第2章一阶逻辑典型习题

第二章 一阶逻辑1. 用谓词表达式写出下列命题:(1) 王文不是学生;(2) 2是素数且是偶数;(3) 若m 是奇数,则2m 不是奇数;(4) 河北省南接河南省;(5) 若2大于3.则2大于4.解 (1) P(x)：x 是学生 a ：王文于是（1）为：）（a P ⌝.(2 ) H(x)：x 是素数 M （x ）：x 是偶数 a ：2于是（2）为：H （a ））（a M ∧(3) R(x) ：x 是奇数于是（3）为：R （m ））（m R 2⌝→. (4) L(x,y) ：x 南接y c ：河北省 d ：河南省于是（4）为L （c,d ）.(5) S(x,y)：x 大于y a ：2 b ：3 c ：4于是（5）为：S （a,b ））（c a S ,→.说明 从语法上看，每个被视为命题的语句，是由主语和谓语两部分组成的。

其中，主语是语句中的主动者，称为个体。

谓语是用来表明主语的性质或用来说明几个主语之间的关系，称为谓词。

例如前例（1）中的“王文”，（4）中的“河北省”、“河南省”都是个体；而其中的“ 南接”都是谓词。

在一阶逻辑中，表示具体的、特指的个体的词是个体常量；表示抽象的或泛指的或在一定范围内变化的词是个体变量。

个体变量的取值范围是定义域。

例如前例（2）中的“2”是个体常量；（3）中的“m ”是个体变量，它的定义域是整数集。

表示个体性质的谓词，一般形如G （x ）,是一元谓词或一元命题函数。

表示n 个个体之间关系的谓词，一般形如P （x 1，x , n ）,是n 元谓词或n 元命题函数。

谓词函数不是命题，实际上是一种不确定的命题形式，但是当其中的变量x 被某个常量替换时，谓词函数便转化为命题。

例如，“x 是有理数”是一元谓词，记作G （x ），其中G 表示谓词“是有理数 ”，D ：实数集，G （x ）：x 是有理数，是一元谓词（不是命题，没有真值）。

3D ∈，G （3）：3是有理数，是命题，真值为1。

由于命题逻辑是一阶逻辑的特例（命题可看作是无变量的谓词或0元谓词），因此，命题逻辑中的联结词在一阶逻辑中均可使用。

注意，n 元谓词中，与谓词想联系着的几个个体名称的次序是不能随意变动的，如前例中的（4）。

2.用谓词表达式写出下列命题：（1） 凡是有理数都可以写成分数；（2） 存在着会说话的机器人；（3） 并非每个实数都是有理数；（4） 如果有限个数的乘积为零，那么至少有一个因子等于零；（5） 没有不犯错误的人。

解 （1）G （x ）：x 有理数 H （x ）： x 可以写成分数于是（1）为：))()((x H x G x →∀（2）F （x ）：x 会说话 Q （x ）：x 是机器人于是（2）为：))()((x Q x F x ∧∃。

（3）R （x ）：x 是实数 Q （x ）：x 是有理数于是 （3）为：)((x ∀⌝R （x ）))(x Q → (或为：))()((x Q x R x ⌝∧∃).(4) N(x)：x 是有限个数的乘积 Z(y)：y 为0P （x ）：x 的乘积为0 F （y ）：y 为乘积中的一个因子于是 （4）为：))()(())()((y Z y F y x P x N x ∧∃→∧∀。

（5）M(x)：x 为人 F （x ）：x 犯错误于是 （5）为：)))()((x F x M x ⌝∧∃⌝（ ( 或为：)))()((x F x M x →∀.说明 引进了谓词，还要引进量词，这样才能建立起一阶逻辑。

