2021高考复习 机械能守恒定律考点微专题6 多物体系统机械能守恒定律(2)轻杆连接体模型

《机械能守恒定律》考点微专题6 系统机械能守恒问题(2)

轻杆连结体模型

一、知能掌握

对于存在相互作用的多个物体组成的系统而言，由于有内力做功，单个物体的机械能往往不守恒，因此要首先判断哪个系统的机械能守恒，然后合理选取系统，再利用机械能守恒定律列式求解.一般来说:

(1)当只有重力做功时，可选取一个物体(其实是物体与地球构成的系统)作为研究对象.

(2)当物体之间有弹力做功时，必须将这几个物体构成的系统作为研究对象(使这些弹力成为系统内力). （一）由两个或两个以上的物体所构成的系统，其机械能是否守恒，要看两个方面

1.系统以外的力是否对系统对做功，系统以外的力对系统做正功，系统的机械能就增加，做负功，系统

的机械能就减少。不做功，系统的机械能就不变。

2.系统间的相互作用内力做功，不能使其它形式的能参与和机械能的转换。系统内物体的重力所做的功不会改变系统的机械能

系统间的相互作用力分为三类：

①刚体产生的弹力：比如轻绳的弹力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力等

②弹簧产生的弹力：系统中包括有弹簧，弹簧弹力在整个过程中做功，弹性势能参与机械能的转换。

③其它力做功：比如炸药爆炸产生的冲击力，摩擦力对系统对功等。

在前两种情况中，轻绳的拉力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力做功，使机械能在相互作用的两物体间进行等量的转移，系统的机械能还是守恒的。虽然弹簧的弹力也做功，但包括弹性势能在内的机械能也守恒。但在第三种情况下，由于其它形式的能参与了机械能的转换，系统的机械能就不再守恒了。

（二）系统的机械能守恒问题有以下四个题型：

1.轻绳连体类

这一类题目，系统除重力以外的其它力对系统不做功，系统内部的相互作用力是轻绳的拉力，而拉

力只是使系统内部的机械能在相互作用的两个物体之间进行等量的转换，并没有其它形式的能参与机械

能的转换，所以系统的机械能守恒。系统机械能守恒并非每个物体机械能守恒，因为细绳对系统中的每

一个物体都要做功。

解这类问题时，要注意二个方面：

首先，寻找轻绳连接的两物体间的速度关系和位移关系（一些问题中轻绳连接的两个物体的运动速

率大小相等，另一些问题中两物体的速率并不相等，这时就需要先进行运动的合成与分解找出两物体运

动速度之间的关系），进而找到系统重力势能的变化，确定初末状态的动能；

其次，列机械能守恒方程时，一般选用ΔE k＝－ΔE p的形式．

2.轻杆连体类

这一类题目，系统除重力以外的其它力对系统不做功，物体的重力做功不会改变系统的机械能，系统内部的相互作用力是轻杆的弹力，而弹力只是使系统内部的机械能在相互作用的两个物体之间进行等量的转换，并没有其它形式的能参与机械能的转换，所以系统的机械能守恒。系统机械能守恒并非每个物体机械能守恒，因为轻杆对系统中的每一个物体都要做功。

解这类问题时，要注意三个方面：

首先，是寻找轻杆连接的两物体间的速度关系和位移关系，进而找到系统重力势能的变化，确定初末状态的动能．

其次，列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp的形式．

最后，轻杆对物体提供的弹力不一定沿着杆，轻杆的弹力也就不一定与速度方向垂直，轻杆的弹力对一个物体做了正功，就对另一物体做了负功，并且绝对值相等.

①模型构建：轻杆两端(或两处)各固定一个物体，整个系统一起沿斜面运动或绕某点转动，该系统即为机械能守恒中的轻杆模型．

②模型特点：

A.忽略空气阻力和各种摩擦．

B.平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等．

C.杆对物体的作用力并不总是指向杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒．

D.对于杆和物体组成的系统，没有外力对系统做功，系统的总机械能守恒．

③注意问题：

A.明确轻杆转轴的位置，从而确定两物体的线速度是否相等．

B.杆对物体的作用力方向不再沿着杆，故单个物体的机械能不守恒．

C.杆对物体做正功，使其机械能增加，同时杆对另一物体做负功，使其机械能减少，系统的机械能守恒．

3.轻弹簧连接体类

由弹簧相连的物体系统，在运动过程中既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧弹性势能相互转化或转移，而总的机械能守恒．注意对轻弹簧连接的系统机械能守恒并非每个物体机械能守恒，因为轻弹簧对系统中的每一个物体都要做功；

求解这类问题时，要注意四个方面：

首先以弹簧遵循的胡克定律为分析问题的突破口：弹簧伸长或缩短时产生的弹力的大小遵循F＝kx和ΔF＝kΔx.

