圆环形电流的磁场分布

圆环形电流的磁场分布
福建省石狮市石光中学 陈龙法
摘 要 本文详细推算出圆环形电流的磁场分布（包括磁标势、磁感应强度），证明了圆电流平面上圆内的磁感应强
度为r 的单调增函数，且在圆心处磁感应强度有极小值。

设圆环形电流强度为I ，圆半径为R 0，以圆心为原点，过圆心垂直于圆面的轴为极轴，建立球坐标系。

如图所示。

用半径为R 0的球面把整个空间分成两个区域，在这两个区域内，磁场的标势分别满足拉普拉斯方程
012=∇m φ （r<R 0）
， 022=∇m φ （r>R 0） 由于具有轴对称性，磁标势与方位角φ无关，所以满足边界条件
有限−−→−→01r m φ， 有限−−→−∞
→r m 2φ
的通解可取为：
()θφcos 1n n n
n m P r a ∑= （r<R 0） ⑴
()θφcos 12n n
n n
m P r
b ∑
+= （r>R 0） ⑵ r=R 0的球面上，21m m φφ和满足边值关系：
()φααφφe e f f m m r -=-=∇-∇⨯12 ⑶
()012=∇-∇∙m m r φφe ⑷
解上列⑴⑵⑶⑷式得：
()()f n n n n n
n n n d dP R b d dP R a
αθθθθ=-∑∑+-cos cos 2
10
⑸
()()()0cos cos 1101
=++∑
∑--n
n
n n n n n n
P R na P R b n θθ ⑹
其中，面电流密度⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20πθδαR I f ，I 是圆环中的电流强度 。

⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-2πθδ可按连带勒让德函数展
开：
()()()()θθπθδcos !
1!12
12cos 2n n
n n
n P n n n P f '+-+==⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
-∑∑ ⑺
)
又 ()()θθθd dP P n n cos cos -
='， ()002='k P ， ()()()()k
k k k k P 22122
!!1210+-='+ 于是⑸⑹式可化为：
()()θθcos cos 1
00201
n n n
n n n n n n n P R na R I P R b R a -+-∑∑-='⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛- ()()()0cos cos 11
02
=++∑∑
-+n
n n n n n
n n
P R na P R
b n θθ
于是得到系数n n b a 和满足的方程：
()()0121
202
1
0n n n n n P n n n R I R b R a '++-=-
+- ⑻ 01
120=++
+n n n R a n n
b ⑼ 解⑻⑼式，当n=2k 时，有：
01
4022=-+k k k R a b
01
2214022=++
+k k k R a k k
b 这是关于k k b a 22和的齐次方程组，其系数行列式
012211
1
401
40≠+-++k k R k k
R 所以方程组只有零解，即
022==k k b a ⑽
当n=2k+1时，有：
()()()()212013
20
122012!!2222341k k k k R I
R b R a k k k k k
k +++++++-=-
02
21
23401212=+++
+++k k k R a k k b
解得：
()
()()1
221201
122!!21++++-=k k k k k k R I
a ⑾
()()()()()2
122
20
12!222!2121k k k k IR b k k k
k +++++-= ⑿ 由⑽⑾⑿及⑴⑵式，得到球内外的磁标势：
()
()()()θφcos 2!!2112121
221
201
1+++++∑-=k k k k k k
m P r k k R I
（r<R 0） ⒀
()()()()()θφcos 1
2
!22!21122
21222
2012+++++∑+-=k k k
k k k m P r k k k IR （r>R 0） ⒁ 于是球内外的磁感应强度为：
()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣
⎡++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∇-=+++∑θθθθμφμe e B r 1d dP P k R r k k R I k k k
k k
k m cos cos 122!!21121220122001
0 （r<R 0） ⒂ ()()()()()()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=∇-=++++∑θθθθμφμe e B r d dP P k r R k k k R I
k k k k k
k m cos cos 222
!22!12112123
201
22002
02 （r>R 0） ⒃
根据⒂⒃式，当2
π
θ=
时，利用
()0012=+k P ，
()()
()k
k k k k d dP 22122)!(!121)(cos cos +-=+θθ 便得到圆电流平面上圆内和圆外的磁感应强度为：
()θμe B 1k
k k R r a R I
r 20002∑⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛= （r<R 0） ⒄ ()θβμe B 3
200022+∑⎪⎭
⎫
⎝⎛=k k k r R R I
r (r>R 0) ⒅
其中 ()[]()()442!212!12k k k a k k
++=， ()[]()()
442
!222!12k k k k k ++=β 从⒄式知，
()01>dr
r dB ，故圆电流平面上圆内的磁感应强度()r B 1为r 的单调增函数。

当r=0时，
()r B 1为极小，有()R
I
B 2001μ=
，这正是用毕奥—萨伐尔定律求出的圆电流中心的磁感应强度。

（2001/10/22）。