01 第一节 微分方程的基本概念
微分方程的基本概念
3．具有初始条件的微分方程： 此类微分方程的特点是给定了某些函数值 ，如 都是给定的数（称为初值） 等，其中 y0 ， y0 y x x y0 ， y x x y0 。此时所求出
0 0
的微分方程的解称为微分方程的特解，不包含任意常数 C 。
注 1：微分方程的特解不包含任意常数 C ，因为此时可利用初始条件将常数 C 变 为确定的数。
例 1：解微分方程
现将初始条件 y x 0 1 代入通解 y x 2 C ，得： 1 02 C ，从而有 C 1 于是，该微分方程的特解为 y x 2 1
注：解具有初始条件的微分方程大致分为两步：求出微分方程的通解（此时无需
理会初始条件） ；代入初始条件求得特解。
第一节 微分方程的基本概念
1．微分方程：微分方程主要处理未知函数、未知函数的导数与自变量间的关系。
例 1：
dy 2 x 为一阶微分方程。 dx
例 2： x
d2y dy x2 4 x 3x 3 为二阶微分方程。 2 dx dx
注：微分方程的阶数等于方程中的导数的最高阶数。 2．微分方程的通解：微分方程中的通解包含任意常数，且任意常数的个数等于 微分方程的阶数。
再将初始条件 y x 1 2 代入 y
于是，该微分方程的特解为 y
先将初始条件 y x 1 3 代入 y x 2 C1 ，得： 3 12 C1 ，从而有 C1 2 于是有 y
x3 x3 C1 x C2 2 x C2 3 3
x3 13 1 2 x C2 ， 得：2 2 1 C2 ， 从而有 C2 3 3 3 x3 1 2x 3 3
d2y 例 2：解微分方程 2 2 x 。 dx
高等数学微分方程的基本概念教学ppt讲解
三、主要问题——求方程的解
微分方程的解:
代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.
微分方程的解的分类：
(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且 独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同.
独立的任意常数的个数=微分方程的阶数 含有几个任意常数的表达式，如果它们不能合并而使 得任意常数的个数减少，则称这表达式中的几个任意 常数相互独立．
由题意知 t = 0 时，
s 0, v ds 0 dt
(8)
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8
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
把(8)式分别代入(6)，(7)式，得
C1 = 0 , C2 = 0. 故(7)式为
s 1 gt 2
是该微分方程的特解.
第一节 微分方程的基本概念
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22
第六章 常微分方程
内容小结
第一节 微分方程的基本概念
本节基本概念： 微分方程； 微分方程的阶； 微分方程的解； 通解，初始条件； 特解； 初值问题； 积分曲线．
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15
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
例如y = C1x + C2x + 1 与 y = Cx+1 (C1,C2，
C都是任意常数）所表示的函数族是相同的，
因此y = C1x + C2x + 1中的C1，C2是不独立的；
代入初始条件
高等数学第七章第一节微分方程的基本概念课件.ppt
令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
即 yy 2x 0
y P
Qo xx
引例1 通解:
dy dx
2x
y x1 2
引例2
y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
例1. 验证函数 是微分方程
(C1 , C2为常数 )
的解, 并求满足初始条件
x
t0
A, dx
dt
t00
的特解 .
解:
k 2 (C1 sin kt C2 cos kt ) 这说明 x C1 cos kt C2 sin kt 是方程的解 .
是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得:
故所求特解为
x Acos k t
例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
微分方程的基本概念
含未内容)
分类 偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶.
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F (x, y, y,, y(n) ) 0
或 y(n) f (x, y, y,, y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.
