C无公共点，椭圆上的点()cos P αα到直线80x y +-=的距离为d ==46⎛⎫=+- ⎪⎝⎭πα，∴当sin 16⎛⎫+=- ⎪⎝⎭πα即43=πα时，d的最大值为此时点P 的坐标为13,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 23．解：（Ⅰ）当3a =时，()135f x x x =++->，等价于：①1135x x x ≤-⎧⎨---+>⎩，得32x <-；②13135x x x -<<⎧⎨+-+>⎩，无解；③3135x x x ≥⎧⎨++->⎩，得72x >；综上，解集为32x x ⎧<-⎨⎩或72x ⎫>⎬⎭. （Ⅱ）()1f x x x a =++-=1x a x ++-≥1x a x ++-121a a =+≥-，则121a a +≥-或()121a a +≤--，11 得2a ≤，所以a 的取值范围为(],2-∞.。

学高二第二学期期末考试理科数学试题及答案

试卷类型：A高二数学（理科）试题注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页。

2.答题前，考生务必在答题卡上用直径毫米的黑色字迹签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并粘好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

3.答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

答在本试卷上无效。

4.答第Ⅱ卷时，请用直径毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答。

答在本试卷上无效。

5.第（22）、（23）小题为选考题，请按题目要求从中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。

6.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

附：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为： ∑∑∑∑====--=---=ni ini ii ni ini iixn xy x n yx x x y yx x b1221121)())((ˆ，x b y aˆˆ-= 第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知复数iiz +-=122，其中i 是虚数单位，则z 的模等于（A ）2- (B) 3 (C) 4 (D) 2（2）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数c b a ,,中恰有一个偶数”正确的反设为(A) c b a ,,中至少有两个偶数 (B)c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数 (C) c b a ,,都是奇数 (D) c b a ,,都是偶数（3）用数学归纳法证明：对任意正偶数n ，均有41212111 (41)31211+++=--++-+-n n n n （ )21...n++，在验证2=n 正确后，归纳假设应写成（A ）假设)(*N k k n ∈=时命题成立（B ）假设)(*N k k n ∈≥时命题成立（C ）假设)(2*N k k n ∈=时命题成立（D ）假设))(1(2*N k k n ∈+=时命题成立(4)从3男4女共7人中选出3人，且所选3人有男有女，则不同的选法种数有（A ）30种 (B) 32 种 (C) 34种 (D) 35种(5)曲线xey =在点()22e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(A)22e (B)2e (C) 22e (D) 492e(6)已知随机变量X服从正态分布()2,3σN ，且)3(41)1(>=<X P X P ，则)5(<X P 等于(A)81 (B) 85 (C) 43 (D) 87 (7)已知⎰≥3sin 2πxdx a ，曲线)1ln(1)(++=ax aax x f 在点())1(,1f 处的切线的斜率为k ，则k 的最小值为(A)1 (B)23(C)2 (D) 3 （8）甲、乙、丙三人独立参加体育达标测试，已知甲、乙、丙各自通过测试的概率分别为p ,4332，，且他们是否通过测试互不影响.若三人中只有甲通过的概率为161，则甲、丙二人中至少有一人通过测试的概率为(A)87 (B) 43 (C) 85 (D) 76 （9）函数)1(2)(3-'+=f x x x f ，则函数)(x f 在区间[]3,2-上的值域是 (A) ]9,24[- (B) ]24,24[- (C) ]24,4[ (D)[]9,4 (10)设()()5522105)1(...1)1(1x a x a x a a x +++++++=-，则420a a a ++等于 (A) 242 (B) 121 (C) 244 (D)122(11)已知函数)()()(2R b x bx x e x f x ∈-=.若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x ，使得0)()(>'+x f x x f ，则实数b 的取值范围是(A) ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-65, (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-38, (C) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-65,23 (D) ⎪⎭⎫⎝⎛∞+，38(12)中国南北朝时期的着作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设)0(,,>m m b a 为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为)(mod m b a =.如9和21被6除得的余数都是3，则记)6(mod 219=.若20202022201200202...22⋅++⋅+⋅+=C C C C a ，)10(mod b a =，则b 的值可以是(A) 2011 (B) 2012 (C) 2013 (D) 2014第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

