两角和与差的三角函数及倍角公式的综合运用
).1(≠k 高一数学一、本讲教学内容两角和与差的三角函数及倍角公式的综合运用二、典型例题选讲例1 已知)tan()tan(βαβα+⋅=-k求证：.112sin 2sin kk-+=βα 分析 注意到已知条件中的角βα-、βα+与欲证等式中的角α2、β2的关系：),()(2βαβαα-++=),()(2βαβαβ--+=因此可用两角和与差的正弦公式变形，再用已知条件代入进行证明.证：)]()sin[()]()sin[(22sin βαβαβαβαβα--+-++=sjin =)sin()cos()cos()sin()sin()cos()cos()sin(βαβαβαβαβαβαβαβα-⋅+--⋅+-⋅++-⋅+= )tan()tan()tan()tan(βαβαβαβα--+-++=.11)tan()tan()tan()tan(kkk k -+=+⋅-++⋅++βαβαβαβα 评析 本题也可以由已知得)tan()tan(βαβα+-=k ，代入右边，得=+--+-+=-+)tan()tan(1)tan()tan(111βαβαβαβαk k )tan()tan()tan()tan(βαβαβαβα--+-++,cos cos )sin(cos cos sin cos cos sin cos sin cos sin tan tan BA B A B A B A B A B B A A B A ⋅±=⋅⋅±⋅=±=±Θ .2sin 2sin )]()sin[()]()sin[(11βαβαβαβαβα=--+-++=-+∴k k 例2 已知,43sin sin =+βα求βαcos cos +的取值范围. 分析 βαcos cos +难以直接用βαsin sin +的式子来表达，因此设t =+βαcos cos ，并找出t 应满足的等式，从而求出βαcos cos +的取值范围.解 令t =+βαcos cos ，① 由已知，43sin sin =+βα. ② ①2+②2 ：,169sin sin sin 2sin cos cos cos 2cos 22222+=+⋅+++⋅+t ββααββαα ,169)cos(222+=-+t βα ).cos(216232βα-+=t ].1655,0[,1)cos(12∈∴≤-≤-t βαΘ ],455,455[-∈t 即].455,455[cos cos -∈+βα 例3 求函数x x x x x f cos sin 3cos sin )(⋅+-=的值域 分析)(x f 的解析式中既有x sin ，又有x cos ，若由1cos sin 22=+x x 将x cos 表示成x 2sin 1-±或将x sin 表示成x 2cos 1-±，都会出现根式，且需要讨论符号，因此这种做法不可取.注意到x x x x cos sin 21)cos (sin 2⋅-=-，因此可作代换：,cos sin t x x =-则x x cos sin ⋅和x x cos sin -都可以用t 表示，)(x f 就可以变形为t 的二次函数，再由二次函数在闭区间上的值域就可以求得)(x f 的值域.解 令,cos sin x x t -= 则,cos sin 212x x t ⋅-= .21cos sin 2t x x -=⋅.2361)31(232323213cos sin 3cos sin )(222++--=++-=-⋅+=⋅+-=t t t t t x x x x x f ].2,2[).4sin(2)4sin cos 4cos (sin 2cos sin -∈∴-=⋅-⋅=-=t x x x x x t πππΘ当;352361)(,31max =+==x f t 当.223232)2(23)(,22min --=+---=-=x f t)(x f ∴的值域为}.35223{≤≤--y y评析 相应于)4sin(2cos sin π-=-x x x ，还有更一般的情况：),cos (sin cos sin 222222b a b x b a a x b a x b x a +⋅++⋅+=+ ,1)()(222222=+++b a b b a a Θ ∴可以设,sin ,cos 2222ϕϕ=+=+b a b b a a 则)sin(cos sin 22ϕ++=+x b a x b x a ，并由此可求出x b x a cos sin +的取值范围.如),54cos 53(sin 5cos 4sin 3x x x x -⋅=-设,54sin ,53cos ==ϕϕ则),sin(5cos 4sin 3ϕ-=-x x x 若,R x ∈则].5,5[cos 4sin 3-∈-x x例4 已知,0cos cos cos ,0sin sin sin =-+=+-γβαγβα且α、β、γ均为钝角，求角βα+的值.解 由已知，⎩⎨⎧=+-=-.cos cos cos ,sin sin sin γβαγβα①2+②2： .cos sin cos cos cos 2cos sin sin sin 2sin 222222γγββααββαα+=+⋅+++⋅-.21)cos(,1)cos(22-=+=++βαβα ,2,2πβππαπ<<<<Θ .34,2πβαπβαπ=+<+<∴评析 仅由21)cos(-=+βα，不能确定角βα+的值，还必须找出角βα+的范围，才能判断βα+的值. 由单位圆中的余弦线可以看出，若,20πβα<+≤使21)cos(-=+βα的角为32π或;34π若,R ∈+βα则ππβαk 232+=+或).(234Z k k ∈+=+ππβα例5 已知,212tan ,98tan tan -=-=⋅βαβα求)cos(βα+的值.分析 因βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+，所以只要求出βαcos cos ⋅和βαsin sin ⋅的值.由已知，βαβαcos cos 98sin sin ⋅=⋅，所以如能由2tan βα-求出βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=-的值，即可求得)cos(βα+的值.解 .53)21(1)21(12tan 12tan 12sin 2cos 2sin 2cos )cos(,212tan 22222222=-+--=-+--=-+----=-∴-=-βαβαβαβαβαβαβαβαΘ ,cos cos 98sin sin ,98tan tan .53sin sin cos cos βαβαβαβαβα⋅=⋅∴=⋅=⋅+⋅∴Θ 53cos cos 98cos cos =⋅+⋅βαβα，.8527cos cos =⋅βα .852*******sin sin =⋅=⋅βα .85385248527sin sin cos cos )cos(=-=⋅-⋅=+∴βαβαβα评析 一般地，)cos(),cos(βαβα-+和βαtan tan ⋅之间有关系：,tan tan )cos()cos()cos()cos(βαβαβαβαβα⋅=++-+--或写成.tan tan 1tan tan 1)cos()cos(βαβαβαβα⋅-⋅+=+-例6 已知,312tan =-βα，求βαβα2sin 2sin )(sin 2⋅-+的值. 分析 由2tan βα-可以求出βα-的三角函数，因此需要把欲求值的式子变形为关于βα-的三角函数的式子.解 ,2sin 2sin 2cos 2cos )22cos(βαβαβα⋅+⋅=-Θ ,2sin 2sin 2cos 2cos )22cos(βαβαβα⋅-⋅=+∴,2sin 2sin 2)22cos()22cos(βαβαβα⋅=+-- )].22cos()22[cos(212sin 2sin βαβαβα+--=⋅ ).