人教版高中数学必修五2-2-1 等差数列 课件
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(2)由 an－1＋an＋1 ＝2an (n≥2)知，数列{an}是等差 数列，∴a2，a5，a8 成等差数列． ∴a2＋a8＝2a5，∴a8＝2a5－a2＝2×13－5＝21.
答案：(1)5
－1
－4
(2)21
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[随堂即时演练]
1．已知等差数列{an}的首项 a1＝2，公差 d＝3，则数列{an}的通 项公式为( A．an＝3n－1 C．an＝2n＋3 ) B．an＝2n＋1 D．an＝3n＋2
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问题 1：上面三组数构成数列吗？
提示：构成．
问题 2：若上面三组数构成数列，试观察它们从 2 项 起，每一项与前一项的差有什么特点？
提示：等于同一常数．
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[导入新知]
等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等 于 同一个 常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数 叫做等差数列的 公差 ，通常用字母 d 表示．
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等差数列的通项公式
[例 2] 通项公式 an. 5 7 (2)已知数列{an}为等差数列 a3＝ ，a7＝－ ，求 a15 的值． 4 4 (1)在等差数列{an}中，已知 a5＝10，a12＝31，求
[解]
(1)∵a5＝10，a12＝31，
a1＋4d＝10， a1＝－2， 则 ⇒ a1＋11d＝31， d＝3.
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[化解疑难]
1．“从第 2 项起”是指第 1 项前面没有项，无法与后续 条件中“与前一项的差”相吻合． 2．“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相 邻且后项减去前项”，强调了： ①作差的顺序；②这两项必 须相邻． 3．定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都 等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列.
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等差中项
[例 3] 已知等差数列{an}， 满足 a2＋a3＋a4＝18， a2a3a4
＝66.求数列{an}的通项公式．
[解]
在等差数列{an}中，
∵ a2＋a3＋a4＝18， ∴3a3＝18，a3＝6.
a2＋a4＝12 a4＝11， a2·
பைடு நூலகம்
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a2＝11 解得 a4＝1 a2＝11 当 a4＝1
a1＋ 5－1d＝－1， 解：(1)由题意，知 a1＋8－1d＝2. a1＝－5， 解得 d＝1. a1＋a1＋6－1d＝12， (2)由题意，知 a1＋4－1d＝7. a1＝1， 解得 d＝2.
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1. ∴a9＝2×9－1＝17.
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等差数列的判定与证明
[例 1] 判断下列数列是否为等差数列．
(1)在数列{an}中 an＝3n＋2； (2)在数列{an}中 an＝n2＋n.
[解]
(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)．由 n
的任意性知，这个数列为等差数列． (2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋ n)＝ 2n＋ 2，不是常 数，所以这个数列不是等差数列．
解析： 由已知， x 是 1 和 y 的等差中项， 即 2x＝1＋y ①， y 是 x 和 10 的等差中项，即 2y＝x＋10 由①，②可解得 x＝4，y＝7.
答案：4,7
②，
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5．在等差数列{an}中， (1)已知 a5＝－1，a8＝2，求 a1 与 d； (2)已知 a1＋a6＝12，a4＝7，求 a9.
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[类题通法] 定义法是判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本方法， 其步骤为： (1)作差 an＋1－an； (2)对差式进行变形； (3)当 an＋1－an 是一个与 n 无关的常数时， 数列{an}是等差 数列； 当 an＋1－an 不是常数， 是与 n 有关的代数式时， 数列{an} 不是等差数列．
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[活学活用] 3．(1)已知数列 8，a,2，b，c 是等差数列，则 a，b，c 的值分别为________，________，________. (2)已知数列{an}满足 an－1＋an＋1＝2an(n≥2)，且 a2＝5， a5＝13，则 a8＝________.
解析：(1)因为 8，a,2，b，c 是等差数列， 8＋2＝2a， 所以a＋b＝2×2， 2＋c＝2b. a＝5， ∴b＝－1， c＝－4.
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法二：由 a7＝a3＋(7－3)d， 7 5 3 即－ ＝ ＋4d，解得 d＝－ . 4 4 4 5 3 31 ∴a15＝a3＋(15－3)d＝ ＋12×(－ )＝－ . 4 4 4
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[类题通法] 1．应用等差数列的通项公式求 a1 和 d，运用了方程的 思想．一般地，可由 am＝a，an＝b，
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等差中项
[提出问题] 问题：观察上面三个数列，每个数列的任意连续三项之 间有什么样的关系？
提示：前一项与后一项的和是中间项的 2 倍．
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[导入新知]
等差中项 如果三个数 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 a＋b A＝ 2 . b 的等差中项．这三个数满足的关系式是
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[化解疑难] a＋ b 1．A 是 a 与 b 的等差中项，则 A＝ 或 2A＝a＋ 2 b，即两个数的等差中项有且只有一个． 2．当 2A＝a＋b 时，A 是 a 与 b 的等差中项.
