数学分析教案
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课程名称：数学分析课时：2课时年级：大学本科教学目标：1. 知识目标：掌握数学分析的基本概念、性质和运算方法，理解数学分析的基本原理。
2. 能力目标：培养学生运用数学分析解决问题的能力，提高逻辑思维和抽象思维能力。
3. 情感目标：激发学生对数学分析的兴趣，培养学生严谨、求实的科学态度。
教学重点：1. 数学分析的基本概念和性质2. 数学分析的运算方法3. 数学分析在实际问题中的应用教学难点：1. 数学分析概念的理解2. 数学分析运算方法的掌握3. 数学分析在实际问题中的应用教学过程：第一课时一、导入1. 引入数学分析的概念，让学生了解数学分析在数学学科中的地位。
2. 提出数学分析的基本问题，激发学生的学习兴趣。
二、新课讲授1. 讲解数学分析的基本概念，如极限、导数、积分等。
2. 分析数学分析的性质，如连续性、可导性、可积性等。
3. 讲解数学分析的运算方法，如极限运算、导数运算、积分运算等。
三、课堂练习1. 布置一些基础题目，让学生巩固所学知识。
2. 针对难点问题进行讲解，帮助学生突破学习障碍。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，让学生回顾重点知识。
2. 提出课后作业，巩固所学知识。
第二课时一、复习导入1. 复习上节课所学内容，检查学生对数学分析基本概念、性质和运算方法的掌握情况。
2. 引导学生思考数学分析在实际问题中的应用。
二、新课讲授1. 讲解数学分析在几何、物理、经济学等领域的应用。
2. 分析数学分析在实际问题中的应用方法，如建模、求解等。
三、课堂练习1. 布置一些综合题目，让学生运用数学分析解决实际问题。
2. 针对难点问题进行讲解，帮助学生提高应用能力。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，让学生回顾数学分析在实际问题中的应用。
2. 提出课后作业，巩固所学知识。
教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的学习态度、参与程度等。
2. 作业完成情况：检查学生对作业的完成质量，了解学生的学习效果。
数学分析教案大学
课时：3课时教学对象：大学本科生教学目标：1. 让学生理解数学分析的基本概念和原理，掌握数学分析的基本方法。
2. 培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。
3. 培养学生运用数学分析解决实际问题的能力。
教学内容：1. 数学分析的概念和性质2. 极限的概念和性质3. 连续性的概念和性质4. 导数的概念和性质5. 微分学的应用教学过程：第一课时：一、导入1. 回顾高中数学知识，如函数、极限等。
2. 引入数学分析的概念，强调数学分析在数学领域中的重要性。
二、教学内容1. 数学分析的概念和性质- 解释数学分析的定义和研究对象。
- 举例说明数学分析在数学各领域中的应用。
2. 极限的概念和性质- 介绍极限的定义，包括数列极限和函数极限。
- 讲解极限的性质，如保号性、保序性等。
三、课堂练习1. 让学生完成一些与极限相关的习题，巩固所学知识。
第二课时：一、复习上节课内容1. 回顾极限的概念和性质。
二、教学内容1. 连续性的概念和性质- 介绍连续性的定义，包括函数在一点连续、在区间上连续等。
- 讲解连续性的性质，如保号性、保序性等。
2. 导数的概念和性质- 介绍导数的定义，包括函数在某一点的导数、函数在区间上的导数等。
- 讲解导数的性质，如保号性、保序性等。
三、课堂练习1. 让学生完成一些与连续性和导数相关的习题，巩固所学知识。
第三课时：一、复习上节课内容1. 回顾连续性和导数的概念和性质。
二、教学内容1. 微分学的应用- 介绍微分学在解决实际问题中的应用，如求曲线的切线、求解最值等。
- 讲解微分学在实际问题中的应用实例。
三、课堂小结1. 总结本节课的主要内容，强调数学分析在解决实际问题中的重要性。
四、布置作业1. 让学生完成一些与微分学应用相关的习题，巩固所学知识。
教学评价：1. 通过课堂练习和作业，评价学生对数学分析基本概念和原理的掌握程度。
2. 通过实际问题的解决，评价学生运用数学分析解决实际问题的能力。