(sin )]22cos(1[21)]22cos()22[cos(212)22cos(12sin 2sin )(sin 22βαβαβαβαβαβαβα-=--=+---+-=⋅-+.53)31(13122tan 12tan22sin 2cos 2cos 2sin 2)sin(2222=+⨯=-+-=-+--⋅-=-βαβαβαβαβαβαβαΘ .259)53(sin 2sin )(sin 222==⋅-+∴βαβα评析 与)]cos()[cos(21sin sin B A B A B A +--=⋅类似，有)].cos()[cos(21cos cos B A B A B A ++-=⋅①②例7 已知,43πβα=+求βαβαcos cos 2cos cos 22++的值.分析 由例6评析，)],cos()[cos(21cos cos βαβαβα++-=⋅因此希望把βα22cos cos +也变形为βα+和βα-的三角函数.解)]cos()[cos(21222cos 122cos 1cos cos 2cos cos 22βαβαβαβαβα++-⋅++++=⋅++= ]43cos )[cos(2222cos 2cos 1πβαβα+-+++. )]()cos[()]()cos[(2cos 2cos βαβαβαβαβα--++-++=+Θ=)cos()cos(2βαβα-⋅+ ， ∴βαβαcos cos 2cos cos 22++=]22)[cos(22)cos()cos(1--+-⋅++βαβαβα= .2121)cos(22)cos(43cos1=--+-⋅+βαβαπ 评析 若令βα2,2==B A ，则由上述解题过程可知，2cos 2cos2cos cos BA B A B A -⋅+=+，类似地有.2sin 2sin2cos cos BA B A B A -⋅+-=- 例8 求值：（1）;84cos 66sin 2263cos 63sin οοοο⋅+- （2）.80cos 50cos 20sin οοο-分析 （1）οοο1508466=+为特殊角，οοο186684=-，因此有οοοοο97521815066-=-=，;97521815084οοοοο+=+=（2）οοο302050=-为特殊角，οοο702050=+，因此有.15352307050,153********οοοοοοοοοο+=+=-=-= 解 （1）οοοο84cos 66sin 2263cos 63sin ⋅+-=)975cos()975sin(22)2263cos 2263(sin 2οοοοοο+⋅-+⋅-⋅= )9sin 75sin 9cos 75)(cos 9sin 75cos 9cos 75(sin 22)4563sin(2οοοοοοοοοο⋅-⋅⋅-⋅+-=)9cos 9sin 75sin 9cos 9sin 75cos 9sin 75cos 75sin 9cos 75cos 75(sin 2218sin 22222οοοοοοοοοοοοο⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅+⋅⋅+=)9cos 9sin 75cos 75(sin 2218sin 2οοοοο⋅-⋅+=.22150sin 2)18sin 150(sin 218sin 2==-+οοοο （2）οοοοοοοο80cos )1535cos()1535sin(80cos 50cos 20sin +--=-=οοοοοοοοο80cos 15sin 35sin 15cos 35cos 15sin 35cos 15cos 35sin ⋅+⋅-⋅-⋅=.310sin 60sin 210sin 210sin )4515sin(2)4535sin(280cos )15sin 15)(cos 35cos 35(sin -=⋅-=+⋅-=+-οοοοοοοοοοοοο练 习一、选择题1．24cos 1+等于 （ ） A ．2cos B ．2cos - C ．2sin D ．2sin -2．已知),2(),2,0(ππβπα∈∈，且135cos ,6533)sin(-==+ββα，则αsin 的值等于 （ ）A ．53B ．54C ．6513D ．65363．已知41)4tan(,52)tan(=-=+πββα，则)4tan(πα+等于 （ ）A ．183B ．1813C ．223D ．22134．下列式子中不正确的是 （ ） A ．οοο20cos 40sin 2340cos 21=+B ．οοοtan5tan401tan401=+-C ．οοο40csc 220cot 20tan =+D ．οοο40cos 140sin 20cot +=5．已知21tan -=α，则α2sin 的值等于 （ ）A ．53B ．53-C ．54D ．54- 6．已知53sin -=θ，且θ是第三象限角，则2tan θ的值是A ．3-B ．31-C ．3-或31-D ．3或31二、填空题7．求值：οοοοο75sin 60sin 45sin 30sin 15sin ⋅⋅⋅⋅= . 8．已知54cos ,53sin =-=αα，则角α2是第 象限角. 9．已知α、β、γ均为锐角，且81tan ,51tan ,21tan ===γβα，则γβα++= . 10．求值：οοοο70cos 120cos )5cot 5(tan -⋅-= .三、解答题11．求值：（1）;94cos 92cos9cos πππ⋅⋅ （2）.125cos 12sin ππ⋅ 12．已知3tan =α，求αα2cos 5sin 22-的值.13．求证：（1）;21tan 212cos 2sin 12sin 1+=+++αααα （2）;4cos 812cos 2183sin 4ααα+-=（3）.)2cos 2(sin )sin 1)(sin 1(2βαβαβα--+=-- 14．（1）已知,43sin cos ,21cos sin =+=+βαβα求 );sin(βα+（2）已知,825)sin(=+βα,42)sin(=-βα求.tan tan βα答案与提示[答案]一、1．B 2． A 3．C 4．D 5．D 6．A 二、7．3268．四 9．4π 10．2三、11．（1）81， （2）432- 12．529 13．略14．（1）,3219 （2）37[提示]一、1．.2cos 2cos ,22,2cos 24cos 1-=∴<<=+ππΘ 4．,5tan )4045tan(40tan 140tan 1,20cos )4060cos(40sin 2340cos 21οοοοοοοοοο=-=+-=-=+ οο20cot 20tan +=οο20cos 20sin +οο20sin 20cos =οοοοοοοοο20tan 20cos 220cos 20sin 240cos 140sin ,40sin 220cos 20sin 12=⋅=+=⋅ 5．.54)21(1)21(2tan 1tan 2sin cos cos sin 22sin 2222-=-+-⨯=+=+⋅=ααααααα6．θθ,53sin -=Θ是第三象限角，.54cos -=∴θ .353)54(1sin cos 12cos 2sin 22sin 22cos 2sin2tan 2-=---=-=⋅==θθθθθθθθ 二、8..01)54(22cos ,054)53(22sin 2>-⋅=<⋅-⋅=αα9..16565819718197)tan(,97512115121)tan(==⋅-+=++=⋅-+=+γβαβα α∴<<<,181,151,121Θ、β、).4,0(πγ∈ .4),43,0(πγβαπγβα=++∴∈++10.210cos 10sin 2110sin 10cos 10cos 10sin 210sin 25cos 5sin 5sin 5cos 20sin 10sin 2)5sin 5cos 5cos 5sin (70cos 120cos )5cot 5(tan 2222=⋅⋅=⋅⋅⋅-=-⋅-=-⋅-οοοοοοοοοοοοοοοοοοοοο. 三、11．