2020届山西省晋中市2017级高三下学期四模考试数学(理)试卷参考答案
)
0
cos(1
)在（0,1）单调递增，
cos(1
)
（0,1）
1 cos(1
)
（1，
） a
1
，故选
B.
二、填空题：
13. 160
14. 1,2
8
15.4 16.
3
13.解：Tr1 C6r x62r 2r ， 6 2r 0, r 3 ，故常数项为
160 .
14.解： f x1 f x m 0 得 f x 1或 f x m ，作出函数
6
6
3 2
n
2n
3 2
n1 ………………………………（12
分）
19．解：（1）由题可知 e c 2 ，又椭圆 C 上的点到其左焦点的最大距离为1 2 ，所以 a2
a c 1 2 ，所以 a 2, c 1, ………………………………（2 分)
b a2 c2 1………………………………（3 分）
1,1,0 ………………………………（9
分）
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2020届山西省晋中市2017级高三下学期四模考试数学（理）试卷
cos m, n 2 1 3 ………………………………（11 分） 3 2 3
因为二面角 B PA D 为锐二面角，所以其余弦值为 3 ………………………………（12 分） 3
当 x 0 时，有 g(x) g(0) ，
任取 x1 x2 0 ，则 g x1 g x2 0 ，由不等式的性质可得 x1g x1 x2g x2 0 ，
即 f x1 f x2 0 ，所以，函数 f (x) 在 (0， ) 上递增，
因此，
f
3 2
f
7 2
A
3 2
,
3 2
在渐近线上，故
3 2
b a
3 2
，又
A
3 2
,
3 2
在以
OF
为直径的圆上，
3 2
c 2
3 2
2
3 2
2
3 2
2
c 2 得 c 2, a
3,b 1选 C
5.解：依题意，有 g(x) g(x) ，则 g(x) ex ex 为奇函数，且在 R 上单调递增，
所以 f (x) 为偶函数．
3 2
n1
………………………………（8 分）
两式相减得
1 2
Tn
1
3 2
1 2
n1
3 2
n
n
3 n1 2
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2020届山西省晋中市2017级高三下学期四模考试数学（理）试卷
31
3 2
n
n
3 2
n1
……………（10
分）
Tn
所以 N ,0 2,
ðU N 0, 2
所以 M I U N ，M I N M N, M U N N U , M U N
故选：B
z 2.解： 1 i
a
b a
2
bi
,
1
z
i
是实数,所以 a
b
0选
A
3.解： sin 2
cos2
4
2 cos2 4
1
7 8
选
A
4.解：
1 2
ac
sin
B
1 2
4
3 2
3 .选 A
12.解
f ( ) a sin(1 ) ln 在区间（0,1）上是增函数，
[ f
( )]'
a cos(1 )
1
0在（0,1）上恒成立,1
（0,1）（0, ） 2
cos(1
)
0a
1 cos(1
)
,[
cos(1
)]'
cos(1
)
sin(1
(x 2）2 y 2 2 (x 2）2 y 2
3x2 3y2 20x 12 0 ，整理得 (x 10)2 y2 (8)2
3
3
因此，当 A B C 面积最大时， B C 边上的高为圆的半径 8 . 3
三、解答题：
17．（1）证明：取 AB 的中点为 M ，连接 DM , PM ，因为 PAB 是等边三角形，所以
分）
(2)由（1) bn
log 3 an
2
1
log
3 2
3 2
n
n ,则 an
1bn
n
3 n ， 2
Tn
1
3 2
1
2
3 2
2
3
3 2
3
n
1
3 2
n1
n
3 n 2
3 2
Tn
1
3 2
2
2
3 2
3
3
3 2
4
n
1
3 n 2
n
AB PM ……………（1 分） 因为在直角梯形 ABCD 中， AB BC, BC CD 1, AB 2
所以 AD BD 2 所以 DAB 为等腰三角形，所以 AB DM ……………（3 分） 因为 PM DM M ，所以 AB 平面PDM ……………（4 分）
因为 PD 平面PDM ，所以 AB PD .………………………………（5 分）
f
7 2
f
(4) ，
理科数学
第 1页
故选：C．
6.解:由已知中的程序框图可知:该程序的循环变量 n 的初值为 1,终值为 2021，步长为 2,故循环共执行
了 1010 次。 由 S 中第一次累加的是 211 1 ,第二次累加的是 231 4 ,一直下去，
故该算法的功能是求首项为 1,公比为 4 的等比数列的前 1010 项的和，故选: D.
20．解：（1）由题意， X 的可能取值为 1 ， 1 k …………………（1 分） kk
P X 1 p k ， P X 1 k 1 p k ，…………………（3 分）
k
k
故 X 的分布列为
X
1
1 k
k
k
P
pk
1 pk
………………………………（4 分）
EX 1 p k 1 k 1 p k 1 p k 1 ………………………………（6 分）
2NF
，所以
QF 1 PF 1 p ，则 x 1 p ①；
3
3
6
又 SOFN
1 2
| OF
|| NQ
|
1 2
py 2
3 ，得 y 4
3， p
代入抛物线方程
y2
2 px
(p
0)
，得
x
3 2 p3
②，联立①②得，
理科数学 第 2页
p 3 .故选 C.
11.解：
B
3
,
ac
4
，则
ABC
面积的最大值为
ABD 为等边三角形，可得 BE=1.又 OE= BC 3 ，故在 RtOBE 中， 2
OB= 2 此即为外接球半径，从而外接球表面积为16
10.解：假设点 M 在准线的上半部分，准线与 x 轴交点为 P，过点 N 作 x 轴的垂线，垂足为 Q，设点
N (x, y) .
易得， MPF
~
NQF
，又
MN
8
3
38
2
k
8
,k Z
，又 0
，所以
7 8
，
f x sin3x
7 8
，当
x
8
,
8
时
3x
7 8
2
, 5 4
， sin3x
7 8
2
,1
选
C
2
9.解析:选择 A.由 AB⊥BC，PB⊥BC，可知 BC⊥平面 PAB.将三棱锥 P ー ABC 补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球 心 O 应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，记△ABP 的外心为 E，由△
AB 2 2 k 2 k 2 1 2 2 k 2 k 2 1 2 2 k 2 k 2 1 2
因为1 k 2 k 2 所以等号不成立.
综上， TF1 的最小值为 2 ，此时直线 l 的方程为 x 1.………………………………（12 分）
AB
2
注：直线 l 的方程可采用 x my 1 .
y f x 的图像，如图示，由图可知，f x 1有两个根，故 f x m
有三个根故 m 1,2
15.解：建立如图的直角坐标系，设 AB m ，M 0,t,t 0, m，
由题意可知， C2,0, D1，m ， MC 2,t, MD 1, m t
MC 2MD 4,2m 3t ， MC 2MD 16 2m 3t 2 4 ，当且仅当 t 2m 时取等号，
2020届山西省晋中市2017级高三下学期四模考试数学（理）试卷
2020 年普通高等学校招生统一模拟考试
理科数学答案 A
一、选择题： 1.B 2.A 3.A 4.C 5.C 6.D 7.B 8.C 9.A 10.C 11.A 12.B
1.解：令 x 2 0 x 2 ，所以 M 2,
由 x2 2x 0 x 0 或 x 2 ，
设平面 APB 的法向量为 m x, y, z
AB m 0 2 y 0
则
PA
m
0
即
x
y
令x 2z 0
2 得m
2,0,1 .………………………………（8 分）
设平面 APD 的法向量为 n x, y, z
则
山西省实验中学2020届高三下学期4月份模拟考试理科数学试题(含答案)
恒为锐角，则椭圆 C 的离心率的取值范围为
．
APB
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
17~21 题为必考题，每个
试题考生都必须做答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求做答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（ 12 分）
△ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ，若 2sin 2 A B 2cos2 A B 2cos Acos B 1．
角形， MF
2 MN ，故 2PM
2
2MN 2( PM
2
MN ) 2（EM 2
MF ） 2AA1 2 ．
二、填空题：本题共 3
13． 212 ．
4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
14． 160 ．
15． 4 10 8 ．
16． (0,
6 )
3
16．提示：不难知，圆 x2 y2 a 2 1 上任意一点向椭圆 C 所引的两条切线互相垂直，因此当直线 3x 4y 10 0 与圆 x2 y 2 a2 1 相离时， APB 恒为锐角，故 a2 1 d 2 4 ， 1 a2 3 ，
BC 平面 PAB , PA PB ， P
A
B
Dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
数学（理科）试题 第 3 页（共 4 页）
19．（ 12 分） 已知抛物线 C : y2 4 x 的焦点为 F ，点 A(a,3) ，点 P 为抛物线 C 上的动点． （ 1）若 | PA | | PF |的最小值为 5 ，求实数 a 的值； （ 2）设线段 OP 的中点为 M ，其中 O 为坐标原点，若 MOA MAO AOF ，求 △ OPA
2020届山西省太原市2017级高三下学期一模考试数学(理)试卷及答案
2020届山西省太原市2017级高三下学期一模考试数学（理）试卷★祝考试顺利★注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,第I 卷1至4页,第Ⅱ卷5至8页。
2．回答第I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．回答第I 卷时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效。
4．回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡相应位置上,写在本试卷上无效。
5．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}26,3x x y x N x x M -+==<=,则M∩N =（ ） A ．{}32<<-x x B ．{}32<≤-x x C ．{}32≤<-x x D ．{}33≤<-x x2．设复数z 满足5)2(=+⋅i z ,则i z -=（ ）A ．22B ．2C ．2D ．43．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具,它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图,其式五,其数七,其变化之式多至千余,体物肖形,随手变幻,盖游戏之具,足以排闷破寂,故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率为（ ）A.165B.3211C.167D.3213 4．已知等比数列{n a }中,1a >0,则“41a a <”是“53a a <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数xx x f 1)(2-=的图象大致为（ ）6某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是59,则（ ）A.3=aB.4=aC.5=aD.6=a 7.73)13(xx +展开式中的常数项是（ ）。
2020届东北三省三校2017级高三下学期四模考试数学(理)试卷及答案
2020届东北三省三校2017级高三下学期四模考试
数学（理）试卷
★祝考试顺利★
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合22{|40},{|log 1},A x x x B x x =-<=…
则A B =U ()[)()
(].0,.2,.0,4.0,2A B C D +∞+∞ 2．已知复数21i 1i
a z =-+
-（i 为虚数单位,a ∈R ),z 在复平面上对应的点在第四象限,则a 的取值范围是 ().2,0A - ().1,1B - ().1,C +∞ ().1,2D -
3．近年来,某市立足本地丰厚的文化旅游资源,以建设文化旅游强市,创建国家全域旅游示范市为引领,坚持以农为本,以乡为魂,以旅促农,多元化推动产业化发展,文化和旅游扶贪工作卓有成效,精准扶贫稳步推进．该市旅游局为了更好的了解每年乡村游人数的变化情况,绘制了如图所示的柱状图．则下列说法错误的是
A ．乡村游人数逐年上升
B ．相比于前一年,2015年乡村游人数增长率大于2014年乡村游人数增长率
C ．近8年乡村游人数的平均数小于2016年乡村游人数
D ．从2016年开始,乡村游人数明显增多
4．在等比数列{a n }中512,2,8,a a a ==则数列{a n }前7项的和S 7=
A ．253
B ．254
C ．255
D ．256
5．执行如图所示的程序框图,若输入的x 的值为2,则输出x 的值为。
【数学】山西省晋中市2017届高考二模试卷(理)(解析版)
