中等数学2012增刊(第一卷)
63徐州市2012-2013学年高三(上)期中数学试卷(文科)
2012-2013学年江苏省徐州市高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）A={﹣1，0，1}，B={0，1，2，3}，A∩B={0，1}．2．（5分）命题“∀x∈（1，2），x2＞1”的否定是∃x∈（1，2），x2≤1．3．（5分）设（i为虚数单位），则a+b=．解：因为==，b=．故答案为：．4．（5分）在等差数列{a n}中，已知该数列前10项的和为S10=120，那么a5+a6=24．=55．（5分）已知=（1，2m），=（2，﹣m），则“m=1”是“⊥”的充分不必要条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）⊥”•=0：已知=⊥”，∴•“”⊥”6．（5分）设直线是y=3x+b是曲线y=e x的一条切线，则实数b的值是3﹣3ln3．﹣=3﹣+7．（5分）在△ABC中，a=14，b=7，B=60°，则边c=7（1+）．，，=，即=，又∴由正弦定理得：==14，sin75sin（××）1+8．（5分）（文）动点P（a，b）在不等式组表示的平面区域内部及其边界上运动，则w=的取值范围是[﹣7，3]．w=表示的平面区域如下图所示：w=，当w=9．（5分）下列四个命题：①函数f（x）=xsinx是偶函数；②函数f（x）=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；③把函数f（x）=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度可以得到f（x）=3sin2x的图象；④函数f（x）=sin（x﹣）在区间[0，π]上是减函数．其中是真命题的是①②③（写出所有真命题的序号）．）x+））），图象向右平移个单位长度﹣10．（5分）（2008•长宁区二模）函数y=log a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为8．4+，利用基本不+==4++≥4+，11．（5分）已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，对于任意的正整数n都有a n﹣a n+1≠1，a n a n+1a n+2=a n+a n+1+a n+2，则S2012=4023．12．（5分）已知△ABC中，AB边上的中线CM=2，若动点P满足，则的最小值是﹣2．上，而而=2解：由题意可得：，故=2cos，，由基本不等式可得：≤213．（5分）若函数f（x）=x3﹣ax（a＞0）的零点都在区间[﹣10，10]上，则使得方程f（x）=1000有正整数解的实数a的取值的个数为3．±上，∴±＜﹣时，当﹣＜﹣（﹣．＜．，﹣=1967114．（5分）设a，b均为大于1的自然数，函数f（x）=a（b+sinx），g（x）=b+cosx，若存在实数m，使得f（m）=g（m），则a+b=4．•sin（m﹣θ）=b（1﹣a）[注：sinθ=]≤﹣=二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2010•苏州一模）已知数列{a n}满足：a1=1，a2=a（a＞0）．数列{b n}满足b n=a n a n+1（n∈N*）．（1）若{a n}是等差数列，且b3=12，求a的值及{a n}的通项公式；（2）若{a n}是等比数列，求{b n}的前项和S n．，=16．（14分）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC．（1）求角B的大小；（2）设，试求的取值范围．cosB=．由此能求出），由，得，由此能求出cosB=…）因为）…的取值范围是17．（14分）在边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？×（==x=）时，，x=）=．答：当箱子底边长为时，箱子容积最大，最大值为18．（16分）已知二次函数f（x）=ax2﹣bx+1．（1）若f（x）＜0的解集是（，），求实数a，b的值；（2）若a为正整数，b=a+2，且函数f（x）在[0，1]上的最小值为﹣1，求a的值．，由根系关系即可求得实数，），，=x，=x=﹣x==，=+（（==+=19．（16分）各项为正数的数列{a n} 的前n项和为S n，且满足：S n=2++（n∈N*）（1）求a n；（2）设函数f（n）=，c n=f（2n+4（n∈N*），求数列{c n} 的前n项和T n；（3）设λ为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m、n、k，不等式S m+S n＞λS k恒成立，求实数λ的最大值．2（2（+恒成立．．20．（16分）设函数y=f（x）=x2﹣bx+1，且y=f（x+1）的图象关于直线x=﹣1对称．又y=f （x）的图象与一次函数g（x）=kx+2（k＜0）的图象交于两点A、B，且|AB=|．（1）求b及k的值；（2）记函数F（x）=f（x）g（x），求F（x）在区间[0，1]上的最小值；（3）若sinα，sinβ，sinγ∈[0，1]，且sinα+sinβ+sinγ=1，试根据上述（1）、（2）的结论证明：++≤．，可以求出≥≤得：=，，，）=恒成立，所以（≤（+[2=γ≥∴（）=时，等号成立．。
2012年全国高中数学联赛加试题另解
2012年全国高中数学联赛加试题另解
蒋国盛
【期刊名称】《中等数学》
【年(卷),期】2012(000)012
【摘要】第一题如图1，在锐角△ABC中，AB〉AC，M、N是边BC上不同的两点，
