高中数学 2.1《合情推理与演绎推理》课件(1) 新人教A版选修2-2
思考2 思考2：科学家们发现火星具有一些与地 球类似的特征， 球类似的特征，如火星也是围绕太阳运 绕轴自转的行星，也有大气层， 行、绕轴自转的行星，也有大气层，在 一年中也有季节的变更， 一年中也有季节的变更，而且火星上大 部分时间的温度适合地球上某些已知生 物的生存，等等.运用类比推理， 物的生存，等等.运用类比推理，你有什 么猜想？其推理过程是怎样形成的？ 么猜想？其推理过程是怎样形成的？ 猜想：火星上也可能有生命存在. 猜想：火星上也可能有生命存在.
不能！ 不能！
思考6 对于等式：1·2＋2·3＋ 思考6：对于等式：1·2＋2·3＋3·4 n(n＋1)＝ 3n＋ n=1， ＋…＋n(n＋1)＝3n2－3n＋2，当n=1， 时等式成立吗？ 2，3时等式成立吗？能否由此断定这个 等式对所有正整数n都成立？ 等式对所有正整数n都成立？ 思考7：应用归纳推理可以发现一般结 思考7 其不足之处是什么？ 论，其不足之处是什么？ 由归纳推理得出的结论不一定正确， 由归纳推理得出的结论不一定正确，其 真实性有待进一步证明. 真实性有待进一步证明.
圆的概念和性质 圆的周长 圆的面积 球的类似概念和性质 球的面积 球的体积
圆心与弦（非直径）中点 球心与截面（非大圆）圆心的 球心与截面（非大圆） 圆心与弦（非直径） 连线垂直于截面 的连线垂直于弦 与圆心距离相等的两弦相 等，与圆心距离不等的两 弦不等， 弦不等，距圆心较近的弦 较长. 较长. 圆的方程为： 圆的方程为： (x－ (y－ (x－x0)2＋(y－y0)2＝r2 与球心距离相等的两截面积相 等，与球心距离不等的两截面 积不等， 积不等，距球心较近的截面积 较大. 较大 球的方程
如图所示， 例1 如图所示，有三根针和套在一根针 上的若干金属片，按下列规则， 上的若干金属片，按下列规则，把金属片 从一根针上全部移到另一根针上. 从一根针上全部移到另一根针上. 每次只能移动1个金属片； （1）每次只能移动1个金属片； （2）较大的金属片不能放在较小的金属 片上面. 片上面. 试推测： 个金属片从1 试推测：把n个金属片从1号针移到3号 个金属片从 号针移到3 最少需要移动多少次？ 针，最少需要移动多少次？
的通项公式. 列 {an } 的通项公式.
n +1 an = n
思考3 在逻辑上，上述推理称为归纳推 思考3：在逻辑上，上述推理称为归纳推 简称归纳），那么归纳推理的含义 归纳）， 理（简称归纳），那么归纳推理的含义 是什么？ 是什么？ 由某类事物的部分对象所具有某些 由某类事物的部分对象所具有某些 部分对象 特征，推出该类事物的全部对象 全部对象都具有 特征，推出该类事物的全部对象都具有 这些特征的推理，或者由个别事实 个别事实概括 这些特征的推理，或者由个别事实概括 一般性结论的推理 的推理. 出一般性结论的推理
显然，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理！ 显然，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理！
思考4 思考4：归纳推理的思维过程大致分哪几 个步骤？ 个步骤？ 实验、观察 概括 概括、 实验、观察→概括、推广 →猜测出一般结论 猜测出一般结论. 猜测出一般结论 思考5 一个口袋里装有许多球， 思考5：一个口袋里装有许多球，每次从 中取出一个球，先后取20次均为白球， 20次均为白球 中取出一个球，先后取20次均为白球， 由此能肯定袋中剩余的球都是白球吗？ 由此能肯定袋中剩余的球都是白球吗？
理论迁移 例1 且a n + 1 已知数列{an}满足：a1＝1， 已知数列{a 满足： an = （n∈N*），试推测数 n∈N*），试推测数 ）， 1 + an
列{an}的通项公式，并判断其真实性. 的通项公式，并判断其真实性.
