十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题07 解三角形 Word版含解析
(北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题05三角函数与解三角形文(含解析)
专题05三角函数与解三角形历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年北京文科06】设函数f（x）＝cos x+b sin x（b为常数），则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：设函数f（x）＝cos x+b sin x（b为常数），则“b＝0”⇒“f（x）为偶函数”，“f（x）为偶函数”⇒“b＝0”，∴函数f（x）＝cos x+b sin x（b为常数），则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的充分必要条件．故选：C．2．【2019年北京文科08】如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（）A．4β+4cosβB．4β+4sinβC．2β+2cosβD．2β+2sinβ【解答】解：由题意可得∠AOB＝2∠APB＝2β，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO⊥AB，即有QO＝2，Q到线段AB的距离为2+2cosβ，AB＝2•2sinβ＝4sinβ，扇形AOB的面积为•2β•4＝4β，△ABQ的面积为（2+2cosβ）•4sinβ＝4sinβ+4sinβcosβ＝4sinβ+2sin2β，S△AOQ+S△BOQ＝4sinβ+2sin2β•2•2sin2β＝4sinβ，即有阴影区域的面积的最大值为4β+4sinβ．故选：B．3．【2018年北京文科07】在平面直角坐标系中，，，，是圆x2+y2＝1上的四段弧（如图），点P其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边．若tanα＜cosα＜sinα，则P所在的圆弧是（）A．B．C．D．【解答】解：A．在AB段，正弦线小于余弦线，即cosα＜sinα不成立，故A不满足条件．B．在CD段正切线最大，则cosα＜sinα＜tanα，故B不满足条件．C．在EF段，正切线，余弦线为负值，正弦线为正，满足tanα＜cosα＜sinα，D．在GH段，正切线为正值，正弦线和余弦线为负值，满足cosα＜sinα＜tanα不满足tanα＜cosα＜sinα．故选：C．4．【2013年北京文科05】在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A，则sin B＝（）A．B．C．D．1【解答】解：∵a＝3，b＝5，sin A，∴由正弦定理得：sin B．故选：B．5．【2010年北京文科07】某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（）A．2sinα﹣2cosα+2 B．sinαcosα+3C．3sinαcosα+1 D．2sinα﹣cosα+1【解答】解：由正弦定理可得4个等腰三角形的面积和为：41×1×sinα＝2sinα由余弦定理可得正方形边长为：故正方形面积为：2﹣2cosα所以所求八边形的面积为：2sinα﹣2cosα+2故选：A．6．【2018年北京文科14】若△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），且∠C为钝角，则∠B＝；的取值范围是．【解答】解：△ABC的面积为（a2+c2﹣b2），可得：（a2+c2﹣b2）ac sin B，，可得：tan B，所以B，∠C为钝角，A∈（0，），tan A，∈（，+∞）．cos B sin B∈（2，+∞）．故答案为：；（2，+∞）．7．【2017年北京文科09】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα，则sinβ＝．【解答】解：∵在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，∴α+β＝π+2kπ，k∈Z，∵sinα，∴sinβ＝sin（π+2kπ﹣α）＝sinα．故答案为：．8．【2016年北京文科13】在△ABC中，∠A，a c，则．【解答】解：在△ABC中，∠A，a c，由正弦定理可得：，，sin C，C，则B．三角形是等腰三角形，B＝C，则b＝c，则1．故答案为：1．9．【2015年北京文科11】在△ABC中，a＝3，b，∠A，则∠B＝．【解答】解：由正弦定理可得，，即有sin B，由b＜a，则B＜A，可得B．故答案为：．10．【2014年北京文科12】在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C，则c＝；sin A＝．【解答】解：∵在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C，∴由余弦定理得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝1+4﹣1＝4，即c＝2；∵cos C，C为三角形内角，∴sin C，∴由正弦定理得：sin A．故答案为：2；．11．【2012年北京文科11】在△ABC中，若a＝3，b，，则∠C的大小为．【解答】解：∵△ABC中，a＝3，b，，∴由正弦定理得：，∴sin∠B．又b＜a，∴∠B＜∠A．∴∠B．∴∠C＝π．故答案为：．12．【2011年北京文科09】在△ABC中．若b＝5，，sin A，则a＝．【解答】解：在△ABC中．若b＝5，，sin A，所以，a．故答案为：．13．【2010年北京文科10】在△ABC中，若b＝1，c，∠C，则a＝．【解答】解：在△ABC中由正弦定理得，∴sin B，∵b＜c，故B，则A由正弦定理得∴a 1故答案为：114．【2019年北京文科15】在△ABC中，a＝3，b﹣c＝2，cos B．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B+C）的值．【解答】解：（1）∵a＝3，b﹣c＝2，cos B．∴由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2ac cos B，∴b＝7，∴c＝b﹣2＝5；（2）在△ABC中，∵cos B，∴sin B，由正弦定理有：，∴sin A，∴sin（B+C）＝sin（A）＝sin A．15．【2018年北京文科16】已知函数f（x）＝sin2x sin x cos x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[，m]上的最大值为，求m的最小值．【解答】解：（I）函数f（x）＝sin2x sin x cos x sin2x＝sin（2x），f（x）的最小正周期为Tπ；（Ⅱ）若f（x）在区间[，m]上的最大值为，可得2x∈[，2m]，即有2m，解得m，则m的最小值为．16．【2017年北京文科16】已知函数f（x）cos（2x）﹣2sin x cos x．（I）求f（x）的最小正周期；（II）求证：当x∈[，]时，f（x）．【解答】解：（Ⅰ）f（x）cos（2x）﹣2sin x cos x，（co2x sin2x）﹣sin2x，cos2x sin2x，＝sin（2x），∴Tπ，∴f（x）的最小正周期为π，（Ⅱ）∵x∈[，]，∴2x∈[，]，∴sin（2x）≤1，∴f（x）17．【2016年北京文科16】已知函数f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【解答】解：f（x）＝2sinωx cosωx+cos2ωx，＝sin2ωx+cos2ωx，，由于函数的最小正周期为π，则：T，解得：ω＝1．（2）由（1）得：函数f（x），令（k∈Z），解得：（k∈Z），所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）．18．【2015年北京文科15】已知函数f（x）＝sin x﹣2sin2．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．【解答】解：（1）∵f（x）＝sin x﹣2sin2＝sin x﹣2＝sin x cos x＝2sin（x）∴f（x）的最小正周期T2π；（2）∵x∈[0，]，∴x∈[，π]，∴sin（x）∈[0，1]，即有：f（x）＝2sin（x）∈[，2]，∴可解得f（x）在区间[0，]上的最小值为：．19．【2014年北京文科16】函数f（x）＝3sin（2x）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝3sin（2x），∴f（x）的最小正周期Tπ，可知y0为函数的最大值3，x0；（Ⅱ）∵x∈[，]，∴2x∈[，0]，∴当2x0，即x时，f（x）取最大值0，当2x，即x时，f（x）取最小值﹣320．【2013年北京文科15】已知函数f（x）＝（2cos2x﹣1）sin2x cos4x．（1）求f（x）的最小正周期及最大值；（2）若α∈（，π），且f（α），求α的值．【解答】解：（Ⅰ）因为∴T，函数的最大值为：．（Ⅱ）∵f（x），，所以，∴，k∈Z，∴，又∵，∴．21．【2013年北京文科18】已知函数f（x）＝x2+x sin x+cos x．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（a，f（a））处与直线y＝b相切，求a与b的值；（Ⅱ）若曲线y＝f（x）与直线y＝b有两个不同交点，求b的取值范围．【解答】解：（I）f′（x）＝2x+x cos x＝x（2+cos x），∵曲线y＝f（x）在点（a，f（a））处与直线y＝b相切，∴f′（a）＝a（2+cos a）＝0，f（a）＝b，联立，解得，故a＝0，b＝1．（II）∵f′（x）＝x（2+cos x）．令f′（x）＝0，得x＝0，x，f（x），f′（x）的变化情况如表：所以函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增，f（0）＝1是f（x）的最小值．当b≤1时，曲线y＝f（x）与直线x＝b最多只有一个交点；当b＞1时，f（﹣2b）＝f（2b）≥4b2﹣2b﹣1＞4b﹣2b﹣1＞b，f（0）＝1＜b，所以存在x1∈（﹣2b，0），x2∈（0，2b），使得f（x1）＝f（x2）＝b．由于函数f（x）在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上均单调，所以当b＞1时曲线y＝f（x）与直线y＝b有且只有两个不同的交点．综上可知，如果曲线y＝f（x）与直线y＝b有且只有两个不同的交点，那么b的取值范围是（1，+∞）．22．【2012年北京文科15】已知函数f（x）．（1）求f（x）的定义域及最小正周期；（2）求f（x）的单调递减区间．【解答】解：（1）由sin x≠0得x≠kπ（k∈Z），故求f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}．∵f（x）＝2cos x（sin x﹣cos x）＝sin2x﹣cos2x﹣1sin（2x）﹣1∴f（x）的最小正周期Tπ．（2）∵函数y＝sin x的单调递减区间为[2kπ，2kπ]（k∈Z）∴由2kπ2x2kπ，x≠kπ（k∈Z）得kπx≤kπ，（k∈Z）∴f（x）的单调递减区间为：[kπ，kπ]（k∈Z）23．【2011年北京文科15】已知f（x）＝4cos x sin（x）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵，＝4cos x（）﹣1sin2x+2cos2x﹣1sin2x+cos2x＝2sin（2x），所以函数的最小正周期为π；（Ⅱ）∵x，∴2x，∴当2x，即x时，f（x）取最大值2，当2x时，即x时，f（x）取得最小值﹣1．24．【2010年北京文科15】已知函数f（x）＝2cos2x+sin2x﹣4cos x．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）；（Ⅱ）f（x）＝2（2cos2x﹣1）+（1﹣cos2x）﹣4cos x＝3cos2x﹣4cos x﹣1，因为cos x∈[﹣1，1]，所以当cos x ＝﹣1时，f （x ）取最大值6；当时，取最小值．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以同角三角函数基本关系、诱导公式，三角函数的图象与性质，三角恒等变换，正余弦定理，解三角形的综合应用等为重点较佳.最新高考模拟试题1．函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示．则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．,63k k ππππ轾犏-+犏臌，k z ∈ B ．,33k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈C ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈D ．,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈2．将函数()2sin(2)3f x x π=+的图像先向右平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()g x 的图像，若()()129g x g x =且12,[2,2]x x ππ∈-，则122x x -的最大值为( )A ．4912π B ．356π C ．256π D ．174π 3．将函数222()2cos 4x f x ϕ+=(0πϕ-<<)的图像向右平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图像，若()(4)g x g x π=-则ϕ的值为( )A ．23-π B ．3π-C ．6π-D ．2π-4．已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象经过两点(0,(,0)24A B π， ()f x 在(0,)4π内有且只有两个最值点，且最大值点大于最小值点，则()f x =（ ） A ．sin 34x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．3sin 54x π⎛⎫+⎪⎝⎭C ．sin 74x π⎛⎫+⎪⎝⎭D ．3sin 94x π⎛⎫+⎪⎝⎭5．已知函数()cos f x x x =，则下列结论中正确的个数是（ ）． ①()f x 的图象关于直线3x π=对称；②将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()2cos g x x =的图象；③,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 图象的对称中心；④()f x 在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增． A ．1B ．2C ．3D ．46．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边长分别a 、b 、c ，满足()22sin 40a a B B -+=，b =则ABC △的面积为A ．BC ．D 7．设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4)8．已知V ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若6sin cos 7sin2C A A =，53a b =，则C =（ ）． A ．3π B ．23π C ．34π D ．56π9．若函数()2sin()f x x ωϕ=+ （01ω<<，02πϕ<<）的图像过点，且关于点(2,0)-对称，则(1)f -=_______.10．若实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+.则xy 的最小值为____________11．设函数()sin(2)3f x x π=+，若120x x <，且12()()0f x f x +=，则21x x -的取值范围是_______．12．已知角α为第一象限角，sin cos a αα-=，则实数a 的取值范围为__________．13．已知函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称，则cos 2ϕ=___．14．如图，四边形ABCD 中，4AB =，5BC =，3CD =，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=°，则AD 的长为______15．在锐角ABC ∆中，角AB C ，，的对边分别为a b c ，，．且c o s c o s A B a b +=，b =则a c +的取值范围为_____．16．在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.17．在ABC ∆中，AB C ，，的对边分别a b c ，，，60,cos A B ︒==（Ⅰ）若D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，求DCBD的值； （Ⅱ）若 ccos cos 2B b C +=，求ABC ∆的面积.18．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别,,a b c ，()()()()2sin cos sin f x x A x B C x R =-++∈，函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称. （1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域；（2）若7a =且sin sin 14B C +=，求ABC ∆的面积.19．在ABC ∆中，已知2AB =，cos B =，4C π=.（1）求BC 的长； （2）求sin(2)3A π+的值.20．如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒．已知AD =BD =．。
理科数学2010-2019高考真题分类训练解三角形
