任意角和弧度制
任意角与弧度制知识点汇总
任意角与弧度制 知识梳理:一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广定义：一条射线OA 由原来的位置,绕着它的端点O 按一定的方向旋转到另一位置OB,就形成了角α,记作：角α或α∠ 可以简记成α; 2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大了;可以将角分为正角、零角和负角;正角：按照逆时针方向转定的角; 零角：没有发生任何旋转的角; 负角：按照顺时针方向旋转的角; 3、 “象限角”为了研究方便,我们往往在平面直角坐标系中来讨论角,角的顶点合于坐标原点,角的始边合于x 轴的正半轴;角的终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限,称为轴线角; 例1、1A={小于90°的角},B={第一象限的角},则A∩B= 填序号. ①{小于90°的角}②{0°～90°的角}③ {第一象限的角}④以上都不对2已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A 、B 、 C 关系是A ．B=A∩CB ．B∪C=CC ．A ⊂CD ．A=B=C4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角：1终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与)(Z k k ∈个周角的和; 2所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合{}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ即：任何一个与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和 注意：1、Z ∈k2、α是任意角3、终边相同的角不一定相等,但相等的角的终边一定相同;终边相同的角有无数个,它们相差360°的整数倍;4、一般的,终边相同的角的表达形式不唯一; 例1、1若θ角的终边与58π角的终边相同,则在[]π2,0上终边与4θ的角终边相同的角为 ;2若βα和是终边相同的角;那么βα-在例2、求所有与所给角终边相同的角的集合,并求出其中的最小正角,最大负角： 1 210-； 2731484'- ．例3、求θ,使θ与 900-角的终边相同,且[]1260180，-∈θ． 2、终边在坐标轴上的点：终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈⨯=,180| ββ 终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,90180| ββ 终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈⨯=,90| ββ 3、终边共线且反向的角：终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+⨯=,45180| ββ 终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-⨯=,45180| ββ 4、终边互相对称的角：若角α与角β的终边关于x 轴对称,则角α与角β的关系：βα-=k 360 若角α与角β的终边关于y 轴对称,则角α与角β的关系：βα-+= 180360k 若角α与角β的终边在一条直线上,则角α与角β的关系：βα+=k 180 角α与角β的终边互相垂直,则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 例1、若θα+⋅= 360k ,),(360Z m k m ∈-⋅=θβ 则角α与角β的中变得位置关系是 ;A.重合B.关于原点对称C.关于x 轴对称D.有关于y 轴对称 二、弧度与弧度制 1、弧度与弧度制：弧度制—另一种度量角的单位制, 它的单位是rad 读作弧度 定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角;如图：AOB=1rad ,AOC=2rad , 周角=2rad 注意：1、正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是02、角的弧度数的绝对值 rl=αl 为弧长,r 为半径 3、用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同都是0 用角度制和弧度制来度量任一非零角,单位不同,量数也不同;4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用;2、角度制与弧度制的换算弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度 角度与弧度的互换关系：∵ 360= rad 180= rad∴ 1=rad rad 01745.0180≈π'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad注意：正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.例1、 把'3067 化成弧度例 例2、 把rad π53化成度例3、将下列各角从弧度化成角度 136πrad 2 rad3 rad π533、弧长公式和扇形面积公式orC 2rad1rad rl=2r oAABr l α= ； 22121r lR S α==练习题一、选择题1、下列角中终边与330°相同的角是A ．30°B ．-30°C ．630°D ．-630°2、把－1485°转化为α＋k ·360°0°≤α＜360°, k ∈Z 的形式是A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360° 3、终边在第二象限的角的集合可以表示为： A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°,k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°,k ∈Z ｝D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°,k ∈Z ｝ 4、下列命题是真命题的是Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角 C ．不相等的角终边一定不同D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360|αα={}Z k k ∈+⋅=,90180|αα5、已知A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},那么A 、B 、C 关系是 A ．B=A ∩C B ．B ∪C=C C ．A ⊂C D ．A=B=C6、在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中,属于第二象限的角是A.①B.①②C.①②③D.①②③④ 7、若α是第一象限的角,则-2α是 A.第一象限的角 B.第一或第四象限的角 C.第二或第三象限的角 D.第二或第四象限的角 8、下列结论中正确的是A.小于90°的角是锐角B.第二象限的角是钝角C.相等的角终边一定相同D.终边相同的角一定相等 9、集合A={α｜α=k ·90°,k ∈N +}中各角的终边都在轴的正半轴上 轴的正半轴上轴或y 轴上 轴的正半轴或y 轴的正半轴上 10、α是一个任意角,则α与-α的终边是A.关于坐标原点对称B.关于x 轴对称C.关于直线y=x 对称D.关于y 轴对称11、集合X={x ｜x=2n+1·180°,n ∈Z},与集合Y={y ｜y=4k ±1·180°,k ∈Z}之间的关系是C.Ｘ=Y ≠Y 12、设α、β满足-180°＜α＜β＜180°,则α-β的范围是 °＜α-β＜0° °＜α-β＜180° °＜α-β＜0° °＜α-β＜360° 13、下列命题中的真命题是A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．第一象限的角是锐角C ．第二象限的角比第一象限的角大D ．角α是第四象限角的充要条件是2k π－2π＜α＜2k πk ∈Z 14、设k ∈Z ,下列终边相同的角是A ．2k +1·180°与4k ±1·180°B ．k ·90°与k ·180°+90°C ．k ·180°+30°与k ·360°±30°D ．k ·180°+60°与k ·60°15、已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2,则这个圆心角所对的弧长是A ．2B ．1sin 2 C ．1sin 2 D ．2sin 16、设α角的终边上一点P 的坐标是)5sin ,5(cos ππ,则α等于 A ．5πB ．5cotπC ．)(1032Z k k ∈+ππ D ．)