1 归纳：an = 归纳： n
.
这个通项公式是否正确，必须加以严格的证明！ 这个通项公式是否正确，必须加以严格的证明！ 但是它为我们的研究指明了方向。 但是它为我们的研究指明了方向。
猜想： 球有切平面，切平面与球只有一个公共点； 猜想：1、球有切平面，切平面与球只有一个公共点；
2、球心到切平面的距离等于球半径； 球心到切平面的距离等于球半径； 3、空间中不共面的四个点确定一个球. 空间中不共面的四个点确定一个球.
思考4：类比圆的特征，下表中球的相关 思考4 类比圆的特征， 特征分别是什么？ 特征分别是什么？
知识回顾 1.归纳推理的含义： 1.归纳推理的含义： 归纳推理的含义 由某类事物的部分对象具有某些特 征，推出该类事物的全部对象都具有这 些特征的推理， 些特征的推理，或者由个别事实概括出 一般结论的推理. 一般结论的推理 2.归纳推理的思维过程 归纳推理的思维过程： 2.归纳推理的思维过程： 实验、观察 概括 概括、 实验、观察→概括、推广 →猜测一般结论 猜测一般结论. 猜测一般结论
S
2 D PA B
+S
2 D PBC
+S
2 D PA C
= S
2 D A BC
小结作业 1.归纳推理是由部分到整体， 1.归纳推理是由部分到整体，由个别 归纳推理是由部分到整体 到一般的推理， 到一般的推理，应用归纳推理可以发现 某类事物的一般规律 获得新结论， 的一般规律， 某类事物的一般规律，获得新结论，但 它不能作为数学证明的方法. 它不能作为数学证明的方法. 2.类比推理是由特殊到特殊的推理， 2.类比推理是由特殊到特殊的推理， 类比推理是由特殊到特殊的推理 它可以由已经解决的问题和获得的结论 出发， 出发，通过类比而提出新问题和作出新 发现，但它也不能作为数学证明的方法. . 发现，但它也不能作为数学证明的方法
2 n－1 次
2 1 3
平面上有n n∈N*，n≥2） 例2 平面上有n（n∈N ，n≥2）条直 其中任意两条都相交， 线，其中任意两条都相交，任意三条不 共点，试推测： 共点，试推测：这n条直线一共有多少个 交点. 交点.
n (n - 1) 2
例3
满足: 已知数列 {an } 满足:
1 a1 = 2, an = 2 − ( n ≥ 2) ,试推测数 an −1
(x－ (y－ (z－ (x－x0)2＋(y－y0)2＋(z－z0)2＝r2
思考5：上述推理都是类比推理，一般地， 思考5 上述推理都是类比推理，一般地， 类比推理的定义是什么？ 类比推理的定义是什么？ 由两类对象具有某些类似特征和其中一 两类对象具有某些类似特征和 类对象的某些已知特征，推出另一类对 类对象的某些已知特征，推出另一类对 象也具有这些特征的推理 的推理. 180° (n－2)·180°
思考2：二百多年前，德国数学家哥德巴 思考2 二百多年前， 赫在研究自然数时偶然发现： 赫在研究自然数时偶然发现： 6＝3＋3， 8＝3＋5， 10＝3＋7， 10＝ 12＝5＋7，14＝7＋7, 16＝5＋11，…， 12＝ 14＝ 16＝ 11， 于是他提出了一个猜想，你认为他猜想 于是他提出了一个猜想， 出一个什么结论？ 出一个什么结论？ 任何一个不小于6 任何一个不小于6的偶数 都等于两个奇质数之和. 都等于两个奇质数之和.
