第八章 含互感电路的分析

第八章 含 互感电路的分析
8.2-2 图8.2-3(a)为互感线圈的并联，其中a,c端为同名端，求 端子1、 2间的等效电感Leq。
图8.2-3互感线圈并联
第八章 含 互感电路的分析
解 应用互感T型去耦等效，将(a)图等效为(b)图(要特别注 意等效端子，将(a), (b)图中相应的端子都标上)。应用无互 感的电感串、并联关系，由(b)图可得
Z11' = jω (1 − k ) L1
2
第八章 含 互感电路的分析
证明(二 证明 二)
Z11' = ( L1 − M ) + M //( L2 − M ) M ( L2 − M ) = L1 − M + L2 − M + M L1L2 − ML2 + ML2 − M 2 = L2 L1L2 M2 1 − = LL L2 1 2
第八章 含 互感电路的分析
在Baidu Nhomakorabea≥2s时
i1 (t ) = 0
uab = 0, ubc = 0, uac = 0, ude = 0
100t + 50V uac (t ) = − 100t + 150V 0
0 < t ≤ 1s 1 < t ≤ 2s 其余 0 < t ≤ 1s 1 < t ≤ 2s 其余
di1 (t ) ubc (t ) = L1 dt
di1 (t ) uac (t ) = uab (t ) + ubc (t ) = R1i1 (t ) + L1 dt
第八章 含 互感电路的分析
在0≤t≤1 s时
i1 (t ) = 10t A
(由给出的i1(t)波形写出)
uab (t ) = R1i1 (t ) = 10 ⋅ 10t = 100t V di1 d ubc (t ) = L1 = 5 (10t ) = 50 V dt dt uac (t ) = uab (t ) + ubc (t ) = 100t + 50 V di1 d (10t ) ude (t ) = M =1 = 10 V dt dt
解
di1 di2 u1 = − L1 −M dt dt di2 di1 u2 = L2 +M dt dt
di1 di2 u1 = − L1 −M dt dt di2 di1 u2 = L2 +M dt dt
第八章 含 互感电路的分析
§8 - 2
含耦合电感的正弦交流电路的分析
ɺ ( R2 + RL + jωL2 )U s ɺ I1 = ( R1 + jωL1 )( R2 + RL + jωL2 ) + ω 2 M 2 ɺ − jω M U s ɺ I2 = ( R1 + jωL1 )( R2 + RL + jωL2 ) + ω 2 M 2
第八章 含 互感电路的分析
8.3.2 空心变压器的等效电路分析
第八章 含 互感电路的分析
图 8.1-4 磁通相消的耦合电感
第八章 含 互感电路的分析
ψ 1 = ψ 11 − ψ 12 ψ 2 = ψ 22 − ψ 21
dψ 1 di1 di2 u1 = = L1 −M dt dt dt dψ 2 di2 di1 u2 = = L2 −M dt dt dt
当电流分别从两线圈各自的某端同时流入(或流出)时，若 两者产生的磁通相助，则这两端称为两互感线圈的同名端， 用标志“·”或“*”表示。
ɺ ɺ ɺ ( R1 + jωL1 ) I1 + jωMI 2 = U s
ɺ ɺ jωMI1 + ( R2 + RL + jωL2 ) I 2 = 0
ɺ ɺ ɺ Z11 I1 + Z12 I 2 = U s ɺ ɺ Z 21 I1 + Z 22 I 2 = 0
第八章 含 互感电路的分析
=
ω 2M 2
R22 + jX 22 Rf 1 =
=
ω 2 M 2 R22
R +X
2 22 2 22
−j
ω 2 M 2 X 22
2 2 R22 + X 22
= R f 1 + jX f 1
ω 2M 2
R +X
2 22 2 22 2 22
R22 X 22
X f1 = −
ω 2M 2
R +X
2 22