高二数学下学期期末考试理科试题含答案

第二学期高二年级期末考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.复数z 满足()134i z i -=+，则z =（）A.52B.2C. D.52.设集合{}419A x x =-≥，03x B xx ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋂等于（）A.(3,2]--B.5(3,2]0,2⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦C.5(,2],2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ D.5(,3),2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭3.二项式(52x +的展开式中，3x 的系数为（）A.80B.40C.20D.104.由直线2y x =及曲线24y x x =-围成的封闭图形的面积为（） A.1B.43C.83D.45.已知命题:p 若0x >，则sin x x <，命题 :q 函数2()2xf x x =-有两个零点，则下列说法正确的是（）①p q ∧为真命题；②p q ⌝∨⌝为真命题；③p q ∨为真命题；④p q ⌝∨为真命题 A.①②B.①④C.②③D.①③④6.函数3()1f x ax x =++有极值的一个充分不必要条件是（） A.1a <- B.1a <C.0a <D.0a >7.为了解某社区居民的家庭年收入年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：但是统计员不小心丢失了一个数据（用m 代替），在数据丢失之前得到回归直线方程为0.760.4y x =+，则m 的值等于（）A.8.60B.8.80C.9.25D.9.528.2020年全国高中生健美操大赛，某市高中生代表队运动员由2名男生和3名女生共5名同学组成，这5名同学站成一排合影留念，则3名女生中有且只有两位女生相邻的排列种数共有（） A.36B.54种C.72种D.144种9.《易经》是中国传统文化中的精髓.下图是易经先天八卦图（记忆口诀：乾三连、坤六断、巽下断、震仰盂、坎中满、离中虚、艮覆碗、兑上缺），每一卦由三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），现从八卦中任取两卦，已知每卦都含有阳线和阴线，则这两卦的六根线中恰有四根阳线和两根阴线的概率为（）A.13B.514C.314D.1510.观察下列算式：311=3235=+ 337911=++ 3413151719=+++若某数3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n =（） A.42B.43C.44D.4511.如图是一个质地均匀的转盘，一向上的指针固定在圆盘中心，盘面分为A ，B ，C 三个区域，每次转动转盘时，指针最终都会随机停留在A ，B ，C 中的某一个区域，且指针停留在区域A ，B 的概率分别是p 和1206p p ⎛⎫<<⎪⎝⎭.每次转动转盘时，指针停留在区域A ，B ，C 分别获得积分10，5，0.设某人转动转盘3次获得总积分为5的概率为()f p ，则()f p 的最大值点0p 的值为（）A.17B.18C.19D.11012.定义在(2,2)-上的函数()f x 的导函数为()f x '，已知2(1)f e =，且()2()f x f x '>，则不等式24(2)xe f x e -<的解集为（）A.(1,4)B.(2,1)-C.(1,)+∞D.(0,1)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.命题“0x ∃<，220x x -->”的否定是“______”. 14.曲线1ln y x x=-在1x =处的切线在y 轴上的截距为______. 15.我国在2020年11月1日零时开始展开第七次全国人口普查，甲、乙等5名志愿者参加4个不同社区的人口普查工作，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只去一个社区，则不同的安排方法共有______种.16.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲、乙在每局中获胜的概率均为12，且各局胜负相互独立，比赛停止时一共打了ξ局，则ξ的方差()D ξ=______.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知函数()|3|f x x =-，()|4|g x x m =-++. （1）当9m =时，解关于x 的不等式()()f x g x >；（2）若()()f x g x >对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 18.（本小题满分12分）盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶.由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”.某款盲盒内可能装有某一套玩偶的A ，B ，C 三种样式，且每个盲盒只装一个.（1）某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机发放了200份问卷，并全部收回.经统计，有30%的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，女生占23；而在未购买者当中，男生女生各占50%.请根据以上信息填写下表，并判断是否有95%的把握认为购买该款盲盒与性别有关?附：)22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：（2）该销售网点已经售卖该款盲盒6周，并记录了销售情况，如下表：由于电脑故障，第二周数据现已丢失，该销售网点负责人决定用第4、5、6周的数据求线性回归方程，再用第1，3周数据进行检验.①请用4，5，6周的数据求出）关于x 的线性回归方程y bx a =+；（注：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-）②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2盒，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问①中所得的线性回归方程是否可靠? 19.（本小题满分12分）在某学校某次射箭比赛中，随机抽取了100名学员的成绩（单位：环），并把所得数据制成了如下所示的频数分布表；（1）求抽取的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知这次比赛共有2000名学员参加，如果近似地认为这次成绩Z 服从正态分布()2,N μσ（其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2 1.61s =），且规定8.27环是合格线，那么在这2000名学员中，合格的有多少人?（3）已知样本中成绩在[9,10]的6名学员中，有4名男生和2名女生，现从中任选3人代表学校参加全国比赛，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E ξ. [附：若()2~,Z N μσ，则()0.6827P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9545P Z μσμσ-<<+=， 1.27≈，结果取整数部分]20.（本小题满分12分）已知()23x x f e x e =--. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的值域；（3）若函数1()g x f kx x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在定义域上是增函数，求实数k 的取值范围. 21.