显然，类比推理是由特殊到特殊的推理！ 显然，类比推理是由特殊到特殊的推理！
思考6 思考6：类比推理的思维过程大致分哪几 个步骤？ 个步骤？
观察、比较→联想、类推→猜测类似结论. 观察、比较→联想、类推→猜测类似结论.
思考7 归纳推理和类比推理统称为合情 思考7：归纳推理和类比推理统称为合情 推理，合情推理的过程大致是什么？ 推理，合情推理的过程大致是什么？ 从具体问题出发→观察、分析、比较、 从具体问题出发 观察、分析、比较、 观察 联想→归纳 类比→提出猜想 归纳、 提出猜想. 联想 归纳、类比 提出猜想
探究（ ）：类比推理 探究（二）：类比推理 思考1 思考1：据说我国古代工匠鲁班从带齿的 草叶和蝗虫的齿牙受到启发，发明了锯； 草叶和蝗虫的齿牙受到启发，发明了锯； 人们仿照鸟类的外形和它们在空中的飞 行原理，发明了飞机； 行原理，发明了飞机；仿照鱼类的外形 和它们在水中的沉浮原理， 和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水 等等. 艇；等等.这种在发明创造活动中运用的 方法，称为类比推理 类比推理. 方法，称为类比推理.你还能列举出这样 的实例吗？ 的实例吗？
思考3：球与圆在形状和概念上都有类似的 思考3
地方，如二者都具有完美的对称性， 地方，如二者都具有完美的对称性，都是到 定点的距离等于定长的点的集合.对于圆， 定点的距离等于定长的点的集合.对于圆，圆 有切线，切线与圆只有一个公共点， 有切线，切线与圆只有一个公共点，圆心到 切线的距离等于圆半径， 切线的距离等于圆半径，平面内不共线的三 个点确定一个圆.运用类比， 个点确定一个圆.运用类比，你能推测球可能 有哪些类似的性质？ 有哪些类似的性质？
第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理 2.1 合情推理与演绎推理
一、学习目标： 学习目标： 1、了解合情推理的定义，能利用归纳和类比等进行简单的推理； 、了解合情推理的定义，能利用归纳和类比等进行简单的推理； 2、了解合情推理在数学发现中的作用 、
问题提出： 问题提出： 1.推理是人们思维活动的过程， 1.推理是人们思维活动的过程，在日 推理是人们思维活动的过程 常活动和科学研究中， 常活动和科学研究中，我们必须要通过 推理来思考问题. 推理来思考问题. 2.推理是根据一个或几个已知的判断 2.推理是根据一个或几个已知的判断 来确定一个新的判断的思维过程，在一 来确定一个新的判断的思维过程， 定的条件和背景下，我们常通过推理提 定的条件和背景下， 出问题，发现结论，引出性质. 出问题，发现结论，引出性质.
3.由归纳推理和类比推理得到的结论 3.由归纳推理和类比推理得到的结论 只是一种猜想，所得的结论不一定正确， 只是一种猜想，所得的结论不一定正确， 但可以为我们的研究提供一种思路和方 向.
作业： 作业： 78练习 练习： P77～78练习：1，3.