其次，以弹簧的弹力做功为分析问题的突破口：弹簧发生形变时，具有一定的弹性势能．弹簧的弹性势能与弹簧的劲度系数、形变量有关，但是在具体的问题中不用计算弹性势能的大小，弹簧的形变量相同的时候弹性势能相同，通过运算可以约去．当题目中始、末都不是弹簧原长时，要注意始、末弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应，即伸长量或压缩量，而力的位移就可能是两次形变量之和或之差.当初末状态弹簧的形变量变化相同时，弹性势能的而变化量也相同。

再次，在相互作用过程特征方面，弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大．

最后，如果系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧由静止释放)．

4.在水平面上可以自由移动的光滑圆弧（滑块类）类或悬点在水平面上可以自由移动的摆动类。

光滑的圆弧放在光滑的水平面上，不受任何水平外力的作用，物体在光滑的圆弧上滑动，这一类的题目，也符合系统机械能守恒的外部条件和内部条件，在动量专题中用具体的例子来说明悬挂小球的细绳系在一个不受任何水平外力的物体上，当小球摆动时，物体能在水平面内自由移动，

这一类的题目和在水平面内自由移动的光滑圆弧类形异而质同，同样符合系统机械能守恒的外部条件和内部条件，在动量专题中用用具体的例子来说明

（三）多物体机械能守恒问题解题步骤（选对象、析动力析功能、列方程、求结果）

1.选对象：正确选取研究对象（合适的系统）

2.建模型：对各物体或系统进行受力分析、运动分析、做功分析、能量转化分析，判断守恒的条件，搞清楚各种形式的能量的初末态

3.列方程：正确选取机械能守恒定律常用的表达形式，一般选用ΔE k＝－ΔE p的形式，ΔE A增＝ΔE B减．．

注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．

4.求结果：求解结果并对结果检验讨论．

（四）多物体机械能守恒问题分析技巧

1．对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒．

2．注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．

3．列机械能守恒方程时，一般选用ΔE k＝－ΔE p或ΔE A＝－ΔE B的形式．

二、探索提升

题型一轻杆连结的物体的速度大小相等

【典例1】(2019年烟台模拟)如图1所示，可视为质点的小球A和B用一根长为0.2 m的轻杆相连，两球质量相等，开始时两小球置于光滑的水平面上，并给两小球一个2 m/s的初速度，经一段时间两小球滑上一个倾角为30°的光滑斜面，不计球与斜面碰撞时的机械能损失，g取10 m/s2，在两小球的速度减小为零的过程中，下列判断正确的是( )

图1

A．杆对小球A做负功 B．小球A的机械能守恒

C．杆对小球B做正功 D．小球B速度为零时距水平面的高度为0.15 m

【答案】D

【解析】由题意可知，A、B两球在上升中重力做负功，做减速运动；假设没有杆连接，则A上升到斜面时，B还在水平面上运动，即A在斜面上做减速运动，B在水平面上做匀速运动，因有杆存在，所以是B推着A上升，因此杆对A做正功，故A错误；因杆对A球做正功，故A球的机械能不守恒，故B错误；由以上分析可知，杆对球B做负功，故C错误；根据系统机械能守恒，可得：mgh＋mg·(h＋L sin30°)＝

1

2

×2mv2，解得B球距水平面的高度h＝0.15 m，故D正确．

【典例2】（2020·黑龙江省伊春市二中高三上学期期末）如图2所示,半径为R的竖直光滑1

4

圆轨道与光

滑水平面相切，质量均为m的小球A、B与轻杆连接,置于圆轨道上，A位于圆心O的正下方,B与O等高。让它们由静止释放,最终在水平面上运动。下列说法正确的是( )

图2

A. 当B 球滑到圆轨道最低点时，轨道对B 球的支持力大小为3mg

B. 下滑过程中重力对B 球做功的功率先增大后减小

C. 下滑过程中B 球的机械能增加

D. 整个过程中轻杆对A 球做功

1

2

mgR 【答案】BD

【解析】A ．AB 小球组成的系统，在运动过程中，机械能守恒，设B 到达轨道最低点时速度为v ，根据机

械能守恒定律得：2

1()2m m v mgR +=，解得：v =在最低点，根据牛顿第二定律得：2v N mg m R

-= 解得：N =2mg ，故A 错误；B ．因为初位置速度为零，则重力的功率为0，最低点速度方向与重力的方向垂直，重力的功率为零，可知重力的功率先增大后减小，故B 正确；C ．下滑过程中B 的重力势能减小

