第2课时求一元二次方程的近似根
一元二次方程求根方法
一元二次方程求根方法一元二次方程是高中数学中的重要内容，求解一元二次方程的根是我们学习的基础。
本文将介绍一元二次方程的概念、求解方法以及求根的具体步骤。
一、一元二次方程的概念一元二次方程是形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 分别为已知系数（且a ≠ 0），x 为未知数。
这个方程的解即为方程的根。
二、求解一元二次方程的方法求解一元二次方程的方法有多种，常用的有因式分解法、配方法和求根公式法。
1. 因式分解法当一元二次方程可以进行因式分解时，我们可以通过因式分解的方式求解方程的根。
具体步骤如下：Step 1：将方程写成 (px + q)(rx + s) = 0 的形式，其中 p、q、r、s 为常数。
Step 2：得到两个一次方程 px + q = 0 和 rx + s = 0。
Step 3：分别求解这两个一次方程，得到 x 的值。
2. 配方法当一元二次方程无法通过因式分解时，我们可以通过配方法求解方程的根。
具体步骤如下：Step 1：将方程中二次项的系数变为 1，即将方程写成 x^2 + bx + c = 0 的形式。
Step 2：在方程两边同时加上一个适当的常数 d，使得方程可以进行配方。
Step 3：根据配方公式 (x + d)^2 = x^2 + 2dx + d^2，将方程转化为一个完全平方的形式。
Step 4：利用完全平方公式将方程进行化简，并求解得到 x 的值。
3. 求根公式法一元二次方程的求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
具体步骤如下：Step 1：将方程写成标准形式 ax^2 + bx + c = 0。
Step 2：根据求根公式，将 a、b、c 的值代入公式中，计算得到 x 的值。
三、一元二次方程求根步骤示例以方程 2x^2 - 5x - 3 = 0 为例，演示一元二次方程求根的具体步骤。
Step 1：将方程写成标准形式，即 2x^2 - 5x - 3 = 0。
《认识一元二次方程》一元二次方程PPT(第2课时)
2. 关于x的方程(m+2)2x2+3m2x+m2-4=0有一根为0，则2m2-4m+3的值
为多少？
解：∵x=0是方程的解，
∴代入得m2-4=0.
∴m=±2.
经检验m=±2都符合题意.
∴2m2-4m+3=2×22-4×2+3=3.
或2m2-4m+3=2×（-2）2-4×（-2）+3=19.
∴代数式2m2-4m+3的值为3或19.
就是方程的一个解.
第四步：若在x的大致范围内取值，没有一个数能够使方程的左边
等于0, 进一步取值,找出最接近于0且小于0的数,这个数就是方程的
近似取值.
目标测试
1.已知关于x的一元二次方程（a-1）x2=x+a2-1=0的一根是
x=0，则a的值为（ B ）
A.1
B.-1
C.1或-1
D.0
目标测试
-0.06
-0.02
0.03
0.07
A 3＜x ＜3.23
B 3.23＜x ＜3.24
C 3.24＜x ＜3.25
D 3.25＜x ＜3.26
强化训练
2、一名跳水运动员进行10米跳台跳水训练,在正常情况下,运动员必须在距水面5
米以前完成规定的翻腾动作,并且调整好入水姿势,否则就容易出现失误.假设运动
所以x=0不是方程的解.
一元二次方程的解：能使一元二次方程两边相等的未知数
的值叫一元二次方程的解或根.
知识讲解
例 已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，求m.
分析：一根为2即x＝2，只需把x＝2代入原方程.
解：把x=2代入一元二次方程得：
九下数学课件 利用函数图像求一元二次方程的根或根的近似值(课件)
”
次函数图像的顶点落在点P处，写出平移后二次函数图像对应的函数表达式，并判断点P是否
在函数y ＝ x＋ 的图像上，请说明理由．
能力提升
(1) 图略
(2)图略
方程x2＋x＝1的近似根为x1≈－1.6，x2≈0.6
由图像，可知当x＜－1.5或x＞1时，一次函数的值小于二次函数的值
(3)由y＝x2＋x＝
2x＋2
点P在函数y＝ x＋ 的图像上
×(－1)＋ ＝1.∴
理由：在y＝ x＋ 中，令x＝－1，得y＝
点P(－1，1)在函数y＝ x＋ 的图像上．
完成备作业。
课堂小结
1.利用图像法求一元二次方程的根的方法.