归纳推理的应用（习题课） 归纳推理的应用（习题课）
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人教A版高中数学选修2-2课件：第二章 2.1.1合情推理与演绎推理 (共69张PPT)
如果可恨的挫折使你尝到苦果，朋友，奋起必将让你尝到人生的欢乐。 认真可以把事情做对，而用心却可以做到完美。 贪婪是最真实的贫穷，满足是最真实的财富。 成功之前我们要做应该做的事情，成功之后我们才可以做喜欢做的事情。 相信自己，你能作茧自缚，就能破茧成蝶。 世上所有美好的感情加在一起，也抵不上一桩高尚的行动。 你在学习上这种尝试精神很可贵。 萤火虫的光点虽然微弱，但亮着便是向黑暗挑战。 不要让追求之舟停泊在幻想的港湾，而应扬起奋斗的风帆，驶向现实生活的大海。 萤火虫的光点虽然微弱，但亮着便是向黑暗挑战。 竞争，其实就是一种变相的友谊，在对手的帮助下提高你自己，害怕竞争的人已经输给了对手，注定难取得大的成就。 加紧学习，抓住中心，宁精勿杂，宁专勿多。 珍惜今天的美好就是为了让明天的回忆更美好。 现代的婚姻并不是情感的产物，更多的是竞争的结晶，选配偶其实就是变相的竞争上岗，而小三就是原配最大的竞争对手。 你今天必须做别人不愿做的事，好让你明天可以拥有别人不能拥有的东西。 如你想要拥有完美无暇的友谊，可能一辈子找不到朋友。 没有了爱的语言，所有的文字都是乏味的。 当你跌到谷底时，那正表示，你只能往上，不能往下! 不论你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要停止。 要铭记在心：每天都是一年中最美好的日子。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(教师参考)高中数学 2.1.1 合情推理课件 新人教A版选修2-2
n＝1时，a 1 ＝1 第1个圆环从1到
3.
2
1
3
精选ppt
12
设 a n 为把 n个圆环从1号针移到3号针的最少次n＝2时，a 2＝3 前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3;
第1个圆环从2到3.
2
1
3
精选ppt
13
设 a n 为把n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n＝1时, a1 ＝1 第1个圆环从1到3. n＝2时, a2＝3 前1个圆环从1到2; 猜想:a64=264-1
第2个圆环从1到3;
n＝3时，a3=7
前1个圆环从2到3. 前2个圆环从1到2;
猜想:an=2n-1
n=4时，a4=15
第3个圆环从1到3; 前2个圆环从2到3.
2
1精选ppt
3
14
2 21 1 5 ,
1.每次只能移动1个圆环；
2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上， 那么世界末日就来临了. 请你试着推测：把 64 个圆环从1号针移到3号针,最少需要 移动多少次?把n个圆环从1号针移到3号针最少需要移动多少次 ？
2
1精选ppt
3
11
设 a n 为把 n个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
所得的结论超越了前提所包容的范围.
2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚
属未知的现象,因而结论具有猜测性.
3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观
察、经验和实验的基础之上.
归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分
析的基础上.提出带有规律性的结论. 精选ppt
需证明 4
归纳推理的一般步骤：
3.
2
1
3
精选ppt
12
设 a n 为把 n个圆环从1号针移到3号针的最少次n＝2时，a 2＝3 前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3;
第1个圆环从2到3.
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13
设 a n 为把n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
n＝1时, a1 ＝1 第1个圆环从1到3. n＝2时, a2＝3 前1个圆环从1到2; 猜想:a64=264-1
第2个圆环从1到3;
n＝3时，a3=7
前1个圆环从2到3. 前2个圆环从1到2;
猜想:an=2n-1
n=4时，a4=15
第3个圆环从1到3; 前2个圆环从2到3.
2
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3
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2 21 1 5 ,
1.每次只能移动1个圆环；
2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上， 那么世界末日就来临了. 请你试着推测：把 64 个圆环从1号针移到3号针,最少需要 移动多少次?把n个圆环从1号针移到3号针最少需要移动多少次 ？
2
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设 a n 为把 n个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
所得的结论超越了前提所包容的范围.
2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚
属未知的现象,因而结论具有猜测性.
3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观
察、经验和实验的基础之上.
归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分
析的基础上.提出带有规律性的结论. 精选ppt
需证明 4
归纳推理的一般步骤：
高中新课程数学新课标人教a版选修2《2合情推理》课件.ppt
例1:观察下图,可以发现
1=12，
1 2 3 4 56
1+3=4=22，
1+3+5=9=32，
1+3+5+7=16=42，
1+3+…5…+7+9=25=52，
你能否从中归纳出一般性法则?