专题四 三角函数与解三角形第十二讲 解三角形2019年1.(2019全国Ⅰ理17)ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（2）若22a b c +=，求sin C ．2.（2019全国Ⅱ理15）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________.3.（2019全国Ⅲ理18）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．4.（2019江苏12）如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ，AD 与CE 交于点O .若6AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABAC的值是 .5.（2019江苏15）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b 2，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值． 6.（2019浙江14）在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____，cos ABD ∠=________.7.（2019北京15）在ABC △中，a =3，b -c =2 ，1cos 2B =- ． （Ⅰ）求b ,c 的值； （Ⅱ）求sin(B -C ) 的值.8.（2019天津理15）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos25=C ，1=BC ，5=AC ，则=ABA ．BCD ．2．(2018全国卷Ⅲ)ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =A ．2πB ．3π C ．4π D ．6π 3．（2017山东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是 A ．2a b = B ．2b a = C ．2A B = D ．2B A = 4．（2016年天津）在ABC ∆中，若AB BC =3，120C ∠=o ，则AC =A ．1B ．2C ．3D ．45．（2016年全国III ）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A =A B C ．- D ．-6．(2014新课标Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，BC =AC =A ．5 BC ．2D ．17．(2014重庆)已知ABC ∆的内角A ，B ，C 满足sin 2sin()A A B C +-+=sin()C A B --12+，面积S 满足12S ≤≤，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是A ．8)(>+c b bc B．()ab a b +> C ．126≤≤abc D ．1224abc ≤≤ 8．（2014江西）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC ∆的面积是A ．3B ．239 C ．233 D ．33 9．（2014四川）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75o，30o，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于A．1)m B．1)mC ．1)mD ．1)m 10．（2013新课标Ⅰ）已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，223cos A +cos20A =，7a =，6c =，则b =A ．10B ．9C ．8D ．511．（2013辽宁）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若sin cos a B C +1sin cos 2c B A b =，且a b >，则B ∠=A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π12．（2013天津）在△ABC 中，,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠=A B C D 13． （2013陕西）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=,则△ABC 的形状为 A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定14．（2012广东）在ABC ∆中，若60,45,A B BC ︒︒∠=∠==AC =A ．B ．CD 15．（2011辽宁）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin cos cos a A B b A +=，则=abA ．B ．C D16．（2011天津）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2AB AD AB ==，2BC BD =，则sin C 的值为CA ．3 B ．6 C ．3 D ．616．（2010湖南）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若120C ∠=o，c =，则A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的大小关系不能确定 二、填空题18．(2018江苏)在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ．19．(2018浙江)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =2b =，60A =o ，则sin B =___________，c =___________．20．（2017浙江）已知ABC ∆,4AB AC ==,2BC =． 点D 为AB 延长线上一点,2BD =,连结CD ,则BDC ∆的面积是___________，cos BDC ∠=__________．21．（2017浙江）我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度。
十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题07 数列(新课标Ⅰ卷)(原卷版)
专题07数列历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2015年新课标1文科07】已知{a n}是公差为1的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝（）A．B．C．10 D．122．【2013年新课标1文科06】设首项为1，公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n，则（）A．S n＝2a n﹣1 B．S n＝3a n﹣2 C．S n＝4﹣3a n D．S n＝3﹣2a n3．【2012年新课标1文科12】数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，则{a n}的前60项和为（）A．3690 B．3660 C．1845 D．18304．【2019年新课标1文科14】记S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1＝1，S3，则S4＝．5．【2015年新课标1文科13】在数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n＝126，则n ＝．6．【2012年新课标1文科14】等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3+3S2＝0，则公比q＝．7．【2019年新课标1文科18】记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝﹣a5．（1）若a3＝4，求{a n}的通项公式；（2）若a1＞0，求使得S n≥a n的n的取值范围．8．【2018年新课标1文科17】已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，设b n．（1）求b1，b2，b3；（2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由；（3）求{a n}的通项公式．9．【2017年新课标1文科17】记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2＝2，S3＝﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．10．【2016年新课标1文科17】已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1＝1，b2，a n b n+1+b n+1＝nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．11．【2014年新课标1文科17】已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程2﹣5+6＝0的根．（1）求{a n }的通项公式； （2）求数列{}的前n 项和．12．【2013年新课标1文科17】已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝﹣5． （Ⅰ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）求数列{}的前n 项和．13．【2011年新课标1文科17】已知等比数列{a n }中，a 1，公比q ．（Ⅰ）S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n（Ⅱ）设b n ＝log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ，求数列{b n }的通项公式． 14．【2010年新课标1文科17】设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝﹣9． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 最大的序号n 的值． 考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：数列的概念与简单表示法，等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现.重点考查的知识点为：等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点等差数列及其前n 项和，等比数列及其前n 项和，数列求和，数列求通项为重点较佳.最新高考模拟试题1．等差数列{}n a ，等比数列{}n b ，满足111a b ==，53a b =，则9a 能取到的最小整数是（ ） A ．1-B ．0C ．2D ．32．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰“我羊食半马、“马主曰“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？ A ．253B ．503C ．507D ．10073．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9填入33⨯的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数21,2,3,,n L 填入n n ⨯个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的对角线上的数字之和为n N ，如图三阶幻方的315N =，那么 9N 的值为（ ）A ．41B ．45C ．369D ．3214．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a = 2(1)()n n S a n n N n *=+-∈，则数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和是（ ） A ．290B ．920C ．511D ．10115．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,L L ，即()()()()()121,12F F F n F n F n ===-+-()3,n n N*≥∈，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2019项的和为（ ） A ．672B ．673C ．1346D ．20196．已知数列{}n a 是等比数列，数列{}n b 是等差数列，若261033a a a ⋅⋅=16117b b b π++=，则21039tan1b b a a +-⋅的值是（ ）A ．1B．2C．2-D．7．已知数列{}n a 满足2*123111()23n a a a a n n n N n ++++=+∈L ，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T，若*()1n n N T n nλ<∈+恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．1[,)4+∞B ．1(,)4+∞C ．3[,)8+∞D ．3(,)8+∞8．已知函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时()1f x >，且对任意的实数,x y R ∈，等式()()()f x f y f x y =+成立，若数列{}n a 满足()()1111n n f a f n N a *+⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭，且()10a f =，则下列结论成立的是（ ） A ．()()20162018f a f a > B ．()()20172020f a f a > C ．()()20182019f a f a > D ．()()20162019f a f a >9．在数列{}n a 中，1111,,(*)2019(1)n n a a a n N n n +==+∈+，则2019a 的值为______． 10．已知正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=，若存在两项m a ，n a，使得1a =，则91m n+的最小值为__________． 11．已知数列{}n a 满足对*,m n N ∀∈，都有m n m n a a a ++=成立，72a π=，函数()f x =2sin 24cos2xx +，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前13项和为______．12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22()n n S a n n N *=+∈，则n a =_____．13．等差数列{}n a 中，410a =且3a ，6a ，10a 成等比数列，数列{}n a 前20项的和20S =____ 14．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则631S S +取得最小值时，9S 的值为_______．15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11222n n a a a n -++⋯+=，则5S =____．16．已知数列{}n a 满足112(1)0,4n n n a na a ++-==，则数列(1)(2)na n n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭的前n 项和为___________.17．定义：从数列{}n a 中抽取(,3)m m N m ∈≥项按其在{}n a 中的次序排列形成一个新数列{}n b ，则称{}n b 为{}n a 的子数列；若{}n b 成等差（或等比），则称{}n b 为{}n a 的等差（或等比）子数列. （1）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知21n n S =-. ①求数列{}n a 的通项公式；②数列{}n a 是否存在等差子数列，若存在，求出等差子数列；若不存在，请说明理由. （2）已知数列{}n a 的通项公式为()n a n a a Q +=+∈，证明：{}n a 存在等比子数列. 18．在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足3122331313131n n n b b b ba =++++++++L ，求数列{}nb 的通项公式； （3）令()*4n nn a b c n N =∈，数列{}n c 的前n 项和为n T . 19．已知等差数列{}n a 满足32421,7a a a =-=，等比数列{}n b 满足()35242b b b b +=+，且()2*22n n b b n =∈N .（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n c 满足()*1212n n nc c c S n b b b ++⋯+=∈N ，求{}n c 的前n 项和为n T .20．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且432S =，13221S =． （1）求{}n a 的通项公式n a ；（2）数列{}n b 满足()*1n n n b b a n N+-=∈且13b =，求1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 21．设{}n a 是单调递增的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知313S =，且13a +，23a ，35a +构成等差数列． （1）求n a 及n S ；（2）是否存在常数λ．使得数列{}n S λ+是等比数列?若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． 22．对于无穷数列{}n a ，{}n b ，若{}{}1212max ,,,min ,,,k k k b a a a a a a =-L L ，1,2,3,k =L ，则称{}n b 是{}n a 的“收缩数列”.其中{}12max ,,,k a a a L ，{}12min ,,,k a a a L 分别表示12,,,k a a a L 中的最大数和最小数.已知{}n a 为无穷数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”. （1）若21n a n =+，求{}n b 的前n 项和； （2）证明：{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ；（3）若121(1)(1)(1,2,3,)22n n n n n n S S S a b n +-+++=+=L L 且11a =，22a =，求所有满足该条件的{}n a .。
理科数学2010-2019高考真题分类训练解三角形
专题四 三角函数与解三角形 第十讲 三角函数的图象与性质2019年1.解析：因为21cos411sin 2cos 422x f x x x -===-（）（）， 所以f x （）的最小正周期2π4T ==2.解析 当[0,2]x ∈π时，,2555x ωωπππ⎡⎤+∈π+⎢⎥⎣⎦， 因为()f x 在[0,2]π有且仅有5个零点，所以5265ωπππ+<π„， 所以1229510ω<„，故④正确， 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 下面判断③是否正确， 当(0,)10x π∈时，(2),5510x ωωππ+π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，若()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 则(2)102ω+ππ<，即3ω<，因为1229510ω<„，故③正确． 故选D ．3.解析 因为()f x 是奇函数，所以0ϕ=，()sin f x A x ω=.将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x ，即()1sin 2g x A x ω⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为()g x 的最小正周期为2π，所以2212ωπ=π，得2ω=， 所以()sin g x A x =，()sin 2f x A x=.若4g π⎛⎫=⎪⎝⎭sin 442g A A ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭2A =，所以()2sin 2f x x =，332sin 22sin 2884f ππ3π⎛⎫⎛⎫=⨯=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选C ．2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)若()cos sin =-f x x x 在[,]-a a 是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π2．(2018天津)将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间35[,]44ππ上单调递增B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 3．(2018北京)在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1B ．2C ．3D ．44．（2017新课标Ⅰ）已知曲线1C ：cos y x =，2C ：2sin(2)3y x π=+，则下面结论正确的是A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π 个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π错误!未找到引用源。
十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题07 解三角形 Word版无答案原卷版