P E mgR ?=，动能增加量为：2K 1122

E mv mgR ?=

=，所以机械能减小1

2mgR ，故C 错误；D ．整个

过程中对A 根据动能定理得：211

22

W mv mgR =

=，故D 正确。故选BD 【典例3】(2019年济南模拟)半径为R 的光滑圆环竖直放置，环上套有两个质量分别为m 和3m 的小球A 和B .A 、B 之间用一长为2R 的轻杆相连，如图3所示．开始时，A 、B 都静止，且A 在圆环的最高点，现将A 、B 释放，试求：

(1)B 球到达最低点时的速度大小；

(2)B 球到达最低点的过程中，杆对A 球做的功； (3)B 球在圆环右侧区域内能达到的最高点位置．

图3

【答案】(1)2gR (2)0 (3)高于O 点

3

2

R 处 【解析】(1)释放后B 到达最低点的过程中A 、

B 和杆组成的系统机械能守恒，

的。

m A gR ＋m B gR ＝1

2m A v 2A ＋12

m B v 2

B ，

又OA ⊥OB ，AB 杆长＝2R ，故OA 、OB 与杆间夹角均为45°，可得v A ＝v B ， 解得：v B ＝2gR .

(2)对小球A 应用动能定理可得：W 杆A ＋m A gR ＝12m A v 2

A ，

又v A ＝v B

解得杆对A 球做功W 杆A ＝0.

(3)设B 球到达右侧最高点时，OB 与竖直方向之间的夹角为θ，取圆环的圆心O 为零势面， 由系统机械能守恒可得：m A gR ＝m B gR cos θ－m A gR sin θ， 代入数据可得θ＝30°，

所以B 球在圆环右侧区域内达到最高点时，高于圆心O 的高度h B ＝R cos θ＝32

R . 题型二 杆连物体的速度大小不相等

【典例4】(2019年江苏七校联考)(多选)如图4所示，两个小球A 、B 分别固定在轻杆的两端，轻杆可绕水平光滑转轴O 在竖直平面内转动，OA >OB ，现将该杆静置于水平方向，放手后两球开始运动，已知两球在运动过程中受到大小相同且不变的空气阻力作用，则从开始运动到杆转到竖直位置的过程中，以下说法正确的是 ( )

图4

A ．两球组成的系统机械能守恒

B ．B 球克服重力做的功等于B 球重力势能的增加量

C ．重力和空气阻力对A 球做功的代数和等于它的动能增加量

D ．A 球克服空气阻力做的功大于B 球克服空气阻力做的功 【答案】BD

【解析】两球在运动过程中都受到空气阻力作用，空气阻力做负功，则系统的机械能不守恒，故A 错误；根据功能关系可知，B 球克服重力做的功等于B 球重力势能的增加量，故B 正确；重力、空气阻力和杆的弹力对A 球做功，根据动能定理知重力、杆的弹力和空气阻力对A 球做功的代数和等于它的动能增加量，故C 错误；从开始运动到杆转到竖直位置的过程中，A 球运动的路程大于B 球运动的路程，而两球克服空气阻力做的功等于空气阻力大小和路程的乘积，所以A 球克服空气阻力做的功大于B 球克服空气阻力

做的功，故D 正确.

【典例5】（2020·安徽省淮南市四中高三上学期期末）如图5所示，滑块A 、B 的质量均为m ,A 套在固定倾斜直杆上，倾斜杆与水平面成45°角，B 套在固定水平的直杆上，两杆分离不接触，两直杆间的距离忽略不计，且杆足够长，A 、B 通过铰链用长度为L 的刚性轻杆(初始时轻杆与水平面成30°)连接，A 、B 从静止释放，B 开始沿水平面向右运动，不计一切摩擦，滑块A 、B 均视为质点，在运动的过程中，下列说法正确的是（ ）

图5

A. 当A 到达与B 同一水平面时，B

A B. 当A 到达与

B 同一水平面时，B C. B 滑块到达最右端时，A D. B 滑块最大动能为32

mgL

【答案】BD

【解析】AB ．从开始到A 到达与B 同一水平面的过程，由系统的机械能守恒得：

22113022B A mgLsin mv mv ?=

+，45A B v cos v ?=，解得：2

=B A v ，B v =A 错误，B 正确；C ．B 滑块到达最右端时，速度为零，此时轻杆与斜杆垂直，有：2A 1

(sin 30sin 45)2

mgL mv ?+?=

，得：A v =，D ．当轻杆与水平杆垂直时B 的速度最大，此时A 的速度为零，由系统的机械能守

恒得：(sin 30)KB mg L L E ?+=，得：32

KB mgL

E =

，故D 正确；故选BD 。 【典例6】（2020·江苏省海门中学高三第二次调研）如图6所示，左侧竖直墙面上固定半径为R 的光滑半圆环，右侧竖直墙面上与圆环的圆心O 等高处固定一光滑水平直杆。质量为m 的小球a 套在半圆环上，质量也为m 的滑块b