猜想：前n个连续正奇数的和等 于n的平方，即
1+3+…+(2n－1)=n2
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
例2.已知数列{an}的第1项a1=1，且
an1
an 1 an
（n=1 , 2 , …),试归纳出这个数列的通项公式.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
练习：P30 1，2
思考：(05年广东)设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅
有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)
5 表 当示 n>这4时n条,f(n直)=线交12点(n的2 个n数,f2(4))=
活页规范训练
数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想
3＋7＝10 3＋17＝20 13＋17＝30
10＝ 3＋7 20＝ 3＋17 30＝ 13＋17
一个规律： 偶数＝奇质数＋奇质数
6＝3+3， 8＝3+5, 10＝5+5, …… 1000＝29+971， 1002=139+863, ……
2n p1 p2 (n N , n 3)
铜能导电
铝能导电 金能导电
银能导电部分
一切金属 都能导电.
第一个数为2
第二个数为4 第三个数为6
第n个 数为2n.
【同步课件】高中数学(人教A版)选修2-2课件：2-1 合情推理与演绎推理1-2
第二章
推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2．1.1 合 情 推 理
第二课时
类比推理
要点1 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某 些已知特征，推出另一类对象 也具有这些特征 的推理称为类比 推理(简称类比)． 要点2 类比推理是由 特殊到特殊 的推理．
要点3 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观 察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的 推理，我们把它们统称为 合情推理．
3 3 3
nn＋1 1 2 (2n＋1)－4× 2 －n]＝4n (n＋1)2.
探究3 (1)解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类 比，从而产生解题方法的迁移，这是数学学习中很高的境界， 需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法． (2)类比推理的步骤与方法 第一步：弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的 (细微)差别． 第二步：把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表 述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说 清楚．
题型三
解题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ法的类比
例3 通过计算可得下列等式： 23－13＝3×12＋3×1＋1； 33－23＝3×22＋3×2＋1； 43－33＝3×32＋3×3＋1； ⋮ (n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1.
将以上各等式两边分别相加，得 (n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n， 1 即1 ＋2 ＋3 ＋…＋n ＝ n(n＋1)(2n＋1)． 6
3．类比推理的一般步骤 ①找出两类事物之间的相似性或一致性． ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明 确的命题，即猜想．
型一
等差数列与等比数列的类比
推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2．1.1 合 情 推 理
第二课时
类比推理
要点1 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某 些已知特征，推出另一类对象 也具有这些特征 的推理称为类比 推理(简称类比)． 要点2 类比推理是由 特殊到特殊 的推理．
要点3 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观 察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的 推理，我们把它们统称为 合情推理．
3 3 3
nn＋1 1 2 (2n＋1)－4× 2 －n]＝4n (n＋1)2.
探究3 (1)解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类 比，从而产生解题方法的迁移，这是数学学习中很高的境界， 需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法． (2)类比推理的步骤与方法 第一步：弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的 (细微)差别． 第二步：把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表 述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说 清楚．
题型三
解题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ法的类比
例3 通过计算可得下列等式： 23－13＝3×12＋3×1＋1； 33－23＝3×22＋3×2＋1； 43－33＝3×32＋3×3＋1； ⋮ (n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1.
