九年级数学上册 圆 几何综合(篇)(Word版 含解析)

九年级数学上册 圆 几何综合（篇）（Word 版 含解析）

一、初三数学 圆易错题压轴题（难）

1．如图，以A （0，3）为圆心的圆与x 轴相切于坐标原点O ，与y 轴相交于点B ，弦BD 的延长线交x 轴的负半轴于点E ，且∠BEO ＝60°，AD 的延长线交x 轴于点C ．

（1）分别求点E 、C 的坐标； （2）求经过A 、C 两点，且以过E 而平行于y 轴的直线为对称轴的抛物线的函数解析式；

（3）设抛物线的对称轴与AC 的交点为M ，试判断以M 点为圆心，ME 为半径的圆与⊙A 的位置关系，并说明理由．

【答案】（1）点C 的坐标为（－3，0）（2）2343333y x x =

++3）⊙M 与⊙A 外切

【解析】

试题分析：（1）已知了A 点的坐标，即可得出圆的半径和直径，可在直角三角形BOE 中，根据∠BEO 和OB 的长求出OE 的长进而可求出E 点的坐标，同理可在直角三角形OAC 中求出C 点的坐标；

（2）已知了对称轴的解析式，可据此求出C 点关于对称轴对称的点的坐标，然后根据此点坐标以及C ，A 的坐标用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（3）两圆应该外切，由于直线DE ∥OB ，因此∠MED=∠ABD ，由于AB=AD ，那么

∠ADB=∠ABD ，将相等的角进行置换后可得出∠MED=∠MDE ，即ME=MD ，因此两圆的圆心距AM=ME+AD ，即两圆的半径和，因此两圆外切. 试题解析：（1）在Rt△EOB 中，3cot60232EO OB =??==， ∴点E 的坐标为（－2，0）．

在Rt△COA 中，tan tan60333OC OA CAO OA =?∠=??==，

∴点C 的坐标为（－3，0）．

（2）∵点C 关于对称轴2x =-对称的点的坐标为F （－1，0），

点C 与点F （－1，0）都在抛物线上．

设()()13y a x x =++，用(03A ，代入得 ()()30103a =++，

∴33a =

． ∴()()313y x x =++，即 2343333

y x x =++． （3）⊙M 与⊙A 外切，证明如下：

∵ME ∥y 轴，

∴MED B ∠=∠．

∵B BDA MDE ∠=∠=∠，

∴MED MDE ∠=∠．

∴ME MD =．

∵MA MD AD ME AD =+=+，

∴⊙M 与⊙A 外切．

2．如图①，一个Rt △DEF 直角边DE 落在AB 上，点D 与点B 重合，过A 点作二射线AC 与斜边EF 平行，己知AB=12，DE=4，DF=3，点P 从A 点出发，沿射线AC 方向以每秒2个单位的速度运动，Q 为AP 中点，设运动时间为t 秒（t ＞0）?

（1）当t=5时，连接QE ，PF ，判断四边形PQEF 的形状；

（2）如图②，若在点P 运动时，Rt △DEF 同时沿着BA 方向以每秒1个单位的速度运动，当D 点到A 点时，两个运动都停止，M 为EF 中点，解答下列问题：

①当D 、M 、Q 三点在同一直线上时，求运动时间t ；

②运动中，是否存在以点Q 为圆心的圆与Rt △DEF 两个直角边所在直线都相切？若存在，求出此时的运动时间t ；若不存在，说明理由．

【答案】（1）平行四边形EFPQ 是菱形；（2）t=

；当t 为5秒或10秒时，以点Q 为圆

心的圆与Rt △DEF 两个直角边所在直线都相切．

【解析】 试题分析：（1）过点Q 作QH ⊥AB 于H ，如图①，易得PQ=EF=5，由AC ∥EF 可得四边形EFPQ 是平行四边形，易证△AHQ ∽△EDF ，从而可得AH=ED=4，进而可得AH=HE=4，根据垂直平分线的性质可得AQ=EQ ，即可得到PQ=EQ ，即可得到平行四边形EFPQ 是菱形；

（2）①当D 、M 、Q 三点在同一直线上时，如图②，则有AQ=t ，EM=EF=，AD=12-t ，DE=4．由EF ∥AC 可得△DEM ∽△DAQ ，然后运用相似三角形的性质就可求出t 的值；

②若以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切，则点Q在∠ADF的角平分线上（如图③）或在∠FDB的角平分线（如图④）上，故需分两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质求出AH、DH（用t表示），再结合AB=12，DB=t建立关于t的方程，然后解这个方程就可解决问题．

