初中数学竞赛专题选讲-线段、角的和差倍分

初中数学竞赛专题选讲
线段、角的和差倍分
一、内容提要
证明线段、角的和，差，倍，分，常用两种方法：一是转化为证明线段或角的相等关系；一是用代数恒等式的证明方法。

一.转化为证明相等的一般方法
㈠通过作图转化
1.要证明一线段（角）等于两线段（角）的和（用截长补短法）
⑴分解法――把大量分成两部分，证它们分别等于两个小量
⑵合成法――作出两个小量的和，证它与大量相等
2.要证明一线段（角）等于另一线段（角）的2倍
⑴折半法――作出大量的一半，证它与小量相等
⑵加倍法――作出小量的2倍，证它与大量相等
㈡应用有关定理转化
1.三角形中位线等于第三边的一半，梯形中位线等于两底和的一半
2.直角三角形斜边中线等于斜边的一半
3.直角三角形中，含30度的角所对的直角边等于斜边的一半
4.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和
5.等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍
6.三角形的重心（各中线的交点）分中线为2∶1
7.有关比例线段定理
二.用代数恒等式的证明
1.由左证到右或由右证到左
2.左右两边分别化简为同一个第三式
3.证明左边减去右边的差为零
4.由已知的等式出发，通过恒等变形，到达求证的结论
二、例题
例1.已知：△ABC中，∠B＝2∠C，AD是高
求证：DC＝AB＋BD
分析一：用分解法，把DC分成两部分，分别证与AB，BD相等。

可以高AD为轴作△ADB的对称三角形△ADE，再证EC＝AE。

∵∠AEB＝∠B＝2∠C且∠AEB＝∠C＋∠EAC，∴∠EAC＝∠C
辅助线是在DC上取DE＝DB，连结AE。

分析二：用合成法，把AB，BD合成一线段，证它与DC相等。

仍然以高AD为轴，作出DC的对称线段DF。

为便于证明，辅助线用延长DB到F，使BF＝AB，连结AF，则可得
∠ABD ＝2∠F ＝2∠C 。

例2.已知：△ABC 中，两条高AD 和BE 相交于H ，两条边BC 和AC
的中垂线相交于O ，垂足是M ，N
求证：AH ＝2MO ， BH ＝2NO 证明一：（加倍法――作出OM ，ON 的2倍） 连结并延长CO 到G 使OG ＝CO 连结AG ，BG 则BG ∥OM ，BG ＝2MO ，AG ∥ON ，AG ＝2NO
∴四边形AGBH 是平行四边形， ∴AH ＝BG ＝2MO ，BH ＝AG ＝2NO
证明二：（折半法――作出AH ，BH
分别取AH ，BH 的中点F ，G 连结FG ，MN
则FG ＝MN ＝21AB ，FG ∥MN ∥AB 又∵OM ∥AD ，
∴∠
OMN ＝∠HGF （两边分别平行的两锐角相等）
同理∠ONM ＝∠HFG ∴△OMN ≌△HFG ……
例3. 已知：在正方形ABCD 中，点E 在AB 上且CE ＝AD ＋AE ，F
是AB 的中点
求证：∠DCE ＝2∠BCF
分析：本题显然应着重考虑如何发挥CE ＝AD ＋AE 条件的作用，如果
只想用加倍法或折半法，则脱离题设的条件，难以见效。

我们可将AE （它的等量DG ）加在正方形边CD 的延长线上（如左图）
也可以把正方形的边CD （它的等量AG ）加在AE 的延长线上（如右图）
后一种想法更容易些。