山西省晋中市2017届高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|y=lg（x+1）}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．（﹣2，0）B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，﹣1）2．（5分）i是虚数单位，若复数z满足z i=﹣1+i，则复数z的实部与虚部的和是（）A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，则2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，则S11=（）A．66 B．55 C．44 D．334．（5分）如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（）A．1﹣B．C．D．1﹣5．（5分）函数的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A．4πB．πC．πD．20π7．（5分）执行如图框图，已知输出的s∈[0，4]，若输入的t∈[m，n]，则实数n﹣m的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．6π+1 B．C．D．9．（5分）已知D=，给出下列四个命题：P1：∀（x，y）∈D，x+y+1≥0；P2：∀（x，y）∈D，2x﹣y+2≤0；P3：∃（x，y）∈D，≤﹣4；P4：∃（x，y）∈D，x2+y2≤2．其中真命题的是（）A．P1，P2B．P2，P3C．P2，P4D．P3，P410．（5分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，若△AOB的面积为，则|AB|=（）A．24 B．8 C．12 D．1611．（5分）已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0），若方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为（）A．（，] B．（，] C．（，] D．（，] 12．（5分）已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数对（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”，给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=}；②M={（x，y）|y=sin x+1}；③={（x，y）|y=2x﹣2}；④M={（x，y）|y=log2x}其中是“垂直对点集”的序号是（）A．②③④B．①②④C．①③④D．①②③二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若两个非零向量满足，则向量与的夹角是．14．（5分）已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为y=2x，则该双曲线的标准方程为．15．（5分）我们可以利用数列{a n}的递推公式a n=（n∈N+），求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则a64+a65=．16．（5分）已知数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1=2a n+3n﹣1（n∈N*），则其前n项和S n=．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．18．（12分）某知名品牌汽车深受消费者喜爱，但价格昂贵．某汽车经销商推出A、B、C 三种分期付款方式销售该品牌汽车，并对近期100位采用上述分期付款的客户进行统计分析，得到如下的柱状图．已知从A、B、C三种分期付款销售中，该经销商每销售此品牌汽车1俩所获得的利润分别是1万元，2万元，3万元．现甲乙两人从该汽车经销商处，采用上述分期付款方式各购买此品牌汽车一辆．以这100位客户所采用的分期付款方式的频率代替1位客户采用相应分期付款方式的概率．（1）求甲乙两人采用不同分期付款方式的概率；（2）记X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润，求X的分布列与期望．19．（12分）如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF=2BE=2，EF=3．（1）证明：平面ACF⊥平面BEFD（2）若二面角A﹣EF﹣C是二面角，求直线AE与平面ABCD所成角的正切值．20．已知椭圆C：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C上，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、P两点，与x轴、y轴分别相交于点N和M，且PM=MN，点Q是点P关于x轴的对称点，QM的延长线交椭圆于点B，过点A、B分别作x轴的垂涎，垂足分别为A1、B1（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l，使得点N平分线段A1B1？若存在，求求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=2ln x+ax﹣（a∈R）在x=2处的切线经过点（﹣4，ln2）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式＞mx﹣1恒成立，求实数m的取值范围．22．（14分）已知椭圆的长轴长为6，离心率为，F2为椭圆的右焦点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）点M在圆x2+y2=8上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=8的切线交椭圆于P，Q 两点，判断△PF2Q的周长是否为定值并说明理由．23．已知函数（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a＜时，函数g（x）=f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题1．C【解析】由x+1＞0，得x＞﹣1∴A=（﹣1，+∞），B={x||x|＜2}=（﹣2，2）∴A∩B=（﹣1，2）．故选：C2．C【解析】复数z满足z i=﹣1+i，可得z===1+i．复数z的实部与虚部的和是：1+1=2．故选：C．3．D【解析】由等差数列的性质可得：2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36，∴6a3+6a9=36，即a1+a11=6．则S11==11×3=33．故选：D．4．A【解析】由题意，正方形的面积为22=4．圆的面积为π．所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1﹣，故选：A．5．D【解析】f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，则图象关于原点对称，故排A，B，当x=时，f（）==故选：D6．B【解析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，r==，球的表面积4πr2=4π×=π．故选：B．7．D【解析】模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出分段函数S=的值，做出函数的图象，由题意可得：输出的s∈[0，4]，当m=0时，n∈[2，4]，n﹣m∈[2，4]，当n=4时，m∈[0，2]，n﹣m∈[2，4]，所以实数n﹣m的最大值为4．故选：D．8．D【解析】由题意，几何体为圆柱与圆锥的组合体，该几何体的表面积为2π•1•2+π•12+++1=，故选D．9．C【解析】不等式组的可行域如图，p1：A（﹣2，0）点，﹣2+0+1=﹣1，故∀（x，y）∈D，x+y≥0为假命题；p2：A（﹣1，3）点，﹣2﹣3+2=﹣3，故∀（x，y）∈D，2x﹣y+2≤0为真命题；p3：C（0，2）点，=﹣3，故∃（x，y）∈D，≤﹣4为假命题；p4：（﹣1，1）点，x2+y2=2故∃（x，y）∈D，x2+y2≤2为真命题．可得选项p2，p4正确．故选：C．10．A【解析】抛物线y2=4x焦点为F（1，0），设过焦点F的直线为：y=k（x﹣1），由，可得y2﹣y﹣4=0，y A+y B=，y A y B=﹣4，|y A﹣y B|=△AOB的面积为2，可得：×1×|y A﹣y B|=2，解得k2=，|AB|=×|y A﹣y B|=24．故选：A．11．B【解析】f（x）=2sin（ωx﹣），作出f（x）的函数图象如图所示：令2sin（ωx﹣）=﹣1得ωx﹣=﹣+2kπ，或ωx﹣=+2kπ，∴x=+，或x=+，k∉Z，设直线y=﹣1与y=f（x）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A，第5个交点为B，则x A=，x B=，∵方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，∴x A＜π≤x B，即＜π≤，解得．故选B．12．D【解析】由题意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}满足：对于任意A（x1，y1）∈M，存在B（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，因此．所以，若M是“垂直对点集”，那么在M图象上任取一点A，过原点与直线OA垂直的直线OB总与函数图象相交于点B．对于①：M={（x，y）|y=}，其图象是过一、二象限，且关于y轴对称，所以对于图象上的点A，在图象上存在点B，使得OB⊥OA，所以①符合题意；对于②：M={（x，y）|y=sin x+1}，画出函数图象，在图象上任取一点A，连OA，过原点作直线OA的垂线OB，因为y=sin x+1的图象沿x轴向左向右无限延展，且与x轴相切，因此直线OB总会与y=sin x+1的图象相交．所以M={（x，y）|y=sin x+1}是“垂直对点集”，故②符合题意；对于③：M={（x，y）|y=2x﹣2}，其图象过点（0，﹣1），且向右向上无限延展，向左向下无限延展，所以，据图可知，在图象上任取一点A，连OA，过原点作OA的垂线OB必与y=2x﹣2的图象相交，即一定存在点B，使得OB⊥OA成立，故M={（x，y）|y=2x﹣2}是“垂直对点集”．故③符合题意；对于④：M={x，y）|y=log2x}，对于函数y=log2x，过原点做出其图象的切线OT（切点T在第一象限），则过切点T做OT的垂线，则垂线必不过原点，所以对切点T，不存在点M，使得OM⊥OT，所以M={（x，y）|y=log2x}不是“垂直对点集”；故④不符合题意．故选：D．二、填空题13．120°【解析】∵==∴，∴（+）•（﹣）=﹣2||2，设的夹角为θcosθ=∵θ∈[0°，180°]∴θ=120°故答案为120°14．﹣x2=1【解析】根据题意，双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则可以设其方程为x2﹣=m，（m ≠0），又由其经过点，则有1﹣=m，解可得m=﹣1，则其方程为：x2﹣=﹣1，其标准方程为：﹣x2=1，故答案为：﹣x2=1．15．66【解析】由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…∴a64+a65=a32+65=a16+65=a8+65=a4+65=1+65=66．故答案为：66．16．2n+2﹣4﹣【解析】∵a n+1=2a n+3n﹣1（n∈N*），a1=﹣1，∴a2=0．n≥2时，a n=2a n﹣1+3n﹣4，相减可得：a n+1﹣a n=2a n﹣2a n﹣1+3，化为：a n+1﹣a n+3=2（a n﹣a n﹣1+3），∴数列{a n﹣a n﹣1+3}为等比数列，首项为4，公比为2．∴a n﹣a n﹣1+3=4×2n﹣2，∴a n﹣a n﹣1=2n﹣3．∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣3+2n﹣1﹣3+…+22﹣3﹣1，=﹣3（n﹣1）﹣1=2n+1﹣3n﹣2．∴其前n项和S n=﹣3×﹣2n=2n+2﹣4﹣．故答案为：2n+2﹣4﹣．三、解答题17．解：（Ⅰ）∵，所以（2c﹣b）•cos A=a•cos B由正弦定理，得（2sin C﹣sin B）•cos A=sin A•cos B．整理得2sin C•cos A﹣sin B•cos A=sin A•cos B．∴2sin C•cos A=sin（A+B）=sin C．在△ABC中，sin C≠0．∴，．（Ⅱ）由余弦定理，．∴b2+c2﹣20=bc≥2bc﹣20∴bc≤20，当且仅当b=c时取“=”．∴三角形的面积．∴三角形面积的最大值为．18．解：（1）由题意得：P（A）==0.35，P（B）==0.45，P（C）==0.2，∴甲乙两人采用不同分期付款方式的概率：p=1﹣[P（A）•P（A）+P（B）•P（B）+P（C）•P（C）]=0.635．（2）记X（单位：万元）为该汽车经销商从甲乙两人购车中所获得的利润，则X的可能取值为2，3，4，5，6，P（X=2）=P（A）P（A）=0.35×0.35=0.1225，P（X=3）=P（A）P（B）+P（B）P（A）=0.35×0.45+0.45×0.35=0.315，P（X=4）=P（A）P（C）+P（B）P（B）+P（C）P（A）=0.35×0.2+0.45×0.45+0.2×0.35=0.3425，P（X=5）=P（B）P（C）+P（C）P（B）=0.45×0.2+0.2×0.45=0.18，P（X=6）=P（C）P（C）=0.2×0.2=0.04．∴X的分布列为：X 2 3 4 5 6P0.1225 0.315 0.3425 0.18 0.04E（X）=0.1225×2+0.315×3+0.3425×4+0.18×5+0.04×6=3.7．19．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，∴AC⊥平面BEFD，∵AC⊂平面ACF，∴平面ACF⊥平面BEFD．解：（2）设AC与BD的交点为O，由（1）得AC⊥BD，分别以OA，OB为x轴，y轴，建立空间直角坐标系，∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥BD，∵DF∥BE，∴DF⊥BD，∴BD2=EF2﹣（DF﹣BE）2=8，∴BD=2．设OA=a，（a＞0），由题设得A（a，0，0），C（﹣a，0，0），E（0，），F（0，﹣，2），设m=（x，y，z）是平面AEF的法向量，则，取z=2，得=（），设是平面CEF的一个法向量，则，取，得=（﹣，1，2），∵二面角A﹣EF﹣C是直二面角，∴=﹣+9=0，解得a=，∵BE⊥平面ABCD，∴∠BAE是直线AE与平面ABCD所成的角，∴AB==2，∴tan．∴直线AE与平面ABCD所成角的正切值为．20．解：（1）∵椭圆C：的左右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D在椭圆C上，∴由题意得，解得a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程为．（2）假设存在这样的直线l：y=kx+m，∴M（0，m），N（﹣，0），∵PM=MN，∴P（，2m），Q（），∴直线QM的方程为y=﹣3kx+m，设A（x1，y1），由，得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，∴，∴，设B（x2，y2），由，得（3+36k2）x2﹣24kmx+4（m2﹣3）=0，∴x2+=，∴x2=﹣，∵点N平分线段A1B1，∴，∴﹣=﹣，∴k=，∴P（±2m，2m），∴，解得m=，∵|m|=＜b=，∴△＞0，符合题意，∴直线l的方程为y=．21．解：（1），令x=2，∴f'（2）=1+a+f'（2），∴a=﹣1，设切点为（2，2ln2+2a﹣2f'（2）），则y﹣（2ln2+2a﹣2f'（2））=f'（2）（x﹣2），代入（﹣4，2ln2）得：2ln2﹣2ln2﹣2a+2f'（2）=﹣6f'（2），∴，∴，∴f（x）在（0，+∞）单调递减；（2）恒成立，令，∴φ（x）在（0，+∞）单调递减，∵φ（1）=0，∴，∴在（0，+∞）恒大于0，∴m≤0．22．解：（I）根据已知，设椭圆的标准方程为，∴2a=6，a=3，，c=1；b2=a2﹣c2=8，（II）△PF2Q的周长是定值，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∵0＜x1＜3，∴，在圆中，M是切点，∴，∴，同理|QF2|+|QM|=3，∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=3+3=6，因此△PF2Q的周长是定值6．23．解：（1）∵，∴，∴f（x）﹣f（x+m）=|x﹣a|﹣|x+m﹣a|≤|m|，∴|m|≤1，∴﹣1≤m≤1，∴实数m的最大值为1；（2）当时，=∴，∴或，∴，∴实数a的取值范围是．。