试题解析：（1）四边形EFPQ是菱形．

理由：过点Q作QH⊥AB于H，如图①，

∵t=5，∴AP=2×5=10．

∵点Q是AP的中点，

∴AQ=PQ=5．

∵∠EDF=90°，DE=4，DF=3，

∴EF==5，

∴PQ=EF=5．

∵AC∥EF，

∴四边形EFPQ是平行四边形，且∠A=∠FEB．

又∵∠QHA=∠FDE=90°，

∴△AHQ∽△EDF，

∴．

∵AQ=EF=5，

∴AH=ED=4．

∵AE=12-4=8，

∴HE=8-4=4，

∴AH=EH，

∴AQ=EQ，

∴PQ=EQ，

∴平行四边形EFPQ是菱形；

（2）①当D、M、Q三点在同一直线上时，如图②，

此时AQ=t，EM=EF=，AD=12-t，DE=4．

∵EF∥AC，

∴△DEM∽△DAQ，

∴，

∴，

解得t=；

②存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切，此时点Q在∠ADF的角平分线上或在∠FDB的角平分线上．Ⅰ．当点Q在∠ADF的角平分线上时，

过点Q作QH⊥AB于H，如图③，

则有∠HQD=∠HDQ=45°，

∴QH=DH．

∵△AHQ∽△EDF（已证），

∴，

∴，

∴QH=，AH=，

∴DH=QH=．

∵AB=AH+HD+BD=12，DB=t，

∴++t=12，

∴t=5；

Ⅱ．当点Q在∠FDB的角平分线上时，

过点Q作QH⊥AB于H，如图④，

同理可得DH=QH=，AH=．

∵AB=AD+DB=AH-DH+DB=12，DB=t，

∴-+t=12，

∴t=10．

综上所述：当t为5秒或10秒时，以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切．

考点：1．圆的综合题；2．线段垂直平分线的性质；3．勾股定理；4．菱形的判定；5．相似三角形的判定与性质．

3．如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，

（1）求证：直线AB是⊙O的切线；

（2）OA，OB分别交⊙O于点D，E，AO的延长线交⊙O于点F，若AB＝4AD，求sin∠CFE 的值．

5

【答案】（1）见解析；（2

【解析】

【分析】

（1）根据等腰三角形性质得出OC⊥AB，根据切线的判定得出即可；

（2）连接OC、DC，证△ADC∽△ACF，求出AF=4x，CF=2DC，根据勾股定理求出

35

x，DF=3x，解直角三角形求出sin∠AFC，即可求出答案．

【详解】

（1）证明：连接OC，如图1，

∵OA＝OB，AC＝BC，

∴OC⊥AB，

∵OC过O，

∴直线AB是⊙O的切线；

（2）解：连接OC、DC，如图2，

∵AB＝4AD，

∴设AD＝x，则AB＝4x，AC＝BC＝2x，∵DF为直径，

∴∠DCF＝90°，

∵OC⊥AB，

∴∠ACO＝∠DCF＝90°，

∴∠OCF＝∠ACD＝90°﹣∠DCO，

∵OF＝OC，

∴∠AFC＝∠OCF，

∴∠ACD＝∠AFC，

∵∠A＝∠A，

∴△ADC∽△ACF，

∴

1

22 AC AD DC x

AF AC CF x

====，

∴AF＝2AC＝4x，FC＝2DC，

∵AD＝x，

∴DF＝4x﹣x＝3x，

在Rt△DCF中，（3x）2＝DC2+（2DC）2，

解得：DC 35

x，

∵OA＝OB，AC＝BC，∴∠AOC＝∠BOC，

∴DC EC

=，

∴∠CFE＝∠AFC，

∴sin∠CFE＝sin∠AFC＝

DC

DF

＝

35

5

5

35

x

x

=

．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形，圆心角、弧、弦之间的关系，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，难度偏大．

4．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以D为圆心，D长为半径作作⊙D．

⑴求证：AC是⊙D的切线.

⑵设AC与⊙D切于点E，DB=1，连接DE，BF，EF.

①当∠BAD= 时，四边形BDEF为菱形；

②当AB= 时，△CDE为等腰三角形.

【答案】（1）见解析；（2）①30°2+1

【解析】

【分析】

(1) 作DE⊥AC于M,由∠ABC=90°，进一步说明DM=DB，即DB是⊙D的半径，即可完成证明；

（2）①先说明△BDF是等边三角形，再运用直角三角形的内角和定理解答即可；②先说明DE=CE=BD=1，再设AB=x，则AE=x，分别表示出AC、BC、AB的长，然后再运用勾股定理解答即可.