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课题名称：实数的性质与应用教学对象：高中一年级教学时间：2课时教学目标：1. 知识与技能：理解实数的概念，掌握实数的性质，学会实数的运算方法。
2. 过程与方法：通过实际问题，引导学生探究实数的性质，培养逻辑思维和抽象思维能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨、求实的科学态度。
教学重点：1. 实数的概念及性质。
2. 实数的运算方法。
教学难点：1. 实数与无理数的概念理解。
2. 实数的运算技巧。
教学准备：1. 多媒体课件。
2. 实物教具（如：线段、尺子等）。
3. 练习题。
教学过程：第一课时一、导入新课1. 回顾有理数的概念和性质，引导学生思考无理数的概念。
2. 提出问题：如何将无理数与有理数统一？二、新课讲解1. 实数的概念：实数包括有理数和无理数。
2. 实数的性质：实数在数轴上连续分布，任意两个实数之间都存在第三个实数。
3. 实数的运算：（1）实数的加法：同号相加，异号相减。
（2）实数的减法：减去一个数等于加上它的相反数。
（3）实数的乘法：实数乘以一个正数或负数，其符号不变。
（4）实数的除法：实数除以一个非零实数，其符号不变。
三、课堂练习1. 完成课堂练习题，巩固实数的性质和运算。
2. 学生互相检查，教师巡视指导。
四、课堂小结1. 总结实数的概念、性质和运算方法。
2. 强调实数在数学中的重要性。
第二课时一、复习导入1. 回顾实数的概念、性质和运算方法。
2. 提出问题：实数在实际生活中的应用有哪些？二、新课讲解1. 实数在实际生活中的应用：（1）测量长度、面积、体积等；（2）计算利率、折扣等；（3）解决实际问题，如行程问题、工程问题等。
2. 实数与无理数的概念理解：（1）无理数是指不能表示为两个整数之比的实数。
（2）常见的无理数有：π、√2、√3等。
三、课堂练习1. 完成课堂练习题，巩固实数在实际生活中的应用。
2. 学生互相检查，教师巡视指导。
四、课堂小结1. 总结实数的概念、性质、运算方法及其在实际生活中的应用。
大学优秀教案数学分析
课程名称：数学分析授课班级：XX级XX班授课教师：XXX教学时间：2课时教学目标：1. 让学生掌握数学分析的基本概念、基本方法和基本定理；2. 培养学生分析问题、解决问题的能力；3. 培养学生的逻辑思维能力和严谨的数学素养。
教学重点：1. 数学分析的基本概念；2. 数学分析的基本定理；3. 数学分析的基本方法。
教学难点：1. 数学分析中的抽象概念；2. 数学分析中的证明技巧。
教学内容：一、数学分析的基本概念1. 数学分析的定义；2. 数学分析的研究对象；3. 数学分析的研究方法。
二、数学分析的基本定理1. 极限的概念及性质；2. 连续性的概念及性质；3. 微分学的概念及性质；4. 积分学的概念及性质。
三、数学分析的基本方法1. 极限的计算方法；2. 连续性的证明方法；3. 微分学的应用；4. 积分学的应用。
教学过程：一、导入1. 回顾初等数学中的极限、连续性、微分学、积分学等概念；2. 引入数学分析的研究对象和方法。
二、讲解数学分析的基本概念1. 数学分析的定义：数学分析是研究函数的极限、连续性、微分、积分等问题的数学分支；2. 数学分析的研究对象：函数、极限、连续性、微分、积分等；3. 数学分析的研究方法：归纳法、演绎法、反证法、极限法、微分法、积分法等。
三、讲解数学分析的基本定理1. 极限的概念及性质：极限的定义、极限的性质；2. 连续性的概念及性质：连续性的定义、连续性的性质；3. 微分学的概念及性质：导数的定义、导数的性质；4. 积分学的概念及性质：不定积分的定义、定积分的定义。
四、讲解数学分析的基本方法1. 极限的计算方法：夹逼定理、洛必达法则、洛必达定理等；2. 连续性的证明方法：直接证明法、反证法、定义法等；3. 微分学的应用：求导数、求切线、求函数的极值等；4. 积分学的应用：求原函数、求定积分、求不定积分等。
五、课堂练习1. 给出一些数学分析中的基本概念、定理、方法，让学生进行判断、选择、填空等练习；2. 给出一些数学分析中的典型例题，让学生进行解答。
中山大学数学分析教案
