专题34 常用逻辑用语-高中数学经典错题深度剖析及针对训练 含解析 精品
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《集合与常用逻辑用语》全集汇编及答案解析
新高考数学《集合与常用逻辑用语》专题解析一、选择题1．“方程22175x y m m +=--的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是（ ） A ．“6m =”B ．“67m <<”C ．“57m <<”D ．“57m <<”且“6m ≠”【答案】C【解析】【分析】由椭圆的定义可列出m 满足的不等式组，从而求出m 的取值范围，再结合选项选出必要不充分条件．【详解】 因为方程22175x y m m +=--的曲线是椭圆， 则由椭圆的定义可知：705075m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得：57m <<且6m ≠，所以“方程22175x y m m +=--的曲线是椭圆”的充要条件为“57m <<且6m ≠”， Q “57m <<”推不出“57m <<且6m ≠”，反之可推出，所以“57m <<”是方程“22175x y m m +=--的曲线是椭圆”的必要不充分条件． 所以“方程22175x y m m +=--的曲线是椭圆”的必要不充分条件是：“57m <<”． 故选：C ．【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意利用集合的关系进行解题.2．下列三个命题中，真命题的个数为（ ）①命题p ：0(1,)x ∃∈+∞，0002x x >-，则p ⌝：(1,)x ∀∈+∞，02x x ≤-； ②p q ∧为真命题是p q ∨为真命题的充分不必要条件；③若22ac bc >，则a b >的逆命题为真命题；A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】C【解析】对三个命题逐一判断即可.【详解】①中p ⌝：()1x ∀∈+∞，，02x x ≤-或2x =，所以①为假命题； ②为真命题； ③中逆命题为：若a b >，则22ac bc >，若c 为0，则③错误，即③为假命题. 故选：C .【点睛】本题考查命题的真假，属于基础题.3．已知集合{}0lg 2lg3P x x =<<，212Q xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则P Q I 为( ) A ．()0,2B ．()1,9C ．()1,4D ．()1,2 【答案】D【解析】【分析】集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分.【详解】 解：{}19P x x =<<，{}02Q x x =<<； ()1,2P Q ∴⋂=.故选：D.【点睛】本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.简单对数不等式问题的求解策略：(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.4．集合{}|12A x x =-<，1393x B x⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B I 为( ) A ．()1,2B ．()1,2-C ．()1,3D ．()1,3-【答案】B【分析】 计算得到{}13A x x =-<<，{}12B x x =-<<，再计算A B I 得到答案.【详解】 18{}13x x =-<<，{}139123x B x x x ⎧⎫=<<=-<<⎨⎬⎩⎭， 故()1,2A B =-I .故选：B .【点睛】本题考查了集合的交集运算，意在考查学生的计算能力.5．“1c =”是“直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=”相切的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】根据直线与圆相切，求得1c =或3c =，结合充分条件和必要条件的判定，即可求解.【详解】由题意，圆()()22212x y -++=的圆心坐标为(2,1)-，当直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=相切，可得d r =，即d ==12c +=，解得1c =或3c =，所以“1c =”是“直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=”相切的充分不必要条件.故选：B.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6．已知实数0a >，0b >，则“1a b >>”是“22a b e b e a +>+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】构造函数()e 2(0)x f x x x =->,利用函数()f x 的单调性和充分与必要条件的定义判断即可.【详解】 e 2e 2e 2e 2a b a b b a a b +>+⇔->-，令()e 2(0)x f x x x =->，则()e 2xf x '=-，令()0f x '=，解得ln 2x =， 因为()'f x 为R 上的增函数,所以当()0,ln 2x ∈时,()'0f x <;当()ln 2,x ∈+∞时,()'0f x >, 故()f x 在(0,ln 2)上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增，所以当1a b >>时，()()f a f b >，即22a b e a e b ->-,即“1a b >>”是“e 2e 2a b b a +>+”的充分条件；但当0ln 2a b <<<时，有()()f a f b >,即22a b e a e b ->-,所以当22a b e b e a +>+时,可得1a b >>或0ln 2a b <<<，故“1a b >>”是“e 2e 2a b b a +>+”的不必要条件.综上可知“1a b >>”是“22a b e b e a +>+”的充分不必要条件.故选:A【点睛】本题考查充分与必要条件;解题的关键是构造函数()e 2(0)x f x x x =->,利用函数的单调性进行判断;属于中档题.7．已知集合(){}2||lg 4A x y x==-，{|B x y ==，则A B =I ( ) A ．{}|12x x << B ．{}|12x x ≤<C ．{}|13x x 剟D ．{}|23x x -<… 【答案】B【解析】【分析】根据对数函数和二次函数的性质，求得集合,A B ，再结合集合交集的运算，即可求解．【详解】由题意，集合(){}2|lg 4(2,2),{|[1,3]A x y xB x y ==-=-===，所以{|12}A B x x =≤<I .故选：B ．【点睛】 本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中根据函数的定义域的定义，正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．8．“x ＜﹣1”是“x 2﹣1＞0”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由x ＜﹣1，知x 2﹣1＞0，由x 2﹣1＞0知x ＜﹣1或x ＞1．由此知“x ＜﹣1”是“x 2﹣1＞0”的充分而不必要条件．解：∵“x ＜﹣1”⇒“x 2﹣1＞0”，“x 2﹣1＞0”⇒“x ＜﹣1或x ＞1”．∴“x ＜﹣1”是“x 2﹣1＞0”的充分而不必要条件．故选A ．点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件的应用，解题时要注意基本不等式的合理运用．9．“4sin 25α=”是“tan 2α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】 直接利用二倍角的正弦公式换化简222sin cos 4sin 2sin cos 5ααααα==+，再利用齐次式进行弦切互化，得出22tan 4tan 15αα=+，即可求出tan α，即可判断充分条件和必要条件. 【详解】 解：2242sin cos 4sin 25sin cos 5ααααα=⇔=+Q ， 则22tan 4tan 2tan 15ααα=⇔=+或12，所以“4sin 25α=”是“tan 2α=”的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】 本题考查必要不充分条件的判断，运用到三角函数中的二倍角正弦公式、同角平方关系、齐次式进行弦切互化.10．下列说法正确的是( )A ．命题“0[0,1]x ∃∈，使2010x -…”的否定为“[0,1]x ∀∈，都有2 10x -…” B ．命题“若向量a v 与b v 的夹角为锐角，则·0a b >v v ”及它的逆命题均为真命题C ．命题“在锐角ABC V 中，sin cos A B <”为真命题D ．命题“若20x x +=，则0x =或1x =-”的逆否命题为“若0x ≠且1x ≠-，则20x x +≠”【答案】D【解析】【分析】对于A 选项，利用特称命题的否定即可判断其错误．对于B 选项，其逆命题为“若·0a b >r r ，则向量a r 与b r的夹角为锐角”， 由·0a b >r r 得：·cos 0a b θ>r r ，可得cos 0θ>，则0,2πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以该命题错误，所以B 错误．对于C 选项，0222A B A B πππ+>⇒>>->，可得sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，所以C 错误．故选D【详解】命题“0[0,1]x ∃∈，使2110x -…”的否定应为“[0,1]x ∀∈，都有210x -<”，所以A 错误； 命题“若向量a r 与b r 的夹角为锐角，则·0a b >r r ”的逆命题为假命题，故B 错误； 锐角ABC V 中，0222A B A B πππ+>⇒>>->， ∴sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，所以C 错误， 故选D.【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，还考查了特称命题的否定，向量的数量积知识，属于中档题．11．设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（ ）A ．-3或-1或2B ．-3或-1C ．-3或2D ．-1或2【答案】C【解析】若1−a =4，则a =−3，∴a 2−a +2=14，∴A ={2,4,14}；若a 2−a +2=4，则a =2或a =−1，检验集合元素的互异性：a =2时，1−a =−1，∴A ={2,−1,4}；a =−1时,1−a =2(舍)，本题选择C 选项.12．已知全集,U R =2{|2}M x x x =-≥则U C M =（ ）．A ．{|20}x x -<<B ．{|20}x x -≤≤C ．{|20}x x x <->或D ．{|20}x x x ≤-≥或【答案】C【解析】【分析】解二次不等式求出集合M ，进而根据集合补集运算的定义，可得答案．【详解】∵全集U=R ，2{|2}={|20}M x x x x x =-≥-≤≤∴∁U M={x|x<-2或x>0}，故选C ．【点睛】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，熟练掌握并正确理解集合运算的定义是解答的关键．13．已知a ，b 为实数，则01b a <<<，是log log a b b a >的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】【分析】通过正向与反向推导来验证充分与必要条件是否成立即可【详解】若01b a <<<，则lg lg b a <，lg lg 1,1lg lg b a a b >> ，lg lg log log lg lg a b b a b a a b >⇔>， 显然o 0l g lo 1g a b b a b a <><<⇒，充分条件成立但log log a b b a >时，比如说2,3a b ==时，却推不出01b a <<<，必要条件不成立所以01b a <<<是log log a b b a >的充分不必要条件【点睛】本题考查充分与必要条件的判断，推理能力与计算能力，由于参数的不确定性，故需要对参数进行讨论14．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒ q ”为真，则p 是q 的充分条件．15．已知命题p ：∀x ∈R ，x+1x ≥2；命题q ：∃x 0∈[0,]2π，使sin x 0+cos x 0=2，则下列命题中为真命题的是 ( )A ．p ∨(⌝q )B ．p ∧(⌝q )C ．(⌝p )∧(⌝q )D ．