【聚焦典型题】(苏教版)2014届高考一轮数学(理)：《一元二次不等式及其解法》

根据一元二次不等式的解集大于 0 取根两边，从而可判定 a>0， 并且可得 ax2＋bx＋c＝0 的两根为 m，n， b m＋n＝－b， m＋n a a b ∴ ∵a>0，∴c>0， ∴ m· ＝－c＝－c . n c n＝ a1 m· a>0， 2 m＋n b a 2 2 而 cx －bx＋a>0⇔x － x＋ >0 ⇔x ＋ · x＋ >0 c c mn mn 1 1 1 1 1 1 ∴x>－ 或 x<－ . ⇔x＋mx＋n>0， 又∵n<m<0，∴－n<－m， m n
【2014年高考会这样考】
1．考查简单不等式的解法，特别是一元二次不等式和一元一次不 等式的解法，主要是函数的定义域与值域、简单的复合函数相 结合的题目． 2．考查简单的指数、对数不等式的求解，可以利用单调性转化成 简单的不等式求解．
第2讲
一元二次不等式及其解法
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【例 2】►已知函数 f(x)＝mx2－mx－1. 【审题视点 】 (1)若对于 x∈R，f(x)＜0 恒成立，求实数 m 的取值范围； (1)分 m＝0 (2)若对于 x∈[1,3]， f(x)＜5－m 恒成立,求实数 m 的取值范围． 与 m≠0，再 m＜0， 解 (1)由题意可得 m＝0 或 结合判别式 ⇔ 2 Δ＝m ＋4m＜0
综上所述：当 a＞0 当 a＝0 时，不等式的解集为{x|x∈R 且 x≠0}； a a x|x＜ 或x＞－ . 当 a＜0 时，不等式的解集为 3 4
a a x|x＜－ 或x＞ ； 时，不等式的解集为 4 3
考向二 一元二次不等式恒成立问题
【审题视点 】 利用求一元二次不等 式的解法求解，注意 对参数的讨论． 【方法锦囊 】
考向一 一元二次不等式的解法
【训练 1】 求不等式 12x2－ax＞a2(a∈R)的解集． 解 ∵12x2－ax＞a2，∴12x2－ax－a2＞0，
即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0， a a 得：x1＝－ ，x2＝ . 4 3 a a a a x|x＜－ 或x＞ ； ①a＞0 时，－ ＜ ，解集为 4 3 4 3 2 ②a＝0 时，x ＞0，解集为{x|x∈R 且 x≠0}； a a a a x|x＜ 或x＞－ . ③a＜0 时，－ ＞ ，解集为 3 4 4 3
两点提醒 (1)解含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常 数，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论； 若不易因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类 要不重不漏； (2)二次项系数中含有参数时， 则应先考虑二次项是否 为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便 确定解集的形式．
1．不等式 2x －x－1＞0 的解集是 1 ( )．A.－2，1 B．(1，＋∞) C．(－∞，1)∪(2，＋∞) 1 D.－∞，－2∪(1，＋∞) x－1 2．(2012· 重庆)不等式 ≤0 的解集 2x＋1 1 1 为( )． A.－2，1B.－2，1 1 C.－∞，－2∪[1，＋∞) 1 D.－∞，－2∪[1，＋∞)
可求解；
m＝0 或－4＜m＜0⇔－4＜m≤0.
故 m 的取值范围是(－4,0]．
(2)∵f(x)＜－m＋5⇔m(x2－x＋1)＜6，
∵x2－x＋1＞0， 6 ∴m＜ 2 对于 x∈[1,3]恒成立， x －x＋1 6 只需 m< 2 的最小值， x －x＋1
(2) 将 其 转 化 m<g(x)， x∈[1,3] 上 恒成立，再 求 g(x)的最 小值．
X
X
③当 a>3 时，x<3 或 x>a，不等式 解集为{x|x<3 或 x>a}．
Y
3 a
X
(1)解一元二次不等式时， 当二次项系数为负时要先 化为正，再根据判别式符 号判断对应方程根的情 况，然后结合相应二次函 数的图象写出不等式的解 集． (2)解含参数的一元二次 不等式，要把握好分类讨 论的层次，一般按下面次 序进行讨论：首先根据二 次项系数的符号进行分 类， 其次根据根是否存在， 即 Δ 的符号进行分类， 最 后在根存在时，根据根的 大小进行分类．
解 法二 令 g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，
得 x2－2ax＋2－a≥0 在[－1，＋∞)上恒成立， Δ＞0， 即 Δ＝4a2－4(2－a)≤0 或a＜－1， g－1≥0.
