定类或定序因变量回归分析
七种回归分析方法个个经典
七种回归分析方法个个经典什么是回归分析？回归分析是一种预测性的建模技术，它研究的是因变量（目标）和自变量（预测器）之间的关系。
这种技术通常用于预测分析，时间序列模型以及发现变量之间的因果关系。
例如，司机的鲁莽驾驶与道路交通事故数量之间的关系，最好的研究方法就是回归。
回归分析是建模和分析数据的重要工具。
在这里，我们使用曲线/线来拟合这些数据点，在这种方式下，从曲线或线到数据点的距离差异最小。
我会在接下来的部分详细解释这一点。
我们为什么使用回归分析？如上所述，回归分析估计了两个或多个变量之间的关系。
下面，让我们举一个简单的例子来理解它：比如说，在当前的经济条件下，你要估计一家公司的销售额增长情况。
现在，你有公司最新的数据，这些数据显示出销售额增长大约是经济增长的2.5倍。
那么使用回归分析，我们就可以根据当前和过去的信息来预测未来公司的销售情况。
使用回归分析的好处良多。
具体如下：1.它表明自变量和因变量之间的显著关系；2.它表明多个自变量对一个因变量的影响强度。
回归分析也允许我们去比较那些衡量不同尺度的变量之间的相互影响，如价格变动与促销活动数量之间联系。
这些有利于帮助市场研究人员，数据分析人员以及数据科学家排除并估计出一组最佳的变量，用来构建预测模型。
我们有多少种回归技术？有各种各样的回归技术用于预测。
这些技术主要有三个度量（自变量的个数，因变量的类型以及回归线的形状）。
我们将在下面的部分详细讨论它们。
对于那些有创意的人，如果你觉得有必要使用上面这些参数的一个组合，你甚至可以创造出一个没有被使用过的回归模型。
但在你开始之前，先了解如下最常用的回归方法：1.Linear Regression线性回归它是最为人熟知的建模技术之一。
线性回归通常是人们在学习预测模型时首选的技术之一。
在这种技术中，因变量是连续的，自变量可以是连续的也可以是离散的，回归线的性质是线性的。
线性回归使用最佳的拟合直线（也就是回归线）在因变量（Y）和一个或多个自变量（X）之间建立一种关系。
相关分析与回归分析
19
相关与回归
◆相关与回归分析的步骤
确定变量之间有无相关关系及呈现的形态,用定性分析、 相关表或相关图。
确定变量之间相关关系的密切程度,用相关系数。 建立变量之间变动关系的方程式,用最小二乘法建立变量
之间的回归方程。 测定因变量估计值的可靠性,计算估计标准误差。
相关与回归
20
直线相关
直线相关的应用
前面我们讨论了身高和体重呈正相关关 系，随着身高的增加，体重也在增大。 那么，身高每增加1厘米，体重增加多少 克呢？
上面的相关关系分析不能提供给我们需
要的答案。这些要用直线回归的方法来
解决。
相关与回归
43
相关与回归
44
直线回归
当我们知道了两个变量之间有直线相关关系，并且 一个变量的变化会引起另一个变量的变化，这时， 如果它们之间存在准确、严格的关系，它们的变化 可用函数方程来表示，叫它们是函数关系，它们之 间的关系式叫函数方程。
sr
1 r2
1 r2
n2
=n-2
相关与回归
39
H0 ： =0
H1 ： ≠0
=0.05
r=0.792, n=10, 代入公式 t= r
t=3.67
n2 1 r2
查t值表， t0.05(8)=2.045
=n-2=10-2=8
查t值表， t0.05(8)=2.756, 上述计算t=3.67>2.045，由t 所推断的P值小于0.05，按=0.05拒绝接受,认为身
●您的性别： A、男 B、女 ●您的年龄： ●您的家庭人口数： ●您的家庭年收入：
相关与回归
8
一、变量
相关与回归
变量 类型
统计建模-回归分析
多元线性回归模型形式
多元线性回归模型0 + beta_1X_1 + beta_2X_2 + ldots +
beta_pX_p + epsilon$
解释变量与被解释变量
02
$X_1, X_2, ldots, X_p$ 为解释变量，$Y$ 为被解释变量
在所有无偏估计量中，OLS估计量的方差最 小
模型假设检验与诊断
模型的显著性检验
模型的诊断
使用F检验对模型的显著性进行检验， 判断模型中是否至少有一个解释变量 对被解释变量有显著影响
通过残差图、QQ图等方法对模型的 拟合效果进行诊断，检查模型是否满 足线性、同方差等假设
回归系数的显著性检验
使用t检验对每个回归系数的显著性进 行检验，判断每个解释变量是否对被 解释变量有显著影响
5. 预测与结果分析
利用拟合好的模型进行未来一个月的销售额预测，并对 预测结果进行分析和解读。
06
总结回顾与拓展延伸
本次课程重点内容总结
回归模型的基本原理
通过最小二乘法等优化算法，拟合自变 量和因变量之间的线性或非线性关系。