【总页数】3页(P14-16)
【作者】蒋国盛
【作者单位】南京审计学院数学与统计学院2010级数学三班,211815
【正文语种】中文
【中图分类】O12
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2012年北京高考模拟系列试卷(一)数学(理)试题
2012年北京高考模拟系列试卷（一）数学试题（理）【新课标版】题 号 一 二 三 得 分第Ⅰ卷为选择题，共60分；第Ⅱ卷为非选择题共90分。
满分100分，考试时间为120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的． 1．若集合211{|log (1)1},{|()1}42xM x x N x =-<=<<，则M N =（ ） A ．{|12}x x <<B ．{|13}x x <<C ．{|03}x x <<D ．{|02}x x <<2．已知向量()52,5,2,1=-=⋅=b a b a a ，则b 等于（ ）A ．5B ．52C ．25D ．53．在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++，则k =（ ）A ．22B ．23C ．24D ．25 4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A ．34000cm 3B ．38000cm 3C ．32000cmD ．34000cm2020正视图20侧视图101020俯视图5．命题“存在R x ∈，使a aax x 42-+＜0，为假命题”是命题“016≤≤-a ”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，105,45=∠=∠CAB ACB 后，就可以计算出A 、B 两点的距离为（ ） A. m 250B. m 350C. m 225D.m 2225 7. 若1()nx x展开式中第四项与第六项的系数相等，则展开式中的常数项的值等于（ ）A ．8B ．16C ．80D ． 708. 已知直线22x y +=与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，若动点(,)P a b 在线段AB 上，则ab 的最大值为（ ）A ．12B ．2C ．3D ．319. 某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）. 1s ，2s 分别表 示甲、乙两班抽取的5名学生学分的标准差，则1s 2s .（填“>”、“<”或“＝”）.A ．>B ．<C ．＝D ．不能确定 10、函数x xy sin 3+=的图象大致是（ ）第9题图11．已知函数2221,0()21,0x x x f x x x x ⎧+-≥=⎨--<⎩，则对任意12,x x R ∈，若120x x <<，下列不等式成立的是（ ）A. 12()()0f x f x +<B. 12()()0f x f x +>C. 12()()0f x f x ->D. 12()()0f x f x -<12．设双曲线1422=-y x 的两条渐近线与直线2=x 围成的三角形区域（包括边界）为D ，P ()y x , 为D 内的一个动点，则目标函数y x z -=21的最小值为（ ）A ．2-B ．223-C ．0D ．225-第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。
2012年江苏苏州中考数学及答案(word版)
2012年苏州市初中毕业暨升学考试试卷一、选择题:本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B 铅笔涂在答题卡相对应的位置上．．．．．．．．．．. 1.（2012江苏苏州，1，3分）2的相反数是（ ） A . －2 B . 2 C . D .【答案】A A .B .C .D .【答案】D3.（2012江苏苏州，3，3分）一组数据2，4，5，5，6的众数是A . 2B . 4C . 5D . 6 【答案】C4.（2012江苏苏州，4，3分）如图，一个正六边形转盘被分成6个全等三角形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止时，指针指向阴影区域的概率是 A . B . C . D . 【答案】BDCBAOBODECA（第4题） （第5题） （第6题） 5.（2012江苏苏州，5，3分）如图，已知BD 是⊙O 直径，点A 、C 在⊙O 上，⌒AB =⌒BC ，∠AOB =60°，则∠BDC 的度数是A .20°B .25°C .30°D . 40°【答案】C6.（2012江苏苏州，6，3分）如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC .若AC =4，则四边形CODE 的周长是A .4B .6C .8D . 10 【答案】C7.（2012江苏苏州，7，3分）若点在函数的图象上，则的值是A .2B .-2C .1D . -1 【答案】D8.（2012江苏苏州，8，3分）若，则的值是A .3B .4C .5D . 6 【答案】B9.（2012江苏苏州， 9， 3分）如图，将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°后得到△A ＇OB ＇，若∠AOB =15°，则∠AOB ＇的度数是A .25°B .30°C .35°D . 40° 【答案】BBA ＇AB ＇Oxy E 4C 3E 3C 2E 2E 1D 1C 1B 2A 3A 2A 1B 3B 1O（第9题） （第10题） 10.