解：(1)由 a1＝8，d＝5－8＝－3，n＝20， 得 a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49. (2)由 a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4， 得这个数列的通项公式为 an＝－5－4(n－1)＝－4n－1， 由题意知，－401＝－4n－1. 得 n＝100，即－401 是这个数列的第 100 项．
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[活学活用] 1．已知等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，数列{bn}中，bn ＝3an＋4，问：数列{bn}是否为等差数列？并说明理由．
解：数列{bn}是等差数列． 理由：∵数列{an}是首项为 a1，公差为 d 的等差数列， ∴an＋1－an＝d(n∈N*)． ∴bn＋1－bn＝(3an＋1＋4)－(3an＋4)＝3(an＋1－an)＝3d. ∴根据等差数列的定义，数列{bn}是等差数列.
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等差数列的通项公式
[提出问题] 若一等差数列{an}的首项为 a1，公差是 d. 问题 1：试用 a1、d 表示 a2、a3、a4.
提示：a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，a4＝a1＋3d.
问题 2：由此猜想等差数列的通项公式 an.
提示：an＝a1＋(n－1)d.
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[导入新知]
等差数列的通项公式 已知等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d 递推公式 通项公式
∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5 ∴通项公式 an＝3n－5.(n∈N*)
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5 a3＝4， (2)法一：由 a7＝－7， 4 5 a1＋2d＝4， 得 a1＋6d＝－7. 4 11 3 解得 a1＝ ，d＝－ . 4 4 ∴a15＝a1＋(15－1)d 11 3 31 ＝ ＋14×(－ )＝－ . 4 4 4
a2＝1， 或 a4＝11.
时，a1＝16，d＝－5.
an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)· (－5) ＝－5n＋21.
a2＝1 当 a4＝11
时，a1＝－4，d＝5.
an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)· 5＝5n－9.
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[类题通法] a＋ c 三数 a，b，c 成等差数列的条件是 b＝ (或 2b＝a＋ 2 c) ，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问 题．如若证{an}为等差数列，可证 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)．
答案：B
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3．等差数列的第 3 项是 7，第 11 项是－1，则它的第 7 项 是________．
解析：设首项为 a1，公差为 d， 由 a3＝7，a11＝－1 得，a1＋2d＝7，a1＋10d＝－1，所以 a1 ＝9，d＝－1，则 a7＝3.
答案：3
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4．已知：1，x，y,10 构成等差数列，则 x，y 的值分别 为________．
高中数学高一年级必修5第二章第二节 等差数列
第一课时
等差数列
制作单位：沙市五中 作者：杨春亮 返 回
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等差数列的定义
[提出问题]
1．有一座楼房第一层的每级台阶与地面的高度(单位：cm) 依次为：16,32,48,64,80,96,112,128，„，320. 2．2012 年伦敦奥运会女子举重共设置 7 个级别，其中较轻 的 4 个级别体重(单位：kg)分别为：48,53,58,63. 3． 鞋的尺码， 按照国家规定， 有： 22,22.5,23,23.5,24,24.5， „
解析：∵an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)· 3＝3n－1.
答案：A
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2．等差数列的前 3 项依次是 x－1，x＋1,2x＋3，则其通项公 式为( ) B．an＝2n－3 D．an＝2n＋1
A．an＝2n－5 C．an＝2n－1
解析：∵x－1，x＋1,2x＋3 是等差数列的前 3 项， ∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得 x＝0. ∴a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3， ∴d＝2，∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3.
an－an－1＝d(n≥2) an＝ a1＋(n－1)d (n∈N*)
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[化解疑难] 由等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d 可得 an＝dn ＋(a1－d)，如果设 p＝d，q＝a1－d，那么 an＝pn＋q，其 中 p，q 是常数．当 p≠0 时，an 是关于 n 的一次函数；当 p＝0 时，an＝q，等差数列为常数列．
“课时达标检测”见 “课时跟踪检测(七 )”
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(2)由 an－1＋an＋1 ＝2an (n≥2)知，数列{an}是等差 数列，∴a2，a5，a8 成等差数列． ∴a2＋a8＝2a5，∴a8＝2a5－a2＝2×13－5＝21.
答案：(1)5
－1
－4
(2)21
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[随堂即时演练]
1．已知等差数列{an}的首项 a1＝2，公差 d＝3，则数列{an}的通 项公式为( A．an＝3n－1 C．an＝2n＋3 ) B．an＝2n＋1 D．an＝3n＋2
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问题 1：上面三组数构成数列吗？
提示：构成．
问题 2：若上面三组数构成数列，试观察它们从 2 项 起，每一项与前一项的差有什么特点？
提示：等于同一常数．
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[导入新知]
等差数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等 于 同一个 常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数 叫做等差数列的 公差 ，通常用字母 d 表示．
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等差数列的通项公式
[例 2] 通项公式 an. 5 7 (2)已知数列{an}为等差数列 a3＝ ，a7＝－ ，求 a15 的值． 4 4 (1)在等差数列{an}中，已知 a5＝10，a12＝31，求
[解]
(1)∵a5＝10，a12＝31，
a1＋4d＝10， a1＝－2， 则 ⇒ a1＋11d＝31， d＝3.
