微积分1期中练习题
清华大学微积分期中试题
3 2
出 y = f ( x) 的图像示意图。
三．证明题（请写出详细的证明过程！ ） 1． （8 分）证明：当 x > 0 时， ( x − 1) ln x ≥ ( x − 1) 。
2 2
2． （7 分）设 f ( x) ∈ C (−∞,+∞) 为下凸函数。
1.
⎛ 1+ x ⎞ lim⎜ ⎟ = x →∞ 2 + x ⎝ ⎠
lim
x →0
x
。
2.
sin 2 x − x = arcsin x + x
ln(1 + x ) = ln(1 + x 3 )
。
3.
x → +∞
lim
。
4.
lim
x→4
1 + 2x − 3 = x −2
。
5.
当 x → 0 时， f ( x) =
清华大学微积分期中试题大一微积分期中考试微积分试题三年级上册期中试题小学一年级期中试题语文期中试题数学期中试题一年级数学期中试题高二语文期中试题九年级历史期中试题
清华大学本科生考试试题专用纸
考试课程
系名
一元微积分
班级
(A)
姓名
2010 年 11 月 12 日
学号
一．填空题（每空 3 分，共 15 题） （请将答案直接填写在横线上！ ）
(1)
（1）证明： ∀x0 , x ∈ (−∞,+∞)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ， f ( x ) ≥ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) ； （2）证明：若存在常数 M > 0 使得 ∀x ∈ (−∞,+∞) ，均有 f ( x ) ≤ M ，则 f ( x) 为常数函数。
浙江大学 微积分1期中试卷-08(解答)
解: 设 F ( x) e 2 x f ( x) , F ( x) 在 0, 1 上连续，可导，且
F ( x) e 2 x 2 f ( x) f ( x) , F (0) F (1) e
由罗尔定理，至少存在一点 (0, 1) ，使 F ( ) 0 ，即 2 f ( ) f ( ) 0 .
2
(7) 求
ln(1 x) dx . (2 x) 2 ln(1 x) 1 1 dx . ) 2 x (2 x)(1 x) 2x
原式 ln(1 x)d (
ln(1 x) 1 1 1 ln(1 x) 1 1 x dx ln C 2 x 3 2 x 1 x 2 x 3 2 x
(6) 求 x arctan x d x .
2
原式
x3 x 1 1 x3 x3 arctan x x dx arctan x dx 2 3 3 1 x2 3 1 x 3
x3 1 1 arctan x x 2 ln(1 x 2 ) c 6 6 3
1 y
x
y xx
2 3/ 2 t 1
1 (1)
2
2 3/ 2
1 1 ， 则 曲率半径 R t 1 k 2
2
t 1
(3) 设 y f ( x) 在 , 上具有二阶导数, 且 lim f ( x) 1 , a 为任意实数, 求 lim f ( x a ) f ( x) .
三、（每小题 6 分，共 30 分） x 1 , x 0 (1) 设 f ( x ) 1 e x 在 x 0 处可导，求 a, b. 并求 f (0) . x a b e , x 0 解: f ( x) 在 x 0 处可导因而连续， f (0 ) 0 f (0) a b , x 0 1 x a be x 0 be x 1 e f (0) lim 1 , f ( 0 ) lim lim b, a 1, b 1 x0 x0 x0 1 x x x ln 1 t 2 dy d 2 y (2) 求由参数方程 确定的函数 y y ( x) 当 t 1 时的导数 , 2 及曲率半径 R. d x dx y arctan t 1 1 2 2 1 1 t2 dy dy d2y d y t2 1 t 解: , 3 . 1 , 2. t t dx t dx t 1 dx 2 t 1 t dx 2 1 t2 1 t2 曲率 k t 1
微积分期中
微积分(上)期中模拟试卷(一)一、填空题 (每小题3分，共15分)1. 设⎩⎨⎧≥-<=0, 20, )(2x x x x x f ，则=-)]1([f f 。
2. =∞→xx x 21sin3lim 。
3. 函数23)3ln()(2+++=x x x x x f 的可去间断点为 。
4. 设xxx x f --+=11)(，则当补充定义=)0(f 时, )(x f 在0=x 处连续。
5. 设)(x f 在a x =处可导, 则=--→ha f h a f h )()2(lim 0___________ .二、选择题(每小题3分，共15分)1. 函数)(2x xf y =的图形关于（ ）对称。
(A) x 轴 (B) y 轴 (C) 原点 (D) 直线x y =2. 设⎩⎨⎧>≤=0,0,)(x x x x x f ，则)(x f 在点0=x 处（ ）。