中山大学数学分析教案第一章：极限与连续1.1 极限的概念引入极限的直观意义讲解极限的定义及性质举例说明极限的存在与不存在情况1.2 极限的计算讲解极限的基本计算方法无穷小与无穷大的概念及比较极限的运算法则1.3 连续函数引入连续函数的定义讲解连续函数的性质及判定条件举例说明连续函数的性质及应用第二章：导数与微分2.1 导数的概念引入导数的定义及直观意义讲解导数的计算方法举例说明导数的应用2.2 导数的计算讲解基本函数的导数公式高阶导数的概念及计算方法隐函数与参数方程函数的导数计算2.3 微分及其应用引入微分的概念及意义讲解微分的计算方法举例说明微分在实际问题中的应用第三章：积分与面积3.1 积分的基本概念引入积分的定义及直观意义讲解积分的性质及计算方法举例说明积分的应用3.2 定积分的计算讲解定积分的计算方法定积分的换元法与分部积分法定积分的应用3.3 面积与体积的计算举例说明定积分在几何图形面积计算中的应用讲解定积分在旋转体体积计算中的应用第四章：微分方程4.1 微分方程的基本概念引入微分方程的定义及意义讲解微分方程的分类及解法4.2 线性微分方程讲解线性微分方程的解法及性质举例说明线性微分方程的应用4.3 非线性微分方程讲解非线性微分方程的解法及性质举例说明非线性微分方程的应用第五章：级数5.1 级数的基本概念引入级数的定义及直观意义讲解级数的性质及收敛性判定5.2 幂级数讲解幂级数的定义及性质幂级数的展开及应用5.3 傅里叶级数讲解傅里叶级数的定义及性质举例说明傅里叶级数在信号处理中的应用第六章：多元函数微分学6.1 多元函数的基本概念引入多元函数的定义及图形表示讲解多元函数的极限与连续性6.2 多元函数的导数讲解多元函数的导数概念及计算法则举例说明多元函数导数的应用6.3 多元函数的微分引入多元函数的微分概念讲解微分的计算及应用第七章：重积分7.1 重积分的基本概念引入重积分的定义及直观意义讲解重积分的性质及计算方法7.2 一重积分讲解一重积分的计算方法举例说明一重积分在几何与物理中的应用7.3 二重积分讲解二重积分的计算方法举例说明二重积分在几何与物理中的应用第八章：向量分析8.1 向量及其运算引入向量的定义及其几何表示讲解向量的运算规则及性质8.2 空间解析几何讲解空间解析几何的基本概念及方法举例说明空间解析几何的应用8.3 曲线与曲面的方程讲解曲线与曲面的方程及其性质举例说明曲线与曲面的应用第九章：常微分方程9.1 常微分方程的基本概念引入常微分方程的定义及意义讲解常微分方程的分类及解法9.2 一阶微分方程讲解一阶微分方程的解法及性质举例说明一阶微分方程的应用9.3 高阶微分方程讲解高阶微分方程的解法及性质举例说明高阶微分方程的应用第十章：数值分析10.1 数值分析的基本概念引入数值分析的意义及方法讲解数值分析的基本原则及方法10.2 数值计算误差讲解数值计算的误差来源及影响举例说明误差估计及控制的方法10.3 数值方法的应用举例说明数值方法在微积分学中的应用讲解数值方法在其他领域的应用重点和难点解析重点一：极限的概念与性质极限的定义及其直观意义是教学重点，需要学生充分理解。
苏州大学数学分析教案
课时安排：2课时教学目标：1. 让学生掌握数学分析的基本概念和理论；2. 培养学生运用数学分析方法解决实际问题的能力；3. 培养学生的逻辑思维能力和严谨的学术态度。
教学重点：1. 数学分析的基本概念和理论；2. 数学分析方法在解决实际问题中的应用。
教学难点：1. 理解和掌握数学分析中的抽象概念；2. 将数学分析方法应用于实际问题。
教学内容：一、数学分析的基本概念和理论1. 数列极限；2. 函数极限；3. 极限的性质；4. 无穷小和无穷大；5. 连续性。
二、数学分析方法在解决实际问题中的应用1. 极限的求解；2. 连续性的判断；3. 函数的导数和积分。
教学过程：第一课时一、导入1. 回顾数列极限和函数极限的概念；2. 引入无穷小和无穷大的概念。
二、新课讲解1. 数列极限的性质；2. 函数极限的性质；3. 无穷小和无穷大的性质。
三、例题讲解1. 讲解数列极限的求解方法；2. 讲解函数极限的求解方法；3. 讲解无穷小和无穷大的求解方法。
四、课堂练习1. 学生独立完成数列极限、函数极限和无穷小无穷大的求解题；2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
第二课时一、导入1. 回顾连续性的概念；2. 引入连续性的性质。
二、新课讲解1. 连续性的性质；2. 连续性的判断方法。
三、例题讲解1. 讲解连续性的判断方法；2. 讲解函数的导数和积分的求解方法。
四、课堂练习1. 学生独立完成连续性的判断题；2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