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[化解疑难]
1．“从第 2 项起”是指第 1 项前面没有项，无法与后续 条件中“与前一项的差”相吻合． 2．“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相 邻且后项减去前项”，强调了： ①作差的顺序；②这两项必 须相邻． 3．定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都 等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列.
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等差中项
[例 3] 已知等差数列{an}， 满足 a2＋a3＋a4＝18， a2a3a4
＝66.求数列{an}的通项公式．
[解]
在等差数列{an}中，
∵ a2＋a3＋a4＝18， ∴3a3＝18，a3＝6.
a2＋a4＝12 a4＝11， a2·
பைடு நூலகம்
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a2＝11 解得 a4＝1 a2＝11 当 a4＝1
a1＋ 5－1d＝－1， 解：(1)由题意，知 a1＋8－1d＝2. a1＝－5， 解得 d＝1. a1＋a1＋6－1d＝12， (2)由题意，知 a1＋4－1d＝7. a1＝1， 解得 d＝2.
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1. ∴a9＝2×9－1＝17.
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等差数列的判定与证明
[例 1] 判断下列数列是否为等差数列．
(1)在数列{an}中 an＝3n＋2； (2)在数列{an}中 an＝n2＋n.
[解]
(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)．由 n
的任意性知，这个数列为等差数列． (2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋ n)＝ 2n＋ 2，不是常 数，所以这个数列不是等差数列．
解析： 由已知， x 是 1 和 y 的等差中项， 即 2x＝1＋y ①， y 是 x 和 10 的等差中项，即 2y＝x＋10 由①，②可解得 x＝4，y＝7.
答案：4,7
②，
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5．在等差数列{an}中， (1)已知 a5＝－1，a8＝2，求 a1 与 d； (2)已知 a1＋a6＝12，a4＝7，求 a9.
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[类题通法] 定义法是判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本方法， 其步骤为： (1)作差 an＋1－an； (2)对差式进行变形； (3)当 an＋1－an 是一个与 n 无关的常数时， 数列{an}是等差 数列； 当 an＋1－an 不是常数， 是与 n 有关的代数式时， 数列{an} 不是等差数列．
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[活学活用] 3．(1)已知数列 8，a,2，b，c 是等差数列，则 a，b，c 的值分别为________，________，________. (2)已知数列{an}满足 an－1＋an＋1＝2an(n≥2)，且 a2＝5， a5＝13，则 a8＝________.
解析：(1)因为 8，a,2，b，c 是等差数列， 8＋2＝2a， 所以a＋b＝2×2， 2＋c＝2b. a＝5， ∴b＝－1， c＝－4.
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法二：由 a7＝a3＋(7－3)d， 7 5 3 即－ ＝ ＋4d，解得 d＝－ . 4 4 4 5 3 31 ∴a15＝a3＋(15－3)d＝ ＋12×(－ )＝－ . 4 4 4
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[类题通法] 1．应用等差数列的通项公式求 a1 和 d，运用了方程的 思想．一般地，可由 am＝a，an＝b，
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等差中项
[提出问题] 问题：观察上面三个数列，每个数列的任意连续三项之 间有什么样的关系？
提示：前一项与后一项的和是中间项的 2 倍．
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等差中项 如果三个数 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 a＋b A＝ 2 . b 的等差中项．这三个数满足的关系式是
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[化解疑难] a＋ b 1．A 是 a 与 b 的等差中项，则 A＝ 或 2A＝a＋ 2 b，即两个数的等差中项有且只有一个． 2．当 2A＝a＋b 时，A 是 a 与 b 的等差中项.
解：(1)由 a1＝8，d＝5－8＝－3，n＝20， 得 a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49. (2)由 a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4， 得这个数列的通项公式为 an＝－5－4(n－1)＝－4n－1， 由题意知，－401＝－4n－1. 得 n＝100，即－401 是这个数列的第 100 项．
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[活学活用] 1．已知等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，数列{bn}中，bn ＝3an＋4，问：数列{bn}是否为等差数列？并说明理由．
解：数列{bn}是等差数列． 理由：∵数列{an}是首项为 a1，公差为 d 的等差数列， ∴an＋1－an＝d(n∈N*)． ∴bn＋1－bn＝(3an＋1＋4)－(3an＋4)＝3(an＋1－an)＝3d. ∴根据等差数列的定义，数列{bn}是等差数列.
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等差数列的通项公式
[提出问题] 若一等差数列{an}的首项为 a1，公差是 d. 问题 1：试用 a1、d 表示 a2、a3、a4.
提示：a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d，a4＝a1＋3d.