（本小题满分12分）随着5G 通讯技术的发展成熟，移动互联网短视频变得越来越普及，人们也越来越热衷于通过短视频获取资讯和学习成长.某短视频创作平台，为了鼓励短视频创作者生产出更多高质量的短视频，会对创作者上传的短视频进行审核，通过审核后的短视频，会对用户进行重点的分发推荐.短视频创作者上传一条短视频后，先由短视频创作平台的智能机器人进行第一阶段审核，短视频审核通过的概率为35，通过智能机器人审核后，进入第二阶段的人工审核，人工审核部门会随机分配3名员工对该条短视频进行审核，同一条短视频每名员工审核通过的概率均为12，若该视频获得2名或者2名以上员工审核通过，则该短视频获得重点分发推荐.（1）某创作者上传一条短视频，求该短视频获得重点分发推荐的概率；（2）若某创作者一次性上传3条短视频作品，求其获得重点分发推荐的短视频个数的分布列与数学期望.22.（本小题满分12分）已知2()sin sin xxf x x e xe x ax a x =--+. （1）当()f x 有两个零点时，求a 的取值范围；（2）当1a =，0x >时，设()()sin f x g x x x=-，求证：()ln g x x x ≥+.六安一中2020~2021学年第二学期高二年级期末考试数学试卷（理科）参考答案一、选择题：二、填空题：13.0x ∀<，220x x --≤ 14.-315.240 16.114三、解答题：17.解：（1）当9m =时，由()()f x g x >，得341x x -++>，4349x x x <-⎧⎨--->⎩或43349x x x -≤≤⎧⎨-++>⎩或3349x x x >⎧⎨-++>⎩ 解得，5x <-或x 无解或4x >，故不等式的解集为(,5)(4,)x ∈-∞-⋃+∞.（2）因为()()f x g x >恒成立，即|3||4|x x m ->-++恒成立，所以|3||4|m x x <-++恒成立，所以min (|3||4|)m x x <-++，因为|3||4||(3)(4)|7x x x x -++≥--+=（当43x -≤≤时取等号）所以min (|3||4|)7x x -++=，所以实数m 的取值范围是(,7)-∞. 18.解：（1）则2 4.714 3.8411109060140K =≈>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为“购买该款盲盒与性别有关”. （2）①由数据，求得5x =，27y =，由公式求得222(45)(2527)(55)(2627)(65)(3027)5ˆ(45)(55)(65)2b--+--+--==-+-+-， 5ˆˆ27514.52ay bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.514.5yx =+. ②当1x =时，ˆ 2.5114.517y=⨯+=，|1716|2-<；同样，当3x =时，ˆ 2.5314.522y=⨯+=，|2223|2-<. 所以，所得到的线性回归方程是可靠的.19.解：（1）由所得数据列成的频数分布表，得样本平均数4.50.055.50.186.50.287.50.268.50.179.50.067x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）由（1）知~(7,1.61)Z N ，10.6827(8.27)0.158652P Z -∴≥==∴在这2000名学员中，合格的有：20000.15865317⨯≈人（3）由已知得ξ的可能取值为1，2，31242361(1)5C C P C ξ===，2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===， ξ∴的分布列为：1232555E ξ=⨯+⨯+⨯=（人）20.解：（1）令x e t =，(0)t >，则ln x t =，由()23x x f e x e =--，得()ln 23f t t t =--，所以函数()f x 的解析式为()ln 23f x x x =--.（2）依题意知函数的定义域是(0,)+∞，且1()2f x x'=-，令()0f x '>，得102x <<，令()0f x '<，得12x >，故()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，所以max 1()ln 242f x f ⎛⎫==--⎪⎝⎭；又因为0x →，()f x →-∞，所以函数()f x 的值域为(,ln 24]-∞--.（3）因为12()ln 3g x f kx x kx x x ⎛⎫=-=---- ⎪⎝⎭在(0,)+∞上是增函数，所以212()0g x k x x '=-+-≥在(0,)+∞上恒成立，则只需2min 12k x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭，而221211112488x x x ⎛⎫-+=--≥- ⎪⎝⎭（当4x =时取等号），所以实数k 的取值范围为1,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.21.解：（1）设“该短视频获得重点分发推荐”为事件A ，则21302333311113()C 115222210P A C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ （2）设其获得重点分发推荐的短视频个数为随机变量X ，X 可取0，1，2，3.则3~3,10X B ⎛⎫⎪⎝⎭， 030333343(0)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；121333441(1)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 212333189(2)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；30333327(3)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以随机变量X 的分布列如下：343441189279()0123100010001000100010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（或39()31010E X =⨯=） 22.解：（1）由题知，()()(sin )x f x xe a x x =--有两个零点，sin 0x x -=时，0x =故当0x xe a -=有一个非零实根设()x h x xe =，得()(1)xh x x e '=+，()h x ∴在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增.又1(1)h e-=-，(0)0h =，0x >时，(0)0h >；0x <时，(0)0h <. 所以，a 的取值范围是1a e=-或0a >. （2）由题，()()1sin x f x g x xe x x==--法一：()1ln ln x x xe x x xe -≥+=，令0x t xe =>，令()ln 1(0)H t t t t =-->11()1t H t t t -'=-=()H x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增. ()(1)0H x H ∴≥=.1ln x xe x x ∴-≥+法二：要证1ln x xe x x -≥+成立故设()ln 1xM x xe x x =---，1()(1)xM x x e x ⎛⎫'=+-⎪⎝⎭，(0)x >，令1()x N x e x =-，则21()0x N x e x'=+>，()N x ∴在(0,)+∞上单调递增又1202N ⎛⎫=<⎪⎝⎭，(1)10N e =->， 01,12x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使()00N x =.001x e x ∴=，00ln x x =-，()M x ∴在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增.()0min 0000[()]ln 10x M x M x x e x x ∴==---=.1ln x xe x x ∴-≥+。