的轻杆通过两铰链连接。现将小球a 从圆环的最高处由静止释放，不计一切摩擦，a 、b 均可视为质点。求：

(1)小球a 滑经圆心O 等高的P 点、滑块b 滑到右侧最远点时，滑块b 的速度大小v 1和小球a

的速度大小

的

v 2；

(2)小球a 经过圆环Q 点时，轻杆与圆环刚好相切，在图中画出此时a 、b 的速度方向，并求两者速度大小关系（设滑块b 的速度大小为v 3，小球a 的速度大小为v 4）；

(3)小球a 从P 点下滑至杆与圆环相切的Q 点的过程中，杆对滑块b 做的功W 。

图6

【答案】(1)120,

2v v gR ==

；(2)

，

4332v v =；(3)232W mgR +=。 【解析】

(1)当a 滑到与O 同高度P 点时，a 的速度v 沿圆环切向向下，b 的速度为零，由机械能守恒定律可得

2212

mgR mv =

解得2v =

(2)杆与圆相切时，如图所示：

a 的速度沿杆方向，设此时

b 的速度为v 3，根据杆不可伸长和缩短，有43cos v v θ= 由几何关系可得cos 2

θ=

=

解得

43v v =； (3)在图中，球a 下降的高度cos h R θ= a 、b 系统机械能守恒，则有222

432111222

mgh mv mv mv =

+-

对滑块b ，由动能定理得2312

W mv =

解得：2

7

W mgR =

。 三 、高考真题

1.（2020高考江苏物理）如图7所示，鼓形轮的半径为R ，可绕固定的光滑水平轴O 转动.在轮上沿相互垂直的直径方向固定四根直杆，杆上分别固定有质量为m 的小球，球与O 的距离均为2R .在轮上绕有长绳，绳上悬挂着质量为M 的重物.重物由静止下落，带动鼓形轮转动.重物落地后鼓形轮匀速转动，转动的角速度为ω.绳与轮之间无相对滑动，忽略鼓形轮、直杆和长绳的质量，不计空气阻力，重力加速度为g .求：

图7

（1）重物落地后，小球线速度的大小v ；

（2）重物落地后一小球转到水平位置A ，此时该球受到杆的作用力的大小F ； （3）重物下落的高度h .

【答案】（1）2v R ω= （2）F =

（3）216()2M m

h R Mg

ω+=

【解析】.（1）线速度v r ω= 得2v R ω=

（2）向心力 2

2F m R

ω=向 设F 与水平方向的夹角为α，则 cos F F α=向；sin F mg α=

解得F =

（3）落地时，重物的速度v R ω'=，由机械能守恒得

2211

422

Mv mv Mgh '+?= 解得

2

16()

2M m h R Mg

ω+=

2．(2015·新课标全国Ⅱ，21)如图8，滑块a 、b 的质量均为m ，a 套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h ，b 放在地面上，a 、b 通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动，不计摩擦，a 、b 可视为质点，重力加速度大小为g 。则( )

图8

A ．a 落地前，轻杆对b 一直做正功

B ．a 落地时速度大小为2gh

C ．a 下落过程中，其加速度大小始终不大于g

D ．a 落地前，当a 的机械能最小时，b 对地面的压力大小为mg 【答案】BD

【解析】滑块b 的初速度为零，末速度也为零，所以轻杆对b 先做正功，后做负功，选项A 错误；以滑块a 、b 及轻杆为研究对象，系统的机械能守恒，当a 刚落地时，b 的速度为零，则mgh ＝1

2mv 2a ＋0，即v a ＝

2gh ，选项B 正确；a 、b 的先后受力如图所示。

由a 的受力图可知，a 下落过程中，其加速度大小先小于g 后大于g ，选项C 错误；当a 落地前b 的加速度为零(即轻杆对b 的作用力为零)时，b 的机械能最大，a 的机械能最小，这时b 受重力、支持力，且F N b ＝mg ，由牛顿第三定律可知，b 对地面的压力大小为mg ，选项D 正确。

四、实践拓展

题型一 轻杆连结体的物体速度大小相等

练习1-1：如右图9所示，固定在竖直面内的光滑圆环半径为R ，圆环上套有质量分别为m 和2m 的小球A 、B （均可看作质点），且小球A 、B 用一长为2R 的轻质细杆相连，在小球B 从最高点由静止开始沿圆环下滑至最低点的过程中（已知重力加速度为g ），下列说法正确的是（ ）

图9

A ．

B 球减少的机械能等于A 球增加的机械能 B ．B 球减少的重力势能等于A 球增加的重力势能

C ．B 球的最大速度为 √4gR 3

D

【答案】

【解析】：B 向下运动，带动A 也运动起来，整个过程机械能守恒，B 球减少的机械能等于A 球增加的机械能，选项A 正确。B 球减少的重力势能等于A 球增加的机械能和B 球增加的动能，选项B 错误。B 球与A 球连在直径两端，因此时刻具有相等的角速度和线速度，当速度最大时，重力势能减少应该最大，即2mgh-mgh=mgh 最大，应该有mgh=mg2R ，根据机械能守恒定律有2mgR=1