第十章第一节微分方程的概念
y dx 2 xdx 得
y x 2 C1
2 y dx ( x C1 )dx
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第一节 微分方程的基本概念
2、通解 若微分方程的解中含有独立的任意常数,且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同， 则称这样的解 为微分方程的通解 （一般解）。
2 前例中， y 3 x ,
其中x0 , y0为已知常数. 二阶微分方程y f ( x, y, y)的初始条件为 , 其中x0 , y0 , y0 为已知常数. y x x y0 , y x x y0
0 0 0
y x x y0 ,
第一节 微分方程的基本概念
称为 4、初始条件 确定通解中的任意常数的条件， 初始条件， 也称为定值条件。
线斜率等于该点的横坐标平方的3倍,求此曲线的方程. 解： 设所求曲线方程为 y y( x ), dy 2 ① 微分方程 3 x 由导数的几何意义得
因曲线通过点 (1,2), 故 y | x 1 2
dx
② 初始条件 对(1)式求积分, 得 y 3 x 2dx x 3 C ③ 方程通解
n阶线性微分方程的一般形式为 ( n) ( n1) y a1 ( x) y ... an1 ( x) y an ( x) y g( x) （3） 其中a1 ( x),.a2 ( x)...,an ( x)和g( x)均为自变量x的
已知函数。 例： y P ( x ) y Q( x ), y 2 yy 3 y x 2 一阶线性常微分方程 二阶线性常微分方程
微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系。 是现代数学的一个重要分支。 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种 常用的微分方程的求解方法，微分方程在经济中的应用。
高等数学第十一章课件.ppt
这类方程的特点是经过适当的变换，可以将方程
右边分解成只含 x 的函数与只含 y 的函数的乘积，而左 边是关于 y 的一阶导数.具体解法如下：
(1) 分离变量 将方程写成 1 dy f (x)dx 的形式
g( y)
(2) 两 端 积 分
1 g( y)
dy
f
(x)dx
设积分后得
G( y) F(x) C ； 则 G( y) F(x) C 称为隐式通解，隐式解有时可以
知 u 0, 取 u( x) x, 则 y2 xerx ,
得齐次方程的通解为 y (C1 C2x)erx;
3.有一对共轭复根 ( 0)
特征根为 r1 i , r2 i ,
y1 e( i ) x , y2 e( i )x ,
重新组合
1
y1
( 2
y1
y2 )
ex cos x,
y py qy f1(x) f2 (x)
的特解．
定理 4 若 Y 是线性齐次方程 y py qy 0 的
通解， y 是线性非齐次方程 y py qy f (x) 的一个
解，则Y y 是 y py qy f (x) 的通解．
设非齐方程特解为
代入原方程
综上讨论
注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程（k是重根次数）.
第二节 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程 二、齐次方程 三、一阶线性微分方程 四、伯努利方程
一、可分离变量的微分方程
一阶微分方程的一般形式为
F(x, y, y) 0 或 dy f (x, y) dx
形如
dy f (x)g( y)(g( y) 0) dx
的一阶微分方程，称为可分离变量的微分方程．
第一节微分方程的基本概念
第十二章 微分方程一、 学时分配：讲课学时：14 习题学时：2 共 16 学时二、 基本内容：1．微分方程的基本概念 2．可分离变量的微分方程 3．齐次方程 4．一阶线性微分方程 5．全微分方程 6．可降阶的高阶微分方程 7．高阶线性微分方程 8．一阶常系数齐次线性微分方程 9． 一阶常系数非齐次线性微分方程三、 教学要求：1．理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程 的通解、特解及微分方程的初始条件等．2．熟练掌握可分离变量的微分方程的解法．3．熟练掌握齐次微分方程的解法4．掌握一阶线性微分方程的形式，熟练掌握其解法；掌握利用变量代换解微分方程的方法；了解贝努利方程的形式及解法5．掌握全微分方程成立的充要条件，掌握全微分方程的解法，会用观察法找积分因子6．掌握)()(x f y n =、),(///y x f y =、),(///y y f y =三种高阶微分方程的解法，即降阶法，理解降阶法的思想7．掌握二阶线性方程解的结构，齐次线性方程的通解，非齐线性方程的特解及通解的形式8．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式９．掌握自由项为x m e x P x f λ)()(=和x m m e x x Q x x P x f λωω]sin )(cos )([)(+=的二阶常系数非齐次线性微分方程特解的方法四、重点难点：1．重点：2．难点：第一节 微分方程的基本概念教学目的：理解并掌握微分方程的基本概念，主要包括微分方程的阶，微分方程 的通解、特解及微分方程的初始条件等．教学重点：常微分方程的基本概念，常微分方程的通解、特解及初始条件教学难点：微分方程的通解概念的理解教学内容：一、 两个实例1．一条曲线通过点（1,2），且在该曲线上任一点),(y x M 处的切线的斜率为2x ，求这条曲线的方程。
解：设曲线方程为)(x y y =.由导数的几何意义可知函数)(x y y =满足x dxdy 2= （1） 同时还满足以下条件：1=x 时，2=y （2）把（1）式两端积分，得⎰=xdx y 2 即 C x y +=2 （3）其中C 是任意常数。
高数上——微分方程的基本概念
y 2xdx 即 y x2 C, 求得C 1,
所求曲线方程为 y x2 1 .