第八章 含 互感电路的分析
图 8.1-3 磁通相助的耦合电感
第八章 含 互感电路的分析
ψ 1 = ψ 11 + ψ 12 = L1i1 + Mi2 ψ 2 = ψ 22 + ψ 21 = L2i2 + Mi1
dψ 1 di1 di2 u1 = = L1 +M dt dt dt dψ 2 di2 di1 u2 = = L2 +M dt dt dt
第八章 含 互感电路的分析
di1 di2 u1 = L1 +M dt dt di2 di1 u2 = L2 +M dt dt
图8.1-5 互感线圈的同名端
第八章 含 互感电路的分析
di1 di2 u1 = L1 −M dt dt di2 di1 u2 = L2 −M dt dt
图 8.1-6 磁通相消情况互感线圈
图8.1-8 例8.1-1用图
第八章 含 互感电路的分析
解 由于第2个线圈开路，其电流为零，所以R2上电压 为零，L2上自感电压为零，L2上仅有电流i1在其上产生的 互感电压。这一电压也就是d , e开路时的电压。根据i1的 参考方向及同名端位置，可知
di1 (t ) ude (t ) = M dt
第八章 含 互感电路的分析
图8.1-7 互感线圈同名端的测定
第八章 含 互感电路的分析
例 8.1-1 图 8.1-8(a) 所 示 电 路 ， 已 知 R1=10 ， L1=5H, L2=2H, M=1H，i1(t)波形如图8.1-8(b)所示。试求电流源两端 电压uac(t)及开路电压ude(t)。
i2
N1φ12 N 2φ21 = i1 i1 i2
N1φ11 N 2φ22 ≤ = L1L2 i1 i2
M ≤ L1L2
M = k L1L2
k= M L1L2
第八章 含 互感电路的分析
图 8.1-2 耦合系数k与线圈相互位置的关系
第八章 含 互感电路的分析
8.1.2 耦合电感线圈上的电压、电流关系 耦合电感线圈上的电压、
第八章 含 互感电路的分析
图8.3-3 次级等效电路
ɺ ɺ − jωMI1 − jωMI1 ɺ I2 = = Z 22 R 2 + jω L 2 + Z L
第八章 含 互感电路的分析
例8.3-1 互感电路如图8.3-4(a)所示，使用在正弦稳态电 路中，图中L1、L2和M分别为初级、次级的电感及互感。将 互感电路的次级22′短路，试证明该电路初级端11′间的等效 阻抗
ɺ I1 =
ɺ Us Z11 +
ω 2M 2
Z 22
Z ref =
ω 2M 2
Z 22
ɺ Us ɺ I1 = Z11 + Z f 1
第八章 含 互感电路的分析
图 8.3-2 初级等效电路
第八章 含 互感电路的分析
设次级回路自阻抗
Z 22 = R22 + jX 22
Z ref =
ω 2M 2
Z 22
在电工技术中，常需要用变压器作为能量传输器件或信 号转换器，变压器一般由两个或两个以上有磁耦合的线 圈组成。 8.3.1 空心变压器电路
接电源——初级（原 边）线圈 接负载——次级（副 边）线圈
图8.3-1 空心变压器电路
第八章 含 互感电路的分析
由KVL得
di2 di1 ( RL + R2 )i2 + L2 +M = 0 dt dt di1 di2 R1i1 + L1 +M = us dt dt
L11' = (1 − k ) L1
2
L11' = jω (1 − k 2 ) L1
第八章 含 互感电路的分析
例 8.3-2 ωL1=30 ,
图 8.3-5(a) 所 示 互 感 电 路 ， 已 知 R1=7.5 ,
1 =22.5 , R2=60 , ωL2=60 , ωM=30 , ωC1
ɺ ɺ ɺ U s =15∠0°V。求电流 I1 , I 2 , R2上消耗的功率P2。
ɺ U s Z12 ɺ I1 = 0 Z 22 ɺ ɺ Z 22U s Z 22U s = = Z11Z 22 − Z12 Z 21 Z11Z 22 + ω 2 M 2
Z11 Z12 Z 21 Z 22