(A) 无定义(B) 无极限(C) 不连续(D) 连续3. 设)(lim 0x f x x →存在, 则)(x f 在点0x 处（ ）。
(A) 必有定义(B) 必有定义, 但与极限值无关 (C) 可以没有定义(D) 函数值必须等于极限值.4. 若)(x f 在0x x =处可导，则)(x f 在0x x =处必（ ）. (A) 可导(B) 不可导(C) 连续(D) 不连续5. 0→x 时与x 等价的无穷小是（ ）.(A) x x +3 (B) 1sin 1-+x (C) )1e sin(-x (D) x cos 1-三、计算题(每小题6分，共48分)1. 求极限 )1ln()cos 1(1cossin 3lim2x x xx x x +++→ .2. 求极限 1e tan 1tan 1lim---+→xx xx .3. 求极限 xx x π)(coslim 0+→.4. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0 , 0 ,cos ln )(2x a x x xx f 在0=x 处连续，则=a .5. 设⎩⎨⎧<+≥+=0arctan 01 )(bx , x a x , x x f 在0=x 处可导，求常数b a ,。
微积分I(第一层次)期中试题参考答案
……………………
1 n 1 n 1
1 1 1 把上述不等式相加，得 1 2 3 n ln n 1 2 1 而 an 1 1 2 3 1 n 1
ln n 1 n 0 ，所以 {an } 下方有界. 故 lim an 存在.
n
1 1 e
x x 1
，试确定 f ( x ) 的间断点及其类型.
解： x 0, x 1 为间断点. 因为 f (1 ) 0, f (1 ) 1 ，所以 1 为跳跃间断点.
又因为 f (0 ) , f (0 ) ，所以 0 为无穷型间断点.
1 1 八、 （8 分） （1）对任意正整数 n ，证明： n1 1 ln(1 n ) n ; 1 1 （2）令 an 1 1 2 3 n ln n ，证明： lim an 存在. n
当 0 | x 2 | ，有
n 4
2. 求极限： lim n 4 .
n
解： 4
n
lim 4 =4. 所以由夹逼定理， 得原式= 4 . n 4 4 n 4 n 2 ( n 5). 而 lim 4 n 2 =4 ，
n n 2/ x x 0
3. 求极限： lim(1 2 x) 解：原式= exp(lim
f (0) lim
a (sin x x cos x) sin x a lim ( cos x ) 2a. x 0 x 0 x x
由题意，当 a 2 时， f (0) f (0), 所以 f (0) 4. 七、 （8 分）设 f ( x )
1
x
1
I lim
厦门大学《微积分 I-1》课程期中试卷参考答案
一、计算下列极限：（每小题6分，共24分）1. 3113lim ()11x x x →--++；解：23311132lim ()lim 111x x x x x x x →-→----=+++212lim1x x x x →--=-+ 21211(1)(1)--==---+- 或者23311132lim ()lim 111x x x x x x x →-→----=+++ 2121lim 3x x x →--=22(1)113(1)⋅--==-⋅-2. sin()12lim()x x x xππ→-； 解：12lnlimsin()sin 12lim()x x x x xx x exππππ→-→-=112(1)2(1)ln[1]limlimsin (1)(1)x x x x xx x x eeππππ→→--+⋅--== 2e =或者(1)sin()2(1)sin (1)1122(1)lim()lim[1]x x x x x x x x x x x x ππππ-⋅⋅--→→--=+ 2e = 3. tan 241sin 1x xx x x x→+-+；解：tan tan 24240(1)(1sin 1)1sin 1x xx x x x x e e x x x x x x-→→-+++=+-+ 243000tan lim lim(1sin 1limxx x x x xe x x x x →→→-=⋅+++⋅220sec 12lim 3x x x →-=⋅ 220tan 22lim33x x x →=⋅=厦门大学《微积分I-1》课程期中试卷参考答案＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业试卷类型：（理工类A 卷） 考试时间：2019.11.164.求数列的极限n →∞。
解：注意到33≤≤1n =，由夹逼准则，可得3n →∞=。