模型的评估与选择
通过比较不同模型的预测精度、解释 性、稳定性等指标，选择最优模型。
医学领域
研究药物剂量与疗效之间的非线性关系，为合理 用药提供依据。
金融领域
分析股票价格与市场指数之间的非线性关系，预 测市场走势及风险。
环境科学
探讨污染物浓度与环境因素之间的非线性关系， 为环境保护和治理提供决策支持。
04
回归模型诊断与优化策 略
残差分析及其意义
残差定义
实际观测值与回归模型预测值之间的差异。
【R语言】logistic回归分析
0.01825 *
Age
0.013747 0.015796 0.870
0.38415
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
剔除没有显著贡献的变量，重新建模
Fit2<-glm(Choice~.-Brand-Price-Fat-AgeVitamin,data=SoftDrink,family=binomial(li nk="logit"))
0.7842038=323.4649
Logistic回归回归系数检验
Coefficients:
Estimate Std. Error z value
Pr(>|z|)
(Intercept) 20.851906 8.081177 2.580
0.00987 **
Price
0.423373 0.327125 1.294
0.19559
Calories -0.025519 0.008767 -2.911
0.00361 **
Fat
-0.080466 0.048667 -1.653
0.09825 .
Vitamin -0.940737 0.460753 -2.042
0.04118 *
Fruits 0.376950 0.159685 2.361
403.43
Price 1
57.228 290
346.20
3.88e-14 ***
Calories 1
255.548 289
90.65
< 2.2e-16 ***
Fat
1
3.545 288
回归分析
1 回归分析内涵及相关原理你知道日常生活中的天气预报是如何实现的吗？气象学家根据既往的温度、湿度以及降雨等资料，就可以预报未来一段时间某地的天气变化情况。
这要求对这些变量之间的关系有精确的掌握。
前面的学习中，我们知道相关分析可用来帮助我们分析变量之间关系的强度；而倘若要确定变量之间数量关系的可能形式也即数量模型，则通常可采用回归分析法。
回归分析的应用十分广泛，它不但适用于实验数据，还可以分析未作实验控制的观测数据或历史资料。
有人可能会好奇，为什么叫“回归”这个名称，它有什么具体含义？实际上，回归这种现象最早由英国生物统计学家高尔顿在研究父母亲和子女的遗传特性时所发现的一种有趣的现象：身高这种遗传特性表现出“高个子父母，其子代身高也高于平均身高；但不见得比其父母更高，到一定程度后会往平均身高方向发生‘回归’”。
这种效应被称为“趋中回归”。
现在的回归分析则多半指源于高尔顿工作的那样一整套建立变量间数量关系模型的方法和程序。
1.1 回归分析的概念回归分析是关于研究一个叫做因变量的变量对另一个或多个叫解释变量的变量的依赖关系，其用意在于通过后者（在重复抽样中）的已知或设定值，去估计和（或）预测前者的（总体）均值。
回归分析运用十分广泛，回归分析按照涉及的自变量的多少，可分为一元回归分析和多元回归分析；按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。
如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
1.2 回归分析的基本原理两变量间的相关关系可以用散点图来反映，图中的每个点都代表一个变量配对样本点，它是自变量与因变量间关系的一个具体代表。
在相关分析中，我们详细地分析过相关关系的几何意义和数量特点。
显然，若这些散点都落在一条直线上（完全相关），则该条直线当然能够代表变量间的数量关系——一次函数关系。
回归分析
回归分析1、回归分析的概念在工农业生产和科学研究中，常常需要研究变量之间的关系。
变量之间的关系可以分为两类：确定性关系、非确定性关系。
确定性关系就是指存在某种函数关系。
然而，更常见的变量之间的关系存在着某种不确定性。
例如：商品的销售量与当地人口有关，人口越多，销售量越大，但它们之间并没有确定性的数值关系，同样的人口，可能有不同的销售量。
这种既有关联，又不存在确定性数值关系的相互关系，就称为相关关系。
回归分析就是研究变量之间相关关系的一种数理统计分析方法。