2020届山西省临汾市2017级高三下学期二模考试数学(理)试卷及答案
2020届山西省临汾市2017级高三下学期二模考试数学（理）试卷★祝考试顺利★测试范围：学科内综合．共150分,考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．）1．已知i 是虚数单位,20172i 3i 1i z =-+,且z 的共轭复数为z ,则z z ⋅=（ ） ABC ．5D ．32．已知全集为R ,集合2{|2}A x x x =<,{|1}B x =<, 则()A B =R I ð （ ）A ．[3,2]-B ．[3,6)-C ．[3,0][2,+)-∞UD ．[3,0][2,6)-U3．已知函数0()2 , 0x x f x x >=⎪⎩≤,若()2f a <,则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,3)-∞ B ．(,2)-∞ C ．(1,2) D ．(0,3)4．已知夹角为θ的向量,a b 满足()2⋅+=a a b ,且||2||2==a b ,则向量,a b 的关系是( )A ．互相垂直B ．方向相同C ．方向相反D ．成120︒角5．公差不为零的等差数列{}n a 中,367,,a a a 成等比数列,则46a a = （ ） A ．72- B ．73 C ．213- D ．1376．已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （ ）A．918 2π+B．9362π+C．1818π+D．1836π+7．已知α满足2sin()4πα+=,则2tan12tanαα+=（）A．98B．98-C．3 D．3-8．运行如图所示的程序算法,若输入m的值为20,则输出的结果为（）A．20 B．10 C．0 D．10-9．随着新政策的实施,海淘免税时代于2016年4月8日正式结束,新政策实施后,海外购物的费用可能会增加.为了解新制度对海淘的影响,某记者调查了身边喜欢海淘的10位朋友,其态度共有两类：第一类是会降低海淘数量,共有4人,第二类是不会降低海淘数量,共有6人.若该记者计划从这10人中随机选取5人按顺序进行采访,则“第一类”的人数多于“第二类”,且采访中“第二类”不连续进行的不同采访顺序有（）A．3840 B．5040 C．6020 D．720010．若不等式组2020x ykx yy+-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≥(0)k<所表示的平面区域的面积为4,则21x yzx+=-的。
山西省晋中市2017届高考数学一模试卷(理科) Word版含解析
2017年山西省晋中市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设U=R，A={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x≥1}，则A∩∁U B=（）A．{1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣3，﹣2，﹣1，0}D．{2}2．在复平面中，复数+i4对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，则“sinA＞sinB”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若sin（π﹣α）=，且≤α≤π，则sin2α的值为（）A．﹣B．﹣C．D．5．执行如图的程序框图，则输出K的值为（）A．98 B．99 C．100 D．1016．李冶（1192﹣1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A．10步、50步B．20步、60步C．30步、70步D．40步、80步7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．16 B．20 C．52 D．608．已知函数f（x）=sin（2x+），f′（x）是f（x）的导函数，则函数y=2f（x）+f′（x）的一个单调递减区间是（）A．[，] B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]9．若a=2（x+|x|）dx，则在的展开式中，x的幂指数不是整数的项共有（）A．13项B．14项C．15项D．16项10．在平面直角坐标系中，不等式组（r为常数）表示的平面区域的面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z=的最小值为（）A．﹣1 B．﹣C．D．﹣11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A、B两点，AF2、BF2分别交y轴于P、Q两点，若△PQF2的周长为12，则ab取得最大值时该双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．2D ．12．已知函数f （x ）=e 2x ﹣ax 2+bx ﹣1，其中a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数，若f （1）=0，f′（x ）是f （x ）的导函数，函数f′（x ）在区间（0，1）内有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．（e 2﹣3，e 2+1） B ．（e 2﹣3，+∞） C ．（﹣∞，2e 2+2）D ．（2e 2﹣6，2e 2+2）二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．设样本数据x 1，x 2，…，x 2017的方差是4，若y i =2x i ﹣1（i=1，2，…，2017），则y 1，y 2，…y 2017的方差为 ．14．在平面内将点A （2，1）绕原点按逆时针方向旋转，得到点B ，则点B的坐标为 ．15．设二面角α﹣CD ﹣β的大小为45°，A 点在平面α内，B 点在CD 上，且∠ABC=45°，则AB 与平面β所成角的大小为 ．16．非零向量，的夹角为，且满足||=λ||（λ＞0），向量组，，由一个和两个排列而成，向量组，，由两个和一个排列而成，若•+•+•所有可能值中的最小值为42，则λ= ．三、解答题（本题共6题，70分）17．（12分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m ﹣1=﹣4，S m =0，S m +2=14（m ≥2，且m ∈N*）． （1）求m 的值；（2）若数列{b n }满足=log a b n （n ∈N*），求数列{（a n +6）•b n }的前n 项和．18．（12分）如图，三棱柱ABC ﹣DEF 中，侧面ABED 是边长为2的菱形，且∠ABE=，BC=，四棱锥F ﹣ABED 的体积为2，点F 在平面ABED 内的正投影为G ，且G 在AE 上，点M 是在线段CF 上，且CM=CF ． （Ⅰ）证明：直线GM ∥平面DEF ；（Ⅱ）求二面角M﹣AB﹣F的余弦值．19．（12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种．若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（Ⅰ）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定a=950．记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）（Ⅱ）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．20．（12分）设M、N、T是椭圆+=1上三个点，M、N在直线x=8上的摄影分别为M1、N1．（Ⅰ）若直线MN过原点O，直线MT、NT斜率分别为k1，k2，求证k1k2为定值．（Ⅱ）若M、N不是椭圆长轴的端点，点L坐标为（3，0），△M1N1L与△MNL 面积之比为5，求MN中点K的轨迹方程．21．（12分）已知函数f（x）=mln（x+1），g（x）=（x＞﹣1）．（Ⅰ）讨论函数F（x）=f（x）﹣g（x）在（﹣1，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若y=f（x）与y=g（x）的图象有且仅有一条公切线，试求实数m的值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a ＞0，β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程ρcos（θ﹣）=．（Ⅰ）若曲线C与l只有一个公共点，求a的值；（Ⅱ）A，B为曲线C上的两点，且∠AOB=，求△OAB的面积最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值为m．（1）作出函数f（x）的图象；（2）若a2+2c2+3b2=m，求ab+2bc的最大值．2017年山西省晋中市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设U=R，A={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x≥1}，则A∩∁U B=（）A．{1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣3，﹣2，﹣1，0}D．{2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据补集与交集的定义，写出∁U B与A∩∁U B即可．【解答】解：因为全集U=R，集合B={x|x≥1}，所以∁U B={x|x＜1}=（﹣∞，1），且集合A={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，所以A∩∁U B={﹣3，﹣2，﹣1，0}故选：C【点评】本题考查了集合的定义与计算问题，是基础题目．2．在复平面中，复数+i4对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数+i4=+1=+1=﹣i对应的点（，﹣）在第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，则“sinA＞sinB”是“a＞b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：在三角形中，若a＞b，由正弦定理=，得sinA＞sinB．若sinA＞sinB，则正弦定理=，得a＞b，则“sinA＞sinB”是“a＞b”的充要条件．故选：C【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，利用正弦定理确定边角关系，是解决本题的关键．．4．若sin（π﹣α）=，且≤α≤π，则sin2α的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】二倍角的正弦．【分析】由已知利用诱导公式可求sinα，利用同角三角函数基本关系式可求cosα，进而利用二倍角正弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵sin（π﹣α）=，∴sinα=，又∵≤α≤π，∴cosα=﹣=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=2×（﹣）=﹣．故选：A．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5．执行如图的程序框图，则输出K的值为（）A．98 B．99 C．100 D．101【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的K，S的值，观察规律，可得当K=99，S=2，满足条件S≥2，退出循环，输出K的值为99，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得K=1，S=0S=lg2不满足条件S≥2，执行循环体，K=2，S=lg2+lg=lg3不满足条件S≥2，执行循环体，K=3，S=lg3+lg=lg4…观察规律，可得：不满足条件S≥2，执行循环体，K=99，S=lg99+lg=lg100=2满足条件S≥2，退出循环，输出K的值为99．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．6．李冶（1192﹣1279），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（）A．10步、50步B．20步、60步C．30步、70步D．