(⌝p )∧q 【答案】D【解析】【分析】先判断命题p,q 的真假，再判断选项命题的真假.【详解】 对于命题p ：当x ≤0时，x+1x≥2不成立， ∴命题p 是假命题，则⌝p 是真命题； 对于命题q ：当x 0=4π时，sin x 0+cos x 0=2，则q 是真命题． 结合选项只有(⌝p )∧q 是真命题．故答案为D.【点睛】 (1)本题主要考查全称命题特称命题的否定及其真假，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.16．已知集合1|,42k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,24k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．M N =B ．M NC ．N MD ．M N ⋂=∅ 【答案】C【解析】【分析】化简集合2|,4k M x x k Z +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，21|,4k N x x k Z +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，结合2()k k Z +∈为和22()k k Z +∈的关系，即可求解.由题意，集合12|,|,424k k M x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 121|,|,244k k N x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 因为2()k k Z +∈为所有的整数，而22()k k Z +∈为奇数，所以集合,M N 的关系为NM .故选：C .【点睛】本题主要考查了集合与集合的关系的判定，其中解答准确合理化简集合的形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.17．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =IB ．()U M N =∅I ðC ．M N U =UD ．()U M N ⊆ð 【答案】A【解析】【分析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断．【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ．故选A ．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．18．若实数a 、b 满足0a ≥，0b ≥且0ab =，则称a 与b 互补，记()22,a b a b a b ϕ=+-，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的（ ）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 【答案】C【解析】【分析】首先根据(),0a b ϕ=,证明0a ≥，0b ≥且0ab = ，再证明0a ≥，0b ≥且0ab =时，(),0a b ϕ= .若(),0a b ϕ=，0a b -=a b =+两边平方后可得20ab =，即0a =或0b =当0a =0b b b =-= ，0b ∴≥ ，即a 与b 互补，同理0b =时，a 与b 互补，反过来，当0ab =时，0a b -= ，即(),0a b ϕ= ，故(),0a b ϕ=是a 与b 互补的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判断和证明，意在考查逻辑推理和分析证明的能力，属于中档题型，本题的关键需根据充要条件的判断证明(),0a b a ϕ=⇒与b 互补，a 与b 互补(),0a b ϕ⇒=.19．命题“x R ∀∈，2230x x -+≤”的否定为（ ）A ．x R ∀∈，2230x x -+≥B ．x R ∃∉，2230x x -+>C ．x R ∃∈，2230x x -+>D ．x R ∀∉，2230x x -+≤【答案】C【解析】分析：根据全称命题的否定得结果.详解：因为x R ∀∈，2230x x -+≤，所以否定为x R ∃∈，2230x x -+>,选C.点睛：命题的否定的注意点(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，且”的否定为“或”.20．已知命题0:(0,)p x ∃∈+∞20x >；命题1:,2q x ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭，122x x -+>下列命题中是真命题的为（ ）A ．q ⌝B ．()p q ∧⌝C ．p q ∧D ．()()p q ⌝∨⌝ 【答案】C【解析】【分析】分别判断命题p 为真，命题q 为真，得到答案.【详解】取012x =212⎛⎫> ⎪⎝⎭，故命题p 为真；因为122x x -+≥=12x =时等号成立，故命题q 为真； 故p q ∧为真，故选：C ．【点睛】本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.。
高一数学常用逻辑用语试题答案及解析
高一数学常用逻辑用语试题答案及解析1.已知a，b是实数，则“| a＋b |＝| a |＋| b |”是“ab＞0”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由“| a＋b |＝| a |＋| b |”可以得出a,b同号，但是a=b=0也可以，所以是必要不充分条件.【考点】本小题主要考查充分条件和必要条件的定义.点评：判断此类问题，要分清谁是条件，谁是结论，是由谁推出谁.2.下面有四个命题：①函数是偶函数②函数的最小正周期是；③函数在上是增函数；④函数的图像的一条对称轴为直线，则.其中正确命题的序号是。
【答案】①④【解析】①函数是偶函数；②的周期为；③在上有增减两个区间；④函数的图像的一条对称轴为直线，所以，化简得【考点】三角函数性质点评：三角函数的周期为；的最值是，且在对称轴处取得；是奇函数，是偶函数3.给出下列命题：①a＞b⇒ac2＞bc2；②a＞|b|⇒a2＞b2；③a＞b⇒a3＞b3；④|a|＞b⇒a2＞b2.其中正确的命题是( )．A．①②B．②③C．③④D．①④【答案】B【解析】当c=0时，a＞b⇒ac2＞bc2不成立，故①为假命题；若a＞|b|成立，则a＞|b|≥0，此时a2＞b2一定成立，故②为真命题；当a＞b时，三次幂函数的单调性可得，a3＞b3一定成立，故③为真命题；当a=b=-1时，|a|＞b成立，但a2＞b2不成立，故④为假命题。
故选B。
【考点】本题主要考查不等式的性质。
点评：简单题，涉及命题真假判断问题，一半要逐一考察各个命题，作出结论。
4.给出下列命题：①②若是锐角△的内角，则>;③函数是偶函数；④函数的图象向左平移个单位，得到的图象.其中正确的命题的序号是____________.【答案】②③【解析】对于①，应该是。
错误对于②若是锐角△的内角，则，则可知>;成立。
对于③函数是偶函数；成立对于④函数的图象向左平移个单位，得到的图象，故错误。
高中数学部分错题分析1-集合与常用逻辑用语
高中数学部分错题分析1-集合与常用逻辑用语注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
集合与常用逻辑用语§1.1 集合的概念与运算【一】知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.3.子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素〔假设A a ∉那么B a ∈〕，那么称集合A 为集合B 的子集，记为A ⊆B 或B ⊇A ；如果A ⊆B ，并且A ≠B ，这时集合A 称为集合B 的真子集，记为A B 或B A.4.集合的相等：如果集合A 、B 同时满足A ⊆B 、B ⊇A ，那么A ＝B.5.补集：设A ⊆S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为 A C s .6.全集：如果集合S 包含所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常记作U.7.交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ⋂B.8.并集：一般地，由所有属于集合A 或者属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ⋃B.9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作Φ.10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法〔VENN 图〕.13.常用数集的记法：自然数集记作N ，正整数集记作N ＋或N *，整数集记作Z ，有理数集记作Q ，实数集记作R.【二】疑难知识导析1.符号⊆，，⊇，，＝，表示集合与集合之间的关系，其中“⊆”包括“”和“＝”两种情况，同样“⊇”包括“”和“＝”两种情况.符号∈，∉表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围、用集合表示不等式〔组〕的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断、空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B ＝Φ易漏掉的情况.5.假设集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.6.假设集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、VENN 图等将有关集合直观地表示出来.8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.9.含有N 个元素的集合的所有子集个数为：n 2，所有真子集个数为：n2－1【三】经典例题导讲【例1】 集合M ＝｛Y ｜Y ＝X2＋1，X ∈R ｝，N ＝｛Y ｜Y ＝X ＋1，X ∈R ｝，那么M ∩N ＝〔 〕A 、〔0，1〕，〔1，2〕B 、｛〔0，1〕，〔1，2〕｝C 、｛Y ｜Y ＝1，或Y ＝2｝D 、｛Y ｜Y ≥1｝ 错解：求M ∩N 及解方程组⎩⎨⎧+=+=112x y x y 得⎩⎨⎧==10y x 或 ⎩⎨⎧==21y x ∴选B 错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么、事实上M 、N 的元素是数而不是实数对（X ，Y ），因此M 、N 是数集而不是点集，M 、N 分别表示函数Y ＝X2＋1（X ∈R ），Y ＝X ＋1（X ∈R ）的值域，求M ∩N 即求两函数值域的交集、 正解：M ＝｛Y ｜Y ＝X2＋1，X ∈R ｝＝｛Y ｜Y ≥1｝， N ＝｛Y ｜Y ＝X ＋1，X ∈R ｝＝｛Y ｜Y ∈R ｝、 ∴M ∩N ＝｛Y ｜Y ≥1｝∩｛Y ｜（Y ∈R ）｝＝｛Y ｜Y ≥1｝， ∴应选D 、注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分｛X ｜Y ＝X2＋1｝、｛Y ｜Y ＝X2＋1，X ∈R ｝、｛（X ，Y ）｜Y ＝X2＋1，X ∈R ｝，这三个集合是不同的、【例2】 A ＝｛X ｜X2－3X ＋2＝0｝，B ＝｛X ｜AX －2＝0｝且A ∪B ＝A ，求实数A 组成的集合C 、 错解：由X2－3X ＋2＝0得X ＝1或2、当X ＝1时，A ＝2， 当X ＝2时，A ＝1、错因：上述解答只注意了B 为非空集合，实际上，B ＝时，仍满足A ∪B ＝A.当A ＝0时，B ＝，符合题设，应补上，故正确答案为C ＝｛0，1，2｝、正解：∵A ∪B ＝A ∴B A 又A ＝｛X ｜X2－3X ＋2＝0｝＝｛1，2｝∴B ＝或{}{}21或 ∴C ＝｛0，1，2｝ 【例3】M ∈A ，N ∈B ， 且集合A ＝{}Z a a x x ∈=,2|，B ＝{}Z a a x x ∈+=,12|，又C ＝{}Z a a x x ∈+=,14|，那么有： 〔 〕A 、M ＋N ∈A B. M ＋N ∈B C.M ＋N ∈C D. M ＋N 不属于A ，B ，C 中任意一个错解：∵M ∈A ，∴M ＝2A ，A Z ∈，同理N ＝2A ＋1，A ∈Z ， ∴M ＋N ＝4A ＋1，应选C错因是上述解法缩小了M ＋N 的取值范围.正解：∵M ∈A ， ∴设M ＝2A1，A1∈Z ， 又∵N B ∈，∴N ＝2A2＋1，A2∈ Z ，∴M ＋N ＝2（A1＋A2）＋1，而A1＋A2∈ Z ， ∴M ＋N ∈B ， 应选B.【例4】 集合A ＝｛X ｜X2－3X －10≤0｝，集合B ＝｛X ｜P ＋1≤X ≤2P －1｝、假设BA ，求实数P 的取值范围、错解：由X2－3X －10≤0得－2≤X ≤5、 欲使B A ，只须3351212≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-+≤-p p p∴ P 的取值范围是－3≤P ≤3.