(592Z k k ∈-ππ17、若90°＜－α＜180°,则180°－α与α的终边A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．以上都不对18、设集合M ={α|α=5-2ππk ,k ∈Z },N ={α|－π＜α＜π},则M ∩N 等于A ．{－105ππ3,}B ．{－510ππ4,7} C ．{－5-105ππππ4,107,3,} D ．{07,031-1ππ } 19、“21sin =A ”“A=30o”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件20、中心角为60°的扇形,它的弧长为2π,则它的内切圆半径为A ．2B ．3C ．1D ．23 21、设集合M ={α|α=k π±6π,k ∈Z },N ={α|α=k π+－1k6π,k ∈Z }那么下列结论中正确的是A ．M =NB ．M NC ．N MD ．M N 且N M二、填空题22、若角α是第三象限角,则2α角的终边在 . 23、与－1050°终边相同的最小正角是 . 24、已知α是第二象限角,且,4|2|≤+α则α的范围是 .任意角的三角函数练习题一、选择题1. 设α角属于第二象限,且2cos2cosαα-=,则2α角属于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 给出下列各函数值：①)1000sin(0-；②)2200cos(0-；③)10tan(-；④917tancos 107sinπππ. 其中符号为负的有 A. ① B. ② C. ③ D. ④3. 02120sin 等于 A. 23±B. 23C. 23-D. 214. 已知4sin 5α=,并且α是第二象限的角,那么tan α的值等于 A. 43-B. 34- C. 43D.345．若θ∈错误!,错误!,则错误!等于θ－sin θ θ＋cos θθ－cos θ D.－cos θ－sin θ6．若tan θ＝错误!,则cos 2θ＋sin θcos θ的值是A.－错误!B.－错误!C. 错误!D.错误!二、填空题1. 设θ分别是第二、三、四象限角,则点)cos ,(sin θθP 分别在第___、___、___象限. 2. 设MP 和OM 分别是角1817π的正弦线和余弦线,则给出的以下不等式：①0<<OM MP ；②0OM MP <<； ③0<<MP OM ；④OM MP <<0,其中正确的是_____________________________.3．若角α的终边在直线y ＝－x 上,则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-＝ . 4．使tan x －xsin 1有意义的x 的集合为 . 5．已知α是第二象限的角,且cos 错误!＝－错误!,则错误!是第 象限的角.三、解答题1. 已知1tan tan αα，是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根,且παπ273<<,求ααsin cos +的值.2. 设cos θ＝错误!m ＞n ＞0,求θ的其他三角函数值.3．证明1 错误!＝错误!2tan 2θ－sin 2θ＝tan 2θsin 2θ4. 已知)1,2(,cos sin ≠≤=+m m m x x 且,求1x x 33cos sin +；2x x 44cos sin +的值.。
知识讲解_任意角和弧度制_基础
任意角和弧度制【学习目标】1.理解任意角的概念.掌握象限角、终边相同的角、终边在坐标轴上的角及区间角的表示方法。
2.了解弧度制的意义；掌握角的不同度量方法，能对弧度制和角度制进行正确的换算.3.掌握弧度制下扇形的弧长和面积的计算公式，并能结合具体问题进行正确地运算。
【要点梳理】 要点一：任意角的概念1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角.零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 要点诠释：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义.2.终边相同的角、象限角终边相同的角为{}|360k k Z βββα∈=+∈，角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.要点诠释：(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (3)终边相同的角有无数多个，它们相差360︒的整数倍. 3．常用的象限角α是第一象限角，所以(){}|36036090,k k k Z αα<<+∈ α是第二象限角，所以(){}|36090360180,k k k Z αα+<<+∈ α是第三象限角，所以(){}|360180360270,k k k Z αα+<<+∈ α是第四象限角，所以(){}|360270360360,k k k Z αα+<<+∈要点二：弧度制 1．弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 2．角度与弧度的换算弧度与角度互换公式： 180rad π︒=1rad=0180π⎛⎫ ⎪⎝⎭≈57.30°=57°18′，1°=180π≈0.01745(rad) 3．弧长公式：r l ||α=(α是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式：2||2121r r l S α==. 要点诠释：(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如2ππ--，等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.(2)角α的弧度数的绝对值是：rl=α，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 【典型例题】类型一：角的概念的理解例1．下列结论：①第一象限角都是锐角；②锐角都是第一象限角；③第一象限角一定不是负角；④第二象限角是钝角；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角。
任意角和弧度制
2．终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S＝ {β|_β_＝__α_＋__k_·_3_6_0_°_，__k_∈__Z__}，即任一与角 α 终边相同的角，都可 以表示成角 α 与整数个周角的和．
3．轴线角的集合 角 α 终边的位置
在 x 轴的非负半轴上 在 x 轴的非正半轴上 在 y 轴的非负半轴上 在 y 轴的非正半轴上
2100
6600
-1500
特别地，当一条射线没有作任何旋转时， 我们也认为这时形成了一个角，并把这个角 叫做零度角（0º）．
角的记法：角α或可以简记成∠α.
⑶角的概念扩展的意义：
用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大 了
① 角有正负之分; 如：=210, = 150, =660.
② 角可以任意大; 实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）
内、向外转体1080º；
生活中很多实例会不在该范围。 经过1小时，时针、分针、秒针各转了多 少度？ 这些例子不仅不在范围[0º, 360º) ，而且 方向不同，有必要将角的概念推广到任意角， 想想用什么办法才能推广到任意角？ 关键是用运动的观点来看待角的变化。
2．角的概念的推广
⑴“旋转”形成角
一条射线由原来的位置OA，
2．将射线 OM 绕端点 O 按逆时针方向旋转 120°所得的角为( )
A．120°
B．－120°
C．240° 答案：A
D．－240°
3．时钟经过 1 小时，时针转动的角的大小是________． 解析：时钟是顺时针转，故形成的角是负角，又经过 12 个小时时针 转动一个周角，故经过 1 个小时时针转动周角的112，所以转动的角的 大小是－112×360°＝－30°. 答案：－30°
5.1任意角和弧度制课件(人教版)
问题3：上述问题2中，射线上的一点(不同于点)，= ，在旋转过程中，点所形成的圆弧的长为，求弧长 与半径 的比值，其与问题2中的比值有何关系?
【解析】：因为<m></m>，所以<</m>.故<m></m>.
结论：可以发现，圆心角所对的弧长与半径的比值只与的大小有关.也就是说，这个比值随的确定而唯一确定.
【解析】:(1)设扇形的弧长为 ，因为圆心角 ，所以扇形的弧长，故扇形的面积 (2)设扇形圆心角的弧度数为，弧长为，半径为，面积为，则 ，所以 ，所以，所以当 时， 最大，且 ，因此 ．
反思感悟
方法总结
扇形的弧长和面积的求解策略(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是(其中是扇形的弧长，是扇形的半径，是扇形圆心角的弧度数，).(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.
跟踪训练2 将下列角度与弧度进行互化： (1) ；(2)；(3)；(4)．
【解析】(1) .(．(3) .(4) .