40步、80步【考点】三角形中的几何计算．【分析】根据水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，即方田面积减去水池面积为13.75亩，方田的四边到水池的最近距离均为二十步，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．从而建立关系求解即可．【解答】解：由题意，设圆池直径为m，方田边长为40步+m．方田面积减去水池面积为13.75亩，∴（40+m）2﹣=13.75×240．解得：m=20．即圆池直径20步那么：方田边长为40步+20步=60步．故选B．【点评】本题考查了对题意的理解和关系式的建立．读懂题意是关键，属于基础题．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．16 B．20 C．52 D．60【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得到几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，根据图中数据，计算体积即可．【解答】解：由题意，几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如图体积为=20；故选B．【点评】本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还原几何体，利用三视图的数据求体积．8．已知函数f（x）=sin（2x+），f′（x）是f（x）的导函数，则函数y=2f（x）+f′（x）的一个单调递减区间是（）A．[，] B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]【考点】利用导数研究函数的单调性；正弦函数的单调性．【分析】求出函数的导数，利用两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用三角函数的单调性求解函数的求解函数单调减区间．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+），f′（x）是f（x）的导函数，则函数y=2f（x）+f′（x）=2sin（2x+）+2cos（2x+）=sin（2x++）=2sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，可得：kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，所以函数的一个单调减区间为：[，]．故选：A．【点评】本题考查函数的导数的应用，三角函数的化简以及单调区间的求法，考查转化思想以及计算能力．9．若a=2（x+|x|）dx，则在的展开式中，x的幂指数不是整数的项共有（）A．13项B．14项C．15项D．16项【考点】二项式系数的性质．【分析】a=2（x+|x|）dx=+2=18．再利用通项公式即可得出．【解答】解：a=2（x+|x|）dx=+2=18．==（﹣1）则在的通项公式：T r+1r．（r=0，1，2，…，18）．只有r=0，6，12，18时x的幂指数是整数，因此x的幂指数不是整数的项共有19﹣4=15．故选：C．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式、微积分基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．在平面直角坐标系中，不等式组（r为常数）表示的平面区域的面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z=的最小值为（）A．﹣1 B．﹣C．D．﹣【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，由z==1+，而的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣3，2）连线的斜率．结合直线与圆的位置关系求得答案．【解答】解：∵不等式组（r为常数）表示的平面区域的面积为π，∴圆x2+y2=r2的面积为4π，则r=2．由约束条件作出可行域如图，z==1+，而的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣3，2）连线的斜率．设过P的圆的切线的斜率为k，则切线方程为y﹣2=k（x+3），即kx﹣y+3k+2=0．由，解得k=0或k=﹣．∴z=的最小值为1﹣．故选：D．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A、B两点，AF2、BF2分别交y轴于P、Q两点，若△PQF2的周长为12，则ab取得最大值时该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，△ABF2的周长为24，利用双曲线的定义，可得=24﹣4a，进而转化，利用导数的方法，即可得出结论．【解答】解：由题意，△ABF2的周长为24，∵|AF2|+|BF2|+|AB|=24，∵|AF2|+|BF2|﹣|AB|=4a，|AB|=，∴=24﹣4a，∴b2=a（6﹣a），∴y=a2b2=a3（6﹣a），∴y′=2a2（9﹣2a），0＜a＜4.5，y′＞0，a＞4.5，y′＞0，∴a=4.5时，y=a2b2取得最大值，此时ab取得最大值，b=，∴c=3，∴e==，故选：D．【点评】本题考查双曲线的定义，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．12．已知函数f（x）=e2x﹣ax2+bx﹣1，其中a，b∈R，e为自然对数的底数，若f（1）=0，f′（x）是f（x）的导函数，函数f′（x）在区间（0，1）内有两个零点，则a的取值范围是（）A．（e2﹣3，e2+1）B．（e2﹣3，+∞） C．（﹣∞，2e2+2）D．（2e2﹣6，2e2+2）【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．【分析】利用f（1）=0得出a，b的关系，根据f′（x）=0有两解可知y=2e2x与y=2ax+a+1﹣e2的函数图象在（0，1）上有两个交点，做出两函数图象，根据图象判断a的范围．【解答】解：∵f（1）=0，∴e2﹣a﹣b﹣1=0，即b=e2﹣a﹣1，∴f（x）=e2x﹣ax2+（e2﹣a﹣1）x﹣1，∴f′（x）=2e2x﹣2ax+e2﹣a﹣1，令f′（x）=0得2e2x=2ax+a+1﹣e2，∵函数f′（x）在区间（0，1）内有两个零点，∴y=2e2x与y=2ax+a+1﹣e2的函数图象在（0，1）上有两个交点，作出y=2e2x与y=2ax+a+1﹣e2的函数图象，如图所示：当a+1﹣e2≥2即a≥e2+1时，直线y=2ax与y=2e2x最多只有1个交点，不符合题意；∴a+1﹣e2＜2，即a＜e2+1，排除B，C，D．故选A．【点评】本题考查的知识点是函数零点与函数图象的关系，转化思想，分类说讨论思想，中档题．二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．设样本数据x1，x2，…，x2017的方差是4，若y i=2x i﹣1（i=1，2，…，2017），则y1，y2，…y2017的方差为16．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据题意，设数据x1，x2，…，x2017的平均数为，由方差公式可得=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2+…+（x2017﹣）2]=4，进而对于数据y i=2x i ﹣1，可以求出其平均数，进而由方差公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，设样本数据x1，x2，…，x2017的平均数为，又由其方差为4，则有= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2+…+（x2017﹣）2]=4，对于数据y i=2x i﹣1（i=1，2，…，2017），其平均数=（y1+y2+…+y2017）=[（2x1﹣1）+（2x2﹣1）+…+（2x2017﹣1）]=2﹣1，其方差= [（y1﹣）2+（y2﹣）2+（y3﹣）2+…+（y2017﹣）2]= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2+…+（x2017﹣）2]=16，故答案为：16．【点评】本题考查数据的方差计算，关键是掌握方差的计算公式．14．在平面内将点A（2，1）绕原点按逆时针方向旋转，得到点B，则点B的坐标为（﹣，）．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】AC⊥x轴于C点，BD⊥x轴于D点，由点A的坐标得到AC，OC，可求sin∠AOC，cos∠AOC，再根据旋转的性质得到∠BOC=∠AOC+，OA=OB，利用两角和的正弦函数，余弦函数公式即可得到B点坐标．【解答】解：如图，作AC⊥x轴于C点，BD⊥x轴于D点，∵点A的坐标为（2，1），∴AC=1，OC=2，∴OA==，∴sin∠AOC=，cos∠AOC=，∵OA绕原点按逆时针方向旋转得OB，∴∠AOB=，OA=OB=，∴∠BOC=∠AOC+，∴sin∠BOC=sin（∠AOC+）=sin∠AOCcos+cos∠AOCsin=×（﹣）+×=，cos∠BOC=cos（∠AOC+）=cos∠AOCcos﹣sin∠AOCsin=×（﹣）﹣×=﹣，∴DB=OBsin ∠BOC=×=，OD=OBcos ∠BOC=×（﹣）=﹣，∴B 点坐标为：（﹣，）．故答案为：（﹣，）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：把点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，根据直角三角形的性质确定点的坐标．也考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．15．设二面角α﹣CD ﹣β的大小为45°，A 点在平面α内，B 点在CD 上，且∠ABC=45°，则AB 与平面β所成角的大小为 30° ． 【考点】直线与平面所成的角．【分析】先根据题意画出相应的图形，然后找出AB 与面β的所成角，在直角三角形ABD 中进行求解即可．【解答】解：根据题意先画出图形作AD ⊥β交面β于D ， 由题意可知∠ABC=45°，∠ACD=45°，设AD=1，则CD=1，AC=，BC=，AB=2，而AD=1，三角形ABD 为直角三角形， ∴∠ABD=30°． 故答案为：30°．【点评】本题主要考查了直线与平面所成角的度量，解题的关键是通过题意画出相应的图形，属于中档题．16．非零向量，的夹角为，且满足||=λ||（λ＞0），向量组，，由一个和两个排列而成，向量组，，由两个和一个排列而成，若•+•+•所有可能值中的最小值为42，则λ=．【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．【分析】列出向量组的所有排列，计算所有可能的值，根据最小值列出不等式组解出．【解答】解： =||×λ||×cos=2，=λ22，向量组，，共有3种情况，即（，，），（），（），向量组，，共有3种情况，即（），（），（，），∴•+•+•所有可能值有2种情况，即++=（λ2+λ+1），3=，∵•+•+•所有可能值中的最小值为42，∴或．解得λ=．故答案为．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．三、解答题（本题共6题，70分）17．（12分）（2017•晋中一模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣4，S m=0，S m+2=14（m≥2，且m∈N*）．（1）求m的值；（2）若数列{b n}满足=log a b n（n∈N*），求数列{（a n+6）•b n}的前n项和．【考点】数列的求和；等差数列的性质．【分析】（1）计算a m，a m+1+a m+2，利用等差数列的性质计算公差d，再代入求和公式计算m；（2）求出a n，b n，得出数列{（a n+6）•b n}的通项公式，利用错位相减法计算．【解答】解：（1）∵S m﹣1=﹣4，S m=0，S m+2=14，∴a m=S m﹣S m﹣1=4，a m+1+a m+2=S m+2﹣S m=14．设{a n}的公差为d，则2a m+3d=14，∴d=2．∵S m==0，∴a1=﹣a m=﹣4．∴a m=a1+（m﹣1）d=﹣4+2（m﹣1）=4，∴m=5．（2）由（1）可得a n=﹣4+2（n﹣1）=2n﹣6．∵=log a b n，即n﹣3=log a b n，∴b n=a n﹣3，∴（a n+6）•b n=2n•a n﹣3，设数列{（a n+6）•b n}的前n项和为T n，则T n=2•a﹣2+4•a﹣1+6•a0+8•a+…+2n•a n﹣3，①∴aT n=2•a﹣1+4•a0+6•a+8•a2+…+2n•a n﹣2，②①﹣②得：（1﹣a）T n=2a﹣2+2a﹣1+2a0+2a+…+2a n﹣3﹣2n•a n﹣2，=﹣2n•a n﹣2=﹣，∴T n=﹣．【点评】本题考查了等差数列，等比数列的性质，数列求和，属于中档题．18．（12分）（2017•石家庄二模）如图，三棱柱ABC﹣DEF中，侧面ABED是边长为2的菱形，且∠ABE=，BC=，四棱锥F﹣ABED的体积为2，点F在平面ABED内的正投影为G，且G在AE上，点M是在线段CF上，且CM=CF．（Ⅰ）证明：直线GM∥平面DEF；（Ⅱ）求二面角M﹣AB﹣F的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）由四棱锥锥F﹣ABED的体积为2求出FG，进一步求得EG，可得点G是靠近点A的四等分点．过点G作GK∥AD交DE于点K，可得GK=．又MF=，得到MF=GK且MF∥GK．则四边形MFKG为平行四边形，从而得到GM∥FK，进一步得到直线GM∥平面DEF；（Ⅱ）设AE、BD的交点为O，OB所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，点O作平面ABED的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ABM，ABF的法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角M﹣AB﹣F的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵四棱锥锥F﹣ABED的体积为2，=，∴FG=．