【详解】

⑴证明：如图：作DE⊥AC于M，

∵∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，∴DE=DB.

∴DM是⊙D的半径，

∴AC是⊙D的切线；

⑵①如图：

∵四边形BDEF为菱形；

∴△BDF是等边三角形

∴∠ADB=60°

∴∠BAD=90°-60°=30°

∴当∠BAD=30°时，四边形BDEF为菱形；

②∵△CDE为等腰三角形.

∴DE=CE=BD=1，

∴2

设AB=x，则AE=x

∴在Rt△ABC中，AB=x，AC=1+x，2∴()2

22

+=+，解得2+1 x x

(12)1

∴当2+1时，△CDE为等腰三角形.

本题考查的是切线的判定、菱形的性质和判定、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的灵活运用；熟练掌握切线的判定方法和灵活应该勾股定理是解答本题的关键.

5．如图，在ABC ?中，90ACB ∠=?，45ABC ∠=?，12BC cm =，半圆O 的直径12DE cm =．点E 与点C 重合，半圆O 以2/cm s 的速度从左向右移动，在运动过程中，点D 、E 始终在BC 所在的直线上．设运动时间为()x s ，半圆O 与ABC ?的重叠部分的面积为()2S cm ．

（1）当0x =时，设点M 是半圆O 上一点，点N 是线段AB 上一点，则MN 的最大值为_________；MN 的最小值为________．

（2）在平移过程中，当点O 与BC 的中点重合时，求半圆O 与ABC ?重叠部分的面积S ；

（3）当x 为何值时，半圆O 与ABC ?的边所在的直线相切？

【答案】（1）24cm ，()

926cm ；（2）2(189)cm π+；（3）0x =或6x =或932x =-【解析】

【分析】

（1）当N 与点B 重合，点M 与点D 重合时，MN 最大，此时

121224()MN DB DE BC cm ==+=+=如图①，过点O 作ON AB ⊥于N ，与半圆交于点M ，此时MN 最小，MN ON OM =-， 261218()92()OB OC CB cm ON BN cm =+=+===

=，所以926()MN ON OM cm =-=； （2）当点O 与BC 的中点重合时，如图②，点O 移动了12cm ，设半圆与AB 交于点H ，连接OH 、CH ，6OH OC OB ===，

29016669183602

BOH HOC S S S ππ?=+=?+??=+阴影扇形； （3）当半圆O 与直线AC 相切时，运动的距离为0或12，所以0x =（秒)或6（秒)；当半圆O 与直线AB 相切时，如图③，连接OH ，则OH AB ⊥，6OH =，

262OB OH ==1262OC BC OB =-=-61262182()cm +--，运动时间为18629322

x -==-)．

解：解（1）当N 与点B 重合，点M 与点D 重合时，MN 最大，此时

121224()MN DB DE BC cm ==+=+= 如图①，过点O 作ON AB ⊥于N ，与半圆交于点M ，此时MN 最小，

MN ON OM =-，

45ABC ∠=?，

45NOB ∴∠=?，

在Rt ONB ?中，61218()OB OC CB cm =+=+=

292()ON BN OB cm ∴===， 926()MN ON OM cm ∴=-=-，

故答案为24cm ，(926)cm -；

（2）当点O 与BC 的中点重合时，如图②，点O 移动了12cm ，

设半圆与AB 交于点H ，连接OH 、CH ．

BC 为直径，

90CHB ∴∠=?，

45ABC ∠=?

45HCB ∴∠=?，

HC HB ∴=，

OH BC ∴⊥，6OH OC OB ===，

29016669183602

BOH HOC S S S ππ?=+=?+??=+阴影扇形； （3）当半圆O 与直线AC 相切时，运动的距离为0或12，

0x ∴=（秒)或6（秒)；

当半圆O 与直线AB 相切时，如图③，

连接OH ，则OH AB ⊥，6OH =

45B ∠=?，90OHB ∠=?，

262OB OH ∴==，

1262OC BC OB =-=-，

移动的距离为612621862()cm +-=-，

运动时间为18629322

x -==-（秒)， 综上所述，当x 为0或6或932-时，半圆O 与ABC ?的边所在的直线相切．

【点睛】

本题考查了圆综合知识，熟练掌握勾股定理以及圆切线定理是解题的关键．要注意分类讨论.

