C6模态分析

式中,[Op]、[Cq]分别是离散状态空间方程的 p 阶可观矩阵和 q 阶可控矩阵,分别为:
[C ] [C ][ A] , [O p ] = M p −1 [C ][ A] [C q ] = [[G ] [ A][G ] L [ A]q −1[G ]]
式中，[G]＝E({xk+1}{yk}) 对 Hankel 矩阵进行奇异值分解，再根据矩阵[Op]、[Cq]的特点，可以求得矩阵[A]、[C]，由此识别 出系统模态参数。 随机子空间法适用于线性结构平稳激励下参数的识别， 对输出噪声由一定的抗干扰能力。 其最大优 点是不需要输入，仅通过输出就可进行识别，可用来进行响应模态分析。本方法属于整体拟合法，拟合 时同时考虑多点的输出波形，当模态比较密集时，即使模态频率比较接近，也不会影响识别的精度。拟 合过程中需要用户选择 Hankel 矩阵的阶数， 当 Hankel 矩阵的阶数较高时， 计算量很大， 比较费时。 Hankel 矩阵的阶数选定后，还需要确定状态方程的阶数，阶数太低，会造成模态丢失，太高会出现虚假模态， 通过稳定图可以找到合适的阶数。 对于响应模态的识别，随机子空间法是目前最好的选择，仿真计算表明，随机子空间法识别出的频 率、阻尼和振型的精度都非常高。由于只有响应信号，所以无法对各界模态的质量和刚度进行归一化处 理。 特征系统实现算法（ 特征系统实现算法 （ ERA） 的原理 自由度为 n 的线性系统，其离散状态空间方程表示如下： {xk+1}=[A] {xk}+{wk} {yk+1}=[C]{xk+1} 式中，{xk}是 n 维状态向量，N 为响应点数，{wk}是均值为零的输入白噪声，[A]和[C]分别表示 n*n 阶状态矩阵和 N*n 阶输出矩阵，系统的特性完全由特征矩阵[A]的特征值和特征向量表示。 其拟合过程类似于 SSI,所不同的是 Hankle 矩阵是由脉冲响应函数或自由响应信号得到。脉冲响 应函数可通过频响函数的逆变换得到，自由响应信号可通过随机减量法得到。 通过脉冲响应函数进行特征系统实现算法，除得到模态频率、阻尼和振型外，也可得到模态质量 和刚度。当模态频率较密集，频域法识别有难度时，将频响函数逆变换得到脉冲响应函数，用 ERA 方 法进行识别，可得到更为令人满意的结果。 通过自由响应信号进行特征系统实现算法，其结果往往没有 SSI 的结果理想，这是因为 SSI 方法 中考虑了输出噪声而 ERA 方法中没有考虑。建议大家今后不用随机减量法，凡是想用随机减量法的地 方，都改用 SSI 方法。 复指数法（ 复指数法（Prony）的原理 对每个响应信号建立 AR 自回归模型，根据自回归系数 ai ，可建立系统的特征方程
别为结构的质量、刚度和阻尼矩阵，通常为实对称 N 阶矩阵。 设系统的初始状态为零，对方程式（1）两边进行拉普拉斯变换，可以得到以复数 s 为变量的矩 阵代数方程
[M s
2
+ Cs + K X ( s ) = F( s )
]
（ 2）
频域 GLOBAL 方法就是利用所有测点的频响函数,利用最小二乘法估计出矩阵 M、K、C。 式中的矩阵
其中矩阵 Φ = [φ 1,φ 2 ,L,φ N ] 称为振型矩阵，假设阻尼矩阵 C 也满足振型正交性关系
O Φ CΦ= cr O
T
代入（8）式得到
O −1 Φ Z(ω ) = Φ zr O
−T
（ 9）
式中 z r = (k r − ω 2 mr ) + jωcr
6.1.2 模态分析基本原理
频域法模态拟合的基本原理 经离散化处理后，一个结构的动态特性可由 N 阶矩阵微分方程描述：
& + Cx & + Kx = f ( t ) M& x
（1）
& 、& & 分别为 N 维位移、速度和加速度响应向量；M、K、C 分 式中 f ( t ) 为 N 维激振力向量； x 、 x x
在上式中令 s = jω ，即可得到系统在频域中输出（响应向量 X (ω ) ）和输入（激振向量 F(ω ) ）的 关系式
X (ω ) = H(ω )F(ω )
式中 H(ω ) 为频率响应函数矩阵。 H(ω) 矩阵中第 i 行第 j 列的元素
（ 6）
H ij (ω ) =
X i (ω ) F j (ω )
mr 、 k r 分别称为第 r 阶模态质量和模态刚度（又称为广义质量和广义刚度） 。 ωr 、 ξ r 和φ r 分别称为
第 r 阶模态频率、模态阻尼比和模态振型。 不难发现，N 自由度系统的频率响应，等于 N 个单自由度系统频率响应的线形叠加。为了确定全 ，实际上只需测量频率响应矩阵的一列（对应一点激振， 部模态参数 ω r 、 ξ r 和 φ r （ r=1， 2，…，N） 各点测量的 H(ω ) ）或一行（对应依次各点激振，一点测量的 H(ω ) ）就够了。
率谱阵，m 为测量点数。 H (
jω ) 为 m×r 阶频响函数矩阵。矩阵的上角标“-” 、 “T”分别表示复共