即V F﹣ABCD又BC=EF=，∴EG=，即点G是靠近点A的四等分点．过点G作GK∥AD交DE于点K，∴GK=．又MF=，∴MF=GK且MF∥GK．四边形MFKG为平行四边形，∴GM∥FK，∴直线GM∥平面DEF；（Ⅱ）设AE、BD的交点为O，OB所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，过点O作平面ABED的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：A（0，﹣1，0），B（，0，0），F（0，﹣，），M（）．，，．设平面ABM，ABF的法向量分别为，．由，则，取y=﹣，得，同理求得．∴cos＜＞=，∴二面角M﹣AB﹣F的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．19．（12分）（2017•石家庄二模）交强险是车主必须为机动车购买的险种．若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（Ⅰ）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定a=950．记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）（Ⅱ）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由题意可知X的可能取值为0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a．由统计数据可知其概率及其分布列．（II）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至多有一辆事故车的概率为P=+．②设Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y的可能取值为﹣5000，10000．即可得出分布列与数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知X的可能取值为0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a．…（2分）由统计数据可知：P（X=0.9a）=，P（X=0.8a）=，P（X=0.7a）=，P（X=a）=，P（X=1.1a）=，P（X=1.3a）=．所以X的分布列为：…（4分）所以EX=0.9a×+0.8a×+0.7a×+a×+1.1a×+1.3a×==≈942．（Ⅱ）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至多有一辆事故车的概率为P=+=．…（8分）②设Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y的可能取值为﹣5000，10000．所以Y的分布列为：所以EY=﹣5000×+10000×=5000．…（10分）所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为100EY=50万元．…（12分）【点评】本题考查了随机变量的分布列与数学期望、相互独立与互斥事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）（2017•石家庄二模）设M、N、T是椭圆+=1上三个点，M、N在直线x=8上的摄影分别为M1、N1．（Ⅰ）若直线MN过原点O，直线MT、NT斜率分别为k1，k2，求证k1k2为定值．（Ⅱ）若M、N不是椭圆长轴的端点，点L坐标为（3，0），△M1N1L与△MNL 面积之比为5，求MN中点K的轨迹方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设M（p，q），N（﹣p，﹣q），T（x0，y0），则h1h2=，又即可得h1h2（Ⅱ）设直线MN与x轴相交于点R（r，0），根据面积之比得r即直线MN经过点F（2，0）．设M（x1，y1），N（x2，y2），K（x0，y0）分①当直线MN垂直于x轴时，②当直线MN与x轴不垂直时，设MN的方程为y=k（x﹣2）x0=．消去k，整理得（x0﹣1）2+=1（y0≠0）．【解答】解：（Ⅰ）设M（p，q），N（﹣p，﹣q），T（x0，y0），则h1h2=，…（2分）又两式相减得，即h1h2==﹣，…（…=×|r﹣3|•|y M﹣y N|（Ⅱ）设直线MN与x轴相交于点R（r，0），s△MNL=|．由于△M1N1L与△MNL面积之比为5且|y M﹣y N|=|，得=5，r=4（舍去）或r=2．…（8分）即直线MN经过点F（2，0）．设M（x1，y1），N（x2，y2），K（x0，y0）①当直线MN垂直于x轴时，弦MN中点为F（2，0）；…（9分）②当直线MN与x轴不垂直时，设MN的方程为y=k（x﹣2），则联立．⇒（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0．…（10分）x0=．消去k，整理得（x0﹣1）2+=1（y0≠0）．综上所述，点K的轨迹方程为（x﹣1）2+=1（x＞0）．…（12分）【点评】本题考查了轨迹方程的求法，及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21．（12分）（2017•石家庄二模）已知函数f（x）=mln（x+1），g（x）=（x＞﹣1）．（Ⅰ）讨论函数F（x）=f（x）﹣g（x）在（﹣1，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若y=f（x）与y=g（x）的图象有且仅有一条公切线，试求实数m的值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求得F（x）的导数，讨论当m≤0时，当m＞0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意定义域；（Ⅱ）分别求出f（x），g（x）在切点处的斜率和切线方程，化为斜截式，可得y=f（x）与y=g（x）的图象有且仅有一条公切线等价为=（1），mln（a+1）﹣=（2），有唯一一对（a，b）满足这个方程组，且m＞0，消去a，得到b的方程，构造函数，求出导数和单调性，得到最值，即可得到a=b=0，公切线方程为y=x．【解答】解：（Ⅰ）F′（x）=f′（x）﹣g′（x）=﹣=（x＞﹣1），当m≤0时，F′（x）＜0，函数F（x）在（﹣1，+∞）上单调递减；…（2分）当m＞0时，令F′（x）＜0，可得x＜﹣1+，函数F（x）在（﹣1，﹣1+）上单调递减；F′（x）＞0，可得＞﹣1+，函数F（x）在（﹣1+，+∞）上单调递增．综上所述，当m≤0时，F（x）的减区间是（﹣1，+∞）；当m＞0时，F（x）的减区间是（﹣1，﹣1+），增区间是（﹣1+，+∞）…（4分）（Ⅱ）函数f（x）=mln（x+1）在点（a，mln（a+1））处的切线方程为y﹣mln（a+1）=（x﹣a），即y=x+mln（a+1）﹣，函数g（x）=在点（b，）处的切线方程为y﹣=（x﹣b），即y=x+．y=f（x）与y=g（x）的图象有且仅有一条公切线所以=（1），mln（a+1）﹣=（2），有唯一一对（a，b）满足这个方程组，且m＞0…（6分）由（1）得：a+1=m（b+1）2代入（2）消去a，整理得：2mln（b+1）++mlnm﹣m﹣1=0，关于b（b＞﹣1）的方程有唯一解…（8分）令t（b）=2mln（b+1）++mlnm﹣m﹣1，t′（b）=﹣=，方程组有解时，m＞0，所以t（b）在（﹣1，﹣1+）单调递减，在（﹣1+，+∞）上单调递增．所以t（b）min=t（（﹣1+）=m﹣mlnm﹣1．由b→+∞，t（b）→+∞；b→﹣1，t（b）→+∞，只需m﹣mlnm﹣1=0…（10分）令u（m）=m﹣mlnm﹣1，u′（m）=﹣lnm在m＞0为单减函数，且m=1时，u′（m）=0，即u（m）min=u（1）=0，所以m=1时，关于b的方程2mln（b+1）++mlnm﹣m﹣1=0有唯一解．此时a=b=0，公切线方程为y=x…（12分）【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性、极值和最值，考查分类讨论和转化思想的运用，以及构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于难题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）（2017•石家庄二模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（a＞0，β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程ρcos（θ﹣）=．（Ⅰ）若曲线C与l只有一个公共点，求a的值；（Ⅱ）A，B为曲线C上的两点，且∠AOB=，求△OAB的面积最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）根据sin2β+cos2β=1消去β为参数可得曲线C的普通方程，根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，直线l的极坐标方程化为普通方程，曲线C与l只有一个公共点，即圆心到直线的距离等于半径，可得a的值．（Ⅱ）利用极坐标方程的几何意义求解即可．【解答】（Ⅰ）曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；直线l的直角坐标方程为由直线l与圆C只有一个公共点，则可得解得：a=﹣3（舍）或a=1所以：a=1．（Ⅱ）由题意，曲线C的极坐标方程为ρ=2acosθ（a＞0）设A的极角为θ，B的极角为则：==∵cos=所以当时，取得最大值∴△OAB的面积最大值为．解法二：因为曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆，且由正弦定理得：，所以|AB=由余弦定理得：|AB2=3a2=|0A|2+|OB|2﹣|OA||OB|≥|OA||OB|则：≤×=．∴△OAB的面积最大值为．【点评】本题考查参数方程、极坐标方程、普通方程的互化，以及应用，属于中档题[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•晋中一模）设函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值为m．（1）作出函数f（x）的图象；（2）若a2+2c2+3b2=m，求ab+2bc的最大值．【考点】绝对值三角不等式．【分析】（1）分类讨论，作出函数f（x）的图象；（2）求出函数的值域，即可求m的值，利用基本不等式求ab+2bc的最大值．【解答】解：（1）当x≤﹣时，f（x）=（1﹣x）+2x+1=x+2；当﹣＜x＜1时，f（x）=（1﹣x）﹣2x﹣1=﹣3x：当x≥1时，f（x）=（x﹣1）﹣2x﹣1=﹣x﹣2，函数f（x）的图象，如图所示；（2）由题意，当x=﹣时，f（x）取得最大值m=1.5，∴a2+2c2+3b2=1.5，∴ab+2bc≤（a2+2c2+3b2）=，即ab+2bc的最大值为．【点评】本题考查绝对值不等式，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
山西省太原市高2020届高2017级高三下学期模拟考试三理科数学试题及参考答案解析
2020年太原市高考数学三模试卷(理科)一、选择题(共12小题).1.已知集合A ＝{x |x 2﹣3x +2≥0},B ＝{x |x +1≥a },若A ∪B ＝R ,则实数a 的取值范围是( ) A.[2,+∞) B.(﹣∞,2] C.[1,+∞) D.(﹣∞,1]【参考答案】B 【试题解析】先化简集合A ,B ,再由A ∪B ＝R 求解.【详细解答】∵集合A ＝{x |x 2﹣3x +2≥0}＝{x |x ≤1或x ≥2},B ＝{x |x +1≥a }＝{x |x ≥a ﹣1},又因为A ∪B ＝R , ∴a ﹣1≤1, 解得a ≤2,∴实数a 的取值范围是(﹣∞,2]. 故选：B .本题主要考查集合运算的应用以及一元二次不等式的解法,还考查了运算求解的能力,属于基础题. 2.若复数z 满足(12)z i i =-⋅,则复平面内z 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【参考答案】D 【试题解析】利用复数的运算法则、几何意义、共轭复数的定义即可得出. 【详细解答】解：(12)2z i i i =-⋅=+,z ＝2﹣i 在复平面内所对应的点(2,﹣1)位于第四象限.故选：D.本题考查了复数运算法则、几何意义、共轭复数的定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 3.已知1,0a b c >><,则( ) A.c c a b< B.a b c c <C.c c a b <D.log ()log ()a b b c a c ->-【参考答案】C 【试题解析】利用不等式的性质、函数的单调性和赋值法可得正确的选项. 【详细解答】解：①由于1a b >>,所以110a b <<,又0c <,故c c a b>,选项A 错误. ②当2,4,2c a b =-==时,a b c c >,故选项B 错误. ③由于1,0a b c >><,cy x =在()0,∞+上为减函数,故c c a b <,选项C 正确.④由于1,0a b c >><,所以0a c b c ->->, 故log ()log ()log ()a b b b c b c a c -<-<-,故D 错误. 故选：C.本题考查指数式、对数式、分式的大小比较,一般地,我们可利用不等式的性质或指数函数、对数函数、幂函数的单调性来讨论,而说明一个不等式不成立时,可举例说明.4.已知sin cos αα-=α∈(0, π),则tan α＝A.-1B.2-C.2D.1【参考答案】A 【试题解析】【详细解答】sin cos αα-=()0,απ∈,12sin cos 2αα∴-=,即sin 21α=-,故34πα=1tan α∴=-故选A5.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生"的问题,松长三尺,竹长一尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等,如图是源于其思想的一个程序框图,若输入的a ,b 分别为3,1,则输出的n 等于A.5B.4C.3D.2【参考答案】B 【试题解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 【详细解答】解：当n ＝1时,a ＝33922+=,b ＝2,满足进行循环的条件, 当n ＝2时,a 9927244=+=,b ＝4,满足进行循环的条件, 当n ＝3时,a 272781488=+=,b ＝8,满足进行循环的条件, 当n ＝4时,a 818124381616=+=,b ＝16,不满足进行循环的条件, 故输出的n 值为4, 故选：B.