ɺ ɺ Z 21 ɺ − Z 21U s − jωMU s ɺ I2 = I1 = = Z 22 Z11Z 22 − Z12 Z 21 Z11Z 22 + ω 2 M 2
图8.3-5 例8.3-2用图
10V ude (t ) = − 10V 0
第八章 含 互感电路的分析
例8.1-2 图 8.1-9所示互感线圈模型电路，同名端位置 及各线圈电压、电流的参考方向均标示在图上，试列写出 该互感线圈的电压、电流关系式(指微分关系)。
图8.1-9 例8.1-2用图
第八章 含 互感电路的分析
第八章 含 互感电路的分析
第八章 互感与理想变压器
第八章 含 互感电路的分析
第八章 互感与理想变压器
8.1 耦合电感元件 8.2 含耦合电感正弦交流电路的分析 8.3 空心变压器分析 8.4 耦合电感的去耦等效电路分析 8.5 理想变压器
第八章 含 互感电路的分析
8.1 耦合电感元件
8.1.1 耦合电感的基本概念
一、基本分析 分析含耦合电感的正弦交流电路，可以将耦合电感看 作是两条支路，每条支路均由两个元件组成。一个元 件是本线圈的自感抗，体现线圈的自感电压，一个元 件是受控电压源，体现线圈中的互感电压。控制量是 产生这个互感电压的另一个线圈的电流的相量，控制 系数为互感。
图8.2-1
第八章 含 互感电路的分析
从初级端看的输入阻抗
ɺ U1 ω 2M 2 Z in = = Z11 + Z ref = Z11 + ɺ I1 Z 22
ɺ − jωMI1 ɺ I2 = Z 22
ɺ 应当清楚，该等效电路必须在求得了初级电流 I 1的前提下 才可应用来求电流 Iɺ , 特别应注意的是，等效源的极性、 大
2
小及相位与耦合电感的同名端、初, 次级电流参考方向有关
图 8.1-1耦合电感元件
第八章 含 互感电路的分析
ψ 12 = N1φ12 ψ 21 = N 2φ21
M 21 = M 12 =
ψ 21
i1
ψ 12
i2
M 12 = M 21
M ≤ L1L2
第八章 含 互感电路的分析
φ12≤φ22, φ21≤φ11， 所以
M = M 12 M 21 =
2
ψ 12 ψ 21
第八章 含 互感电路的分析
在1≤t≤2s时
i1 (t ) = −10t + 20 A
uab (t ) = R1i1 (t ) = 10 ⋅ ( −10t + 20) = 100t + 200V di1 d ubc (t ) = L1 = 5 ( −10t + 20) = −50 V dt dt uac (t ) = uab (t ) + ubc (t ) = −100t + 150 V di1 d ( −10t + 20) udc (t ) = M =1 = −10 V dt dt
Leq = M + ( L1 − M ) //( L2 − M ) ( L1 − M )( L2 − M ) L1L2 − M 2 =M+ = L1 + L2 − 2 M L1 + L2 − 2 M
L1L2 − M Leq = L1 + L2 + 2 M
2
第八章 含 互感电路的分析
8.3 空心变压器分析
Z11' = jω (1 − k 2 ) L1
其中
k=
M L1L 2
第八章 含 互感电路的分析
图8.3-4 例8.3-1用图
第八章 含 互感电路的分析
证明(一 证明 一) 由图可知
Z11 = jωL1 , Z 22 = jωL2
Zf1 =
ω 2M 2
Z 22
M2 = − jω 2 L2
Z11'
M2 = Z11 + Z f 1 = jωL1 − jω L2 M2 = jωL1 1 − LL 1 2
二、举例说明含耦合电感的正弦交流电路的分析 8.2.1 耦合电感的串联等效
图8.2-2 互感线圈顺接串联
第八章 含 互感电路的分析
用耦合电感的含受控源等效电路代替原耦合电感后 的电路为 ɺ ɺ ɺ ɺ U = jωL1 I + jωMI + jωL 2 I + jωMI ɺ = jω ( L1 + L 2 + 2M ) I ∴L=L1+L2+2M