二、求下列函数的导数：（本题16分,第一小题9分，第二小题7分） 1.求函数1ln(arctan 1xy x x-=++++的一阶导数； 解：22212(11(1)1()1y x x x-'=+⋅++⋅-+++211x =-+-+211x =-+ 2.求函数y =2x =处的微分2d |x y =。
厦门大学《微积分 I-1》课程期中试卷
1， 2
1
g(1)
f (g(1)) (g(1))2
f (0) (g(1))2
3 4
3。
f (g(1))
f (0)
28
九、（本题共 10 分，第一小题 4 分，第二小题 6 分）
设函数 f (x) 在[0,3] 上连续，在 (0,3) 内可导，且有 f (0)=0 ， f (1) f (2)=2 ， f (3)=4 。证明:
知 f (0)=1， f (0)=2 ， f (0)=3，求 g(x) 在 x 1处的一阶导数和二阶导数。
解：注意到 f (g(x)) x ,两边对 x 求导，得
f (g(x)) g(x) 1 ○1
上式两边再对 x 求导，可得
4
f (g(x)) (g(x))2 f (g(x)) g(x) 0
x t sin t
五、（本题
10
分）计算由摆线的参数方程
y
1
cos t
(0 t 2 ) 所确定的函数 y y(x) 的
一阶导数和二阶导数。
解：
dy dy dt = sin t dx dx 1 cos t
dt
d2 y d ( sin t ) dt cos t (1 cos t) sin t sin t 1 1
x0
x0
lim[b(1 sin x) a 2] lim (eax 1) 0 ，得 a b 2 0 。
x0
x0
因为 f (x) 在 x 0 上可导,所以 lim f (x) f (0) lim f (x) f (0) ，即有
x 0
2008-2009-1-微积分B1-期中考试卷及参考答案
2008-2009-1-《微积分》（上）期中考试答案（时间120分钟）一、选择题（每题4分，共20分）1．以下条件中（ ）不是函数()f x 在0x 处连续的充分条件.(A) ()()0000lim lim x x x x f x f x →+→-= (B) ()()00lim x x f x f x →= (C) ()'0f x 存在 (D) ()f x 在0x 可微2．以下条件中（ ）是函数()f x 在0x 处有导数的必要且充分条件.(A) ()f x 在0x 处连续 (B) ()f x 在0x 处可微分(C) ()()000lim x f x x f x x x ∆→+∆--∆∆存在 (D) ()0'lim x x f x →存在 3．1x =是函数()1sin x f x xπ-=的( )间断点. (A) 可去 (B) 跳跃 (C) 无穷 (D) 振荡4．设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续并在开区间(),a b 内可导.如果在(),a b 内()'0f x >,那么必有( ).(A) 在[],a b 上()0f x > (B) 在[],a b 上()f x 单调增加(C) 在[],a b 上()f x 单调减少 (D) 在[],a b 上()f x 是凸的5．设函数()()232sin f x x x x =-+, 则()'0f x =在()0,π内根的个数为( ).(A) 0个 (B) 至多1个 (C) 2个 (D) 至少3个二、求下列极限(每小题5分，共20分)1. ()()00ln 1lim0sin b x ax a ax →++>2．()sin lim 0cos x ax b xc cxd x →∞+≠+3．()lim 10a x x e x a →∞⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭4．10sin lim x x x x →⎛⎫ ⎪⎝⎭三、计算(每小题6分，共24分)1．()ln tan cos ln tan 2x y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,求'y .2．设()F x 是可导的单调函数，满足()()'0,00F x F ≠=，方程()()()F xy F x F y =+确定了隐函数()y y x =，求x dy dx =.3．()y y x =是参数方程arctan x y t ⎧⎪=⎨=⎪⎩确定的函数，求22d y dx .4．设函数()()()ln 00,0x x e x f x a a x ⎧+>⎪=>⎨≤⎪⎩ 问a 取何值时()'0f 存在?四、证明题（8分）当0x >时有x e e x ≥，且仅当x e =时成立等式。
《微积分》I期中考试练习题