本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环的方法解答. 6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若138a a =-,且313S =,则2a =( ) A.3- B.3 C.353-D.3或353-【参考答案】D【试题解析】设公比为q ,利用基本量法求解即可.【详细解答】设公比为q ,易知1q ≠.由133813a a S =-⎧⎨=⎩得()2113181131a a q a q q ⎧=-⎪-⎨=⎪-⎩,解得113a q =⎧⎨=⎩或125373a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩当113a q =⎧⎨=⎩时,213a a q ==；当125373a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时,21353a a q ==-,所以23a =或2353a =-, 故选：D .本题主要考查了等比数列的基本量求解方法,属于中等题型. 7.平面向量a ,b 共线的充要条件是( ) A.a b a b ⋅=B.a ,b 两向量中至少有一个为零向量C.∃λ∈R ,b a λ=D.存在不全为零的实数λ1,λ2,120a b λλ+= 【参考答案】 D 【试题解析】根据共线向量基本定理,结合充分条件的定义进行求解即可.【详细解答】A ：a b a b ⋅=成立时,说明两个非零向量的夹角为零度,但是非零两个向量共线时,它们的夹角可以为平角,故本选项是错误的；B ：两个非零向量也可以共线,故本选项是错误的；C ：只有当a 不是零向量时才成立,故本选项是错误的；D ：当平面向量a ,b 共线时,存在一个λ,使得b a λ=(0)a ≠成立,因此存在不全为零的实数λ1,λ2,120a b λλ+=；当存在不全为零的实数λ1,λ2,120a b λλ+=成立时,若实数λ1,λ2不都为零时, 则有21a b λλ=-成立,显然a ,(0)b b ≠共线,若其中实数λ1,λ2有一个为零时,不妨设 10λ=,则有200b b λ=⇒=,所以平面向量a ,b 共线,所以本选项是正确的.故选：D本题考查了平面向量共线定理的应用,属于基础题.8.根据党中央关于“精准”脱贫的要求,我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研,每个县区至少派一位专家,则甲,乙两位专家派遣至同一县区的概率为( ) A.16B.14C.13D.12【参考答案】A 【试题解析】每个县区至少派一位专家,基本事件总数36n =,甲,乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数6m =,由此能求出甲,乙两位专家派遣至同一县区的概率.【详细解答】派四位专家对三个县区进行调研,每个县区至少派一位专家基本事件总数：234336n C A == 甲,乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：2122326m C C A ==∴甲,乙两位专家派遣至同一县区的概率为：61366m p n === 本题正确选项：A本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 9.把函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移12π个单位后,得到函数y ＝g (x )的图象.则g (x )的解析式是( ) A.()212g x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B.()12212g x cos x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C.()112262g x cos x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ D.()112262g x sin x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 【参考答案】C 【试题解析】利用函数sin()y A wx ϕ=+的图象变换规律,即可求解,得到函数的解析式.【详细解答】由题意,把函数()211sin cos 222f x x x ==-的图象向右平移12π个单位后,得到函数()1111cos[2()]cos(2)2212226y g x x x ππ==--=--的图象.故选：C .本题主要考查了利用三角函数的图象变换求解三角函数的解析式,其中解答中利用余弦的倍角公式,化简得到()f x 的解析式,再结合三角函数的图象变换求解是解答的关键,着重考查推理与运算能力. 10.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增,若实数a 满足()()212log log 21f a f a f ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭,则a 的取值范围是( )A.122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B.[1,2]C.102⎛⎫ ⎪⎝⎭，D.(0,2]【参考答案】A 【试题解析】由偶函数的性质将()()212log log 21f a f a f ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭化为：2(log )(1)f a f ≤ ,再由f (x )的单调性列出不等式,根据对数函数的性质求出a 的取值范围.【详细解答】解：因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数, 所以1222(log )(log )(log )f a f a f a =-=,则()()212log log 21f a f a f ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭为2(log )(1)f a f ≤, 因为函数f (x )在区间[0,+∞)上单调递增,所以|log 2a |≤1,解得12≤a ≤2, 则a 的取值范围是[12,2], 故选：A .此题考查函数的奇偶性、单调性的应用,以及对数函数的性质,属于基础题.11.已知抛物线C ：x 2＝8y ,过点M (x 0,y 0)作直线MA 、MB 与抛物线C 分别切于点A 、B ,且以AB 为直径的圆过点M ,则y 0的值为( ) A.﹣1 B.﹣2 C.﹣4 D.不能确定【参考答案】B 【试题解析】设出,A B 的坐标,利用函数的导数,结合直线经过M ,转化求解0y 的值. 【详细解答】设()()1122,,,A x y B x y ,12x x ≠, 由28x y =,可得4xy '=,所以14MA x k =,24MB x k =, 因为过点00(,)M x y 作直线,MA MB 与抛物线C 分别切于点,A B ,且以AB 为直径的圆过点M ,所以12144MA MB x x k k ⋅=⋅=-,可得1216x x =-, 直线MA 的方程为：()()1111144xy y x x x x y y -=-=+， ①,同理直线MB 的方程为：()2224xy y x x -=-,()224x x y y =+②,①2x ⨯-②1x ⨯,可得1228x x y ==-,即02y =-. 故选：B.本题考查函数的导数的应用,曲线与方程相结合,考查计算能力. 12.点M 在曲线:3ln G y x =上,过M 作x 轴垂线l ,设l 与曲线1y x =交于点N ,3OM ON OP +=,且P 点的纵坐标始终为0,则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”,则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为( ) A.0B.1C.2D.3【参考答案】C 【试题解析】设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则21,ln 33tOP t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,即可得1ln 03t t +=,设1()ln 3g t t t =+,利用导函数判断g t 的零点的个数,即为所求.【详细解答】设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫⎪⎝⎭,所以21,ln 333OM ON t OP t t +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭, 依题意可得1ln 03t t+=, 设1()ln 3g t t t =+,则221131()33t g t t t t-'=-=, 当103t <<时,()0g t '<,则()g t 单调递减；当13t >时,()0g t '>,则()g t 单调递增,所以min1()1ln 303g t g ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭,且221120,(1)033e g g e ⎛⎫=-+>=> ⎪⎝⎭,1()ln 03g t t t∴=+=有两个不同的解,所以曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2. 故选:C本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知函数()()122log 01()11x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪-⎩＜，＞，则18f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____. 【参考答案】8. 【试题解析】依题意得f (18)＝3,从而f (f (18))＝f (3),由此能求出结果. 【详细解答】解：∵函数()()122log 01()11x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪-⎩＜，＞，则1211()log 388f ==； ∴18f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f (3)＝32﹣1＝8.故答案为：8.此题考查的是分段函数求值问题,属于基础题.14.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若ABC ∆的面积为)2224a b c --,则A =____________.【参考答案】23π(或120︒) 【试题解析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解. 【详细解答】解：由余弦定理可得a 2﹣b 2﹣c 2＝﹣2bc cos A ,△ABC 的面积为)2224a b c --cos A ,又因为S △ABC ＝1sin 2bc A cos A ,所以tan A 由A ∈(0,π)可得A ＝23π. 故答案为：23π. 本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用,属于基础试题.15.设F 1,F 2分别是双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左、右焦点,若双曲线上存在点P ,使∠F 1PF 2＝60°,且|PF 1|＝2|PF 2|,则双曲线的离心率为_____.【试题解析】根据双曲线的定义,结合余弦定理、双曲线离心率公式进行求解即可. 【详细解答】设|PF 2|＝m ,则|PF 1|＝2m ,显然点 P 在双曲线的右支上, 因此有122PF PF a -=,因此122,4,2m a PF a PF a =∴==, 而122F F c =,∠F 1PF 2＝60°,所以由余弦定理可知；222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠,即222141642422c a a a a =+-⋅⋅⋅,化简得：33cc a e a=⇒== 故答案为：3本题考查了双曲线定义的应用,考查了求双曲线的离心率,考查了余弦定理的应用,考查了数学运算能力. 16.正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中,E 是棱DD 1的中点,F 是侧面CDD 1C 1上的动点,且B 1F ∥平面A 1BE ,记B 1与F 的轨迹构成的平面为α. ①∃F ,使得B 1F ⊥CD 1②直线B 1F 与直线BC 所成角的正切值的取值范围是[24,12] ③α与平面CDD 1C 1所成锐二面角的正切值为22④正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的各个侧面中,与α所成的锐二面角相等的侧面共四个. 其中正确命题的序号是_____.(写出所有正确的命题序号) 【参考答案】①②③④ 【试题解析】分别取CC 1和C 1D 1的中点为M ,N ,连接MN 、MB 1、NB 1,然后利用面面平行的判定定理证明平面MNB 1∥平面A 1BE ,从而确定平面MNB 1就是平面α. 当F 为线段MN 的中点时,可证明①；②利用平移的思想,将直线B 1F 与直线BC 所成角转化为B 1F 与B 1C 1所成的角,由于B 1C 1⊥平面MNC 1,所以tan∠FB 1C 1即为所求,进而求解即可；③平面MNB 1与平面CDD 1C 1所成的锐二面角即为所求,也就是求出tan∠B 1QC 1即可； ④由正方体的对称性和二面角的含义即可判断. 【详细解答】解：如图所示,设正方体的棱长为2,分别取CC 1和C 1D 1的中点为M ,N ,连接MN 、MB 1、NB 1,则MN ∥A 1B ,MB 1∥EA 1, ∵MN 、MB 1⊂平面MNB 1,A 1B 、EA 1⊂平面A 1BE ,且MN ∩MB 1＝M ,A 1B ∩EA 1＝A 1, ∴平面MNB 1∥平面A 1BE ,∴当F 在MN 上运动时,始终有B 1F ∥平面A 1BE ,即平面MNB 1就是平面α.