高考数学 导数与函数的单调性、极值与最值 教案 含解析题

第二节 导数在研究函数中的应用

第1课时 系统知识牢基础——导数与函数的单调性、极值与最值

知识点一 利用导数研究函数的单调性

1．函数f (x )在某个区间(a ，b )内的单调性与f ′(x )的关系 (1)若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间上单调递增． (2)若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间上单调递减． (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间上是常数． 2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f ′(x )．

(2)在定义域内解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0. (3)根据结果确定f (x )的单调性及单调区间．

[提醒] (1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．

(2)有相同单调性的单调区间不止一个时，用“，”隔开或用“和”连接，不能用“∪”连接． (3)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立；若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立．

[重温经典]

1.(多选·教材改编题)如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下列判断正确的是( ) A ．在区间(－2,1)上f (x )是增函数 B ．在区间(2,3)上f (x )是减函数 C ．在区间(4,5)上f (x )是增函数 D ．当x ＝2时，f (x )取到极大值 答案：BCD

2．(教材改编题)函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调递减区间为( ) A ．(－∞，－1)和(0,1) B ．[－1,0]和[1，＋∞) C ．[－1,1] D ．(－∞，－1]和[1，＋∞)

答案：A

3．(易错题)若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭

⎫1

3，＋∞ B ．⎝⎛⎦⎤－∞，1

3

C.⎣⎡⎭⎫1

3，＋∞ D ．⎝

⎛⎭⎫－∞，1

3 解析：选C y ′＝3x 2＋2x ＋m ，由条件知y ′≥0在R 上恒成立，∴Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥1

3.

4．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞)

D ．[1，＋∞)

解析：选D 因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1

x .因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x >1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1

x 在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1

x <1，所以k ≥1.故选D.

5．若函数y ＝－4

3

x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是________．

解析：∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间，∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×(－4)×a >0，∴a >0. 答案：(0，＋∞)

6．设函数f (x )在(a ，b )上的导函数为f ′(x )，f ′(x )在(a ，b )上的导函数为f ″(x )，若在(a ，b )上，f ″(x )<0恒成立，则称函数f (x )在(a ，b )上为“凸函数”．已知f (x )＝x 44－t 3x 3＋32x 2

在

(1,4)上为“凸函数”，则实数t 的取值范围是________．

解析：由f (x )＝x 44－t 3x 3＋32x 2

可得f ′(x )＝x 3－tx 2＋3x ，f ″(x )＝3x 2－2tx ＋3，∵f (x )在(1,4)

上为“凸函数”，∴x ∈(1,4)时，3x 2－2tx ＋3<0恒成立，∴t >3

2⎝⎛⎭⎫x ＋1x 恒成立． 令g (x )＝3

2⎝⎛⎭⎫x ＋1x ，∵g (x )在(1,4)上单调递增， ∴t ≥g (4)＝51

8

.

∴实数t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫518，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫518，＋∞

知识点二 利用导数研究函数的极值 1．函数的极大值

在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都小于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (x 0)为函数的极大值． 2．函数的极小值

在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都大于x 0点的函数值，称

点x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (x 0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．

[提醒] (1)极值点不是点，若函数f (x )在x 1处取得极大值，则x 1为极大值点，极大值为f (x 1)；在x 2处取得极小值，则x 2为极小值点，极小值为f (x 2)．极大值与极小值之间无确定的大小关系．

(2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是单调函数．

(3)f ′(x 0)＝0是x 0为f (x )的极值点的必要而非充分条件．例如，f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．

[重温经典]

1．(多选)(2021·福州模拟)下列函数中，存在极值点的是( ) A ．y ＝x －1x

B ．y ＝2|x |

C ．y ＝－2x 3－x

D ．y ＝x ln x

解析：选BD 由题意函数y ＝x －1x ，则y ′＝1＋1x

2＞0，所以函数y ＝x －1

x 在(－∞，0)，(0，

＋∞)内单调递增，没有极值点；函数y ＝2|x |＝⎩

⎪⎨⎪

⎧

2x ，x ≥0，2－x ，x ＜0，根据指数函数的图象与性质可

得，当x ＜0时，函数y ＝2|x |单调递减，当x ＞0时，函数y ＝2|x |单调递增，所以函数y ＝2|x |在x ＝0处取得极小值；函数y ＝－2x 3－x ，则y ′＝－6x 2－1＜0，所以函数y ＝－2x 3－x 在R 上单调递减，没有极值点；函数y ＝x ln x ，则y ′＝ln x ＋1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1

e 时，y ′＜0，函数单调递减，当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，y ′＞0，函数单调递增，当x ＝1

e 时，函数取得极小值，故选B 、D.

