高中数学 311空间向量及其运算空间向量及其线性运算规范训练 苏教版选修21

第3章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其线性运算
双基达标 (限时20分钟)
1.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1
的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，且向量BM →＝x a ＋y b
＋z c ，则8xyz ＝________.
解析 显然BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝－12
a ＋12
b ＋
c ， 即x ＝－12，y ＝12
，z ＝1，所以8xyz ＝－2. 答案 －2
2．四面体ABCD 中，设M 是CD 的中点，则AB →＋12
(BD →＋BC →)
化简的结果是________．
解析 如图所示，因12
(BD →＋BC →)＝BM →，
所以AB →＋12
(BD →＋BC →)＝AB →＋BM →＝AM →.
答案 AM →
3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量表达式DD 1→－AB →＋BC →化
简后的结果是________．
解析 如图所示，
因DD 1→＝AA 1→，DD 1→－AB →＝AA 1→－AB →＝BA 1→，
BA 1→＋BC →＝BD 1→，
∴DD 1→－AB →＋BC →＝BD 1→.
答案 BD 1→
4．已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则下列叙述正确的是________．
①AB →＝AC →＋BC →
②AB →＝－AC →－BC →
③AC →与BC →同向
④AC →与CB →同向
解析 由|AB →|＝|AC →|＋|BC →|＝|AC →|＋|CB →|，知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大
于第三边矛盾，所以AC →与CB →同向．
答案 ④
5．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别
为E ，F ，则EF →＝________.(用向量a ，b ，c 表示)
解析 EF →＝AB →＋CD →2＝a －2c ＋5a ＋6b －8c 2
＝3a ＋3b －5c. 答案 3a ＋3b －4c
6．已知平面四边形ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，运用向量法
证明EF ∥AB .
解 因为EF →＝OF →－OE →＝k (OB →－OA →)＝kAB →，所以向量EF →与AB →是共线向量，且所在直线
了 不重合，所以EF ∥AB .
综合提高（限时25分钟）
7.如图，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M
在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，则用向量a ，b ，c
表示向量MN →＝________.
解析 MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝－23a ＋12b ＋12
c . 答案 －23a ＋12b ＋12
c
8.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向
量BD 1→的是________(填序号)．
①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－DD 1→；
④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→.
解析 ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝A 1D 1→＋AA 1→＋BA →＝BD 1→；
②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC →＋BB 1→＋C 1D 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→；
③(AD →－AB →)－DD 1→＝BD →＋D 1D →＝BD →－DD 1→＝BD →＋DD 1→－2DD 1→＝BD 1→－2DD 1→≠BD 1→； ④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→＝B 1D 1→＋AA 1→＋DD 1→＝B 1D 1→＋BB 1→＋DD 1→＝BD 1→＋DD 1→≠BD 1→.
因此，①②两式的运算结果为向量BD 1→，而③④两式运算的结果不为向量BD 1→.故填①②。

答案 ①②
9.如图所示，已知在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是底面
ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1的对角线BC 1上的点，且
BN ∶NC 1＝3∶1，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA 1→，则α，β，γ的
值分别为________．
解析 MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34
BC 1→ ＝12(DA →＋AB →)＋34
(BC →＋CC 1→) ＝－12AD →＋12AB →＋34AD →＋34
AA 1→ ＝12AB →＋14AD →＋34
AA 1→， 所以α＝12，β＝14，γ＝34
. 答案 12，14，34
10．已知a ＝3m －2n －4p ，b ＝(x ＋1)m ＋8n ＋2y p ，其中b ≠0且m ，n ，p 两两不共线，若a ∥b ，则实数x ，y 的值分别为________．
解析 因为a ∥b ，
所以3m －2n －4p ＝λ[(x ＋1)m ＋8n ＋2y p ]
所以λ(x ＋1)＝3，8λ＝－2，2yλ＝－4，
所以x ＝－13，y ＝8.
答案 －13 8
11.如图所示，已知空间四边形ABCD ，连结AC ，BD ，E ，F ，分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简(1)AB →＋BC →＋CD →，(2)→＋GD →＋EC →，并标出化简结果的向量．
解 (1)AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.
(2)∵E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点．∴BE →＝EC →， EF →＝GD →.
∴AB →＋GD →＋EC →＝AB →＋BE →＋EF →＝AF →.
故所求向量AD →，AF →，如图所示．
12．证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分．
证明 如图所示，平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，设点
O 是AC ′的中点，则AO →＝12
AC ′→ ＝12
(AB →＋AD →＋AA ′→)． 设P 、M 、N 分别是BD ′、CA ′、DB ′的中点．
则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋12
BD ′→ ＝AB →＋12
(BA →＋BC →＋BB ′→) ＝AB →＋12
(－AB →＋AD →＋AA ′→) ＝12
(AB →＋AD →＋AA ′→)． 同理可证：AM →＝12
(AB →＋AD →＋AA ′→) AN →＝12
(AB →＋AD →＋AA ′→)． 由此可知O ，P ，M ，N 四点重合．
故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．
13．(创新拓展)点A 是△BCD 所在平面外一点，M 、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心，应
用向量知识证明：MN ∥BD .
证明 连结AM 并延长与BC 相交于E ，连结AN 并延长，与CD 相交于E ，则E 、F 分别是BC 及CD 的中点，
则MN →＝AN →－AM →＝23AF →－23
AE → ＝23(AF →－AE →)＝23EF →＝23
(CF →－CE →) ＝23(12CD →－12CB →)＝13(CD →－CB →)＝13
BD →， 即存在实数13，使MN →＝13
BD →，所以向量MN →与BD →是共线向量，且所在直线不重合，所以MN ∥BD .。