对于①,当F 为线段MN 的中点时,∵MB 1＝NB 1,∴B 1F ⊥MN ,∵MN ∥CD 1,∴B 1F ⊥CD 1,即①正确； 对于②,∵BC ∥B 1C 1,∴直线B 1F 与直线B 1C 1所成的角即为所求, ∵B 1C 1⊥平面MNC 1,C 1F ⊂平面MNC 1,∴B 1C 1⊥C 1F ,∴直线B 1F 与直线B 1C 1所成的角为∠FB 1C 1,且tan∠FB 1C 1111FC B C =, 而FC 1的取值范围为1⎤⎥⎣⎦,B 1C 1＝2,所以tan∠FB 1C 1,12],即②正确； 对于③,平面MNB 1与平面CDD 1C 1所成的锐二面角即为所求, 取MN 的中点Q ,因为B 1C 1⊥平面MNC 1,所以∠B 1QC 1就是所求角,而tan∠B 1QC1111B C QC ===即③正确； 对于④,由对称性可知,与α所成的锐二面角相等的面有平面BCC 1B 1,平面ADD 1A 1,平面A 1B 1C 1D 1,平面ABCD ,即④正确.故答案为：①②③④.此题考查空间立体几何的综合,涉及空间线面的位置关系、异面直线的夹角和面面角等问题,考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力,属于难题.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题：共60分.17.已知{a n }是公差为1的等差数列,数列{b n }满足121111,,2n n n n b b a b b nb ++==+=. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)设12n n nc b =,求数列{c n }的前n 项和S n . 【参考答案】(1)1n b n =(2)12(2)2nn S n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭【试题解析】(1)先由题设条件求得a 1,再求a n ,进而论证数列{nb n }是常数列,最后求得b n ； (2)先由(1)求得c n ,再由错位相减法求S n .【详细解答】(1)由已知得：12211,1a b b b a +=∴= 又∵{a n }是公差为1的等差数列,n a n ∴=∴a n ＝n .11n n n n a b b nb +++=1(1)n n n b nb +∴+=,∴数列{nb n }是常数列,111,n n nb b b n∴==∴=(2)由(1)得：1122nn n n c n b ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭2311111232222nn S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⨯++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①又23411111112322222n n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②由①-②可得：231111111222222nn n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11112211212nn n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⋅ ⎪⎝⎭- 111(2)2n n +⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭12(2)2nn S n ⎛⎫∴=-+⋅ ⎪⎝⎭本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和,属于中档题.18.垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法,为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率,引导居民积极行动,科学地进行垃圾分类,某小区随机抽取年龄在区间[25,85]上的50人进行调研,统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表：(1)填写下面2x2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；(2)若对年龄在[45,55),[25,35)的被调研人中各随机选取2人进行深入调研,记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.参考公式和数据K2()()()()()2n ad bca b c d a c b d-=++++,其中n＝a+b+c+d.【参考答案】(1)填表见解析；不能(2)分布列见解析；期望为4 5【试题解析】(1)根据题意填写列联表,计算观测值,对照临界值得出结论；(2)由题意知随机变量X的可能取值,计算对应的概率值,写出分布列,求出数学期望值. 【详细解答】解：(1)根据题意填写2x2列联表,计算K2()25029711340103218⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯6.272＜6.635,所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；(2)由题意知,随机变量X的可能取值为0,1,2,3；计算P(X＝0)22842210584225C CC C⋅==⋅,P(X＝1)211128482422105104225C C C C CC C⋅+⋅⋅==⋅,P(X＝2)11122824242210535225C C C C CC C⋅⋅+⋅==⋅,P(X＝3)2124221052225C CC C⋅==⋅；所以随机变量X的分布列为：所以X的数学期望为E(X)＝084225⨯+1104225⨯+235225⨯+3242255⨯=.此题考了独立性检验的应用,考查了随机变量的分布列和数学期望,属于中档题.19.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知四边形AA1C1C为矩形,AA1＝6,AB＝AC＝4,∠BAC＝∠BAA1＝60°,∠A1AC的角平分线AD交CC1于D.(1)求证：平面BAD⊥平面AA1C1C；(2)求二面角A﹣B1C1﹣A1的余弦值.【参考答案】(1)证明见解析；317【试题解析】(1)过点D 作DE ∥AC 交AA 1于E ,连接CE ,BE ,设AD ∩CE ＝O ,连接BO ,推导出DE ⊥AE ,四边形AEDC 为正方形,CE ⊥AD ,推导出△BAC ≌△BAE ,从而BC ＝BE ,CE ⊥BO ,从而CE ⊥平面BAD ,由此能证明平面BAD ⊥平面AA 1C 1C.(2)推导出BO ⊥AD ,BO ⊥CE ,从而BO ⊥平面AA 1C 1C ,建立空间直角坐标系O ﹣xyz ,利用向量法能求出二面角A ﹣B 1C 1﹣A 1的余弦值.【详细解答】解：(1)如图,过点D 作DE ∥AC 交AA 1于E ,连接CE ,BE , 设AD ∩CE ＝O ,连接BO ,∵AC ⊥AA 1,∴DE ⊥AE ,又AD 为∠A 1AC 的角平分线,∴四边形AEDC 为正方形,∴CE ⊥AD , 又∵AC ＝AE ,∠BAC ＝∠BAE ,BA ＝BA ,∴BAC ≌BAE ,∴BC ＝BE , 又∵O 为CE 的中点,∴CE ⊥BO ,又∵AD ,BO ⊆平面BAD ,AD ∩BO ＝O ,∴CE ⊥平面BAD. 又∵CE ⊆平面AA 1C 1C ,∴平面BAD ⊥平面AA 1C 1C. (2)在ABC 中,∵AB ＝AC ＝4,∠BAC ＝60°,∴BC ＝4, 在Rt BOC 中,∵12CO CE ==∴BO =, 又AB ＝4,12AO AD ==∵BO 2+AO 2＝AB 2,∴BO ⊥AD , 又BO ⊥CE ,AD ∩CE ＝O ,AD ,CE ⊆平面AA 1C 1C ,∴BO ⊥平面AA 1C 1C , 故建立如图空间直角坐标系O ﹣xyz ,则A (2,﹣2,0),A 1(2,4,0),C 1(﹣2,4,0),(106B ，,∴(1122C B =，,()1460AC =-，，,()11400C A =，，, 设平面AB 1C 1的一个法向量为()111m x y z =，，,则111m C B m AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩,∴11111460220x y x y -+=⎧⎪⎨++=⎪⎩,令x 1＝6,得(64m =-，，, 设平面A 1B 1C 1的一个法向量为()222n x y z =，，,则1111n C B n C A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩,∴222240220x x y =⎧⎪⎨++=⎪⎩,令22y =,得()021n =-，，,∴92317171023m ncos m nm n⋅===⋅⋅＜，＞,故二面角A﹣B1C1﹣A1的余弦值为317.本题考查面面垂直的证明和求二面角,求空间角通常用向量法求解,考查运算能力,属于中档题.20.已知椭圆C：221x ya b+=(a＞b＞0)的焦距为2,且过点312⎛⎫⎪⎝⎭，.(1)求椭圆C的方程；(2)已知△BMN是椭圆C的内接三角形,若坐标原点O为△BMN的重心,求点O到直线MN距离的最小值. 【参考答案】(1)22143x y+=(2)32【试题解析】(1)由题意焦距的值可得c的值,再由椭圆过点312⎛⎫⎪⎝⎭，,及a,b,c之间的关系求出a,b的值,进而求出椭圆的方程；(2)分B的纵坐标为0和不为0两种情况讨论,设B的坐标,由O是三角形的重心可得MN的中点的坐标,设M,N的坐标,代入椭圆方程两式相减可得直线MN的斜率,求出直线MN的方程,求出O到直线MN的距离的表达式,再由B的纵坐标的范围求出d的取值范围,进而求出d的最小值.【详细解答】解：(1)由题意可得：椭圆的焦距为2,则1c=,又椭圆过点312⎛⎫⎪⎝⎭，222221914a bc a b⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,解得：a2＝4,b2＝3,所以椭圆的方程为：2243x y +=1；(2)设B ()m n ，,记线段MN 中点D ,因为O 为BMN 的重心,所以BO =2OD ,则点D 的坐标为：22，n m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭, 若n ＝0,则|m |＝2,此时直线MN 与x 轴垂直, 故原点O 到直线MN 的距离为2m ,即为1,若n ≠0,此时直线MN 的斜率存在,设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1+x 2＝﹣m ,y 1+y 2＝﹣n ,又221143x y +=1,222243x y +=1,两式相减()()()()1212121243x x x x y y y y +-+-+=0,可得：k MN 1212y y x x -==-34m n-,故直线MN 的方程为：y 34m n =-(x 2m +)2n -,即6mx +8ny +3m 2+4n 2＝0,则点O 到直线MN 的距离d 2222343664m n m n+=+,将2243m n +=1,代入得d 29n =+,因为0＜n 2≤3,所以d min 32=,又32＜1, 故原点O 到直线MN 的距离的最小值为3.本题考查求椭圆的方程,点到直线的距离,考查椭圆中的最值问题,注意直线的斜率的讨论,属于难题. 21.已知函数2()ln ()f x x x ax a R =-∈. (1)讨论函数的极值点个数；(2)若()()g x f x x =-有两个极值点12,x x ,试判断12x x +与12x x ⋅的大小关系并证明. 【参考答案】(1)答案不唯一,具体见解析(2)1212x x x x +<,详见解析 【试题解析】(1)由已知令')0f x =（,得1ln 2x a x +=,记1ln ()xQ x x+=,则函数()f x 的极值点个数转化为函数()Q x 与y ＝2a 的交点个数,再利用导数得到()Q x 在(0,1)上是增函数,在1+，上是减函数,且max ()=(1)1Q x Q =,对a 分情况讨论,即可得到函数()f x 的极值点个数情况；(2)由已知令'()0g x =,可得ln 2x a x =,记ln ()x h x x=,利用导数得到()h x 的单调性,可得max 1()h x e =,当x e >时,()0f x >,所以当102a e <<即102a e<<时()g x 有2个极值点12,x x ,从而得到1212ln()2x x a x x =+,所以1212ln()ln()x x x x +<,即1212x x x x +<.【详细解答】解：(1)'1()ln 2ln 21(0)f x x x ax x ax x x=+⋅-=-+>, 令')0f x =（,得1ln 2x a x +=,记1ln ()x Q x x +=,则'2ln ()x Q x x -=, 令()0Q x '>,得01x <<；令()0Q x '<,得1x >,∴()Q x 在(0,1)上是增函数,在1+，上是减函数,且max ()=(1)1Q x Q =,∴当21a >即12a >时,'()0f x =无解,∴()f x 无极值点, 当21a =即12a =时,'()0f x =有一解,1ln 2x a x +≥,即ln 210x ax -+≤,'()0f x ≤恒成立,()f x ∴无极值点,当021a <<,即102a <<时,'()0f x =有两解,()f x ∴有2个极值点, 当20a ≤即0a ≤时,'()0f x =有一解,()f x 有一个极值点.综上所述：当12a ≥,()f x 无极值点；102a <<时,()f x 有2个极值点；当0a ≤,()f x 有1个极值点；(2)2()ln g x x x ax x =--,()ln 2(0)g x x ax x '=->, 令'()0g x =,则ln 20x ax -=,ln 2x a x∴=, 记ln ()x h x x =,则'21ln ()x h x x -=, 由'()0h x >得0x e <<,由'()0h x <,得x e >,()h x ∴在(0,)e 上是增函数,在(,)e +∞上是减函数,max 1()()h x h e e==,当x e >时,()0f x >,∴当102a e <<即102a e<<时,()g x 有2个极值点12,x x , 由1122ln 2ln 2x ax x ax =⎧⎨=⎩,得121212ln()ln ln 2()x x x x a x x =+=+,1212ln()2x x a x x ∴=+,不妨设12x x <则121x e x <<<,122x x x e ∴+>>, 又()h x 在(,)e +∞上是减函数,1221212212ln()ln ln()2x x x x x a x x x x x +∴<==++,1212ln()ln()x x x x ∴+<, 1212x x x x ∴+<.