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题07 解三角形一、选择题1.(2019·全国1·文T11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14,则b c=( ) A.6B.5C.4D.32.(2018·全国2·理T6文T7)在△ABC 中,cos C 2=√55,BC=1,AC=5,则AB=( ) A.4√2B.√30C.√29D.2√53.(2018·全国3·理T 9文T 11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若△ABC 的面积为a 2+b 2-c 24,则C=( ) A.π2 B.π3C.πD.π4.(2017·山东·理T9)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin AcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是( ) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A5.(2017·全国1·文T11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=√2,则C=( ) A.π12B.π6C.π4D.π36.(2016·全国3·理T8)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC,则cos A=( ) A.3√1010B.√1010C.-√1010D.-3√10107.(2016·全国3·文T9)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC,则sin A=( ) A.3B.√1010C.√55D.3√10108.(2016·全国1·文T4)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知a=√5,c=2,cos A=23,则b= ( ) A.√2B.√3C.2D.39.(2016·天津·理T3)在△ABC 中,若AB=√13,BC=3,∠C=120°,则AC=( ) A.1 B.2 C.3 D.410.(2016·山东·文T8)△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c.已知b=c,a 2=2b 2(1-sin A),则A=( ) A.3π4B.π3C.π4D.π611.(2015·广东·文T5)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2√3,cos A=√32且b<c,则b=( ) A.3B.2√2C.2D.√312.(2014·全国2·理T 4)钝角三角形ABC 的面积是12,AB=1,BC=√2,则AC=( )A.5B.√5C.2D.113.(2014·四川·文T8)如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B,C 的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC 等于( )A.240(√3-1) mB.180(√2-1) mC.120(√3-1) mD.30(√3+1) m14.(2013·全国1·文T10)已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos 2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=( ) A.10B.9C.8D.515.(2013·全国2·文T 4)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=π6,C=π4,则△ABC 的面积为( ) A.2√3+2 B.√3+1 C.2√3-2 D.√3-1二、填空题1.(2019·全国2·理T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3,则△ABC 的面积为___________.2.(2019·全国2·文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B= .3.(2019·浙江·T14)在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D 在线段AC 上.若∠BDC=45°,则 BD= ,cos ∠ABD= .4.(2018·浙江·T13)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若a=√7,b=2,A=60°,则sin B=___________,c=___________.5.(2018·北京·文T 14)若△ABC 的面积为√3(a 2+c 2-b 2),且∠C 为钝角,则∠B= ________;ca 的取值范围是.6.(2018·全国1·文T16)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知bsinC+csinB=4asin BsinC,b 2+c 2-a 2=8,则△ABC 的面积为 .7.(2017·浙江·T14)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D 为AB 延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC 的面积 是 ,cos ∠BDC= .8.(2017·全国3·文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=√6,c=3,则A= . 9.(2017·全国2·文T16)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acosC+ccosA,则B= . 10.(2016·全国2·理T13文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b=___________.11.(2016·北京·文T13)在△ABC 中,A=2π3,a=√3c,则bc=.12.(2015·全国1·理T16)在平面四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB 的取值范围是 . 13.(2015·重庆·理T13)在△ABC 中,B=120°,AB=√2,A 的角平分线AD=√3,则AC=___________. 14.(2015·湖北·理T13文T15)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上,行驶600 m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.15.(2015·福建·理T12)若锐角△ABC 的面积为10√3,且AB=5,AC=8,则BC 等于 .16.(2015·天津·理T13)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为3√15,b-c=2,cos A=-14,则a 的值为.17.(2015·安徽·文T12)在△ABC中,AB=√6,∠A=75°,∠B=45°,则AC= .18.(2015·福建·文T14)若△ABC中,AC=√3,A=45°,C=75°,则BC=___________.,3sin A=2sin B,则19.(2015·重庆·文T13)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=−14c= .=.20.(2015·北京·理T 12)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC21.(2014·全国1·理T 16)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sinB)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为.22.(2014·全国1·理T16)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN=___________m.23.(2011·全国·理T16)在△ABC中,B=60°,AC=√3,则AB+2BC的最大值为___________.24.(2011·全国·文T 15)△ABC中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC的面积为.25.(2010·全国·理T16)在△ABC中,D为边BC上一点,BD=1DC,∠ADB=120°,AD=2.若△ADC的面积为3-√3,2则∠BAC= .26.(2010·全国·文T16)在△ABC中,D为BC边上一点,BC=3BD,AD=√2,∠ADB=135°.若AC=√2AB,则BD=___________.三、计算题1.(2019·全国1·理T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若√2a+b=2c,求sin C.2.(2019·全国3·T18)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asin A+C2=bsin A. (1)求B;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c=1,求△ABC 面积的取值范围.3.(2019·天津·理T15文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.(1)求cosB 的值; (2)求sin （2B+π6）的值.4.(2019·江苏·T15)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c. (1)若a=3c,b=√2,cos B=23,求c 的值; (2)若sinA a=cosB2b,求sin (B +π2)的值.5.(2018·全国1·理T17)在平面四边形ABCD 中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos ∠ADB; (2)若DC=2√2 ,求BC.6.(2018·北京·理T15)在△ABC 中,a=7,b=8,cos B=-17. (1)求∠A;(2)求AC 边上的高.7.(2018·天津·理T15文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos (B -π6). (1)求角B 的大小;(2)设a=2,c=3,求b 和sin(2A-B)的值.8.(2017·天津·理T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知a>b,a=5,c=6,sin B=35. (1)求b 和sin A 的值; (2)求sin (2A +π4)的值.9.(2017·天津·文T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知asin A=4bsin B,ac=√5(a 2-b 2-c 2).(1)求cosA 的值; (2)求sin(2B-A)的值.10.(2017·全国1·理T 17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为a 23sinA.(1)求sin BsinC;(2)若6cos BcosC=1,a=3,求△ABC 的周长.11.(2017·全国2·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin 2B 2. (1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC 的面积为2,求b.12.(2017·全国3·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin A+√3cos A=0,a=2√7,b=2. (1)求c;(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC,求△ABD 的面积. 13.(2017·北京·理T15)在△ABC 中,∠A=60°,c=37a. (1)求sin C 的值; (2)若a=7,求△ABC 的面积.14.(2017·山东·文T17)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知b=3,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-6,S △ABC =3,求A 和a. 15.(2016·北京·T5)在△ABC 中,a 2+c 2=b 2+√2ac. (1)求B 的大小;(2)求√2cos A+cosC 的最大值.16.(2016·山东·理T16)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分 别为a,b,c,已知2(tan A+tan B)=tanA cosB +tanBcosA. (1)证明:a+b=2c; (2)求cosC 的最小值.17.(2016·天津·文T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=√3bsin A. (1)求B;(2)若cosA=13,求sin C 的值.18.(2016·四川·文T 18)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且cosA a+cosB b =sinCc .(1)证明:sinAsin B=sin C;(2)若b2+c2-a2=65bc,求tan B.19.(2016·浙江·文T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若cos B=23,求cos C的值.20.(2016·全国1·理T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=√7,△ABC的面积为3√32,求△ABC的周长.21.(2016·浙江·理T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若△ABC的面积S=a 24,求角A的大小.22.(2015·全国2·理T17)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.(1)求sinBsinC;(2)若AD=1,DC=√22,求BD和AC的长.23.(2015·全国1·文T17)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin AsinC.(1)若a=b,求cosB;(2)设B=90°,且a=√2,求△ABC的面积.24.(2015·浙江·理T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知A=π4,b2-a2=12c2.(1)求tan C的值;(2)若△ABC的面积为3,求b的值.25.(2015·山东·理T16)设f(x)=sin xcos x-cos2(x+π4).(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f(A2)=0,a=1,求△ABC面积的最大值.26.(2015·陕西·理T17)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,√3b)与n=(cosA,sinB)平行.(1)求A;(2)若a=√7,b=2,求△ABC的面积.27.(2015·江苏·理T15)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.(1)求BC 的长; (2)求sin 2C 的值.28.(2015·浙江·文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知tan (π4+A)=2. (1)求sin2Asin2A+cos 2A的值;(2)若B=π4,a=3,求△ABC 的面积.29.(2015·天津·文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为3√15,b-c=2,cos A=-14. (1)求a 和sin C 的值; (2)求cos (2A +π6)的值.30.(2015·全国2·文T17)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC.(1)求sinBsinC; (2)若∠BAC=60°,求∠B.31.(2015·安徽·理T16)在△ABC 中,∠A=3π4,AB=6,AC=3√2,点D 在BC 边上,AD=BD,求AD 的长.32.(2014·全国2·文T17)四边形ABCD 的内角A 与C 互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求角C 和BD;(2)求四边形ABCD 的面积.33.(2014·浙江·理T18)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=√3,cos 2A-cos 2B=√3sinAcos A-√3sin Bcos B. (1)求角C 的大小;(2)若sin A=45,求△ABC 的面积.34.(2014·辽宁·理T17)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边 分别为a,b,c,且a>c.已知BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,cos B=13,b=3.求: (1)a 和c 的值; (2)cos(B-C)的值.35.(2014·天津·文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a-c=√66b,sin B=√6sin C.(1)求cos A 的值; (2)求cos (2A -π6)的值.36.(2014·北京·理T15)如图,在△ABC 中,∠B=π3,AB=8,点D 在BC 边上,且CD=2,cos ∠ADC=17. (1)求sin ∠BAD; (2)求BD,AC 的长.37.(2014·湖南·理T18)如图,在平面四边形ABCD 中,AD=1,CD=2,AC=√7. (1)求cos ∠CAD 的值;(2)若cos ∠BAD=-√714,sin ∠CBA=√216,求BC 的长.38.(2014·湖南·文T19)如图,在平面四边形ABCD 中,DA ⊥AB,DE=1,EC=√7,EA=2,∠ADC=2π3,∠BEC=π3.(1)求sin ∠CED 的值; (2)求BE 的长.39.(2013·全国2·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB. (1)求B;(2)若b=2,求△ABC 面积的最大值.40.(2013·全国1·理T17)如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=√3,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°. (1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.41.(2012·全国·文T 7)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=√3asin C-ccosA.(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面积为√3,求b,c.42.(2012·全国·理T17)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,acos C+√3 asin C-b-c=0.(1)求A;(2)若a=2,△ABC的面积为√3,求b,c.43.(2010·陕西·理T17)如图,A,B是海面上位于东西方向相距5(3+√3)海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20√3海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/时,该救援船到达D点需要多长时间?。
(新课标全国I卷)2010_2019学年高考数学真题分类汇编专题07立体几何(2)文(含解析)