错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B ＝时，符合题设、正解：①当B ≠时，即P ＋1≤2P －1P ≥2.由B A 得：－2≤P ＋1且2P －1≤5.由－3≤P ≤3.∴ 2≤P ≤3②当B ＝时，即P ＋1》2P －1P 《2.由①、②得：P ≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A ∩B ＝、A ∪B ＝，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题、【例5】 集合A ＝｛A ，A ＋B ，A ＋2B ｝，B ＝｛A ，AC ，AC2｝、假设A ＝B ，求C 的值、分析：要解决C 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式、解：分两种情况进行讨论、〔1〕假设A ＋B ＝AC 且A ＋2B ＝AC2，消去B 得：A ＋AC2－2AC ＝0，A ＝0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故A ≠0、∴C2－2C ＋1＝0，即C ＝1，但C ＝1时，B 中的三元素又相同，此时无解、〔2〕假设A ＋B ＝AC2且A ＋2B ＝AC ，消去B 得：2AC2－AC －A ＝0，∵A ≠0，∴2C2－C －1＝0，即（C －1）（2C ＋1）＝0，又C ≠1，故C ＝－21、点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.【例6】 设A 是实数集，满足假设A ∈A ，那么a -11∈A ，1≠a 且1（A.⑴假设2∈A ，那么A 中至少还有几个元素？求出这几个元素.⑵A 能否为单元素集合？请说明理由.⑶假设A ∈A ，证明：1－a 1∈A.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A （ －1∈A （ 21∈A （ 2∈A∴ A 中至少还有两个元素：－1和21⑵如果A 为单元素集合，那么A ＝a -11即12+-a a ＝0该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集⑶A ∈A （ a -11∈A （a --1111∈A （111---a a ∈A ，即1－a 1∈A ⑷由⑶知A ∈A 时，a -11∈A ， 1－a 1∈A .现在证明A ，1－a 1， a -11三数互不相等.①假设A ＝a -11，即A2－A ＋1＝0 ，方程无解，∴A ≠a -11②假设A ＝1－a 1，即A2－A ＋1＝0，方程无解∴A ≠1－a 1③假设1－a 1 ＝a -11，即A2－A ＋1＝0，方程无解∴1－a 1≠a -11.综上所述，集合A 中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否那么证明欠严谨.【例7】 设集合A ＝｛a ｜a ＝12+n ，n ∈N ＋｝，集合B ＝｛b ｜b ＝542+-k k ，k ∈N ＋｝，试证：A B 、证明：任设a ∈A ，那么a ＝12+n ＝（n ＋2）2－4（n ＋2）＋5 （n ∈N ＋），∵ N ∈N ×，∴ N ＋2∈N ×∴ A ∈B 故 ①显然，1{}*2,1|N n n a a A ∈+==∈，而由B ＝｛b ｜b ＝542+-k k ，k ∈N ＋｝＝｛b ｜b ＝1)2(2+-k ，k ∈N ＋｝知1∈B ，于是A ≠B ②由①、② 得A B 、点评：〔1〕判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系、〔2〕判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义、【四】典型习题导练1、集合A ＝｛X ｜X2－3X －10≤0，X ∈Z ｝，B ＝｛X ｜2X2－X －6》0， X ∈ Z ｝，那么A ∩B 的非空真子集的个数为〔 〕A 、16B 、14C 、15D 、322、数集｛1，2，X2－3｝中的X 不能取的数值的集合是〔 〕A 、｛2，－2 ｝B 、｛－2，－5 ｝C 、｛±2，±5 ｝D 、｛5，－5｝3. 假设P ＝｛Y ｜Y ＝X2，X ∈R ｝，Q ＝｛Y ｜Y ＝X2＋1，X ∈R ｝，那么P ∩Q 等于〔 〕A 、PB 、QC 、D 、不知道4. 假设P ＝｛Y ｜Y ＝X2，X ∈R ｝，Q ＝｛（X ，Y ）｜Y ＝X2，X ∈R ｝，那么必有〔 〕A 、P ∩Q ＝B 、P QC 、P ＝QD 、P Q5、假设集合M ＝｛11|<x x ｝，N ＝｛x ｜2x ≤x ｝，那么M N ＝ 〔 〕A 、}11|{<<-x xB 、}10|{<<x xC 、}01|{<<-x xD 、∅6.集合A ＝｛X ｜X2＋（M ＋2）X ＋1＝0，X ∈R ｝，假设A ∩R ＋＝，那么实数M 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿、7.〔06高考全国II 卷〕设a R ∈，函数2()22.f x ax x a =--假设()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B φ=<<≠，求实数a 的取值范围。
高中数学,常用逻辑用语题型归纳(解析版)
第一章常用逻辑用语第一节：简单命题‖知识梳理‖1．命题的概念一般地，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．1.1.对于命题概念的理解(1)并不是任何语句都是命题，一个语句是命题应具备两个条件：①该语句是陈述句；②能够判断真假。
一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．(2)对于含有字母变量的语句，根据字母的取值范围，若能判断真假，则是命题；若不能判断真假，则不是命题．2．命题的分类判断为真的语句为真命题，判断为假的语句为假命题．3．命题的结构命题的结构形式是“若p，则q”，其中p是条件，q是结论．(1)在数学中，一般用小写字母p，q，r，…等表示命题．如命题p：2是无理数；命题q：π是有理数．(2)常见的命题形式为：“若p，则q”，其中p称为命题的条件，q称为命题的结论．当一个命题不是“若p，则q”的形式时，为了找出命题的条件和结论，可以对命题改写为“若p，则q”的形式．如命题“菱形的对角线互相垂直且平分”，可以改写为：“若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分”．‖题型归纳‖题型一命题及其真假的判断例题1、判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．(1)垂直于同一直线的两条直线必平行吗？(2)x 2＋4x ＋5>0(x ∈R )； (3)x 2＋3x －2＝0；(4)一个数不是正数就是负数； (5)4是集合{1,2,3,4}中的元素； (6)求证y ＝sin 2x 的最小正周期为π. 【解】(1)是疑问句，不是命题．(2)是命题．因为当x ∈R 时，x 2＋4x ＋5＝(x ＋2)2＋1>0恒成立，可判断真假，所以是命题，而且是真命题．(3)不是命题．因为语句中含有变量x ，在没给定x 的值之前，无法判断语句的真假，所以不是命题． (4)是命题．因为数0既不是正数也不是负数，所以是假命题． (5)是命题．因为4∈{1,2,3,4}，且是真命题． (6)是祈使句，不是命题．练习1、下面命题中是真命题的是( )A ．函数y ＝sin 2x 的最小正周期是2π B ．等差数列一定是单调数列 C ．直线y ＝ax ＋a 过定点(－1,0)D ．在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则角B 为锐角解析：A 中，y ＝sin 2x ＝12－12cos 2x ，周期T ＝π，A 为假命题；B 中，当公差为0时，等差数列为常数列，B 为假命题；D 中，若AB →·BC →>0，则AB →与BC →的夹角为锐角，角B 为钝角，D 为假命题，故C 正确． 答案：C题型二 命题的结构形式例题2、把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．(1)ac >bc ⇒a >b ；(2)当x 2－2x －3＝0时，x ＝－1或x ＝3；(3)有两个内角之和大于90°的三角形是锐角三角形； (4)实数的平方是非负数；(5)平行于同一平面的两条直线互相平行． 【解】(1)若ac >bc ，则a >b ，是假命题．(2)若x 2－2x －3＝0，则x ＝－1或x ＝3，是真命题．(3)若一个三角形中，有两个内角之和大于90°，则这个三角形是锐角三角形，是假命题． (4)若一个数是实数，则它的平方是非负数，是真命题．(5)若两条直线平行于同一个平面，则它们互相平行，是假命题．练习2、把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．(1)能被9整除的数是偶数；(2)当x2＋(y－1)2＝0时，有x＝0，y＝1；(3)如果a>1, 那么函数f(x)＝(a－1)x是增函数．解：(1)若一个数能被9整除，则这个数是偶数，是假命题．(2)若x2＋(y－1)2＝0，则x＝0，y＝1，是真命题．(3)若a>1，则函数f(x)＝(a－1)x是增函数，是假命题．‖随堂练习‖1．下列语句为命题的个数有( )①一个数不是正数就是负数；②梯形是不是平面图形呢？③22 019是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①④是命题，故选B.答案：B2．下列命题中是假命题的是( )A．若a·b＝0，则a⊥b(a≠0，b≠0)B．若|a|＝|b|，则a＝bC．若ac2>bc2，则a>bD．5>3解析：B中两个向量模相等，方向不一定相同，故B为假命题．答案：B3．已知α，β是两个不同平面，m，n，l是三条不同直线，则下列命题正确的是( ) A．若m∥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥βB．若m⊂α，n⊂α，l⊥n，l⊥m，则l⊥αC．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nD．若l⊥α且l⊥β，则α∥β解析：A中，α与β有可能平行，A错；B中，m与n不一定相交，B错；C中，m与n的关系不确定，C错；D中，垂直于同一条直线的两个平面互相平行，D正确．故选D.答案：D4．指出下列命题中的条件p和结论q.(1)若整数a能被2整除，则a是偶数；(2)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分． 解：(1)条件p ：整数a 能被2整除，结论q ：整数a 是偶数．(2)条件p ：四边形是菱形，结论q ：四边形的对角线互相垂直且平分． 5．把下列命题改写为“若p ，则q ”的形式，并判断其真假．(1)函数y ＝x 3是奇函数； (2)奇数不能被2整除；(3)与同一直线平行的两个平面平行；(4)已知x ，y 是正整数，当y ＝x ＋1时，y ＝3，x ＝2. 解：(1)若一个函数是y ＝x 3，则它是奇函数，它是真命题．(2)若一个数是奇数，则它不能被2整除，它是真命题．(3)若两个平面都与同一直线平行，则这两个平面平行，它是假命题． (4)已知x ，y 是正整数，若y ＝x ＋1，则y ＝3，x ＝2，它是假命题． 6．已知函数f (x )＝cos x －|sin x |，那么下列命题中假命题是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )在[－π，0]上恰有一个零点C ．f (x )是周期函数D ．f (x )在[－π，0]上是单调函数解析：∵f (－x )＝cos(－x )－|sin(－x )|＝cos x －|sin x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，A 正确；由f (x )＝cos x －|sin x |＝0，x ∈[－π，0]时，可得cos x ＝－sin x ，∴x ＝－π4，即f (x )在[－π，0]上恰有一个零点，B 正确；∵f (x ＋2π)＝cos(x ＋2π)－|sin(x ＋2π)|＝cos x －|sin x |＝f (x )，∴f (x )为周期函数，C 正确；当x ∈[－π，0]f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，f (x )在[－π，0]上不单调，D 为假命题，故选D. 答案：D四种命题及其相互关系‖知识梳理‖1．四种命题的概念2．四种命题的相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．4．命题的真假判断一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能既真又假，也不能模棱两可，无法判断其真假．判断一个命题为真命题，需要逻辑推理(证明)，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．