探究二：扇形的弧长及面积公式
如图所示，设公路弯道处弧的长为.(图中长度单位：)
问题1：弧 的长是多少?求扇形的面积 ?
【解析】：.
新知生成
知识点二 扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为，弧长为，为其圆心角，为圆心角的角度数，则(1)弧长公式：.(2)扇形面积公式：
C
B
A
一、弧度制的概念
例题1 下列说法正确的是( ).A. 1 弧度的圆心角所对的弧长等于半径B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大C.所有1弧度的圆心角所对的弧长都相等D.用弧度表示的弧度的定义知，1弧度的圆心角所对的弧长等于半径，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D错误．
任意角与弧度制 弧度制
.
24
1．弧度制下与角 α 终边相同的角的表示： 在弧度制下，与角 α 的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}， 即与角 α 终边相同的角可以表示成 α 加上 2π 的整数倍． 2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤： (1)仔细观察图形． (2)写出区域边界作为终边时角的表示． (3)用不等式表示区域范围内的角． 提醒：角度制与弧度制不能混用.
D．kπ＋54π(k∈Z)
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4．用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合．
[解] 30°＝π6 rad,150°＝56π rad.
终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是
βπ6＋kπ＜β＜56π＋kπ，k∈Z
.
27
弧长公式与扇形面积公式的应用
[探究问题]
1．用公式|α|＝rl求圆心角时，应注意什么问题？ 提示：应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大 小，又要注意其正负． 2．在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以 “度”为单位，需注意什么问题？ 提示：若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再 计算，否则结果易出错．
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角度制与弧度制互化的关键与方法 1关键：抓住互化公式 π rad＝180°是关键； 2方法：度数×1π80＝弧度数；弧度数×1π80°＝度数； 3角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.
1．(1)将－157°30′ 化成弧度为________．
(2)将－115π rad化为度 是________．
所以角α的集合是αα＝π4＋kπ，k∈Z
.]
(2)[解] 因为30°＝π6 rad,210°＝76π rad，
这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ
任意角和弧度制
终边在终边在射线 y = -x 上的角的集合是
B 2250 k 3600 , k Z
所以终边在Y=x上的角的集合是
S | 2250 k 3600 , k Z
0 0
| 45 k 360 , k Z
| 45 k 180 , k Z
－392° 328°
x o －32°
与－32°角终边相同的角有多少个？ 32 0 k 360 0 , k Z 这些角与－32°角在数量上相差多少？
392 0 32 0 360 0
思考2：所有与－32°角终边相同的角， 连同－32°角在内，可构成一个集合S， 你能用描述法表示集合S吗？
{ 90 k 360 , k z}
180 360, k, 180 k k 360 k Z Z
0 0 0 0
90 270
0
k 360 , k Z
0
例4．用集合的形式表示象限角 第一象限的角表示为
32
0
k 360 0 , k Z
思考3：一般地，所有与角α 终边相同的 角，连同角α 在内所构成的集合S可以怎 样表示？ S={β|β=α＋k· 360°，k∈Z}，即任 一与α终边相同的角，都可以表示成角 α与整数个周角的和.
例题分析
例1．在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角， 并判定它是第几象限角.
γ
α O β A
(3)再由角的绝对值大小确定角的旋转量，
B1
(4)画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注.
任意角和弧度制(基础知识+基本题型)(含解析)
5.1 任意角和弧度制（基础知识+基本题型）知识点一 任意角 1.角的概念(1)角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
(2)角的表示：如图射线OA 为始边，射线OB 为终边，点O 为角的顶点，图中角α可记为“角α”或“α∠”，也可简记为“α”。
2.角的分类 名称定义 图形正角一条射线按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线按顺时针方向旋转形成的角零角 一条射线没有做任何旋转形成的角拓展：（1）角的概念的推广重在“旋转”，理解“旋转”二字应明确以下三个方面： ①旋转的方向；②旋转角的大小；③射线未作任何旋转时的位置。
（2）角的范围不再限于0360.BOAOABOABA（BO知识点二 象限角与终边相同的角 1.象限角（1）象限角的概念：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
（2）象限角的集合表示}36090360,x k k Z <<+⋅∈}90360180360,k x k k Z +⋅<<+⋅∈ }180360270360,k x k k Z +⋅<<+⋅∈}270360360360,k x k k Z ⋅<<+⋅∈2.终边相同的角（1）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{S ββα==+}360,k k Z ⋅∈，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
（2）角的终边在坐标轴上的角的集合表示,k Z ∈}360,k k Z +⋅∈}180,k k Z ⋅∈}90360,k k Z +⋅∈}90360,k k Z +⋅∈终边落在y 轴上的角{}90180,x x k k Z =+⋅∈终边落在坐标轴上的角{}90,x x k k Z =⋅∈注意：（1）相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360的整数倍。
第1讲 任意角和弧度制、三角函数的概念
第1讲任意角和弧度制、三角函数的概念1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.1.任意角(1)任意角包括正角、负角和零角.(2)象限角：在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在□1第几象限，就说这个角是第几□2象限角；如果角的终边在□3坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝□4{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于□5半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是一个□6正数，负角的弧度数是一个□7负数，零角的弧度数是□80.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算1°＝π180rad；1rad＝□9(180π)°弧长公式弧长l＝□10|α|r扇形面积公式S＝□1112lr＝□1212|α|r2扇形的弧长公式、面积公式中角的单位要用弧度，在同一式子中，采用的度量制必须一致.3.任意角的三角函数(1)概念：任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sinα＝□13y，cosα＝□14x，tan α＝□15y x(x ≠0).(2)概念推广：三角函数坐标法定义中，若取点P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，设点P 到原点O 的距离为r ，则sin α＝□16y r ，cos α＝□17x r ，tan α＝□18y x(x ≠0).常用结论1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.象限角与不属于任何象限的角(1)(2)(3)3.重要不等关系：若α∈(0，π2)，则sin α<α<tan α.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.()(3)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关.()(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2.