23mv 2

，最大速度为√

4gR 3

，选项C 正确。B

球克服细杆所做的功应是B 球机械能的减少，即2mgR-1

2mv 2

=8

3mgR ，选项D 正确。

练习1-2：如图10所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A 处固定质量为2m 的小球，B 处固定质量为m 的小球，支架悬挂在O 点，可绕过O 点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动，开始时OB 与地面相垂直，放手后开始运动.在不计任何阻力的情况下，下列说法正确的是（）

图10

A 球到达最低点时速度为零

B 球机械能减少量等于B 球机械能增加量

C.球向左摆动所能达到的最高位置应高于A 球开始运动时的高度

D.当支架从左向右回摆时，A 球一定能回到起始高度 【答案】 BCD

【解析】本题考查机械能守恒定律的应用.题目中有A 、B 两个小球和三根轻杆，将它们看作一个系统，因为系统在运动过程中只有重力做功，故系统的机械能守恒（轻杆质量不计，不考虑其机械能的变化），即A 、B 球的机械能改变量相等，B 项正确.

当A 球到达最低点，B 球到达左边与A 球初位置等高点时，A 球重力势能减少2mgh ，而B 球重力势能增加mgh ，因系统的机械能守恒，故此时A 、B 球必具有一定的动能（速度），亦即B 球向左摆动所能达到

的最高位置应高于A 球开始运动时的高度，A 项错，C 项对.由于整个系统在运动过程中机械能守恒，A 球一定能回到起始高度，D 项对.

练习1-3：如图11所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1kg 和2kg 的可视为质点的小球A 和B ，两球之间用一根长L ＝0.2m 的轻杆相连，小球B 距水平面的高度h ＝0.1m ．两球由静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g 取10m/s 2

.则下列说法中正确的是( )

图11

A ．整个下滑过程中A 球机械能守恒

B ．整个下滑过程中B 球机械能守恒

C ．整个下滑过程中A 球机械能的增加量为2

3J

D ．整个下滑过程中B 球机械能的增加量为2

3J

【答案】D

【解析】在下滑的整个过程中，只有重力对系统做功，系统的机械能守恒，但在B 球沿水平面滑行，而A 沿斜面滑行时，杆的弹力对A 、B 球做功，所以A 、B 球各自机械能不守恒，故A 、B 错误；根据系统机械能守恒得：m A g (h ＋L sin θ)＋m B gh ＝12(m A ＋m B )v 2

，解得：v ＝236m/s ，系统下滑的整个过程中B 球机械能的

增加量为12m B v 2－m B gh ＝23J ，故D 正确；A 球的机械能减少量为2

3

J ，C 错误．

练习1-4： (2019年江苏苏北四市联考一模)(多选)如图12所示，半径为R 的竖直光滑圆弧轨道与光滑水平面相切，质量均为m 的小球A 、B 与轻杆连接，置于圆弧轨道上，A 位于圆心O 的正下方，B 与O 等高．它们由静止释放，最终在水平面上运动．下列说法正确的是( )

图12

A ．下滑过程中重力对

B 做功的功率先增大后减小

B ．当B 滑到圆弧轨道最低点时，轨道对B 的支持力大小为3mg

C ．下滑过程中B 的机械能增加

D ．整个过程中轻杆对A 做的功为12mgR

【答案】AD

【解析】因为初位置速度为零，则重力的功率为零，最低点速度方向与重力的方向垂直，重力的功率为零，可知重力的功率先增大后减小，故A 正确；A 、B 小球组成的系统在运动过程中机械能守恒，设B 到达轨道最低点时速度为v ，根据机械能守恒定律得12

(m ＋m )v 2

＝mgR ，解得v ＝gR ，在最低点，根据牛顿第

二定律得N －mg ＝m v 2

R

，解得N ＝2mg ，故B 错误；下滑过程中，B 的重力势能减小ΔE p ＝mgR ，动能增加量Δ

E k ＝1

2mv 2＝12mgR ，所以B 的机械能减小12mgR ，故C 错误；整个过程中，对A 根据动能定理得W ＝12mv 2

＝12

mgR ，

故D 正确．

练习1-5：如图13所示，一轻杆两端分别固定质量均为m 的小球A 和B ，放置于半径为R 的光滑半圆轨道中，A 球与圆心等高，B 球恰在半圆的最低点，然后由静止释放，求在运动过程中两球的最大速度的大小．