在四种命题中，互为逆否的两个命题同真或同假，称为等价命题．原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价．因此，四种命题中真假命题的个数一定为偶数个．‖题型归纳‖题型一四种命题的概念例题1、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)若a<1，则方程x2＋2x＋a＝0有实根；(2)若ab是正整数，则a，b都是正整数；(3)若a＋5是有理数，则a是无理数．【解】(1)原命题的逆命题为：若方程x2＋2x＋a＝0有实根，则a<1.否命题为：若a≥1，则方程x2＋2x＋a＝0没有实根．逆否命题为：若方程x2＋2x＋a＝0没有实根，则a≥1.(2)原命题的逆命题为：若a，b都是正整数，则ab是正整数；否命题为：若ab不是正整数，则a，b不都是正整数；逆否命题为：若a，b不都是正整数，则ab不是正整数．(3)原命题的逆命题为：若a是无理数，则a＋5是有理数．否命题为：若a＋ 5 不是有理数，则a不是无理数．逆否命题为：若a不是无理数，则a＋5不是有理数．练习1、“若a≥2，则a2≥4”的否命题是( )A．若a≤2，则a2≤4B．若a≥2，则a2≤4C．若a<2，则a2<4D．若a≥2，则a2<4解析：否命题既否定条件，又否定结论，所以“若a≥2，则a2≥4”的否命题为“若a<2，则a2<4”，故选C.答案：C题型二四种命题的相互关系例题2、下列说法中，不正确的是( )A．“若p，则q”与“若q，则p”互为逆命题B．“若﹁p，则﹁q”与“若q，则p”互为逆否命题C．“若﹁p，则﹁q”是“若p，则q”的逆否命题D．“若﹁p，则﹁q”与“若p，则q”互为否命题【解析】根据四种命题的概念知，A、B、D正确；C错误．【答案】 C练习2、若命题A的否命题为B，命题A的逆否命题为C，则B与C的关系是( )A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确解析：设命题A为：“若p，则q”，依题意得，命题B为：“若﹁p，则﹁q”，命题C为：“若﹁q，则﹁p”，所以B与C为互逆命题．答案：A题型三四种命题的真假判断例题3、有下列四个命题：①“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”的否命题；②“若m＝2，则直线x＋y＝0与直线2x＋my＋1＝0平行”的逆命题；③“已知a，b是非零向量，若a·b>0，则a与b方向相同”的逆否命题；④“若x≤3，则x2－x－6>0”的逆否命题．其中为真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】命题“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”的逆命题为：“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，是真命题．因为逆命题与否命题等价，所以①正确；因为②中原命题的逆命题为：“若直线x＋y＝0与直线2x＋my＋1＝0平行，则m＝2”，是真命题，故②正确；对于③可考虑原命题．设a＝(0,1)，b＝(1,1)，则a·b＝1>0，但a与b不同向，所以原命题为假命题，故③为假命题；④中命题“若x≤3，则x2－x＋6>0”的逆否命题为：“若x2－x＋6≤0，则x>3”，是假命题，故④为假命题．【答案】 B练习3、下列命题中为真命题的是( )A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x>1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题解析：A中，命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|，则x>y”，为真命题；B中，命题“若x>1，则x2>1”的逆命题为“若x2>1，则x>1”，为假命题，所以其否命题为假命题；C中，命题的逆命题为“若x2＋x－2＝0，则x＝1”，为假命题，所以其否命题为假命题；D中，命题“若x2>1，则x>1”为假命题，则逆否命题为假命题，故选A.答案：A题型四、等价命题的应用例题4、判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集，则a ≥1”的逆否命题的真假．【解】 解法一：原命题的逆否命题：已知a ，x 为实数，若a <1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．真假判断过程如下：抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2开口向上，Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7. 若a <1，则4a －7<0.所以抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2与x 轴无交点．所以关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．故逆否命题为真命题． 解法二：判断原命题的真假．已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集， 则Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，得a ≥74，从而a ≥1成立．所以原命题为真命题．又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真命题．练习4、已知奇函数f (x )是定义在R 上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥0，求证：a ＋b ≥0. 证明：原命题的逆否命题是：若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<0.∵a ＋b <0，∴a <－b . 又∵f (x )在R 上为增函数， ∴f (a )<f (－b )．又f (x )为奇函数，∴f (－b )＝－f (b )． ∴f (a )<－f (b )，即f (a )＋f (b )<0. ∴原命题的逆否命题为真命题． 故原命题成立．‖随堂练习‖1．命题“若a >b ，则a －1>b －1”的否命题是( )A ．若a >b ，则a －1≤b －1B ．若a >b ，则a －1<b －1C ．若a ≤b ，则a －1≤b －1D ．若a <b ，则a －1<b －1 解析：否命题应同时否定条件和结论． 答案：C2．命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是( )A ．若q 不正确，则p 不正确B ．若q 不正确，则p 正确C ．若p 正确，则q 不正确D ．若p 正确，则q 正确解析：由于原命题的逆命题与否命题互为等价命题，故D 正确． 答案：D3．下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题为“若xy ＝0，则x ≠0”B ．“若sin α＝12，则α＝π6”的逆否命题为真命题C ．“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题为真命题D ．命题“若cos x ＝cos y ，则x ＝y ”的逆否命题为真命题解析：C 中，原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，是真命题． 答案：C 4．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②若一个四边形对角互补，则它内接于圆； ③正方形的四条边相等； ④圆内接四边形对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有____________；互为否命题的有____________；互为逆否命题的有____________． 解析：命题③可以改写为：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；命题④可以改写为：若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补；命题⑤可以改写为：若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆．其中②和④，③和⑥互为逆命题；①和⑥，②和⑤互为否命题；①和③，④和⑤互为逆否命题． 答案：②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤5．写出命题“如果|x －2|＋(y －1)2＝0，则x ＝2且y ＝1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：如果x ＝2且y ＝1，则|x －2|＋(y －1)2＝0.真命题．否命题：如果|x －2|＋(y －1)2≠0，则x ≠2或y ≠1.真命题． 逆否命题：如果x ≠2或y ≠1，则|x －2|＋(y －1)2≠0.真命题．6．设△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，在命题“若a 2＋b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形”及其逆命题中( )A ．原命题真，逆命题假B ．原命题假，逆命题真C ．两个命题都真D ．两个命题都假解析：原命题“若a 2＋b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形”是假命题，而逆命题“若△ABC 不是直角三角形，则a 2＋b 2≠c 2”是真命题．故选B.充分条件与必要条件‖知识梳理‖1．推出关系一般地，命题“若p，则q”为真，可记作“p⇒q”；“若p，则q”为假，可记作p⇒q2．充分条件与必要条件一般地，如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件．若p⇒q，则说p是q的充分条件，所谓“充分”，即要使q成立，有p成立就足够了；q是p的必要条件，所谓“必要”，即q是p成立的必不可少的条件，缺其不可．3．充要条件如果p⇒q且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q.同时q也是p 的充要条件．若p⇒q，同时q⇒p，则称p与q互为充要条件，可以表示为p⇔q(p与q等价)，它的同义词还有：“当且仅当”、“必须只需”、“…，反过来也成立”．准确地理解和使用数学语言，对理解和运用数学知识是十分重要的．4．充分条件和必要条件的判断①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若p⇒q，且q p，则称p是q的充分不必要条件．③若p q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．④若p⇒q，且q⇒p，则称p是q的充要条件．⑤若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．4.从集合与集合之间的关系看充分条件、必要条件：‖题型归纳‖题型一充分条件、必要条件的判定例题1、指出下列各题中，p是q的什么条件(在充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A>∠B；q：BC>AC；(2)设x，y∈R，p：x＋y≠8；q：x≠2或y≠6；(3)已知x，y∈R，p：(x－1)(y－2)＝0；q：(x－1)2＋(y－2)2＝0；(4)在△ABC中，p：sin A>sin B；q：tan A>tan B．【解】(1)在△ABC中，有∠A>∠B⇔BC>AC，即p⇔q，所以p是q的充要条件．(2)由已知得﹁p：x＋y＝8；﹁q：x＝2且y＝6.易知﹁q⇒﹁p，但﹁p﹁q，等价于p⇒q，且q p，所以p是q的充分不必要条件．(3)由已知得p：A＝{(x，y)|x＝1或y＝2}；q：B＝{(1,2)}，易知q⇒p，且p q，所以p是q 的必要不充分条件．(4)在△ABC中，取∠A＝120°，∠B＝30°，则p q；又取∠A＝30°，∠B＝120°，则q p.所以p是q的既不充分也不必要条件．练习1—1、“a＝1”是“直线a2x－y＋3＝0与x＋ay－2＝0垂直”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件练习1-2、“a＝4”是“y＝x2－ax＋1在(2，＋∞)上是增函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：(1)若直线a2x－y＋3＝0与x＋ay－2＝0垂直，则a2－a＝0，则a＝0或a＝1，故“a＝1”是“直线a2x－y＋3＝0与x＋ay－2＝0垂直”的充分不必要条件．(2)若函数y＝x2－ax＋1在(2，＋∞)上是增函数，则a2≤2，即a≤4，故“a＝4”是“y＝x2－ax＋1在(2，＋∞)上是增函数”的充分不必要条件．