教学评价：1. 学生对数学分析的基本概念和理论掌握程度；2. 学生运用数学分析方法解决实际问题的能力；3. 学生在课堂上的参与度和学习积极性。
教学反思：1. 教师在讲解过程中要注意引导学生理解抽象概念，提高学生的逻辑思维能力；2. 教师要注重培养学生的实际应用能力，让学生在解决实际问题的过程中提高数学分析水平；3. 教师要根据学生的实际情况，适时调整教学内容和方法，提高教学效果。
数学分析专题选讲教案
数学分析专题选讲教案一、引言1.1 课程背景1.2 课程目标1.3 课程内容概述1.4 教学方法与手段二、函数极限与连续性2.1 函数极限的概念2.2 极限的性质与运算2.3 无穷小与无穷大2.4 函数的连续性2.5 连续函数的性质与应用三、导数与微分3.1 导数的概念3.2 导数的计算规则3.3 高阶导数3.4 隐函数与参数方程函数的导数3.5 微分学的基本定理与应用四、不定积分与定积分4.1 不定积分的基本概念与计算方法4.2 定积分的基本概念与计算方法4.3 定积分的性质与应用4.4 变限积分的导数4.5 定积分的推广与应用五、微分方程5.1 微分方程的基本概念5.2 常微分方程的解法5.3 线性微分方程5.4 微分方程的应用5.5 线性微分方程组六、级数6.1 级数的基本概念6.2 幂级数6.3 泰勒级数与麦克劳林级数6.4 级数的收敛性6.5 级数的应用七、多元函数微分学7.1 多元函数的基本概念7.2 多元函数的极限与连续性7.3 多元函数的偏导数7.4 全微分与高阶偏导数7.5 多元函数的极值及其判定八、重积分8.1 二重积分的基本概念与计算8.2 二重积分的性质与应用8.3 三重积分的基本概念与计算8.4 三重积分的性质与应用8.5 重积分的应用案例九、常微分方程组9.1 常微分方程组的概述9.2 常微分方程组的解法9.3 常微分方程组的解的存在性与唯一性9.4 常微分方程组的应用9.5 常微分方程组的数值解法十、泛函分析与线性空间10.1 泛函分析的基本概念10.2 线性空间与线性映射10.3 内积空间与正交关系10.4 希尔伯特空间与巴拿赫空间10.5 泛函分析在数学分析中的应用十一、微分几何11.1 微分几何基本概念11.2 曲线和曲面的切线与法线11.3 曲率、挠率和曲率张量11.4 测地线与测地线方程11.5 微分几何在物理学和工程学中的应用十二、偏微分方程12.1 偏微分方程的定义与分类12.2 偏微分方程的基本解法12.3 偏微分方程的解的存在性与唯一性12.4 偏微分方程的应用案例12.5 偏微分方程的数值解法十三、复变函数13.1 复数与复平面13.2 复变函数的基本概念13.3 复变函数的积分13.4 复变函数的级数13.5 复变函数在复平面上的应用十四、随机变量与概率积分14.1 随机变量及其分布14.2 随机变量的数字特征14.3 概率积分与变换14.4 随机过程的基本概念14.5 随机过程的应用十五、数值分析15.1 数值分析概述15.2 插值法与函数逼近15.3 数值微积分15.4 常微分方程的数值解法15.5 非线性方程与系统的数值解法重点和难点解析一、函数极限与连续性重点：函数极限的性质与运算，无穷小与无穷大的概念，函数的连续性及其性质。
数学分析选讲教案精选全文完整版
是 的聚点，
聚点是对数集而言，极限是对数列而言。聚点不一定是极限点，极限点也不一定是聚点。当收敛数列有无穷项相异时，则极限点比为聚点。
， 不是 的聚点，但数列有极限。
有聚点但不是没有极限点
20m
第3页共页
讲稿部分
教学过程
时间分配
聚点的等价定义： 是 的聚点，以下三个定义等价：
I 含有 的无穷多个点
而有限覆盖定理得作用与区间套定理相反，它是把函数在每点某邻域的性质拓展为函数在闭区间上所共有的性质。例如函数在闭区间上逐点连续推出函数在闭区间上一致连续。区间套与有限覆盖定理是同一事物的两个方面，可以相互转化，从反证法的观点来看，局部点的反面变成了整体，，反之亦然。
若函数 在 上有定义恒取正值，
= 则 在[a, b]上必有正的下界。
重点与难点
重点：函数的性质和实数理论。
难点：实数理论
教学方法
手段（教具）
讨论法，传统教学方法与使用多媒体相结合
参考资料
数学分析，高等数学，2005年数学研究生考题
2006年高等数学考试测试题
课后作业与
思考题
作业1.2.3.4.5.6
思考题：六个实数完备性定理的相互证明。
教学后记
讲稿部分
教学过程
时间分配
20m
第4页共页
讲稿部分
教学过程
时间分配