例2 列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度 0.4 米/秒2,问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？
四、小结
本节基本概念： 微分方程； 微分方程的阶； 微分方程的解； 通解; 初始条件； 特解； 初值问题； 积分曲线．
(t 2 x)dt xdx 0,
实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 导数(或微分)之间的关系式.
分类1: 常微分方程, 偏微分方程.
y xy, y 2 y 3 y e x , (t 2 x)dt xdx 0,
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之.
对于未知函数y及其导数都是一次的
分类3: 线性与非线性微分方程.
y P( x) y Q( x), x( y)2 2 yy x 0; y xy, y 2 y 3 y e x ,
分类4: 单个微分方程与微分方程组.
dy dx
3
y2z, dzcoskt ,
d2 dt
x
2
k
2C1
cos
kt
k
2C2
sin
kt ,
将
d2 dt
x
2
和x的表达式代入原方程
,
k 2(C1 cos kt C2 sin kt) k 2(C1 cos kt C2 sin kt) 0.
故 x C1 cos kt C2 sin kt 是原方程的解.
高数第一、二节 基本概念、分离变量
二、 齐次微分方程
形如
dy f( y) dx x
（1）
的微分方程，称为齐次微分方程。
例如：
dy dx
y2 xy x2
dy
( y)2 x
d x y 1
x
(xy x2)dx ( x2 2xy) d y0
dy dx
xy y2 x2 2x y
dy dx
( y)( y)2 xx 12( y)
x
对方程 d y f ( y ) 作变量变换 v y
y '' C1k 2 cos k x C 2 k 2 sin k x k 2 ( C1 cos k x C 2 sin k x ) k 2 y y '' k 2 y 0
即 y C1 cos k x C 2 sin k x 是所给方程的解。 又此解中含有两个独立任意常数，故为通解。
dx x
x
则有 y v x , d y d ( v x ) v x d v
dx dx
dx
v x dv f(v) dx
x dv f (v )v dx
dx dv , x f (v)v
dx
x
dv f (v)v
c1
ln | x |
dv f (v)v
c1
|x| e
dv f (v) v
c1
d y f( x) g( y) dx
（6 ）
d y f (x) d x g( y)
（变量已分离）
M1( x) M 2 ( y) d y N 1( x) N 2 ( y) d x （7 ）
M 2 ( y) d y N 1( x) d x （变量已分离）
N 2 ( y)
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第六章 微分方程
对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉. -------傅里叶
微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程. 通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系. 因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具.
如果说“数学是一门理性思维的科学,是研究、了解和知晓现实世界的工具”，那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现.现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题. 例如，物体的冷却、人口的增长、琴弦的振动、电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题. 这时微分方程也称为所研究问题的数学模型.
微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系. 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的求解方法及线性微分方程解的理论.
第一节 微分方程的基本概念
一般地，含有未知函数及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程. 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.
在物理学、力学、经济管理科学等领域我们可以看到许多表述自然定律和运行机理的微分方程的例子.
分布图示
★ 引 言
★ 微分方程的概念
★ 例1
★ 例2
★ 微分方程解的概念
★ 例3
★ 例4 ★ 内容小结
★ 习题6-1
内容要点
一、微分方程的概念
我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程. 类似地，未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程，
本章我们只讨论常微分方程. 常微分方程的一般形式是：
,0),,,,()(='''n y y y y x F (1.5)
其中x 为自变量，)(x y y =是未知函数.
如果能从方程(1.5)中解出最高阶导数，就得到微分方程
).,,,,()1()(-'=n n y y y x f y (1.6)
以后我们讨论的微分方程组主要是形如(1.6)的微分方程，并且假设(1.6)式右端的函数f 在所讨论的范围内连续.