问题 2：由此猜想等差数列的通项公式 an.
提示：an＝a1＋(n－1)d.
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等差数列的通项公式 已知等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d 递推公式 通项公式
∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5 ∴通项公式 an＝3n－5.(n∈N*)
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5 a3＝4， (2)法一：由 a7＝－7， 4 5 a1＋2d＝4， 得 a1＋6d＝－7. 4 11 3 解得 a1＝ ，d＝－ . 4 4 ∴a15＝a1＋(15－1)d 11 3 31 ＝ ＋14×(－ )＝－ . 4 4 4
a2＝1， 或 a4＝11.
时，a1＝16，d＝－5.
an＝a1＋(n－1)d＝16＋(n－1)· (－5) ＝－5n＋21.
a2＝1 当 a4＝11
时，a1＝－4，d＝5.
an＝a1＋(n－1)d＝－4＋(n－1)· 5＝5n－9.
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[类题通法] a＋ c 三数 a，b，c 成等差数列的条件是 b＝ (或 2b＝a＋ 2 c) ，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问 题．如若证{an}为等差数列，可证 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)．
答案：B
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3．等差数列的第 3 项是 7，第 11 项是－1，则它的第 7 项 是________．
解析：设首项为 a1，公差为 d， 由 a3＝7，a11＝－1 得，a1＋2d＝7，a1＋10d＝－1，所以 a1 ＝9，d＝－1，则 a7＝3.
答案：3
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4．已知：1，x，y,10 构成等差数列，则 x，y 的值分别 为________．
高中数学高一年级必修5第二章第二节 等差数列
第一课时
等差数列
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等差数列的定义
[提出问题]
1．有一座楼房第一层的每级台阶与地面的高度(单位：cm) 依次为：16,32,48,64,80,96,112,128，„，320. 2．2012 年伦敦奥运会女子举重共设置 7 个级别，其中较轻 的 4 个级别体重(单位：kg)分别为：48,53,58,63. 3． 鞋的尺码， 按照国家规定， 有： 22,22.5,23,23.5,24,24.5， „
解析：∵an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)· 3＝3n－1.
答案：A
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2．等差数列的前 3 项依次是 x－1，x＋1,2x＋3，则其通项公 式为( ) B．an＝2n－3 D．an＝2n＋1
A．an＝2n－5 C．an＝2n－1
解析：∵x－1，x＋1,2x＋3 是等差数列的前 3 项， ∴2(x＋1)＝x－1＋2x＋3，解得 x＝0. ∴a1＝x－1＝－1，a2＝1，a3＝3， ∴d＝2，∴an＝－1＋2(n－1)＝2n－3.
an－an－1＝d(n≥2) an＝ a1＋(n－1)d (n∈N*)
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[化解疑难] 由等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d 可得 an＝dn ＋(a1－d)，如果设 p＝d，q＝a1－d，那么 an＝pn＋q，其 中 p，q 是常数．当 p≠0 时，an 是关于 n 的一次函数；当 p＝0 时，an＝q，等差数列为常数列．
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an=a1+(n-1)d
等差数列的通项公式中包含四个量： an、a1、n、d
这四个量只需知道其中的三个就可以求出第四个.
例2.在等差数列{an}中， a5=10， （1）若a12=31，求a25 ； （2）若d=2，求a10； 解：（1）依题意得
a1+4d=10 a1+11d=31 解得 a1= - 2 , d = 3 ∴ a25=a1+24d = -2+24×3=70
解：a8=a1+7d=-1+7×4=27
（2）已知a1=15，an=3，d= -3，求n； 解：∵3=15-3(n-1) ∴n=5
（3）已知a1=8，a6=23，求d； 解：∵a6=a1+5d，即23=8+5d ∴ d=3
（4）已知d=2，a7=9，求a1； 解：∵a7=a1+6d 即9=a1+6×2 ∴a1=-3
拓展：在等差数列{an}中， 若a5=10，a12=31，求a25 。 解：设等差数列{an}的公差为d，则依题意有
d a12 a5 3110 3 12 5 7
∴ a25=a5+20d = 10+20×3=70
练习：在下列两个数中间再插入两个数，使这四个数组成 一个等差数列，（1）-1，5； （2）-12，0.
观察并发现：下面数列有什么共同特点？
(1)0,5，10，15，20，25，…
（2）鞋的尺寸，按照国家统一规定，有： 22，22.5，23，23.5，24，24.5，25，25.5，26，… （3）21，19，17，15，…… （4）3，3，3，3，……
(1)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 (2)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 0.5 (3)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2 (4)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 0
等差数列的通项公式中包含四个量： an、a1、n、d
这四个量只需知道其中的三个就可以求出第四个.