在回归分析中，主要研究以下几个问题： (1)拟合：建立变量之间有效的经验函数关系； (2)变量选择：在一批变量中确定哪些变量对因变量有显著影响，哪些没有实质影响； (3)估计与检验：估计回归模型中的未知参数，并且对模型提出的各种假设进行推断； (4)预测：给定某个自变量，预测因变量的值或范围。
根据自变量个数和经验函数形式的不同，回归分析可以分为许多类别。
2、一元线性回归⏹ 回归系数的最小二乘估计已知(x1, y1),(x2 ,y2),...,(xn, yn)，代入回归模型得到： 一元线性回归模型给定一组数据点(x1, y1),(x2 ,y2),...,(xn, yn)，如果通过散点图可以观察出变量间大致存在线性函数关系，则可以建立如下模型：其中a,b 称为一元线性回归的回归系数；ε表示回归值与测量值之间的误差。
针对该模型，需要解决以下问题： (1)如何估计参数a,b 以及σ2； (2)模型的假设是否正确？(3)如何应用所求的回归方程对试验指标进行预测。
⏹ 回归系数的最小二乘估计已知(x1, y1),(x2 ,y2),...,(xn, yn)，代入回归模型得到： 采用最小二乘法（即使观测值与回归值的离差平方和最小）：⎩⎨⎧++=),0(~2σεεN bX a Y 2,~(0,),1,2,...,i i i i y a bx N i n e e s =++=1221111112111(,)2[()]0min (,)[()](,)2[()]011ˆˆˆn i i n n i i i i n i i i i i i n i i n n i i ii i n n n i i i ii i i Q a b y a bx a Q a b y a bx Q a b x y a bx b a y b x y n n na b x y a x b x x y e ==========ì锒ï=--+=ïï¶ï==-+ íï¶ï=--+=ïï¶ïî=-=-ìïï+=ïïï揶íïï+=ïïïîå邋åå邋邋1111221ˆ1n i n n n i i i ixy i i i nn xxbx x y x y L n b L ====ìïïïïïïïïí-ïï==ïïïå邋⏹ 回归系数估计量的性质⏹ 样本相关系数及其显著性检验显然：样本相关系数R 的符号决定于Lxy ，因此与相关系数b 的符号一致。
回归分析指南
回归分析：终极指南依靠数据来推动和指导业务决策以及预测市场趋势时，仅收集和分析的内容是不够的，你需要确保它的相关性和价值。
然而，挑战在于如此多的变量会影响业务数据：市场状况、经济混乱，甚至天气！因此，你必须知道哪些变量正在影响你的数据和预测，以及你可以丢弃哪些数据。
确定数据价值和监测趋势（以及它们之间的关系）的最有效方法之一是使用回归分析，这是一组用于估计因变量和自变量之间关系的统计方法。
在本指南中，我们将介绍回归分析的基础知识，从它是什么以及它如何工作到它的好处和实际应用。
什么是回归分析？回归分析是一种分析不同因素的统计方法，并了解哪些因素会影响目标（例如产品发布的成功、业务增长、新的营销活动），以及哪些因素可以忽略。
它还可以帮助领导者了解给定变量如何相互影响，包括外部因素和结果。
例如，在预测财务业绩时，回归分析可以确定企业内某些驱动因素的变化如何影响未来的收入或支出。
你可能会发现公司雇用的营销人员数量、产生的潜在客户和关闭的机会之间存在高度相关性。
然而，当潜在客户增加但营销人员的数量保持不变时，它不再影响关闭的机会。
然而，随着营销人员数量的增加，它既增加了潜在客户，也增加了机会。
回归模型使你能够确定要关注哪些数据点以产生特定结果。
例如，雇佣更多的营销人员，而不是增加每个营销人员产生的潜在客户。
回归分析如何工作？回归分析从分为两种类型的变量开始：自变量和因变量。
选择取决于正在分析的结果。
理解变量：1. 因变量这是你要分析和预测的主要变量。
例如，运营(O) 数据，例如你的季度或年度销售额。
另一方面，你可以查看体验(X) 数据，例如你的净推荐值(NPS)或客户满意度得分(CSAT)。
因变量也称为响应变量、结果变量或左侧变量（它们出现在回归方程的左侧。
至于识别因变量，有三种简单的方法可以做到：首先，变量是作为研究结果来衡量的吗？其次，变量是否依赖于研究中的另一个变量？最后，你是否仅在其他变量更改后才测量该变量？2. 自变量自变量是可能影响因变量的因素。
第十讲定类或定序因变量回归分析课件
升高中 0 0 0 1 1 1 1 1
第十讲定类或定序因变量回归分析
升大学 0 0 0 1 1
3、累进比
log(
p2
p3 p1
log(
p3
p4
p1 p2
log(
p1
p2
pj
p j ) a1 1x p j ) a2 2x
) p j1
a j1
j1 x