（1）.819sin898sin9sin 894cos 92cos9cos9sin894cos 92cos9cos ==⋅⋅⋅=⋅⋅ππππππππππ（2）.43226cos1sin 125cos12sin122-=-==⋅ππππ 12．.529135371tan 5tan 7cos sin cos 5sin 7)sin (cos 5sin 22cos 5sin 2222222222222=+-⨯=+-=+-=--=-ααααααααααα 13．（1）.21tan 21cos 2cos sin )sin (cos cos 2)cos (sin 2sin cos 22sin 12cos 2sin 12sin 122+=+=++=++=+++ααααααααααααααα（2）αααα2cos 412cos 2141)22cos 1(sin 224+-=-==24cos 1412cos 2141αα+⋅+-=.4cos 812cos 2183αα⋅+- （3）22)2cos 2(sin )2cos 2(sin )sin 1)(sin 1(ββααβα-⋅-=--=2)2sin 2cos 2cos 2sin 2cos 2cos 2sin 2(sin βαβαβαβα--+=.)2cos 2(sin )2sin 2(cos 22βαβαβαβα--+=+-- 14．（1）,21cos sin =+βα ① ,43sin cos =+βα ②①2+②2： 16941sin cos 2cos sin 22+=⋅+⋅+βαβα， .3219)sin(,21613)sin(2-=+-=+βαβα（2）,825sin cos cos sin =⋅+⋅βαβα ① ,42sin cos cos sin =⋅-⋅βαβα ② ①+② ：,1627cos sin =⋅βα ③ ①－② ： ,1623sin cos =⋅βα ④③ ：.37tan tan =βα④ 22。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式(高三一轮复习)
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
2．若sinπ6－α＝12，则cosπ3－2α＝( A )
1 A.2
B．－12
3 C. 2
D．－
3 2
解析 因为sinπ6－α＝12， 所以cos3π－2α＝cos2π6－α ＝1－2sin2π6－α＝1－2×122＝12.
— 9—
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
3．sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝( A )
1 A.2
B．
3 2
C．－12
D．－
3 2
解析 sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12.
— 10 —
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 11 —
3＋ 3×
333＝－223 3
3 ＝－
3 3.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 21 —
命题点2 三角函数公式的逆用和变形应用
例2 (1)计算：4cos 10°－csoins 1100°°＝ － 3 .
(2)(2022·江苏盐城模拟)tan
9π＋tan
29π＋
3tan
π 9tan
命题点3 三角函数公式的灵活应用
考向1 角的变换
例3 已知cos52π－α＝2cos(2π＋α)，且tan(α＋β)＝13，则tan β的值为( D )
A．－7
B．7
C．1
D．－1
解析
因为cos 52π－α ＝2cos(2π＋α)，所以sin
α＝2cos
α，所以tan
α＝
两角和与差倍角半角公式
两角和与差倍角半角公式一、两角和与差公式：两角和公式可以将两个角的三角函数之和表示为一个角的三角函数。
具体来说，对于任意两个角A和B，有以下两角和公式：1. 正弦和：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B2. 余弦和：cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B3. 正切和：tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)类似地，两角差公式可以将两个角的三角函数之差表示为一个角的三角函数。
具体来说，对于任意两个角A和B，有以下两角差公式：1. 正弦差：sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B2. 余弦差：cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B3. 正切差：tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B)这些公式的推导可以通过欧拉公式和三角函数的定义推导得到。
二、倍角公式：倍角公式可以将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数。
具体来说，对于任意角A，有以下倍角公式：1. 正弦倍角：sin(2A) = 2sin A cos A2. 余弦倍角：cos(2A) = cos^2 A - sin^2 A = 2cos^2 A - 1 = 1 - 2sin^2 A3. 正切倍角：tan(2A) = (2tan A) / (1 - tan^2 A)倍角公式的推导可以通过两角和公式和三角函数的定义推导得到。
三、半角公式：半角公式可以将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数。
具体来说，对于任意角A，有以下半角公式：1. 正弦半角：sin(A/2) = ±√((1 - cos A) / 2)2. 余弦半角：cos(A/2) = ±√((1 + cos A) / 2)3. 正切半角：tan(A/2) = ±√((1 - cos A) / (1 + cos A))半角公式的推导可以通过两角和公式和三角函数的定义推导得到。
5.4 两角和与差、二倍角的三角函数公式
高考总复习数学 高考总复习 数学
�
高考总复习数学 高考总复习 数学
1 + cos 2 x 1 + sin 2 x 解: f ( x) = 2 2
2 2 2 1 = ( sin 2 x + cos 2 x) + 2 2 2 2 2 π 1 = sin(2 x + ) + 2 4 2
3π 2 1 1 (I) f ( ) = sin π + = 8 2 2 2
(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)若角a在第一象限且
3 cos α = 5
,求 f (α )
高考总复习数学 高考总复习 数学
π sin x + ≠ 0 解:(Ⅰ) 由 2 π x ≠ kπ ( k ∈ Z ) 即
π 得 x ≠ + kπ , 2
2
π 故 f ( x) 的定义域为 x ∈ R | x ≠ kπ ,k ∈ Z 2
1 + cos 2α + sin 2α 2 cos 2 α + 2sin α cos α = = cos α cos α
14 = 2(cos α + sin α ) = 5
高考总复习数学 高考总复习 数学 【点评与感悟 点评与感悟】求值,化简,证明是三角函数中最常见的题型, 点评与感悟 其解题一般思路为 "五遇六想"即:遇到切,想化弦;遇多元, 想消元;遇差异,想联系;遇高次,想降次;遇特角,想求值; 想消元,引辅角. "五遇六想"作为解题经验的总结和概括,操 作简便,十分有效.其中蕴含了一个变换思想(找差异,抓联 系,促进转化),两种数学思想(转化思想和方程思想),三 个追求目标(化为特殊角的三角函数值,使之出现相消项或相 约项),三种变换方法(切化弦法,消元降次法,辅助元素法).