高二下学期数学(理科)期末测试卷(含答案)

高二下学期数学（理科）期末测试卷（含答案）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|x2+2x﹣3＜0}，B＝{x|log2x＜1}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣3＜x＜1}D．{x|﹣1＜x＜2} 2．若复数z满足z（1+2i）＝10i，则＝（）A．4﹣2i B．4+2i C．﹣4﹣2i D．﹣4+2i3．（﹣2x）5的展开式中含x3项的系数是（）A．40B．﹣40C．80D．﹣804．已知向量，若，则m＝（）A．B．C．D．5．某中学有高中生3600人，初中生2400人为了解学生课外锻炼情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本．已知从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24，则n＝（）A．48B．72C．60D．1206．已知，则＝（）A．B．C．D．7．已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断错误的是（）A．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥nB．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥βC．若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥nD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若bc cos A＝，则＝（）A．﹣2B．2C．D．9．已知函数f（x）＝是R上的单调递增函数，则a的取值范围是（）A．（1，4）B．[2，4）C．（1，3]D．[3，4）10．已知抛物线C：x＝4y2的焦点为F，若斜率为的直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，则线段AB的中点到准线的距离为（）A．B．C．D．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是（）A．41πB．C．25πD．12．已知函数f（x）＝sin x的图象与直线kx﹣y﹣kπ＝0（k＞0）恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为x1，x2，x3，则属于（）A．（0，）B．（，）C．（，1）D．（1，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．函数的图象的对称中心是．14．已知函数f（x）是偶函数，且当x≥0时，f（x）＝log3（x+1）+x2，则f（﹣2）＝．15．黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形．例如，一个正五边形可以看成是由正五角星和五个顶角为108°的黄金三角形组成的，如图所示，在黄金三角形A1AB中，．根据这些信息，若在正五边形ABCDE内任取一点，则该点取自正五边形A1B1C1D1E1内的概率是．16．已知双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，直线l：y＝3x+6过点F1，且与双曲线C在第二象限交于点P，若点P在以F1F2为直径的圆上，则双曲线C的离心率为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，．（1）求{a n}的通项公式；（2）令，求数列{b n}的前n项和T n．18．某航空公司规定：国内航班（不构成国际运输的国内航段）托运行李每件重量上限为50kg，每件尺寸限制为40cm×60cm×100cm，其中头等舱乘客免费行李额为40kg，经济舱乘客免费行李额为20kg．某调研小组随机抽取了100位国内航班旅客进行调查，得到如表数据；携带行李重量（kg）[0，20]（20，30]（30，40]（40，50]头等舱乘客人数833122经济舱乘客人数37530合计4538152（1）请完成答题卡上的2×2列联表，并判断是否在犯错概率不超过0.05的前提下，认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关？（2）调研小组为感谢参与调查的旅客，决定从托运行李超出免费行李额且不超出10kg 的旅客中（其中女性旅客4人）随机抽取4人，对其中的女性旅客赠送“100元超额行李补助券”，记赠送的补助券总金额为X元，求X的分布列与数学期望．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据P（K2≥k0）0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.828 19．图1是由平行四边形ABCD和Rt△ABE组成的一个平面图形．其中∠BAD＝60°，AB⊥AE，AD＝AE＝2AB＝2，将△ABE沿AB折起到△ABP的位置，使得，如图2．（1）证明：PA⊥BD；（2）求二面角A﹣PD﹣B的余弦值．20．已知函数在x＝0处取得极值．（1）求m的值；（2）若过点（2，t）可作曲线y＝f（x）的三条切线，求t的取值范围．21．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，且F2到直线的距离为．（1）求椭圆C的方程．（2）过F1的直线m交椭圆C于P，Q两点，O为坐标原点，以OP，OQ为邻边作平行四边形OPDQ，是否存在直线m，使得点D在椭圆C上？若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由．22．已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1有两个零点．（1）求a的取值范围；（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：f'（x1•x2）＜1﹣a．参考答案一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|x2+2x﹣3＜0}，B＝{x|log2x＜1}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜2}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣3＜x＜1}D．{x|﹣1＜x＜2}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|x2+2x﹣3＜0}＝{x|﹣3＜x＜1}，B＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，∴A∩B＝{x|0＜x＜1}．故选：B．2．若复数z满足z（1+2i）＝10i，则＝（）A．4﹣2i B．4+2i C．﹣4﹣2i D．﹣4+2i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z（1+2i）＝10i，得z＝，∴．故选：A．3．（﹣2x）5的展开式中含x3项的系数是（）A．40B．﹣40C．80D．﹣80【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的含x3的项的系数．解：二项式（﹣2x）5的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x2r﹣5，令2r﹣5＝3，求得r＝4，∴展开式中含x3的项的系数是•（﹣2）4＝80，故选：C．4．已知向量，若，则m＝（）A．B．C．D．【分析】可求出，然后根据即可得出，然后进行向量坐标的数量积运算即可求出m的值．解：，，且，∴，解得．故选：B．5．某中学有高中生3600人，初中生2400人为了解学生课外锻炼情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本．已知从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24，则n＝（）A．48B．72C．60D．120【分析】根据分层抽样的基本知识建立比例关系并解方程即可．解：高中人数初中人数∴∴n＝120故选：D．6．已知，则＝（）A．