答案：(1)A (2)A题型二充分条件、必要条件的应用例题2、已知命题p：对数log a(－2t2＋7t－5)(a>0，a≠1)有意义；命题q：实数t满足不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0.(1)若命题p为真命题，求实数t的取值范围；(2)若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【解】 (1)由对数式有意义，得－2t 2＋7t －5>0，解得1<t <52，∴若命题p 为真命题，则实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52. (2)不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0， 可化为(t －1)(t －a －2)<0.若p 是q 的充分不必要条件，则1<t <52是不等式解集的真子集．则a ＋2>52，∴a >12.∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.练习2、已知函数f (x )＝x 2－x ＋a ，集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，集合B ＝{x |f (x )≤0}，若x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，求a 的取值范围． 解：∵x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件，则f (x )≤0，x ∈[－1,1]恒成立， 即x 2－x ＋a ≤0，x ∈[－1,1]恒成立， 即f (x )max ≤0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋1＋a ≤0，1－1＋a ≤0，即a ≤－2.∴a 的取值范围为(－∞，－2]．题型三 充要条件的证明例题3、已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y的充要条件是xy >0.【证明】 证法一：①充分性：由xy >0，及x >y ，得x xy >y xy ，即1y >1x ，即1x <1y. ②必要性：由1x <1y，得1x －1y<0， 即y －xxy<0. ∵x >y ，∴y －x <0，∴xy >0. 由①②知，1x <1y的充要条件是xy >0.证法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －xxy<0.由条件x >y ⇔y －x <0.故y －xxy <0⇔xy >0. ∴1x <1y ⇔xy >0.即1x <1y的充要条件是xy >0.练习3、求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为－1的充要条件是a －b ＋c ＝0. 证明：①充分性：∵a －b ＋c ＝0，∴a (－1)2＋b (－1)＋c ＝0，∴－1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根． ②必要性：∵ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是－1， ∴a (－1)2＋b (－1)＋c ＝0， 即a －b ＋c ＝0.由①②知，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为－1的充要条件是a －b ＋c ＝0.题型四 充要条件的探求例题4、设集合A ＝{x |－2≤x ≤a }，B ＝{y |y ＝2x ＋3，x ∈A }，M ＝{z |z ＝x 2，x ∈A }，求使M ⊆B 的充要条件．【解】 ∵A ＝{x |－2≤x ≤a }．∴B ＝{y |y ＝2x ＋3，x ∈A }＝{y |－1≤y ≤2a ＋3}． 当－2≤a <0时，M ＝{z |a 2≤z ≤4}； 当0≤a ≤2时，M ＝{z |0≤z ≤4}； 当a >2时，M ＝{z |0≤z ≤a 2}． 故当－2≤a ≤2时，M ⊆B ， 得2a ＋3≥4，即a ≥12.∴12≤a ≤2. 当a >2时，M ⊆B ，得 2a ＋3≥a 2，解得－1≤a ≤3. ∴2<a ≤3.综上知，M ⊆B 的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪12≤a ≤3.练习4、直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是________． 解析：∵直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切，∴圆心(1,1)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离等于2，∴|1＋1＋m |2＝2，∴m ＝－4或m ＝0. 当m ＝－4或m ＝0时，直线与圆相切． 答案：m ＝－4或m ＝0‖随堂练习‖1．设a >0，b >0，则“a 2＋b 2≥1”是“a ＋b ≥ab ＋1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a ＋b ≥ab ＋1，得a －1＋b －ab ≥0，即(a －1)(1－b )≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，0<b ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤1，b ≥1，∴a 2＋b2≥1，即a ＋b ≥ab ＋1⇒a 2＋b 2≥1，但当a ＝b ＝2时，有a 2＋b 2≥1，而a ＋b <ab ＋1.∴“a 2＋b 2≥1”是“a ＋b ≥ab ＋1”的必要不充分条件，故选B. 答案：B2．已知命题p ：函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，命题q ：函数g (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则﹁p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由p 成立，得a ≤1；由q 成立，得a >1，∴当﹁p 成立时，a >1，∴﹁p 是q 的充要条件． 答案：C3．若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若m ⊥α，l ⊥m ，则l ∥α或l ⊂α，反之，若m ⊥α，l ∥α，则l ⊥m ，∴“l ⊥m ”是“l ∥α”的必要不充分条件，故选B. 答案：B4．已知p ：函数f (x )＝|x －a |在(2，＋∞)上是增函数，q ：函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)是减函数，则p 是q 的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若p 为真，则a ≤2；若q 为真，则0<a <1.则q ⇒p ，pq ，∴p 是q 的必要不充分条件，故选A. 答案：A5．已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，且p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，又p 是q 的充分不必要条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ≥10，1－m ≤－2，m ＞0，(等号不能同时成立)，解得m ≥9.∴实数m 的取值范围是[9，＋∞)．6．设x ∈R ，则“0<x <5”是“|x －1|<1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：由|x －1|<1，得0<x <2，∴“0<x <5”是“0<x <2”的必要而不充分条件，故选B. 答案：B简单的逻辑联结词‖知识梳理‖1．逻辑联结词把两个命题联结而成新命题的常用逻辑联结词有“且”、“或”、“非”．2．简单命题与复合命题(1)不含逻辑联结词的命题叫做简单命题．(2)由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．复合命题一般有三种类型：①p且q；②p或q；③非p.(3)复合命题的真假①p且q同真才真，其他均假；②p或q同假才假，其他均真；③非p与p真假相反．3．对逻辑联结词“或”的理解“或”与日常生活用语中的“或”意义不同，日常生活用语中的“或”带有“不可兼有”的意思，如工作或休息；而逻辑联结词中“或”含有“同时兼有”的意思，如x<－1或x>2.因此“p或q”的含义有三层意思：①p成立q不成立；②p不成立q成立；③p与q同时成立．4．对逻辑联结词“非”的理解“非”是否定的意思，如“3是非偶数”是对命题“3是偶数”进行否定而得出的新命题．一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定，常用的正面叙述的词语与它的否定如下表：5.逻辑联结词与集合的运算集合中的“交”、“并”、“补”与逻辑联结词“且”、“或”、“非”有密切关系，设集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，可有如下关系：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}＝{x|p∧q}；A∪B＝{x|x∈A或x∈B}＝{x|p∨q}；∁U A＝{x|x∈U且x∉A}＝{x|﹁p}．6．命题的否定形式与否命题的关系：命题的否定与否命题都是对关键词进行否定，但有如下区别：(1)定义不同命题的否定是直接对命题的结论进行否定；而否命题则是对命题的条件和结论都否定后组成的新命题．(2)构成形式不同对于“若p，则q”形式的命题，其否定形式为“若p，则﹁q”，即不改变条件，只否定结论；而其否命题的形式为“若﹁p，则﹁q”，即对命题的条件和结论都否定．(3)与原命题的真假关系命题的否定的真假与原命题的真假总是相对的，即一真一假；而否命题的真假与原命题的真假没有必然联系．(4)“p或q”的否定是“非p且非q”，“p且q”的否定是“非p或非q”．‖题型归纳‖题型一命题的构成例题1、分别写出由下列命题构成的“p∧q”，“p∨q”，“﹁p”形式的命题：(1)p：π是无理数，q：e不是无理数；(2)p：12是3的倍数，q：12是4的倍数；(3)p：方程x2－3x＋2＝0的根是x＝1，q：方程x2－3x＋2＝0的根是x＝2.【解】(1)“p∧q”：π是无理数且e不是无理数；“p∨q”：π是无理数或e不是无理数；“﹁p”：π不是无理数．(2)“p∧q”：12是3的倍数且是4的倍数；“p∨q”：12是3的倍数或是4的倍数；“﹁p”：12不是3的倍数．(3)“p∧q”：方程x2－3x＋2＝0的根是x＝1且方程x2－3x＋2＝0的根是x＝2；“p∨q”：方程x2－3x＋2＝0的根是x＝1或方程x2－3x＋2＝0的根是x＝2；“﹁p”：方程x2－3x＋2＝0的根不是x＝1.练习1、试写出下列命题中的p ，q .(1)梯形有一组对边平行且相等；(2)方程x 2＋2x ＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等； (3)一元二次方程至少有三个根． 解：(1)是p 且q 形式的命题．p ：梯形有一组对边平行； q ：梯形有一组对边相等．(2)是p 或q 形式的命题．p ：方程x 2＋2x ＋1＝0有两个相等的实数根； q ：方程x 2＋2x ＋1＝0的两根的绝对值相等．(3)是﹁p 的形式．p ：一元二次方程最多有两个根．题型二 复合命题的真假判断例题2、分别指出由下列各组命题构成的“p ∧q ”“p ∨q ”“﹁p ”形式的命题的真假：(1)p ：π>3，q ：π<2；(2)p ：若x ≠0，则xy ≠0，q ：若y ≠0，则xy ≠0；(3)p ：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q ：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边； (4)p ：函数y ＝x 12的定义域为R ，q ：函数y ＝x 2是偶函数．【解】 (1)∵p 是真命题，q 是假命题，∴p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，﹁p 是假命题．(2)∵p 是假命题，q 是假命题，∴p ∧q 是假命题，p ∨q 是假命题，﹁p 是真命题． (3)∵p 是真命题，q 是真命题，∴p ∧q 是真命题，p ∨q 是真命题，﹁p 是假命题． (4)∵p 是假命题，q 是真命题，∴p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，﹁p 是真命题．练习2—1、命题p ：若ac 2>bc 2，则a >b ，命题q ：在△ABC 中，若A ≠B ，则sin A ≠sin B ，下列选项正确的是( )A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．“p 或q ”为假D ．