高二数学第二学期期末试卷(含答案)

2016-2017学年第二期末检测高二数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{}1,202>=≤≤=x x B x x A，全集R U =，则()U A C B =I ( )A ．{}10≤≤x xB ．{0>x x 或1}x <-C ．{}21≤<x xD ．{}20≤<x x2.设复数z 满足21+=-i zi，则=z ( ) A ．i 5351- B ．i 5351+- C ．i 5353+- D ．i 5353-3.下列函数在其定义域内既是奇函数又是单调递减函数的是( ) A ．x y tan = B ．x y ln = C ．xxee y -+= D ．3x y -=4.设变量y x ,满足约束条件1000x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数x y z 2-=的最大值为( )A ．0B ． 1 C. 2 D ．35.从某学校随机抽取的5名女大学生的身高x （厘米）和体重y （公斤）数据如下表：根据上表可得回归直线方程为ˆˆ0.92,ya =+，则=a （ ） A ．8.96- B ．8.96 C.4.104- D ．4.1046.设α是第二象限角，且53cos -=α，则=α2tan （ ） A ．724- B ．712- C. 712 D ．7247.已知βα,是两个不同的平面，n m ,是两条不同的直线，给出下列命题： ①若βα⊂⊥m m ,，则βα⊥；②若α⊥⊥m n m ,，则α//n ；③若βαβα//,,⊂⊂n m ，则n m //；④若βαα⊥,//m ，则β⊥m ； 其中，正确的个数是：（ ）A ．0B ． 1 C. 2 D ．38.已知双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，双曲线的离心率等于23，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（ ） A ．5 B ．24 C.3 D ．5 9.已知()()()x x g x x f -=⎪⎭⎫⎝⎛+=ππsin ,2sin ，则下列结论中正确的是（ ） A ．函数()()x g x f y ⋅=的周期为 2 B ．函数()()x g x f y ⋅=的最大值为1 C.将()x f 的图象向左平移2π个单位后得到()x g 的图像 D ．()()x g x f y +=的一个对称中心是⎪⎭⎫ ⎝⎛0,43π10.给出2017个数：,,11,7,4,2,1Λ要计算这2017个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入（ ）A ．1?;2017-+=≤i p p iB ．1?;2018++=≤i p p i C.i p p i +=≤?;2018 D ．i p p i +=≤?;2017 11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．31616-π B ．33216-π C. 3168-π D ．3328-π 12.设函数()()02232>-=a ax x x f 与()b x a x g +=ln 2有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b 的最大值为（ ） A ．221e B ．221e C. e 1 D ．223e- 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.()5121-x x的展开式中常数项为 ． 14.()=+⎰-dx e x xcos 0π ．15.已知()()2,1,,3a b λ=-=r r ，若a r 与b r的夹角为钝角，则λ的取值范围是 ．（用集合表示）16.过直线1+=x y 上的一点P 作圆()()26122=-+-y x 的两条切线21,l l ，切点分别为B A ,，当直线21,l l 关于直线1+=x y 对称时，=∠APB ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知c b a ,,分别是锐角ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，且()()()c B C b a B A sin sin sin sin -=-+，且8=+c b .(Ⅰ) 求A 的值；(Ⅱ)求ABC ∆面积的最大值；18.已知等比数列{}n a 各项都是正数，.4,41622321a a a a a ==- (Ⅰ) 求{}n a 的通项公式； (Ⅱ) 设n n n a a b 21log 1⋅=,求数列{}n b 的前n 项和n T .19.某地高中年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知这些学生的原始成绩均分布在[]100,50内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表，并规定：C B A ,,三级为合格，D 级为不合格为了了解该地高中年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[)[)[)[)[]100,90,90,80,80,70,70,60,60,50分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.(Ⅰ) 求n 及频率分布直方图中y x ,的值；(Ⅱ) 根据统计思想方法，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该地高中学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；(Ⅲ)上述容量为n 的样本中，从C A ,两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ为所抽取的3名学生中成绩为A 等级的人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望.20.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，⊥PD 底面ABCD ，F E ,分别是PC AB ,的中点.(Ⅰ)求证：//EF 平面PAD ；（Ⅱ）设060,4=∠==BAD CD PD ，求二面角D AF E --大小的正弦值.21. 已知椭圆()012222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，离心率为36，直线kx y =与椭圆相交于B A ,两点，.3222=+BF AF（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设N M ,分别为线段22,BF AF 的中点，原点O 在以MN 为直径的圆内，求实数k 的取值范围. 22. 已知()()R a ax x x f ∈+-=1ln 2 （Ⅰ）若0>a ，求()x f 的单调区间；（Ⅱ）若()x f 有两个不同零点()1221,x x x x >，()x f '为()x f 的导函数，求证，.02221<⎪⎭⎫⎝⎛+'x x f试卷答案一、选择题1-5:CBDCA 6-10: DBADD 11、12：DA二、填空题13.