B．C．D．【分析】由已知利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可计算得解．解：∵，∴＝cos[﹣（2）]＝cos（2θ﹣）＝1﹣2sin2（）＝1﹣2×＝．故选：D．7．已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断错误的是（）A．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥nB．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥βC．若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥nD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β【分析】对于A，由线面垂直的性质定理和面面平行的性质得m∥n；对于B，由线线平行的性质、面面平行的判定定理得α∥β；对于C，由线线平行的判定定理得m∥n；对于D，α与β相交或平行．解：由l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，知：对于A，若m⊥α，n⊥β，α∥β，则由线面垂直的性质定理和面面平行的性质得m∥n，故A正确；对于B，若m⊥α，n⊥β，m∥n，则由线线平行的性质、面面平行的判定定理得α∥β，故B正确；对于C，若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则由线线平行的判定定理得m∥n，故C正确；对于D，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故D错误．故选：D．8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若bc cos A＝，则＝（）A．﹣2B．2C．D．【分析】由已知利用三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式可求tan A的值，进而根据三角函数恒等变换的应用化简所求即可计算得解．解：∵＝×bc sin A，可得bc cos A＝bc sin A，∴tan A＝，∴＝＝＝＝＝﹣．故选：C．9．已知函数f（x）＝是R上的单调递增函数，则a的取值范围是（）A．（1，4）B．[2，4）C．（1，3]D．[3，4）【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得a的取值范围，即可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝是R上的单调递增函数，必有，解可得3≤a＜4，即a的取值范围为[3，4）；故选：D．10．已知抛物线C：x＝4y2的焦点为F，若斜率为的直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，则线段AB的中点到准线的距离为（）A．B．C．D．【分析】求出抛物线的准线方程，然后求解准线方程，求出线段AB的中点的横坐标，然后求解即可．解：抛物线C：x＝4y2，可得准线方程为：x＝﹣，过点F（，0）且斜率的直线l：y＝（x﹣），由题意可得：，可得x2﹣x+＝0，直线l与抛物线C相交于A、B两点，则线段AB的中点的横坐标为：，则线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为：+＝．故选：A．11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是（）A．41πB．C．25πD．【分析】由三视图得到直观图，然后把所得几何体改变位置放置，找出其外接球的球心，求出三角形的半径，代入球的表面积公式得答案．解：由三视图得到直观图，如图，该几何体为三棱锥D1﹣CC1E，正方体的棱长为4，E为BB1的中点，取出该几何体如图，三棱锥E﹣C1D1C，底面三角形C1D1C为等腰直角三角形，直角边长为4，侧面EC1C⊥底面C1D1C，．则底面三角形的外心为CD1的中点G，设△EC1C的外心为H，分别过G与H作底面C1D1C与侧面EC1C的垂线相交于O，则O为三棱锥E﹣C1D1C的外接球的球心，在△EC1C中，求得CK＝4，sin∠ECK＝，则2EH＝，即EH＝，则HK＝，，则．∴该几何体外接球的表面积是4．故选：A．12．已知函数f（x）＝sin x的图象与直线kx﹣y﹣kπ＝0（k＞0）恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为x1，x2，x3，则属于（）A．（0，）B．（，）C．（，1）D．（1，）【分析】画出函数f（x）＝sin x的图象，直线kx﹣y﹣kπ＝0（k＞0）的图象，利用数形结合，推出x1+x3＝2x2＝2π，x3∈（2π，），转化求解所求表达式的范围即可．解：函数f（x）＝sin x的图象关于（π，0）对称，直线kx﹣y﹣kπ＝0过（π，0），作出函数y＝sin x的图象，与直线kx﹣y﹣kπ＝0（k＞0）的图象，恰有三个公共点，由图象可知x1+x3＝2x2＝2π，并且x3∈（2π，），由f′（x）＝cos x，x∈（2π，），所以cos x3＝，即x3＝π+tan x3，所以＝＝∈（，）．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．函数的图象的对称中心是（﹣，0），k∈Z．【分析】由题意利用正切函数的图象的对称性，得出结论．解：对于函数，令2x+＝，求得x＝﹣，故函数的图象的对称中心是（﹣，0），k∈Z，故答案为：（﹣，0），k∈Z．14．已知函数f（x）是偶函数，且当x≥0时，f（x）＝log3（x+1）+x2，则f（﹣2）＝5．【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（2）的值，结合函数的解析式分析可得答案．解：根据题意，当x≥0时，f（x）＝log3（x+1）+x2，则f（2）＝log33+22＝5，又由f（x）为偶函数，则f（﹣2）＝f（2）＝5；故答案为：515．黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形．例如，一个正五边形可以看成是由正五角星和五个顶角为108°的黄金三角形组成的，如图所示，在黄金三角形A1AB中，．根据这些信息，若在正五边形ABCDE内任取一点，则该点取自正五边形A1B1C1D1E1内的概率是．【分析】根据多边形相似，求出满足条件的概率即可．解：如图示：，在△ABC中，过点B作BH⊥AC，垂足为H，设AB＝2，由题意知AA1＝A1B＝﹣1，∠A1AB＝36°，在△A1AB中，由余弦定理得：cos∠A1AB＝＝＝，在RT△ABH中，得：cos∠A1AB＝＝，∴AH＝AB•＝2×＝，∴A1H＝AH﹣AA1＝﹣（﹣1）＝，∴A1B1＝2A1H＝3﹣，正五边形ABCDE与正五边形A1B1C1D1E1的面积分别记作S1，S2，∵正五边形ABCDE与正五边形A1B1C1D1E1相似，∴＝＝＝，若在正五边形ABCDE内任取一点，则该点取自正五边形A1B1C1D1E1内的概率是，故答案为：．16．已知双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，直线l：y＝3x+6过点F1，且与双曲线C在第二象限交于点P，若点P在以F1F2为直径的圆上，则双曲线C的离心率为．【分析】求出双曲线的焦距，结合双曲线定义，利用勾股定理以及点到直线的距离，列出方程组，求出a，即可求解双曲线的离心率．解：双曲线的左、右焦点分别为F1、F2直线l：y＝3x+6过点F1，可得c＝2，直线l：y＝3x+6过点F1与双曲线C在第二象限交于点P，设PF1＝2m，PF2＝2a+2m，所以，解得m＝，a＝，可得e＝＝＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，．（1）求{a n}的通项公式；（2）令，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）当n≥2时，2S n﹣1＝na n﹣1，可得2a n＝（n+1）a n﹣na n﹣1（n≥2），整理化简可得：，利用“累乘求积法”可得a n．（2）由（1）可知＝，利用裂项求和方法即可得出．解：（1）当n≥2时，2S n﹣1＝na n﹣1，又2S n＝（n+1）a n，相减可得2a n＝（n+1）a n﹣na n﹣1（n≥2），整理得（n﹣1）a n＝na n﹣1（n≥2），则，故，当n＝1时，a1＝2满足上式，故a n＝2n．