《微积分》I 期中考试练习题练习 一1. 求下列函数的导(函)数dxdy : (1) 22)1(-=x y ; (2) x y sin ln =;(3) x y 2s i n 3=． 2. 求由方程222a y x =+所确定的隐函数)(x y y =的导数y '．3. 求由方程02=-y e xy 所确定的隐函数y 的导数．4. 求由方程x y y 223=+所确定的隐函数y 的导数．5. 一物体作自由落体运动，运动方程为22112)(gt t t S +=，求： (1) 速度V (t ) ; (2) 加速度a ．6. 求函数3x y =在点1=x 处的微分．7. 已知函数x x y cos sin +=，求dy ．8. 设x y sin ln =，求dy ．9. 计算02.1的近似值．10. 求函数x xe y =的三阶导数练习 二11. 设2tan x y =，求dx dy ． 12. 求函数x x y =的导数13. 设函数x e x x y x cos )2)(1(2+-=，求y '14. 求函数x x y ln =的n 阶导数.15. 计算0360cos 0'的近似值．16. 半径10厘米的金属盘加热后，半径伸长了0.05厘米，问面积增加了多少？练习 三 —— 自我测试题二一、单项选择题．1．设0)0(=f ，且x x f x )(lim 0→存在，则=→x x f x )(lim 0（ ）．Ａ．)0(f Ｂ．)0(f 'Ｃ．)(x f ' Ｄ．０2．设c bx ax x f ++=2)(（a , b , c 是常数，0≠a ），则下列导数错误的是（）． A ．b ax x f +='2)( B ．b f =')0(C ．b a f +=')21(D ．b a bf 2)2(=-'3．函数)(x f y =在点0x 处可导是它在该点处连续的（ ）．A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．什么条件都不是4．函数)(x f y =在点0x 处可导是它在该点处可微的（ ）．A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．什么条件都不是5．设99x y =，则=)100(y （ ）．A ．0B ．99！C ．100！D ．1二、计算题．1．求下列函数导数．（1）10101010+-=x x y ； （2）x x y =；（3）)1)(sin 1(ln -+=x x y ； （4）11arctan -+=x x y ；（5）)cos(y x e y +=； （6）0sin ,)(sin cos >=x x y x ．2．求下列函数的二阶导数．（1）x x y sin = ； （2）x x y arctan )1(2+=．3．求下列函数的微分．（1）)1sin(+=x y ； （2）x e y x cos =；（3）21x xy -=； （4）ln()y =．4．求曲线x e y =在点（0，1）处的切线方程和法线方程．。
微积分(上)期中试卷与参考答案
微积分（上）期中测验专业班级 学号 姓名 得分 一、填空：（每格3分，共33分）1. 因为0>∀ε，取==)(εδδ ，使得对于一切满足δ<-0x x 的x ，都有ε<-02cos 2cos x x 成立，故0 2cos 2cos lim 0x x x x =→。
2. 设0→x 时，x x e e sin tan -与n x 为同阶无穷小，则=n 。
3. 211)(+-+=x ex f 在区间______________上是上凹的。
4. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+>-+=0 , 0,1)1()(2x bxa x x x x f 在),(∞+-∞内连续可导，则⎪⎩⎪⎨⎧==。
，____________b a 5. 24)(x e x f x --=在)2,0(内的零点个数为________。
6. 13)(2-++=x x x x f 的斜渐近线为 。
7. 若1)1(-='f ,则=--+→kk f k f k )1()21(lim 0。
8. 若1])sh(4[lim 22=---∞→b xa x x ，则=a ，和=b 。
9. 设)()2)(1()(n x x x x x f +++= , 则=)0()(n f______________。
二、计算与证明：（共78分）1. )1ln()cos 1(2lim22x x xx e x x ---→ （8分）2．xx x x e cot arc 1lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→ （8分）3．设()e xxe f xy π++=)(arcsin cot 13, 求y '及dy （8分）4．设⎪⎩⎪⎨⎧-=+=ty tx arctan 1ln 2π, 求22,dx y d dx dy 以及在1=t 处的曲率半径 （8分） 5. 求由方程)ln()(2x y x y y x --=-所确定的函数)(x y y =的y '以及在)2,1(处的切线与法线方程 （8分）。