两角和与差及二倍角三角函数公式
05 公式的应用举例
在三角形中的应用
已知两边及夹角求第三边
求三角形的面积
利用两角和与差的余弦公式，结合三 角形的边长和角度关系，可以求出第 三边的长度。
在已知三角形的三边长度时，可以利 用海伦公式结合两角和与差的三角函 数公式求出三角形的面积。
判断三角形的形状
通过比较三角形的三个内角的余弦值， 可以判断三角形的形状（锐角、直角 或钝角^circ - 45^circ) = cos30^circcos45^circ + sin30^circsin45^circ = frac{sqrt{3}}{2} times frac{sqrt{2}}{2} + frac{1}{2} times frac{sqrt{2}}{2} = frac{sqrt{6} + sqrt{2}}{4}$。
二倍角公式允许我们将一个 角的二倍角的三角函数表达 式化简为单角的三角函数表 达式，这在解决一些特定问 题时非常有用，如求某些特 殊角的三角函数值或证明某 些恒等式。
公式在三角恒等 式证明中的应用
两角和与差及二倍角公式在 三角恒等式的证明中扮演着 重要角色。通过使用这些公 式，我们可以将复杂的三角 函数表达式化简为更简单的 形式，从而更容易地证明恒 等式。
04 公式推导与证明
两角和与差公式的推导
利用三角函数的和差化积公式， 将两角和与差的三角函数表达式 转化为单个角的三角函数表达式。
通过三角函数的加减变换，得到 两角和与差的正弦、余弦公式。
结合三角函数的周期性，将公式 扩展到任意角。
二倍角公式的推导
利用三角函数的倍角公式，将 二倍角的三角函数表达式转化 为单个角的三角函数表达式。
三角函数的性质
两角和与差的三角函数 解斜三角形 倍角公式的应用 教案
两角和与差的三角函数，解斜三角形·倍角公式的应用·教案北京二十二中学李向东教学目标1．使学生熟练地掌握二倍角公式及其有关变形公式来解题．2．使学生会利用倍角公式解决某些几何问题，初步学会用三角法解几何问题．3．培养学生解决实际问题的能力．教学重点与难点教学重点是灵活运用倍角公式及其变形．教学难点是恰当取角作自变量，用三角法解决几何问题．教学过程设计师：我们上节课学习了倍角公式，请一名同学叙述一下公式内容．生：sin2α=2sinα·cosα；cos2α=cos2α-sin2α=1-2sin2α=2cos2α-1；师：倍角公式不限于二倍角，凡用单角的三角函数来表示的三倍角、四倍角等三角恒等式，都叫倍角公式．请大家想想，我们还学习了哪些倍角公式？生：三倍角的正弦、余弦公式，即sin3θ=3sinθ-4sin3θ；cos3θ=4cos3θ-3cosθ．另外我还推导出三倍角的正切公式，即师：很好．这几个公式不太好记忆，请大家找些规律，能把它们记住是最好的，但切忌死记硬背．另外还要做到会推导这组公式．（教师应该从平时就注意培养学生的记忆能力，教会学生找规律，抓特点，多联想，这样这些公式、定理就不再是枯燥的了．）师：下面请同学们结合所学的知识，完成两道练习．（板书）例1 求值：（1）sin215°；（2）cos36°·cos72°．（给学生一些时间考虑，不要怕耽误时间，而要让学生多参与．）师：刚才我巡视了两行，只有个别同学做出了结果，而对多数同学而言，之所以解题受阻，其主要原因是对“活”理解不够．换句话说，就是只记住了公式的直观形式，而缺乏继续推导其有关变形的能力．我们一起来看，由即（请学生观察公式变形后的特点，然后再进行归纳．）师：通过观察，可以发现C′2α有两个特征．第一，左边是正弦或余弦的二次幂，右边是余弦的一次幂，即从左至右，将正弦或余弦的二次幂化为余弦的一次幂，达到了降幂的作用；第二，左边是单角，右边是二倍角，即从左至右，将单角转化为二倍角，达到了扩角的作用．基于上述原因，我们将C2α的两个变形公式称为降幂扩角公式．由于课本上没有这几个公式，但它们在化简和证明中又起着非常重要的作用，我们不妨称之为“二等公式”，即二倍角公式的推论，大家在做题中可以直接运用，以达到事半功倍的效果．这样，我们来看看刚才的两道题，就不难解决了．请大家再做两道题，以体会这几个“二等公式”的重要作用．练习求值：（给些时间请学生思考．观察题目特点，设想解题思路．）生：右边分成两部分，一部分是单角、二次余弦函数，另一部分是二倍角、一次正弦函数．倘若对sin2x 变形，既会出正弦函数，又会出余弦函数，反而使问题更加复杂，所以我考虑对cos2x变形，从而向sin2x看齐，即：这样变形，将其转化为正弦型三角函数，求最值便迎刃而解．重要，是整个题目求解的关键一步．师：非常好．同学们在学习过程中应切实重视这几个公式的应用．另外作为整个三角函数知识部分的学习，我仍然强调一个重要的字，即“活”，活字当先，想题，做题要善于联想，不拘一格．这部分知识公式多，对同学们而言是件好事，但千万不要受制于这些公式，限制自己的思维．正弦，余弦，正切．师：这是一个涉及平面几何的题目，因而在一些推导步骤中要使用相关的性质．请同学们思考几个问题：第一，等腰三角形中，已知底角锐角，还是钝角，还是两种可能都有；第三，如何利用所学的三角知识求解．生：不妨设等腰三角形顶角为α，底角为β，由三角形内角和等于180°，有α+2β=180°，即α=180°-2β．是锐角．也可以是钝角，而在本题中，因为是等腰三角形，所以底角不能是钝角，只能是锐角，否则破坏了三角形内角和定理．师：同学们说得都很好，说明了平面几何知识是比较扎实的．下面请一名同学叙述如何利用三角知识求解．因为是等腰三角形，所以β只能是锐角．因此由α+2β=180°，得后，能否利用同角三角函数关系式，即sin2α+cos2α=1，求cosα呢？答案应该是肯定的，但如何确定符号呢？（全体学生参与讨论，对今后的学习是大有帮助的．）生：可以利用sin2α+cos2α=1求cosα．师：问题圆满地解决了．从中我们受到哪些启示呢？要一题多解，要学会“自圆其说”，出现问题不怕，要有锲而不舍的精神，充分利用所学的知识，探讨问题的根源，研究解决问题的办法，寻找求解的途径，要学会学习，这对你们的成长与发展是至关重要的．