专题7 立体几何（2）立体几何大题：10年10考，每年1题．第1小题多为证明垂直问题，第2小题多为体积计算问题（2014年是求高）．1．（2019年）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求点C到平面C1DE的距离．【解析】（1）连结B1C，ME，∵M，E分别是BB1，BC的中点，∴ME∥B1C，又N为A1D的中点，∴ND＝12A1D，由题设知A1B1//DC，∴B1C//A1D，∴ME//ND，∴四边形MNDE是平行四边形，∴MN∥ED，又MN⊄平面C1DE，∴MN∥平面C1DE．（2）过C作C1E的垂线，垂足为H，由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，∴DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH，∴CH⊥平面C1DE，故CH的长即为C到时平面C1DE的距离，由已知可得CE＝1，CC1＝4，∴C1E，故CH，∴点C 到平面C 1DE ． 2．（2018年）如图，在平行四边形ABCM 中，AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB ⊥DA ． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且BP ＝DQ ＝23DA ，求三棱锥Q ﹣ABP 的体积．【解析】（1）∵在平行四边形ABCM 中，∠ACM ＝90°，∴AB ⊥AC ， 又AB ⊥DA ．且AD ∩AC ＝A ， ∴AB ⊥面ADC ，∵AB ⊂面ABC ， ∴平面ACD ⊥平面ABC ；（2）∵AB ＝AC ＝3，∠ACM ＝90°，∴AD ＝AM ＝∴BP ＝DQ ＝23DA ＝ 由（1）得DC ⊥AB ，又DC ⊥CA ，∴DC ⊥面ABC ，∴三棱锥Q ﹣ABP 的体积V ＝11DC 33S ∆ABP ⨯ ＝C 121DC 333S ∆AB ⨯⨯＝12113333323⨯⨯⨯⨯⨯⨯＝1． 3．（2017年）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°． （1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P ﹣ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．【解析】（1）∵在四棱锥P ﹣ABCD 中，∠BAP ＝∠CDP ＝90°， ∴AB ⊥PA ，CD ⊥PD ， 又AB ∥CD ，∴AB ⊥PD ， ∵PA ∩PD ＝P ，∴AB ⊥平面PAD ， ∵AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD ．（2）设PA ＝PD ＝AB ＝DC ＝a ，取AD 中点O ，连结PO ， ∵PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，平面PAB ⊥平面PAD ，∴PO ⊥底面ABCD ，且AD ，PO ＝2a ， ∵四棱锥P ﹣ABCD 的体积为83， 由AB ⊥平面PAD ，得AB ⊥AD ，∴V P ﹣ABCD ＝CD 13S AB ⨯⨯PO 四边形＝1D 3⨯AB⨯A ⨯PO ＝132a a ⨯⨯＝313a ＝83， 解得a ＝2，∴PA ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝PO ，∴PB ＝PC∴该四棱锥的侧面积：S 侧＝S △PAD +S △PAB +S △PDC +S △PBC＝1D 2⨯PA⨯P +12⨯PA⨯AB +1D DC 2⨯P ⨯+1C 2⨯B＝11112222222222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯＝6+4．（2016年）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（1）证明：G是AB的中点；（2）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．【解析】（1）∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，又E为D在平面PAB内的正投影，∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB，∵PD∩DE＝D，∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则AB⊥PG，又PA＝PB，∴G是AB的中点；（2）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影．∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，∴PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由（1）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故CD ＝23CG ． 由题设可得PC ⊥平面PAB ，DE ⊥平面PAB ，所以DE ∥PC ，因此PE ＝23PG ，DE ＝13PC ．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA ＝6，可得DE ＝2，PG ＝PE ＝ 在等腰直角三角形EFP 中，可得EF ＝PF ＝2． 所以四面体PDEF 的体积V ＝13×DE ×S △PEF ＝13×2×12×2×2＝43．5．（2015年）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD ． （1）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（2）若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E ﹣ACD【解析】（1）∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC ⊥BD ， ∵BE ⊥平面ABCD ， ∴AC ⊥BE ， 则AC ⊥平面BED ， ∵AC ⊂平面AEC ， ∴平面AEC ⊥平面BED ；（2）设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，得AG ＝GC ，GB ＝GD ＝2x，∵BE ⊥平面ABCD ，∴BE ⊥BG ，则△EBG 为直角三角形，∴EG ＝12AC ＝AG ＝2x ，则BE x ，∵三棱锥E ﹣ACD 的体积V ＝11C GD 32⨯A ⨯⨯BE 3x 解得x ＝2，即AB ＝2， ∵∠ABC ＝120°，∴AC 2＝AB 2+BC 2﹣2AB •BC cos ABC ＝4+4﹣2×1222⎛⎫⨯⨯-⎪⎝⎭＝12，即AC ＝在三个直角三角形EBA ，EBD ，EBC 中，斜边AE ＝EC ＝ED ， ∵AE ⊥EC ，∴△EAC 为等腰三角形， 则AE 2+EC 2＝AC 2＝12， 即2AE 2＝12， ∴AE 2＝6，则AE ，∴从而得AE ＝EC ＝ED ，∴△EAC 的面积S ＝11C 22⨯EA⨯E =3， 在等腰三角形EAD 中，过E 作EF ⊥AD 于F ，则AE ，AF ＝1D 2A ＝1212⨯=，则EF =∴△EAD 的面积和△ECD 的面积均为S ＝122⨯故该三棱锥的侧面积为3+6．（2014年）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C．（1）证明：B1C⊥AB；（2）若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．【解析】（1）连接BC1，则O为B1C与BC1的交点，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，∵AO⊥平面BB1C1C，∴AO⊥B1C，∵AO∩BC1＝O，∴B1C⊥平面ABO，∵AB⊂平面ABO，∴B1C⊥AB；（2）作OD⊥BC，垂足为D，连接AD，作OH⊥AD，垂足为H，∵BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD，∴OH⊥BC，∵OH⊥AD，BC∩AD＝D，∴OH⊥平面ABC，∵∠CBB1＝60°，∴△CBB1为等边三角形，∵BC＝1，∴OD∵AC ⊥AB 1，∴OA ＝12B 1C ＝12，由OH •AD ＝OD •OA ，可得AD ，∴OH ＝14，∵O 为B 1C 的中点，∴B 1到平面ABC ，∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的高7．7．（2013年）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60° （1）证明：AB ⊥A 1C ； （2）若AB ＝CB ＝2，A 1C ＝，求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积．【解析】（1）如图，取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B ． 因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB ．由于AB ＝AA 1，160∠BAA =，故△AA 1B 为等边三角形， 所以OA 1⊥AB ．因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C ． 又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C ；（2）由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形，所以1C O =OA =．又1C A =，则22211C C A =O +OA ，故OA 1⊥OC ．因为OC ∩AB ＝O ，所以OA 1⊥平面ABC ，OA 1为三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的高．又△ABC 的面积C S ∆AB故三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积C 1V 3S ∆AB =⨯OA ==．8．（2012年）如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．（1）证明：平面BDC 1⊥平面BDC（2）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．【解析】（1）由题意知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ， ∴BC ⊥平面ACC 1A 1，又DC 1⊂平面ACC 1A 1， ∴DC 1⊥BC ．由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°，∴∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC ，又DC ∩BC ＝C ， ∴DC 1⊥平面BDC ，又DC 1⊂平面BDC 1， ∴平面BDC 1⊥平面BDC ；（2）设棱锥B ﹣DACC 1的体积为V 1，AC ＝1，由题意得V 1＝1121132+⨯⨯⨯＝12，又三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V ＝1， ∴（V ﹣V 1）：V 1＝1：1，∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．9．（2011年）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．（1）证明：PA⊥BD；（2）设PD＝AD＝1，求棱锥D﹣PBC的高．【解析】（1）因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD D，从而BD2+AD2＝AB2，故BD⊥AD，又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．（2）解：作DE⊥PB于E，已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC，由（1）知，BD⊥AD，又BC∥AD，∴BC⊥BD．故BC⊥平面PBD，BC⊥DE，则DE⊥平面PBC．由题设知PD＝1，则BD，PB＝2．根据DE•PB＝PD•BD，得DE即棱锥D﹣PBC10．（2010年）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．（1）证明：平面PAC⊥平面PBD；（2）若AB，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．。
(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编：三角函数(含解析)
(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编：三角函数（含解析）1.(2019·全国2·理T10文T11)已知α∈0，π2，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=()A.15B.√55C.√33D.2√55【答案】B【解析】∵2sin 2α=cos 2α+1，∴4sin αcos α=2cos2α.∵α∈（0，π2），∴cos α>0，sin α>0，∴2sin α=cos α.又sin2α+cos2α=1，∴5sin2α=1，即sin2α=15.∵sin α>0，∴sin α=√55.故选B.2.(2019·全国2·文T8)若x1=π4，x2=3π4是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=()A.2B.32C.1 D.12【答案】A【解析】由题意，得f(x)=sin ωx的周期T=2πω=23π4−π4=π，解得ω=2，故选A.3.(2019·全国2·理T9)下列函数中，以π2为周期且在区间π4，π2单调递增的是()A.f(x)=|cos 2x|B.f(x)=|sin 2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|【答案】A【解析】y=|cos 2x|的图象为，由图知y=|cos 2x|的周期为π2，且在区间（π4，π2）内单调递增，符合题意;y=|sin 2x|的图象为，由图知它的周期为π2，但在区间（π4，π2）内单调递减，不符合题意;因为y=cos|x|=cos x，所以它的周期为2π，不符合题意;y=sin |x|的图象为，由图知其不是周期函数，不符合题意.故选A.4.(2019·天津·理T7)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π，且g（π4）=√2，则f（3π8）=()A.-2B.-√2C.√2D.2【答案】C【解析】已知函数为奇函数，且|φ|<π，故φ=0. f(x)=Asin ωx.∴g(x)=Asin x.∵g(x)的最小正周期为2π，∴2πω=2π，∴ω=1. ∴g(x)=Asin x.由g（π4）=√2，得Asin π4=√2，∴A=2.∴f(x)=2sin 2x.∴f（3π8）=2sin 3π4=√2.故选C.5.(2019·北京·文T8)如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )A.4β+4cos βB.4β+4sin βC.2β+2cos βD.2β+2sin β【答案】B【解析】(方法一)如图，设圆心为O ，连接OA ，OB ，半径r=2，∠AOB=2∠APB=2β，阴影部分Ⅰ(扇形)的面积S 1=βr 2=4β为定值，S △OAB =12|OA||OB|sin 2β=2sin 2β为定值，全部阴影部分的面积S=S △PAB +S 1-S △OAB .当P 为弧AB 的中点时S △PAB 最大，最大值为12(2|OA|sin β)(OP+|OA|cosβ)=2sin β(2+2cos β)=4sin β+2sin 2β，所以全部阴影部分的面积S 的最大值为4β+4sin β，故选B.(方法二)观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP=∠AOP=π-β，面积S的最大值为βr 2+S △POB +S △POA =4β+12|OP||OB|sin(π-β)+12|OP||OA|sin(π-β)=4β+2sin β+2sinβ=4β+4sin β，故选B.6.(2019·全国3·理T12)设函数f(x)=sin (ωx +π5)(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论:①f(x)在(0，2π)有且仅有3个极大值点 ②f(x)在(0，2π)有且仅有2个极小值点 ③f(x)在(0，π10)单调递增 ④ω的取值范围是[125，2910) 其中所有正确结论的编号是( )A.①④B.②③C.①②③D.①③④ 【答案】D【解析】∵f(x)=sin (ωx +π5)(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有5个零点， ∴5π≤2πω+π5<6π， 解得125≤ω<2910，故④正确.画出f(x)的图像(图略)，由图易知①正确，②不正确. 当0<x<π10时，π5<ωx+π5<ωπ10+π5， 又125≤ω<2910，∴ωπ10+π5<29π100+20π100=49π100<π2，∴③正确.综上可知①③④正确.故选D.7.(2018·北京·文T7)在平面直角坐标系中，AB ⏜，CD ⏜，EF ⏜，GH ⏜是圆x 2+y 2=1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边.若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是( ) A.AB⏜ B.CD⏜C.EF ⏜ D.GH ⏜【答案】C【解析】若P 在AB⏜上，则由角α的三角函数线知，cos α>sin α，排除A;若P 在CD ⏜上，则tan α>sin α，排除B;若P 在GH⏜上，则tan α>0，cos α<0，sin α<0，排除D;故选C. 8.(2018·全国1·文T11)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α=23，则|a-b|=( ) A.15 B.√55C.2√55D.1【答案】B。
(北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题09立体几何文(含解析)
专题09立体几何历年考题细目表历年高考真题汇编【2018年北京文科06】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）1．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：四棱锥的三视图对应的直观图为：PA⊥底面ABCD，AC，CD，PC＝3，PD＝2，可得三角形PCD不是直角三角形．所以侧面中有3个直角三角形，分别为：△PAB，△PBC，△PAD．故选：C．2．【2017年北京文科06】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．60 B．30 C．20 D．10【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，该三棱锥的体积10．故选：D．3．【2015年北京文科07】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为正方形如图：其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形∴PB＝1，AB＝1，AD＝1，∴BD，PD．PC═该几何体最长棱的棱长为：故选：C．4．【2013年北京文科08】如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|＝3，则A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0），A1（3，0，3），B1（3，3，3），C1（0，3，3），D1（0，0，3），∴（﹣3，﹣3，3），设P（x，y，z），∵（﹣1，﹣1，1），∴（2，2，1）．∴|PA|＝|PC|＝|PB1|，|PD|＝|PA1|＝|PC1|，|PB|，|PD1|．故P到各顶点的距离的不同取值有，3，，共4个．故选：B．5．【2012年北京文科07】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6B．30+6C．56+12D．60+12【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S底10，S后，S右10，S左6．几何体的表面积为：S＝S底+S后+S右+S左＝30+6．故选：B．6．【2011年北京文科05】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．16B．16+16C．32D．16+32【解答】解：由已知中的三视力可得该几何体是一个四棱锥，棱锥的底面边长为4，故底面面积为16，棱锥的高为2，故侧面的高为：2，则每个侧面的面积为： 4，故棱锥的表面积为：16+16，故选：B．7．【2010年北京文科05】一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（）A．B．C．D．【解答】解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，由以上各视图的描述可知其俯视图符合C选项．故选：C．8．【2010年北京文科08】如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上．点Q是CD的中点，动点P在棱AD上，若EF＝1，DP＝x，A1E＝y（x，y大于零），则三棱锥P﹣EFQ的体积（）A．与x，y都有关B．与x，y都无关C．与x有关，与y无关D．与y有关，与x无关【解答】解：三棱锥P﹣EFQ的体积与点P到平面EFQ的距离和三角形EFQ的面积有关，由图形可知，平面EFQ与平面CDA1B1是同一平面，故点P到平面EFQ的距离是P到平面CDA1B1的距离，且该距离就是P到线段A1D的距离，此距离只与x有关，因为EF＝1，点Q到EF的距离为线段B1C的长度，为定值，综上可知所求三棱锥的体积只与x有关，与y无关．故选：C．