2.怎样利用二次函数的图像求一元二次不
等式的解集？
“ THANKS
初中数学苏科版九年级下册
中物理
第5章 二次函数
5.4.2利用函数图像求一元二次
方程的根或根的近似值
1.会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。
2.会利用表格求一元二次方程的近似解。
3. 二次函数的图像与不等式问题。
函数y＝x2－2x－3的图像如图所示，你能看出
方程x2－2x－3＝0的解吗？
函数y＝x2－2x－1的图像如图所示，你能看出方
观察图象会发现：
(1)当－1＜x＜5时，函数值y＞0；
(2)当x＝－1或x＝5时，函数值y＝0；
(3)当x＜－1或x＞5时，函数值y＜0.
【归纳总结】
根据二次函数值的取值范围确定自变量的取值
范围，一般要画出二次函数的图象，观察图象解答，
利用函数的图象求一元二次方程近似根
21.3 二次函数与一元二次方程（第二课时）实验中学-余志高一、教材分析：《利用二次函数的图像解一元二次方程》选自义务教育课程教科书《数学》（沪科版）九年级上册第21章第3节，这节课是在学生学习了二次函数与一元二次方程的关系，知道二次函数的图像与x 轴交点个数的不同对应了一元二次方程有两个不等实根、有两个相等实根、没有实根的三种情况下继续经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验及了解一元二次不等式的解集.．这也突出了课标的要求：注重数形结合。
二、教学目标【知识与技能】掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解以及一元二次不等式的解集.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得用图象法求方程近似根的体验．【过程与方法】经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系.利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路，体验数形结合思想．【情感、态度与价值观】进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神.重点难点【重点】用函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集.【难点】利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根【教学方法】学生合作交流学习法三、教学过程Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]上节课我们学习了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系，懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标，就是y＝0时的一元二次方程的根，于是，我们在不解方程的情况下，只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可．但是在图象上我们很难准确地求出方程的解，所以要进行估算．本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根．Ⅱ．讲授新课【例】用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到0.1).解:画出函数y=x2+2x-1的图象,如图.由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间.先求位于-3和-2之间的根.由图象可估计这个根是-2.5或-2.4,利用计算器进行探索,见下观察上表可以发现,当x分别取-2.5和-2.4时,对应的y由正变负,可见在-2.5与-2.4之间肯定有一个x使y=0,即有方程x2+2x-1=0的一个根.题目只要求精确到0.1,这时取x=-2.5或x=-2.4作为根都符合要求.但当x=-2.4时,y=-0.04比y=0.25(x=-2.5)更接近0,故选x=-2.4.同理,可求出方程x2+2x-1=0在0和1之间精确到0.1的另一个根.方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x2和y=-2x+1的图象,如图,它们的交点A、B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根.函数图象求一元二次不等式的解集.：画出函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象，不等式ax2+bx+c>0的解集为图象在x轴上方的点所对应的x值所组成的集合，不等式ax2+bx+c<0的解集为图象在x轴下方的点所对应的x值所组成的集合.如下表：ax2+bx+c>0(a>0)的解集是x<x1或x>x2ax2+bx+c<0(a>0)的解集是x1<x<x2ax2+bx+c>0(a<0)的解集是x1<x<x2ax2+bx+c<0(a<0)的解集是x<x1或x>x2Ⅲ．课堂练习P34随堂练习Ⅳ．课时小结本节课学习的内容：1．经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系；2．经历了用图象法求一元二次方程的近似根的过程，获得了用图象法求方程近似根的体验．3．了解一元二次方程不等式的解集可由二次函数图象直接得出结论。
+2.5+二次函数与一元二次方程++课件++2023-2024学年+北师大版九年级数学下册+
与同伴交流并回答问题.
y
4 3 2 1
–3 –2 –1 O –1
1x
y
5 4 3 2 1
–1 O –1
123 x
y
6 5 4 3 2 1
–1 O –1
123 x
（1）
（2）
（3）
二次函数 y x2 2 x的
图象与x轴有几个交点？
y
4
3
2
两个交点
1
–3 –2 –1 O –1
1x
一元二次方程 x2 2x 0
h 4.9t2 19.6t 来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间.