（2012江苏苏州，10，3分）已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点在轴上，点、、、、、、在轴上.若正方形的边长为1，∠=60°，∥∥，则点到轴的距离是A.B. C. D.【答案】D二、填空题:本大题共8个小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题卡相对应的位．．．．．．．．置上．．.11.（2012江苏苏州，11，3分）计算：= ▲ .【答案】812.（2012江苏苏州，12，3分）若，，则= ▲ .【答案】613.（2012江苏苏州，13，3分）已知太阳的半径约为696 000 000m，696 000 000这个数用科学记数法可表示为▲ .【答案】14.（2012江苏苏州，14，3分）已知扇形的圆心角为45°，弧长等于，则该扇形的半径是▲ .【答案】215.（2012江苏苏州，15，3分）某初中学校共有学生720人，该校有关部门从全体学生中随机抽取了50人对其到校方式进行调查，并将调查结果制成了如图所示的条形统计图，由此可以估计全校坐公交车到校的学生有▲人.（第15题）【答案】21616.（2012江苏苏州，16，3分）已知点A、B在二次函数的图象上，若，则 ▲ .【答案】>17.（2012江苏苏州，17，3分）如图，已知第一象限内的图象是反比例函数图象的一个分支，第二象限内的图象是反比例函数图象的一个分支，在轴上方有一条平行于轴的直线与它们分别交于点A 、B ，过点A 、B 作轴的垂线，垂足分别为C 、D .若四边形ACDB 的周长为8且AB <AC ，则点A 的坐标是 ▲ . 【答案】yxlB AC D O B C D PA3342xy O（第17题） （图①） （图②） 18.（2012江苏苏州，18，3分）如图①，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =60°，动点P从A 点出发，以1cm/s 的速度沿着A →B →C →D 的方向不停移动，直到点P 到达点D后才停止.已知△P AD 的面积S （单位：）与点P 移动的时间t （单位：s ）的函数关系式如图②所示，则点P 从开始移动到停止移动一共用了 ▲ 秒（结果保留根号）. 【答案】三、解答题：本大题共11小题，共76分.把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔. 19.（2012江苏苏州，19，5分）计算：.【答案】解：原式=1+2-2=1.20.（2012江苏苏州，20，5分）解不等式组：.【答案】解：由①得：由②得：∴不等式组的解集为.21.（2012江苏苏州，21，5分）先化简，再求值：，其中.【答案】解：原式= = =.当时，原式= = =.22.（2012江苏苏州，22，6分）解分式方程：.【答案】解：去分母，得：解得：经检验：是原方程的解.23.（2012江苏苏州，23，6分）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，延长线段CB到E，使BE=AD，连接AE、AC.⑴求证：△ABE≌△CDA；⑵若∠DAC=40°，求∠EAC的度数.EDC BA（第23题）【答案】⑴证明：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=CD，∴∠ABE=∠BAD，∠BAD=∠CDA.∴∠ABE=∠CDA.在△ABE和△CDA 中，∴△ABE≌△CDA .⑵解：由⑴得：∠AEB=∠CAD ，AE =AC.∴∠AEB =∠ACE .∵∠DAC=40°∴∠AEB=∠ACE=40°.∴∠EAC=180°－40°－40°=100°.24.（2012江苏苏州，24，6分）我国是一个淡水资源严重缺乏的国家，有关数据显示，中国人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的，中、美两国人均淡水资源占有量之和为13800，问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少（单位：）？【答案】解：设中国人均淡水资源占有量为x，美国人均淡水资源占有量为y.根据题意，得解之得：答：中国人均淡水资源占有量为2300，美国人均淡水资源占有量为11500.25.（2012江苏苏州，25，8分）在3×3的方格纸中，点A、B、C、D、E、F分别位于如图所示的小正方形的顶点上.⑴从A、D、E、F四点中任意取一点，以所取的这一点及B、C为顶点三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是▲；⑵从A、D、E、F四点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及B、C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率（用树状图或列表求解）.FEDC BA（第25题）【答案】解：⑴P （所画三角形是等腰三角形）= . ⑵用树状图或利用表格列出所有可能的结果：ED A F D A FE A D EF FEDA开始F ,E ()E ,D ()F ,D ()E ,F ()D ,E ()D ,F ()A ,F ()A ,E ()F ,A ()E ,A ()A ,D ()D ,A ()F FE E D D AA∵以点A 、E 、B 、C 为顶点及以点D 、F 、B 、C 为顶点所画的四边形是平行四边形，∴P （所画的四边形是平行四边形）=.26.