师：作为学生，仅仅利用所学的知识来完成家庭作业，来应付各类考试，从认识上是很片面的．应该学会利用知识来解决实际生活中的问题，提高你的综合素质．例4：把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法才能使横截面的面积为最大？（请学生思考，并在笔记本上画图．）师：我们通过画图，将实际应用问题转为数学中的几何问题．如图2所示，四边形ABCD是圆O的内接矩形，对角线AC=2R．师：你能猜想出结论吗？（引导学生猜想，猜想是发现的开始．）师：错了没有关系，重在参与，失败是成功之母嘛！生：当圆内接矩形是正方形时，横截面面积最大．（不一定叫成绩好的学生，而是胆大者，思维活跃者．）师：听着有道理，很不简单，但口说无凭，怎样才能验证结论呢？（既鼓励大胆猜想，又提出更高要求，使学生仍处于亢奋境地．）师：这道题其实涉及最值问题．我们以前所学的哪些知识可以求最值？（温故而知新，让学生不断地去想．）生：利用二次函数求最值．教师：很好．二次函数是非常重要的一段知识，你能试着解解吗？（及时肯定学生的想法，激发学生的兴趣，对培养学习能力是十分重要的．）生：如图2所示，圆O的内接矩形ABCD的面积S=AB·BC，而AB，BC均在Rt△ABC中，因此只需研究Rt△ABC中的边与边的关系．若以一边AB作为自变量x，则另一边BC可求，从而矩形ABCD的面积可表为x的函数．即：以，矩形面积表示为S2=x2·（4R2-x2）=-x4+4R2x2=-（x2-2R2）2+4R4．S最大值=2R2．时圆内接矩形为内接正方形．师：很好．看来这位同学在二次函数部分所学的知识是很扎实的，解题步骤也很清晰，但作为本题而言略有不足，谁发现了呢？生：这不是一道纯数学味道的有关最值的题目，而是一道应用题，所以应该以答题的形式明确对圆木怎么锯法才能使横截面的面积最大．（这是很容易忽视的一个问题，只把应用问题转化为数学问题固然重要，但也应该将最后的结论还原为应用问题的解答，以培养和训练学生的表达能力．）生：以圆木的直径为对角线，锯成横截面为正方形的木料时，横截面的面积最大．师：这是典型的代数法求最值，以线段作自变量，寻求面积函数关系式后，用配方法求函数最值．此外本题还可以用判别式法（看作x2的二次方程）求最值，请同学们课下做做．将来随着学习的深入，还可以利用平均值不等式求最值．但是不论怎样，求解过程都比较繁琐．结合我们所学的三角部分知识，今天来探讨另一类重要的求最值方法——三角法．（板图，教师讲解．）师：区别于代数法的以边作自变量，三角法顾名思义，就是以角作自变量，寻求面积的函数关系后，进而求最值．BC=2R·sinθ，AB=2R·cosθ．从而S=AB·BC=2R·cosθ·2Rsinθ=4R2sinθ·cosθ=2R2sin2θ．所以当sin2θ=1时，S最大值=2R2，即：当2θ=90°，θ=45°时，圆内接矩形面积最大，这时圆内接矩形为正方形．答：以圆木的直径为对角线，锯成横截面为正方形的木料，此时横截面面积最大．（教师不要急于小结本题，而是给学生时间，请他们回味数学的奥妙所在，自己对两种方法作比较．）师：两种方法都是我们求最值的主要手段，就本题而言，显然三角法简便一些．它的关键是适当选取角作自变量，寻找面积函数，探求面积的最值．师：上题中倘若改变一下已知条件，请同学们根据所学的知识作出判断．（1）若把上述问题中的圆木改换成半圆木，要锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法才能使横截面的面积最大？如图4所示．（2）若将上述问题中的圆木换成圆心角为90°的扇形圆木，结论又将如何呢？如图5所示．（我想大多数学生会运用三角法求解，关键是如何选取角作自变量，寻找面积函数，请学生充分讨论后，上黑板书写解题过程．）BC=R·sinθ，AB=2R·cosθ．所以S=AB·BC=2Rcosθ·Rsinθ=R2sin2θ．当矩形长是宽的2倍，即如图4那样截取时，矩形面积最大值为R2．（上题的答题有一定难度，可适当降低对学生的要求．）生：连结OC．设∠BOC=θ（0＜θ＜90°），则BC=R·sinθ，OB=R·cosθ．所以答：以直角扇形的对称轴所在线段作为对角线，锯成横截面为正方形的木料时，横截面的面积最大．师：（小结）这一节课我们在二倍角公式的基础上，又推导出几个重要的“二等公式”，它们常常是我们做题中重要的变形手段，请大家掌握．另外我们也初步探讨了几何量的最值问题，解决这类问题的方法较多，三角法是其中的一种重要方法，它的基本步骤是：（1）寻找与探求结论有关的三角形．（2）适当选取角作自变量，寻求函数关系．（3）适当进行三角恒等变形后，再根据自变量的取值范围来确定函数的最值，从而最终得出结论．作业课本P225习题十六第3题．补充题正切．2：已知：矩形ABCD的长AB=a，宽AD=b．试求：它的外接矩形EFGH面积的最大值和它的对角线长的最大值．课堂教学设计说明这份教案是倍角公式变形及运用一堂课的实录，师生共同参与，以问答的形式，详细地叙述出来．倘若只是为了自己教学，只要记下教学过程即可：1．复习倍角公式并提出新问题．2．结合题目引出降幂扩角公式．3．利用降幂扩角公式求最值．4．应用倍角公式求解三角形中内角的三角函数．5．应用倍角公式解决实际应用问题．6．小结，作业．这节课是在上节倍角公式的基础上，进一步深化，并将其巧妙地应用到解决实际应用问题中．降幂扩角公式作为倍角公式的变形公式，可将三角部分中一些高次问题降为一次，将半角、或单角转化为倍角，它的作用在做题中是很明显的，关键是如何让学生真正理解并适时地应用它．课程中我以先提问题来教导学生仅仅死记公式，而缺乏灵活地应用必然会处处碰壁，进而抛出降幂扩角公式，让学生体会它的作用，以加深对它的认识．我认为这是主动的，有效的接受知识，而不是被动的，机械的记忆．教学的实质是思维过程的教学，“直截了当”则掩盖了“思维过程”，把知识和方法不是作为思维过程展示到学生面前，而是作为结果抛给学生，这种“奉送”的做法势必回避了数学思想的培养．