回源教材(1)67°30′化为弧度是()A.3π8B.38C.673π1800D.6731800解析：A 67°30′＝67.5×π180＝38π.(2)已知α是第一象限角，那么α2是()A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第二象限角D.第一或第三象限角解析：D 易知2k π＜α＜π2＋2k π，k ∈Z ，故k π＜α2＜π4＋k π，所以α2是第一或第三象限角.(3)已知角θ的终边经过点P (－12，5)，则sin θ＋cos θ＝.解析：由三角函数的定义可得sin θ＋cos θ＝5（－12）2＋52＋－12（－12）2＋52＝513－1213＝－713.答案：－713任意角及其表示例1(1)(多选)若α是第二象限角，则()A.－α是第一象限角B.α2是第一或第三象限角C.3π2＋α是第二象限角D.2α是第三或第四象限角或终边在y 轴负半轴上解析：BD因为α是第二象限角，所以可得π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z .对于A ，－π－2k π<－α<－π2－2k π，k ∈Z ，则－α是第三象限角，所以A 错误.对于B ，可得π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角，所以B 正确.对于C ，2π＋2k π<3π2＋α<5π2＋2k π，k ∈Z ，即2(k ＋1)π<3π2＋α<π2＋2(k ＋1)π，k ∈Z ，所以3π2＋α是第一象限角，所以C 错误.对于D ，π＋4k π<2α<2π＋4k π，k ∈Z ，所以2α的终边位于第三象限或第四象限或y 轴负半轴上，所以D 正确.故选BD.(2)集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析：C当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样.故选C.反思感悟1.表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.(2)再按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x |α＜x ＜β}，其中β－α＜360°.(3)最后令起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角的集合.2.象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.(2)转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角.训练1(1)把－380°表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，则θ的值可以是()A.π9B.－π9C.8π9D.－8π9解析：B∵－380°＝－20°－360°，∴－380°＝(－π9－2π)rad ，故选B.(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为.解析：如图，在平面直角坐标系中画出直线y＝3x，可以发现它与x轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y＝3x上的角有两个，即π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个，即－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为{－5π3，－2π3，π3，4π3}.答案：{－5π3，－2π3，π3，4π3}弧度制及其应用例2已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.(1)若α＝π3，R＝10cm，求扇形的弧长l；(2)若扇形的周长是20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若α＝π3，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积.解：(1)因为α＝π3，R＝10cm，所以l＝|α|R＝π3×10＝10π3(cm).(2)由已知，得l＋2R＝20，所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.所以当R＝5cm时，S取得最大值，此时l＝10cm，α＝2.(3)设弓形面积为S弓形，由题意知l＝2π3cm，所以S弓形＝12×2π3×2－12×22×sinπ3＝(2π3－3)(cm2).反思感悟应用弧度制解决问题时的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，或用基本不等式解决.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.训练2如图，图1是杭州2022年第19届亚运会的会徽，名为“潮涌”，整个会徽象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.图2是会徽的几何图形，设弧AD 的长度是l 1，弧BC 的长度是l 2，几何图形ABCD 的面积为S 1，扇形BOC 的面积为S 2，若l 1l 2＝2，则S1S 2＝()图1图2A.1B.2C.3D.4解析：C 设∠BOC ＝α，由l 1l 2＝2，得OA ·αOB ·α＝OA OB ＝2，即OA ＝2OB ，∴S1S 2＝12α·OA 2－12α·OB 212α·OB 2＝OA 2－OB 2OB 2＝4OB 2－OB 2OB 2＝3.故选C.三角函数的定义及其应用三角函数的定义例3(1)(2024·哈尔滨期中)已知角α的终边经过点P (－3，4)，则sin α－cos α－11＋tan α的值为()A.－65 B.1C.2D.3解析：A由（－3）2＋42＝5，得sin α＝45，cos α＝－35，tan α＝－43，代入原式得45－（－35）－11＋（－43）＝－65.(2)如果点P 在角23π的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标是()A.(1，3)B.(－1，3)C.(－3，1)D.(－3，－1)解析：B由三角函数定义知，cos 23π＝x P |OP |＝－12，sin 23π＝y P |OP |＝32，所以x P ＝－1，y P ＝3，即P 的坐标是(－1，3).三角函数值的符号例4(1)点P (sin 100°，cos 100°)落在()A.第一象限内B.第二象限内C.第三象限内D.第四象限内解析：D因为sin 100°＝sin(90°＋10°)＝cos 10°＞0，cos 100°＝cos(90°＋10°)＝－sin 10°＜0，所以点P (sin 100°，cos 100°)落在第四象限内.(2)已知sin θ＜0，tan θ＜0，则角θ的终边位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：D 由sin θ＜0，tan θ＜0，根据三角函数的符号与角的象限间的关系，可得角θ的终边位于第四象限.反思感悟1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.训练3(1)(多选)已知角α的终边与单位圆交于点P (35，m5)，则sin α的值可能是()A.45B.35C.－45 D.－35解析：AC由题意可得sin α＝m 5（35）2＋（m 5）2＝m 32＋m 2＝m5，解得m ＝±4.当m ＝4时，sin α＝45；当m ＝－4时，sin α＝－45.故A ，C 正确，B ，D 错误.(2)(多选)已知角θ的终边经过点(－2，－3)，且θ与α的终边关于x 轴对称，则()A.sin θ＝－217B.α为钝角C.cos α＝－277D.点(tan θ，tan α)在第四象限解析：ACD因为角θ的终边经过点(－2，－3)，所以sin θ＝－37＝－217，故A 正确.因为θ与α的终边关于x 轴对称，所以α的终边经过点(－2，3)，则α为第二象限角，不一定为钝角，且cos α＝－27＝－277，故B 错误，C 正确.因为tanθ＝32>0，tan α＝－32<0，所以点(tan θ，tan α)在第四象限，D 正确.故选ACD.限时规范训练(二十四)A级基础落实练1.与－2023°终边相同的最小正角是()A.137°B.133°C.57°D.43°解析：A因为－2023°＝－360°×6＋137°，所以与－2023°终边相同的最小正角是137°.2.下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ＋45°(k∈Z)B.k·360°＋9π4(k∈Z)C.k·360°－315°(k∈Z)D.kπ＋5π4(k∈Z)解析：C对于A，B，2kπ＋45°(k∈Z)，k·360°＋9π4(k∈Z)中角度和弧度混用，不正确；对于C，因为9π4＝2π＋π4与－315°是终边相同的角，故与角9π4的终边相同的角可表示为k·360°－315°(k∈Z)，C正确；对于D，kπ＋5π4(k∈Z)，不妨取k＝0，则表示的角5π4与9π4终边不相同，D错误.3.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝－31010，则y＝()A.3B.－3C.1D.－1解析：B因为sinθ＝－31010＜0，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y＜0，由三角函数的定义，得yy2＋1＝－31010，解得y＝－3(正值舍去).4.