全称量词和存在量词统称为量词。

全称量词x ∀表示“对任意x ”、“对每一个x ”、“对于所以的x ”等语句；存在量词x ∃表示“存在一个x ”、“对于一些x ”、“至少有一个x ”等语句。

设G （x ）是一元谓词，任取x 0D ∈,则G （x 0）是一个命题。

于是，x ∀ G （x ）是命题：“对任意x D ∈,，都有G （x ）。

命题x ∀ G （x ）的真值规定如下：x ∀ G （x ）x ∃G （x ）对任意⇔ x D ∈,G （x ）都取1值；x ∀G （x ）取0值有一个⇔ x 0D ∈，使得G （x 0）取0值；x ∃G （x ）是命题：“存在一个x 0D ∈，使得G （x 0）成立”。

命题x ∃G （x ）的真值规定如下：x ∃G （x ）x ∃G （x ）有一个⇔ x 0D ∈，使得G （x 0）取1；x ∃G （x ）取0值对所有⇔ x D ∈,G （x ）都取0值。

在使用量词时，由于定义域的不同，命题符号化的形式可能不一样。

如 命题“凡是有理数都可以写成分数”。

① 当定义域D ：有理数集H （x ）：x 可以写成分数，则有x ∀ H （x ）。

② 当定义域D ：实数集G （x ）：x 是有理数 H （x ）：x 可以写成分数，则有x ∀ G （x ）))(x H →。

③ 当定义域D ：非空个体名称集（即一切事物的集合）时，则同②。

一般来说，谓词的定义域D 可以是有限集，如{1，2，3，4}、{a,b,c}、{狗，5，计算机}等；也可以是无限集，如有理数集、实数集等。

不过，这种约定的定义域并不常见。

这时，我们认为个体x 的定义域是一切事物。

3．设谓词的定义域都是{a,b,c },试将下面的表达式中的量词消除，写成与之等价的命题公式。

⑴ x ∀P(x)；⑵ x ∀R （x ）x ∀∧S(x)；⑶ x ∀R （x ）x ∃∧S(x)；⑷ x ∀（P(x)))(x Q →；⑸ x ∀⌝P(x)∨ x ∀P(x)；⑹ x ∀F(x) ∃→yG(y);⑺ ),(y x yH x ∀∃.解 ⑴x ∀P(x)=P （a ）∧P(b) ∧P(c).⑵ x ∀R （x ）x ∀∧S(x)=R(a) ∧R(b) ∧R(c)∧S(a) ∧S(b) ∧S(c).⑶ x ∀R （x ）x ∃∧S(x)=( R(a) ∧R(b) ∧R(c)) ∧( S(a) ∨S(b) ∨S(c)).⑷ x ∀（P(x)))(x Q →=( P （a ）→Q(a)) ∧( P （b ）)→ Q(b) ) ∧( P （c ）→ Q(c )). ⑸ x ∀⌝P(x)∨ x ∀P(x)=(⌝ P （a ）⌝ P （b ）∧ P （c ）) ∨( P （a ）∧P(b) ∧P(c)). ⑹ x ∀F(x) ∃→yG(y)=(F(a) ∧F(b) ∧F(c)) →(G(a) ∨G(b) ∨G(c)).⑺ ),(y x yH x ∀∃=(H(a,a) ∧H(a,b) ∧H(a,c)) ∨(H(b,a) ∧H(b,b) ∧H(b,c)) ∨(H(c,a) ∧(H(c,b) ∧H （c,c ）)4. 指出下列命题的真值：⑴x ∃（P(x)→Q(x)）其中，P(x)：x 3 H(x):x=4 定义域：D={2}； ⑵ x ∀（P(x)))(x Q ∨，其中，P(x)：x=1 Q(x):x=2 定义域：D={1,2}; ⑶ x ∀(P →Q(x)) ∨R(e)) 其中，P ：3 2 Q(x):x ≤3 R （x ）:x 5 e:5定义域：D={-2,3,6}.解 ⑴x ∃（P(x)→Q(x)）=（P(2)→Q(2)）=（0→0）=1。