并记 显然 再由
这与 为 的唯一最值点矛盾。
4．多种方法证明
设函数 在 上只有第一类间断点（可以有无穷多个），证明
在 上有界
1． ：（致密性定理）反证，若 在 上无界，存在 ，可找出 ， 有界，必有收敛的子列
时 在 上无界。
小结：掌握函数的各种性质，理解初等函数的概念及复合运算。
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第一章实数集与函数第一章实数集与函数教学目的：1.使学生掌握实数的概念，建立起实数集确界的清晰概念；2.使学生深刻理解函数的概念，熟悉与函数性态有关的一些常见术语。
要求学生：理解并熟练运用实数的有序性、稠密性与封闭性；掌握邻域的概念；牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式；理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题证明中正确地加以应用；深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数、有界函数、单调函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；牢记基本初等函数的定义、性质及其图象，会求函数的定义域，会分析函数的复合关系。
教学重点：函数、确界的概念及其有关性质。
教学时数：10学时§ 1 实数（2学时）教学目的：使学生掌握实数的基本性质．教学重点：1. 理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；2. 牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用．教学方法：讲授．（部分内容自学）一．复习引新：1.实数集：回顾中学中关于实数集的定义.2.四则运算封闭性:3.三歧性( 即有序性 ):4.Rrchimedes性:5.稠密性:有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义.6.实数集的几何表示───数轴:7.两实数相等的充要条件:8.区间和邻域:二. 讲授新课：（一）. 几个重要不等式:1. 绝对值不等式: 定义 [1]P3 的六个不等式.2. 其他不等式:⑴⑵均值不等式: 对记(算术平均值)(几何平均值)(调和平均值)有平均值不等式:等号当且仅当时成立.⑶ Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归纳法证明过)有不等式当且, 且时, 有严格不等式证：由且⑷利用二项展开式得到的不等式: 对由二项展开式有上式右端任何一项.作业：Ｐ４．１．（１）２．（２）、（３）３§ 2 数集•确界原理（4时）教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。
教学要求：1. 掌握邻域的概念；2. 理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。
教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）。
教学难点：确界的定义及其应用。
教学方法：讲授为主。
一、区间与邻域二、有界数集与确界原理:1.有界数集: 定义(上、下有界, 有界)，闭区间、为有限数）、邻域等都是有界数集，集合也是有界数集.无界数集: 定义, 等都是无界数集,集合也是无界数集.2.确界:给出直观和刻画两种定义.例1⑴则⑵则例2 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.例3 设和是非空数集，且有则有.例4 设和是非空数集. 若对和都有则有证是的上界, 是的下界,例5和为非空数集,试证明:证有或由和分别是和的下界,有或即是数集的下界, 又的下界就是的下界,是的下界, 是的下界, 同理有于是有.综上,有.3.数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例1⑵为例做解释.4.确界与最值的关系: 设为数集.⑴的最值必属于, 但确界未必,确界是一种临界点.⑵非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值.⑶若存在, 必有对下确界有类似的结论.三、确界原理:Th1.1 (确界原理)设S为非空数集。