图13

【答案】

(2－1)gR

【解析】当杆处于水平状态时，A 、B 两球组成的系统重心最低，两球速度最大，A 球下降的高度Δh A ＝

R ·cos45°，B 球上升的高度Δh B ＝R (1－cos45°)

由两球角速度相等知：两球速度大小相等，设为v .由机械能守恒得： mg Δh A ＝mg Δh B ＋12·2mv 2

解得：v ＝(2－1)gR

练习1-6：如图14所示，半径为R 的光滑圆环竖直放置，直径MN 为竖直方向，环上套有两个小球A 和B ， A 、B 之间用一长为3R 的轻杆相连，小球可以沿环自由滑动，开始时杆处于水平状态，已知A 的质量为

m ，重力加速度为g 。

图14

(1)若B 球质量也为m ，求此时杆对B 球的弹力大小；

(2)若B 的质量为3m ，由静止释放轻杆，求B 球由初始位置到达N 点的过程中，轻杆对B 球所做的功。 【答案】（1） √3 mg （2）W =?9

8mgR 【解析】（1）

√3 mg

（2）由系统机械能守恒定律得：3mg 12

R ?mgR =12

3mv B 2+1

2

mv A 2

v A =v B

对B 运用动能定理： 3mgR +W =1

23mv 2 联立以上各式得：W =?9

8mgR

题型二 轻杆连结的物体速度大小不相等

练习2-1： (2019年沈阳质量监测)(多选)如图15所示，A 和B 两个小球固定在一根轻杆的两端，A 球的质量为m ，B 球的质量为2m ，此杆可绕穿过O 点的水平轴无摩擦地转动．现使轻杆从水平位置由静止释放，则在杆从释放到转过90°的过程中，下列说法正确的是( )

图15

A ．A 球的机械能增加

B ．杆对A 球始终不做功

C ．B 球重力势能的减少量等于B 球动能的增加量

D ．A 球和B 球的总机械能守恒 【答案】 AD

【解析】 A 球由静止向上运动，重力势能增大，动能也增大，所以机械能增加，杆一定对A 球做了正功，A 项正确，B 项错误；由于无摩擦力做功，系统只有重力做功，A 球和B 球的总机械能守恒，A 球机械能增加，B 球的机械能一定减少，故C 项错误，D 项正确．

练习2-2：(2019年广东肇庆二模)如图16所示，一个长直轻杆两端分别固定一个小球A 和B ，两球质量均为m ，两球半径忽略不计，杆的长度为l .先将杆AB 竖直靠放在竖直墙上，轻轻振动小球B ，使小球B 在水平面上由静止开始向右滑动，当小球A 沿墙下滑距离为12

l 时，下列说法正确的是(不计一切摩擦)( )

图16

A ．小球A 和

B 的速度都为1

2

gl

B ．小球A 和B 的速度都为1

23gl

C ．小球A 、B 的速度分别为123gl 和1

22gl D ．小球A 、B 的速度分别为

123gl 和1

2

gl

图16

【答案】D

【解析】如图23－6所示，小球A 沿墙下滑1

2l 时，设小球A 向下的速度为v 1，小球B 水平向右的速

度为v 2，则它们沿杆方向的分速度是相等的，且此时杆与水平面夹角为30°，故v 1sin30°＝v 2cos30°，

得v 1＝3v 2，则A 、B 错误；又因为杆下滑过程机械能守恒，故有mgl ＝mg ×l 2＋12mv 21＋12

mv 2

2，联立两式解

得v 2＝

12gl ，v 1＝1

2

3gl ，故C 错误，D 正确． 练习2-3：（2020·全国高一课时练习）如图17所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆L 1、L 2，两杆分离不接触，且两杆间的距离忽略不计．两个小球a 、b （视为质点）质量均为m ，a 球套在竖直杆L 1上，b 杆套在水平杆L 2上，a 、b 通过铰链用长度为L 的刚性轻杆连接，将a 球从图示位置由静止释放(轻杆与L 2杆夹角为45°)，不计一切摩擦，已知重力加速度为g ．在此后的运动过程中，下列说法中正确的是

图17

A ．a 球和b 球所组成的系统机械能守恒

B ．b 球的速度为零时，a 球的加速度大小一定等于g

C ．b

D ．a

【答案】AC

【解析】A ．a 球和b 球组成的系统没有外力做功，只有a 球和b 球的动能和重力势能相互转换，因此a

球和b 球的机械能守恒，故A 正确；B ．当再次回到初始位置向下加速时，b 球此时刻速度为零，但a 球的加速度小于g ，故B 错误；C ．当杆L 和杆L 1平行成竖直状态，球a 运动到最下方，球b 运动到L 1和L 2交点的位置的时候球b 的速度达到最大，此时由运动的关联可知a 球的速度为0，因此由系统机械能

守恒有：2

122b mg L L mv ??+= ?

???

