数学建模中的预测方法：时间序列分析模型

白噪声序列
ut
的方差的矩估计为
p j 1
ˆ jˆ j ˆ 2 0
2）MA（
q ）模型
2 ˆ2 ˆ2 ˆ 1 ˆ0 1 q 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆk , k 1, k 1 k 1 q k q
k
明显地异于0，而 q0 1 , 步截尾 q
0
, q0 M
近似为0，且满足上述不等式的个数达到了相应的比例，
k 在
2） kk 的截尾性判断
作如下假设检验：M N
H0 : pk , pk 0, k 1, , M H1 : 存在某个 k ，使kk
0
，且 p k M p
( B) k 0
k 满足 ( B) k 0
它们呈指数或者正弦波衰减，具有拖尾性 3）ARMA（ p, q）序列的自相关与偏自相关函数均是拖尾的
（2）模型的识别
自相关函数与偏自相关函数是识别ARMA模型的最主 要工具，B-J方法主要利用相关分析法确定模型的阶数. 若样本自协方差函数 k 在 q 步截尾，则 X t 是MA（ q ）序列 若样本偏自相关函数 kk 在 p 步截尾，则 X t 是AR（p ）序列 若 k kk都不截尾，而仅是依负指数衰减，这时可初步 认为 X t 是ARMA序列，它的阶要由从低阶到高阶逐步
数学建模中的预测方法
1. 插值与拟合方法：小样本内部预测
应用案例：
（1）CUMCM2001-A:血管的三维重建问题； （2）CUMCM2003-A:SARS的传播问题； （3）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测； （4）CUMCM2006-B:艾滋病疗法的评价与预测。
2.回归模型方法：大样本的内部预测
1 w B w B
1 2
2

X t wi Bi X t ut i 0
注3：【2】满足平稳条件时，AR过程等价于无穷阶的MA过 程，即
X t 1 v1B v2 B 2
u
t
v j B j ut j 0
注：实参数 1 ,2 ,
,q 为移动平均系数，是待估参数
引入滞后算子，并令 (B) 1 1B 2 B2 q Bq
则模型【3】可简写为
X t ( B)ut
【4】
注1：移动平均过程无条件平稳 注2：滞后多项式的根都在单位圆外时，AR过程与MA过程 能相互表出，即过程可逆，
统计量
N
2
pM
k p 1
2 2 kk M
2 2 M ( )表示自由度为M 的 分布的上侧

分位数点
对于给定的显著性水平 0
2 2 M ( )
2 2 M ( ) 则认为样本不是来自AR（ p ）模型 ；
可认为样本来自AR（
p ）模型 。
ˆq p 1 ˆq 1 ˆ ˆq p 2 q2 ˆq
ˆ q p
注1：自回归系数 1 ,2 , , p 移动平均系数 1,2 , ,q
注2：【1】和【3】是【5】的特殊情形 注3：引入滞后算子，模型【5】可简记为
( B) X t ( B)ut
注4：ARMA过程的平稳条件是 ( B ) 的根均在单位圆外 可逆条件是 ( B ) 的根都在单位圆外
增加，再通过检验来确定.
1） k 的截尾性判断 对于每一个q ，计算 q1 , , qM 考察其中满足
1 | k | N
2
2 0 l 1
q
2 l
或
2 | k | N
02 2 l2
l 1
q
的个数是否为 M 的68.3%或95.5%。 如果当1 k q0 时， 则可近似地认为
时间序列分析模型
一、时间序列分析模型【ARMA模型 】简介 1、概 述
ARMA模型是一类常用的随机时间序列模型，是一种 精度较高的时间序列短期预测方法.
通过对模型的分析研究，能够更本质地认识时间序 列的结构与特征，达到最小方差意义下的最优预测. 三种基本类型：自回归（AR：Auto-regressive）模型； 移动平均（MA：Moving Average）模型；自回归移动平均 （ARMA：Auto-regressive Moving Average）模型
ˆ1 1 ˆ ˆ 2 1 ˆ p ˆ1 1 ˆ p 2 ˆ p 1 ˆ1 ˆ p 2 ˆ2 1 ˆ p
1
ˆ p 1
隔 t s 有关，而与
t
和
s
的起始点无关。那么，
这个时间序列就称为平稳时间序列 。
3）季节性
时间序列的季节性是指在某一固定的时间间隔上，
序列重复出现某种特性.比如地区降雨量、旅游收入和空
调销售额等时间序列都具有明显的季节变化. 一般地，月度资料的时间序列，其季节周期为12个
月；季度资料的时间序列，季节周期为4个季.
（1）自回归【 AR 】模型
自回归序列：
X t 1 X t 1 2 X t 2
【1】式称为
p X t p ut
【1】
p 阶自回归模型，记为AR（ p
）
注1：实参数 1 ,2 , , p 称为自回归系数，是待估参 数.随机项 u t 是相互独立的白噪声序列，且服从均值为 0、方差为 2 的正态分布. 随机项与滞后变量不相关。