若S 有上界，则S必有上确界；若S 有下界，则S必有下确界。
作业：Ｐ９：５；６；８§ 3 函数概念 ( 2学时 )教学目的：使学生深刻理解函数概念。
教学要求：1. 深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；2. 牢记基本初等函数的定义、性质及其图象。
会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系。
教学重点：函数的概念。
教学难点：初等函数复合关系的分析。
一、函数:1. 函数: [1]P10—11的四点说明.2. 定义域: 定义域和存在域.3. 函数的表示法:4. 反函数:一一对应,反函数存在定理.5. 函数的代数运算:二、分段函数:以函数和为例介绍概念.例1去掉绝对值符号.例2求例3设求 (答案为8)三、函数的复合:例4求并求定义域.例5⑴⑵则A. B. C. D.[4]P407 E62.四、初等函数:1.基本初等函数:2.初等函数:3.初等函数的几个特例: 设函数和都是初等函数, 则⑴是初等函数, 因为⑵和都是初等函数, 因为 ,.⑶幂指函数是初等函数,因为作业：P153；4.(2)(3)；5. (2)；7: (3)；11§4 具有某些特性的函数 ( 2学时 )教学目的：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语.教学目的：深刻理解有界函数、单调函数的定义；理解奇偶函数、周期函数的定义；会求一些简单周期函数的周期。
教学重点：函数的有界性、单调性。
教学难点：周期函数周期的计算、验证。
一、有界函数:有界函数概念.例6验证函数在内有界.解法一由当时,有,对总有即在内有界.解法二令关于的二次方程有实数根.解法三令对应于是二、单调函数三、奇函数和偶函数四、周期函数第二章数列极限教学目的：1.使学生建立起数列极限的准确概念，熟练收敛数列的性质；2.使学生正确理解数列收敛性的判别法以及求收敛数列极限的常用方法，会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。
要求学生：逐步建立起数列极限的概念.深刻理解数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念.会应用数列极限的定义证明有关命题，并能运用语言正确表述数列不以某定数为极限等相应陈述；理解并能证明收敛数列、极限唯一性、单调性、保号性及不等式性质；掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理及单调有界定理，会用这些定理求某些收敛数列的极限；初步理解柯西准则在极限理论中的重要意义，并逐步学会应用柯西准则判定某些数列的敛散性；教学重点、难点：本章重点是数列极限的概念；难点则是数列极限的定义及其应用.教学时数：14学时§ 1 数列极限的定义教学目的：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。
ε-定义及其应用。
教学重点、难点：数列极限的概念，数列极限的N教学时数：4学时一、引入新课：以齐诺悖论和有关数列引入——二、讲授新课：（一）数列：1.数列定义——整标函数.数列给出方法: 通项,递推公式.数列的几何意义.2.特殊数列: 常数列,有界数列,单调数列和往后单调数列.（二）数列极限: 以为例.定义( 的“”定义 )定义( 数列收敛的“”定义 )注：1.关于：的正值性, 任意性与确定性,以小为贵; 2.关于：的存在性与非唯一性,对只要求存在,不在乎大小.3.的几何意义.（三）用定义验证数列极限：讲清思路与方法.例1例2例3例4证注意到对任何正整数时有就有于是，对取例5证法一令有用Bernoulli不等式，有或证法二（用均值不等式）例6证时，例7设证明（四）收敛的否定:定义( 的“”定义 ).定义( 数列发散的“”定义 ).例8 验证（五）数列极限的记註:1.满足条件“”的数列2.改变或去掉数列的有限项, 不影响数列的收敛性和极限.重排不改变数列敛散性:3.数列极限的等价定义:对任有理数对任正整数（六）无穷小数列: 定义.Th2.1 ( 数列极限与无穷小数列的关系 ).§ 2 收敛数列的性质（4学时）教学目的：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法。