()10 14.πe 11-15.()⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞-23,66,Y 16.3π 三、解答题17.（Ⅰ）因为()()()c B C b a B A sin sin sin sin -=-+，由正弦定理有()()()c b c b a b a -=-+，既有bc a c b =-+222，由余弦定理得2122cos 222==-+=bc bc bc a c b A ， 32,0ππ=∴⎪⎭⎫⎝⎛∈A A Θ（Ⅱ）82,8≤∴=+bc c b Θ，即16≤bc ，当且仅当4==c b 时等号成立，当4==c b 时，34231621sin 21=⋅⋅==∆A bc S ABC , 所以ABC S ∆的最大值为34.18.解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为62234,a a a q ⋅=得，21,0,41,422423=>==q q q a a 又4112=-a a 可得，211=a 所以nn a ⎪⎭⎫⎝⎛=21（Ⅱ）由（Ⅰ）知nn a ⎪⎭⎫⎝⎛=21，得n n n n n a a b 2log 121⋅=⋅= 所以()nn n n n T 221222112⋅+⋅-++⋅+⋅=-Λ① 所以()13222122212+⋅+⋅-++⋅+⋅=n n n n n T Λ② ①-②得：122222+⋅-+++=-n n n n T Λ所以()1221212+⋅---=-nnnnT所以()2211+⋅-=+nnnT19.解（Ⅰ）由题意知，样本容量.018.01056.012.01.004.01,004.010502,5010012.06=----==⨯==⨯=yxn（Ⅱ）样本中成绩是合格等级的人数为()45501.01=⨯-，成绩是合格等级的频率为9.05045=，故从该校学生中任选1人，成绩是合格等级的概率为9.0，用M表示事件“从该地高中学生中任选3人，至少有1人成绩是合格等级，则()().999.09.0113=--=MP”（Ⅲ）样本中C等级的学生人数为95018.0=⨯人，A等级的学生人数为3人，故随机变量ξ的所有取值.3,2,1,0()()()(),22013,220272201082,220271,2201312393121329312231931233=============CCPCCCPCCCPCCPξξξξ于是随机变量ξ的分布列为所以，().49220843220108222027122010=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE20.解：（Ⅰ）取PD的中点M，连MFAM,，FM,Θ分别是PCPD,的中点，DCMFDCMF21,//=∴Θ菱形ABCD中，E为AB的中点，DCAEDCAE21,//=∴∴四边形AEFM为平行四边形，AMEF//∴又⊂AM平面PAD,⊄EF平面//EFPAD∴平面.PAD（Ⅱ）连BD AC ,交于,O 取PB 中点N ,则ON BD AC ,,两两垂直，以O 为原点，ON OB OA ,,所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,2,0,2,1,3,0,1,3,0,0,32---D F E A ,()()()2,1,3,2,1,33,0,1,3-=--=-=DF AF AE设()1111,,z y x n =是平面AEF 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅011n n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+-023********z y x y x ，取,31=x 得()6,3,32=n同理得()3,3,32-=n()779933693333333,cos 212121=++⨯++⨯+-⨯+⨯=<∴n n n n ∴二面角D AF E --的大小的正弦值为742. 21.解：（Ⅰ）由3222=+BF AF 得3=a ，结合36=e 得2=c ， 得1=b ，故椭圆方程为.1322=+y x （Ⅱ）设()()0000,,,y x y x A --，联立⎪⎩⎪⎨⎧==+kxy y x 1322,得133220+=k x ()* 依题意，当0≠k 时，四边形2OMNF 为平行四边形，由原点O 在以MN 为直径的圆内得MON N MF ∠=∠2为钝角，得022<⋅F F即：()()0,2,20000<---⋅-y x y x 即22020>+y x ，即().21202>+x k把()*式代入得()2131322>++k k ,得.132<k 得3333<<-k ，且0≠k 当0=k 时同样适合题意，所以，k 的取值范围为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-33,33 22.解（Ⅰ）()x f 的定义域为()+∞,0，()xa x a x ax x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-='22， 当a x 2>时，()()x f x f ,0<'递减 当ax 2<时，()()x f x f ,0>'递增综上，当0>a 时，()x f 的增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛a 2,0，减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,2a ， （Ⅱ）01ln 21=+-ax x ①01ln 222=+-ax x ②∴②-①：()()12121212ln2,ln ln 2x x x x a x x a x x -=∴-=-又()12122121ln22422,2x x x x x x x x f a x x f --+=⎪⎭⎫⎝⎛+'∴-=' 原不等式转化为证明：121212ln 2112x x x x x x <+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-设()()()11212ln >+--=t t t t t G()()()()()()()()()012131212412612121412212222222>+-+=++-=+-+=+--+-='t t t t t t t t t t t t t t t t t G ()t G ∴在()+∞,1递增， ()()01=>∴G t G ，即()01212ln >+--t t t ，取112>=x x t ，得()022ln 1212ln 121212121212>+--=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x x x x x x x x x ()12121212121222ln,22ln x x x x x x x x x x x x +>-∴+->∴ .0ln2242212121221<--+=⎪⎭⎫⎝⎛+'∴x x x x x x x x f。