“p 且q ”为真练习2—2、已知命题p ：不等式－x 2＋2x <0的解集是{x |x <0或x >2}，命题q ：在△ABC 中，A >B 是sin A >sinB 的充要条件，则( )A ．p 真q 假B ．p ∨q 假C ．p ∧q 真D ．p 假q 真解析：(1)p 为真命题，q 为真命题，∴p 且q 为真，故选D.(2)由－x 2＋2x <0，得x >2或x <0，故p 为真命题，在△ABC 中，A >B ⇔sin A >sin B ，故q 为真命题，所以p ∧q 为真，故选C. 答案：(1)D (2)C题型三 命题的否定与否命题例题3、写出下列命题的否定与否命题，并判断真假．(1)若abc ＝0，则a ，b ，c 中至少有一个为0； (2)若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0； (3)等腰三角形有两个内角相等．【解】 (1)命题的否定：若abc ＝0，则a ，b ，c 中都不为0，为假命题；否命题：若abc ≠0，则a ，b ，c 都不为0，为真命题．(2)命题的否定：若x 2＋y 2＝0，则x ，y 中至少有一个不为0，为假命题； 否命题：若x 2＋y 2≠0，则x ，y 中至少有一个不为0，为真命题． (3)命题的否定：等腰三角形的任意两个内角都不相等，为假命题； 否命题：不是等腰三角形的三角形中任意两个角都不相等，为真命题．练习3、“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是___________；否命题是___________． 解析：命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，因此否命题是：末位数字不是1且不是3的整数能被8整除． 答案：末位数字是1或3的整数能被8整除末位数字不是1且不是3的整数能被8整除题型四 逻辑联结词“或”“且”“非”的应用例题4、设命题p ：ln a <0；命题q ：函数y ＝ax 2－x ＋a 的定义域为R .(1)若命题q 是真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题p 或q 是真命题，命题p 且q 是假命题，求实数a 的取值范围． 【解】 (1)对于命题q ：函数的定义域为R 的充要条件是ax 2－x ＋a ≥0恒成立．当a ＝0时，不等式为－x ≥0，解得x ≤0，显然不成立； 当a ≠0时，不等式恒成立的条件是@⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(－1)2－4a ×a ≤0，解得a ≥12.所以命题q 为真命题时，a 的取值集合为Q ＝⎩⎨⎧a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫a ≥12.(2)若命题p 为真，则0<a <1，由“p 或q 是真命题，p 且q 是假命题”可知，命题p ，q 一真一假，当p 真q 假时，由⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a <12，得0<a <12；当p 假q 真时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0或a ≥1，a ≥12，得a ≥1.综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪[1，＋∞)．练习4、已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减；q ：二次函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点．如果p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求a 的取值范围． 解：若函数y ＝log a (x ＋1)在(0，＋∞)内单调递减，则0<a <1，∴p ：0<a <1.若曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于两点， 则(2a －3)2－4>0，即a <12或a >52.∴q ：a <12或a >52.若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，则p 与q 一真一假，若p 真q 假，由⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12≤a ≤52，a >0且a ≠1，得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.若p 假q 真，由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0或a ≥1，a <12或a >52，a >0且a ≠1，得a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.‖随堂练习‖1．已知命题p ：x ∈A ∪B ，则﹁p 是( )A ．x ∉A ∪B B ．x ∉A 或x ∉BC ．x ∉A 且x ∉BD ．x ∈A ∩B解析：由x ∈A ∪B ，知x ∈A 或x ∈B .﹁p 是：x ∉A 且x ∉B .故选C. 答案：C2．已知p ：|x ＋1|>2，q ：x >a ，则﹁p 是﹁q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A．a≥1 B．a≤1C．a≥－3 D．a≤－3解析：由|x＋1|>2，得x<－3或x>1，∵﹁p是﹁q的充分不必要条件，∴﹁p⇒﹁q，∴q⇒p，∴a≥1，故选A.答案：A3．设p，q是两个命题，若﹁(p∨q)是真命题，那么( )A．p是真命题且q是假命题B．p是真命题且q是真命题C．p是假命题且q是真命题D．p是假命题且q是假命题解析：﹁(p∨q)是真命题，则p∨q是假命题，故p，q均为假命题．答案：D4．下列三个结论：①命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”；②若p是q的充分不必要条件，则﹁q是﹁p的充分不必要条件；③命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件．其中正确结论的个数是( )A．0个B．1个C．2个D．3个解析：命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”，即①正确；由p是q的充分不必要条件，可得由p能推出q，但是q不能推出p，所以﹁q能推出﹁p，﹁p不能推出﹁q，故﹁q是﹁p的充分不必要条件，即②正确；若p∧q为真，则p，q都为真，所以p∨q为真；若p∨q为真，则p，q至少有一个为真，所以“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的充分不必要条件，即③错误．故选C. 答案：C5．已知命题p：若a>b，则a2>b2，命题q：若a<b，则ac2<bc2，下列命题为真命题的是( ) A．p∧q B．p∧(﹁q)C．p∨(﹁q) D．p∨q解析：若a＝－1，b＝－2，满足a>b，但a2<b2，∴p为假命题，当c＝0，a<b时，但ac2＝bc2，q为假命题．∴p∧q为假，p∧(﹁q)为假，p∨q为假，p∨(﹁q)为真，故选C.答案：C6．已知命题p：α，β是第一象限角，则α>β是sin α>sin β的充要条件，命题q：若S n为等差数列{a n}的前n项和，则S m，S2m，S3m(m∈N*)成等差数列，下列命题为真命题的个数是( )①p∨(﹁q) ②(﹁p)∧q③(﹁p)∨(﹁q) ④p∧qA．1个B．2个C．3个D．4个解析：∵p为假命题，q为假命题，∴p∨(﹁q)为真命题，(﹁p)∧q为假命题，(﹁p)∨(﹁q)为真命题，p∧q为假命题．故选B. 答案：B全称量词与存在量词‖知识梳理‖1．全称量词和全称命题2.存在量词和特称命题3．全称命题与特称命题的辨析同一个全称命题或特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，在实际应用中可以灵活地选择．有的命题省略全称量词，但仍是全称命题．例如：“实数的绝对值是非负数”，省略了全称量词“任意”．但它仍然是全称命题．因此，要判定一个命题是否是全称命题，除看它是否含有全称量词外，还要结合具体意义去判断．4．全称命题与特称命题的真假要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立；但要判定一个全称命题是假命题，却只需找出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．。
集合与常用逻辑用语(5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关)-2024年高考数学考试易错题
专题01集合与常用逻辑用语易错点一：对集合表示方法的理解存在偏差（集合运算问题两种解题方法）方法一：列举法列举法就是通过枚举集合中的所有元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法。
其解题具体步骤如下:第一步定元素：确定已知集合中的所有元素，利用列举法或画数轴写出所有元素或范围；第二步定运算：利用常见不等式或等式解未知集合；第三步：定结果。
方法二：赋值法高考对集合的基本运算的考查以选择题为主,所以我们可以利用特值法解题,即根据选项之间的明显差异,选择一些特殊元素进行检验排除,从而得到正确选项.其解题具体步骤如下:第一步：辨差异:分析各选项,辨别各选项的差异；第二步：定特殊:根据选项的差异,选定一些特殊的元素；第三步：验排除:将特殊的元素代入进行验证，排除干扰项；第四步：定结果:根据排除的结果确定正确的选项。
易错提醒：对集合表示法的理解先观察研究对象（丨前），研究对象是点集还是数集，故要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元素类型及代表元素的含义.若A B ⊆，即A 是B 的子集，所以A B A = ，所以（4）正确；根据元素与集合的关系可知{}∅∈∅正确，也即（5）正确.所以正确的个数是4.故选：A易错点二：忽视（漏）空集导致错误（集合中的含参问题）1.利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围解题时务必注意:由于∅是任意集合的子集,若已知非空集合B,集合A 满足A ⊆B 或A ⊂B,则对集合A 分两种情中的含参问题况讨论:(1)当A=∅时,若集合A 是以不等式为载体的集合,则该不等式无解;(2)当A≠∅时,要利用子集的概念把子集关系转化为两个集合对应区间的端点值的大小关系,从而构造关于参数的不等式(组)求解.2.利用两集合的运算求参数的值或取值范围解决此类问题的步骤一般为:第一步：化简所给集合;第二步：用数轴表示所给集合;第三步：根据集合端点间关系列出不等式(组);(4)解不等式(组);第四步：检验,通过返回代入验证端点是否能够取到.第五步：解决此类问题多利用数形结合的方法,结合数轴或Venn 图进行求解.易错提醒：勿忘空集和集合本身.由于∅是任意集合的子集，是任何集合的真子集，任何集合的本身是该集合的子集，所以在进行列举时千万不要忘记。
高中数学备课资料常用逻辑用语复习典例赏析
常用逻辑用语复习典例赏析常用逻辑用语是进行数学表达、刻画逻辑关系的一个重要工具.为帮助同学们复习好这部分知识，下面让我们一起回眸常用逻辑用语，解析其重难点，总结其常用方法.一、命题及其关系（1）理解命题概念要注意抓住其两个特征：一是语句必须能判断真假，即语句所叙述的内容或者是真的，或者是假的，可能真可能假或真假不能判定都不是命题；二是语句必须是陈述句，不能是祈使句、疑问句、感叹句等句型.（2）原命题和它的逆否命题、原命题的逆命题和否命题是两对等价命题，它们的真假性相同的.（3）注意否命题和命题的否定是不同的，如果p 是命题，它的否定是“非p （p ⌝）”，是对命题p 的全盘否定.如果原命题是“若p ，则q ”，它的否命题是“若p ⌝，则q ⌝”，是对条件和结论同时否定；而命题的否定是“若p ，则q ⌝”，即在条件不变的前提下对结论进行否定.例1 在命题：p “设22,,bc ac b a R c b a >>∈则若、、”及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为【 】（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）4分析：根据命题p 和它的逆否命题，命题p 的逆命题和否命题是两对等价命题，选择易于判断真假的两个命题进行判断．解：当0=c 时，22bc ac >不成立，故命题p 是假命题，故它的逆否命题也是假命题；p 的逆命题是“设b a bc ac R c b a >>∈则若、、,,22”显然是真命题，故p 的否命题也是真命题.选C .点评：判断命题的真假，要紧密依据相关数学知识.从理论上讲，若判定一个命题为真，须穷尽所有情形；若判定一个命题为假，只需举出一个反例.实际判断时，可依据我们已有的数学知识和数学经验直接判断.二、充分条件与必要条件（1）若⇒p q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。