(2024·鹰潭期中)点A(sin1240°，cos1240°)在直角坐标平面上位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：D1240°＝3×360°＋160°，160°是第二象限角，所以sin1240°＞0，cos1240°＜0，P点在第四象限.5.(2023·河东一模)在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为()A.4B.22C.2D.1解析：C设扇形的半径为R(R＞0)，圆心角为α，则12αR2＝4，所以α＝8R2，则扇形的周长为2R＋αR＝2R＋8R≥22R·8R＝8，当且仅当2R＝8 R，即R＝2时，取等号，此时α＝2，所以周长最小时半径的值为2.6.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角一定是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cosθ＜0，则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的序号是()A.②④⑤B.③⑤C.③D.①③⑤解析：C①由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，故第二象限角大于第一象限角不正确，即①不正确；②直角不属于任何一个象限，故三角形的内角是第一象限角或第二象限角错误，即②不正确；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，即③正确；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同或终边关于y轴对称，即④不正确；⑤若cosθ＜0，则θ是第二象限角或第三象限角或θ的终边落在x轴的负半轴上，即⑤不正确.其中正确命题的序号是③，故选C.7.(多选)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边上有一点P(1，2sinα)，且|α|＜π2，则角α的可能取值为()A.－π3B.0C.π6D.π3解析：ABD因为角α的终边上有一点P(1，2sinα)，所以tanα＝2sinα，所以sinαcosα＝2sinα，①若α＝0，则sinαcosα＝2sinα成立；②若α≠0，则cosα＝12，因为|α|＜π2，所以α＝π3或α＝－π3.8.已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－45，则m的值为.解析：因为r＝64m2＋9，所以cosα＝－8m64m2＋9＝－45，所以4m264m2＋9＝125，因为m＞0，解得m＝12.答案：1 29.α为第二象限角，且|cosα2|＝－cosα2，则α2在象限.解析：∵α为第二象限角，∴α2为第一或第三象限角，又|cos α2|＝－cos α2，∴cos α2＜0，∴α2在第三象限.答案：第三10.若角α的终边与函数5x ＋12y ＝0(x ＜0)的图象重合，则2cos α＋sin α＝.解析：∵角α的终边与函数5x ＋12y ＝0(x ＜0)的图象重合，∴α为第二象限角，且tan α＝－512，即sin α＝－512cos α.∴sin 2α＋cos 2α＝(－512cos α)2＋cos 2α＝1，解得cos α＝－1213.∴sin α＝－512cos α＝－512×(－1213)＝513.∴2cos α＋sin α＝2×(－1213)＋513＝－1913.答案：－191311.用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内(含边界)的角θ的集合是.解析：由题图，终边OB 对应角为2k π－π6且k ∈Z ，终边OA 对应角为2k π＋3π4且k ∈Z ，所以阴影部分角θ的集合是[2k π－π6，2k π＋3π4]，k ∈Z .答案：[2k π－π6，2k π＋3π4]，k ∈Z12.已知扇形的圆心角为23π，扇形的面积为3π，则该扇形的周长为.解析：设扇形的半径为R，利用扇形面积计算公式S＝12×23πR2＝3π，可得R＝3，所以该扇形的弧长为l＝23π×3＝2π，所以周长为l＋2R＝6＋2π.答案：6＋2πB级能力提升练13.(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(－1，m)(m＞0)，则下列各式的值一定为负的是()A.sinα＋cosαB.sinα－cosαC.sinαcosαD.sinαtanα解析：CD因为角α终边经过点P(－1，m)(m＞0)，所以α在第二象限，所以sinα＞0，cosα＜0，tanα＜0，如果α＝23π，所以sinα＋cosα＝32－12＞0，所以选项A不满足题意；sinα－cosα＞0；sinαcosα＜0；sinαtanα＜0，故CD正确.14.(2023·长治模拟)水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强相互作用力(SIM)材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴.如图所示，水滴是由线段AB，AC和圆的优弧BC围成，其中AB，AC恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为1，点A到圆弧所在圆的圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为()A.3＋2π3 B.23＋2π3C.23＋π3D.3＋π3解析：A 如图，设圆弧所在圆的圆心为O ，连接OA ，OB ，OC ，依题意得OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，且OB ＝OC ＝1，OA ＝2，则AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝π3，所以∠BOC ＝2π3，所以该封闭图形的面积为2×12×3×1＋12×(2π－2π3)×12＝3＋2π3.15.(2024·牡丹江模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (35，45)，将线段OA绕原点顺时针旋转π3得到线段OB ，则点B 的横坐标为.解析：易知A (35，45)在单位圆上，记终边在射线OA 上的角为α，如图所示，根据三角函数定义可知，cos α＝35，sin α＝45；OA 绕原点顺时针旋转π3得到线段OB ，则终边在射线OB 上的角为α－π3，所以点B 的横坐标为cos(α－π3)＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝3＋4310.答案：3＋431016.若点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0，2π)内α的取值范围是.解析：由题意可得α－cos α＞0，α＞0，∈[0，2π），α＞0，∈[0，2π），可得α∈(0，π2)或α∈(π，3π2)，当α∈(0，π2)，即α为第一象限角，则sin α＞0，cos α＞0，∵sin α－cos α＞0，则tan α＞1，∴α∈(π4，π2)；当α∈(π，3π2)，即α为第三象限角，则sin α＜0，cos α＜0，∵sin α－cos α＞0，则0＜tan α＜1，∴α∈(π，5π4)；综上所述，α∈(π4，π2∪(π，5π4).答案：(π4，π2)∪(π，5π4)。
任意角、弧度制及任意角的三角函数
任意角、弧度制及任意角的三角函数1.角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角.(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S ＝{β|β＝k ·360°＋α，k ∈Z }. (3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限. 2.弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度.正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. (2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°. (3)扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2.3.任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )时， 则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0).三个三角函数的性质如下表：4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T .为正弦线；有向线段OM 为余弦线；有向线为正切线概念方法微思考1.总结一下三角函数值在各象限的符号规律. 提示 一全正、二正弦、三正切、四余弦.2.三角函数坐标法定义中，若取点P (x ，y )是角α终边上异于顶点的任一点，怎样定义角α的三角函数？提示设点P 到原点O 的距离为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0).题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.( × ) (2)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关.