第十讲定类或定序因变量回归分析
第十讲定类或定序因变量回归分析
• 在研究态度与偏好等心理现象时也经常 按类型进行测量的，如“强烈反对”、“反对”、 “中立”、“支持”、和“强烈支持”。
• 连续变量转换成类型变量的情形，如在 分析升学考试的影响因素时，将考生分为录 取线以上和录取线以下。
第十讲定类或定序因变量回归分析
• 从统计理论上看，最小二乘法关注正态分布，然而社会经济现 象往往有不同于正态分布的其他分布，例如：
第十讲定类或定序因变量回归分析
三、简单对数比率回归
1、模型建立
•
既然用线性概率回归存在局限性，能否用
比率做因变量呢？比如用男女比率作因变量，
用成功与不成功之比做因变量。用比率做因变
量存在的问题是，比率是非对称的.
第十讲定类或定序因变量回归分析
表1 概率、比率和对数比率
概率 0.01 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.99 比率 0.01 0.11 0.25 0.43 0.67 1.00 1.50 2.33 4.00 9.00 99 对数 -4.60 -2.20 -1.39 -0.85 -0.41 0.00 0.41 0.85 1.39 2.20 4.60 比率
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的1.5倍。
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四、logistic回归模型的检验与评价
1、Logistic回归模型估计的假设前提
第一、数据来自于随机样本。
第二、因变量Yi被假设为K个自变量Xk（k=1，2，…，K） 的函数。
第三、正如OLS回归，logistic回归也对多重共线性有所 限制，自变量之间存在多重共线性会导致标准误的膨胀。
（1）二项分布（binomial distribution）
y
N
y(1 )(Ny)
y!(Ny)!
（2）泊松分布（Poisson）
e y
y y!
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二、线性概率模型
1、模型建立
以最小二乘法为基础的线性回归方程是估测因变量的平均值，
而二分变量的均值有一个特定的意义，即概率。用普通线性回归方程
Logistic回归模型还有一些与OLS回归不同的假设
前提：第一，因变量是二分变量；第二，因变量和各自变
量之间的关系是非线性的。
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2、拟合优度检验
如果模型的预测值能够与对应的观测值有较高的一 致性，就认为这一模型能够拟合数据。否则需要对模型重 新设置。
因此，模型的拟合优度是指预测值与观测值的匹 配程度。检验拟合优度的指标有皮尔逊卡方检验、对数似 然比卡方检验等。
量的情形。HL方法根据预测概率的大小将所有观察单位十 等分，然后根据每一组中因变量的实际值与理论值计算 Peason卡方，其统计量为：
G
HL
(yg ng pg )
g1 ng pg (1 pg )
其中G 代表分组数，且G10；ng为第g组中的观测值数； yg第g组事件的观测数量；pg为第g组的预测事件概率；ngpg 为事件的预测值，实际上它等于第g组的观测概率和。
估测概率，就是所谓的线性概率回归。用公式表示为：
P = a + ∑βiXi + ε
对二项分布线性概率模型的结果解释： 在其他变量不变的情
形下，x每增加一个单位，事件发生概率的期望将变动β个单位。
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例如，林楠和谢文（1988）曾用线性概率 模型估测入党（政治资本）的概率模型 为： P = -0.39 +0.01A +0.04E +0.03U
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1）皮尔逊卡方检验 皮尔逊卡方检验主要用于检验残差项的大小。
计算公式：
2 n ( yi pi )2
i1 pi (1 pi )
其中yi是观察值（0或1），pi是估算值的概率， i=1， 2…n，分母是估算值的标准差，自由度为n-J-1，其中J为 自变量数目。
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2）Hosmer-Lemeshow 拟合优度检验 该方法通常适用于自变量很多，或自变量为连续变
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2、发生比