有一句话说得很有哲理“人类失去联想，世界将会怎样．”因此，我们作为教师应当把教会学生如何学习放在首位．这节课的另一个重点是圆内接矩形的那道应用题，主要是想培养学生的解决实际问题的能力．这样的题目实际上是对学生能力的考察．在提倡素质教育的今天，如何将课堂上所学的知识用来解决实际中的问题，以提高学生综合素质，是值得广大教师深思的．教学中首先展示的是学生容易想到的二次函数的方法，是“温故”；运用所学的三角知识简单而迅速的解决问题，是“知新”．二者进行对比，使学生了解到不同方法的优缺点，是“升华”．又针对半圆，四分之一圆的情况进行了研讨，学生对用三角法解题中最难的问题，即选择自变量有了更加深刻的理解，定会将它用到今后的学习中．这样学生对所学知识在实际中的作用有了直观的认识，同时又学到了新的解题方法，教师的教学目的就达到了．。
三角函数基础,两角和与差、倍角公式
x a 5a ； ； r 5 5a y 2a 2a 2 5 当 a 0时， ； sin r 5 5 | a | 5a cos cos x a 5a ． r 5a 5
九．三角函数的符号 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
1
[键入文字]
（2）比值 （3）比值
x x 叫做α 的余弦，记作 cos ，即 cos ； r r
y y 叫做α 的正切，记作 tan ，即 tan ； x x
说明：①α 的始边与 x 轴的非负半轴重合，α 的终边没有表明α 一定是正角或负角，以及α 的大小，只表明与α 的 终边相同的角所在的位置； ②根据相似三角形的知识，对于确定的角α ，六个比值不以点 P( x, y) 在α 的终边上的位置的改变而改变大小； ③当
11 ． 3
cos x cos x
tan x tan x
3
[键入文字]
练习：
一、填空题 1．
是第二象限角，则 是第
2
象限角.
2．已知扇形的半径为 R，所对圆心角为 ，该扇形的周长为定值 c，则该扇形最大面积为 .
同角三角函数的基本关系公式:
sin tan cos tan cot 1 cos cot sin
3．例题分析
{ |
2
R
例 2．已知角α 的终边过点 (a, 2a)(a 0) ，求α 的六个三角函数值。 解：因为过点 (a, 2a)(a 0) ，所以 r 5 | a | ， 当 a 0时， sin
x a, y 2a
y 2a 2a 2 5 ； r 5 5|a| 5a
三角函数两角和差及二倍角公式
三角函数两角和差及二倍角公式一、三角函数的两角和差公式对于任意两个角A和B，我们定义它们的和角为C=A+B，差角为D=A-B。
三角函数的两角和差公式能够将C和D的三角函数表示成A和B的三角函数。
1.两角和公式sin(C) = sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinBcos(C) = cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinBtan(C) = tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)这些公式可以用来计算两个角的正弦、余弦和正切之和。
2.两角差公式sin(D) = sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinBcos(D) = cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinBtan(D) = tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanAtanB)这些公式可以用来计算两个角的正弦、余弦和正切之差。
二、三角函数的二倍角公式对于角A，我们定义它的二倍角为B=2A。
三角函数的二倍角公式能够将B的三角函数表示成A的三角函数。
1.二倍角正弦公式sin(B) = sin(2A) = 2sinAcosA这个公式可以用来计算角A的二倍角的正弦。
2.二倍角余弦公式cos(B) = cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A) = 2cos^2(A) - 1 = 1 - 2sin^2(A)这个公式可以用来计算角A的二倍角的余弦。
3.二倍角正切公式tan(B) = tan(2A) = (2tanA) / (1 - tan^2(A))这个公式可以用来计算角A的二倍角的正切。
三、证明示例我们可以通过证明示例来演示三角函数的两角和差及二倍角公式。
示例1：证明sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB证明：由于正弦函数的定义，我们有：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB因此，得证。
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
时 集 训
堂
考 点 探
sin αcos α＝12sin 2α.
究
返 首 页
3．cos α＝2cos2α2；
回
课
顾
1－cos α＝2sin2α2；
后 限 时
集
课 堂 考
1＋sin α＝sin
α2＋cos
α22；
训
点
探 究
1－sin α＝sin
α2－cos
回
课
顾( )
后
限
课
A．－121
2 B.11
时 集 训
堂
考
11
点 探
C. 2
D．－121
究
返 首 页
课 前 自
A [∵α∈(π2，π)，∴tan α＝－34，又 tan β＝－12，
主
回 顾
∴tan(α－β)＝1＋tantaαn－α·tantaβn β
课 后 限
时
课 堂 考 点 探
＝1＋（－－12）34＋×12（－34）＝－121.]
α22.