（2012江苏苏州，26，8分）如图，已知斜坡AB 长60米，坡角（即∠BAC ）为30°，BC ⊥AC ，现计划在斜坡中点D 处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE .（请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据）.⑴若修建的斜坡BE 的坡角(即∠BAC )不大于45°,则平台DE 的长最多为 ▲ 米；⑵一座建筑物GH 距离坡脚A 点27米远（即AG=27米），小明在D 点测得建筑物顶部H 的仰角(即∠HDM )为30°.点B 、C 、A 、G 、H 在同一个平面上，点C 、A 、G 在同一条直线上，且HG ⊥CG ，问建筑物GH 高为多少米？30°30°HM GDE F CB A【答案】解：⑴11.0（10.9也对）.⑵过点D 作DP ⊥AC ，垂足为P . 在Rt△DP A中，，.在矩形DPGM 中，，.在Rt △DMH 中，.∴.答：建筑物GH 高为45.6米.27.（2012江苏苏州，27，8分）如图，已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ，点P 是直径AB 左侧半圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接P A 、PB ，设PC 的长为.⑴当 时，求弦P A 、PB 的长度；⑵当x 为何值时，的值最大？最大值是多少？lPD CBOA【答案】解：⑴∵⊙O 与直线l 相切于点A ，AB 为⊙O 的直径，∴AB ⊥l .又∵PC ⊥l ，∴AB ∥PC . ∴∠CP A =∠P AB . ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠APB =90°. ∴∠PCA =∠APB .∴△PCA ∽△APB .∴.∵PC =，AB =4，∴.∴在Rt △APB 中，由勾股定理得：.⑵过O 作OE ⊥PD ，垂足为E .∵PD 是⊙O 的弦，OF ⊥PD ，∴PF =FD .在矩形OECA 中，CE =OA =2，∴PE =ED =x －2. ∴.∴.∵，∴当时，有最大值，最大值是2.28.（2012江苏苏州，28，9分）如图，正方形ABCD 的边AD 与矩形EFGH 的边FG 重合，将正方形ABCD 以1cm/s 的速度沿FG 方向移动，移动开始前点A 与点F 重合.在移动过程中，边AD 始终与边FG 重合，连接CG ，过点A 作CG 的平行线交线段GH 于点P ，连接PD .已知正方形ABCD 的边长为1cm ，矩形EFGH 的边FG 、GH 的长分别为4cm 、3cm.设正方形移动时间为x （s ），线段GP 的长为y （cm ），其中.⑴试求出y 关于x 的函数关系式，并求出y =3时相应x 的值；⑵记△DGP 的面积为，△CDG 的面积为，试说明是常数；⑶当线段PD 所在直线与正方形ABCD 的对角线AC 垂直时，求线段PD 的长.P HG FEDC B A【答案】解：⑴∵CG ∥AP ，∴∠CGD =∠P AG ，则.∴.∵GF =4，CD =DA =1，AF =x ，∴GD =3－x ，AG =4－x . ∴，即. ∴y 关于x 的函数关系式为.当y =3时，，解得:x =2.5.⑵∵，.∴ 即为常数.⑶延长PD 交AC 于点Q .∵正方形ABCD 中，AC 为对角线，∴∠CAD =45°. ∵PQ ⊥AC ，∴∠ADQ =45°.∴∠GDP =∠ADQ =45°. ∴△DGP 是等腰直角三角形，则GD =GP . ∴，化简得：，解得：.∵，∴.在Rt △DGP 中，.29.（2012江苏苏州，29，10分）如图，已知抛物线与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C . ⑴点B 的坐标为 ▲ ，点C 的坐标为 ▲ （用含b 的代数式表示）；⑵请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；⑶请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由.xyPO CBA 【答案】解：⑴B （b ，0），C （0，）；⑵假设存在这样的点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形.设点P 坐标（x ，y ），连接OP ，则，∴. 过P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，∴∠PEO =∠EOD =∠ODP =90°. ∴四边形PEOD 是矩形. ∴∠EPD =90°.∵△PBC 是等腰直角三角形，∴PC =PB ，∠BPC =90°.∴∠EPC =∠BPD .∴△PEC ≌△PDB . ∴PE =PD ，即x =y .由 ，解得： .由△PEC≌△PDB得EC=DB，即，解得符合题意.∴点P坐标为（，）.⑶假设存在这样的点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似.∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO.∴要使得△QOA和△QAB相似，只能∠OAQ=∠QAB=90°，即QA⊥x轴.∵b＞2，∴AB＞OA. ∴∠QOA＞∠QBA，∴∠QOA=∠AQB，此时∠OQB =90°.由QA⊥x轴知QA∥y轴，∴∠COQ=∠OQA.∴要使得△QOA和△OQC相似，只能∠OCQ=90°或∠OQC=90°.（Ⅰ）当∠OCQ=90°时，△QOA≌△OQC. ∴AQ=CO= .由得：，解得：. ∵，∴，.∴点Q坐标为（1，）.（Ⅱ）当∠OQC=90°时，△QOA≌△OCQ. ∴，即.又. ∴，即.解得：AQ=4，此时b=17＞2符合题意. ∴点Q坐标为（1，4）.∴综上可知：存在点Q（1，）或（1，4），使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似.。