例2.在等差数列{an}中， a5=10， （1）若a12=31，求a25 ； （2）若d=2，求a10； 解：（1）依题意得
a1+4d=10 a1+11d=31 解得 a1= - 2 , d = 3 ∴ a25=a1+24d = -2+24×3=70
解：a8=a1+7d=-1+7×4=27
（2）已知a1=15，an=3，d= -3，求n； 解：∵3=15-3(n-1) ∴n=5
（3）已知a1=8，a6=23，求d； 解：∵a6=a1+5d，即23=8+5d ∴ d=3
（4）已知d=2，a7=9，求a1； 解：∵a7=a1+6d 即9=a1+6×2 ∴a1=-3
拓展：在等差数列{an}中， 若a5=10，a12=31，求a25 。 解：设等差数列{an}的公差为d，则依题意有
d a12 a5 3110 3 12 5 7
∴ a25=a5+20d = 10+20×3=70
练习：在下列两个数中间再插入两个数，使这四个数组成 一个等差数列，（1）-1，5； （2）-12，0.
观察并发现：下面数列有什么共同特点？
(1)0,5，10，15，20，25，…
（2）鞋的尺寸，按照国家统一规定，有： 22，22.5，23，23.5，24，24.5，25，25.5，26，… （3）21，19，17，15，…… （4）3，3，3，3，……
(1)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 (2)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 0.5 (3)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2 (4)从第2项起，每一项与前一项的差都等于 0
【优质课件】高中数学 2.2.1 等差数列 新人教A版必修5优秀课件.ppt
1
2
3
(1)定义中“每一项与它的前一项的差”的含义有两个:其一是强 调作差的顺序,即后面的项减前面的项;其二是强调这两项必须相邻. (2)公差 d∈R,当 d=0 时,数列为常数列;当 d>0 时,数列为递增数列;当 d<0
时,数列为递减数列.
【做一做 1】 等差数列 4,7,10,13,16 的公差是
.
答案:3
1
2
3
2.通项公式 等差数列{an}的首项是 a1,公差是 d,则通项公式是 an=a1+(n-1)d.
(1)如果数列{an}的通项公式是 an=pn+q(p,q 是常数),那么数列 {an}是等差数列. (2)如果数列{an}满足 2an=an-1+an+1(n>1,n∈N*),那么数列{an}是等差数列.
正解:因为 an=10+lg 2n=10+nlg 2, 所以 an+1=10+(n+1)lg 2.
所以 an+1-an=[10+(n+1)lg 2]-(10+nlg 2)=lg 2(n∈N*).所以数列{an}为等
差数列.
题型一
题型二
题型三
题型四
要说明一个数列为等差数列,必须说明从第 2 项起所有的项与其前 一项之差为同一常数,即 an+1-an=d 或 an-an-1=d(n≥2)恒成立,而不能只验证 有限个相邻两项之差相等.
(2)作差 an+1-an(或 an-an-1),将差变形; (3)当差 an+1-an(或 an-an-1)是一个与 n 无关的常数时,数列{an}是等差数列;当 差 an+1-an(或 an-an-1)不是常数,是与 n 有关的代数式时,数列{an}不是等差数 列.
人教A版高中数学必修五教学课件：2.2等差数列 (共23张PPT)
人教版数学必修5
2.2.1等差数列的定义 及通项公式
复习回顾: 数列的有关概念 一、请回答下列概念：
1. 数列的定义： 按一定次序排列的一列数叫做数列.
2. 数列的通项公式： 如果数列 an 的第n项 an 与n之间
的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这 个数列的通项公式. 3.数列的分类： （1）有穷数列和无穷数列
an a1 (n 1)d
a1 4d 10 a1 11d 31
这是一个以 a和1 为d未知数的二元一次方程组，解这个
方程组，得
a1 2 d 3
即这个等差数列的首项是-２，公差是３.
练一练
2. 在等差数列中
(1)已知a4 10, a7 19,求a1与d. a1 1, d 3
(2)已知a3 9, a92)
经检验，当n=1时上面的式子也成立。
所以an a1 (n 1)d (n 1)
迭加法
等差数列通项公式
an a1 (n 1)d
an a1 n d
这四个变量 ，知道其中三个 量就可以求余下的一个量．
知三求一
用一下
an a1 (n 1)d
例1 (1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。
解： a1 8, d 5 8 3, n 20 , a20 8 (20 1) (3) 49
(2) 等差数列 -5，-9，-13，…，的第几项是 –401？
解： a1 5, d 9 (5) 4, an 401,
因此， 401 5 (n 1) (4)
解得 n 100
练一练
你能根据以上规律 在（ ）内填上合适的 数吗？
(1) 10，15，20，25，30，（35 ），…
(2) 50， 60， 70，（ 8 0 ），… （3）1682，1758，1834，1910，1986，（ 2062）
2.2.1等差数列的定义 及通项公式
复习回顾: 数列的有关概念 一、请回答下列概念：
1. 数列的定义： 按一定次序排列的一列数叫做数列.