( √ ) (3)不相等的角终边一定不相同.( × )(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( √ ) 题组二 教材改编2.角－225°＝ 弧度，这个角在第 象限. 答案 －5π4二3.若角α的终边经过点Q ⎝⎛⎭⎫－22，22，则sin α＝ ，cos α＝ . 答案22 －224.一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为 弧度.答案 π3题组三 易错自纠5.集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1 (n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样，故选C. 6.已知点P ⎝⎛⎭⎫32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.5π6B.2π3 C.11π6 D.5π3答案 C 解析 因为点P ⎝⎛⎭⎫32，－12在第四象限，所以根据三角函数的定义可知tan θ＝－1232＝－33，又θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，所以θ＝11π6. 7.在0到2π范围内，与角－4π3终边相同的角是 . 答案2π3解析 与角－4π3终边相同的角是2k π＋⎝⎛⎭⎫－4π3(k ∈Z )，令k ＝1，可得与角－4π3终边相同的角是2π3. 8.(2018·合肥模拟)函数y ＝2cos x －1的定义域为 .答案 ⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ) 解析 ∵2cos x －1≥0， ∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x ∈⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z ).题型一 角及其表示1.下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是 ( )A.2k π＋45°(k ∈Z )B.k ·360°＋9π4(k ∈Z ) C.k ·360°－315°(k ∈Z ) D.k π＋5π4(k ∈Z )答案 C解析 与角9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确.2.设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A.M ＝N B.M ⊆N C.N ⊆M D.M ∩N ＝∅ 答案 B解析 由于M 中，x ＝k 2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N ，故选B.3.终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为 . 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π解析 如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π.4.若角α是第二象限角，则α2是第 象限角.答案 一或三解析 ∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角. 综上，α2是第一或第三象限角.思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k (k ∈Z )赋值来求得所需的角. (2)确定kα，αk(k ∈N ＋)的终边位置的方法先写出kα或αk 的范围，然后根据k 的可能取值确定kα或αk 的终边所在位置.题型二 弧度制及其应用例1 已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .若α＝π3，R ＝10 cm ，求扇形的面积.解 由已知得α＝π3，R ＝10 cm ，∴S 扇形＝12α·R 2＝12·π3·102＝50π3(cm 2).引申探究1.若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积. 解 l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)，S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝12·l ·R －12·R 2·sin π3＝12·10π3·10－12·102·32＝50π－7533(cm 2). 2.若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm ”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解 由已知得，l ＋2R ＝20，则l ＝20－2R (0<R <10). 所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5 cm 时，S 取得最大值25 cm 2，此时l ＝10 cm ，α＝2 rad. 思维升华 应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.跟踪训练1 (1)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π6 B.π3 C.3 D. 3 答案 D解析 如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3，作OM ⊥AB ，垂足为M ，在Rt △AOM 中，AO ＝r ，∠AOM ＝π3，∴AM ＝32r ，AB ＝3r ， ∴l ＝3r ，由弧长公式得α＝l r ＝3rr＝ 3.(2)一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为 . 答案518解析 设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α， 由扇形面积等于圆面积的527，可得12α⎝⎛⎭⎫2r 32πr 2＝527， 解得α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为l C ＝5π6·2r 32πr ＝518.题型三 三角函数的概念命题点1 三角函数定义的应用例2 (1)(2018·合肥模拟)已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝⎛⎭⎫－12，y ，则sin α·tan α等于( ) A.－33 B.±33 C.－32 D.±32答案 C解析 由OP 2＝14＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3， 此时，sin α·tan α＝－32.当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3， 此时，sin α·tan α＝－32.所以sin α·tan α＝－32.(2)设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角解析 由θ是第三象限角知，θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2<0， 综上可知，θ2为第二象限角.命题点2 三角函数线例3 (1)满足cos α≤－12的角的集合是 .答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z 解析 作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .(2)若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小关系是 .答案 sin α<cos α<tan α解析 如图，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，观察可知sin α<cos α<tan α.思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P 的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P 的坐标.(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围. 跟踪训练2 (1)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0.则实数a 的取值范围是( ) A.(－2,3] B.(－2,3) C.[－2,3)D.[－2,3]解析 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上.∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0， ∴－2<a ≤3. (2)在(0,2π)内，使得sin x >cos x 成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，πC.⎝⎛⎭⎫π4，5π4D.