9．【2019年北京文科12】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为l，那么该几何体的体积为．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱，则该几何体的体积V．故答案为：40．10．【2019年北京文科13】已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：．【解答】解：由l，m是平面α外的两条不同直线，知：由线面平行的判定定理得：若l⊥α，l⊥m，则m∥α．故答案为：若l⊥α，l⊥m，则m∥α．11．【2016年北京文科11】某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S（1+2）×1，棱柱的高为1，故棱柱的体积V，故答案为：12．【2014年北京文科11】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为．【解答】解：由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE＝CE＝1；由主视图知CD＝2，由左视图知BE＝1，在Rt△BCE中，BC，在Rt△BCD中，BD，在Rt△ACD中，AD＝2．则三棱锥中最长棱的长为2．故答案为：2．13．【2013年北京文科10】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为．【解答】解：几何体为底面边长为3的正方形，高为1的四棱锥，所以体积．故答案为：3．14．【2019年北京文科18】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∴BD⊥PA，BD⊥AC，∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．（Ⅱ）∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，∠ABC＝60°，∴AB⊥AE，PA⊥AE，∵PA∩AB＝A，∴AE⊥平面PAB，∵AE⊂平面PAE，∴平面PAB⊥平面PAE．解：（Ⅲ）棱PB上是存在中点F，使得CF∥平面PAE．理由如下：取AB中点G，连结GF，CG，∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，∴CG∥AE，FG∥PA，∵CG∩FG＝G，AE∩PA＝A，∴平面CFG∥平面PAE，∵CF⊂平面CFG，∴CF∥平面PAE．15．【2018年北京文科18】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．（Ⅰ）求证：PE⊥BC；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD；（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD．【解答】证明：（Ⅰ）PA＝PD，E为AD的中点，可得PE⊥AD，底面ABCD为矩形，可得BC∥AD，则PE⊥BC；（Ⅱ）由于平面PAB和平面PCD有一个公共点P，且AB∥CD，在平面PAB内过P作直线PG∥AB，可得PG∥CD，即有平面PAB∩平面PCD＝PG，由平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，可得AB⊥平面PAD，即有AB⊥PA，PA⊥PG；同理可得CD⊥PD，即有PD⊥PG，可得∠APD为平面PAB和平面PCD的平面角，由PA⊥PD，可得平面PAB⊥平面PCD；（Ⅲ）取PC的中点H，连接DH，FH，在三角形PCD中，FH为中位线，可得FH∥BC，FH BC，由DE∥BC，DE BC，可得DE＝FH，DE∥FH，四边形EFHD为平行四边形，可得EF∥DH，EF⊄平面PCD，DH⊂平面PCD，即有EF∥平面PCD．16．【2017年北京文科18】如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：PA⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E﹣BCD的体积．【解答】解：（1）证明：由PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC＝B，可得PA⊥平面ABC，由BD⊂平面ABC，可得PA⊥BD；（2）证明：由AB＝BC，D为线段AC的中点，可得BD⊥AC，由PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，可得平面PAC⊥平面ABC，又平面PAC∩平面ABC＝AC，BD⊂平面ABC，且BD⊥AC，即有BD⊥平面PAC，BD⊂平面BDE，可得平面BDE⊥平面PAC；（3）PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC，且平面PAC∩平面BDE＝DE，可得PA∥DE，又D为AC的中点，可得E为PC的中点，且DE PA＝1，由PA⊥平面ABC，可得DE⊥平面ABC，可得S△BDC S△ABC2×2＝1，则三棱锥E﹣BCD的体积为DE•S△BDC1×1．17．【2016年北京文科18】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．【解答】（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PC⊥DC，∵DC⊥AC，PC∩AC＝C，∴DC⊥平面PAC；（2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC，∴AB⊥AC，∵PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PC⊥AB，∵PC∩AC＝C，∴AB⊥平面PAC，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC；（3）解：在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．∵点E为AB的中点，∴EF∥PA，∵PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴PA∥平面CEF．18．【2015年北京文科18】如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC 且AC＝BC，O，M分别为AB，VA的中点．（1）求证：VB∥平面MOC；（2）求证：平面MOC⊥平面VAB（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．【解答】（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点，∴OM∥VB，∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC，∴VB∥平面MOC；（2）∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB，∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB（3）在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC，∴AB＝2，OC＝1，∴S△VAB，∵OC⊥平面VAB，∴V C﹣VAB•S△VAB，∴V V﹣ABC＝V C﹣VAB．19．【2014年北京文科17】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E、F分别为A1C1、BC的中点．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）求证：C1F∥平面ABE；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．【解答】解：（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∴BB1⊥AB，∵AB⊥BC，BB1∩BC＝B，BB1，BC⊂平面B1BCC1，∴AB⊥平面B1BCC1，∵AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则∵F是BC的中点，∴FG∥AC，FG AC，∵E是A1C1的中点，∴FG∥EC1，FG＝EC1，∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG，∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，∴C1F∥平面ABE；（3）解：∵AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，∴AB，∴V E﹣ABC S△ABC•AA1（1）×2．20．【2013年北京文科17】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；（Ⅱ）BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．【解答】解：（Ⅰ）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD．又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE∥平面PAD．（Ⅲ）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD①．由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，∴CD⊥EF②．而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．21．【2012年北京文科16】如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．（1）求证：DE∥平面A1CB；（2）求证：A1F⊥BE；（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．【解答】解：（1）∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC，又DE⊄平面A1CB，∴DE∥平面A1CB．（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，又DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC，而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F，又A1F⊥CD，∴A1F⊥平面BCDE，∴A1F⊥BE．（3）线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC．∵DE∥BC，∴DE∥PQ．∴平面DEQ即为平面DEP．由（Ⅱ）知DE⊥平面A1DC，∴DE⊥A1C，又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP，∴A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ，故线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．22．【2011年北京文科17】如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP；（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；（Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）∵D，E分别为AP，AC的中点，∴DE∥PC，∵DE⊄平面BCP，∴DE∥平面BCP．（Ⅱ）∵D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，∴DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF∴四边形DEFG为平行四边形，∵PC⊥AB，∴DE⊥DG，∴四边形DEFG为矩形．（Ⅲ）存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点，由（Ⅱ）知DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG EG，分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN，与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN EG，∴Q为满足条件的点．23．【2010年北京文科17】如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直．EF∥AC，AB，CE ＝EF＝1．（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE．【解答】证明：（Ⅰ）设AC于BD交于点G．因为EF∥AG，且EF＝1，AG AC＝1，所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF∥EG，因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE．（Ⅱ）连接FG．因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，所以平行四边形CEFG为菱形．所以CF⊥EG．因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC．又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF．所以CF⊥BD．又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：空间几何体的结构、三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积，空间点、直线、平面之间的位置关系，直线、平面平行、垂直的判定与性质，空间向量及其运算，立体几何中的向量方法（证明平行与垂直、求空间角和距离）等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积，直线、平面平行、垂直的判定与性质，立体几何中的向量方法（证明平行与垂直、求空间角和距离）等.预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点三视图和直观图，空间几何体的表面积与体积，直线、平面平行、垂直的判定与性质，立体几何中的向量方法（证明平行与垂直、求空间角和距离）等为重点较佳.最新高考模拟试题AD与BD所成的角为（）1．在正方体中, 1A．45?B．90C．60D．120【答案】C【解析】如图，连结BC1、BD和DC1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，由AB=D 1C 1，AB ∥D 1C 1，可知AD 1∥BC 1， 所以∠DBC 1就是异面直线AD 1与BD 所成角，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，BC 1、BD 和DC 1是其三个面上的对角线，它们相等． 所以△DBC 1是正三角形，∠DBC 1=60° 故异面直线AD 1与BD 所成角的大小为60°． 故选：C ． 2．在正方体中，用空间中与该正方体所有棱成角都相等的平面α去截正方体，在截面边数最多时的所有多边形中，多边形截面的面积为S ，周长为l ，则( ) A ．S 为定值，l 不为定值 B ．S 不为定值，l 为定值 C ．S 与l 均为定值 D ．S 与l 均不为定值【答案】C 【解析】正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等， 如图：与面1A BD 平行的面且截面是六边形时满足条件，不失一般性设正方体边长为1，即六边形EFGHMN ，其中分别为其所在棱的中点，由正方体的性质可得22EF =， ∴六边形的周长l 为定值32． ∴六边形的面积为，由正方体的对称性可得其余位置时也为正六边形，周长与面积不变， 故S 与l 均为定值，故选C.3．在四面体P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，边长为3，3PA =，4PB =，5PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ）A ．3B ．23C ．11D ．10【答案】C 【解析】如图，延长CA 至D ，使得3AD =，连接,DB PD ， 因为，故ADB ∆为等腰三角形，又，故，所以即，故CB DB ⊥，因为，所以，所以CB PB ⊥，因，DB ⊂平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，所以CB ⊥平面PBD ， 所以，因A 为DC 的中点，所以，因为，故PDC ∆为直角三角形，所以，又，而4PB =，故即PBD ∆为直角三角形， 所以，所以，故选C.4．若,a b 是不同的直线，,αβ是不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若，则αβ⊥B ．若，则αβ‖C ．若，则αβ‖D ．若，则αβ‖ 【答案】C 【解析】A 中，若，平面,αβ可能垂直也可能平行或斜交，不正确； B 中，若，平面,αβ可能平行也可能相交，不正确；C 中，若,a b αβ⊥⊥，则,a b 分别是平面,αβ的法线，a b ‖必有αβ‖，正确；D 中，若，平面,αβ可能平行也可能相交，不正确.故选C.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（ ）A ．23π B ．32π C ．3π D ．43π 【答案】B 【解析】解：根据几何体的三视图，该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的． 故：该几何体的外接球为正方体的外接球，所以：球的半径，则：.故选：B ． 6．如图，正方体中，E 为棱1BB 的中点，用过点A 、E 、1C 的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图（也称主视图）是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 解：正方体中，过点1,,A E C 的平面截去该正方体的上半部分后， 剩余部分的直观图如图：则该几何体的正视图为图中粗线部分．故选：A．7．下列说法错误的是（）A．垂直于同一个平面的两条直线平行B．若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直C．一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行D．一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直【答案】D【解析】由线面垂直的性质定理知，垂直于同一个平面的两条直线平行,A正确；由面面垂直的性质定理知，若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直,B正确；由面面平行的判定定理知，一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行，C正确；当一条直线与平面内无数条相互平行的直线垂直时，该直线与平面不一定垂直，D错误，故选D.-中，8．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的四棱锥P ABCD=，点E，F分别为PC，PD的中点，则图中的PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD CD鳖臑有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C 【解析】由题意，因为PD ⊥底面ABCD ，所以PDDC ，PD BC ⊥，又四边形ABCD 为正方形，所以BC CD ⊥，所以BC ⊥平面PCD ，BC PC ⊥，所以四面体PDBC 是一个鳖臑， 因为DE ⊂平面PCD ，所以BC DE ⊥，因为PD CD =，点E 是PC 的中点，所以DE PC ⊥， 因为，所以DE ⊥平面PBC ，可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体EBCD 是一个鳖臑， 同理可得，四面体PABD 和FABD 都是鳖臑， 故选C.9．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC △是边长为6的等边三角形，PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______． 