本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,极值,最值,考查学生转化问题和分析问题的能力,是一道难题.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. [选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知曲线C的极坐标方程是6cos 0ρθ-=,以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 过点()0,2M ,倾斜角为3π4. (1)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ,B 两点,求11MA MB+的值. 【参考答案】(1)22(3)9x y -+=,222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)；(2)4.【试题解析】(1)将曲线C 的极坐标方程两边同乘ρ,根据公式即可化简为直角坐标方程；根据已知信息,直接写出直线的参数方程,整理化简即可；(2)联立曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程,得到关于t 的一元二次方程,根据直线参数方程中参数的几何意义,求得结果.【详细解答】(1)因为6cos ρθ=,所以26cos ρρθ=,所以226x y x +=,即曲线C 的直角坐标方程为：22(3)9x y -+=,直线l 的参数方程3πcos 43π2sin4x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),即222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数). (2)设点A ,B 对应的参数分别为1t ,2t ,将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程, 得22(3)(2)9-++=, 整理,得240t +=+,所以1212·4t t t t ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩因为1212210,0,0,0t t t t t t <>∴<⋅<+ 所以12MA MB t t +=+12()t t =-+＝ MA MB ⋅12t t =＝4, 所以11MA MB +＝MA MB MA MB +⋅4=. 本题考查将极坐标方程转化为直角坐标方程,以及直线参数方程的求解,涉及利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题,属综合基础题.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()|1||2|f x x x a =++-.(1)若1a =,解不等式()4f x <；(2)对任意的实数m ,若总存在实数x ,使得224()m m f x -+=,求实数a 的取值范围. 【参考答案】(1)35(,)22-(2)[2,1]-【试题解析】(1)分类讨论求解绝对值不等式,即可求得结果；(2)求得()f x 的值域以及224y m m =-+的值域,根据二次函数的值域是()f x 值域的子集,求参数的范围即可.【详细解答】(1)当1a =时,()4|1||2|4f x x x <⇒++-<,化为123x x <-⎧⎨>-⎩或1234x -≤≤⎧⎨<⎩或2214x x >⎧⎨-<⎩解得312x -<<-或12x -≤≤或522x <<, 3522x ∴-<<. 即不等式()4f x <的解集为35(,)22-. (2)根据题意,得224m m -+的取值范围是()f x 值域的子集.2224(1)33m m m -+=-+≥ 又由于()1221f x x x a a =++-≥+,()f x ∴的值域为[|21|,)a ++∞故|21|3a +≤,21a ∴-≤≤.即实数a 的取值范围为[2,1]-.本题考查分类讨论求解绝对值不等式,以及由绝对值三角不等式求解绝对值函数的最小值,属综合性基础题.。
山西省晋中市数学高三下学期理数第二次模拟考试试卷
山西省晋中市数学高三下学期理数第二次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·邯郸模拟) 已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|x≥2}，则A∩B=（）A . （2，3]B . [2，3]C . （2，3）D . [2，3）2. （2分）设z=1+i(i是虚数单位），则 =（）A . -1-iB . -1+iC . 1+iD . 1-i3. （2分） (2020高二上·吉林期末) 下列各组向量平行的是（）A .B .C .D .4. （2分）等比数列的各项均为正数,且,则（）A . 12C . 8D .5. （2分） (2018高二上·抚顺期末) 已知双曲线的左右焦点分别为，点是双曲线上的一点，且，则等于（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·江西模拟) 已知等差数列的前项和为，若，则（）A .B .C .D .7. （2分）某三棱锥的三视图如所示，该三棱锥的体积为（）B .C . 56D . 608. （2分）(2018·郑州模拟) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学典籍，其中第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果（）A . 5B . 4C . 3D . 29. （2分）函数是定义在R上的增函数，函数的图象关于点对称．若实数x,y满足不等式，则的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分） (2020高二上·青铜峡期末) 已知数列是无穷数列,则“ ”是“数列为等差数列”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件11. （2分） (2018高二下·辽宁期中) 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2015高二上·柳州期末) 定义在R上的函数y=f（x），满足f（1﹣x）=f（x），（x﹣）f′（x）＞0，若x1＜x2且x1+x2＞1，则有（）A . f（x1）＜f（x2）B . f（x1）＞f（x2）C . f（x1）=f（x2）D . 不能确定二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高一下·黑龙江开学考) 关于函数f（x）=4sin（2x ）（x∈R），有下列命题：①y=f（x）的表达式可改写为y=4cos（2x﹣）；②y=f（x）是以2π为最小正周期的周期函数；③y=f（x）的图象关于点对称；④y=f（x）的图象关于直线x=﹣对称．其中正确的命题的序号是________．14. （1分）(2017·宁德模拟) 的二项式中不含x的项的系数为________．15. （1分） (2018高二上·玉溪期中) 已知变量x,y满足约束条件，则目标函数z=2x-y的最大值是________16. （1分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB=AD=4cm，AA1=2cm，则点A1到平面AB1D1的距离等于________ cm．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）(2018·江西模拟) 已知，，分别为的内角，，的对边，.（1）若，求的值；（2）设，且，求的面积.18. （10分）(2017·石家庄模拟) 棉花的纤维长度是评价棉花质量的重要指标，某农科所的专家在土壤环境不同的甲、乙两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从甲、乙两地的棉花中各随机抽取20根棉花纤维进行统计，结果如下表：（记纤维长度不低于300mm的为“长纤维”，其余为“短纤维”）纤维长度（0，100）[100，200）[200，300）[300，400）[400，500]甲地（根数）34454乙地（根数）112106（1）由以上统计数据，填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”．甲地乙地总计长纤维________________________短纤维________________________总计________________________附：（1）；（2）临界值表；P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（2）现从上述40根纤维中，按纤维长度是否为“长纤维”还是“短纤维”采用分层抽样的方法抽取8根进行检测，在这8根纤维中，记乙地“短纤维”的根数为X，求X的分布列及数学期望．19. （10分） (2016高二上·葫芦岛期中) 设椭圆C： =1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆所截得线段的中点坐标．20. （10分） (2017高三上·綦江期末) 已知f（x）=x2﹣ax+lnx，a∈R．（1）当a=3时，求函数f（x）的极小值；（2）令g（x）=x2﹣f（x），是否存在实数a，当x∈[1，e]（e是自然对数的底数）时，函数g（x）取得最小值为1．若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．21. （10分）(2013·湖北理) 如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1 ， C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△B DM和△ABN的面积分别为S1和S2 ．（1）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2？并说明理由．22. （10分） (2016高三上·定州期中) 已知f（x）=|x﹣2|+|x+1|+2|x+2|．（1）求证：f（x）≥5；（2）若对任意实数x，15﹣2f（x）＜a2+ 都成立，求实数a的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。
2020届山西省晋中市高三下学期一模(普通招生考试模拟)数学(理)试题(解析版)
因为 ，且 为奇函数，
故可得 ，
则 ；
又当 时，
故可得 ，
即 ，故可得 或 (舍).
即 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查利用函数奇偶性求参数值，涉及对数运算，属综合基础题.
15．在 中，内角 所对应的边分别为 ，且 ，若 的面积 ，则 面积的最小值为______．
【答案】
【解析】利用正弦的倍角公式，结合正弦定理将边化角，即可求得 ，结合面积公式，求得 等量关系；再由余弦定理，以及基本不等式求得 的最小值，即可求得面积的最小值.
喜欢国学
不喜欢国学
合计
男生
20
50
女生
10
合计
100
（1）请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系？
（2）针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立国学宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中女生人数为 ，求 的分布列和数学期望．
正方体的前面和侧面都垂直于底面，这两个平面不平行，C错误
对 ：利用反证法简单证明如下：
若两个平面 垂直，假设一个平面 内与它们的交线 不垂直的直线 与另一个平面 垂直.
因为 ，且平面 的交线 ，
故可得 ，
这与题设 与 不垂直相互矛盾，故假设不成立，原命题成立.
即 选项正确.
故选：D．
【点睛】
本题考查空间中直线与直线、平面与平面，直线与平面的位置关系，属综合基础题.
A．2小时B．4小时C．6小时D．8小时
【答案】C
【解析】列出函数模型 ，根据题意，列出不等式，求解即可.
【详解】
2020届山西省太原市2017级高三一模考试数学(理)试卷参考答案
其分布列如下，
2 4 6
p 64 16 1 81 81 81
可求得方案二的期望为 E( ) 2 64 4 16 6 1 198 22 . ......................................9 分 81 81 81 81 9
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2020届山西省太原市2017级高三一模考试数学（理）试卷
..................9 分
∴
sin
A
sin(B
C)
sin
2π 3
C
32 7 1 2 72
21 7
21 . 14
18. （本小题满分 12 分）
..................12 分
解(Ⅰ)∵ AE 平面 BCE ， BE 平面 BCE ， BC 平面 BCE ，
∴ AE BE, AE BC ，
...................................2 分
又∵ BC AB ，∴ AE AB A ，∴ BC 平面 ABE ，...................................4 分
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又 BC 平面 ABCD ，∴平面 ABCD 平面 ABE . ..................................................6 分
......................................................................6 分
(Ⅱ) b 7, c 2 ，由正弦定理 b c 得 sin C 21 ， ..................8 分
sin B sin C
7