现代控制理论第4章2课件

xT
x1
F1 x2 F2 x2
F1
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xn F2
xn
Fn
Fn
Fn
x1 x2
xn
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Fi F j x j xi (i, j 1, , n )
n(n1)/2
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4）变量梯度法求李氏函数
设非线性系统方程为
x f(x,t)
式中 x为 维n状态向量， f (是x,变t)量
法永远不够，基于Lyapunov第二法的方法非线性系统的分
析方法——克拉索夫斯基法、Schultz-Gibson变量梯度法
、鲁里叶(Lure’)法以及波波夫法等。
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下面主要讨论非线性系统稳定性分析的两种方法 1、克拉索夫斯基法 2、变量梯度法
定理4.7 非线性系统方程为 x f (x)
xTFT(x)xxTF(x)x
x T F (x )x T x T F (x )x
2xPTPTF 学习交(流x)x
标量
3
例：设系统的状态方程为
x1 3x1 x2 x2 x1 x2 x23
试用克拉索夫基法确定系统在平衡状态的 xe = 0 稳定性.
解： f (x)x13x1x2 x2x23
f (0)0
A Fd L F 1 d1 x
F n dnx
L
0 PPT学习交流
0
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3）旋度方程
如果一个向量的曲线积分与积分路径选择无关，则向量 的旋度必为零。
ro(tF) 0。
所组由成向 的量雅的可旋比度矩为阵零必可为得对出称由矩阵。xFij (i1,,n,j1,,n)
F1
F (x)
x1 F2
V
V
x1 V
x2
V
V1
V
2
V
n
PPxT学n习交 流
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2）向量的曲线积分
变力做功问题：变力F沿着给定路径L所做的功可用曲
线积分来计算。 A FdL
L
积分的结果与积分路径的选择无关。
x 1 (x 2 x 3 x n 0 )
x n(x 1 x 1 , ,x n 1 x n 1 )
李氏函数的求取变成求一个合适的梯度向量V。 求取V利用了以下两个条件：
1）由于V是一个向量，则n维广义旋度为0，故V必须满足 以下旋度方程：
Fi Fj xj xi
(i,j1,,n)
2）由V计算出来的v (x)和v( x) 必须满足李氏函数稳定性
的要求。
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总结上述分析，如果非线性系统的平衡状态xe是渐近稳定， 变量梯度法确定李氏函数的步骤概括如下：
xi
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变量梯度法
1）梯度的概念
一个多元函数
v(x1,x2,…,xn)
存在对
n
个变量
xi
的偏导数
v x
i
。
在控制问题中，偏导数是指n维空间中的运动质点
运动到达某一位置时沿各个坐标方向的变化率。
把反映运动质点沿各个坐标方向的变化率的各偏导数 作为分量，构成一个n维向量，称该向量为函数v(x1,x2,…,xn) 的梯度。习惯上用符号“V”表示。
关于定理的几点说明：
（1）该定理对非线性系统的一个平衡状态只给出了稳定 的充分条件，若 Fˆ ( x)不是负定的，则不能给出任何结论。
（2）使Fˆ ( x) 为负定的必要条件是，F(x)主对角线上的所有元
素不为零，即：
fi 0 (i1,2,,n)
xi
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（3）线性系统是非线性系统的特例，该定理也适应于线性 定常系统。
即设 xA,x 雅可比矩阵为
F(x)A ,F ˆ(x)A TA
若A为非奇异，则当 Fˆ ( x ) 为负定时，系统的平衡状态稳定。 李亚普诺夫V函 (x)数 x Tx 为 xT(ATA)x。
(4)克拉索夫斯基方法主要适用于针对可线性化表示的函数，即 （a）非线性特性可用解析表达式表示的单值函数；
（b）非线性函数 f(x 对) xi(i1 是,2 ,可 微,n 的)； （c） fi(x)0 (i1,2,,n)
已知系统平衡状态为坐标原点xe = 0 ，即f(xe )=0,且f(x )对xi 处是可微的，系统的雅可比矩阵为
f1
F(x)
f (x) xT
x1 f2
xf1n
x1
f1 x2 f2 x2
fn x2
f1
xn f2
xfnn
(nn)
xn xxe
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则系统在xe =0处是渐近稳定的充分条件是：下列矩阵
f1 F(x)fx21
x1
f1
x2 f2
13
x2
1 13x22
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F ˆ(x ) F T (x ) F (x ) 1 3 1 1 3 x 2 2 T 1 3 1 1 3 x 2 2
Fˆ(x)26
2 26x22
由塞尔维斯特准则有
160
6 2 2
2 26x2 2
F ˆ(x)FT(x)F(x)
在所有x下都是负定的，而且
V(x)x Tx fT(x)f(x)
是一个李亚普诺夫（Lyapunov）函数。
如果x当 时f， T(x)f(x),则平衡状态近 是稳 大.定 范的 围渐
证 ( 1 )明 F ˆ(x ) 负 ：定 V (x )正定
对任意n维状态向量x，有
x T F ˆ ( x ) x x T F T ( x ) F ( x ) x
3x62 280
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可见，Fˆ若 (x)负定，V则 (x)负定。 V(x)是一个李亚普诺。夫原函点数是渐近稳定的。
若随着 x 时，
V(x)fT(x)f(x) 3x1x2
x1
x2
x23
3x1x2 x1x2 x23
（3x1x2） 2 （x1x2 x23） 2 , 则平衡状 xe 态 0是大范围渐近稳定的。
4.3.3 线性系统与非线性系统的稳定性分析
线性定常系统平衡状态的渐近稳定性的含义和非线性系统 的含义完全不同。
在线性定常系统中，若平衡状态是局部渐近稳定的，则 它是大范围渐近稳定的。然而在非线性系统中，不是大范 围渐近稳定的平衡状态可能是局部渐近稳定的。
对于非线性系统的分析，基于Lyapunov第一法的分析方
x,1 ,…x 2 ,和tx的n n 维向量函数。
设系统的平衡状态是状态空间的原点，即xe=0,若要 寻找的李氏函数为
v(x) = v(x1,x2,…,xn)
v (x) V x1x 1 x V 2x 2 x V nx n
v (x)(V)Tx
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x
v(x) (V)T dx
0