（1）画出函数 h 4.9t2 19.6t 的图象；
h/m
20
（2）当t =1，t =2时，足球距地面的高度
18 16
14
分别是多少？
12
10
当t=1时， h 4.9 19.6=14.7m
8 6
4
当t=2时， h 4.922 19.62=19.6m 2
5
x
归纳总结
利用二次函数求一元二次方程的近似根的一般方法：
方法一 直接作出二次函数y=ax2+bx+c的图象；图象与
x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0 的根.
方法二 先将一元二次方程变形为 ax2+bx=－c，再在同
一直角坐标系中画出抛物线y=ax2+bx 和直线y=－c；两图 象的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0 的根.
解：由题意得 －x2+3x+4=2x－1，即x2 － x － 5=0，
∵△=b2－4ac=1+20=21＞0，
《二次函数与一元二次方程的联系》教案 (公开课)2022年湘教版数学
1．4二次函数与一元二次方程的联系1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系，会用二次函数图象求一元二次方程的近似解；(重点)2．通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用．(难点)一、情境导入小唐画y＝x2－6x＋c的图象时，发现其顶点在x轴上，请你帮小唐确定字母c的值是多少？二、合作探究探究点一：二次函数与一元二次方程的联系【类型一】二次函数图象与x 轴交点情况的判断以下函数的图象与x轴只有一个交点的是()A．y＝x2＋2x－3 B．y＝x2＋2x＋3C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2－2x＋1解析：选项A中b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B中b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C中b2－4ac ＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D中b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D 的函数图象与x轴只有一个交点．应选D.变式训练：见《学练优》本课时练习“课后稳固提升〞第1题【类型二】利用函数图象与x轴交点情况确定字母的取值范围(2021·武汉模拟)二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，那么k的取值范围是()A．k<3 B．k<3且k≠0C．k≤3 D．k≤3且k≠0解析：∵二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，∴方程kx2－6x＋3＝0(k≠0)有实数根，即Δ＝36－12k≥0，k≤3.由于是二次函数，故k≠0，那么k的取值范围是k≤3且k≠D.方法总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c，当b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点；当b2－4ac＝0时，图象与x轴有一个交点；当b2－4ac＜0时，图象与x轴没有交点．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第4题【类型三】利用抛物线与x轴交点坐标确定一元二次方程的解(2021·苏州中考)假设二次函数y ＝x2＋bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，那么关于x的方程x2＋bx＝5的解为()A.⎩⎪⎨⎪⎧x1＝0，x2＝4B.⎩⎪⎨⎪⎧x1＝1，x2＝5C.⎩⎪⎨⎪⎧x1＝1，x2＝－5D.⎩⎪⎨⎪⎧x1＝－1，x2＝5解析：∵对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，∴－b2＝2，解得bx2－4x＝5，解得x1＝－1，x2D.方法总结：此题容易出错的地方是不知道二次函数的图象与一元二次方程的解的关系导致无法求解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第1题探究点二：用二次函数的图象求一元二次方程的近似解利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的实数根(精确到0.1)．解析：对于y＝－x2＋2x－3，当函数值为－8时，对应点的横坐标即为一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的实数根，故可通过作出函数图象来求方程的实数根．解：在平面直角坐标系内作出函数y＝－x2＋2x－3的图象，如图．由图象可知方程－x2＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x2＋2x－3与直线y＝－8的交点的横坐标，左边的交点横坐标在－1与－2之间，另一个交点的横坐标在3与4之间．(1)先求在－2和－1之间的根，利用计算器进行探索：xy因此x≈－1.4是方程的一个实数根．(2)另一个根可以类似地求出：xyx≈3.4是方程的另一个实数根．