6．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 为直径，AC 和BD 交于点E ，AB ＝BC ．

（1）求∠ADB 的度数；

（2）过B 作AD 的平行线，交AC 于F ，试判断线段EA ，CF ，EF 之间满足的等量关系，并说明理由；

（3）在（2）条件下过E ，F 分别作AB ，BC 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接GH ，交BO 于M ，若AG ＝3，S 四边形AGMO ：S 四边形CHMO ＝8：9，求⊙O 的半径．

【答案】（1）45°；（2）EA 2+CF 2＝EF 2，理由见解析；（3）2

【解析】

【分析】

（1）由直径所对的圆周角为直角及等腰三角形的性质和互余关系可得答案；

（2）线段EA ，CF ，EF 之间满足的等量关系为：EA 2+CF 2=EF 2．如图2，设∠ABE=α，∠CBF=β，先证明α+β=45°，再过B 作BN ⊥BE ，使BN=BE ，连接NC ，判定△AEB ≌△CNB （SAS ）、△BFE ≌△BFN （SAS ），然后在Rt △NFC 中，由勾股定理得：CF 2+CN 2=NF 2，将相关线段代入即可得出结论；

（3）如图3，延长GE ，HF 交于K ，由（2）知EA 2+CF 2=EF 2，变形推得S △ABC =S 矩形BGKH ，

S△BGM=S四边形COMH，S△BMH=S四边形AGMO，结合已知条件S四边形AGMO：S四边形CHMO=8：9，设BG=9k，BH=8k，则CH=3+k，求得AE的长，用含k的式子表示出CF和EF，将它们代入EA2+CF2=EF2，解得k的值，则可求得答案．

【详解】

解：（1）如图1，

∵AC为直径，

∴∠ABC＝90°，

∴∠ACB+∠BAC＝90°，

∵AB＝BC，

∴∠ACB＝∠BAC＝45°，

∴∠ADB＝∠ACB＝45°；

（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：

如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，

∵AD∥BF，

∴∠EBF＝∠ADB＝45°，

又∠ABC＝90°，

∴α+β＝45°，

过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，

∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，

∴△AEB≌△CNB（SAS），

∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，

∴∠FCN＝90°．

∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，

∴△BFE≌△BFN（SAS），

∴EF＝FN，

∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，

∴EA2+CF2＝EF2；

（3）如图3，延长GE，HF交于K，

由（2）知EA 2+CF 2＝EF 2，

∴12EA 2+12CF 2＝12

EF 2， ∴S △AGE +S △CFH ＝S △EFK ，

∴S △AGE +S △CFH +S 五边形BGEFH ＝S △EFK +S 五边形BGEFH ，

即S △ABC ＝S 矩形BGKH ，

∴12S △ABC ＝12

S 矩形BGKH ， ∴S △GBH ＝S △ABO ＝S △CBO ，

∴S △BGM ＝S 四边形COMH ，S △BMH ＝S 四边形AGMO ，

∵S 四边形AGMO ：S 四边形CHMO ＝8：9，

∴S △BMH ：S △BGM ＝8：9，

∵BM 平分∠GBH ，

∴BG ：BH ＝9：8，

设BG ＝9k ，BH ＝8k ，

∴CH ＝3+k ，

∵AG ＝3，

∴AE ＝2，

∴CF 2（k+3），EF 2（8k ﹣3），

∵EA 2+CF 2＝EF 2， ∴222(32)2(3)]2(83)]k k ++=-，

整理得：7k 2﹣6k ﹣1＝0，

解得：k 1＝﹣

17（舍去），k 2＝1． ∴AB ＝12，

∴AO ＝22

AB ＝2， ∴⊙O 的半径为2．

【点睛】

本题属于圆的综合题，考查了圆的相关性质及定理、全等三角形的判定与性质、多边形的面积公式、勾股定理及解一元二次方程等知识点，熟练运用相关性质及定理是解题的关键．

7．已知：ABC 内接于O ，过点B 作O 的切线，交CA 的延长线于点D ，连接OB ．

（1）如图1，求证：DAB DBC ∠=∠；

（2）如图2，过点D 作DM AB ⊥于点M ，连接AO ，交BC 于点N ，

BM AM AD =+，求证：BN CN =；

（3）如图3，在（2）的条件下，点E 为O 上一点，过点E 的切线交DB 的延长线于点

P ，连接CE ，交AO 的延长线于点Q ，连接PQ ，PQ OQ ⊥，点F 为AN 上一点，连接CF ，若90DCF CDB ∠+∠=?，tan 2ECF ∠=，