⎝⎛⎭⎫π4，π∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2答案 C解析 当x ∈⎣⎡⎭⎫π2，π时，sin x >0，cos x ≤0，显然sin x >cos x 成立；当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π4时，如图，OA 为x 的终边，此时sin x ＝|MA |，cos x ＝|OM |，sin x ≤cos x ；当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，如图，OB 为x 的终边，此时sin x ＝|NB |，cos x ＝|ON |，sin x >cos x .同理当x ∈⎣⎡⎭⎫π，5π4时，sin x >cos x ；当x ∈⎣⎡⎭⎫5π4，2π时，sin x ≤cos x ，故选C.1.下列说法中正确的是( ) A.第一象限角一定不是负角 B.不相等的角，它们的终边必不相同 C.钝角一定是第二象限角D.终边与始边均相同的两个角一定相等 答案 C解析 因为－330°＝－360°＋30°，所以－330°角是第一象限角，且是负角，所以A 错误；同理－330°角和30°角不相等，但它们终边相同，所以B 错误；因为钝角的取值范围为(90°，180°)，所以C 正确；0°角和360°角的终边与始边均相同，但它们不相等，所以D 错误.2.已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A.1 B.4 C.1或4 D.2或4 答案 C解析 设扇形的半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2. 从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.3.(2018·西安调研)已知角θ的终边经过点P (4，m )，且sin θ＝35，则m 等于( )A.－3B.3C.163 D.±3答案 B 解析 sin θ＝m 16＋m 2＝35，且m >0，解得m ＝3.4.点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－32，－12 C.⎝⎛⎭⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎫－32，12 答案 A解析 点P 旋转的弧度数也为2π3，由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. 5.若sin θ·cos θ>0，sin θ＋cos θ<0，则θ在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 C解析 ∵sin θ·cos θ>0，∴sin θ>0，cos θ>0或sin θ<0，cos θ<0.当sin θ>0，cos θ>0时，θ为第一象限角，当sin θ<0，cos θ<0时，θ为第三象限角.∵sin θ＋cos θ<0，∴θ为第三象限角.故选C.6.sin 2·cos 3·tan 4的值( ) A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在答案 A解析 ∵sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，∴sin 2·cos 3·tan 4<0. 7.已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A.－12 B.－32 C.12 D.32答案 C解析 由题意得点P (－8m ，－3)，r ＝64m 2＋9，所以cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，解得m ＝±12， 又cos α＝－45<0，所以－8m <0，即m >0， 所以m ＝12.8.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4答案 A解析 举反例：第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错.综上可知，只有③正确.9.若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是 .答案 2 解析 设圆半径为r ，则圆内接正方形的对角线长为2r ，∴正方形边长为2r ，∴圆心角的弧度数是2r r＝ 2. 10.若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝ .答案 2解析 由已知tan α＝3，∴n ＝3m ，又m 2＋n 2＝10，∴m 2＝1.又sin α<0，∴m ＝－1，n ＝－3.故m －n ＝2.11.已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为 . 答案 11π6解析 由题意知，点P ⎝⎛⎭⎫32，－12，r ＝1，所以点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32， 故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6. 12.函数y ＝sin x －32的定义域为 . 答案 ⎣⎡⎦⎤2k π＋π3，2k π＋23π，k ∈Z 解析 利用三角函数线(如图)，由sin x ≥32，可知 2k π＋π3≤x ≤2k π＋23π，k ∈Z .13.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为 .答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z 解析 ∵在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝⎛⎭⎫π4，56π，∴所求角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z . 14.若角α的终边落在直线y ＝3x 上，角β的终边与单位圆交于点⎝⎛⎭⎫12，m ，且sin α·cos β<0，则cos α·sin β＝ .答案 ±34解析 由角β的终边与单位圆交于点⎝⎛⎭⎫12，m ，得cos β＝12，又由sin α·cos β<0知，sin α<0，因为角α的终边落在直线y ＝3x 上，所以角α只能是第三象限角.记P 为角α的终边与单位圆的交点，设P (x ，y )(x <0，y <0)，则|OP |＝1(O 为坐标原点)，即x 2＋y 2＝1，又由y ＝3x 得x ＝－12，y ＝－32，所以cos α＝x ＝－12，因为点⎝⎛⎭⎫12，m 在单位圆上，所以⎝⎛⎭⎫122＋m 2＝1，解得m ＝±32，所以sin β＝±32，所以cos α·sin β＝±34.15.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积＝12×(弦×矢＋矢2).弧田(如图1)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，半径为3米的弧田，如图2所示.按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是 平方米.(结果保留整数，3≈1.73)答案 5解析 如题图2，由题意可得∠AOB ＝2π3，OA ＝3，所以在Rt △AOD 中，∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12AO ＝12×3＝32，可得CD ＝3－32＝32，由AD ＝AO ·sin π3＝3×32＝332，可得AB ＝2AD ＝2×332＝3 3.所以弧田面积S ＝12(弦×矢＋矢2)＝12×⎝⎛⎭⎫33×32＋94＝943＋98≈5(平方米). 16.如图，A ，B 是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1,0)，∠BOA ＝60°.质点A 以1 rad /s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动.则经过1 s 后，∠BOA 的弧度为 ；质点A ，B 在单位圆上第一次相遇所用的时间为 s.答案 π3＋3 5π9解析 经过1 s 后，质点A 运动1 rad ，质点B 运动2 rad ，此时∠BOA 的弧度为π3＋3. 设经过t s 后质点A ，B 在单位圆上第一次相遇，则t (1＋2)＋π3＝2π， 解得t ＝5π9， 即经过5π9s 后质点A ，B 在单位圆上第一次相遇.。
高中数学5.1任意角和弧度制
高中数学5.1 任意角和弧度制一、概述高中数学中，三角函数是一个重要内容。
而在学习三角函数之前，我们需要先了解一些基本概念，比如任意角和弧度制。
本文将围绕着这两个概念展开讲解，帮助读者更好地理解和掌握这些内容。
二、任意角的概念1. 任意角是指不限制在0°到360°之间的角。
在平面直角坐标系中，任意角可以被表示为一个终边落在坐标轴上的角。
这意味着任意角可以包括整个360°的范围。
2. 我们通常用θ来表示任意角，其实任意角可以被表示为θ＝360k ＋α，其中k是整数，α是小于360°的正角，它是唯一的。
三、弧度制的概念1. 弧度制是另一种角度的度量方式，它是以圆的半径长为单位进行度量的。
一个圆的全周长为2πr，所以一个圆的一周等于2π弧度。
2. 我们知道360°等于2π弧度，所以1°等于π/180弧度。
角度和弧度之间可以通过π进行转换。
3. 弧度制适合用于求解圆的性质问题，因为它更直接地与圆的半径有关，可以简化很多计算，并且更具有普适性。
四、任意角与弧度的转换1. 已知一个角的度数，求其对应的弧度。
