高等数学(上)练习一

高等数学（上）练习一
一 填空：（每空2分，共20分） 1 函数241
x y −=的定义域是： ； 2 函数1
1−=x y 的铅直渐近线为： ； 3 若数列有界，则该数列 }{n x ；
（填“必收敛”或“不一定收敛”）
4设函数在点处可导，当自变量由增加到()y f x =0x x 0x 0x x +Δ 时，记为y Δ()f x 的增量，d 为y ()f x 的微分，0d lim x y y x
Δ→Δ−=Δ ； 5 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.1,2
1,1,x x x y 则是该函数的 1=x 间断点； （填“第一类”或“第二类”）
6 当 =a 时，与是等价无穷小；
)0(cos 1→−x x )0(2→x ax 7由方程所确定的隐函数在03275=−−+x x y y 0=x 处的导数0
=x dx dy = ； 8 dt t dx d x ∫+0
21= ； 9 无穷积分∫
∞++021x dx = ； 10 =++∫−5
524231
2sin x x xdx x . 二 计算：（每题5分，共30分） 1 2)1(...321lim n
n n −++++∞→； 2 x x x x 2cos 1)1ln(lim 0−+→； 3 11lim 1ln x x x x →⎛⎞−⎜−⎝⎠
⎟； 4 24arctan x x x y −+=，求； dy
5 已知函数，确定该函数的单调区间，并判定其凹凸性；
24x x y −=6 已知椭圆的参数方程为求椭圆在⎩⎨⎧==,
sin ,cos t b y t a x 4π=t 相应的点处的切线方程. 三 计算：（每题5分，共30分） 1 求不定积分∫+)ln 21(x x dx ； 2 求不定积分∫+x
dx 21； 3 求不定积分； 4 求定积分，其中dx xe x ∫dx x f ∫
2
0)(⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,2
11,1)(2x x x x x f ； 5 求定积分xdx x sin cos 20
5∫π； 6 设在连续，且)(x f ′′]1,0[5)2(,3)2(,1)0(=′==f f f ，求定积分
∫′′1
0)2(dx x f x
.
四 应用题：（每题7分，共14分）
1 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆（如图）.截面
面积为5. 问底宽为多少时才能使截面的周长最小，
从而使建造时所用的材料最省？
2m x 2 在曲线2
(0)2
x y x =>上求一点M ，使点M 处曲线的切线与曲线及x 轴所围图形面积为
13
. 五 综合题（本题6分） 以下四幅图是利用Matlab 软件绘制的某函数的自变量分别在区间
)(x f x ]60,60[],20,20[],2,2[],1,1[−−−−变化的图像，通过观察图形回答下列问题：
1 讨论的奇偶性； )(x f
2 观察当自变量时极限是否存在？若存在是多少？ )(x f 0→x
3 讨论在区间的连续性； )(x f ]20,20[−
4 观察当自变量时是否为无穷大？是否无界？ )(x f ∞→x。