解得－3≤a≤1.所求 a 的取值范围是[－3,1]．
方法2完
X=a
【审题视点 】 【例 3】►已知二次函数 f(x)＝ax ＋bx＋c(a≠0)的图象过 (1)因式分解 2
2
考向三 三个“二次”关系的应用
A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，且满足 a ＋(y1＋y2)a＋y1y2＝0. (1)证明：y1＝－a 或 y2＝－a； (2)证明：函数 f(x)的图象必与 x 轴有两个交点； (3)若关于 x 的不等式 f(x)>0 的解集为{x|x>m 或 x<n， n<m<0}，解关于 x 的不等式 cx2－bx＋a>0.
2 解 (1)∵a ＋(y1＋y2)a＋y1y2＝0， ∴(a＋y1)(a＋y2)＝0，得 y1＝－a 或 y2＝－a. (2)当 a>0 时， 二次函数 f(x)的图象开口向上， 图象上的点 A、B 的纵坐标至少有一个为－a 且小于零 ∴图象与 x 轴有两个交点． 二次函数 f(x)的图象开口向下，图象上的点 当 a<0 时， A、B 的纵坐标至少有一个为－a 且大于零，∴图象与 x 轴有两个交点． 故二次函数 f(x)的图象与 x 轴有两个 不同的交点．
2 f(x) ②当 a∈[－1，＋∞)时， min＝f(a)＝2－a ，
由 2－a2≥a，解得－1≤a≤1.
综上所述，所求 a 的取值范围为[－3,1]．
方法1完
考向二 一元二次不等式恒成立问题
【训练 2】 已知 f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当 x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a 恒成立，求 a 的取值范围． 方法1 方法2 解
0,1
1
2
3
4
5
DACຫໍສະໝຸດ D考向一 一元二次不等式的解法
【例 1】►解关于 x 的不等式： (1)－x2＋8x－3>0；(2)x2－(3＋a)x＋3a>0.
解(1) 原不等式化为 x2－8x＋3<0， ∵方程 x2－8x＋3＝0 有两个不等实根 x1＝4－ 13，x2＝4＋ 13. Y X 2 X1 X 所以原不等式的解集为 {x|4－ 13<x<4＋ 13}． Y a 3 (2)∵x2－(3＋a)x＋3a>0， ∴(x－3)(x－a)>0. ①当 a<3 时，x<a 或 x>3，不 等式解集为{x|x<a 或 x>3}； Y 2 a ②当 a＝3 时，不等式为(x－3) >0， 3 不等式解集为{x|x∈R 且 x≠3}；
2
考向三 三个“二次”关系的应用
(2)证明：函数 f(x)的图象必与 x 轴有两个交点； (3)若关于 x 的不等式 f(x)>0 的解集为{x|x>m 或 x<n， n<m<0}，解关于 x 的不等式 cx2－bx＋a>0. 解 (3)∵ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|x>m 或 x<n，n<m<0}，
考点梳理
2．三个“二次”间的关 系
x x x
2
或x x1
b x x 2a
R
x
x1 x x2


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2 一个技巧 一元二次不等式 ax ＋bx＋c＜0(a≠0)的解集的确定受 a 的符号、b2－4ac 的符号的影响，且与相应的二次函数、 一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数 y＝ax2＋ bx＋c(a≠0)的图象， 数形结合求得不等式的解集． 若一元 二次不等式经过不等式的同解变形后，化为 ax2＋bx＋c ＞0(或＜0)(其中 a＞0)的形式， 其对应的方程 ax2＋bx＋c ＝0 有两个不等实根 x1，x2，(x1＜x2)(此时 Δ＝b2－4ac＞ 0)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集．
考向二 一元二次不等式恒成立问题
【训练 2】 已知 f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当 x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a 恒成立，求 a 的取值范围． 方法1 方法2 解
2 2 此二次函 解 法一 f(x)＝(x－a) ＋2－a ， 数图象的对称轴为 x＝a. f(x)在[－1，＋∞) ①当 a∈(－∞，－1)时， 上单调递增， min ＝f(－1)＝2a＋3.要 f(x) 使 f(x)≥a 恒成立，只需 f(x)min≥a， 即 2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1；
B级
、 、 1 选择题 1 选择题 填空题 填空题 2、 2、 解答题 解答题 3、 3 、
考点梳理
1．一元二次不等式的解法
(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的 不等式 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或 ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． (2)计算相应的判别式． (3)当 Δ≥0 时，求出相应的一元二次方程的根． (4)利用二次函数的图象与 x 轴的交点确定一元二次不等式 的解集．
抓住2个考点
一元二次不等式的解法 三个“二次”间的关系 考向一 一元二次不等式的解法 考向二 一元二次不等式恒成立 问题 考向三 三个“二次”关系的应 用 不等式恒成立问题的化解
助学微博 考点自测
【例1】 【训练1】 【例2】 【训练2】 【例3】 【训练3】