（2）由（1）可知＝，则＝．18．某航空公司规定：国内航班（不构成国际运输的国内航段）托运行李每件重量上限为50kg，每件尺寸限制为40cm×60cm×100cm，其中头等舱乘客免费行李额为40kg，经济舱乘客免费行李额为20kg．某调研小组随机抽取了100位国内航班旅客进行调查，得到如表数据；携带行李重量（kg）[0，20]（20，30]（30，40]（40，50]头等舱乘客人数833122经济舱乘客人数37530合计4538152（1）请完成答题卡上的2×2列联表，并判断是否在犯错概率不超过0.05的前提下，认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关？（2）调研小组为感谢参与调查的旅客，决定从托运行李超出免费行李额且不超出10kg 的旅客中（其中女性旅客4人）随机抽取4人，对其中的女性旅客赠送“100元超额行李补助券”，记赠送的补助券总金额为X元，求X的分布列与数学期望．参考公式：，其中n＝a+b+c+d．参考数据P（K2≥k0）0.0500.0100.001 k0 3.841 6.63510.828【分析】（1）由题意补全列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）根据题意知随机变量X的可能取值，计算所求的概率值，写出分布列，求出数学期望值．解：（1）由题意补全2×2列联表如下；托运免费行李托运超额行李合计头等舱乘客人数53255经济舱乘客人数37845合计9010100因为，所以在犯错概率不超过0.05的前提下，认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关．（2）根据题意可得，托运行李超出免费行李额且不超过10kg的旅客有7人，从中随机抽取4人，则其中女性旅客的人数可能为1、2、3、4，所以补助券总金额X的所有取值可能为100元，200元，300元，400元；计算，，，，所以X的分布列为：X100200300400P数学期望为（元）．19．图1是由平行四边形ABCD和Rt△ABE组成的一个平面图形．其中∠BAD＝60°，AB⊥AE，AD＝AE＝2AB＝2，将△ABE沿AB折起到△ABP的位置，使得，如图2．（1）证明：PA⊥BD；（2）求二面角A﹣PD﹣B的余弦值．【分析】（1）由已知得∠ABC＝120°，连接AC，在△ABC中，由余弦定理求得AC，利用勾股定理得到PA⊥AC，再由PA⊥AB，利用直线与平面垂直的判定可得PA⊥平面ABCD，从而得到PA⊥BD；（2）由（1）可知PA⊥平面ABCD，以D为原点，以DB，DC的方向分别为x轴，y 轴的正方向，以过点D作PA的平行线为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，分别求出平面PAD与平面PBD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PD﹣B的余弦值．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，∴∠ABC＝120°．连接AC，在△ABC中，根据余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC＝7，∵，PA＝2，∴PC2＝AC2+PA2，得PA⊥AC，∵PA⊥AB，且AB∩AC＝A，∴PA⊥平面ABCD，∵BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD；（2）∵BC＝2，CD＝1，∠BCD＝60°，∴BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD＝3，∴BD2+CD2＝BC2，得BD⊥CD．由（1）可知PA⊥平面ABCD，则以D为原点，以DB，DC的方向分别为x轴，y轴的正方向，以过点D作PA的平行线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），，，，故，，．设平面PAD的一个法向量为，则，令x1＝1，可得；设平面PBD的一个法向量是，则，令y2＝2，可得．故．设二面角A﹣PD﹣B为θ，由图可知θ为锐角，则．20．已知函数在x＝0处取得极值．（1）求m的值；（2）若过点（2，t）可作曲线y＝f（x）的三条切线，求t的取值范围．【分析】（1）对f（x）求导，再结合题意可得f′（0）＝0，解得m．（2）设切点坐标为，由导数的几何意义可得切线斜率k＝，写出切线的方程，再代入（2，t），得．令，由于有三条切线所以y＝t与y＝g（x）由三个交点．对函数g（x）求导分析单调性及极值，进而得出t的取值范围．解：（1）因为，以．因为f（x）在x＝0处取得极值，所以f'（0）＝m＝0．经验证m＝0符合题意．（2）设切点坐标为，由，得，所以切线方程为，将（2，t）代入切线方程，得．令，则g'（x）＝x2﹣4，则g'（x）＝x2﹣4＝0，解得x＝±2．当x＜﹣2或x＞2时，g'（x）＞0，所以g（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上单调递增；当﹣2＜x＜2时，g'（x）＜0，所以g（x）在（﹣2，2）上单调递减．所以g（x）的极大值为，g（x）的极小值为．因为有三条切线，所以方程t＝g（x）有三个不同的解，y＝t与y＝g（x）的图象有三个不同的交点，所以．21．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，且F2到直线的距离为．（1）求椭圆C的方程．（2）过F1的直线m交椭圆C于P，Q两点，O为坐标原点，以OP，OQ为邻边作平行四边形OPDQ，是否存在直线m，使得点D在椭圆C上？若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据离心率得到a，b，c的关系，进而可表示出直线l的方程为，则可表示出F2到直线的距离，解得c＝1，即可得到C的方程；（2）考虑直线PQ斜率存在时的情况，联立直线与椭圆方程，利用根与系数关系结合平行四边形性质，运用向量法得到，求得D的坐标，代入椭圆方程，解出k∈∅；斜率不存在时m：x＝﹣1，满足条件，得到D坐标解：（1）因为椭圆C的离心率为，所以，所以a＝2c，，所以直线l的方程为，即．由题意可得F2（c，0），则，解得c＝1．故椭圆C的标准方程为．（2）①当直线PQ的斜率存在时，设直线m的方程为y＝k（x+1），P（x1，y1），Q（x2，y2）．联立，整理得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，则，．设D（x0，y0），由四边形OPDQ为平行四边形，得，则，即，若点D落在椭圆C上，则，即，整理得，解得k∈∅．②当直线PQ的斜率不存在时，直线m的方程为x＝﹣1，此时存在点D（﹣2，0）在椭圆C上．综上，存在直线m：x＝﹣1，使得点D（﹣2，0）在椭圆C上．22．已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1有两个零点．（1）求a的取值范围；（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：f'（x1•x2）＜1﹣a．【分析】（1）由题意推出，构造函数，问题转化为函数与y＝a 在（0，+∞）上有两个不同交点，通过函数的导数，判断函数的单调性，求解函数的最小值，然后求解a的范围．（2）求出，要证f'（x1•x2）＜1﹣a，只需证（ax1﹣1）+（ax2﹣1）＞0，即证．令，转化证明即可．解：（1）由题意，可得，转化为函数与直线y＝a在（0，+∞）上有两个不同交点，，故当x∈（0，1）时，g'（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，g'（x）＜0．故g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以g（x）max＝g（1）＝1．又，故当时，g（x）＜0；当时，g（x）＞0．可得a∈（0，1）．（2）证明：，由（1）知x1，x2是lnx﹣ax+1＝0的两个根，故，要证f'（x1•x2）＜1﹣a，只需证x1•x2＞1，即证lnx1+lnx2＞0，即证（ax1﹣1）+（ax2﹣1）＞0，即证，即证．不妨设0＜x1＜x2，故，令，，＝，则h（t）在（0，1）上单调递增，则h（t）＜h（1）＝0，故（*）式成立，即要证不等式得证．。