【答案】48π 【解析】如图，在等边三角形ABC 中，取AB 的中点F ， 设其中心为O ，由6AB =， 得，PAB ∆是以AB 为斜边的等腰角三角形，PF AB ∴⊥,又因为平面PAB ⊥平面ABC ，PF ∴⊥平面 ABC ，PF OF ∴⊥，，则O 为棱锥P ABC -的外接球球心， 外接球半径，∴该三棱锥外接球的表面积为，故答案为48π.10．若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为3，圆心角为23π的扇形，则该圆锥的体积为_______. 【答案】223π 【解析】因为展开图是半径为3，圆心角为23π的扇形，所以圆锥的母线3l =，圆锥的底面的周长为，因此底面的半径1r =，根据勾股定理，可知圆锥的高，所以圆锥的体积为.11．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列正确命题序号是_____． （1）若m α，n α∥，则m n ∥ （2）若m α⊥，m n ⊥则n α∥（3）若m α⊥，n β⊥且m n ⊥，则αβ⊥； （4）若m β⊂，αβ，则m α【答案】（3）（4） 【解析】 若，则m 与n 可能平行，相交或异面，故（1）错误； 若则n α∥或n α⊂，故（2）错误； 若且m n ⊥，则αβ⊥，故（3）正确；若，由面面平行的性质可得m α，故（4）正确；故答案为：（3）（4） 12．长方体的底面ABCD 是边长为1的正方形，若在侧棱1AA 上存在点E ，使得，则侧棱1AA 的长的最小值为_______．【答案】2 【解析】设侧棱AA 1的长为x ，A 1E ＝t ，则AE ＝x ﹣t ，∵长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面是边长为1的正方形， ∠C 1EB ＝90°， ∴，∴2+t 2+1+（x ﹣t ）2＝1+x 2， 整理，得：t 2﹣xt+1＝0，∵在侧棱AA 1上至少存在一点E ，使得∠C 1EB ＝90°， ∴△＝（﹣x ）2﹣4≥0， 解得x≥2．∴侧棱AA 1的长的最小值为2． 故答案为2．13．如图，在Rt ABC ∆中，1AB BC ==，D 和E 分别是边BC 和AC 上一点，DE BC ⊥，将CDE ∆沿DE 折起到点P 位置，则该四棱锥P ABDE -体积的最大值为_______．【答案】327【解析】在Rt ABC ∆中，由已知，1AB BC ==，DE BC ⊥，所以设，四边形ABDE 的面积为,当CDE ∆⊥平面ABDE 时，四棱锥P ABDE -体积最大, 此时，且,故四棱锥P ABDE -体积为，，30,3x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，0V '> ；时，0V '<,所以，当33x =时，max 327V =. 故答案为32714．三棱锥P ABC -的4个顶点在半径为2的球面上，PA ⊥平面ABC ，ABC 是边长为3的正三角形，则点A 到平面PBC 的距离为______． 【答案】65【解析】△ABC 是边长为3的正三角形，可得外接圆的半径2r asin60==︒2，即r ＝1．∵PA ⊥平面ABC ，PA ＝h ，球心到底面的距离d 等于三棱锥的高PA 的一半即h2，那么球的半径R2,解得h=2,又由知，得'65d =故点A 到平面PBC 的距离为65故答案为65． 15．如图，该几何体由底面半径相同的圆柱与圆锥两部分组成，且圆柱的高与底面半径相等．若圆柱与圆锥的侧面积相等，则圆锥与圆柱的高之比为_______．【答案】3 【解析】设圆柱和圆锥的底面半径为R ，则圆柱的高1h ＝R ，圆锥的母线长为L ，因为圆柱与圆锥的侧面积相等， 所以，，解得：L ＝2R ，得圆锥的高为2h ＝3R ，所以，圆锥与圆柱的高之比为33RR=. 故答案为：3 16．直三棱柱中，，设其外接球的球心为O ，已知三棱锥O ABC -的体积为1，则球O 表面积的最小值为__________． 【答案】16π. 【解析】如图，在Rt ABC ∆中，设，则．分别取11,AC A C 的中点12,O O ，则12,O O 分别为111Rt A B C ∆和Rt ABC ∆外接圆的圆心， 连12,O O ，取12O O 的中点O ，则O 为三棱柱外接球的球心． 连OA ，则OA 为外接球的半径，设半径为R ．∵三棱锥O ABC -的体积为1， 即，∴6ac =．在2Rt OO C ∆中，可得，∴，当且仅当a c =时等号成立，∴O 球表面积的最小值为16π． 故答案为：16π．17．在三棱锥P ABC -中，ABC ∆是边长为4的等边三角形，，25PC =.（1）求证：平面PAB ⊥平面ABC ；（2）若点M ，N 分别为棱BC ，PC 的中点，求三棱锥N AMC -的体积V . 【答案】(1)见证明；(2) 26=3V 【解析】（1）取AB 中点H ，连结PH ，HC .∵，4AB =，∴PH AB ⊥，22PH =. ∵等边ABC ∆的边长为4 ∴23HC =，又25PC = ∴∴90PHC ∠=， 即PH HC ⊥ 又∵，AB平面ABC ，CH ⊂平面ABC ∴PH ⊥平面ABC ，又PH ⊂平面PAB ∴平面PAB ⊥平面ABC（2）∵点M ，N 分别为棱BC ，PC 的中点 ∴点N 到平面ABC 的距离为1=22PH 且∴三棱锥N AMC -的体积18．如图所示，三棱柱中，90BCA ∠=°，1AC ⊥平面1A BC ．（1）证明：平面ABC ⊥平面11ACC A ；（2）若，11A A A C =，求点1B 到平面1A BC 的距离．【答案】（1）见解析；（2）3 【解析】 （1）证明：1AC ⊥平面1A BC ，．，，BC ∴⊥平面11ACC A ．又BC ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面11ACC A ．（2）解：取AC 的中点D ，连接1A D ．，．又平面ABC ⊥平面11ACC A ，且交线为AC ，则1A D ⊥平面ABC ．1AC ⊥平面1A BC ，，∴四边形11ACC A 为菱形，．又11A A A C =，1A AC ∴是边长为2正三角形，13A D ∴= ．面11BB C C ,1BB ⊂面11BB C C1AA ∴面11BB C C设点1B 到平面1A BC 的距离为h ．则．，，3h ∴=．所以点1B 到平面1A BC 的距离为3．19．在边长为3的正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上（如左图），且=BE BF ，将AED ，DCF 分别沿DE ，DF 折起，使A ，C 两点重合于点A （如右图）．（1）求证：A D EF '⊥； （2）当13BF BC =时，求点A 到平面DEF 的距离． 【答案】（1）见解析；（2）375【解析】（1）由ABCD 是正方形及折叠方式，得：A E A D '⊥'，A F A D '⊥'，，A D ∴'⊥平面A EF '， 平面A EF '，．（2），，，52DEFS∴=设点A 到平面DEF 的距离为d ，，，解得375d =． ∴点A 到平面DEF 的距离为375．20．如图，四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AD CD ⊥，SD CD =，AB AD =，2CD AD =，M 是BC 中点，N 是SA 上的点.（1）求证：//MN 平面SDC ； （2）求A 点到平面MDN 的距离. 【答案】（1）见证明；（2）127d = 【解析】（1）取AD 中点为E ，连结ME ，NE ，则//ME DC ，因为ME ⊄平面SDC ，所以//ME 平面SDC ，同理//NE 平面SDC . 所以平面//MNE 平面SDC ，从而因此//MN 平面SDC .（2）因为CD AD ⊥，所以ME AD ⊥.因为SD ⊥平面ABCD ，所以SD CD ⊥，ME SD ⊥.所以ME ⊥平面SAD . 设2DA =，则3ME =，2NE =，，10MD =，5ND =.在MDN ∆中，由余弦定理，从而，所以MDN ∆面积为72. 又ADM ∆面积为12332⨯⨯=. 设A 点到平面MDN 的距离为d ，由得732d NE =， 因为2NE =，所以A 点到平面MDN 的距离127d =. 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，3PA =，//AB CD ，AB AD ⊥，，2AB =，E 为侧棱PA 上一点.（Ⅰ）若13PE PA =，求证：PC //平面EBD ； （Ⅱ）求证：平面EBC ⊥平面PAC ；（Ⅲ）在侧棱PD 上是否存在点F ，使得AF ⊥平面PCD ？若存在，求出线段PF 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）存在，线段PF 长32. 【解析】 （Ⅰ）设，连结EG ，由已知AB//CD ，DC 1=，AB 2=,得.由1PE PA 3=,得AE 2EP=. 在ΔPAC 中，由AE AGEP GC=，得EG //PC . 因为EG ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD ， 所以PC //平面EBD .（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC PA ⊥. 由已知得AC 2=，BC 2=，AB 2=，所以.所以BC AC ⊥. 又，所以BC ⊥平面PAC .因为BC ⊂平面EBC ， 所以平面EBC ⊥平面PAC .（Ⅲ）在平面PAD 内作AF PD ⊥于点F ，由DC PA ⊥，DC AD ⊥，，得DC ⊥平面PAD .因为AF ⊂平面PAD ，所以CD AF ⊥. 又，所以AF ⊥平面PCD .由PA 3=，AD 1=，PA AD ⊥， 得3PF 2=. 22．已知三棱柱的底面ABC 是等边三角形，侧面AA C C ''⊥底面ABC ，D 是棱BB '的中点.（1）求证：平面DA C '⊥平面ACC A ''；（2）求平面DA C '将该三棱柱分成上下两部分的体积比. 【答案】(1)见证明；(2)1：1 【解析】（1）取,AC A C ''的中点,O F ,连接OF 与C A '交于点E ， 连接DE ，,OB B F ',则E 为OF 的中点，,且，所以BB FO '是平行四边形.又D 是棱BB '的中点，所以DE OB .。
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十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题07 解三角形一、选择题1.(2019·全国1·文T11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14,则b c=( ) A.6 B.5 C.4 D.3【答案】A【解析】由已知及正弦定理,得a 2-b 2=4c 2,由余弦定理的推论,得-14=cos A=b 2+c 2-a 22bc,∴c 2-4c 22bc =-14,∴-3c 2b =-14,∴b c =32×4=6,故选A. 2.(2018·全国2·理T6文T7)在△ABC 中,cos C 2=√55,BC=1,AC=5,则AB=( )A.4√2B.√30C.√29D.2√5【答案】A【解析】∵cos C=2cos 2C2-1=-35,∴AB 2=BC 2+AC 2-2BC·ACcos C=1+25+2×1×5×35=32.∴AB=4√2.3.(2018·全国3·理T 9文T 11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若△ABC 的面积为a 2+b 2-c 24,则C=( )A.π2 B.π3C.π4 D.π6【答案】C【解析】由S=a 2+b 2-c 24=12absin C,得c 2=a 2+b 2-2absin C.又由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcos C,∴sin C=cos C,即C=π4.4.(2017·山东·理T9)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是( )A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A 【答案】A【解析】∵sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C, ∴sin B+2sin Bcos C=(sin Acos C+cos Asin C)+sin Acos C, ∴sin B+2sin Bcos C=sin B+sin Acos C, ∴2sin Bcos C=sin Acos C,又△ABC 为锐角三角形,∴2sin B=sin A, 由正弦定理,得a=2b.故选A.5.(2017·全国1·文T11)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=√2,则C=( ) A.π12 B.π6C.π4D.π3【答案】B【解析】由题意结合三角形的内角和,可得sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,整理得sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,则sin C(sin A+cos A)=0,因为sin C>0,所以sin A+cos A=0,即tan A=-1,因为A ∈(0,π),所以A=3π4.由正弦定理asinA =csinC ,得2sin 3π4=√2sinC ,即sin C=12,所以C=π6,故选B.6.(2016·全国3·理T8)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC,则cos A=( ) A.3√1010B.√1010C.-√1010D.-3√1010【答案】C【解析】设BC 边上的高为AD,则BC=3AD. 结合题意知BD=AD,DC=2AD,所以AC=√AD 2+DC 2=√5AD,AB=√2AD.由余弦定理,得cos A=AB 2+AC 2-BC 22AB ·AC=22-22×√2AD×√5AD =-√1010,故选C.7.(2016·全国3·文T9)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于1BC,则sin A=( ) A.310B.√10C.√55D.3√10【答案】D【解析】记角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 则由题意,得S △ABC =12a·a 3=12acsin B,∴c=√23a.∴b 2=a 2+(√23a)2-2a·√2a 3·√22=5a 29,即b=√5a3.由正弦定理a=b,得sin A=asinBb=a×√225a3=3√1010.故选D.8.(2016·全国1·文T4)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知a=√5,c=2,cos A=23,则b= ( ) A.√2 B.√3C.2D.3【答案】D【解析】由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos A, 即5=b 2+4-4b ×23,即3b 2-8b-3=0, 又b>0,解得b=3,故选D.9.(2016·天津·理T3)在△ABC 中,若AB=√13,BC=3,∠C=120°,则AC=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A【解析】由余弦定理得13=9+AC 2+3AC,∴AC=1.故选A.10.(2016·山东·文T8)△ABC 中,角A,B,C 的对边分别是a,b,c.已知b=c,a 2=2b 2(1-sin A),则A=( ) A.3π4B.π3C.π4D.π6【答案】C【解析】由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2bccos A, 又因为b=c,所以a 2=b 2+b 2-2b×b cos A=2b 2(1-cos A). 由已知a 2=2b 2(1-sin A),所以sin A=cos A. 因为A ∈(0,π),所以A=π4.11.(2015·广东·文T5)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2√3,cos A=√32且b<c,则b=( ) A.3 B.2√2C.2D.√3【答案】C【解析】由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得b2-6b+8=0,解得b=2或4.因为b<c,所以b=2.12.(2014·全国2·理T 4)钝角三角形ABC的面积是12,AB=1,BC=√2,则AC=()A.5B.√5C.2D.1【答案】B【解析】由题意知S△ABC=12AB·BC·sin B,即12=12×1×√2sin B,解得sin B=√22.则B=45°或B=135°.当B=45°时,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=12+(√2)2-2×1×√2×√22=1,此时AC2+AB2=BC2,△ABC为直角三角形,不符合题意;当B=135°时,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=12+(√2)2-2×1×√2×(-√22)=5,解得AC=√5,符合题意.故选B.13.(2014·四川·文T8)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于( )A.240(√3-1) mB.180(√2-1) mC.120(√3-1) mD.30(√3+1) m【答案】C【解析】如图,作AD⊥BC,垂足为D.由题意,得DC=60×tan 60°=60√3(m),DB=60×tan 15°=60×tan(45°-30°)=60×tan45°-tan30°°°=60×1-√331+33=(120-60√3) m.所以BC=DC-DB=60√3-(120-60√3)=120√3-120=120(√3-1)(m),故选C.14.(2013·全国1·文T10)已知锐角△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,23cos 2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=( ) A.10B.9C.8D.5【答案】D【解析】由23cos 2A+cos 2A=0,得cos 2A=125. ∴cos A=±15.∵A ∈(0,π2),∴cos A=15. ∵cos A=36+b 2-492×6b,∴b=5或b=-135(舍).15.(2013·全国2·文T 4)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=π6,C=π4,则△ABC 的面积为( ) A.2√3+2 B.√3+1 C.2√3-2 D.√3-1【答案】B【解析】A=π-(B+C)=7π12, 由正弦定理得a sinA =b sinB, 则a=bsinA sinB=2sin 7π12sin π6=√6+√2,∴S △ABC =12absin C=12×2×(√6+√2)×√22=√3+1.二、填空题1.(2019·全国2·理T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=π3,则△ABC 的面积为___________. 【答案】6√3【解析】∵b 2=a 2+c 2-2accos B, ∴(2c)2+c 2-2×2c×c×12=62,即3c 2=36,解得c=2√3或c=-2√3(舍去). ∴a=2c=4√3.∴S △ABC =12acsin B=12×4√3×2√3×√32=6√3.2.(2019·全国2·文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B= . 【答案】3π4【解析】由正弦定理,得sin Bsin A+sin Acos B=0.∵A ∈(0,π),B ∈(0,π),∴sin A ≠0,∴sin B+cos B=0,即tan B=-1,∴B=3π4.3.(2019·浙江·T14)在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D 在线段AC 上.若∠BDC=45°,则 BD= ,cos ∠ABD= . 【解析】如图所示,设CD=x,∠DBC=α,则AD=5-x,∠ABD=π2-α,在△BDC 中,由正弦定理得3sin π4=xsinα=3√2⇒sin α=3√2.在△ABD中,由正弦定理得5-xsin(π2-α)=4sin 3π4=4√2⇒cos -4√2由sin 2α+cos 2α=x 218+(5-x )232=1,解得x 1=-35(舍去),x 2=215⇒BD=12√25.在△ABD 中,由正弦定理得0.8sin∠ABD =4sin(π-π4)⇒sin ∠ABD=√210⇒cos ∠ABD=7√210.4.(2018·浙江·T13)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若a=√7,b=2,A=60°,则sin B=___________,c=___________. 【答案】√2173【解析】由正弦定理asinA=bsinB ,可知sin B=√217.