12ON OQ =，10PQ OQ +=求CF 的长．

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）10=CF

【解析】

【分析】

（1）延长BO 交O 于G ，连接CG ，根据切线的性质可得可证∠DBC ＋∠CBG=90°，然后根据直径所对的圆周角是直角可证∠CBG ＋∠G=90°，再根据圆的内接四边形的性质可得∠DAB=∠G ，从而证出结论；

（2）在MB 上截取一点H ，使AM=MH ，连接DH ，根据垂直平分线性质可得DH=AD ，再根据等边对等角可得∠DHA=∠DAH ，然后根据等边对等角和三角形外角的性质证出∠ABC=∠C ，可得AB=AC ，再根据垂直平分线的判定可得AO 垂直平分BC ，从而证出结论；

（3）延长CF 交BD 于M ，延长BO 交CQ 于G ，连接OE ，证出tan ∠BGE=tan ∠ECF=2，然后利用AAS 证出△CFN ≌△BON ，可设CF=BO=r ，ON=FN=a ，则OE=r ，根据锐角三角函数和相似三角形即可证出四边形OBPE 为正方形，利用r 和a 表示出各线段，最后根据10PQ OQ +=a 和CF ．

【详解】

解：（1）延长BO 交O 于G ，连接CG

∵BD 是O 的切线

∴∠OBD=90°

∴∠DBC ＋∠CBG=90°

∵BG 为直径

∴∠BCG=90°

∴∠CBG ＋∠G=90°

∴∠DBC=∠G

∵四边形ABGC 为

O 的内接四边形

∴∠DAB=∠G

∴∠DAB=∠DBC

（2）在MB 上截取一点H ，使AM=MH ，连接DH

∴DM 垂直平分AH

∴DH=AD

∴∠DHA=∠DAH

∵BM AM AD =+，=+BM MH BH

∴AD=BH

∴DH=BH

∴∠HDB=∠HBD

∴∠DHA=∠HDB ＋∠HBD=2∠HBD

由（1）知∠DAB=∠DBC

∴∠DHA=∠DAB=∠DBC

∴∠DBC =2∠HBD

∵∠DBC =∠HBD ＋∠ABC

∴∠HBD=∠ABC ，∠DBC=2∠ABC

∴∠DAB=2∠ABC

∵∠DAB=∠ABC ＋∠C

∴∠ABC=∠C

∴AB=AC

∴点A 在BC 的垂直平分线上

∵点O 也在BC 的垂直平分线上

∴AO 垂直平分BC

∴BN CN =

（3）延长CF 交BD 于M ，延长BO 交CQ 于G ，连接OE ，

∵90DCF CDB ∠+∠=?

∴∠DMC=90°

∵∠OBD=90°

∴∠DMC=∠OBD

∴CF ∥OB

∴∠BGE=∠ECF ，∠CFN=∠BON ，

∴tan ∠BGE=tan ∠ECF=2

由（2）知OA 垂直平分BC

∴∠CNF=∠BNO=90°，BN=CN

∴△CFN ≌△BON

∴CF=BO ，ON=FN ，设CF=BO=r ，ON=FN=a ，则OE=r

∵12

ON OQ = ∴OQ=2a

∵CF ∥OB

∴△QGO ∽△QCF

∴

=OG QO CF QF 即2122

==++OG a r a a a ∴OG=12

r 过点O 作OE ′⊥BG ，交PE 于E ′

∴OE ′=OG ·tan ∠BGE=r=OE

∴点E ′与点E 重合

∴∠EOG=90°

∴∠BOE=90°

∵PB 和PE 是圆O 的切线

∴∠OBP=∠OEP=∠BOE=90°，OB=OE=r

∴四边形OBPE 为正方形

∴∠BOE=90°，PE=OB=r

∴∠BCE=12

∠BOE==45° ∴△NQC 为等腰直角三角形

∴NC=NQ=3a ，

∴BC=2NC=6a

在Rt △CFN 中，

=

∵PQ OQ ⊥

∴PQ ∥BC

∴∠PQE=∠BCG

∵PE ∥BG

∴∠PEQ=∠BGC

∴△PQE ∽△BCG ∴=PQ PE BC BG

即12

6=+PQ r r a r 解得：PQ=4a

∵PQ OQ +=

∴4a ＋

2a=解得：

∴

=10

【点睛】

此题考查的是圆的综合大题，难度较大，掌握圆的相关性质、相似三角形的判定及性质、锐角三角函数、勾股定理、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、正方形的判定及性质是解决此题的关键．