,q
3）ARMA ( p, q) 模型的参数矩估计分三步：
i） 1 ,2 , , p的估计
ˆ1 ˆq ˆq 1 ˆ ˆ ˆq 2 q 1 ˆ ˆ p q p 1 ˆq p 2
【6】
2、随机时间序列的特性分析
（1）时序特性的研究工具
1）自相关
构成时间序列的每个序列值之间的简单相关关系称为 自相关。 自相关程度由自相关系数 k 度量，表示时间序列 中相隔 k 期的观测值之间的相关程度。
k
(X
t 1
nk
t n
X )( X t k X )
2 ( X X ) t t 1
判断时间序列季节性的标准为：自相关系数是否与0
有显著差异。
实际问题中，常会遇到季节性和趋势性同时存在的 情况，这时必须事先剔除序列趋势性再用上述方法识别
序列的季节性，否则季节性会被强趋势性所掩盖，以至
判断错误. 包含季节性的时间序列也不能直接建立ARMA模型， 需进行季节差分消除序列的季节性，差分步长应与季节
Dut 2 是白噪声序列的方差
样本自相关函数
1, k 0 k k 1 k 1 q k q k , 1 k q 2 2 0 1 1 q 0, k q
MA（ q ）序列的自相关函数 这种性质称为自相关函数的 偏自相关函数随着滞后期
注2：一般假定 X t 均值为0，否则令
X t X t
记 B为 【1】可表示为
k
k
k B X t X t k ，则模型 步滞后算子，即
X t 1BX t 2 B X t
2
2 ( B ) 1 B B 令 1 2
p B X t ut
3）AIC准则确定模型的阶数 AIC定阶准则：S 是模型的未知参数的总数 是用某种方法得到的方差的估计
2S ˆ AIC ( S ) ln N 的一定变化范围内，寻求使
2
ˆ2
N 为样本大小，则定义AIC准则函数
用AIC准则定阶是指在 得 AIC (S )
p, q
最小的点
ˆ,q ˆ) (p
其中 k 是滞后 k 期的自相关系数， kj k 1, j kkk 1,k j , j 1, 2, , k 1
（2）时间序列的特性分析
1）随机性 如果一个时间序列没有任何规律性，序列诸项之间 不存在相关，即序列是白噪声序列，其自相关系数应该 与0没有显著差异。 2）平稳性 若时间序列满足 1）对任意时间 t ，其均值恒为常数； 2）对任意时间 t 和 s ，其自相关系数只与时间间
p
p B p ，模ຫໍສະໝຸດ 可简写为【2】 ( B) X t ut
AR（
p
）过程平稳的条件是滞后多项式
( B)
的根均在单位圆外
（2）移动平均【MA】模型
移动平均序列 ：
X t ut 1ut 1 2ut 2
qut q
【3】
式【3】称为 q 阶移动平均模型，记为MA（ q ）
作为
( p, q)
的估计。
2p N 2( p q ) 2 ( p , q ) ˆ ARMA 模型 ： AIC ln N
AR（ p ）模型 ：
ˆ2 AIC ln
（3）参数估计
在阶数给定的情形下模型参数的估计有三种基本 方法：矩估计法、逆函数估计法和最小二乘估计法， 这里仅介绍矩估计法 1）AR（ p ）模型
2）偏自相关 偏自相关是指对于时间序列 X t ，在给定 X t 1, X t 2 , , X t k 1
的条件下， X t 与 X t k 之间的条件相关关系。其相关程度
用偏自相关系数 kk 度量，有 1 kk 1
k 1 k 2,3,
1 k 1 k k 1, j k j kk j 1 k 1 1 k 1, j j j 1
应用案例：
（1）CUMCM2004-A:奥运临时超市网点设计； （2）CUMCM2004-B:电力市场的输电阻塞管理； （3）CUMCM2005-A:长江水质的评价与预测；