方法总结：用二次函数的图象求一元二次方程满足精确度的实数根的方法：(1)作出函数的图象，并由图象确定方程解的个数；(2)由图象与y＝h的交点的位置确定交点横坐标的取值范围；(3)利用计算器求方程的实数根．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第8题探究点三：二次函数与一元二次方程在运动轨迹中的应用某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，球出手时距地面209米，与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3米．(1)建立如下列图的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，假设对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，，那么他能否获得成功？解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮框的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的关键就是判断代表篮框的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x＝1时函数y的值与最大摸高3.1米的大小．解：(1)由条件可得到出手点、最高点和篮框的坐标分别为A(0，209)，B(4，4)，C(7，3)，其中B是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y＝a(x－h)2＋k，将点A、B的坐标代入，可得y＝－19(x－4)2＋4.将点C的坐标代入上式，得左边＝3，右边＝－19(7－4)2＋4＝3，左边＝右边，即点C在抛物线上．所以此球一定能投中；(2)将x＝1代入函数关系式，得y＝3.因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后稳固提升〞第7题三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，通过观察二次函数与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，体会知识间的相互转化和相互联系. 第2课伟大的历史转折1教学分析【教学目标】知识与能力知道中共十一届三中全会召开时间；了解它的背景，理解其重大意义；拨乱反正加强了民主与法制建设，推动了社会主义现代化建设；学会在开展的进程中认识历史人物、历史事件的地位和作用过程与方法学会运用原因与结果、联系与综合等概念，理解中共十一届三中全会的背景与历史意义情感态度与价值观认同中国共产党完全有能力领导中国人民取得社会主义建设事业的成功识改革开放是我国的强国之路【重点难点】教学重点：中共十一届三中全会教学难点：中共十一届三中全会在政治上、思想上、组织上的转变以及历史意义2教学过程一、导入新课“文化大革命〞时期，我国教育遭到了很大破坏，高考中断了十年。
苏科版九年级下册数学第5章 利用函数图像求一元二次方程的根或根的近似值
(3)该函数图像所经过的象限随m值的变化而变化，直接 写出函数图像所经过的象限及对应的m的取值范围．
解：①当m＞0时，图像经过第一、二、四象限； ②当－3≤m＜0(m≠－2)时，图像经过第一、三、 四象限；③当m＝－2时，图像经过第三、四象 限；④当m＜－3时，图像经过第一、二、三、 四象限．
13 【中考·天门】在平面直角坐标系中，已知抛物线C： y＝ax2＋2x－1(a≠0)和直线l：y＝kx＋b，点A(－3， －3)、B(1，－1)均在直线l上． (1)若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；
解：将点 A(－3，－3)，B(1，－1)的坐标代入 y＝kx ＋b，得－k＋3kb＋＝b－＝1－，3，解得kb＝＝12－，32.
(3)若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请 直接写出a的取值范围．
解：a 的取值范围为49≤a＜98或 a≤－2.
14 【2020·南京二模】已知二次函数y＝m(x－1)(x－m－3)(m 为常数，且m≠0)． (1)求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点；
证明：当y＝0时，m(x－1)(x－m－3)＝0，解得x1 ＝1，x2＝m＋3，当m＋3＝1，即m＝－2时，方 程有两个相等的实数根；当m＋3≠1，即m≠－2时， 方程有两个不相等的实数根，∴不论m为何值， 该函数的图像与x轴总有公共点．
－
x…
0 12 3…
1
通过上述信息，解决以－下问－题： (1)求原二y次乙函数…y＝ax22＋bx＋1 c(a2≠0)的7表1达4式…；
解：由甲同学提供的数据可知 c＝3，选 x＝－1，y＝6； x＝1，y＝2，有62＝＝aa－＋bb＋＋33，，∴ab＝＝1－，2.∴a＝1，c＝3 是正确的． 由乙同学提供的数据，可知 c＝－1，选 x＝－1，y＝－2； x＝1，y＝2，有－2＝2＝a＋a－b－b－1. 1，
新北师大版九年级数学上册《一元二次方程的解》精品课件.ppt
5．若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋3mx＋n＝0的解，则 6m＋2n＝_－__2_． 6．关于x的一元二次方程(a－2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根为 0，则a＝_－__2_．