2012年高考数学试卷及解析天津卷(理科)
2012年普通高等学校招生统一考试数学天津（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）i 是虚数单位，复数ii +-37= （A ） 2 + i （B ）2 – i（C ）-2 + i （D ）-2 – i（2）设,R ∈ϕ则“0=ϕ”是“))(cos()(R x x x f ∈+=ϕ为偶函数”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分与不必要条件（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为-25时，输出x 的值为（A ）-1 （B ）1（C ）3 （D ）9（4）函数22)(3-+=x x f x 在区间(0,1)内的零点个数是（A ）0 （B ）1（C ）2 （D ）3（5）在52)12(xx -的二项展开式中，x 的系数为 （A ）10 （B ）-10（C ）40 （D ）-40（6）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是c b a ,,，已知8b=5c ，C=2B ，则cosC=（A ）257 （B ）257- （C ）257± （D ）2524 （7）已知ABC ∆为等边三角形，AB=2，设点P ，Q 满足λ=，)1(λ-=， R ∈λ，若32BQ CP ⋅=，则λ=（A ）21 （B ）221± （C ）2101± （D ）2223±- （8）设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切，则m + n 的取值范围是（A ）]31,31[+- （B ）),31[]31,(+∞+⋃--∞（C ）]222,222[+- （D ）),222[]222,(+∞+⋃--∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）某地区有小学150所，中学75所，大学25所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所学校，中学中抽取________所学校.（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为_________m 3.（11）已知集合{}32x <+∈=x R A ，集合},0)2)((|{<--∈=x m x R x B 且),,1(n B A -= 则m =__________，n = __________.（12）已知抛物线的参数方程为⎩⎨⎧==pty pt x 2,22（t 为参数）,其中p>0，焦点为F ，准线为l . 过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E. 若|EF|=|MF|，点M 的横坐标是3，则p = _________.（13）如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D. 过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF=3， FB=1，EF=23，则线段CD 的长为____________.（14）已知函数112--=x x y 的图象与函数2-=kx y 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是_________.三．解答题：本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分） 已知函数.,1cos 2)32sin()32sin()(2R x x x x x f ∈-+-++=ππ （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间]4,4[ππ-上的最大值和最小值.（16）（本小题满分13分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； （Ⅲ）用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记Y X -=ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望ξE .（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.（Ⅰ）证明PC ⊥AD ；（Ⅱ）求二面角A-PC-D 的正弦值；（Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长.（18）（本小题满分13分）已知}{n a 是等差数列，其前n 项和为S n ，}{n b 是等比数列，且27,24411=+==b a b a ，1044=-b S .（Ⅰ）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n n n b a b a b a T 1211+++=- ，*N n ∈，证明n n n b a T 10212+-=+（*N n ∈）.