完整版高二数学期末试卷理科及含

高二数学期末考试卷〔理科〕一、选择题〔本大题共 11 小题，每题 3 分，共 33 分〕r 1、与向量 a (1, 3, 2)平行的一个向量的坐标是〔〕A ．〔 1 3，1，1〕 B ．〔－1，－3，2〕C ．〔－ 1 2 ， 3 2，－1〕 D ．〔 2 ，－ 3，－2 2 〕2、设命题 p ：方程 2 3 1 0x x 的两根符号不一样；命题 q ：方程2 3 1 0x x 的两根之和为 3，判断命题“ p 〞、“ q 〞、“ p q 〞、“ p q 〞为假命题的个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3、“a ＞b ＞0〞是“ ab ＜a 2b 22〞的〔〕A ．充足而不用要条件B ．必需而不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件2y 2 x的焦距为 2，那么 m 的值等于〔〕. 4、椭圆 1m 4A ．5B ．8C ．5 或 3D ．5 或 85、空间四边形 OABC 中， OA a ，OB b ，OC c ，点 M 在 OA 上，且 OM=2MA ，N 为 BC 中点，那么 MN =〔〕1 2 1A ． a b c2 3 22 1 1 B ． a b c3 2 21 1 1 C ． a b c2 2 22 2 1 D ． a b c3 3 26、抛物线 2y 4x 上的一点 M 到焦点的距离为 1，那么点 M 的纵坐标为〔〕A ．17 16B ．1516C ．78D ．07、对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线 x ＋2y －3＝0，那么该双曲线的离心率为〔〕或5 4B. 5 或52C. 3 或3 2或5 38、假定不等式 |x －1| <a 成立的充足条件是 0<x<4,那么实数 a 的取值范围是 ( )A ．a 1B ．a 3C ．a 1D ．a 39、a (1 t,1 t,t),b (2,t,t) ，那么| a b |的最小值为〔〕A ．55 B．555C．3 55 D．11510、动点 P(x、y)知足 10 2 ( 2)2(x 1 y ＝|3x＋4y＋2|，那么动点 P 的轨迹是〔〕)A ．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．没法确立2 y2x11、 P 是椭圆125 9上的一点， O 是坐标原点， F 是椭圆的左焦点且1OQ (OP OF ), | OQ | 4，那么点 P 到该椭圆左准线的距离为〔〕25D.2高二数学期末考试卷〔理科〕答题卷一、选择题〔本大题共 11 小题，每题 3 分，共 33 分〕题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11答案二、填空题〔本大题共 4 小题，每题 3 分，共 12 分〕2 x12、命题：x R, x 1 0的否定是2 y213、假定双曲线x 4 4 的左、右焦点是F1、F2 ，过F1 的直线交左支于 A、B 两点，假定|AB|=5 ，那么△ AF2B 的周长是 .14、假定a ( 2,3, 1)，b ( 2 ,1,3) ，那么a,b为邻边的平行四边形的面积为．15、以下四个对于圆锥曲线的命题中：u uur uuur ①设A、B 为两个定点， k 为正常数，| PA| | PB | k ，那么动点P 的轨迹为椭圆；②双曲线2 2x y25 91 与椭圆2x352 1y 有同样的焦点；2 x③方程2x 5 2 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；25④和定点A( 5, 0) 及定直线l : x 的距离之比为4此中真命题的序号为 _________．54的点的轨迹方程为2 2x y16 91．三、解答题〔本大题共 6 小题，共 55 分〕2 2x y16、〔本题总分值 8 分〕命题 p：方程1表示焦点在 y 轴上的椭圆，命题 q：2m m 12 2y x 双曲线15 m 的离心率e (1, 2) ，假定p,q只有一个为真，务实数m 的取值范围．17、〔本题总分值 8 分〕棱长为 1 的正方体 AB CD－A1B1C1D1，试用向量法求平面 A1BC1与平面 AB CD 所成的锐二面角的余弦值。