发生比是事件的发生频数与不发生频数之间的比，
即：
Odds=(事件发生频数)/（事件不发生频数）
oddsk[pk/(1pk)]
当比值大于1时，表明事件更有可能发生。比如
一个事件发生的概率为0.6，事件不发生的概率为0.4，
发生比等于0.6/0.4=1.5。事件发生的可能性是不发生
第十讲 定类或定序因变量回归分 析
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一、问题的提出
当因变量是一个定类变量而不是定距变量时，线性 回归模型受到挑战。
如政治学中研究是否选举某候选人，经济学研究中
涉及的是否销售或购买某种商品，社会学和人口学研究中
所涉及的如犯罪、迁移、婚姻、生育、患病等等都可以按
照二分类变量或多分类来测量。
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在研究态度与偏好等心理现象时也
经常按类型进行测量的，如“强烈反对”、
“反对”、“中立”、“支持”、和“强烈
支持”。
连续变量转换成类型变量的情形，
如在分析升学考试的影响因素时，将考生分
为录取线以上和录取线以下。
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从统计理论上看，最小二乘法关注正态分布，然而社会经
济现象往往有不同于正态分布的其他分布，例如：
育程度超过10年，则入党的概率约等于1。
2）非线性关系
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三、简单对数比率回归
1、模型建立
既然用线性概率回归存在局限性，能否
用比率做因变量呢？比如用男女比率作因变量
，用成功与不成功之比做因变量。用比率做因
变量存在的问题是，比率是非对称的.
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表1 概率、比率和对数比率
概率 0.01 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.99 比率 0.01 0.11 0.25 0.43 0.67 1.00 1.50 2.33 4.00 9.00 99 对数 -4.60 -2.20 -1.39 -0.85 -0.41 0.00 0.41 0.85 1.39 2.20 4.60 比率
其中：P—党员概率， A—年龄， E— 受教育年限， U—单位身份
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2、线性概率模型存在的问题
1）无意义的解释
从解释力上看，由于概率的值是有边界
的，在0与1之间。但林楠方程很有可能要超过
该限制，因变量的估计值可能是负数，也可能
大于1，因此模型的结果是无意义的。例如，运
用林楠方程，我们发现如果年龄为100岁，受教
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一个简单的解决办法就是取对数，结果就是所谓对 数比率（logit)。若用P代表某事件的概率，则对数比率 函数的定义为
g（P）= log （P/1-P） 以对数比率为因变量对自变量X1，X2，X3……做回归 称为对数比率回归（logistic regression），其方程式 为：
log(1 PP)aiXi
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exp(
pi
1exp(
kKkK 00kxkikx)ik)( i)
该模型即为logit回归模型。logit回归模型是 普通多元线性回归模型的推广，但它的误差项服从二 项分布，因此需要采用极大似然估计方法进行参数估 计，参数称为logit回归系数，表示当其他自变量取 值保持不变时，该自变量取值增加一个单位引起的发 生比自然对数值的变化量。
遵循卡方分布，其自由度为非独立模型的自变量数目，可用于检验 复杂模型中自变量对似然率的增加是否显著，越大越好。
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3）对数似然比卡方检验
对数似然比是用较复杂模型与基本模型进行比较。通常将似
然取对数并乘以-2，即-2logL，简称对数似然。
基本模型以独立模型表示：
log( P ) a
1 P
用L0表示独立模型的似然，L1表示非独立模型的似然，那么对数似 然比定义为：
G 22log(L L 1 0)( 2logL 0)( 2logL 1)