微积分上册期中考试样题
哈尔滨理工大学第一学期期中考试试题 考试科目高等数学（经济类Ⅰ）考试时间：100分钟 试卷总分100分一、填空题（将正确的答案填在横线上）（每小题3分，总计15分） 1．设函数2,1()1,1x f x x x ≤=+>⎪⎩，则[()]f f x = 。
2、极限 sin lim x x x →∞ 的值为 . 3、极限 3lim()1x x x x +→∞+ 的值为 . 4、设()f x 满足()()()0f x f x x α=++，且()0lim 0x x x α→=， 那么()0f '= . 5、设211y x =-，则y '= .二、单项选择题（将正确的选项填在横线上）（每小题3分，总计15分）1、设()f x 为奇函数，()()11x x a F x f x a +=-必定为 .(A)奇函数； (B)偶函数； (C)奇偶性与a 有关； (D)非奇非偶函数.2、设13x y =，则当0x →时 ．(A) y 为无穷小量； (B) y 为无穷大量；(C) y 不为无穷大量，但为无界变量；(D) y 存在极限，但极限不为0．3、设 ()sin ln 1()1cos x x f x x⋅+=- ，则 0=x 是 )(x f 的 . （A ）可去间断点 ； (B) 跳跃间断点； (C) 第二类间断点； (D) 连续点.4、当0x →时，下列变量 与 x 为等价无穷小量。
（A； (B) sin x x ；(D) 1sinx x . 5、下列各式中()y f x =在给定点处的导数都存在，则 不正确。
（A ）()()()00lim 0x f x f f x→-'=； (B) ()()()02lim h f a h f a f a h→+-'=； (C) ()()()0000lim x f x f x x f x x∆→--∆'=∆； (D) ()()()0000lim 2x f x x f x x f x x ∆→+∆--∆'=∆. 三、解答下列各题（每小题9分，总计63分）1、计算极限8x →2、计算极限()()2013sin coslim 1cos ln 1x x x x x x →+++.3、计算极限2lim 2xx x x →∞+⎛⎫ ⎪-⎝⎭.4、设 21cos ,02(),0x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪≤⎩， 讨论()f x 在点0x =处的连续性和可导性.5、设函数()y y x =由函数1xy y xe =+所确定，求()0y '.6、设sin y x =计算 y '.7、设2156y x x =++，求()100y .四、证明题（7分）证明方程sin x a x b =+()0,0a b >>至少有一个不超过a b +的正根。
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微积分1练习题
班级 执笔者姓名 和学号
所代表的姓名 与学号
一、 填空题(每题10分)
1,设()x f 是定义在R 上的奇函数,其图形关于直线2=x 对称,则
此函数的一个周期是 .
2,设(),1lim 1n n n x n x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+∞→则()=x f . 3,()=+→x x x x 21ln 1sin lim 20 .
4,当0≠x 时，()x x f x x 43-=.若要使()x f 在实轴上连续,则要()=0f .
5,0→x 时,()221ln ,tan ,cos 1,x x x x x +--中 是其他三个的高阶无穷小.
6,设()1lim 212+++=-∞→n n n x b ax x x f 为连续函数,则a+b= .
7,甲船以每小时6公里的速度向东行驶,乙船以每小时8公里的速度向南行驶.在中午12点正,乙船位于甲船之北16公里处.则当天下午1点正时两船相离的速度是 . 8,设()()n
x x f 12-=,则()()==1x n x f . 二、证明题(每题10分共20分)
9,设()x f 在[0,1]上连续,且()()10f f =.求证:存在[]1,0∈a ,使得
()⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=41a f a f . 10,设()x f 在[a,b]上连续,且()()b f a f =.求证:至少存在一个[][]b a ,,⊂βα,且2
a b -=-αβ,使得()()βαf f =.。