2．(教材改编题)如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．4

解析：选A 由图象及极值点的定义知，f (x )只有一个极小值点．

3．(教材改编题)若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4

D ．5

解析：选D f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意知f ′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5.

4．(多选)材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学

分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数f(x)＝x x(x＞0)，我们可以作变形：f(x)＝x x＝eln x x＝e x ln x＝e t(t＝x ln x)，所以f(x)可看作是由函数f(t)＝e t和g(x)＝x ln x复合而成的，即f(x)＝x x(x＞0)为初等函数．根据以上材料，对于初等函数h(x)

＝x 1

x(x＞0)的说法正确的是()

A．无极小值B．有极小值1

C．无极大值D．有极大值e 1 e

解析：选AD根据材料知：h(x)＝x 1

x＝e

1

ln x

x＝e

1

ln x

x，

所以h′(x)＝e 1

ln x

x·⎝⎛⎭⎫

1

x ln x′＝e

1

ln x

x·⎝⎛⎭⎫

－

1

x2ln x＋

1

x2＝

1

x2e

1

ln x

x(1－ln x)，

令h′(x)＝0得x＝e，当0＜x＜e时，h′(x)＞0，此时函数h(x)单调递增；当x＞e时，h′(x)＜0，此时函数h(x)单调递减．

所以h(x)有极大值且为h(e)＝e 1

e，无极小值．

5．若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x的极值点，则f′(－2)＝________，f(x)的极小值为________．

解析：由函数f(x)＝(x2＋ax－1)e x

可得f′(x)＝(2x＋a)e x＋(x2＋ax－1)e x，

因为x＝－2是函数f(x)的极值点，

所以f′(－2)＝(－4＋a)e－2＋(4－2a－1)e－2＝0，

即－4＋a＋3－2a＝0，解得a＝－1.

所以f′(x)＝(x2＋x－2)e x.

令f′(x)＝0可得x＝－2或x＝1.

当x<－2或x>1时，f′(x)>0，此时函数f(x)为增函数，当－2

所以当x＝1时函数f(x)取得极小值，

极小值为f(1)＝(12－1－1)×e1＝－e.

答案：0－e

6．设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x1<2

解析：由题意得f′(x)＝3x2－4ax＋a2的两个零点x1，x2满足x1<2

答案：(2,6)

知识点三 函数的最值

1．在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．

2．若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．

[提醒] 求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论，这种做法是错误的．

[重温经典]

1．(教材改编题)函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e]上的最大值为( ) A ．1－e B ．－1 C ．－e

D ．0

解析：选B 因为f ′(x )＝1

x －1＝1－x x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，e]时，f ′(x )

＜0，所以f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x ＝1时，f (x )取得最大值f (1)＝ln 1－1＝－1.

2．(教材改编题)函数f (x )＝x 4－4x (|x |<1)( ) A ．有最大值，无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，有最小值

D ．既无最大值，也无最小值

解析：选D f ′(x )＝4x 3－4＝4(x －1)(x 2＋x ＋1)．令f ′(x )＝0，得x ＝1.又x ∈(－1,1)且1∉(－1,1)，∴该方程无解，故函数f (x )在(－1,1)上既无极值也无最值．故选D. 3．(教材改编题)函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π

2上的最大值是________． 答案：3＋π

6

4．(易错题)已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________． 答案：(－4，－2)

5．函数f (x )＝x e －

x ，x ∈[0,4]的最小值为________． 解析：f ′(x )＝e －

x －x e －

x ＝e －

x (1－x )． 令f ′(x )＝0，得x ＝1(e －

x >0)， 又f (1)＝1e >0，f (0)＝0，f (4)＝4

e 4>0，

所以f (x )的最小值为0. 答案：0

6．已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________．

解析：f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝2cos x ＋2(2cos 2x －1) ＝2(2cos 2x ＋cos x －1)＝2(2cos x －1)(cos x ＋1)．

∵cos x ＋1≥0，∴当cos x <1

2时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；

当cos x >1

2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．

∴当cos x ＝1

2

时，f (x )有最小值．

又f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )， ∴当sin x ＝－

3

2

时，f (x )有最小值， 即f (x )min ＝2×⎝⎛⎭

⎫－32×⎝⎛⎭⎫

1＋12＝－332.

答案：－33

2