充分条件和必要条件是相伴而生的，它们反映的是一个命题的条件和结论之间的逻辑关系.（2）如果既有q p ⇒，又有p q ⇒，就记作q p ⇔，此时p 与q 互为充要条件.p 是q的充分条件的含义为：推出q 有p 就足够了，没有必要再附加别的条件，即“有它即可”.q 是p 的必要条件含义为：对于命题“若p ，则q ”而言，q 是必须的，即“无它不可”.在命题中，与“充要条件”同义的词语有“当且仅当”“必须且只需”“等价于”等.例2 “1≤m ”是“直线0=++m y x 与圆2122=+y x 有公共点”的【 】 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件分析：先求出直线与圆有公共点的充要条件，再根据逻辑条件的定义确定条件类型.解：直线0=++m y x 与圆2122=+y x 有公共点⇔222||≤m ⇔1||≤m ⇔11≤≤-m . 因为1≤m 不一定能推出11≤≤-m ，而11≤≤-m ⇒1≤m ，所以“1≤m ”是“直线0=++m y x 与圆2122=+y x 有公共点”的必要不充分条件. 故选B . 点评：本题是一个逻辑条件的判定问题，此类问题一般应用逻辑条件的定义解答.判断时，一般需先把其中较为复杂的条件等价转化，即求出其充要条件，再进行判断.三、简单的逻辑联结词（1）判断命题中是否含有逻辑联结词，不能只从字面上看有无“且”“或”“非”等联结词，要善于根据命题的真正含义进行甄别.（2）在写含有一个量词的命题的否定时，要注意总结：应该否定哪些词语，如何去否定.例 3 给出两个命题：:p 函数12--=x x y 有两个不同的零点；:q 若βαsin sin =，则βαcos cos =，则在下列四个命题中，真命题是【 】（A ）q p ∨⌝)( （B ）q p ∧ （C ）)()(q p ⌝∧⌝（D ）)()(q p ⌝∨⌝ 分析：先判断命题q p ,的真假，再判断四个选项中命题的真假．解：由函数12--=x x y 对应的方程012=--x x 的根的判别式05)1(4)1(2>=-⨯--=∆，可知函数12--=x x y 有两个不同的零点，所以命题p 是真命题；命题q 显然是假命题.所以，只有)()(q p ⌝∨⌝是真命题.故选D .点评：判断含有逻辑联结词“且”“或”“非”的命题的真假，关键是判定构成它的命题p ，q 的真假，及真假的判断规律.四、含有一个量词的命题的否定全称命题p ：)(,x p M x ∈∀的否定是p ⌝：)(,00x p M x ∈∃，即全称命题的否定是特称命题；特称命题p ：)(,00x p M x ∈∃的否定是p ⌝：)(,x p M x ⌝∈∀，即特称命题的否定是全称命题，例4 命题:p x x R x tan ,=∈∃的否定是 .分析：先确定命题的类型，然后根据相应命题的否定的写法写出其否定.解：命题p 是特称命题，p ⌝为“R x ∈∀，x x tan ≠”。
高中数学：常用逻辑用语
常用逻辑用语一、知识框架1.命题定义：用语言、符号或式子表达的、可以判断正误的陈述语句，叫做命题。
其中，判断为真的即为真命题，为假的即为假命题。
2.命题的判断以及命题真假的判断（1）命题的判断：①判断该语句是否是陈述句；②能否判断真假。
（2）命题真假的判断：首先，分清条件与结论，其次，再判断命题真假。
3.一般地，用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用¬p 和¬q 表示p 与q 的否定，即如下：（四种命题的关系）4.充分条件和必要条件 （1）充分条件：如果A 成立，那么B 成立，则条件A 是B 成立的充分条件。
（2）必要条件：如果A 成立，那么B 成立，这时B 是A 的必然结果，则条件B 是A 成立的必要条件。
（3）充要条件：如果A 既是B 成立的充分条件，又是B 成立的必要条件，则A 是B 成立的充要条件，与此同时，B 也一定是A 成立的重要条件，所以此时，A 、B 互为充要条件。
【注意】充分条件与必要条件是完全等价的，是同一逻辑关系“A ＝＞B ”的不同表达方法。
5.逻辑联结词（1）不含逻辑联结词的命题是简单命题，由简单命题和逻辑联结词“或”“且”“非”构成的命题是复合命题，它们有以下几种形式：p 或q （p ∨q ）；p 且q （p ∧q ）；非p （¬p ）。
（2）逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解 在集合中学习的“并集”“交集”“补集”与逻辑联结词中的“或”“且”“非”关系十分密切。
6.量词与命题量词名称 常见量词表示符号全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ∀存在量词 存在一个、至少有一个、某个、有些、某些等∃命 题 表述形式 原命题 若p 则q 逆命题 若q 则p 否命题 若¬p 则¬q 逆否命题若¬q 则¬p（2）全称命题与特称命题 命题全称命题“()x p M x ,∈∀”特称命题“()00,x p M x ∈∃”定义短语“对所有的”“对任意一个”等，在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示。
高考数学中的常见逻辑题
高考数学中的常见逻辑题逻辑题在高考数学中占据重要的地位，不仅考察了学生的思维逻辑能力，更是对学生应用数学知识的考查。
在高考数学中，常见的逻辑题有逻辑连接词的灵活运用、命题的逻辑推理、假设的合理性判断等各种类型。
下面将对常见的逻辑题进行详细介绍和解析。
第一种类型是逻辑连接词的灵活运用，这类题目常常出现在选择题中。
逻辑连接词有“与”、“或”、“非”等，灵活运用可以帮助我们准确理解题意、分析解题思路。
例如，“当x>2时满足方程x^2-3x-10>0，其中x≠2的解集是：( )”，我们可以根据题意和不等式的解集进行分析，并利用逻辑连接词的意义进行答题。
答案是“x<－2或x>5”。
第二种类型是命题的逻辑推理，这类题目常常出现在解答题中。
命题逻辑是研究命题与命题之间的联系和推理规律的数学分支。
例如，“已知命题p：如果x+y=2，那么x^2+y^2=4。
”，我们可以通过分析命题的真值表和相关定理，进行推理和证明。
答案是“该命题为真命题”。
第三种类型是假设的合理性判断，这类题目常常出现在应用题中。
在解决实际问题时，我们有时需要进行合理的假设和推理。
例如，“小明从家到学校步行需要20分钟，如果骑自行车，则只需要10分钟。
已知小明骑自行车的速度是步行速度的3倍，那么小明骑自行车从家到学校的距离是多少米？”这道题中，我们可以合理假设小明步行速度为x米/分钟，从而可以推导出小明骑自行车速度为3x米/分钟，从而求解出小明骑自行车从家到学校的距离为1500米。
这个例子展示了合理假设在解决实际问题中的重要性。
在解答逻辑题时，我们需要掌握一定的方法和技巧。
首先，我们要仔细阅读题目，理解题意，明确解决问题的目标。
其次，我们要分析逻辑关系，梳理思维框架，选择合适的数学知识和方法进行运算和推理。
最后，我们要检查答案的合理性和准确性，确保解题过程正确，答案可靠。
在备战高考数学的过程中，我们可以多加练习和思考，提高解题的能力。
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【标题01】没能准确全面理解命题的概念【习题01】判断下列语句是否是命题？(1)2008年5月12日在四川汶川县难道没有发生了里氏8.0特大级地震吗？(2)对2(1)0x -≤，有210x -<.【经典错解】(1)(2)都不是命题.【习题01针对训练】判断下列语句是否是命题？（1）请举起手来！（2）今天天气真好！（3）0x > ；（4）0a b >>,则ac bc >.【标题02】混淆了逻辑联结中的“或”与日常生活中的“或”【习题02】若命题p ：方程(2)(1)0x x +-=的根是2-，命题q ：方程(2)(1)0x x +-=的根是1，则命题“方程(2)(1)0x x +-=的根是2-或1”是__________________(填“真”或“假”)命题.【经典错解】由条件易知命题p 与命题q 都是假命题，而命题“方程(2)(1)0x x +-=的根是2-或1”为“p ∨q ”，故就填假命题.【详细正解】所判断命题应为真命题.根据一真“或”为真判断出命题为真命题.【深度剖析】（1）经典错解混淆了逻辑联结中的“或”与日常生活中的“或”.（2）命题“方程(2)(1)0x x +-=的根是2-或1”中的“或”不是逻辑联结词，有“和”的意思.正确区分数学中的“或”与日常用语中的“或”的不同点.日常用语中的“或”，带有两者选择其一的意思.如：我暑假准备到海南或昆明旅游，意思是或去海南，或去昆明，绝没有两地都去的意思，如果两地都去，应说成：我准备暑假到海南和昆明旅游.逻辑联结词“或”，用在数学命题的分解与合成上，包含了三层：如0ab =包含了“0a =，0b ≠；或0a ≠，0b =；或0a =且0b =”.【习题02针对训练】已知命题p :所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题中是真命题的是（ ）A ．()q p ∨⌝B ．q p ∧ C ．()()q p ⌝∨⌝ D ．()()q p ⌝∧⌝【标题03】“且”的否定错误 【习题03】写出命题“若22(1)(3)0x y -+-=，则1x =，且3y =”的逆否命题.【经典错解】逆否命题：“若1x ≠，且3y ≠，则22(1)(3)0x y -+-≠”.【详细正解】逆否命题为：“若1x ≠，或3y ≠，则22(1)(3)0x y -+-≠”.【习题03针对训练】对于以下判断：（1）命题“已知R y x ∈,”，若2x ≠或3y ≠，则5x y +≠”是真命题.（2）设()f x 的导函数为()f x '，若0()0f x '=，则0x 是函数()f x 的极值点.（3）命题“R x ∈∀,0x e > ”的否定是：“R x ∈∃,0x e >”.（4）对于函数(),()f x g x ，()()f x g x ≥恒成立的一个充分不必要的条件是min max ()()f x g x ≥.其中正确判断的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0【标题04】对命题的否定和命题的否命题两者没有区别清楚【习题04】把命题“全等三角形一定相似”写成“若p 则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题.【经典错解】原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似.逆命题：若两个三角形相似，则它们全等.否命题：若两个三角形不一定全等，则它们不一定相似.逆否命题：若两个三角形不一定相似，则它们不一定全等.【详细正解】原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似.逆命题：若两个三角形相似，则它们全等.否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似.逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等.【深度剖析】（1）经典错解错在对命题的否定和命题的否命题两者没有区别清楚.（2）命题的否定是对命题的条件和结论的同时否定，经典错解中对“一定”的否定把握不准，误认为“一定”的否定 是“不一定”，实际上“一定”的否定是“一定不”.在逻辑知识中求否定相当于求补集，而“不一定”含有“一定”的意思.对这些内容的学习要多与日常生活中的例子作比较，注意结合集合知识.因此否命题与逆否命题错了.【习题04】a 和b 都是偶数的否定是： .【标题05】考虑命题的充分性时没有经过严格的推导【习题05】设命题甲为：两个实数a b 、满足4a b +<，命题乙为：两个实数a b 、满足2a <且2b <，那么( )A ．甲是乙的充分但不必要条件B ．甲是乙的必要但不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件【经典错解】4222,2a b a b +<=+⇔<<,所以本题甲是乙的充要条件，所以选C .【详细正解】（1）先考虑充分性，看4a b +<是否能推出2a <且2b <.可以举反例：134-+<错误！未找到引用源。