轭和转置。 当 K 一定时，d K 是常数； 然后对其进行奇异值分解（SVD）
λ K 为 K 阶极点。当 ω = ω i 时，可从式（1）估计 G yy ( jω ) ，
G yy ( jω ) = U i S iU iH
第 6 章
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[ R1 ] [ R2 ] [ R ] [ R ] 2 3 [ H p ,q ] = M M [ R p ] [ R p +1 ]
L [ Rq ] L [ Rq +1 ] = [O ][C ] p q O M L [ R p + q +1 ]
第六章 模态分析
6.1 模态分析方法介绍
(应变模态分析的操作参见 6.3 参数设置部分 参数设置 )
6.1.1 模态分析方法及其应用
模态分析实质上是一种坐标变换，其目的在于把原物理坐标系统中描述的相应向量，转换到"模态 坐标系统"中来描述，模态试验就是通过对结构或部件的试验数据的处理和分析，寻求其"模态参数"。 主要应用有: 用于振动测量和结构动力学分析。可测得比较精确的固有频率、模态振型、模态阻尼、模态质量和 模态刚度。 可用模态试验结果去指导有限元理论模型的修正，使理论模型更趋完善和合理。 用模态试验建立一个部件的数学模型，然后再将其组合到完整的结构中去。这通常称为"子结构方 法"。 用来进行结构动力学修改、灵敏度分析和反问题的计算。 用来进行响应计算和载荷识别。 由于理论模型计算很难得到模态阻尼， 因而进行响应计算结果往往 不理想。利用模态试验结果进行响应计算则无此弊端。
因此 H (ω ) = Z(ω )
−1
O =Φ zr
Φ T O
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H ij (ω ) = ∑
r =1
N
mr (ω − ω 2 ) + j 2ξ rω rω
2 r
[
φ riφ rj
]
（10）
上式中， ω r2 =
cr kr ， ξr = 2 m mr rω r
λr = e µ ∆t ⇒ µ r = σ r + iω r =
r
1 ln(λ r ) ∆t
这里，σr 是阻尼因子，ωr 是 r 阶固有频率，阻尼比ξr 由下式给出：
ξr =
−σ r
ω r2 + σ r2
第 r 阶模态的振型{ψ}r 是矩阵[Φ]r 的系统特征向量{φ}r 的可观部分，表示如下： {ψ}r =[C]{φ}r 可见,只要求出[A][C]便可进行模态参数的识别。 下面是利用输出相应的相关函数和 Hankel 矩阵来求[A][C]。 相关函数 Rk 表示成下式： T Rk=E({yk+m}{ym}) 用[Rk]相关矩阵建立 p 行和 q 列的 Hankel 矩阵,(p≥q)如下:
（ 7）
等于仅在 j 坐标激振（其余坐标激振力为零）时， i得阻抗矩阵
Z(ω ) = (K − ω 2 M ) + jωC
利用实对称矩阵的加权正交性，有
（ 8）
O T Φ MΦ= mr O
O T Φ KΦ= kr O
T d Kφ Kφ K d KφKφK ) G yy ( jω ) = H ( jω )G xx (ω ) H ( jω ) = ∑ ( + jω − λ K K ∈sub (ω ) jω − λ K T T
(1) 阶功
式中 G xx (
jω ) 为 x(t)的功率谱阵（r×r 阶） ，r 为激励点数。 G yy ( jω ) 为响应的 m×m
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T
∑a Z
i i =0
n
i
=0
由方程得到复根λr ，可用下式求得系统的特征值μr：
λr = e µ ∆t ⇒ µ r = σ r + iω r =
r
1 ln(λ r ) ∆t
由此可算出各阶的频率和阻尼。 在所有响应点中挑出一些点， 综合这些点的频率阻尼得到一组总体 的频率和阻尼。根据各点和参考点的互相关函数，用最小二乘法可逐点识别出每阶模态的留数，由此得 到模态振型。 复指数法的精度一般不如 SSI 方法。其优点是可挑选部分响应点来计算模态的频率和阻尼。 对于只有响应没有输入的情况，即响应模态分析，用特征系统实现算法、随机子空间法和复指数法 都可进行模态分析， 特征系统实现算法需要先用随机减量法准备自由衰减函数。 建议用随机子空间法为 主，其余两种方法可用作校核，判断有无虚假模态和是否丢失重要模态。 EFDD 法 （ 增强型频域分解法） 增强型频域分解法 ） 的原理 EFDD 方法即为（Enhanced frequency domain decomposition） ，由峰值拾取法（ Peak picking technique）发展而来。是一种白噪声激励时在频域识别参数的一种方法。能识别密集模态，得到系 统的阻尼比。 设 x(t)是未知的不能测量的激励，y(t)是测量的响应数据。对欠阻尼的情况，有