，得：b v C 正确；D ．当轻杆L 向下运动到杆L

1

和杆L 2的交点的位置时，此时杆L 和杆L 2平行，由运动的关联可知此时b 球的速度为零，有系统机械能

守恒有：

2

122

a

mg L mv ?=，得：a v =，此时a 球具有向下的加速度g ，因此此时a 球的速度

不是最大，a 球将继续向下运动到加速度为0时速度达到最大，故D 错误．

练习2-4：（2020·湖南省衡阳市一中高三上学期期末）如图18所示，两根长度分别为2l 和l 的轻杆一端固定在一起，构成夹角为60°的支架，该支架可绕固定轴O 在竖直平面内无摩擦转动，两根轻杆的另一端分别固定着质量为m 的小球甲和质量为2m 的小球乙。将连接小球甲的轻杆转动到水平位置，然后由静止释放，已知重力加速度为g ，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）

图18

A ．当整个系统第一次速度为0时，小球乙的位置与固定轴O 位于同一高度处

B ．当整个系统第一次速度为0时，小球乙的位置比固定轴O 的位置高

C ．当小球乙摆到最低点时，轻杆对小球乙的弹力不沿杆方向

D ．从静止开始至小球甲速度最大时，支架对小球甲所做的功为mgl - 【答案】ACD

【解析】AB ．设小球乙与O 点等高时速度为v ，则小球甲的速度为2v ，系统从静止开始至小球乙与O 点等高的过程，如图a 所示,由机械能守恒定律得2211

2sin 602sin 602(2)22

mg l mgl mv m v ???=+?- 解得0v =,故A 项正确，B 项错误；C ．如图b 所示

设小球乙与竖直方向成α角时，小球甲和小球乙的速度最大，对系统由机械能守恒定律得

()()12

21112(cos cos30)2sin 302222

mg l l mg l mv m v αα-?+??+=?+

整理后得21sin()v gl gl α?=

+,其中tan ?=所以60?=?,当30α=?时，速度最大

2

1m v l =

.所以当小球乙第一次摆至最低点时，速度还在增大，所以沿轨迹切向方向上的合力不为零，而重力沿竖直方向，所以轻杆对小球乙的弹力不沿杆方向，C 项正确；D ．对小球甲从静止至速度最大的

过程，由动能定理得()2112sin 6022m mg l W m v ??+=

,解得3

W =-,所以D 项正确。故选ACD 。 练习2-5：（2019·山西太原五中高考模拟）用轻杆通过铰链相连的小球A 、B 、C 、D 、E 处于竖直平面上，各段轻杆等长，其中小球A 、B 的质量均为2m ，小球C 、D 、E 的质量均为m ．现将A 、B 两小球置于距地面高h 处，由静止释放，假设所有球只在同一竖直平面内运动，不计一切摩擦，如图19，则在下落过程中

图19

A ．小球A 、

B 、

C 、

D 、

E 组成的系统机械能和动量均守恒 B ．小球B 的机械能一直减小

C ．小球B

D ．当小球A 的机械能最小时，地面对小球C 的支持力大小为mg 【答案】CD

【解析】小球A 、B 、C 、D 、E 组成的系统机械能守恒但动量不守恒，故A 错误；由于D 球受力平衡，所以D 球在整个过程中不会动，所以轻杆DB 对B 不做功，而轻杆BE 对B 先做负功后做正功，所以小球B 的机械能先减小后增加，故B 错误；当B 落地时小球E 的速度等于零，根据功能关系21

2

mgh mv =

可知小球B C 正确；当小球A 的机械能最小时，轻杆AC 没有力，小球C 竖直方向上的力平衡，所以支持力等于重力，故D 正确，故选CD

练习2-6：(2019年河北石家庄一模)如图20所示，左侧竖直墙面上固定半径为R ＝0.3 m 的光滑半圆环，右侧竖直墙面上与圆环的圆心O 等高处固定一光滑直杆．质量为m a ＝100 g 的小球a 套在半圆环上，质量为m b ＝36 g 的滑块b 套在直杆上，二者之间用长为l ＝0.4 m 的轻杆通过两铰链连接．现将a 从圆环

的最高处由静止释放，使a 沿圆环自由下滑，不计一切摩擦，a 、b 均视为质点，重力加速度取g ＝10 m/s 2

.求：

图20

(1)小球a 滑到与圆心O 等高的P 点时的向心力大小；

(2)小球a 从P 点下滑至杆与圆环相切的Q 点的过程中，杆对滑块b 做的功． 【答案】 (1)2 N (2)0.194 4 J

【解析】 (1)当a 滑到与O 同高度的P 点时，a 的速度v 沿圆环切向向下，b 的速度为零 由机械能守恒可得：m a gR ＝12m a v 2

解得：v ＝2gR

对小球a 受力分析，由牛顿第二定律可得：F ＝m a v 2

R

＝2m a g ＝2 N.