所以4a b +<不能推出2a <且2b <，所以甲是乙的非充分条件.（2）再考虑必要性，即看2a <且2b <是否能推出4a b +<.因为2a <且2b <，所以由不等式性质得4a b +<，所以2a <且2b <能推出4a b +<，所以甲是乙的必要条件.综合（1）（2）得甲是乙的必要非充分条件，所以选B .【习题05针对训练】若R y ,x ∈，则1≤y ,x 是122≤+y x 成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【标题06】判断含有否定概念的命题的充要条件问题方法选择不对【习题06】 已知命题甲：4a b +≠, 命题乙:1a ≠且3b ≠，则命题甲是命题乙的 .【经典错解】通过举例得到命题甲是命题乙的充分不必要条件.【详细正解】（1）先考虑充分性，即看命题甲能否推出命题乙.由于命题甲能否推出命题乙等价于命题乙的否命题能否推出命题甲的否命题，所以可以考虑命题乙的否命题能否推出命题甲的否命题.命题乙的否命题为：1a =或3b =，命题甲的否命题为4a b +=.显然命题乙的否命题不能推出命题甲的否命题，如1,6a b == 时不能推出4a b +=.所以甲是乙的非充分条件.（2）再考虑必要性，即看命题乙能否推出命题甲.由于命题乙能否推出命题甲等价于命题甲的否命题能否推出命题乙的否命题，所以可以考虑命题甲的否命题能否推出命题乙的否命题.命题甲的否命题为4a b +=，命题乙的否命题为：1a =或3b =，.显然命题甲的否命题不能推出命题乙的否命题，如3,7a b ==时4a b +=,但是不能推出1a =或3b =.所以甲是乙的非必要条件.综合（1）（2）得甲是乙的非充分非必要条件.【习题06针对训练】命题p ：“1≠x 或3y ≠”是命题q ：“4≠+y x ”的（ ）条件 A.充分不必要 B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【标题07】对含逻辑联结词命题的真假规律理解不清【习题07】 已知命题p :方程210x mx ++=有两个不等的负根；命题q :方程244(2)10x m x +-+=无实根．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求m 的取值范围．【经典错解】若方程210x mx ++=有两不等的负根，则⎩⎨⎧>>-=∆0042m m 解得2m >，即命题p ：2m >. 若方程244(2)10x m x +-+=无实根，则2216(2)1616(43)0m m m ∆=--=-+<解得：13m <<.即q ：13m <<.因“p 或q ”为真，所以p q 、两个都真，所以22313m m m >⎧∴<<⎨<<⎩ 错误！未找到引用源。
又“p 且q ”为假，所以命题p q 、都假，所以2113m m m m ≤⎧∴≤⎨≤≥⎩或错误！未找到引用源。
, 综合得m 的取值范围为123m m ≤<<或.【详细正解】若方程210x mx ++=有两不等的负根，则⎩⎨⎧>>-=∆0042m m 解得2m >，即命题p ：2m >.若方程244(2)10x m x +-+=无实根，则2216(2)1616(43)0m m m ∆=--=-+<解得：13m <<.即q ：13m <<.因“p 或q ”为真，所以p q 、至少有一为真，又“p 且q ”为假，所以命题p q 、至少有一为假，因此，命题p q 、应一真一假，即命题p 为真，命题q 为假或命题p 为假，命题q 为真.∴⎩⎨⎧<<≤⎩⎨⎧≥≤>312312m m m m m 或或解得：3m ≥或12m <≤.【习题07针对训练】已知0>a ,设命题:p 函数21lg()16y ax x a =-+的定义域为R ；命题:q 当]2,21[∈x 时,函数ax x y 11>+=恒成立，如果q p ∨为真命题,q p ∧为假命题,求a 的取值范围． 【标题08】全称命题的否定没有理解透彻【习题08】已知命题p ：对所有的实数m ，方程20x x m +-=必有实数根，写出p ⌝ .【经典错解】p ⌝：对所有的实数m ，方程20x x m +-=没有实数根.【详细正解】p ⌝：存在实数m ，使方程20x x m +-=没有实数根.【深度剖析】（1）经典错解错在全称命题的否定没有理解透彻. （2）仔细推敲，所给命题p 与p ⌝同为假命题，故上述的陈述是错误的.事实上，对全称量词的否定中用特称量词，对特称量词的否定是用全称量词.由于p 与p ⌝是一对矛盾命题，两者真假性相反，因此在写命题p 的p 命题时，如果出现命题p 与p ⌝命题同真或同假，则一定错了，此时须检查所写的p ⌝命题是否对命题中的全称量词或特称量词进行了否定.【习题08针对训练】已知命题p ：R ∀∈x ,cos 1≤x ，则p ⌝是（ ）A.∈∃0x R,1cos 0≥xB. ∈∀x R,1cos ≥xC.∈∃0x R,1cos 0>xD. ∈∀x R,1cos >x【标题09】命题的否定没有理解透彻【习题09】写出命题p ：“菱形的对角线相等”的p ⌝形式.【经典错解】p ⌝：菱形的对角线不相等【详细正解】原命题可表述为：“所有的菱形的对角线相等”，或“菱形的对角线都相等”，则p ⌝：有些菱形的对角线不相等，或菱形的对角线不都相等.【习题09针对训练】命题“能被2整除的整数都是偶数”的否定是 ( )A ．所有不能被2整除的整数都是偶数B ．所有能被2整除的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数【标题10】否命题没有理解透彻【习题10】写出命题“质数不是正偶数”的否命题【经典错解】质数是正偶数【详细正解】原命题的否命题是“若一个数不是质数，则这个数是正偶数”【深度剖析】（1）经典错解错在否命题没有理解透彻. （2）此题易写成“质数是正偶数”作为原命题的否命题，即将“命题的否定与否命题”这两个不同的概念混淆在一起了. “命题的否定与否命题”是两个不同的概念，对于命题“p ”而言，命题的否定指的是“非p ”，只否定命题的结论.对于命题“若p 则q ”而言，它的否定形式则为“若p 则非q ”，而其否命题是“若非p 则非q ”,由此可见，“否命题”是对原命题“若p 则q ”既否定其条件，又否定其结论，不否定原命题的条件，从命题的真假来看原命题的否定必定一真一假，而其否命题的真假可能与原命题同真或同假或一真一假.因此要写一个命题的其它形式的命题应首先将其写成“若p 则q ”的形式，有的“p 或q ”与“p 且q ”形式的复合命题语句中，字面上未出现“或”与“且”字，此时应从语句的陈述中搞清含义，从而分清是“p 或q ”还是“p 且q ”形式.一般地，若两个命题属于同时都要满足的为“且”，属于并列的为“或”，再根据其它命题的结构形式，写出其它形式的命题，这样才能有效的避免出错.【习题10针对训练】下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若1,12==x x 则”的否命题为：“若1,12≠=x x 则”.B ．“1-=x ”是“0652=--x x ”的必要不充分条件.C ．命题“01,2<-+∈∃x x R x 使得”的否定是：“01,2>-+∈∀x x R x 均有”.D ．命题“若y x y x sin sin ,==则”的逆否命题为真命题.【标题11】逆否命题的概念理解错了【习题11】设命题p ：|43|1x -≤；命题q :0)1()12(2≤+++-a a x a x .若p ⌝是q ⌝的必要而不充分的条件，试确定实数a 的取值范围.【经典错解】据题意知命题p ：112x ≤≤；命题q :1a x a ≤≤+;由条件p ⌝是q ⌝的必要而不充分的条件可知q 是p 的充分而不必要条件，即若不等式|43|1x -≤的解集为A ,不等式0)1()12(2≤+++-a a x a x 的解集为B ，则必有集合B 是集合A 的真子集，所以1112a a +≤⎧⎪⎨≥⎪⎩，结合数轴可得实数a φ∈.【详细正解】据题意知命题p ：112x ≤≤；命题q :1a x a ≤≤+;由条件p ⌝是q ⌝的必要而不充分的条件可知q 是p 的必要不充分条件，即若不等式|43|1x -≤的解集为A ,不等式0)1()12(2≤+++-a a x a x 的解集为B ，则必有集合A 是集合B 的真子集，所以1112a a +≥⎧⎪⎨≤⎪⎩,结合数轴可得实数a 的取值范围是1[0,]2.B 的必要条件；若A B =，则A 是B 的充要条件.【习题11针对训练】设p ：实数x 满足(3)()0x a x a --< ，其中0a >，q ：实数x 满足223020x x x x ⎧-≤⎨-->⎩. （1）当1a =，p 且q 为真时，求实数x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【标题12】没有分清充要条件问题中谁是条件谁是结论【习题12】使不等式02x <<成立的充分不必要条件是（ ）A ．10<<xB ．131<<-x C ．21<<-x D ．20<<x 【经典错解】设p 命题所对应的集合为A ，q 命题所对应的集合为B ，则“p 成立的充分不必要条件是q ”A B ⇔Ü，所以不等式02x <<成立的充分不必要条件对应的集合比集合{}|02x x <<大，根据选项，只有C 符合要求，故选C .【详细正解】设p 命题所对应的集合为A ，q 命题所对应的集合为B ，则“p 成立的充分不必要条件是q ”B A ⇔Ü，所以不等式02x <<成立的充分不必要条件是集合{}|02x x <<的真子集，根据选项，只有A 符合要求，故选A .【习题12针对训练】函数32)(2+-=x x x f ，若a x f -)(＜2恒成立的充分条件是21≤≤x ，则实数a 的取值范围是 ．【标题13】对特称命题的否定没有理解清楚【习题13】命题“02,2<+-∈∃x x R x ”的否定是： .【经典错解】2,20x R x x ∈-+≥不存在【详细正解】02,2≥+-∈∀x x R x【深度剖析】（1）经典错解的造成主要是对特称命题的否定没有理解清楚. （2）特称命题的否定为全称命题.全称命题的否定为特称命题.如果是“,()x D p x ∀∈”，则它的否定是“,()x D p x ∃∈⌝”； 如果是“,()x D p x ∃∈”，则它的否定是“,()x D p x ∀∈⌝”.【习题13针对训练】若命题“x R ∃∈，使得2(1)10x a x +-+≤”为假命题，则实数a 的范围________．【标题14】利用集合的大小关系判断充要条件出错【习题14】已知(1,),(,4),a k b k ==那么“2k =-”是“,a b 共线”的（ ）A.充分非必要条件 B ，必要非充分条件 C.非充分非必要条件 D.充要条件【经典错解】,a b 共线，所以2402k k -=\=?.因为2k =-不能推出2k =?，所以“2k =-”是“,a b 共线”的非充分条件.因为2k =?不能推出2k =-,所以“2k =-”是“,a b 共线”的非必要条件.所以选择C .【详细正解】,a b 共线，所以2402k k -=\=?.因为2k =-能推出2k =?，所以“2k =-”是“,a b 共线”的充分条件.因为2k =?不能推出2k =-,所以“2k =-”是“,a b 共线”的非必要条件.所以选择A .【习题14针对训练】若b a ,都是实数,则“0>-b a ”是“022>-b a ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件高中数学经典错题深度剖析及针对训练第34讲：常用逻辑用语参考答案【习题01针对训练答案】(1)(2)(3)都不是命题，（4）是命题.【习题01针对训练解析】(1)(2)(3)都不是命题，因为它们是不能判定真假的语句.（4）是命题，因为它是能判定真假的语句，只不过它是假命题.【习题04针对训练答案】a 和b 不都是偶数.【习题04针对训练解析】由于“都是”的否定是“不都是”，所以原命题的否定是“a 和b 不都是偶数”.【习题05针对训练答案】B【习题05针对训练解析】因为若R y ,x ∈，则1≤y ,x ，则122≤+y x 不一定成立，所以充分性不成立；若122≤+y x ，则可得1x ≤且1y ≤，所以必要性成立.所以若R y ,x ∈，则1≤y ,x 是122≤+y x 成立的必要不充分条件.故选B .【习题06针对训练答案】D【习题06针对训练解析】由题意当2,6x y ==-时，+=4x y ，当+4x y ≠时，1,5x y ==成立，所以“13x y ≠≠或”是“+4x y ≠”的既不充分又不必要条件.【习题08针对训练答案】C【习题08针对训练解析】∵全称命题的否定是特称命题∴p ⌝是∈∃0x R,1cos 0>x .【习题09针对训练答案】D【习题09针对训练解析】全称命题：“,x A p ∀∈”的否定为“,x A p ∃∈⌝”，否定原命题结论的同时要把量词做相应改变，所以“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的整数不是偶数”.故选D .【习题10针对训练答案】D【习题10针对训练解析】A ．命题“若21x =则1x =”的否命题为：““若21x =则1x ≠”.是错误的，命题的否命题是对条件结论同时否定；B ．“1-=x ”是“0652=--x x ”的必要不充分条件. 是错误的，“1-=x ”是“0652=--x x ”的充分不必要条件；C ．命题“x R ∃∈，使得210x x +-<”的否定是：“,x R ∀∈均有210x x +->”. 是错误的，命题“x R ∃∈，使得210x x +-<”的否定是：“,x R ∀∈均有210x x +-≥”.D ．命题“若y x y x sin sin ,==则”的逆否命题为真命题是正确的，因为逆否命题与原命题同真假，而原命题为真，故逆否命题也为真命题．【习题11针对训练答案】（1）23x <<；（2）12a <≤.【习题13针对训练答案】13a -<<【习题13针对训练解析】由题意：2(1)10x a x +-+>恒成立．则对应方程2(1)10x a x +-+=无实数根．则2(1)40a ∆=--<，即2230a a --<，所以13a -<<.【习题14针对训练答案】A【习题14针对训练解析】由“0>-b a ”可得 0a b >>，故有“022>-b a ”成立，故充分性成立．由“022>-b a ”可得|||b |a >，不能推出0>-b a ，故必要性不成立． 故“0>-b a ”是“022>-b a ”的充分而不必要条件，故选A .。