2. 数列的通项公式： 如果数列 an 的第n项 an 与n之间
的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这 个数列的通项公式. 3.数列的分类： （1）有穷数列和无穷数列
an a1 (n 1)d
a1 4d 10 a1 11d 31
这是一个以 a和1 为d未知数的二元一次方程组，解这个
方程组，得
a1 2 d 3
即这个等差数列的首项是-２，公差是３.
练一练
2. 在等差数列中
(1)已知a4 10, a7 19,求a1与d. a1 1, d 3
(2)已知a3 9, a92)
经检验，当n=1时上面的式子也成立。
所以an a1 (n 1)d (n 1)
迭加法
等差数列通项公式
an a1 (n 1)d
an a1 n d
这四个变量 ，知道其中三个 量就可以求余下的一个量．
知三求一
用一下
an a1 (n 1)d
例1 (1) 求等差数列8，5，2，…，的第20项。
解： a1 8, d 5 8 3, n 20 , a20 8 (20 1) (3) 49
(2) 等差数列 -5，-9，-13，…，的第几项是 –401？
解： a1 5, d 9 (5) 4, an 401,
因此， 401 5 (n 1) (4)
解得 n 100
练一练
你能根据以上规律 在（ ）内填上合适的 数吗？
(1) 10，15，20，25，30，（35 ），…
(2) 50， 60， 70，（ 8 0 ），… （3）1682，1758，1834，1910，1986，（ 2062）
高中数学人教A版必修5：2.2.1等差数列的概念通项公式 课件(共15张PPT)
复习回顾
等差数列三大基本题型：
1、知三求一（ a1, d, n, an ）
2、等差数列性质的应用 3、等差数列的证明
题型三：等差数列的证明
题型三：等差数列的证明
题型三：等差数列的证明
已知数列an 满足 a1
4, an
4
4 an1
(n
1), 记 bn
1 an
2
（1）求证：数列bn 是等差数列
则a
，b
，c
知识点二：等差数列的性质及其应用
练习 3：已知 a 1, 17 a,3 这 3 个数构成一个等差数列， 2
则a
知识点二：等差数列的性质及其应用
练习 4：已知是等差数列， a3 a5 18, a4 a8 24 则d
复习回顾
1、等差数列的定义：an1 an d n N
知识点一：等差数列的通项公式及其应用
例 1：已知等差数列an 中， a1 2, d 3 ，求数列an 的通项公式
知识点一：等差数列的通项公式及其应用
练习 1：已知数列 an 满足， a1 4, an1 an 2 ， 求数列an 的通项公式
知识点一：等差数列的通项公式及其应用
练习 2：在等差数列an 中
2、等差数列的通项公式：an ,b 三个数成等差数列 A 是 a, b 的等差中项
4、等差数列的性质:（1） d an am 2A a b
nm （2） 2an anr anr
（3） m n p q am an ap aq
（1）
求证：数列
1 an
1
是等差数列
（2） 求 an
（1）已知 a1 8, a9 2 ，求 d 和 a14 （2）已知 a3 a5 18, a4 a8 24 ，求 d
人教版高中数学必修52.2等差数列(一)课件
(注：判断一个数列是等差数列的第2种方法，可称之为通项公式法)
an a1 (n 1)d
求通项公式的关键步骤：
求基本量a1和d ：根据已知条件列方程，由 此解出a1和d ，再代入通项公式。
像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出 方程求解的思想方法，称方程思想。 这是数学中的常用思想方法之一。
【课堂小结】
§
探要点·究所然 情境导学
第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年 举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算.这样举行 奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？ 这个数列叫什么数列呢？本节我们就来一起研究这个问 题.
思考1 下面我们来看这样的一些数列： (1)0,5,10,15,20. (2)48,53,58,63. (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5. (4)10 072,10 144,10 216,10 288,10 360. 以上四个数列有什么共同的特征？
1. 通过本节学习，第一要理解与掌握等差数列的定义；
2.要会推导等差数列的通项公式,并掌握其基本应用； （方程思想）. 3.理解等差数列的初步证明(归纳、叠加法）；
4.等差数列与一次函数的关系（数列与函数的关系）。
谢谢观看
探究点二 等差中项
如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的 等差中项，试用x，y表示A.
例2 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五 个数成等差数列，求此数列.
跟踪训练2 若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差 中项为5，求m和n的等差中项.
例3 在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通
当堂测·查疑缺
1.已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d 为( )
an a1 (n 1)d
求通项公式的关键步骤：
求基本量a1和d ：根据已知条件列方程，由 此解出a1和d ，再代入通项公式。
像这样根据已知量和未知量之间的关系，列出 方程求解的思想方法，称方程思想。 这是数学中的常用思想方法之一。
【课堂小结】
§
探要点·究所然 情境导学
第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年 举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算.这样举行 奥运会的年份数构成一个数列，这个数列有什么特征呢？ 这个数列叫什么数列呢？本节我们就来一起研究这个问 题.