教学重点、难点：：迫敛性定理及四则运算法则及其应用，数列极限的计算。
教学时数：4学时一. 收敛数列的性质:1.极限唯一性：（证）2.收敛数列有界性——收敛的必要条件：（证）3.收敛数列保号性：Th 1 设若则（证）系1 设若，（注意“ = ”；并注意和的情况）.系2 设或. 则对(或(或系3 若则对绝对值收敛性见后.4.迫敛性 ( 双逼原理 ):Th 2 ( 双逼原理 ). ( 证 )5.绝对值收敛性:Th 3 ( 注意反之不正确 ).( 证 )系设数列{}和{}收敛, 则( 证明用到以下6所述极限的运算性质 ).6.四则运算性质:Th 4 ( 四则运算性质, 其中包括常数因子可提到极限号外 ). ( 证 )7. 子列收敛性: 子列概念.Th 5(数列收敛充要条件) {}收敛{}的任何子列收敛于同一极限.Th 6 (数列收敛充要条件) {}收敛子列{}和{}收敛于同一极限.Th 7 ( 数列收敛充要条件 ) {}收敛子列{}、{}和{都收敛. ( 简证 )二.利用数列极限性质求极限:两个基本极限：1．利用四则运算性质求极限：例1註：关于的有理分式当时的极限情况例2填空:⑴⑵例3例42.双逼基本技法: 大小项双逼法，参阅[4]P53.例5求下列极限:⑴⑵⑶例6 (例7求证例8 设存在. 若则三.利用子列性质证明数列发散:例9 证明数列发散.§ 3 收敛条件（4学时）教学目的：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具。
教学要求：1. 掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛数列的极限；2. 初步理解Cauchy准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用Cauchy准则判断某些数列的敛散性。
教学重点：单调有界定理、Cauchy收敛准则及其应用。
教学难点：相关定理的应用。
教学方法：讲练结合。
一．数列收敛的一个充分条件——单调有界原理：回顾单调有界数列.Th 1 ( 单调有界定理 ). ( 证 )例1 设证明数列{}收敛.例2 (重根号),证明数列{}单调有界, 并求极限.例3求 ( 计算的逐次逼近法, 亦即迭代法 ).解由均值不等式, 有有下界; 注意到对有有↘,二、收敛的充要条件——Cauchy收敛准则：1．Cauchy列：2．Cauchy收敛准则：Th 2 数列{收敛，（或数列{收敛，}Th 2 又可叙述为：收敛列就是Cauchy列. (此处“就是”理解为“等价于”).( 简证必要性 ) 例4证明:任一无限十进小数的不足近似值所组成的数列收敛. 其中是中的数.证令有……例5设试证明数列{收敛.三. 关于极限证明留在下节进行.例6例7例8四.数列单调有界证法欣赏:Cauchy (1789—1857 ) 最先给出这一极限，Riemann（1826—1866）最先给出以下证法一.证法一（ Riemann最先给出这一证法）设应用二项式展开，得，+ 注意到且比多一项即↗.有界.综上, 数列{}单调有界.评註: 该证法朴素而稳健, 不失大将风度.证法二( 利用Bernoulli 不等式 )注意到Bernoulli不等式为正整数 ), 有由利用Bernoulli不等式,有↗.为证{}上方有界, 考虑数列可类证↘. 事实上,(此处利用了Bernoulli不等式 )↘.显然有有即数列{}有上界.评註: 该证法的特点是惊而无险，恰到好处.证法三( 利用均值不等式 ) 在均值不等式中, 令就有即↗.令可仿上证得时↗,( 时无意义, 时诸=, 不能用均值不等式. ) 当时, 由由↗↘. <4.证法四( 仍利用均值不等式 )<即↗.有界性证法可参阅上述各证法.证法五先证明：对和正整数，有不等式事实上，< 该不等式又可变形为( 为正整数 )在此不等式中, 取则有就有↗.取又有对成立，又由评註: 该证法真叫绝 . [1]采用这一证法.小结、习题（2学时）第三章函数极限教学目的：1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质；2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性；3.掌握两个重要极限和，并能熟练运用；4.理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。