我们可以根据1°等于π/180弧度的关系，进行计算转换。
30°对应的弧度是30°×π/180=π/6弧度。
2. 已知一个角的弧度，求其对应的度数。
同样可以根据π弧度等于180°进行转换计算。
π/3弧度对应的度数是π/3÷π×180°=60°。
五、扩展知识1. 在解决某些三角函数的问题时，可能会遇到弧度制和角度制混用的情况。
在这种情况下，我们需要先将角度统一转换为弧度，然后再进行计算。
2. 在高等数学中，弧度制被广泛应用于导数、积分和微分等计算中。
了解弧度制可以为后续高等数学的学习奠定坚实基础。
六、总结任意角和弧度制是高中数学中一个基础而重要的知识点，它为后续学习三角函数和高等数学打下了基础。
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一、任意角和弧度制1. 时针走了2小时40分，则分针转过的角度是_______________ .2. 已知角,终边相同，那么的终边在___________________ .k k3. 若集合M {xx - 180o45o,k Z}，集合N {xx - 180o45o,k Z}，则集合M与N的关系式________________ .4. 设集合A {xk 360o60o x k 360°300°, k Z} ，B {x k 360°210°x k 360°, k Z}，则AI B _________________ .A U B ______ .295. 一所在的象限是126•终边在第一、四象限的角的集合可表示为 _________________ .7. 已知集合A {x 2k x 2k ,k Z}，B { 4 4}，则AI B _______8. ____________________________________________________________________________ 若角的终边与角一的终边相同，则在（0,2 ）内终边与一的终边相同的角为__________________7 39. 若角的终边和函数y x的图象重合，则角的集合为_____________ .10. 若角的终边落在经过点PC、3, 1）的直线上，指出在2与2范围内的角11. 已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段弧所对的圆周角的弧度数为12. 要修建一扇环形花圃如图所示，外圆弧的半径是内圆弧的半径的两倍，周长为定值2l，问圆心角为_______________ 时，其面积最大，最大面积为________ .（0 ）二、任意角的三角函数1.下列判断错误的是（）A.角一定时，单位圆中的正弦线一定B.在单位圆中，有相同正弦线的角相等C.角与角有相同的正切线D.具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上2. sin 1,c°s1, tan1的大小关系是3.解不等式（1）sin 3；（2）tanx 且x （0,）；21（3）求函数y |gc°S（2x ）的疋义域3 tan x 14.已知sinx c°sx 1，贝U sinx c°sx .5. 设c°s100°k，则tan 100°___6. 化简/―2sin 4cos4 ___________7.已知tan m( —)，则sin228.已知sin ,cos 是方程5x 7x m 0的两个根，则m=9•已知角A为锐角，lg(1cosA) m,lg1n，贝UIgsin 1 cosA(用m,n表示)三、三角函数诱导公式1. cos1o cos2o cos3o cos179o cos180o2.若sin( ) cos() 1，则sin3(2)cos3(23. , ~~2)cos(~~2)4.若sin( ) log8-4，且(訐)，则cos( )5. ,sin2500° 2 o 2sin 770 cos (162(f x)6.已知41 tan则cos2 ( ) 2sin 2( sin( )cos( )7.已知cos(—2，则tan 28. sin( 1200)o cos1290o cos( 1020o)si n( 1050o) tan 945o9.已知f (x)是奇函数，当2x<0 时，f (x) xx2a sin ，右f(3) =6，贝Ua=2210.已知sin 是方程5x7x 6 0的根，且时第三象限角，sin( - )cos(—则 2 2)tan2()cosg )sin( )11 J 2sin 1250o cos1250o12•若sin(3 13•已知tan( 1 t 7 ，贝Ucos(一2 215 si n(2 a，则右 sing7)3cos(22)cos(〒)四、三角函数的图象与性质1•函数y cosx(x R)的图象向左平移 ？个单位后，得到函数y g(x)的图象，则g(x)的 解析式为 .x 312•在同一直角坐标系中，函数y cos(- )(x [0,2 ])的图象和直线y 的交点的个数是 _____________ .23•若函数y cosx,(x [—,——])，贝y y 的取值范围是 _______________ .6 34•函数f(x) sinx 2 si nx,x [0,2 ]的图象与直线y=k 有且仅有两个不同的交点， 则k的取值范围是 ___________ . 5•若函数y 2cos(—x)( 0)的最小正周期为4 ，贝U .36•函数y sin( 2x)的单调减区间是 ___________________ •47•如果函数y 3cos(2 x )的图象关于点(——,0)中心对称，那么39.若函数y 2sin(2x -),(x [0,—])，则y 的取值范围是 ____________________6 211.函数 y sinx tanx, x [ — ^-]的值域为 ______________________ • 12•若函数y tan x 在(3,5)内是减函数，贝U的取值范围是 ______3 . 1 713. 三个数 cos —,sin —, cos —的大小关系是2 10 4214.函数y _________________________________ sin x 4cos x 6的值域是 .15.直线y=a (a 为常数)与函数 y tan x( 为常数，且 0 )的图象两相邻交点间的距离为 ___________ .14.若0 2，则 sin 1 同时成立的角2的取值范围是15. .1 sin 1 tan 2. 1 sin的最小值为8.设函数 f (x) cos(3x)是奇函数，则函数f(x仪的单调减区间是10•当x 在区间[0,2]内时，使不等式tanx 成立的 x 的集合是 _____________16. 将函数y sin(6x —)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移百个单位，得到的函数的对称中心是______________ .y轴的对称图形, 17•先将函数y sin2x的图象向右平移一个单位长度，再作所得图象关于3则最后所得图象的解析式是______________ .18.要得到函数y cos(2x —)的图象，只要将y sin2x的图象()A.向左平移一个单位B.向右平移—个单位8 8C.向左平移一个单位D.向右平移—个单位4 419.函数y si nx的图象可由y COs(2x 6)的图象经过怎样的变化而得到?20.函数y Asin( x )(A 0, 0,五、平面向量1.给出下列命题：①若a b，则a b ；②若a b，则a b ；③若a b，则a//b ；④若a〃b，则a b ；r r r⑤若a 0,则a 0 ；⑥若a b，贝U a b .其中正确命题的序号是_______________uuu uuu LULT2.若G是厶ABC的重心，则GA GB GCuuu uuu3.边长为1的正三角形ABC中，AB BC4.下面三个命题：①非零向量则存在唯一实数，使a )的图象如下，则函数的解析式是___________a与b共线，则a与b所在的直线平行；②向量a与b共线,b ；③若a b，则a与b共线.正确命题的序号为:uuu r r uuur r r r5.已知四边形ABCD中，AB a 2c,CD 5a 6b 8c，对角线AC,BD的中点为E,F,uuu则向量EF _________-2C 2009 映曲■已■巧 分)#卜 厶小' P , 4/ 足||9仃丨点 ■ /卉/ = 1 -A 'A /* TH /1/W 上 J1 浪i 星忍卢=2 /MT , UllJ /<4 ・ < ?v5 + "若〉箸 丁< 〉4444A . -------- ^―B . ------- ^―<：. -^-O_ -^―(2012 ^^-7,5 分》「知I为笛迖t 一：川丿客,AH = 2-［蛍A 'A厂、£? 7悶足 717* = A 斥应 * ~AQ = ( I - A ) /K? , A E K 77<5 • =一斗* liHJ A -<)（2012江西.7 ,5分）在百角三角形ABC 屮、点D 是斜辺4/?的中（20112北^T.13t 5分）已知正打堆A RCD 的边长为 S 是4R 边上的动点，则DE * CR 的值为^DE - DC 的最大偵为 _____________ •£2012浙江.15,4分）在△/!/?<?中…M 是RC 的中点二仏RC = 1(),贝IJ 謡-AC = _________________ （2011安徽皖南八校三模，5 ）衣 △M 丹 中，已知 nA =4, OR = 2 , J J A 卩是AB 的垂虫平分线I I 】的任一点・贝卢* 乔=（ >A. 6B, -6 C + 1 2P. - 12(2013 武汶调琴.14 )在IU A 4/fC 中■厶『：=90。
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