（19）（本小题满分14分） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为B A ，，点P 在椭圆上且异于B A ，两点，O 为坐标原点.（Ⅰ）若直线AP 与BP 的斜率之积为21-，求椭圆的离心率； （Ⅱ）若OA AP =，证明直线OP 的斜率 k 满足3>k（20）（本小题满分14分）已知函数)ln()(a x x x f +-=的最小值为0，其中.0>a（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若对任意的),,0[+∞∈x 有)(x f ≤2kx 成立，求实数k 的最小值； （Ⅲ）证明∑=<+--n i n i 12)12ln(122（*N n ∈）.试卷解析【试卷总评】今年天津市高考理科数学试卷所涉及的考点较去年变化不大，试题难度较去年有一定的下滑，着重考查学生的基础知识的掌握以及推导、运算和数形结合的能力。
2012年陕西中考数学试题的两种解法
2012年陕西中考数学试题的两种解法
2012年陕西中考数学试题很有特点，尤其是压轴题，难能可贵的是，第(3)小题解题所用的思路、方法源自课本，与课后作业题类似，又略高于课本，且解题方法不唯一。
可以说是紧扣课本，综合性较强的好题，现提供两种不同思路的解法，仅供参考。
（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上,在正三角形ABC及其内部,以A为位似中心,作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′,且使正方形E′F′P′N′的面积最大(不要求写作法)。
（2）求(1)中做出的正方形的边长。
（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPN，使得DE、EF在边AB上，在P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由。
解：(1)如图③，正方形E′F′P′N′即为所求
(2)设正方形E′F′P′N′的边长为x
解法②主要体现技巧，利用完全平方公式求解。
可以说这道题所用的基础知识、解题思路、方法不算很难，难在计算。
2012年全国考研数学一真题
0 0 1 1 （5）设 1 0 ， ，其中 c , c , c1 , c2 为任意常数，则下列 2 1 ， 4 3 4 3 1 ， 1 c c c c 2 3 4 1
（7）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布，则 PX Y =3
（C）
2 5 1 2
（D）
4 5
)
（8）将长为 1m 的木棒随机的截成两段，则两段长度的相关系数为( （A）1 （B）
1 2
（C）
（D） 1
二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分。请将答案写在答题纸指定位置上
x0 y0
f ( x, y) 存在，则 f (x, y) 在（0,0）处可微 x y f ( x, y) 存在，则 f (x, y) 在（0,0）处可微 x2 y 2 f ( x, y ) 存在 x0 x y y0 f ( x, y ) 存在 x2 y 2
( )
（B）若极限lim
)
（B）1
（2）设函数 y( x) ( ex 1)(e2x 2) (enx n) ，其中 n 为正整数，则 y' (0) = （A） (1)n1 (n 1)! （B） (1)n (n 1)! （C） (1)n1 n!
(
)
（D） (1)n n! )
（3）如果函数 f (x, y) 在（0,0）处连续，那么下列命题正确的是 ( （A）若极限lim
y 轴无边界的区域的面积。
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（19）（本题满分 10 分） 已知 L 是第一象限中从点（0,0）沿圆周 x2 y 2 2x 到点（2,0），再沿圆周 x2 y 2 4 到点（0,2 ） 的曲线段，计算曲线积分 J
2012年全国考研数学一真题
lim
f ( x, y) M ，可得 f (0, 0) 0 ， 1 | x|| y|
z f (x, y) ，则 f x'(0, 0) lim
在，
x 0
f (x, 0) f (0, 0) f (x, 0) | x | lim lim M 1不存 x 0 x 0 x | x | 0 x
（22）（本题满分 11 分） 设二维随机变量 X 、 Y 的概率分布为
X 0 1 2 （Ⅰ）求 PX 2Y （Ⅱ）求 Cov( X Y ,Y ) Y 0 1 0 2
1 4
0
1 4
0
1 3
0
1 12
1 12
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（23）（本题满分 11 分） 设随机变量 X 与 Y 相互独立分别服从正态分布 N (,2) 与 N (,22) ，其中 是未知参数且
（15）（本题满分 10 分） 证明 x ln
1 x cos x 1 x 2 ， (1 x 1) 1 x 2
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（16）（本题满分 10 分）
求函数 f (x, y) xe
x2 y2 2
的极值
（17）（本题满分 10 分） 求幂级数
4n2 4n 3 2 n 2n 1 x 的收敛域及和函数 n0
f y' (0, 0) 0 B ，
则
lim
0
z Ax By
lim
0
f (x ,y )
lim
0
f (x ,y ) (x ) 2 (y ) 2 lim M 20 0 2 2 (x) (y) 0 ( x)2 ( y)2