返 首 页
课
前
自
主
回
顾
4．半角正切公式
课 后
限
课
tan
α2＝1＋sincoαs
α＝1－sincoαs
α .
时 集 训
堂
考
点
探
究
返 首 页
课 前
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
自 主
(1)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sin α＋sin β 成立．( )
集
课
训
堂
考
＝ 3－ 3tan 20°tan 40°，
第24讲 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式(讲)(解析版)
第24讲 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式（讲）思维导图知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β． C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin_αsin β． S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos_αsin β． S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β． T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α＋β≠π2＋k π，k ∈Z .T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α－β≠π2＋k π，k ∈Z .2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2α：sin 2α＝2sin αcos α．C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α． T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠π4＋k π2，且α≠k π＋π2，k ∈Z .题型归纳题型1 公式的直接应用【例1-1】（2020春•六盘水期末）已知sin （π﹣α）=√33，则cos2α＝（ ） A ．2√23B ．−13C ．23D ．13【分析】由已知利用诱导公式可求sinα的值，进而根据二倍角的余弦函数公式即可计算求解． 【解答】解：∵sin （π﹣α）＝sinα=√33， ∴cos2α＝1﹣2sin 2α＝1﹣2×(√33)2=13．故选：D ．【例1-2】（（2020春•金牛区校级期末）计算cos18°•cos42°﹣cos72°•sin42°＝（ ） A ．12B ．−12C ．√32D ．−√32【分析】直接利用三角函数的诱导公式的应用和余弦的和角公式的运用求出结果． 【解答】解：cos18°•cos42°﹣cos72°•sin42°＝cos18°•cos42°﹣sin18°•sin42°=cos60°=12． 故选：A ．【例1-3】（（2020春•上饶期末）若3sinα−2sin(α+π3)−√7=0，则tanα＝（ ） A ．−2√33B ．2√33C ．−√32D ．√32【分析】由两角和的正弦公式展开整理可得√3cosα＝2sinα−√7，两边平方，由基本关系式sin 2α+cos 2α＝1可得7sin 2α﹣4√7sinα+4＝0，解出sinα，进而求出cosα，再求出结果．【解答】解：由3sinα−2sin(α+π3)−√7=0，化简可得3sinα﹣2⋅12sinα﹣2⋅√32cosα=√7，即2sinα−√3cosα=√7，所以√3cosα＝2sinα−√7，两边平方可得3cos 2α＝4sin 2α﹣4√7sinα+7，整理可得3（1﹣sin 2α）＝4sin 2α﹣4√7sinα+7，即7sin 2α﹣4√7sinα+4＝0，解得sinα=2√7， 所以√3cosα＝27−√7=7，所以cosα=√37， 所以tanα=sinαcosα=27−3√7=−2√33．故选：A ．【跟踪训练1-1】（2020春•河池期末）已知tanα=12，tan （α+β）=13，则tanβ＝（ ） A ．16B ．−17C ．17D ．56【分析】由于β＝（α+β）﹣α，根据已知利用两角差的正切函数公式即可计算求解． 【解答】解：∵tanα=12，tan （α+β）=13，∴tanβ＝tan[（α+β）﹣α]=tan(α+β)−tanα1+tan(α+β)tanα=13−121+12×13=−17．故选：B ．【跟踪训练1-2】（（2020春•南阳期末）sin75°cos45°﹣sin15°sin45°＝（ ） A ．0B ．12C ．√32D ．1【分析】由条件利用诱导公式、两角和的余弦公式，进行化简所给的式子，可得结果． 【解答】解：sin75°cos45°﹣sin15°sin45°＝cos15°cos45°﹣sin15°sin45°＝cos （15°+45°）=12， 故选：B ．【跟踪训练1-3】（（2020春•宁波期末）sin 2π12=（ ） A ．2−√34B ．2+√34C ．34D ．14【分析】利用二倍角的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可求解．【解答】解：sin 2π12=1−cos π62=1−√322=2−√34．故选：A ．【跟踪训练1-4】（（2020春•南充期末）若cosα=13，则cos2α＝（ ）A ．−79B ．−89C ．79D ．89【分析】由已知利用二倍角的余弦函数公式即可求解． 【解答】解：∵cosα=13，∴cos2α＝2cos 2α﹣1＝2×（13）2﹣1=−79．故选：A ．【跟踪训练1-5】（2020春•黄浦区期末）若tan2α=14，则tan （α+π4）+tan （α−π4）＝ ． 【分析】展开两角和与差的正切，整理后再由二倍角的正切得答案． 【解答】解：∵tan2α=14，∴tan （α+π4）+tan （α−π4）=tanα+tan π41−tanπtan π4+tanα−tan π41+tanαtan π4=1+tanα1−tanα+tanα−11+tanα=(1+tanα)2−(1−tanα)21−tan 2α=4tanα1−tan 2α=2tan2α=2×14=12． 故答案为：12．【跟踪训练1-6】（2020春•平谷区期末）2cos 215°﹣1等于 ． 【分析】由题意利用二倍角的余弦公式，求得结果． 【解答】解：2cos 215°﹣1＝cos30°=√32，故答案为：√32． 【名师指导】应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”． (2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．题型2 三角函数公式的逆用与变形用【例2-1】（2020•重庆模拟）（1+tan19°）•（1+tan26°）＝ ． 【分析】先把所求展开，再根据两角和的正切即可求解结论． 【解答】解：因为（1+tan19°）•（1+tan26°） ＝1+tan19°+tan26°+tan19°tan26°＝1+tan （19°+26°）（1﹣tan19°tan26°）+tan19°tan26° ＝1+1﹣tan19°tan26°+tan19°tan26° ＝2； 故答案为：2．【例2-2】（2020春•开江县校级月考）已知cos(x −π6)=13，则cosx +cos(x −π3)=（ ） A ．√32B ．√3C ．12D ．√33【分析】由题意利用诱导公式、两角和差的三角公式，求得要求式子的值． 