7．小颖在做作业时，一不小心，一个方程3x2－■x－5＝0的 一次项系数被墨水盖住了，但从题目的条件中，她知道方程的 解是x＝5，请你帮助她求出被覆盖的数是多少．
x
3.23
3.24 3.25 3.26
ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09
16．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，满足 a＋b＋c＝0，则方程必有一个实根为___x_＝．1
17．(2014·白银)一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2－1＝0 的一个根为0，则a＝__1__．
知识点一：一元二次方程的解
1．下列各数中是x2－3x＋2＝0的解的是( B )
A．－1
B．1
C．－2
D．0
2．已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m的值是
( C) A．－1 B．0 C．1 D．2
3．已知关于x的一元二次方程2x2－mx－6＝0的一个根是2，则m
＝__1__．
4．写出一个根为x＝－1的一元二次方程，它可以是 x2－1＝0(答案不唯一) ．
13．观察下表：
x
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
5x2－24x＋28 28 17.25 9 3.25 0 －0.75 1 5.25 12
从表中你能得出方程5x2－24x＋2方程根的取值范围．
解：一个解为x＝2，另一个解的取值范围为2.5<x<3
7…
x2－70x＋325 189 124 61 0 －59 －116 …
北师大版九年级数学上第二章一元二次方程2
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九年级 数学 上册 北师版
典例导学 一名跳水运动员进行 10 m 跳台跳水训练，运动员必须在距水面 5 m
以上完成规定动作，否则容易出现失误，假设运动员起跳后的运动时间 t(s)和距离水面高度 h(m)满足：h＝10＋3t－5t2，那么他最多有多长时 间完成规定动作？(精确到 0.1 s) 【思路分析】先把函数关系转化成一元二次方程，并把方程化成一元二 次方程的一般形式．结合实际问题在 t 的取值范围内列表，采用“夹逼” 的方法求 t 的近似值．
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九年级 数学 上册 北师版
17．如图，现有篱笆长 11 m，一面靠墙，要建一个矩形养鸡场．
(1)设宽为 xm，则长为((1111－－22xx)) m，面积为((－－22xx22＋＋1111xx) )m2；
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九年级 数学 上册 北师版
(2)填写下列表格：
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九年级 数学 上册 北师版
14．一元二次方程(a＋1)x2＋ax＋1－a2＝0 的一个根为 0，求 a 的值． a＋1≠0，
解：由题意，得1－a2＝0， ∴a＝1.
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九年级 数学 上册 北师版
15．关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根为 1，且 a，b 满足等式 b＝ a－3＋ 3－a＋3，求 c 的值．
＝2 的根是
（D ）
x
九年级数学下册知识点----利用二次函数求方程的近似根
根（精确到0.1）.
解：画出x2+x-1=0的图象，
如图所示，由图象知，方程
有两个根，一个在-2和-1之
间，另一个在0到1之间.通过
计算器估算，可得到抛物线
与x轴交点的横坐标大约为
-1.6和0.6.即一元二次方程的
实数根为x1≈-1.6，x2≈0.6.
4.已知二次函数 y x2 6x 8 的图象，利用图象回
B. 3.23 < x < 3.24
C. 3.24 <x< 3.25 D. 3.25 <x< 3.26
2.小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根，作出如图所
示的图象，并求得一个近似根x=-3.4，则方程的另一个
近似根（精确到0.1）为（ D ）
A．4.4
B．3.4
C．2.4
D．1.4
3.用图象法求一元二次方程 x2 x 1 0 的近似
九年级数学下册知识点 二次函数
利用二次函数求方程的近似根
学习目标
1.会用二次函数图象求一元二次方程的近似解及一元 二次不等式的解集； （重点）
2.通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形 结合思想的应用.（难点）
回顾与思考
问题：上节课我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)之间的关系，那么如何利 用二次函数图象直接求出一元二次方程的根呢?
问题1 函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么 方程ax2+bx+c=0的根是 _x_1_=_-1_， x2_=_3___; 不等式ax2+bx+c>0的解集 是__x_<_-1_或__x_>__3_; 不等式ax2+bx+c<0的解集 是_-_1_<_x_<_3___. y