∵a=√7>b=2,∴B 为锐角. ∴cos B=√1-sin 2B =2√77. ∴cos C=-cos(A+B)=sin Asin B-cos Acos B=√7.由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2abcos C=7+4-2×2×√7×√714=7+4-2=9.∴c=3.5.(2018·北京·文T 14)若△ABC 的面积为√34(a 2+c 2-b 2),且∠C 为钝角,则∠B= ________;ca 的取值范围是 .【答案】π(2,+∞)【解析】由余弦定理得cos B=a 2+c 2-b 22ac,∴a 2+c 2-b 2=2accos B.又∵S=√34(a 2+c 2-b 2),∴12acsin B=√34×2accos B,∴tan B=√3,∴∠B=π3.又∵∠C 为钝角, ∴∠C=2π3-∠A>π2,∴0<∠A<π6. 由正弦定理得ca=sin(2π3-∠A)sinA=√32cosA+12sinAsinA=12+√32·1tanA .∵0<tan A<√33,∴1tanA>√3,∴c a >12+√32×√3=2,即ca >2.6.(2018·全国1·文T16)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b 2+c 2-a 2=8,则△ABC 的 面积为 . 【答案】2√33【解析】∵bsin C+csin B=4asin Bsin C, ∴sin Bsin C+sin Csin B=4sin Asin Bsin C. 又sin Bsin C>0,∴sin A=12.由余弦定理得cos A=b 2+c 2-a 22bc =82bc =4bc>0,∴cos A=√3,bc=4=8√3,∴S △ABC =12bcsin A=12×8√33×12=2√33. 7.(2017·浙江·T14)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D 为AB 延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC 的面积 是 ,cos ∠BDC= .【解析】依题意作出图形,如图所示,则sin ∠DBC=sin ∠ABC. 由题意知AB=AC=4,BC=BD=2, 则sin ∠ABC=√154,cos ∠ABC=14.所以S △BDC =12BC·BD·sin ∠DBC=12×2×2×√154=√152.因为cos ∠DBC=-cos ∠ABC=-14=BD 2+BC 2-CD 22BD ·BC=8-CD 28,所以CD=√10.由余弦定理,得cos ∠BDC=-2×2×√10=√104.8.(2017·全国3·文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=√6,c=3,则A= . 【答案】75° 【解析】由正弦定理得b =c,即sin B=bsinCc=√6×√323=√22.因为b<c,所以B<C,所以B=45°,故A=180°-B-C=75°.9.(2017·全国2·文T 16)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B= . 【答案】π3【解析】由题意和正弦定理,可得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B,即cos B=12.又因为B ∈(0,π),所以B=π3.10.(2016·全国2·理T13文T15)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b=___________. 【答案】2113【解析】因为cos A=4,cos C=513,且A,C 为△ABC 的内角,所以sin A=3,sin C=12,sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=6365. 又因为a sinA=bsinB,所以b=asinB sinA=2113. 11.(2016·北京·文T 13)在△ABC 中,A=2π3,a=√3c,则bc = .【答案】1【解析】由正弦定理知sinA sinC=ac =√3,即sin C=sin 2π3√3=12,又a>c,可得C=π6,∴B=π-2π3−π6=π6,∴b=c,即bc=1.12.(2015·全国1·理T16)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是. 【解析】如图.作CE∥AD交AB于E,则∠CEB=75°,∠ECB=30°.在△CBE中,由正弦定理得,EB=√6−√2.延长CD交BA的延长线于F,则∠F=30°.在△BCF中,由正弦定理得,BF=√6+√2,所以AB的取值范围为(√6−√2,√6+√2).13.(2015·重庆·理T13)在△ABC中,B=120°,AB=√2,A的角平分线AD=√3,则AC=___________. 【答案】√6【解析】如图所示,在△ABD中,由正弦定理,得AD sinB =ABsin∠ADB,即√3sin120°=√2sin∠ADB,所以sin∠ADB=√22,可得∠ADB=45°,则∠BAD=∠DAC=15°.所以∠ACB=30°,∠BAC=30°.所以△BAC是等腰三角形,BC=AB=√2.由余弦定理,得AC=√AB2+BC2-2·AB·BC·cos120°=√(√2)2+(√2)2-2×√2×√2×(-12)=√6.14.(2015·湖北·理T13文T15)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.【答案】100【解析】如图所示,由已知得∠BAC=30°,AB=600 m,∠EBC=75°,∠CBD=30°.在△ABC中,∠ACB=∠EBC-∠BAC=45°,由BC sin∠BAC=ABsin∠ACB ,得BC=AB ·sin∠BAC sin∠ACB=600×1222=300√2(m).在Rt △BCD 中,CD=BC·tan∠CBD =300√2×√33=100√6(m).15.(2015·福建·理T12)若锐角△ABC 的面积为10√3,且AB=5,AC=8,则BC 等于 . 【答案】7【解析】由S △ABC =12|AB|·|AC|·sin A=12×5×8·sin A=10√3,得sin A=√32.∵△ABC 为锐角三角形,∴A=60°.由余弦定理,得BC 2=AB 2+AC 2-2·AB·AC·cos 60°=25+64-2×5×8×12=49,∴BC=7.16.(2015·天津·理T13)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为3√15,b-c=2,cos A=-14,则a 的值为 . 【答案】8【解析】∵S △ABC =12bcsin A=12bc -cos 2A =12bc×√15=3√15,∴bc=24.又b-c=2,∴a 2=b 2+c 2-2bccos A=(b-c)2+2bc-2bc×(-14)=4+2×24+12×24=64.∵a 为△ABC 的边,∴a=8.17.(2015·安徽·文T12)在△ABC 中,AB=√6,∠A=75°,∠B=45°,则AC= . 【答案】2【解析】∠C=60°,根据正弦定理,得ABsinC=ACsinB,所以AC=√22×√6√32=2.18.(2015·福建·文T14)若△ABC 中,AC=√3,A=45°,C=75°,则BC=___________. 【答案】√2【解析】B=60°,由正弦定理,得√3sin60°=BCsin45°,得BC=√2.19.(2015·重庆·文T13)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=−14,3sin A=2sin B,则c= .【答案】4【解析】由于3sin A=2sin B,根据正弦定理可得3a=2b,又a=2,所以b=3.由余弦定理可得c=√a2+b2-2abcosC=√22+32-2×2×3×(-14)=4.20.(2015·北京·理T 12)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC=.【答案】1【解析】在△ABC中,由正弦定理,得sin2AsinC =2sinAcosAsinC=2cos A·ac=2cos A×46=43cos A,再根据余弦定理,得cos A=36+25-162×6×5=34,所以sin2AsinC =43×34=1.21.(2014·全国1·理T 16)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sinB)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为.【答案】√3【解析】由正弦定理,可得(2+b)(a-b)=(c-b)·c.∵a=2,∴a2-b2=c2-bc,即b2+c2-a2=bc.由余弦定理,得cos A=b 2+c2-a22bc=12.∴sin A=√32.由b2+c2-bc=4,得b2+c2=4+bc.∵b2+c2≥2bc,即4+bc≥2bc,∴bc≤4.∴S△ABC=12bc·sin A≤√3,即(S△ABC)max=√3.22.(2014·全国1·理T16)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN=___________m.【答案】150【解析】在Rt △ABC 中,由于∠CAB=45°,BC=100 m,所以AC=100√2 m.在△MAC 中,∠AMC=180°-75°-60°=45°,由正弦定理可得AC sin∠AMC=MAsin∠MCA ,于是MA=100√2×√32√22=100√3(m).在Rt △MNA 中,∠MAN=60°,于是MN=MA·sin∠MAN=100√3×√32=150(m),即山高MN=150 m.23.(2011·全国·理T16)在△ABC 中,B=60°,AC=√3,则AB+2BC 的最大值为___________. 【答案】2√7【解析】令AB=c,BC=a,则由正弦定理得a sinA =c sinC =AC sinB =√3√32=2,则c=2sin C,a=2sin A,且A+C=120°,AB+2BC=c+2a=2sin C+4sin A=2sin C+4sin(120°-C) =2sin C+4(√32cosC +12sinC)=4sin C+2√3cos C =2√7sin(C+φ)(其中tanφ=√32). 故当C+φ=90°时,AB+2BC 取最大值2√7.24.(2011·全国·文T 15)△ABC 中,B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC 的面积为 . 【答案】15√34【解析】在△ABC 中,由余弦定理知AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos B,即BC 2+5BC-24=0, 解得BC=3或BC=-8(舍去).S △ABC =12·AB·BC·sin 120°=12×5×3×√32=15√34.25.(2010·全国·理T16)在△ABC 中,D 为边BC 上一点,BD=1DC,∠ADB=120°,AD=2.若△ADC 的面积为3-√3,则∠BAC= . 【答案】60°【解析】由S △ADC =12×2×DC×√32=3-√3,解得DC=2(√3-1),则BD=√3-1,BC=3(√3-1).∵在△ABD 中,AB 2=4+(√3-1)2-2×2×(√3-1)×cos 120°=6,∴AB=√6.在△ACD 中,AC 2=4+[2(√3-1)]2-2×2×2(√3-1)×cos 60°=24-12√3,∴AC=√6(√3-1).则cos ∠BAC=AB 2+AC 2-BC 22AB ·AC=-√3-(-√3)2×6×6×31=12,∴∠BAC=60°.26.(2010·全国·文T16)在△ABC 中,D 为BC 边上一点,BC=3BD,AD=√2,∠ADB=135°.若AC=√2AB,则BD=___________. 【答案】2+√5【解析】依据题意作出图形,如图,设AB=a,AC=√2a,BD=k,DC=2k,在三角形ABD 与三角形ADC 中由余弦定理,有{a 2=k 2+2+2k ,2a 2=4k 2+2-4k ,所以k 2-4k-1=0,所以k=2+√5.三、计算题1.(2019·全国1·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin 2A-sin Bsin C. (1)求A;(2)若√2a+b=2c,求sin C.【解析】(1)由已知得sin 2B+sin 2C-sin 2A=sin Bsin C, 故由正弦定理得b 2+c 2-a 2=bc. 由余弦定理得cos A=b 2+c 2-a22bc=12.因为0°<A<180°,所以A=60°.(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得√2sin A+sin(120°-C)=2sin C,即√62+√32cos C+12sin C=2sin C,可得cos(C+60°)=-√22.由于0°<C<120°,所以sin(C+60°)=√22,故sin C=sin(C+60°-60°)=sin(C+60°)cos 60°-cos(C+60°)sin 60° =√6+√24.2.(2019·全国3·T18)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知asin A+C2=bsin A. (1)求B;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c=1,求△ABC 面积的取值范围. 【解析】(1)由题设及正弦定理得sin Asin A+C2=sin Bsin A. 因为sin A≠0,所以sinA+C2=sin B. 由A+B+C=180°,可得sin A+C 2=cos B2, 故cos B 2=2sin B 2cos B 2.因为cos B 2≠0,故sin B 2=12,因此B=60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC =√3a.由正弦定理得a=csinA sinC=sin (120°-C )sinC =√32tanC +12. 由于△ABC 为锐角三角形,故0°<A<90°,0°<C<90°. 由(1)知A+C=120°,所以30°<C<90°, 故12<a<2,从而√38<S △ABC <√32.因此,△ABC 面积的取值范围是(√38,√32).3.(2019·天津·理T15文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.(1)求cos B 的值; (2)求sin （2B+π6）的值.【解析】(1)在△ABC 中,由正弦定理b sinB=csinC ,得bsin C=csin B,又由3csin B=4asin C,得3bsin C=4asinC,即3b=4a.又因为b+c=2a,得到b=43a,c=23a.由余弦定理可得cos B=a 2+c 2-b22ac =a 2+49a 2-169a 22·a ·23a=-14.(2)由(1)可得sin B=√1-cos 2B =√154,从而sin 2B=2sin Bcos B=-√158,cos 2B=cos 2B-sin 2B=-78,故sin （2B+π）=sin 2Bcos π6+cos 2Bsin π6=-√158×√32−78×12=-3√5+716.4.(2019·江苏·T15)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c. (1)若a=3c,b=√2,cos B=23,求c 的值; (2)若sinAa=cosB2b,求sin (B +π2)的值.【解析】(1)因为a=3c,b=√2,cos B=23,由余弦定理cos B=a 2+c 2-b 22ac,得23=(3c )2+c 2-(√2)22×3c×c ,即c 2=13.所以c=√33.(2)因为sinA =cosB, 由正弦定理a =b , 得cosB 2b=sinBb ,所以cos B=2sin B.从而cos 2B=(2sin B)2,即cos 2B=4(1-cos 2B),故cos 2B=45. 因为sin B>0,所以cos B=2sin B>0, 从而cos B=2√55.因此sin (B +π2)=cos B=2√55.5.(2018·全国1·理T17)在平面四边形ABCD 中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos ∠ADB; (2)若DC=2√2 ,求BC.【解析】(1)在△ABD 中,由正弦定理得BD sin∠A=ABsin∠ADB .由题设知,5sin45°=2sin∠ADB ,所以sin ∠ADB=√25.由题设知,∠ADB<90°,所以cos ∠ADB=√1-225=√235.(2)由题设及(1)知,cos ∠BDC=sin ∠ADB=√25.在△BCD 中,由余弦定理得BC 2=BD 2+DC 2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2√2×√25=25.所以BC=5.6.(2018·北京·理T15)在△ABC 中,a=7,b=8,cos B=-17. (1)求∠A;(2)求AC 边上的高.【解析】(1)在△ABC 中,∵cos B=-17,∴B ∈(π2,π), ∴sin B=√1-cos 2B =4√37. 由正弦定理,得asinA=bsinB ⇒7sinA =4√37, ∴sin A=√32.∵B ∈(π2,π),∴A ∈(0,π2),∴A=π3.(2)在△ABC 中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A=√32×(-17)+12×4√37=3√314. 如图所示,在△ABC 中,过点B 作BD ⊥AC 于点D. ∵sin C=h BC,∴h=BC·sin C=7×3√314=3√32,∴AC 边上的高为3√3.7.(2018·天津·理T15文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos (B -π6). (1)求角B 的大小;(2)设a=2,c=3,求b 和sin(2A-B)的值. 【解析】(1)在△ABC 中,由正弦定理asinA=bsinB ,可得bsin A=asin B.又由bsin A=acos (B -π6),得asin B=acos (B -π6),即sin B=cos (B -π6),可得tan B=√3.又因为B ∈(0,π),所以B=π3.(2)在△ABC 中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π3,有b 2=a 2+c 2-2accos B=7,故b=√7.由bsin A=acos (B -π6),可得sin A=√3√7.因为a<c,故cos A=7.因此sin 2A=2sin Acos A=4√37,cos 2A=2cos 2A-1=17.所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=4√37×12−17×√32=3√314.8.(2017·天津·理T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知a>b,a=5,c=6,sin B=35. (1)求b 和sin A 的值; (2)求sin (2A +π4)的值.【解析】(1)在△ABC 中,因为a>b, 故由sin B=35,可得cos B=45.由已知及余弦定理,有b 2=a 2+c 2-2accos B=13, 所以b=√13.由正弦定理a sinA=bsinB ,得sin A=asinB b=3√1313.所以,b 的值为√13,sin A 的值为3√1313. (2)由(1)及a<c,得cos A=2√1313, 所以sin 2A=2sin Acos A=12,cos 2A=1-2sin 2A=-5.故sin (2A +π4)=sin 2Acos π4+cos 2Asin π4=7√226.9.(2017·天津·文T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知asin A=4bsin B,ac=√5(a 2-b 2-c 2).(1)求cos A 的值; (2)求sin(2B-A)的值.【解析】(1)由asin A=4bsin B,及a sinA=bsinB ,得a=2b.由ac=√5(a 2-b 2-c2),及余弦定理,得cos A=b 2+c 2-a 22bc=-√55ac ac=-√55.(2)由(1),可得sin A=2√55,代入asin A=4bsin B,得sin B=asinA 4b=√55.由(1)知,A 为钝角,所以cos B=√1-sin 2B =2√55.于是sin 2B=2sin Bcos B=45,cos 2B=1-2sin 2B=35,故sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A=45×(-√55)−35×2√55=-2√55.10.(2017·全国1·理T 17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为a 23sinA.