【解答】解：∵已知cos(x −π6)=13，∴cosx +cos(x −π3)=cos[（x −π3）+π3]+cos （x −π3） ＝cos （x −π3）cos π3−sin （x −π3）sin π3+cos （x −π3）=32cos （x −π3）−√32sin （x −π3）=√3cos[π6+（x −π3）]=√3cos （x −π6）=√3×13=√33， 故选：D ．【跟踪训练2-1】（2020•张家口二模）1−tan 2105°1+tan 2105°=（ ）A ．12B ．−12C ．√32D ．−√32【分析】切化弦，易得原式为cos210°，进而利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可求解． 【解答】解：1−tan 2105°1+tan 2105°=cos 2105°−sin 2105°cos 2105°+sin 2105°=cos210°＝﹣cos30°=−√32．故选：D ．【跟踪训练2-2】（2019秋•武汉期末）化简√1−2sin(π−2)cos(π+2)的结果是（ ） A ．sin2+cos2B ．sin2﹣cos2C ．cos2﹣sin2D ．﹣sin2﹣cos2【分析】利用诱导公式变形，化为两数和的平方，开方得答案． 【解答】解：√=√ √sin 22+2sin2⋅cos2+cos 22=√(sin2+cos2)2 ＝|sin2+cos2|＝sin2+cos2． 故选：A ． 【名师指导】两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)和差角公式变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β， tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)． (3)倍角公式变形：降幂公式．题型3 角的变换与名的变换【例3-1】（2020春•宁波期末）设α，β∈（0，π），cosβ=−1213，cos α2=2√55，则cosα＝ ，tan （α+β）＝ ．【分析】利用余弦的倍角公式以及两角和差的正切公式进行计算即可． 【解答】解：cosα＝2cos 2α2−1＝2×（2√55）2﹣1=35，则α∈（0，π2）， 则sinα=45，tanα=43， ∵cosβ=−1213，∴sinβ=513，则tanβ=−512， 则tan （α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ=43−5121+43×512=48−1536+20=3356，故答案为：35，3356【例3-2】（2020春•城关区校级期末）若tanα＝3，则cos2α+3sin 2α＝ ．【分析】先利用余弦的二倍角公式将其化简，再利用同角三角函数的平方关系将分母的1用sin 2α+cos 2α代替，然后将分式的上下同除cosα后，可将原式转化为只含tanα的表达式，代入数据即可得解．【解答】解：cos2α+3sin 2α＝cos 2α﹣sin 2α+3sin 2α=cos 2α+2sin 2αsin 2α+cos 2α，两边同除cosα，原式=1+2tan 2αtan 2α+1=1+2×3232+1=1910． 故答案为：1910．【例3-3】（2020春•梧州期末）已知cos （π2+θ）=−√32，则cos2θ＝ ．【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得结果． 【解答】解：∵已知cos （π2+θ）=−√32=−sinθ，∴sinθ=√32，则cos2θ＝1﹣2sin 2θ＝1﹣2×34=−12，故答案为：−12．【跟踪训练3-1】（2020春•宁波期末）已知sin2θ=−34，则tanθ+1tanθ=（ ） A ．43B ．−43C ．83D ．−83【分析】利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式化简所求结合已知即可计算求解． 【解答】解：sin2θ=−34，则tanθ+1tanθ=sinθcosθ+cosθsinθ=sin 2θ+cos 2θsinθcosθ=112sin2θ=112×(−34)=−83． 故选：D ．【跟踪训练3-2】（2020春•广州期末）已知cos （α+π3）=13，则sin(π6−α)=（ ） A ．13B ．−13C ．2√23D ．±2√23 【分析】由角的转化可得π6−α=π2−（α+π3），进而可得sin （π6−α）＝sin[π2−（α+π3）]＝cos （α+π3）． 【解答】解：因为π6−α=π2−（α+π3），所以sin （π6−α）＝sin[π2−（α+π3）]＝cos （α+π3）=13，故选：A ．【跟踪训练3-3】（2020春•潍坊期末）已知cos(θ−π4)=7√210，则sin2θ＝（ ） A ．−2425B ．−1225C ．1225D ．2425【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦，求得要求式子的值． 【解答】解：由cos(θ−π4)=7√210，则sin2θ＝cos （2θ−π2）＝2cos 2(θ−π4)−1 ＝2×(7√210)2−1=2425， 故选：D ． 【名师指导】1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β等． 3.三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．。
高考总复习数学两角和与差及二倍角的三角函数公式ppt课件
2tanα
sin2α＝___2_s_in_α_c_o_s_α___；tan2α＝____1_－__t_a_n_2α__.
3．降次公式
1＋cos2α
1－cos2α
cos2α＝_______2_____；sin2α＝________2____.
5
4．辅助角公式 asinx＋bcosx＝ a2＋b2sin(x＋φ)． 其中 cosφ＝ a2a＋b2，sinφ＝ a2b＋b2， tanφ＝ba，角 φ 称为辅助角．
8
考点 1 三角函数式的化简 例 1：已知函数 f(x)＝sincoxs＋2xπ4. (1)求函数 f(x)的定义域； (2)若 f(x)＝43，求 sin2x 的值．
9
解：(1)由题意，sinx＋π4≠0，∴x＋π4≠kπ(k∈Z)． 即 x≠kπ－π4 (k∈Z)．
函数 f(x)的定义域为xx≠kπ－π4，k∈Z
1－sin2B＝－
3 ＝－3 10
10 10 .
20
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB
＝－2
5
5×－3 1010－
55×
1100＝
2 2.
又∵π2<A<π，π2<B<π，
∴π<A＋B<2π，∴A＋B＝74π.
21
【方法与技巧】通过求角的某种三角函数值来求角，在选 取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数； ②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是
即ffxxmmainx＝＝－2＋1＋a＋a＋1，1， ∴2a＋3＝3，即 a＝0.
14
考点 2 三角函数式的求值
例 2：化简求值：(1)tan15°； (2)1t－an4ta2n°4＋2°ttaann1188°°； (3)11－＋ttaann1155°°； (4)tan20°＋tan40°＋ 3tan20°tan40°. 解：(1)体会正用公式：tan15°＝tan(60°－45°)＝ 1t＋an6ta0n°6－0°ttaann4455°°＝1＋3－13＝2－ 3. (2)体会逆用公式：1t－an4ta2n°4＋2°ttaann1188°°＝tan(42°＋18°)＝tan60° ＝ 3.又Biblioteka α为第二象限角，∴sinα＝2