⑵ x ∀（P(x)))(x Q ∨= （P(1) ∨ Q(1)）∧（P(2) ∨ Q(2)）=（1∨ 0）∧（0∨ 1）=1∧1 ⑶ x ∀(P →Q(x)) ∨R(e))= (P →Q(-2)) ∧(P →Q(3)) ∧(P →Q(6)) ∨ R(5)。

因为在上式中，P 真，Q(-2)真，Q(3)真，Q(6)假，R(5)假，所以，原式= (1→1) ∧(1→1) ∧(1→0) ∨ 0=0∨0。

说明 当定义域为有限集时，如D={a 1,a ， n },由量词的定义可以看出，对任意的谓词G （x ）,都有：⑴ x ∀G(x)= G(a 1) ∧ ∧ G(a n );⑵ x ∃G(x)= G(a 1)∨∨ G(a n ).这实际上是将一阶逻辑中的命题公式转化为等价的命题落雷中的命题公式。

若在表达式中有多个量词，则可以按其层次，逐层将量词消除。

例如D={a,b},),(y x yP x ∃∀=x ∀(P(x,，a)∨ P(x,，b))= (P(a,a) )∨ P(a,b)) ∧(P(b,a) ∨P(b,b))5． 将下列表达式中的变量适当改名，是的约束变量不是自由的，自由变量不是约束的⑴ x ∃F （x ）∧G(x,y);⑵ x ∀（P(x) →R(x,y)）∧Q(x,y);⑶ x ∀y ∃(P(x,z) →Q(y)) ),(y x S ↔;⑷ x ∀(P(x) →(R(x) ∨Q(x) ∧ x ∃R(x)) →),(z x zS ∃;⑸ ())),(),(,,y x yQ y x xQ z y x R ∃→∃∧⌝.解 (1) 的改名为：),()(y x G z zF ∧∃；⑵的改名为：),(),()((y x Q y z R z P z ∧→∃；⑶的改名为： ),()(),((y x S v Q z u P v u ↔→∃∀；⑷的改名为： ),())())()()((z x zS v vR u Q u R u P u ∃→∃∧∨→∀；⑸的改名为：)),(),,((),(),,(v u vQ z y u R u y t tQ z y x R ∃→∀→∃∧⌝。

说明 在符号x ∀G （x ）或x ∃G(x)中的G(x)是量词x ∀或x ∃的作用范围，称谓辖域。

当量词后面有括号时，则括号内的公式为此量词的辖域，此时在辖域内出现的个体变量x 是约束的，或者说x 的出现是约束的；当辖域内不含有y y ∃∀和时，在辖域内出现的个体变量是自由的，或者说y 是自由的（可视为参数）。

如（x ∀P （x,y ）∀∃∧∃→),,,),,())),,(z y x Q y z x S z y x yQ （的辖域是其中，x 的辖域是P （x,y ）→),,(z y x yQ ∃.从左向右算起，变量x 的第一、第二次出现是约束的，第三次的出现是自由的；变量y 的第一次出现是自由的，第二次出现是约束的；变量z 在全式中的出现都是自由的。

为避免出现这样一个变量在同一个公式中具有的双重身份，在一阶逻辑中，合理的引出了约束变量的改名规则。

从而可以做到，在一阶逻辑中的表达式里，每个变量都可以只以一种面目出现，即约束都不是自由的；由变量也都不是约束的。

6．设I 是如下一个解释：D ：实数集Ra f(x,y) F(x,y)2 x-y x y试确定下列公式在I 下的真值⑴ x ∀F （（a,x ）,a ）;⑵ x ∀));),(((x y x f F y ⌝∀(3) x ∀)));,(),,((),((z y f z x f F y x F z y →∀∀(4) x ∀)).),,((,(y y x f f x yF ∃解 （1） 因为在I 下，对任意的x R ∈及a R ∈, 有f(a,x)=a-x,F(f(a,x):a-x a,将2代入，得2-x 2,即-x 0,显然为假，所以x ∀F （（a,x ）,a ）=x ∀（-x 0）,真值为0。