将以上各等式两边分别相加，得 (n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n， 1 即1 ＋2 ＋3 ＋…＋n ＝ n(n＋1)(2n＋1)． 6
3．类比推理的一般步骤 ①找出两类事物之间的相似性或一致性． ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明 确的命题，即猜想．
型一
等差数列与等比数列的类比
高中数学 2.1《合情推理与演绎推理》课件 新人教A版选修2-2
2
1
3
表示移动n块金属片时的移动次数. 解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. n=1时 当n=1时,a1=1 n=2时 当n=2时,a2= 3 猜想 an= 2n -1 =3时 当n=3时,a3= 7 n=4时 当n=4时,a4= 15
2
1
3
作业:P 作业:P93 1. 3. 4
2.1合情推理与演绎推理
哥德巴赫猜想(Goldbach 哥德巴赫猜想 Conjecture)
目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年 目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年 1966 证明的，称为陈氏定理(Chen (Chen‘s 证明的，称为陈氏定理(Chen‘s Theorem) ? “ 任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数 之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。 之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。” 通 常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式。 的形式。 的形式
歌德巴赫猜想: 偶数＝奇质数＋ 歌德巴赫猜想: 即:偶数＝奇质数＋奇质数 “任何一个不小于6的偶数都等于两个奇奇 任何一个不小于6 任何一个不小于 数之和” 数之和”
3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30， ＋ ＝ ， ＋ ＝ ， ＋ ＝ ， 改写为: ＝ ＋ ， ＝ ＋ ， ＝ ＋ ． 改写为 10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17． 6＝3+3， 8＝3+5， 10＝5+5, 12＝5+7， 14＝7+7， 16＝5+11, 18 =7+11, …， 1000＝29+971， 1000＝29+971， 1002=139+863,
a
n + 1
人教A版选修2-2数学《合情推理》PPT
2.1 合情推理与演绎推理
本节知识结构
2.1.1 合情推理
归纳推理
歌德巴赫猜想的提出过程：
3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，
10＝3＋7，20＝3＋17， 8＝3+5，10＝5+5，12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11，…，1 000＝29+971，…
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。
合情推理的应用
数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常 常能帮助我们猜测和发现结论。
证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们 提供证明的思路和方向
小结
前面学习了归纳推理和类比推理这两种合情 推理,归纳推理是由特殊到一般的推理;类比推理 是由特殊到特殊的推理．
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； ⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特 征，从而得出一个猜想； ⑶ 检验猜想。
• 类比推理举例
例3 类比平面内直角三角形的勾股定理,试 给出空间 中四面体性质的猜想．
例3 类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出 空间中四面体性质的猜想．
类比推理的定义:
由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对 象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些 特征的推理称为类比推理（简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
发数明学行家星波三利大亚运曾动指定出律“的类开比普是勒一曾个说伟类大比的 引推路理人是,「求自解然立奧体妙几的何参往与往者有」赖和于自平己面「几最何好的类 比的问老题师.」”
例:观察下图,可以发现
1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52， ……
数学2.1.1合情推理课件(人教A版选修2-2)
第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
学习导航 学习目标
重点难点 重点:应用归纳和类比进行简单的推理. 难点:归纳推理和类比推理含义的理解.
新知初探•思维启动
1.归纳推理和类比推理
归纳推理
类比推理
由某类事物的 部分对象 由两类对象具有某
_________具有某些特 些_类__似____特征和其
对角线.因此凸 n 边形的对角线条数为 2＋3＋
4
＋
5
＋
…
＋
(n
－
2)
＝
1 2
n
·
(n
－
3)(n≥4
且
n∈N*).
题型三 类比推理
例3
类比实数的加法和向量的加法,列出
它们相似的运算性质.
【解】 (1)两实数相加后,结果是一个实数, 两向量相加后,结果仍是向量; (2)从运算律的角度考虑,它们都满足交换律和 结合律, 即:a＋b＝b＋a,a＋b＝b＋a, (a＋b)＋c＝a＋(b＋c),(a＋b)＋c＝a＋(b＋c);
＝ E
f sin
F.于是,类
比三角形中的正弦定理
,在四面
体
中
,
我
们
猜
想
S1 sin α
＝ S2 1 sin α
变式训练 3.如图,在三棱锥S-ABC,SA⊥SB, SB⊥SC,SA⊥SC,且SA、SB、SC和底面ABC所成 的角分别为α1、α2、α3,三侧面△SBC、△SAC、 △SAB面积分别为S1、S2、S3,类比三角形中的 正弦定理,给出空间情形的一个猜想.