思考1 下面我们来看这样的一些数列： (1)0,5,10,15,20. (2)48,53,58,63. (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5. (4)10 072,10 144,10 216,10 288,10 360. 以上四个数列有什么共同的特征？
1. 通过本节学习，第一要理解与掌握等差数列的定义；
2.要会推导等差数列的通项公式,并掌握其基本应用； （方程思想）. 3.理解等差数列的初步证明(归纳、叠加法）；
4.等差数列与一次函数的关系（数列与函数的关系）。
谢谢观看
探究点二 等差中项
如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的 等差中项，试用x，y表示A.
例2 在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五 个数成等差数列，求此数列.
跟踪训练2 若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差 中项为5，求m和n的等差中项.
例3 在等差数列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通
当堂测·查疑缺
1.已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d 为( )
高中数学 2.2.1 等差数列课件 新人教A版必修5
1
bn=
.
-2
问题
(wèntí)导
学
课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU
当堂(dānɡ
tánɡ)检测
(1)证明:∵bn+1-bn=
-2
2( -2)
课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE
1
+1 -2
1
-2
−
=
1
4
4- -2
−
1
-2
=
2( -2)
关系?
提示:由等差数列的通项公式得 an=a1+(n-1)d,am=a1+(m-1)d,所以
an-am=a1+(n-1)d-a1-(m-1)d=(n-m)d.
第八页，共31页。
问题(wèntí)
导学
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
当堂(dānɡ
3.记住等差中项的概念,并能进行简单的应用.
重点难
点
重点:等差数列的定义、通项公式、等差中项及应用;
难点:等差数列概念的理解,归纳法求通项,及如何判定数列为等差
数列.
第三页，共31页。
目标(mùbiāo)
导航
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
(1)证明:由已知 an+1=2an+2n 得
bn+1= +1
2
=
2 +2
2
高中数学必修5课件：第2章2-2-1等差数列
第二章 数列
解析： (1)证明：bn＋1－bn＝an＋11－2－an－1 2 ＝4－a41n－2－an－1 2＝2aan－n 2－an－1 2 ＝2aann－－22＝12. 又b1＝a1－1 2＝12， ∴数列{bn}是首项为12，公差为12的等差数列．
数学 必修5
第二章 数列
(2)由(1)知bn＝12＋(n－1)×12＝12n. ∵bn＝an－1 2，∴an＝b1n＋2＝2n＋2. ∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋2.
数学 必修5
第二章 数列
[规范解答] 方法一：设等差数列{an}的前三项分别为
a1，a2，a3.依题意得aa11·＋a2a·a23＋＝a63＝6，18，
∴a31a·1＋a1＋3dd＝·1a81，＋2d＝66，
2分
解得ad1＝＝－115 或ad1＝＝51.，
6分
数学 必修5
第二章 数列
∵数列{an}是递减等差数列，∴d<0. 故取a1＝11，d＝－5， ∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16. 即等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16. 令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10. ∴－34是数列{an}的项，且为第10项.
由aa190<>11，， 得221155＋＋98dd><11，，
解得785<d<235.
故选 C. 【错因】 在解决本题时，必须深刻理解“从第10项起开
始比1大”的含义．尤其是“开始”这个词，它不仅表明 “a10>1”，而且还隐含了“a9≤1”这一条件，所对上述两个错 解都未从题干中彻底地挖掘出隐含条件．
第二章 数列
4．已知三个数成等差数列，它们的和为18，它们的平方 和为116，求这三个数．
人教A版高中数学必修五2.2.1等差数列课件
得到数列： 6000，6500，7000，7500， 8000，8500，9000
引例三
耐克运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm）
1 22
2
，23，
1 23
2
，24，
24
1 2
，25，
25 1 ，26 2
得到数列：
22 1 2
，23，
23
1 2
，24，
24
1 2
，25，
25 1 ，26 2
引例四
如果三个数a,A,b组成等差数列，那么A叫做a与b的等 差中项。
如果A是a和b的等差中项，则2A=a+b.
容易看出，在一个等差数列中，从第2项起，每一项 （有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项 的等差中项；
反之，如果一个数列从第2项起，每一项（有穷数列 的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项， 那么这个数列是等差数列。
答：需要支付车费23.2元。
例 已知数列 an 的通项公式是an 3n 1 ， 求证：数列 an 为等差数列.
证明 ： an1 an 3(n 1) 1 3n 1
3(常数）
数列 an 为等差数列.
an = a1+(n-1)d=dn+(a1-d) 令 d=p , a1-d=q 则 an = pn+q
另解: 由 an=am+(n－m)d 得 a20-a5=(20-5)d=-15 即 d=-1
所以 an=a5+(n-5)(-1)=-n-15
例2 某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元， 即最初的4km（不含4km）计费10元。如果某人乘坐该 市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时 间为0，需要支付多少车费？
引例三
耐克运动鞋（女）的尺码（鞋底长，单位是cm）
1 22
2
，23，
1 23
2
，24，
24
1 2
，25，
25 1 ，26 2
得到数列：
22 1 2
，23，
23
1 2
，24，
24
1 2
，25，
25 1 ，26 2
引例四
如果三个数a,A,b组成等差数列，那么A叫做a与b的等 差中项。
如果A是a和b的等差中项，则2A=a+b.