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高二数学期末试卷理科
及答案
TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
高二数学期末考试卷（理科）
一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分） 1、与向量(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（） A ．（31
，1，1）
B ．（－1，－3，2）
C ．（－21，2
3
，－1）
D ．（2，－3，－22）
2、设命题p ：方程2310x x +-=的两根符号不同；命题q ：方程2310x x +-=的两根之和为3，判断命题“p ⌝”、“q ⌝”、“p q ∧”、“p q ∨”为假命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
3、“a ＞b ＞0”是“ab ＜2
2
2b a +”的（）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 4、椭圆14
2
2=+
y m x 的焦距为2，则m 的值等于（）. A ．5 B ．8 C ．5或3 D ．5或8
5、已知空间四边形OABC 中，===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则=（） A ．c b a 213221+-
B ．c b a 21
2132++-
C ．2
12121-+
D ．2
13232-+
6、抛物线2y 4x =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为（）
A ．
1716 B ．1516 C ．7
8
D ．0 7、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x ＋2y －3＝0，则该双曲线的离心率为（）
或54
B. 或53
8、若不等式|x －1| <a 成立的充分条件是0<x <4,则实数a 的取值范围是 ( )
A ．a ≤1
B ．a ≤3
C ．a ≥1
D ．a ≥3
9、已知),,2(),,1,1(t t t t t =--=，则||-的最小值为
（）
A ．
5
5 B ．
555 C ．553 D ．5
11 10、已知动点P(x 、y )满足10
2
2)2()1(-+-y x ＝|3x ＋4y ＋2|，则动点P 的轨迹是
（） A ．椭圆
B ．双曲线
C ．抛物线
D ．无法确定
11、已知P 是椭圆
19
252
2=+y x 上的一点，O 是坐标原点，F 是椭圆的左焦点且),(2
1
+=
4||=，则点P 到该椭圆左准线的距离为（） .4 C D.2
5
高二数学期末考试卷（理科）答题卷
一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 12、命题：01,2=+-∈∃x x R x 的否定是
13、若双曲线 4422=-y x 的左、右焦点是1F 、2F ，过1F 的直线交左支于A 、B 两
点，若|AB|=5，则△AF 2B 的周长是 .
14、若)1,3,2(-=，)3,1,2(-=，则,为邻边的平行四边形的面积为． 15、以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A 、B 为两个定点，k 为正常数，||||PA PB k +=，则动点P 的轨迹为椭圆；
②双曲线221259x y -
=与椭圆2
2135
x y +=有相同的焦点； ③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④和定点)0,5(A 及定直线25:4l x =的距离之比为5
4
的点的轨迹方程为221169x y -
=．其中真命题的序号为 _________．
三、解答题（本大题共6小题，共55分）
A
B
C
A 1
1
1
N
M
第19题图
16、（本题满分8分）已知命题p ：方程
1122
2=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线152
2=-m
x y 的离心率)2,1(∈e ，若q p ,只有一个为真，求实数m 的取值范围．
17、（本题满分8分）已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1，试用向量法求平面
A 1
B
C 1与平面AB C
D 所成的锐二面角的余弦值。

18、（本题满分8分）
（1）已知双曲线的一条渐近线方程是x y 2
3
-=，焦距为132，求此双曲线的标准方
程；
（2）求以双曲线19
162
2=-x y 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆标准方程。

19、（本题满分10分）如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠
BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.
（1）求BN 的长；
（2）求cos<11,CB BA >的值；（3）求证：A 1B ⊥C 1M .
20、（本题满分10分）如图所示，在直角梯形ABCD 中，|AD |＝3，|AB |＝4，|BC |＝
3 ，曲线段DE 上任一点到A 、B 两点的距离之和都相等．（1）建立适当的直角坐标系，求曲线段DE 的方程；（2）过C 能否作一条直线与曲线段DE 相交，且所
得弦以C 为中点，如果能，求该弦所在的直线的方程；若不能，说明理由．
21、（本题满分11分）若直线l ：0=++c my x 与抛物线x y 22=交于A 、B 两点，O 点是坐标原点。

(1)当m =－1,c =－2时，求证：OA ⊥OB ；
(2)若OA ⊥OB ，求证：直线l 恒过定点；并求出这个定点坐标。

(3)当OA ⊥OB 时，试问△OAB 的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论。

高二数学（理科）参考答案：
1、C
2、C
3、A
4、C
5、B
6、B
7、B
8、D
9、C 10、A 11、D
12、01,2≠+-∈∀x x R x 13、18 14、56 15、②③
16、p :0<m <31 q :0< m <15 p 真q 假，则空集；p 假q 真，则153
1
<≤m
故m 的取值范围为1531
<≤m
17、如图建立空间直角坐标系，11C A ＝（－1，1，0），B A 1＝（0，1，－1）设1n 、2n 分别是平面A 1B C 1与平面AB CD 的法向量，由
01=A 可解得1＝（1，1，1）＝（0，0，1），
所以，=
3
3 所以平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的锐二面角的余弦
值为
3
3。

18、（1）
1942
2=-y x 或14922=-x y ；（2）125
922=+y x . 19、如图，建立空间直角坐标系O —xyz . （1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴| |=3)01()10()01(222=-+-+-.
第19题
（2）依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，
0，0）、B 1（0，1，2）
∴1BA =（1，－1，2），1CB =（0，1，
2），
1BA ·1CB =3，|1BA |=6，|1CB |=5
∴cos<1BA ，1CB 3010
1
||||1111=⋅CB BA CB BA .
（3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （2
1
,
21，2），A 1=（－1，1，－2）， M C 1=（21
,21，0）.∴A 1·M C 1=－2
121++0=0，∴B A 1⊥M C 1，
∴A 1B ⊥C 1M .
20、（1）以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原点建立直角坐标系，
则A （－2，0），B （2，0），C （2， 3 ），D （－2，3）．依题意，曲线段DE 是以A 、B 为焦点的椭圆的一部分．
∴所求方程为
)320,42(112
162
2≤≤≤≤-=+y x y x （2）设这样的弦存在，其方程为：
得2222(34)(8316)16163360k x k k x k k ++-+--= 设弦的端点为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则由 ∴弦MN 所在直线方程为3
23,2
y x =-
+验证得知，这时(0,23),(4,0)M N 适合条件．故这样的直线存在，其方程为3
2 3.2
y x =-
+ 21、解：设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，由⎩⎨⎧==++
20
2x y c my x 得0222=++c my y
可知y 1+y 2=－2m y 1y 2=2c ∴x 1+x 2=2m 2—2c x 1x 2= c 2, (1) 当m =－1,c =－2时，x 1x 2 +y 1y 2=0 所以OA ⊥OB.
(2) 当OA ⊥OB 时，x 1x 2 +y 1y 2=0 于是c 2+2c=0 ∴c=－2(c=0不合题意),此时，直线l ：02=-+my x 过定点(2,0).
(3) 由题意AB 的中点D(就是△OAB 外接圆圆心)到原点的距离就是外接圆的半径。

),(2m c m D --而(m 2—c+
21)2－[(m 2—c)2+m 2 ]=c -4
1
由(2)知c=－2 ∴圆心到准线的距离大于半径,故△OAB 的外接圆与抛物线的准线相离。