解:在△DEF
中,由正弦定理得sind
＝e D sin
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
学习导航 学习目标
重点难点 重点:应用归纳和类比进行简单的推理. 难点:归纳推理和类比推理含义的理解.
新知初探•思维启动
1.归纳推理和类比推理
归纳推理
类比推理
由某类事物的 部分对象 由两类对象具有某
_________具有某些特 些_类__似____特征和其
对角线.因此凸 n 边形的对角线条数为 2＋3＋
4
＋
5
＋
…
＋
(n
－
2)
＝
1 2
n
·
(n
－
3)(n≥4
且
n∈N*).
题型三 类比推理
例3
类比实数的加法和向量的加法,列出
它们相似的运算性质.
【解】 (1)两实数相加后,结果是一个实数, 两向量相加后,结果仍是向量; (2)从运算律的角度考虑,它们都满足交换律和 结合律, 即:a＋b＝b＋a,a＋b＝b＋a, (a＋b)＋c＝a＋(b＋c),(a＋b)＋c＝a＋(b＋c);
＝ E
f sin
F.于是,类
比三角形中的正弦定理
,在四面
体
中
,
我
们
猜
想
S1 sin α
＝ S2 1 sin α
变式训练 3.如图,在三棱锥S-ABC,SA⊥SB, SB⊥SC,SA⊥SC,且SA、SB、SC和底面ABC所成 的角分别为α1、α2、α3,三侧面△SBC、△SAC、 △SAB面积分别为S1、S2、S3,类比三角形中的 正弦定理,给出空间情形的一个猜想.
解:在△DEF
中,由正弦定理得sind
＝e D sin
高中数学 2.1.1合情推理课件 新人教A版选修2-2
首页 探究 一 探究 二 探究 三 探究 四
XINZHIDAOXUE 新知 ZHONGNANTANJIU 当堂 重难探究 DANGTANGJ 导学 检测
典型例题 1
由下列各式: 13=12, 13+23=32, 13+23+33=62, 13+23+33+43=102, 请你归纳出一般结论. 思路分析:观察式子的结构特征及左右底数的变化得出结论.
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高中数学课件
第二章
推理与证明
-
2.1
合情推理与演绎推理
-
2.1.1
合情推理
-
首页
XINZHIDAOXUE 新知 ZHONGNANTANJIU 重难探究 DANGTANGJ 当堂 导学 检测
学习目标 1.了解合情推理的含义,能利用归纳 推理和类比推理等进行简单的推 理. 2.了解合情推理在数学发现中的作 用.
f(n )=(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n),通过计算 f(1),f(2),f(3)的值,推测出 f(n )的表达式. 1 解 :∵a n= 2,
(������+1 ) 1 1 1 ∴a 1= ,a 2= ,a 3= . 4 9 16 3 ∴f(1)=1-a 1= , 4 1 1 4
f(2)= 13 4
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典型例题 2
(1)图①,②,③,④为四个平面图形,数一数,每个平面图形各有多少个顶 点?多少条边?它们将平面各分成了多少个区域?
(2)观察(1)题中的四个平面图形,推断一个平面图形的顶点数、边数、 区域数之间的关系. 解 :(1)各平面图形的顶点数,边数,将平面分成的区域数分别为:①3,3,2; ②8,12,6;③6,9,5;④10,15,7. (2)观察 :3+2-3=2;8+6-12=2;6+5-9=2;10+7-15=2. 通过观察发现,平面图形的顶点数 V、 边数 E 和将平面分成的区域数 F 之间的关系为:V+F-E=2.
数学：2.1《合情推理与演绎推理》课件(1)(新人教A版选修2-2)
思考3：球与圆在形状和概念上都有类似 的地方，如二者都具有完美的对称性， 都是到定点的距离等于定长的点的集合. 对于圆，圆有切线，切线与圆只有一个 公共点，圆心到切线的距离等于圆半径， 平面内不共线的三个点确定一个圆.运用 类比，你能推测球可能有哪些类似的性 质？ 球有切平面，切平面与球只有一个公共 点，球心到切平面的距离等于球半径， 空间中不共面的四个点确定一个球.