(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC 的周长.【解析】(1)由题设得12acsin B=a 23sinA ,即12csin B=a 3sinA .由正弦定理得12sin Csin B=sinA3sinA. 故sin Bsin C=23.(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-12,即cos(B+C)=-12.所以B+C=2π3,故A=π.由题设得12bcsin A=a 23sinA,即bc=8.由余弦定理得b 2+c 2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=√33. 故△ABC 的周长为3+√33.11.(2017·全国2·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin 2B 2. (1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC 的面积为2,求b.【解析】(1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin 2B2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos 2B-32cos B+15=0, 解得cos B=1(舍去),cos B=1517. (2)由cos B=1517得sin B=817, 故S △ABC =12acsin B=417ac. 又S △ABC =2,则ac=172. 由余弦定理及a+c=6得 b 2=a 2+c 2-2accos B =(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2×172×(1+1517)=4. 所以b=2.12.(2017·全国3·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知sin A+√3cos A=0,a=2√7,b=2. (1)求c;(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC,求△ABD 的面积. 【解析】(1)由已知可得tan A=-√3,所以A=2π3. 在△ABC 中,由余弦定理得28=4+c 2-4ccos 2π3, 即c 2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4. (2)由题设可得∠CAD=π2,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=π6.故△ABD面积与△ACD面积的比值为12AB ·AD ·sin π612AC ·AD =1.又△ABC 的面积为12×4×2sin∠BAC=2√3,所以△ABD 的面积为√3. 13.(2017·北京·理T15)在△ABC 中,∠A=60°,c=37a. (1)求sin C 的值; (2)若a=7,求△ABC 的面积.【解析】(1)在△ABC 中,因为∠A=60°,c=37a, 所以由正弦定理得sin C=csinA a=37×√32=3√314.(2)因为a=7,所以c=37×7=3.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccos A 得72=b 2+32-2b×3×1,解得b=8或b=-5(舍). 所以△ABC 的面积S=12bcsin A=12×8×3×√32=6√3.14.(2017·山东·文T17)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知b=3,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-6,S △ABC =3,求A 和a. 【解析】因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-6,所以bccos A=-6, 又S △ABC =3,所以bcsin A=6.因此tan A=-1,又0<A<π,所以A=3π. 又b=3,所以c=2√2.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccos A,得a 2=9+8-2×3×2√2×(-√22)=29,所以a=√29.15.(2016·北京,理15,12分,难度)在△ABC 中,a 2+c 2=b 2+√2ac.(1)求B 的大小;(2)求√2cos A+cos C 的最大值. 【解析】(1)由余弦定理及题设得cos B=a 2+c 2-b22ac=√2ac 2ac =√22.又因为0<B<π,所以B=π4.(2)由(1)知A+C=3π4.√2cos A+cos C=√2cos A+cos (3π-A) =√2cos A-√22cos A+√22sin A=√22cos A+√22sin A=cos (A -π4).因为0<A<3π4,所以当A=π4时,√2cos A+cos C 取得最大值1.16.(2016·山东·理T16)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分 别为a,b,c,已知2(tan A+tan B)=tanA cosB +tanBcosA. (1)证明:a+b=2c; (2)求cos C 的最小值. 【解析】(1)证明由题意知2(sinA cosA +sinBcosB)=sinA cosAcosB +sinBcosAcosB,化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B, 即2sin(A+B)=sin A+sin B,因为A+B+C=π, 所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C.从而sin A+sin B=2sin C.由正弦定理得a+b=2c. (2)解由(1)知c=a+b2,所以cos C=a 2+b 2-c 22ab=a 2+b 2-(a+b 2)22ab=38(a b +b a )−14≥12,当且仅当a=b 时,等号成立.故cos C 的最小值为12.17.(2016·天津·文T15)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=√3bsin A. (1)求B;(2)若cos A=13,求sin C 的值. 【解析】(1)在△ABC 中,由a sinA=bsinB ,可得asin B=bsin A,又由asin 2B=√3bsin A,得2asin Bcos B=√3bsin A=√3asin B,所以cos B=√32,得B=π6.(2)由cos A=13,可得sin A=2√23,则sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin (A +π6)=√32sin A+12cos A=2√6+16.18.(2016·四川·文T 18)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且cosA a+cosBb =sinCc .(1)证明:sin Asin B=sin C; (2)若b 2+c 2-a 2=65bc,求tan B. 【解析】(1)证明根据正弦定理,可设a sinA=b sinB =csinC =k(k>0).则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C. 代入cosA a+cosBb =sinCc 中,有cosA ksinA +cosB ksinB =sinCksinC ,变形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在△ABC 中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C. (2)解由已知,b 2+c 2-a 2=65bc,根据余弦定理,有cos A=b 2+c 2-a 22bc =35.所以sin A=√1-cos 2A =45.由(1),sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B, 所以45sin B=45cos B+35sin B, 故tan B=sinBcosB =4. 19.(2016·浙江·文T 16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B. (1)证明:A=2B;(2)若cos B=23,求cos C 的值.【解析】(1)证明由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin A·cos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B). 又A,B ∈(0,π),故0<A-B<π, 所以B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)解由cos B=23得sin B=√5,cos 2B=2cos 2B-1=-19,故cos A=-19,sin A=4√5,cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=2227.20.(2016·全国1·理T17)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c. (1)求C;(2)若c=√7,△ABC 的面积为3√32,求△ABC 的周长.【解析】(1)由已知及正弦定理,得 2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C, 即2cos Csin(A+B)=sin C. 故2sin Ccos C=sin C. 可得cos C=12,所以C=π3.(2)由已知,12absin C=3√32.又C=π,所以ab=6.由已知及余弦定理,得a 2+b 2-2abcos C=7. 故a 2+b 2=13,从而(a+b)2=25. 所以△ABC 的周长为5+√7.21.(2016·浙江·理T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acos B. (1)证明:A=2B;(2)若△ABC 的面积S=a 24,求角A 的大小.【解析】(1)证明由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B, 故2sin Acos B=sin B+sin(A+B) =sin B+sin Acos B+cos Asin B. 于是sin B=sin(A-B). 又A,B ∈(0,π),故0<A-B<π, 所以B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以,A=2B. (2)解由S=a 24得12absin C=a 24,故有sin Bsin C=12sin 2B=sin Bcos B. 因sin B≠0,得sin C=cos B. 又B,C ∈(0,π),所以C=π2±B. 当B+C=π2时,A=π2; 当C-B=π2时,A=π4.综上,A=π或A=π.22.(2015·全国2·理T17)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,△ABD 面积是△ADC 面积的2倍. (1)求sinBsinC; (2)若AD=1,DC=√22,求BD 和AC 的长.【解析】(1)S △ABD =12AB·ADsin∠BAD, S △ADC =12AC·ADsin∠CAD.因为S △ABD =2S △ADC ,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC. 由正弦定理可得sinB sinC=AC AB=12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC =BD ∶DC,所以BD=√2. 在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理知AB 2=AD 2+BD 2-2AD·BDcos∠ADB,AC 2=AD 2+DC 2-2AD·DCcos∠ADC. 故AB 2+2AC 2=3AD 2+BD 2+2DC 2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.23.(2015·全国1·文T17)已知a,b,c 分别为△ABC 内角A,B,C 的对边,sin 2B=2sin Asin C. (1)若a=b,求cos B;(2)设B=90°,且a=√2,求△ABC 的面积. 【解析】(1)由题设及正弦定理可得b 2=2ac. 又a=b,可得b=2c,a=2c.由余弦定理可得cos B=a 2+c 2-b 22ac =14.(2)由(1)知b 2=2ac.因为B=90°,由勾股定理得a 2+c 2=b 2. 故a 2+c 2=2ac,得c=a=√2. 所以△ABC 的面积为S=12ac=1.24.(2015·浙江·理T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,已知A=π4,b 2-a 2=12c 2. (1)求tan C 的值;(2)若△ABC 的面积为3,求b 的值.【解析】(1)由b 2-a 2=12c 2及正弦定理得sin 2B-12=12sin 2C,所以-cos 2B=sin 2C.又由A=π,即B+C=34π,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,解得tan C=2. (2)由tan C=2,C ∈(0,π)得sin C=2√55,cos C=√55.又因为sin B=sin(A+C)=sin (π4+C), 所以sin B=3√1010. 由正弦定理得c=2√23b,又因为A=π4,12bcsin A=3,所以bc=6√2.故b=3.25.(2015·山东·理T16)设f(x)=sin xcos x-cos 2(x +π4).(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若f (A2)=0,a=1,求△ABC 面积的最大值. 【解析】(1)由题意知f(x)=sin2x 2−1+cos (2x+π2)2=sin2x 2−1-sin2x 2=sin 2x-12.由-π2+2kπ≤2x≤π2+2kπ,k∈Z,可得-π4+kπ≤x≤π4+kπ,k∈Z; 由π2+2kπ≤2x≤3π2+2kπ,k∈Z,可得π4+kπ≤x≤3π4+kπ,k∈Z. 所以f(x)的单调递增区间是[-π4+kπ,π4+kπ](k ∈Z); 单调递减区间是[π4+kπ,3π4+kπ](k ∈Z). (2)由f (A2)=sin A-12=0,得sin A=12, 由题意知A 为锐角,所以cos A=√32.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccos A, 可得1+√3bc=b 2+c 2≥2bc,即bc≤2+√3,且当b=c 时等号成立. 因此12bcsin A≤2+√3. 所以△ABC 面积的最大值为2+√34.26.(2015·陕西·理T17)△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,√3b)与n=(cos A,sin B)平行. (1)求A;(2)若a=√7,b=2,求△ABC 的面积.【解析】(1)因为m ∥n,所以asin B-√3bcos A=0. 由正弦定理,得sin Asin B-√3sin Bcos A=0. 又sin B≠0,从而tan A=√3. 由于0<A<π,所以A=π3.(2)由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bccos A,而a=√7,b=2,A=π3,得7=4+c 2-2c,即c 2-2c-3=0. 因为c>0,所以c=3. 故△ABC 的面积为12bcsin A=3√32. 27.(2015·江苏·理T15)在△ABC 中,已知AB=2,AC=3,A=60°. (1)求BC 的长; (2)求sin 2C 的值.【解析】(1)由余弦定理知,BC 2=AB 2+AC 2-2AB·AC·cos A=4+9-2×2×3×12=7,所以BC=√7. (2)由正弦定理知,AB sinC=BCsinA, 所以sin C=AB BC·sin A=°√7=√217.因为AB<BC,所以C 为锐角, 则cos C=√1-sin 2C =√1-37=2√77.因此sin 2C=2sin C·cos C=2×√217×2√77=4√37. 28.(2015·浙江·文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知tan (π4+A)=2. (1)求sin2Asin2A+cos 2A的值;(2)若B=π,a=3,求△ABC 的面积.【解析】(1)由tan (π4+A)=2,得tan A=13, 所以sin2A sin2A+cos 2A=2tanA 2tanA+1=25.(2)由tan A=13,A ∈(0,π),得sin A=√1010,cos A=3√1010. 又由a=3,B=π4及正弦定理a sinA=bsinB ,得b=3√5.由sin C=sin(A+B)=sin (A +π4)得sin C=2√55.设△ABC 的面积为S,则S=12absin C=9.29.(2015·天津·文T16)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知△ABC 的面积为3√15,b-c=2,cos A=-14. (1)求a 和sin C 的值; (2)求cos (2A +π6)的值.【解析】(1)在△ABC 中,由cos A=-14,可得sin A=√154.由S △ABC =12bcsin A=3√15,得bc=24,又由b-c=2,解得b=6,c=4.由a 2=b 2+c 2-2bccos A,可得a=8. 由asinA =csinC ,得sin C=√15.(2)cos (2A +π)=cos 2A·cos π6-sin 2A·sin π6=√32(2cos 2A-1)-12×2sin A·cos A=√15-7√316.30.(2015·全国2·文T17)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC.(1)求sinBsinC; (2)若∠BAC=60°,求∠B. 【解析】(1)由正弦定理得AD sinB =BDsin∠BAD ,AD sinC=DCsin∠CAD .因为AD 平分∠BAC,BD=2DC, 所以sinB sinC=DC BD =12.(2)因为∠C=180°-(∠BAC+∠B),∠BAC=60°, 所以sin C=sin(∠BAC+∠B) =√32cos B+12sin B.由(1)知2sin B=sin C,所以tan B=√33,即∠B=30°.31.(2015·安徽·理T16)在△ABC 中,∠A=3π4,AB=6,AC=3√2,点D 在BC 边上,AD=BD,求AD 的长.【解析】设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别是a,b,c.由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos ∠BAC=(3√2)2+62-2×3√2×6×cos 3π4=18+36-(-36)=90,所以a=3√10. 又由正弦定理得sin B=bsin∠BACa=310=√1010,由题设知0<B<π4,所以cos B=√1-sin 2B =√1-110=3√1010.在△ABD 中,由正弦定理得AD=AB ·sinBsin (π-2B )=6sinB2sinBcosB =3cosB=√10.32.(2014·全国2·文T17)四边形ABCD 的内角A 与C 互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求角C 和BD;(2)求四边形ABCD 的面积. 【解析】(1)由题设及余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC·CDcos C=13-12cos C, ① BD 2=AB 2+DA 2-2AB·DAcos A=5+4cos C. ② 由①,②得cos C=12,故C=60°,BD=√7. (2)四边形ABCD 的面积 S=1AB·DAsin A+1BC·CDsin C =(12×1×2+12×3×2)sin 60° =2√3.33.(2014·浙江·理T18)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=√3,cos 2A-cos 2B=√3sinAcos A-√3sin Bcos B. (1)求角C 的大小;(2)若sin A=45,求△ABC 的面积.【解析】(1)由题意得1+cos2A 2−1+cos2B 2=√32sin 2A-√32sin 2B,即√32sin 2A-12cos 2A=√32sin 2B-12cos 2B,sin (2A -π6)=sin (2B -π6),由a≠b,得A≠B,又A+B ∈(0,π), 得2A-π6+2B-π6=π,即A+B=2π3,所以C=π3.。