容易看出，在一个等差数列中，从第2项起，每一项 （有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项 的等差中项；
反之，如果一个数列从第2项起，每一项（有穷数列 的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项， 那么这个数列是等差数列。
答：需要支付车费23.2元。
例 已知数列 an 的通项公式是an 3n 1 ， 求证：数列 an 为等差数列.
证明 ： an1 an 3(n 1) 1 3n 1
3(常数）
数列 an 为等差数列.
an = a1+(n-1)d=dn+(a1-d) 令 d=p , a1-d=q 则 an = pn+q
另解: 由 an=am+(n－m)d 得 a20-a5=(20-5)d=-15 即 d=-1
所以 an=a5+(n-5)(-1)=-n-15
例2 某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元， 即最初的4km（不含4km）计费10元。如果某人乘坐该 市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时 间为0，需要支付多少车费？
人教版高中数学必修五等差数列课件
你能根据规律在（ ） 内填上合适的数吗？
（1）0，5，10，15，20，（ 25 ）. （2） 32, 25.5, 19, 12.5, 6, …, （-20）. （3） 1，4，7，10，（ 13 ），16，…
(4) 2， 0， -2， -4， -6，（ -8 ）…
它们的共同特点是？
d=5
( 1 ) 0,5，10，15，20，（25）
（3）-8，-6，-4，-2，0，… 是 a1=-8,d=2
（4）3，3，3，3，…
是 a1=3,d=0
(5)1, 1 , 1 , 1 , 1 ,
不是
2345
（6）15，12，10，8，6，…
不是
人教版高中数学必修五2.2等差数列（ 第一课 时）课 件
探究性问题1：
在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个
人教版高中数学必修五2.2等差数列（ 第一课 时）课 件
练习二
人教版高中数学必修五2.2等差数列（ 第一课 时）课 件
（1）求等差数列3,7,11…的第4项与第10项；
（2）判断100是不是等差数列`2，9，16，…的项？ 如果是，是第几项，如果不是，说明理由。
解：（1）根据题意得： （2）由题意得：
通项公式
人教版高中数学必修五2.2等差数列（ 第一课 时）课 件
已知等差数列｛an｝的首项是a1，公差是d
a2-a1=d
累加法
a3-a2=d a4-a3=d
……
an-an-1=d
（1） （2） （3）
（n-1）
(1)式+(2)式+…+(n-1)式得：
an-a1=（n-1）d，即 an=a1+（n-1）d
高中数学人教版必修5等差数列 课件PPT
2．若 m 与 2n 的等差中项为 4,2m 和 n 的等差中项为 5，则 m 与 n 的 等差中项是________． 解析：由 m 和 2n 的等差中项为 4，得 m＋2n＝8. 又由 2m 和 n 的等 差中项为 5，得 2m＋n＝10，两式相加，得 m＋n＝6，所以 m 与 n 的等差中项为m＋2 n＝62＝3. 答案：3
2 A.n＋1
B.23n－1
C.23n
2 D.n＋2
[解析] 因为 a1＝1，a2＝23， 所以a12－a11＝32－1＝12. 因为an1－1＋an1＋1＝a2n(n≥2)， 所以an1＋1－a1n＝a1n－an1－1(n≥2)．
所以数列a1n是首项为 1，公差为12的等差数列． 所以a1n＝1＋12(n－1)＝n＋2 1， 所以 an＝n＋2 1. [答案] A
A.13，15，17，19
B．1， 3， 5， 7
C．1，－1,1，－1
D．0,0,0,0
答案：D
4．等差数列 1，－3，－7，－11，…的通项公式是________，它的 第 20 项是________． 解析：数列中 a2＝－3，a1＝1，∴d＝a2－a1＝－4. 通项公式为 an＝a1＋(n－1)×d ＝1＋(n－1)×(－4) ＝－4n＋5， a20＝－80＋5＝－75. 答案：an＝－4n＋5 －75
4．设{an}为等差数列，若 a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝420，则 a1＋ a9＝________. 解析：∵a2＋a8＝a3＋a7＝a4＋a6＝2a5. ∴a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝7a5＝420. ∴a5＝60. a1＋a9＝2a5＝2×60＝120. 答案：120
探究二 等差中项及其应用 [典例 2] (1)在－1 与 7 之间顺次插入三个数 a，b，c 使这五个数成 等差数列，求此数列． (2)已知数列{xn}的首项 x1＝3，通项 xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q 为常数)， 且 x1、x4、x5 成等差数列，求：p，q 的值．