如果方程(1.6)可表为如下形式：
)()()()(1)1(1)(x g y x a y x a y x a y n n n n =+'+++-- (1.7)
则称方程(1.7)为n 阶线性微分方程. 其中),(1x a ),(2x a , )(x a n 和)(x g 均为自变量x 的已知函数.
不能表示成形如(1.7)式的微分方程，统称为非线性微分方程.
在研究实际问题时，首先要建立属于该问题的微分方程，然后找出满足该微分方程的函数（即解微分方程），就是说，把这个函数代入微分方程能使方程称为恒等式，我们称这个函数为该微分方程的解. 更确切地说，设函数)(x y ϕ=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上，有
,0))(,)(),(),(,()(='''x x x x x F n ϕϕϕϕ
则称函数)(x y ϕ=为微分方程(1.5)在区间I 上的解.
二、微分方程的解
微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数. 一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解. 含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）. 所谓通解的意思是指，当其中的任意常数取遍所有实数时，就可以得到微分方程的所有解（至多有个别例外）.
注：这里所说的相互独立的任意常数，是指它们不能通过合并而使得通解中的任意常数的个数减少.
许多实际问题都要求寻找满足某些附加条件的解，此时，这类附加条件就可以用来确定通解中的任意常数，这类附加条件称为初始条件，也称为定解条件. 例如，条件(1.2)和(1.4)分别是微分方程(1.1)和(1.3)的初始条件.
带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题.
微分方程的解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线.
例题选讲
微分方程的概念
例1（E01）设一物体的温度为100℃，将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 根据冷却定律：物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比，设物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则可建立起函数)(t T 满足的微分方程
)20(--=T k dt
dT (1) 其中k )0(>k 为比例常数. 这就是物体冷却的数学模型.
根据题意，)(t T T =还需满足条件
.100|0==t T (2)
例2（E02）设一质量为m 的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落. 根据牛顿第二定律：物体所受的力F 等于物体的质量m 与物体运动的加速度α成正比，即αm F =，若取物体降落的铅垂线为x 轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，并设开始下落的时间是0=t ，物体下落的距离x 与时间t 的函数关系为)(t x x =，则可建立起函数)(t x 满足的微分方程
g dt x d =2
2 其中g 为重力加速度常数. 这就是自由落体运动的数学模型.
根据题意，)(t x x =还需满足条件
.0,
0)0(0
===t dt dx x
微分方程的解 例3（E03）验证函数kt C kt C x sin cos 21+=是微分方程
)0(0222≠=+k x k dt
x d 的通解, 并求该微分方程满足初值条件0|,
|00====t t dt dx A x 的特解. 解 求出题设函数的一阶及二阶导数:
)1(,cos sin 21kt k C kt k C dt
dx +-= ).sin cos (11222kt k C kt k C k dt
x d +-= 把它们代入题设微分方程, 得
0)sin cos ()sin cos (212
212≡+++-kt C kt C k kt C kt C k
因此题设函数是微分方程的解. 又题设函数含有两个相互独立的任意常数, 而题设微分方程是二阶微分方程, 所以题设函数是微分方程的通解.
将初值条件A x t ==0|代入通解kt C kt C x sin cos 21+=中得, 得
;1A C = 将初值条件0|0==t dt
dx 代入（1）, 得 ,02=C
于是, 所求的特解为
.c o s kt A x =
例4 验证函数x C x y sin )(2+=(C 为任意常数)是方程
0sin 2cot =--x x x y dx
dy 的通解, 并求满足初始条件0|2==π
x y 的特解.
解 要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.将x C x y sin )(2+=求一阶导数,得
dx
dy ,cos )(sin 22x C x x x ++= 把y 和dx
dy 代入方程左边得 x x x y dx
dy sin 2cot --x x x x C x x C x x x sin 2cot sin )(cos )(sin 222-+-++=.0≡ 因方程两边恒等,且y 中含有一个任意常数,故x C x y sin )(2+=是题设方程的通解. 将初始条件02
==πx y 代入通解x C x y sin )(2+=中，
得C +=402
π .4
2
π-=C 从而所求特解为 .s i n
422x x y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π。