(2)杆与圆环相切时，如图所示，此时a 的速度沿杆方向，设此时b 的速度为v b ，则知v a ＝v b cos θ 由几何关系可得：cos θ＝l l 2＋R 2

＝0.8

球a 下降的高度h ＝R cos θ

a 、

b 及杆组成的系统机械能守恒：

m a gh ＝1

2m a v 2a ＋12m b v 2b －12

m a v 2

对滑块b ，由动能定理得：W ＝12

m b v 2

b ＝0.194 4 J.

练习2-7：（2020·广东省广州市天河区高三下学期三模训练）.倾角为θ的斜面与足够长的光滑水平面在D 处平滑连接，斜面上AB 的长度为3L ，BC 、CD 的长度均为3.5L ，BC 部分粗糙，其余部分光滑．如图21，4个“— ”形小滑块工件紧挨在一起排在斜面上，从下往上依次标为1、2、3、4，滑块上长为L 的轻杆与斜面平行并与上一个滑块接触但不粘连，滑块1恰好在A 处．现将4个滑块一起由静止释放，设滑块经过D 处时无机械能损失，轻杆不会与斜面相碰．已知每个滑块的质量为m 并可视为质点，滑块与粗糙面间的动摩擦因数为tan ，重力加速度为g ．求

图21

（1）滑块1刚进入BC 时，滑块1上的轻杆所受到的压力大小； （2）4个滑块全部滑上水平面后，相邻滑块之间的距离． 【答案】（1）3

sin 4

F mg θ=

（2）43

d L 【解析】（1）以4个滑块为研究对象，设第一个滑块刚进BC 段时，4个滑块的加速度为a ，由牛顿第二定律：4sin cos 4mg mg ma θμθ-?=

以滑块1为研究对象，设刚进入BC 段时，轻杆受到的压力为F ，由牛顿第二定律：

sin cos F mg mg ma θμθ+-?=

已知tan μθ= 联立可得：3

sin 4

F mg θ=

（2）设4个滑块完全进入粗糙段时，也即第4个滑块刚进入BC 时，滑块的共同速度为v

这个过程， 4个滑块向下移动了6L 的距离，1、2、3滑块在粗糙段向下移动的距离分别为3L 、2L 、L ，

由动能定理，有：21

4sin 6cos 32)4v 2

mg L mg L L L m θμθ?-??++=?（

可得：v =

由于动摩擦因数为tan μθ=，则4个滑块都进入BC 段后，所受合外力为0，各滑块均以速度v 做匀速运动；第1个滑块离开BC 后做匀加速下滑，设到达D 处时速度为v 1，由动能定理：

()22111sin 3.5v v 22

mg L m m θ?=

-

可得：1v =当第1个滑块到达BC 边缘刚要离开粗糙段时，第2个滑块正以v 的速度匀速向下运动，且运动L 距离后离开粗糙段，依次类推，直到第4个滑块离开粗糙段．由此可知，相邻两个滑块到达BC 段边缘的时间差为v L t ?=

，因此到达水平面的时间差也为v

L t ?= 所以滑块在水平面上间距为1v d t =?

联立解得43

d L =

练习2-8：（2020·赣榆智贤中学高三月考）如图22甲所示，半径为R 的半圆形光滑轨道固定在竖直平面

内，它的两个端点P 、Q 均与圆心O 等高，小球A 、B 之间用长为R 的轻杆连接，置于轨道上．已知小球A 、B 质量均为m ，大小不计．

图22

(1) 求当两小球静止在轨道上时，轻杆对小球A 的作用力大小F 1；

(2) 将两小球从图乙所示位置(此时小球A 位于轨道端点P 处)无初速释放．求： ① 从开始至小球B 达到最大速度的过程中，轻杆对小球B 所做的功W ； ② 小球A 返回至轨道端点P 处时，轻杆对它的作用力大小F 2.

【答案】（1）

3

mg （2mgR ②6

mgR 【解析】(1) 选择A 为研究对象，A 的受力如图所示

由共点力的平衡条件：13

tan 303

F mg ==

(2)以两球和杆为研究对象，当杆下降至水平时，两球的速度最大且相等，在这个过程，由动能定理可

得：21sin 6022

mgR mv =? 对B 球有动能定理可得：2

12

W mv =

联立以上方程解得：W =

轻杆对小球B 所做的功

4

mgR ② 小球A 再次回到P 点时，两球的受力如图所示：

设小球A 切向的加速度为A a ，由牛顿第二定律有：2A cos30mg F ma -=

设小球B 切向的加速度为B a ，由牛顿第二定律有：2B sin 30cos30mg F ma += 两球的加速度相等，即A B a a =

联立以上方程解得：2F =