思考6：对于等式：1·2＋2·3＋3·4 ＋„＋n(n＋1)＝3n2－3n＋2，当n=1， 2，3时等式成立吗？能否由此断定这个 等式对所有正整数n都成立？ 思考7：应用归纳推理可以发现一般结 论，其不足之处是什么？ 由归纳推理得出的结论不一定正确，其 真实性有待进一步证明.
探究（二）：类比推理
an n 1 n
n
思考1：据说我国古代工匠鲁班从带齿的 草叶和蝗虫的齿牙受到启发，发明了锯； 人们仿照鸟类的外形和它们在空中的飞 行原理，发明了飞机；仿照鱼类的外形 和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水 艇；等等.这种在发明创造活动中运用的 方法，称为类比推理.你还能列举出这样 的实例吗？
v = 0
v = 0
思考2：科学家们发现火星具有一些与地 球类似的特征，如火星也是围绕太阳运 行、绕轴自转的行星，也有大气层，在 一年中也有季节的变更，而且火星上大 部分时间的温度适合地球上某些已知生 物的生存，等等.运用类比推理，你有什 么猜想？其推理过程是怎样形成的？ 猜想：火星上也可能有生命存在.
思考4：类比圆的特征，下表中球的相关 特征分别是什么？
圆的概念和性质 球的类似概念和性质 球的面积 球的体积
圆的周长 圆的面积
圆心与弦（非直径）中点 球心与截面（非大圆）圆心的 的连线垂直于弦 连线垂直于截面 与圆心距离相等的两弦相 等，与圆心距离不等的两 弦不等，距圆心较近的弦 较长.
高中数学 2.1.1《合情推理与演绎推理》课件 新人教选修2-2
A
Ｂ c2=a2+b2
a
c
s1 o s2
s3
Ｃb
Ａ
B
C
猜想: S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
第十二页，共20页。
例3:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与② x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆 的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆 的情况下加以推广,即要求得到一个更一般 的命题,而已知命题应成为所推广命题的一 个特例,推广的命题为----设--圆---的---方--程---为---①-------(b-x≠---a-d-)-)2-+,-(则-y---由-b-)①-2-=-r式-2-与减---②去--(②-x---式-c-)可-2-+-得(--y上---d述-)-2-两=-r-圆-2-（-的-a-≠对---称c-或-轴-----
第十九页，共20页。
谢谢大家
2023/5/16
生产计划部
第二十页，共20页。
统称为合情推理。
合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向
第十四页，共20页。
例:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下
列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
1.每次只能移动1个金属片;
2.较
大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测;把n个金属
片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?
归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析
的基础上.提出带有规律性的结论.
需证明
第三页，共20页。
练:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V
和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间 的关系.
Ｂ c2=a2+b2
a
c
s1 o s2
s3
Ｃb
Ａ
B
C
猜想: S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
第十二页，共20页。
例3:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与② x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆 的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆 的情况下加以推广,即要求得到一个更一般 的命题,而已知命题应成为所推广命题的一 个特例,推广的命题为----设--圆---的---方--程---为---①-------(b-x≠---a-d-)-)2-+,-(则-y---由-b-)①-2-=-r式-2-与减---②去--(②-x---式-c-)可-2-+-得(--y上---d述-)-2-两=-r-圆-2-（-的-a-≠对---称c-或-轴-----
第十九页，共20页。
谢谢大家
2023/5/16
生产计划部
第二十页，共20页。
统称为合情推理。
合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向
第十四页，共20页。
例:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下
列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
1.每次只能移动1个金属片;
2.较
大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测;把n个金属
片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?
归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析
的基础上.提出带有规律性的结论.
需证明
第三页，共20页。
练:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V
和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间 的关系.