8．如图，PA ，PB 分别与

O 相切于点A 和点B ，点C 为弧AB 上一点，连接PC 并延长交O 于点F ，D 为弧AF 上的一点，连接BD 交FC 于点E ，连接AD ，且2180APB PEB ∠+∠=?．

（1）如图1，求证：//PF AD ； （2）如图2，连接AE ，若90APB ∠=?，求证：PE 平分AEB ∠；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接AB 交PE 于点H ，连接OE ，8AD =，4sin 5

ABD ∠=，求PH 的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

257

【解析】

【分析】 （1）连接OA 、OB ，由切线的性质可得90OAP OBP ∠=∠=?，由四边形内角和是360?，得180∠+∠=?P AOB ，由同弧所对的圆心角是圆周角的一半，得到

2AOB ADB ∠=∠，等量代换得到ADB PEB ∠=∠，由同位角相等两直线平行，得到//PF AD ；

（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K ，由90APB ∠=?得290PEB ∠=?，从而45PEB ∠=?，由切线的性质，得PA PB =，由PK PE ⊥，45PEK ∠=?，得PE PK =，从而90APE EPB ?∠=-∠，进而APE BPK ∠=∠，即可证得

APE BPK ??≌由此45K AEP ∠=∠=?，得到AEP PEB ∠=∠，即可证得PE 平分AEB ∠；

（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM ，由45ADE ∠=?，90AED ∠=?，可得DE AE =，由OA 、OD 为半径，可得OA OD =，即可证出DEO AEO ??≌，由直径所对的圆周角是直角，可得90ADM ∠=?，在Rt ADM ?中，由正弦定义可得10AM =，由此5OA OB ==，由OAPB 为正方形，对角线AB 垂直平分OP ，从而，OH PH =.在Rt OAP ?中，252OP OA ==延长EO 交AD 于K ，在Rt OEP ?中，由勾股定理得7PE =，在Rt OEH ?中，由勾股定理得257

PH =.

【详解】

（1）连接OA 、OB

∵PA 、PB 与圆O 相切于点A 、B ，且OA 、OB 为半径，

∴OA AP ⊥，OB BP ⊥，

∴90OAP OBP ∠=∠=?，

∴在四边形AOBP 中，360180180P AOB ∠+∠=?-?=?，

∵AB AB =，

∴2AOB ADB ∠=∠，

∴2180P ADB ∠+∠=?，

∵2180P PEB ∠+∠=?，

∴ADB PEB ∠=∠，

∴//PF AD

（2）过点P 做PK PF ⊥交EB 延长线于点K

∵90APB ∠=?，

∴21809090PEB ∠=?-?=?，

∴45PEB ∠=?，

∵PA 、PB 为圆O 的切线，

∴PA PB =，

∵PK PE ⊥，45PEK ∠=?，

∴PE PK = ，

∵9090APE EPB KPB EPB ??∠=-∠=∠=-∠，

∴APE BPK ∠=∠，

∴APE BPK ??≌，

∴45K AEP ∠=∠=?，

∴AEP PEB ∠=∠，

∴PE 平分AEB ∠；

（3）连接AO 并延长交圆O 于点M ，连接OB 、OH 、OP 、OD 、DM

∵45ADE ∠=?，90AED ∠=?，

∴DE AE =，

∵OA 、OD 为半径，

∴OA OD =，

∵OE OE =，

∴DEO AEO ??≌，

∴1452AEO OED AED ∠=∠=

∠=?， ∴90OEP ∠=?，

∵AM 为圆O 的直径，

∴90ADM ∠=?，

∵弧AD =弧AD ，

∴ABD AMD ∠=∠，

在Rt ADM ?中，8AD =，4sin 5AMD ∠=

，则10AM =， ∴5OA OB ==，

由题易证四边形OAPB 为正方形，

∴对角线AB 垂直平分OP ，AB OP =，

∵H 在AB 上，

∴OH PH =，

在Rt OAP ?中，252OP OA =

=

延长EO 交AD 于K ，

∵DE AE =，可证OK AD ⊥，DOK ABD ∠=∠，

∴4DK KE ==，3OK =，1OE =

∴在Rt OEP ?中，227PE OP OE =-=

在Rt OEH ?中，222OH OE EH =+

∵OH PH =，7EH PE HP PH =-=-

∴()22217PH PH =+- ∴257

PH =

． 【点睛】