辅助线如图，证明（略）自己完成
A B D F B C D G
例4.已知：△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线相交于I ，
求证：∠BIC ＝90 ＋2
1∠A 证明一：（由左到右）
∠BIC ＝180 －（∠1＋∠2）＝180 －2
1（∠ABC ＋∠ACB ） ＝180 －21（∠ABC ＋∠ACB ＋∠A ）＋2
1∠A ＝90 ＋2
1∠A
证明二：（左边－右边＝0） ∠BIC －（90 ＋2
1∠A ） ＝180 －21（∠ABC ＋∠ACB ）－90 －2
1∠A ＝90 －2
1（∠ABC ＋∠ACB ＋∠A ）＝…… 证明三：（从已知的等式出发，进行恒等变形）
∵∠A ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180 ∴∠A ＝180 －（∠ABC ＋∠ACB ） 21∠A ＝90 －2
1（∠ABC ＋∠ACB ） 90 ＋21∠A ＝180 －21（∠ABC ＋∠ACB ），即∠BIC ＝90 ＋2
1∠A 三、练习
1. △ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD 是角平分线，求证：AC ＝AB ＋BD
2. △ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD 是高，M 是BC 的中点，则AB ＝2DM
3. △ABC 中，∠B 的平分线和∠C 的外角平分线交于E ，则∠A ＝2∠E
4. △ABC 的AB ＝AC ，CD 是中线，延长AB 到E 使BE ＝AB ，连结EC ，
则CE ＝2CD
5. 已知：等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝Rt ∠，BD 是角平分线
求证：BC ＝AB ＋AD
6. 已知：△ABC 中，AB ＜AC ，AD 是高，AE 是角平分线
求证 ：∠DAE ＝2
1（∠B ＋∠C ） 7. 已知：△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 的延长线上，
求证：∠CBD ＝2
1（∠ABD －∠D ）
8. 已知：AD 是△ABC 的中线，E 是AD 的中点，BE 延长线交AC 于F
求证：BF ＝4EF
9. 已知：在正方形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，AF 平分∠DAE ，交
CD 于F
求证：AE ＝BE ＋DF
10. 在△ABC 中，∠BAC ＝Rt ∠，BC 的中垂线MN 交AB 于M ，交BC 于
N ，角平分线AD 延长线交MN 于E ，则BC ＝2NE
（1987年泉州市双基赛题）
11. 以Rt △ABC 两直角边AC ，BC 为边向形外作正方形ACDE 和BCFG ，
分别过E ，G 作斜边AB 所在直线的垂线段EE ，，GG ，则AB ＝EE ，＋GG ，
12. 已知：△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是高，CE 是角平分线EF ⊥BC 于F ，
GE ⊥CE 交CB 延长线于G ，
求证：FD ＝4
1CG （提示：以CE 为轴作△CEG 的对称三角形） 13. 已知：△ABC 中，∠A ＝100 ，AB ＝AC ，BD 是角平分线
求证：BC ＝BD ＋AD
14. 已知：正方形ABCD 中，AE 平分∠BAC 交BC 于E ，交BD 于F ，O
是对角线的交点
求证：CE ＝2FO
15. 已知：如图AC ，BD 都垂直于AB ，且CD 交AB 于E ，CE ＝2AD
求证：∠ADE ＝2∠BDE
16. 已知：△ABC 中，AB ＜AC ＜BC ，点D 在BC 上，点E 在BA 的延长
线上，且BD ＝BE ＝AC ，△BDE 的外接圆和△ABC 的外接圆交于点F 求证：BF ＝AF ＋FC （1991年全国初中数学联赛题）
（提示：在BF 上取BG ＝CF ）
（15）
练习题参考答案
1.以AD轴作轴对称三角形
2.取AB中点N，再证明DN＝DM
3.利用外角性质，分别用两角差表示∠A和∠E
4.有多种证明方法，注意三角形中位线性质
5.在BC上取BE＝BD，则△EDC等腰，作DF∥BC交AB于F，可证△
ECD≌△ADF
6.∠B＋（∠BAE－∠DAE）＝90，∠C＋（∠EAC＋∠DAE）＝90
7.∠ABC＝∠ACB＝∠D＋∠CBD，两边同加上∠CBD
10.作高AH
12延长GE交AC于M，则E是GM的中点，作EP∥BC交AC于P，则EP被AD平分
16.在BF上截取BG＝FC，△BGE≌△CFA，再证GE＝GF
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